Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке
Площадь раскрытия сквозной трещины в оболочке является одним из основных расчетных параметров в концепции “течь перед разрушением”. Существующие методы ее определения, по сути, рассматривают оболочку как плоское тело и не учитывают линейно изменяющуюся составляющую поля перемещений (как в теории пла...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2012
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173107 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке / И.В. Орыняк, Е.С. Яковлева, Я.Р. Дубик // Проблемы прочности. — 2012. — № 6. — С. 34-55. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-173107 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1731072020-11-22T01:26:34Z Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Дубик, Я.Р. Научно-технический раздел Площадь раскрытия сквозной трещины в оболочке является одним из основных расчетных параметров в концепции “течь перед разрушением”. Существующие методы ее определения, по сути, рассматривают оболочку как плоское тело и не учитывают линейно изменяющуюся составляющую поля перемещений (как в теории пластин). На основе комбинированного метода весовых функций предлагается простая процедура получения приближенного выражения для определения фундаментального поля перемещений при действии сосредоточенных силы и момента на берега трещины в виде суммы однородной и линейно изменяющейся по толщине стенки составляющих. Это позволяет, в частности, получить удобные формулы для нахождения площади раскрытия трещины в полиномиальном поле как мембранных, так и линейных напряжений. Для цилиндрической оболочки с продольной и поперечной трещинами проведено сравнение полученных величин площади с таковыми, приведенными в литературных источниках. Оценен вклад линейной составляющей в общую площадь раскрытия трещины. Площа розкриття наскрізної тріщини в оболонці є одним з основних розрахункових параметрів в концепції “теча перед руйнуванням”. Існуючі методи її визначення, по суті, розглядають оболонку як плоске тіло і не враховують лінійно змінну складову поля переміщень (як у теорії пластин). На основі комбінованого методу вагових функцій запропоновано просту процедуру отримання наближеного виразу для визначення фундаментального поля переміщень внаслідок дії зосереджених сили і моменту на береги тріщини у вигляді суми однорідної та лінійно змінної по товщині стінки складових. Це дозволяє, зокрема, отримати зручні формули для визначення площі розкриття тріщини в поліноміальному полі як мембранних, так і лінійних напружень. Для циліндричної оболонки з поздовжньою та поперечною тріщинами порівнюются отримані величини площі з такими, що є в літературних джерелах. Оцінено внесок лінійної складової в загальну площу розкриття тріщини. The crack opening area of a through-wall crack in a shell is one of the main design parameters in the leak-before-break concept. The available methods for determining this parameter essentially consider the shell as a plane body and disregard the linearly varying component of the displacement field (as in the plate theory). Based on a combined method of weight functions, a simple procedure is put forward to derive an approximate expression for the fundamental field of displacements under the action of a concentrated force and moment onto the crack faces in the form of a sum of a uniform component and a component that linearly varies through the wall thickness. This provides, in particular, convenient formulas to find the crack opening area in a polynomial field of membrane stresses as well as linear ones. For a cylindrical shell with a longitudinal or transverse crack, the calculated values of the crack opening area are compared with those reported elsewhere. The contribution of the linear component to the total crack opening area is assessed. 2012 Article Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке / И.В. Орыняк, Е.С. Яковлева, Я.Р. Дубик // Проблемы прочности. — 2012. — № 6. — С. 34-55. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173107 539.4 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Дубик, Я.Р. Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке Проблемы прочности |
| description |
Площадь раскрытия сквозной трещины в оболочке является одним из основных расчетных параметров в концепции “течь перед разрушением”. Существующие методы ее определения, по сути, рассматривают оболочку как плоское тело и не учитывают линейно изменяющуюся составляющую поля перемещений (как в теории пластин). На основе комбинированного метода весовых функций предлагается простая процедура получения приближенного выражения для определения фундаментального поля перемещений при действии сосредоточенных силы и момента на берега трещины в виде суммы однородной и линейно изменяющейся по толщине стенки составляющих. Это позволяет, в частности, получить удобные формулы для нахождения площади раскрытия трещины в полиномиальном поле как мембранных, так и линейных напряжений. Для цилиндрической оболочки с продольной и поперечной трещинами проведено сравнение полученных величин площади с таковыми, приведенными в литературных источниках. Оценен вклад линейной составляющей в общую площадь раскрытия трещины. |
| format |
Article |
| author |
Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Дубик, Я.Р. |
| author_facet |
Орыняк, И.В. Яковлева, Е.С. Дубик, Я.Р. |
| author_sort |
Орыняк, И.В. |
| title |
Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке |
| title_short |
Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке |
| title_full |
Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке |
| title_fullStr |
Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке |
| title_full_unstemmed |
Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке |
| title_sort |
применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173107 |
| citation_txt |
Применение комбинированного метода весовых функций для определения площади раскрытия сквозной трещины в оболочке / И.В. Орыняк, Е.С. Яковлева, Я.Р. Дубик // Проблемы прочности. — 2012. — № 6. — С. 34-55. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT orynâkiv primeneniekombinirovannogometodavesovyhfunkcijdlâopredeleniâploŝadiraskrytiâskvoznojtreŝinyvoboločke AT âkovlevaes primeneniekombinirovannogometodavesovyhfunkcijdlâopredeleniâploŝadiraskrytiâskvoznojtreŝinyvoboločke AT dubikâr primeneniekombinirovannogometodavesovyhfunkcijdlâopredeleniâploŝadiraskrytiâskvoznojtreŝinyvoboločke |
| first_indexed |
2025-07-15T09:38:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T09:38:36Z |
| _version_ |
1837705269622079488 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.4
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ ñêâîçíîé òðåùèíû â îáîëî÷êå
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Ïëîùàäü ðàñêðûòèÿ ñêâîçíîé òðåùèíû â îáîëî÷êå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ðàñ÷åòíûõ
ïàðàìåòðîâ â êîíöåïöèè “òå÷ü ïåðåä ðàçðóøåíèåì”. Ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû åå îïðåäåëåíèÿ,
ïî ñóòè, ðàññìàòðèâàþò îáîëî÷êó êàê ïëîñêîå òåëî è íå ó÷èòûâàþò ëèíåéíî èçìåíÿþùóþñÿ
ñîñòàâëÿþùóþ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé (êàê â òåîðèè ïëàñòèí). Íà îñíîâå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòî-
äà âåñîâûõ ôóíêöèé ïðåäëàãàåòñÿ ïðîñòàÿ ïðîöåäóðà ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî âûðàæåíèÿ
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîëÿ ïåðåìåùåíèé ïðè äåéñòâèè ñîñðåäîòî÷åííûõ ñèëû è
ìîìåíòà íà áåðåãà òðåùèíû â âèäå ñóììû îäíîðîäíîé è ëèíåéíî èçìåíÿþùåéñÿ ïî òîëùèíå
ñòåíêè ñîñòàâëÿþùèõ. Ýòî ïîçâîëÿåò, â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷èòü óäîáíûå ôîðìóëû äëÿ íàõîæ-
äåíèÿ ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ òðåùèíû â ïîëèíîìèàëüíîì ïîëå êàê ìåìáðàííûõ, òàê è ëèíåé-
íûõ íàïðÿæåíèé. Äëÿ öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè ñ ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé òðåùèíàìè
ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ âåëè÷èí ïëîùàäè ñ òàêîâûìè, ïðèâåäåííûìè â ëèòåðàòóð-
íûõ èñòî÷íèêàõ. Îöåíåí âêëàä ëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùåé â îáùóþ ïëîùàäü ðàñêðûòèÿ òðå-
ùèíû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñêâîçíàÿ òðåùèíà, êîýôôèöèåíò èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé,
âåñîâàÿ ôóíêöèÿ, ïëîùàäü ðàñêðûòèÿ òðåùèíû.
Ââåäåíèå. Âçàèìíîå ñìåùåíèå (ðàñõîæäåíèå) ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê
áåðåãîâ ñêâîçíîé òðåùèíû (ÑÁÒ) – îäèí èç îñíîâíûõ ðàñ÷åòíûõ ïàðàìåò-
ðîâ, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îáîñíîâàíèÿ êîíöåïöèè “òå÷ü ïåðåä ðàçðó-
øåíèåì”. Ïî çàâèñèìîñòè ÑÁÒ âäîëü ëèíèè òðåùèíû îïðåäåëÿåòñÿ ïëîùàäü
åå ðàñêðûòèÿ À, îò âåëè÷èíû êîòîðîé çàâèñèò ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ òåïëî-
íîñèòåëÿ ÷åðåç íåå. Ñìåùåíèå áåðåãîâ ñêâîçíîé òðåùèíû ðàññ÷èòûâàåòñÿ â
ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî èëè àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ìåõàíèêè ðàçðó-
øåíèÿ.
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì ïàðàìåòðîì ìåõàíèêè ðàçðóøåíèÿ, õàðàê-
òåðèçóþùèì ñîñòîÿíèå óïðóãîãî òåëà ñ òðåùèíîé, ÿâëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò
èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé (ÊÈÍ). Êàê èçâåñòíî, åãî âåëè÷èíà îïèñûâàåò
ïîëÿ ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â îêðåñòíîñòè âåðøèíû òðåùèíû. Îïðå-
äåëåíèå çíà÷åíèé ÊÈÍ î÷åíü ÷àñòî ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé öåëüþ ðàñ÷åòîâ. Ìåòî-
äû îïðåäåëåíèÿ ÊÈÍ øèðîêî ïðåäñòàâëåíû â íàó÷íîé ñïðàâî÷íîé ëèòåðà-
òóðå. Îäèí èç èçâåñòíûõ ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ – ìåòîä âåñîâûõ ôóíêöèé,
ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äëÿ ÊÈÍ îò åäèíè÷íîé
ñèëû, ïðèëîæåííîé â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå íà ïîâåðõíîñòè òðåùèíû [1]. Çàìå-
òèì, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîé âåñîâîé ôóíêöèè ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ
òàêîé ïðèåì, êàê âñïîìîãàòåëüíîå ïîñòðîåíèå ôóíêöèè ÑÁÒ ïî äëèíå òðå-
ùèíû [2].  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [3, 4] ïðè ïîëó÷åíèè ïðèáëèæåííîãî
ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äëÿ ÊÈÍ ñòðîèëîñü ïðèáëèæåííîå ôóíäàìåí-
òàëüíîå ðåøåíèå äëÿ ÑÁÒ. Òåì íå ìåíåå ýòîò îïûò è ðåçóëüòàòû íå èñïîëü-
çóþòñÿ ïðè íàõîæäåíèè ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ òðåùèíû (ÏÐÒ).
© È. Â. ÎÐÛÍßÊ, Å. Ñ. ßÊÎÂËÅÂÀ, ß. Ð. ÄÓÁÈÊ, 2012
34 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
Ñðåäè ðàñïðîñòðàíåííûõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ ÏÐÒ îòìåòèì ìåòîäû,
îñíîâàííûå íà óðàâíåíèè äëÿ ñêîðîñòè îñâîáîæäåíèÿ ýíåðãèè [5]. Äëÿ ïëàñ-
òèíû åäèíè÷íîé òîëùèíû îíî èìååò âèä
G
K
E l
� �I
2 �
�
�
, (1)
ãäå K I – ÊÈÍ äëÿ òðåùèíû íîðìàëüíîãî îòðûâà; � – óïðóãàÿ ýíåðãèÿ; Å –
ìîäóëü Þíãà; l – ïîëóäëèíà ñêâîçíîé òðåùèíû.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óðàâíåíèå äëÿ óïðóãîé ýíåðãèè � çàïèøåì òàê:
��
�
�1
2
�( ) ( ) ,x v x dx
l
l
(2)
ãäå �( )õ – ïðîèçâîëüíàÿ íàãðóçêà, ïðèëîæåííàÿ ê áåðåãàì òðåùèíû; v x( ) –
ñìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû.
 [6] áûëè ïîëó÷åíû ðåøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå ñêîðîñòü îñâîáîæäåíèÿ
ýíåðãèè G äëÿ äëèííîé îêðóæíîé òðåùèíû â öèëèíäðå ïðè äåéñòâèè îñå-
âîãî ðàñòÿæåíèÿ, à çàòåì è ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè ðàñòÿæåíèÿ è èçãèáà [7].
Ïîëó÷åííûå òðàíñöåíäåíòíûå âûðàæåíèÿ èñïîëüçîâàëèñü ìíîãèìè èññëåäî-
âàòåëÿìè ïðè îïðåäåëåíèè ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ òðåùèíû. Óêàçàííûå âûøå
ìåòîäû îñíîâûâàþòñÿ íà ïðèìåíåíèè óðàâíåíèé (1) è (2). Íàèáîëåå ïðîñòî
ïëîùàäü îïðåäåëÿåòñÿ ïðè äåéñòâèè ïîñòîÿííîé íàãðóçêè íà áåðåãà òðåùèíû
(��const) ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåøåíèÿ äëÿ ÊÈÍ:
K l F GI I�� � ( ),
�
(3)
ãäå F GI ( )
�
– áåçðàçìåðíûé ÊÈÍ, ïðè l 0 (ïëàñòèíà Ãðèôôèòñà) çíà÷åíèå
FI 1.
Èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå (1) ñ ó÷åòîì (3) è ñîïîñòàâëÿÿ åãî ñ (2), ïîëó÷àåì
âûðàæåíèå äëÿ ÏÐÒ:
A v x dx
E
x F x dx
l
l
l
l
� �
� �
� �( ) ( ( )) .
2 2��
I (4)
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ïëàñòèíû Ãðèôôèòñà èìååì FI �1, è âûðàæåíèå (4)
çàïèøåì â âèäå
A l
E
a0
2
02� ��
�
� , (5)
ãäå äëÿ óäîáñòâà ââåäåíî îáîçíà÷åíèå à0 .
 ðàáîòå [8] íà îñíîâå ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ â [6, 7], ïðåäëîæåíû
ïîëèíîìèàëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ äëÿ îêðóæíîé òðåùèíû
â öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êå ñðåäèííîãî ðàäèóñà Rm è òîëùèíû ñòåíêè t ïðè
îòíîøåíèè R tm �10.  ñëó÷àå äåéñòâèÿ ðàñòÿãèâàþùèõ íàïðÿæåíèé ñîãëàñ-
íî [8] âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÏÐÒ èìååò âèä
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 35
A At t� 0
� �( ), (6)
ãäå
t – áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà ïëîùàäè,
�
�
�
�
�
�t � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 8 6 13 3 24
1 5 2,
, , �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 2
22 5 75 205 7 247 5, , , �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 4
242
�
�
; (7)
� – óãëîâàÿ ïîëóäëèíà (â ðàäèàíàõ) òðåùèíû, îòñ÷èòûâàåìàÿ îò åå öåíòðà.
 [9] áûëè ïðåäëîæåíû àïïðîêñèìàöèîííûå ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ
áåçðàçìåðíîé ïëîùàäè
�t ( ) â ñëó÷àå ïðîäîëüíîé è îêðóæíîé òðåùèí â
öèëèíäðå â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà êðèâèçíû � �� �[ ( )] ( )/ /12 1 2 1 4 1 2l Rh , �
– êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà. Òàê, äëÿ ïðîäîëüíîé òðåùèíû èìååì
� � �t ( ) , , ,� � �1 0 1 0 16 2
(8)
äëÿ îêðóæíîé –
� �t ( ) ( , ) ./� �1 0 117 2 1 2
(9)
 ðàáîòàõ [10–12] áûëè ïðåäëîæåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû àïïðîêñèìàöèè
âûðàæåíèé äëÿ áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ äëÿ îêðóæíûõ òðåùèí, íà îñíîâå êîòîðûõ
ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÏÐÒ â áîëåå øèðîêîì äèàïàçîíå çíà-
÷åíèé îòíîøåíèÿ R tm . Íàïðèìåð, â [10] ïðèâåäåíû âûðàæåíèÿ äëÿ áåçðàç-
ìåðíûõ ÊÈÍ Ft è Fb , êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü ÏÐÒ â äèàïàçîíå
0 0 55� �� � , è 5 20� �R tm (èíäåêñû t è b îòíîñÿòñÿ ê ðàâíîìåðíîìó
ðàñòÿæåíèþ è èçãèáó öèëèíäðà ñîîòâåòñòâåííî). Ýòè âûðàæåíèÿ â äàëüíåé-
øåì èñïîëüçîâàëèñü äëÿ îïðåäåëåíèÿ áåçðàçìåðíûõ ÏÐÒ. Ðàñøèðåííûé îáçîð
ïîëó÷åííûõ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðåøåíèé äàí â ðàáîòå [12].
Îñíîâíûì íåäîñòàòêîì ýòèõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè îáîñíîâàíû
äëÿ ñëó÷àÿ îäíîðîäíîé íàãðóçêè, äëÿ äðóãèõ âèäîâ íàãðóçîê ïðåäëàãàþòñÿ
ýìïèðè÷åñêèå ôîðìóëû. Íàïðèìåð, ïðè äåéñòâèè ãëîáàëüíîãî èçãèáàþùåãî
ìîìåíòà M b (íàãðóæåíèå öèëèíäðà àíàëîãè÷íî áàëêå) â ðàáîòå [8] äëÿ
îïðåäåëåíèÿ áåçðàçìåðíîé ÏÐÒ ïðåäëàãàåòñÿ ôîðìóëà
�
b t�
�
�
�
�
�
�3
4
cos
, (10)
ãäå
t îïðåäåëÿåòñÿ ïî âûðàæåíèþ (7), à â ôîðìóëå (5) èñïîëüçóåòñÿ
ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèé � b ïðè èçãèáå öèëèíäðà êàê áàëêè,
çíà÷åíèå óãëà � îòñ÷èòûâàåòñÿ îò òî÷êè äåéñòâèÿ ìàêñèìàëüíûõ íàïðÿæå-
íèé. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (10) ïîëó÷åíà ëîãè÷åñêèì ïóòåì íà îñíîâå
óñòàíîâëåíèÿ äâóõ ãðàíèö (ïðè 1 è cos �) äëÿ ðàâíîäåéñòâóþùèõ îäíîðîäíûõ
íàïðÿæåíèé.
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
36 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
Åùå áîëåå óïðîùåííûé ïîäõîä äëÿ íàõîæäåíèÿ ÏÐÒ ïðåäëîæåí â ìîäå-
ëè Áàðòîëîìå–Êàñòíåðà [9], ãäå ðàññìàòðèâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûå íàïðÿæåíèÿ
� å êàê ñóììà âñåõ äåéñòâóþùèõ íàïðÿæåíèé. Òîãäà ðåçóëüòèðóþùàÿ ïëî-
ùàäü ÀBK íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
À l
EBK
e� 7 54 2, ,
�
(11)
ãäå ÷èñëî 7,54 ïîëó÷åíî íà îñíîâå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ïîëÿ ïåðå-
ìåùåíèé â îêðåñòíîñòè òðåùèíû â ïîëóáåñêîíå÷íîì òåëå.
Áîëåå ëîãè÷íîé ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü Áõàíäàðè [11], ãäå ñèñòåìà äåéñòâó-
þùèõ íàïðÿæåíèé òàêæå çàìåíÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîé îäíîðîäíîé íàãðóçêîé,
âåëè÷èíà êîòîðîé óñòàíàâëèâàåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà ÊÈÍ äëÿ äâóõ ñèñ-
òåì íàãðóæåíèÿ – ðåàëüíîé è ýêâèâàëåíòíîé. Òàê, äëÿ èçãèáíûõ íàïðÿæåíèé
ýêâèâàëåíòíàÿ íàãðóçêà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
� �e b t bF F� ( ) . (12)
Äëÿ çíà÷åíèé R tm �10 ïðè ñðàâíåíèè äàííûõ [11] ñ ðåçóëüòàòàìè,
ïîëó÷åííûìè â [8], ñîãëàñíî ïðåäëàãàåìîìó ïîäõîäó ðàñõîæäåíèå â çíà÷å-
íèÿõ ñîñòàâëÿåò 3%. Äëÿ R tm �10 ïîäîáíî ìåòîäó Òàäà–Ïàðèñà â [11]
ïðèâîäèòñÿ âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ áåçðàçìåðíûõ
t è
b â âèäå
ïîëèíîìà ïî ñòåïåíÿì (� �).
Îäíàêî ñóùåñòâóåò è äðóãàÿ ìàëîèññëåäîâàííàÿ ïðîáëåìà àíàëèçà ÑÁÒ.
Èçâåñòíî, ÷òî åñëè õàðàêòåð äåôîðìèðîâàíèÿ îáîëî÷êè îòëè÷àåòñÿ îò áàëî÷-
íîãî, òî ñìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû íå îäèíàêîâû ïî òîëùèíå åå ñòåíêè.
Äîïîëíèòåëüíî ê îäíîðîäíûì ÑÁÒ â îáîëî÷êàõ âîçíèêàþò ëèíåéíî èçìå-
íÿþùèåñÿ ïî òîëùèíå ñòåíêè ïåðåìåùåíèÿ è íàïðÿæåíèÿ (êàê â òåîðèè
ïëàñòèí).
Ïðîáëåìå ó÷åòà îáîëî÷å÷íîãî õàðàêòåðà äåôîðìèðîâàíèÿ (îäíîâðåìåííî
áàëêà è ïëàñòèíà) ïðè îïðåäåëåíèè ÊÈÍ è ïîëÿ ïåðåìåùåíèé íå óäåëÿëîñü
äîëæíîãî âíèìàíèÿ, ïîñêîëüêó â îñíîâíîì ðàññìàòðèâàëèñü ïîïåðå÷íûå òðå-
ùèíû â ïðÿìûõ òðóáàõ (â ñâàðíûõ øâàõ).  ýòîì ñëó÷àå îáû÷íî òðóáà âåäåò
ñåáÿ êàê áàëêà, ãäå íåò ãðàäèåíòà íàïðÿæåíèé ïî òîëùèíå ñòåíêè. Îäíàêî â
ïîñëåäíåå âðåìÿ ïðè ïðèìåíåíèè êîíöåïöèè “òå÷ü ïåðåä ðàçðóøåíèåì” ïðåä-
ïîëàãàåòñÿ àíàëèç ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ òðåùèí â ãèáàõ òðóá [13].
Íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ïîñëåäíèõ èìååò ÿðêî âûðàæåííûé îáîëî÷å÷íûé
õàðàêòåð äåôîðìèðîâàíèÿ äàæå ïðè íàãðóæåíèè ãëîáàëüíûìè ìîìåíòàìè íà
áåñêîíå÷íîñòè [14]. Áîëåå òîãî, ýòî õàðàêòåðíî è äëÿ ïðÿìûõ òðóá â çîíàõ
ñîïðÿæåíèÿ èõ ñ äðóãèìè êîíñòðóêòèâíûìè ýëåìåíòàìè òðóáîïðîâîäíîé
ñèñòåìû [15]. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîáëåìà îáîëî÷å÷íûõ ïåðåìåùåíèé òðåáóåò
ðåøåíèÿ äëÿ ïðàâèëüíîãî ïðèìåíåíèÿ êîíöåïöèè “òå÷ü ïåðåä ðàçðóøåíèåì”.
Äëÿ ïîíèìàíèÿ ïîñëåäóþùåãî àíàëèçà è ïðèìåíÿåìûõ îáîçíà÷åíèé
áóäåì ðàçëè÷àòü ñëåäóþùèå âèäû íàãðóæåíèÿ è ïåðåìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùè-
íû. Ëþáóþ ñèñòåìó âíåøíèõ íàãðóçîê ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè
ìîæíî ñâåñòè ê ìåìáðàííûì (êàê â ïëîñêîì òåëå) è èçãèáíûì (êàê â òåîðèè
ïëàñòèí) ëèíåéíî èçìåíÿþùèìñÿ ïî òîëùèíå ñòåíêè îáîëî÷êè íàïðÿæåíèÿì.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 37
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
Îáà ñåìåéñòâà íàïðÿæåíèé ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïåðåìåííûå âäîëü ëèíèè
òðåùèíû, ò.å. êîîðäèíàòû � (ðèñ. 1). Àíàëîãè÷íî ðàñõîæäåíèÿ áåðåãîâ òðå-
ùèíû áóäåì ðàçäåëÿòü íà îäíîðîäíûå, íå çàâèñÿùèå îò êîîðäèíàòû ïî
òîëùèíå ñòåíêè, è ëèíåéíî çàâèñÿùèå îò íåå.  ñâîþ î÷åðåäü, ýòè ïåðå-
ìåùåíèÿ çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû õ ïî äëèíå òðåùèíû (ðèñ. 1).
 äàííîé ðàáîòå íà îñíîâàíèè ïðèìåíåíèÿ êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà
âåñîâûõ ôóíêöèé [3, 4] ïðåäëàãàåòñÿ ïðîñòàÿ ïðîöåäóðà ïîëó÷åíèÿ ïðèáëè-
æåííîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äëÿ îäíîðîäíûõ è ëèíåéíûõ ÑÁÒ è
óäîáíûõ ôîðìóë äëÿ íàõîæäåíèÿ ÏÐÒ â ïîëèíîìèàëüíîì ïîëå êàê ìåìáðàí-
íûõ, òàê è ëèíåéíûõ íàïðÿæåíèé.
Ñôîðìóëèðóåì çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ:
ïîëó÷èòü ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äëÿ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé áåðåãîâ òðå-
ùèíû â áåñêîíå÷íîé òîíêîé ïëàñòèíå, ê êîòîðûì ïðèëîæåí ñîñðåäîòî÷åííûé
ìîìåíò;
ïðåäëîæèòü îáùåå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ôóíäà-
ìåíòàëüíîãî ïîëÿ ïåðåìåùåíèé ïðè äåéñòâèè ñîñðåäîòî÷åííûõ ñèëû è ìî-
ìåíòà, ïðèëîæåííûõ ê áåðåãàì òðåùèíû â öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êå, â âèäå
ñóììû îäíîðîäíîé è ëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùèõ, ñîäåðæàùèõ íàáîð íåèçâåñò-
íûõ êîýôôèöèåíòîâ;
íà îñíîâå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé [3, 4] ïîëó÷èòü
ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óêàçàííûìè íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè è çíà÷åíèÿ-
ìè áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ;
êîíêðåòèçèðîâàòü ðåçóëüòàòû íà ñëó÷àé ïîëèíîìèàëüíîãî ïîëÿ íàïðÿ-
æåíèé è ïîëó÷èòü óäîáíûå ôîðìóëû äëÿ ÏÐÒ;
ïðîâåñòè ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ âåëè÷èí ÏÐÒ â öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷-
êå ñ ðåçóëüòàòàìè, ïðåäñòàâëåííûìè â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ;
îöåíèòü âêëàä ëèíåéíî èçìåíÿþùèõñÿ ïåðåìåùåíèé ðàñêðûòèÿ òðåùèíû
ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíîðîäíûìè ïåðåìåùåíèÿìè â öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êå.
1. Ïðèáëèæåííûå ôóíäàìåíòàëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ ïåðåìåùå-
íèÿ ïðè äåéñòâèè íà áåðåãà òðåùèíû ñîñðåäîòî÷åííûõ ñèëû è ìîìåíòà.
1.1. Êîìáèíèðîâàííûé ìåòîä âåñîâûõ ôóíêöèé [4]. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâ-
ëåíà áåñêîíå÷íàÿ ïëîñêîñòü ñ òðåùèíîé äëèíîé 2l, ñ êîòîðîé ñâÿçàíà ïðÿìî-
óãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, ãäå îñü õ íàïðàâëåíà âäîëü òðåùèíû, à öåíòð
êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â öåíòðå òðåùèíû. Ê áåðåãàì òðåùèíû íà ðàññòîÿíèè �
îò öåíòðà ïðèëîæåíû íîðìàëüíûå ñîñðåäîòî÷åííûå ñèëû Ð , ðàâíûå ïî
âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûå ïî íàïðàâëåíèþ. Âåñîâûå ôóíêöèè äëÿ ÊÈÍ
[4] áûëè ïîëó÷åíû êàê ÷àñòü ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è òåîðèè
óïðóãîñòè äëÿ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé áåðåãîâ òðåùèíû.
38 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
Ðèñ. 1. Ñõåìà ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè (ñèëû è ìîìåíòà) ê áåðåãàì òðåùèíû.
 ðàáîòå [16] äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïðèâåäåíî âûðàæåíèå äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ÑÁÒ:
V l x
P
E
l x l x l
l x l x
A P, ( , , ) ln
( )( )
(
�
�
� �
�
�
� � � �
� � �
2
2 2 2 2 2
2 2 2 )( )
,
l 2 2��
(13)
ãäå À îáîçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå àñèìïòîòè÷åñêîå (ôóíäàìåíòàëüíîå); Ð õà-
ðàêòåðèçóåò äåéñòâóþùóþ íàãðóçêó; ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò âçàèìíîå ñìå-
ùåíèå ïðîòèâîïîëîæíûõ áåðåãîâ.
Ïðè ïðîèçâîëüíîì çàêîíå èçìåíåíèÿ íàãðóçêè � �( ) èñêîìûå ïåðåìåùå-
íèÿ ïîëó÷èì ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ âûðàæåíèÿ
v x V l x dA P
l
l
( ) ( ) ( , , ) .,�
�
� � � � � (14)
Äëÿ òåëà ïðîèçâîëüíîé ãåîìåòðèè ïðåäëîæåí êîìáèíèðîâàííûé ìåòîä
âåñîâûõ ôóíêöèé, îñíîâàííûé íà ïîèñêå ïðèáëèæåííîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî
âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî ïîëå ïåðåìåùåíèé â âèäå ñóììû àñèìïòîòè÷åñêîé
è ïîïðàâî÷íîé ñîñòàâëÿþùèõ:
V l x V l x V l xA P C P( , , ) ( , , ) ( , , ),, ,� � �� � (15a)
ãäå V l xA P, ( , , )� îïðåäåëÿåòñÿ ïî (13); èíäåêñ Ñ îáîçíà÷àåò ïîïðàâî÷íóþ
ñîñòàâëÿþùóþ, ÿâëÿþùóþñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè
ïðèëîæåíèÿ íàãðóçêè ê âåðøèíå òðåùèíû:
V l x
P
E
C
l x l
l
C P, ( , , )
( )( )
�
�
�
�
� �2
2 2 2 2
2
(15á)
(Ñ – êîíñòàíòà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé íåèçâåñòíîé).
Âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ÊÈÍ, ïðèíÿòûì â ðàáîòå [17]:
K
v x E
rx l
I �
lim
( )
,
�
4 2
(16)
ãäå r – ðàññòîÿíèå äî âåðøèíû òðåùèíû, r l x� � .
Ïîäñòàâëÿÿ (15) â (16), ïîëó÷àåì ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äëÿ ÊÈÍ
(âåñîâóþ ôóíêöèþ):
h G
l
l l
C G l l( , ) ( ( )( ) ),�
�
� �
�
� �
�
�
�
� �1 (17)
ãäå
�
G – íàáîð êîíñòàíò, õàðàêòåðèçóþùèõ ãåîìåòðèþ òåëà.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 39
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
Çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè ïî îïðåäåëåíèþ ÊÈÍ ñâîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ
âåñîâîé ôóíêöèè ê ïðîñòîìó èíòåãðèðîâàíèþ ïî äëèíå òðåùèíû:
K h G d
l
l
I �
�
� ( , ) ( ) .� � � �
�
(18)
Ñîãëàñíî ìåòîäó âåñîâûõ ôóíêöèé, êîíñòàíòà Ñ íàõîäèòñÿ ïóòåì ñðàâ-
íåíèÿ ïðèâåäåííîãî â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ ðåøåíèÿ äëÿ ÊÈÍ ïðè
çàäàííîì íàãðóæåíèè (îáû÷íî îäíîðîäíîì, ��const) ñî çíà÷åíèåì, êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ ïî (16). Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðóÿ (18) ïðè ��const è ñîïîñ-
òàâëÿÿ ñ (3), ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíòû Ñ :
C l G F l G( , ) ( ( , ) ).
� �
� �4 1I (19)
 íàñòîÿùåé ðàáîòå â âûðàæåíèè ïåðåìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû
V l x( , , )� íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû â ïîïðàâî÷íûõ ÷ëåíàõ áóäóò îïðåäå-
ëÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ âûøåîïèñàííîãî ìåòîäà.
1.2. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äëÿ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé ïðè äåéñòâèè
ñîñðåäîòî÷åííîãî ìîìåíòà, ïðèëîæåííîãî ê áåðåãàì òðåùèíû â ïëàñòèíå.
Ê ñîæàëåíèþ, â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ íå óäàëîñü íàéòè êîìïàêòíîå
âûðàæåíèå äëÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîëÿ ïåðåìåùåíèé áåðåãîâ òðåùèíû. ×àñ-
òè÷íî ýòà ïðîáëåìà áûëà ðåøåíà â ðàáîòå [18], â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ
îáîçíà÷åíèÿ è ïîñòàíîâêà çàäà÷è èç [19]. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ðåçóëüòàòîâ
íàéäåì èñêîìîå âûðàæåíèå äëÿ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé.
Ïðÿìîóãîëüíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñâÿæåì ñ ïëàñòèíîé òîë-
ùèíîé h, â êîòîðîé èìååòñÿ òðåùèíà äëèíîé 2l, òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
ñðåäèííàÿ ïëîñêîñòü ñîâïàäàëà ñ ïëîñêîñòüþ xOy , à îñè Ox è Oy íàïðàâ-
ëåíû òàê, ÷òîáû ñèñòåìà áûëà ïðàâîé. Öåíòð òðåùèíû ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé Î –
íà÷àëîì êîîðäèíàò, îñü õ íàïðàâëåíà âäîëü òðåùèíû. Ê áåðåãàì ïîñëåäíåé
íà ðàññòîÿíèè � îò öåíòðà ïðèëîæåíû ñîñðåäîòî÷åííûå ìîìåíòû Ì , ðàâíûå
ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûå ïî íàïðàâëåíèþ. Ïîëîæèòåëüíûì ñ÷èòàåì
ìîìåíò, ïðè êîòîðîì ñëîè, ðàñïîëîæåííûå íàä ñðåäèííîé ïëîñêîñòüþ, íàõî-
äÿòñÿ â ñîñòîÿíèè ñæàòèÿ, à ïîä íåé – â ñîñòîÿíèè ðàñòÿæåíèÿ. Ïðèâåäåííóþ
íà ðèñ. 1 ñõåìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ñðåäèííóþ ïëîñêîñòü ïëàñòèíû.
Îáîçíà÷èì u x y( , ), v x y( , ) – êîìïîíåíòû âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ òî÷åê ïëàñòè-
íû ïî îñÿì Îõ, Îó ñîîòâåòñòâåííî.  ðàáîòå [19] â ðàìêàõ òåõíè÷åñêîé
òåîðèè èçãèáà ïðèâåäåíî âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ïåðåìåùå-
íèÿ ïî äâóì àíàëèòè÷åñêèì ôóíêöèÿì �( )z è ( )z êîìïëåêñíîãî ïåðåìåí-
íîãî z x iy� � :
u iv z z z z� �� � ! �" � � ( ( ) ( ) ( )), (20)
ãäå � � �h h2 2" – êîîðäèíàòà ïî òîëùèíå ïëàñòèíû.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (20) ïî z è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: #( )z �
� !� ( );z $( ) ( );z z� ! # # $ %( ) ( ) ( ) ( ).z z z z z� ! � � Òîãäà âûðàæåíèå (20)
ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
40 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
( ) ( ( ) ( )).!� �� �& &u iv z z" # %�
(21)
Ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé â [18] ïîñòàíîâêå çàäà÷è èìååì
'
�
# %& � �
�
( ) ( )
( )
,z z
M
D
�
1
(22)
ãäå
'
�
�
��
�
�
3
1
; D
Eh
�
�
3
212 1( )�
.
Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ (22), ïîëó÷àåì äâå çàäà÷è ëèíåéíîãî
ñîïðÿæåíèÿ [20]. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâîé èìååì ñîîòíîøåíèå
'# %( ) ( ),z z� (23)
èç äðóãîé – âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè
#( )
( ) ( )
.z
iM
D l z
l
z
�
� �
�
�2 1 2 2
2 2
�' �
�
�
(24)
Ñêëàäûâàåì è âû÷èòàåì ðàâåíñòâî (21). Ñðàâíèâàÿ äåéñòâèòåëüíûå è
ìíèìûå ÷àñòè âûðàæåíèÿ (23) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî � �� �# #( ) ( )z z è çíà÷å-
íèÿ ðàñõîæäåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû îäèíàêîâûå ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæ-
íûå ïî çíàêó ( ),! �� !�v v� ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
iv z!�� �" '( ) ( ).1 # (25)
Çäåñü v – ïîëîâèííîå ðàñõîæäåíèå áåðåãîâ òðåùèí.
Èíòåãðèðóÿ âûðàæåíèå (25) è óìíîæàÿ ðåçóëüòàò íà 2, ïîëó÷àåì èñêîìîå
âûðàæåíèå äëÿ ïîëíûõ ïåðåìåùåíèé V A M, :
V
h
M
Eh
l x l x l
l
A M, ( )
( )
ln
( )( )
�
�
�
� � � �
�
"
�
�
�
� �
2
12 1
32
2 2 2 2 2
2 x l x l� �� � �( )( )
.
2 2 2 2
(26)
Ïî àíàëîãèè ñ âûðàæåíèåì (13) èñïîëüçóåì âåðõíèå èíäåêñû äëÿ îáîçíà-
÷åíèÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ â áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíå ïðè äåéñòâèè
ñîñðåäîòî÷åííîãî ìîìåíòà.
1.3. Ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå ïîëÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé
â îáîëî÷êå ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè ñèëû è ìîìåíòà. Âûøå îòìå÷àëîñü,
÷òî îáùèå ôóíäàìåíòàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû V l x G( , , , )�
�
ïðåäëàãàåòñÿ çàïèñûâàòü â âèäå ñóììû îäíîðîäíîé è ëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùèõ.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 41
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
Êàæäàÿ èç ñîñòàâëÿþùèõ, ñîãëàñíî ìåòîäó, îïèñàííîìó â ï. 1.1, ïðåäñòàâ-
ëÿåòñÿ â âèäå ñóììû àñèìïòîòè÷åñêèõ è ïîïðàâî÷íûõ ñëàãàåìûõ:
V V V V V V V V Vh l h
A P
h
C P
h
C M
l
A M
l
C M
l
C P� � � � � � � �{ } { }.
, , , , , ,
(27)
Äëÿ ðàçëè÷èÿ âèäà ïåðåìåùåíèé ââîäèì äîïîëíèòåëüíî íèæíèå èíäåêñû: h,
l – ñîîòâåòñòâåííî îäíîðîäíûå è ëèíåéíûå ïåðåìåùåíèÿ ïî òîëùèíå ñòåíêè
îáîëî÷êè. Âåðõíèå èíäåêñû èìåþò òî æå îáîçíà÷åíèå, ÷òî è â ôîðìóëàõ (15)
è (26).
Àñèìïòîòè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå ïåðåìåùåíèé Vh
A P,
, Vl
A M,
îïðåäåëÿ-
þòñÿ ïî ôîðìóëàì (13) è (26). Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ÿâëÿþòñÿ ïîïðàâî÷íûìè
ñîñòàâëÿþùèìè îäíîðîäíûõ è ëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé îò ïðèëîæåííûõ ñèëû
è ìîìåíòà è ïðèíèìàþòñÿ â âèäå, àíàëîãè÷íîì ôîðìóëàì (15), èñõîäÿ èç
ïîäîáíîé àðãóìåíòàöèè:
V
P
E
l x l x l
l x l x l
h �
� � � �
� � � �
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2�
� �
� �
ln
( )( )
( )( )�
�
� �
� � �
�
�
��C
l x l
l
h
P
( )( )2 2 2 2
2
�
�
� �12
2
2 2 2 2
2
M
Eh
C
l x l
l
h
M
�
�( )( )
; (28)
V
h
M
Eh
l x l x l
l x
l �
�
�
� � � �
�
"
�
�
�
� �
�2
12 1
32
2 2 2 2 2
2
( )
( )
ln
( )( )
� � �
�
�
� �
( )( )l x l2 2 2 2�
�
� � �
�
�
��
�
�
�
C
l x l
l h
P
E
C
l x
l
M
l
P
( )( ) ( )
( )
(2 2 2 2
2
2
2
2 1
3
� "
�
�
�
2 2 2
2
)( )
,
l
l
��
(29)
ãäå C h
P , C h
M , C l
P , C l
M – íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå ïîäëåæàò
îïðåäåëåíèþ. Ðàñïîëàãàÿ âûðàæåíèÿìè äëÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé,
ïî ôîðìóëå (14) ìîæíî íàéòè ïåðåìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû ïðè ïðîèçâîëü-
íîé íàãðóçêå.
1.4. Ïåðåìåùåíèÿ áåðåãîâ òðåùèíû è ïëîùàäè åå ðàñêðûòèÿ ïðè
ïðîèçâîëüíîì çàêîíå íàãðóæåíèÿ. Ïîñêîëüêó îäíîðîäíàÿ è ëèíåéíàÿ ñîñòàâ-
ëÿþùèå ôóíäàìåíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé èìåþò îäèíàêîâóþ ñòðóêòóðó, ïðî-
öåäóðó îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåùåíèé áåðåãîâ òðåùèíû ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå
îäíîðîäíîé ñîñòàâëÿþùåé. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (14) ïåðåìåùåíèÿ áåðåãîâ
òðåùèíû ïðè äåéñòâèè ïðîèçâîëüíîé íàãðóçêè � �( ) èìåþò âèä
v x V l x dh
l
l
( ) ( ) ( , , ) .�
�
� � � � � (30)
42 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïðè ýòîì â (30)
ïðèìåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: � � � �( ) ( ),d dL� ãäå � �( ) – ïîëèíîì ñòåïåíè
n. Òîãäà ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì áóäåò èìåòü âèä
v x V dL V L L dVh h
l
l
l
l
h
l
l
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).� � �
�
�
�
� �� � � � � � (31)
Èç (28) ïîëó÷èì
dV
l x
l x l
C dh h
P( ) .�
� �
�
��
�
� �
�
�
��
�
�
��
(
)
*
*
+
,
-
-
2 2
2 2 2
1
(32)
Ïîñêîëüêó V l V lh h( ) ( ) ,� � �0 ïåðâîå ñëàãàåìîå â (31) ðàâíî íóëþ. Ðàññìîò-
ðèì íåêîòîðûå ïîëèíîìèàëüíûå çàêîíû íàãðóæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òîáû ðàçëè-
÷àòü ìåìáðàííûå è ëèíåéíûå íàïðÿæåíèÿ, îáîçíà÷èì èõ èíòåíñèâíîñòè
� P P h� è � M M h�6 2 ñîîòâåòñòâåííî:
ïðè � �� ( ) ,l 0 L( )� �� èíòåãðàë (31) ðàâåí
v x l x
E
C
E
C
h
P
h
P M
h
M
( ) ,� � �
�
�
�
�
�
�
��
(
)
*
*
+
,
-
-
4 1
2 2
2 2 � �
(33)
ïðè � �� l, L l( ) ( )� �� 2 2 –
v x
E
x
l
l xh
P
( ) ,� �2 2 2�
(34)
ïðè � �� ( ) ,l 2 L l( ) ( )� �� 3 23 –
v x l x
E
x
l
C
E
C
h
P
h
P M
h
M
( )� � � �
�
�
�
�
�
�
��
(
)
*
*
+
,
2 2
2
2
2
3
4
3 2 2
� �
-
-
. (35)
Äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ íàãðóæåíèÿ: � �� ( ) ,l n V n ln n( ) (( ) )� �� ��1 1 èíòå-
ãðàë (31), åñëè n íå÷åòíîå, ðàâåí
v x
l x
n E
x
l
s k
s kh
P k
s k
( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
4
1
1
2 2
2 2 1�
�
��
�
� �
.
k
s n
0
1
, (36)
åñëè n ÷åòíîå –
v x
l x
n E
x
l
n k
n kh
P k
n k
( )
( ) ( )
�
�
�
(
)
*
�
�
�
�
�
�
�
�
���
4
1
1
2 2
2 2 � �
�
���
�
�
�
�
.
k
n
0
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 43
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
+n
n
C
E
n
n
Ch
P
M
h
M
2
2 2
2
2 2( ) ( )
�
,
-, (37)
ãäå s, k – ÷åòíûå;
k
n
k
n k n
�
��
�
�
��� �
!
!( )!
– ÷èñëî ñî÷åòàíèé.
Ðàñïîëàãàÿ âûðàæåíèÿìè ñìåùåíèé áåðåãîâ òðåùèíû, îïðåäåëÿåì ïëî-
ùàäü åå ðàñêðûòèÿ:
A v x dx
l
l
�
�
� ( ) . (38)
Ïîäñòàâëÿÿ (33)–(35) äëÿ îäíîðîäíîé è ëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùèõ ïåðå-
ìåùåíèé áåðåãîâ òðåùèíû â (38), ïîëó÷àåì ôîðìóëû äëÿ ÏÐÒ ïðè äåéñòâèè
ïîëèíîìèàëüíîãî íàãðóæåíèÿ:
� �� ( ) :l 0
A a C C ah
P
h
P M
h
M P
h
P
M
P h
M( )
( ( , ) , )
0
0 01 0 5 0 5 1� � � � � �
� � �
�
�
/ /
�
�
�
�
�
�
�; (39)
A a C C al
M
l
M P
l
P M
l
M
P
M l
P( )
( ( , ) , )
0
1 11 0 5 0 5 1� � � � � �
� � �
�
�
/ /
�
�
�
�
�
�
�, (40)
ãäå äëÿ óäîáñòâà ââåäåíû îáîçíà÷åíèå a a
h1 02
1
3
�
�
�
( )
( )
,
�
�
"
à òàêæå ïîíÿòèå
äîáàâî÷íûõ áåçðàçìåðíûõ ïëîùàäåé, ó÷èòûâàþùèõ âëèÿíèå êðèâèçíû îáî-
ëî÷êè îò îäíîðîäíûõ / h
P , / h
M è ëèíåéíûõ / l
P , / l
M ïåðåìåùåíèé. Âåðõíèå
èíäåêñû îáîçíà÷àþò ïðèëàãàåìóþ íàãðóçêó.
Òàêèì îáðàçîì, îáùàÿ ïëîùàäü ðàñêðûòèÿ òðåùèíû ñîñòîèò èç ÏÐÒ äëÿ
ïëîñêîãî òåëà îò îäíîðîäíûõ ïåðåìåùåíèé (èëè äëÿ ïëàñòèíû îò ëèíåéíûõ)
è äîáàâî÷íûõ ÏÐÒ, ó÷èòûâàþùèõ âëèÿíèå êðèâèçíû îáîëî÷êè:
� �� l:
A( ) ;1 0� (41)
� �� ( ) :l 2
A
a
C Ch
P
h
P M
h
M( )
( ( , ) , ),
2 0
4
1 0 5 0 5� � �� � (42)
A
a
C Cl
M
l
M P
l
P( )
( ( , ) , ).
2 1
4
1 0 5 0 5� � �� � (43)
 ñëåäóþùåì ðàçäåëå îïðåäåëèì íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû C h
P , C h
M ,
C l
P , C l
M c èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ïóòåì ñîïîñòàâëåíèÿ
44 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
ðåøåíèé äëÿ ÊÈÍ ïðè çàäàííîé ãåîìåòðèè è îäíîðîäíîãî íàãðóæåíèÿ, îïè-
ñàííîãî â ï. 1.1.
2. Îïðåäåëåíèå íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ C h
P , C h
M , C l
P , C l
M è
àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ.
2.1. Îïðåäåëåíèå íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Äëÿ îäíîðîäíîé ñîñòàâ-
ëÿþùåé ôóíäàìåíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé îïðåäåëèì ÊÈÍ ñîãëàñíî ôîðìóëå
[17]:
K
V x E
r
h
x l
h
I �
lim
( )
,
�
4 2
(44)
äëÿ ëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùåé [21]:
K
V x E
r
l
x l
l
I �
�
�
lim
( )
.
� �
�4 2
3
1
(45)
 ðàáîòàõ [22, 23] äàíî ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ K I
÷åðåç ìåìáðàííûå è èçãèáíûå íàïðÿæåíèÿ íà ïðîäîëæåíèè ëèíèè òðåùèíû â
íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò åå âåðøèíû. Äëÿ ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèé
èìååì
�
�yy
P hK
r
� I
2
, (46a)
äëÿ èçãèáíûõ –
�
"
�yy
M l
h
K
r
�
2 2
I
. (46á)
Âåñîâûå ôóíêöèè äëÿ ÊÈÍ äëÿ îäíîðîäíîé è ëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùèõ ñ
ó÷åòîì (28) è (29) çàïèøåì â âèäå
K
P
l
l
l
C l
l
M
h l
C l
lh
h
P
h
M
I �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
2
6
2
2 2
2
2 2
; (47)
K
h
M
h l
l
l
C l
l h
P
l
C l
l
l
M
l
P
I �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
"
�
�
�
� "
�2
6
2 2 22
2 2 2 2��
l
. (48)
Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû C h
P , C h
M , C l
P , C l
M ïî èçâåñòíûì ðåøåíèÿì
äëÿ ÊÈÍ. Íàèáîëåå óäîáíî ýòî ñäåëàòü â ñëó÷àå äåéñòâèÿ îäíîðîäíûõ íàãðó-
çîê, ò.å. ïðè P P( )� �� è 6 2M h M( )� �� . Ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ âûðàæå-
íèé (47) è (48) ïîëó÷èì ÊÈÍ (íàïðèìåð, íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷-
êè). Äëÿ îäíîðîäíûõ ïåðåìåùåíèé èìååì
K l
C
l
C
h
P h
P
M h
M
I � �
�
�
�
�
�
�
��� � � �1
4 4
, (49)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 45
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
äëÿ ëèíåéíûõ –
K l
C
l
C
l
M l
M
P l
P
I � �
�
�
�
�
�
�
��� � � �1
4 4
. (50)
Îáû÷íî â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ âûðàæåíèå äëÿ ÊÈÍ ïðèâîäèòñÿ â
âèäå
K K K l F l G l F l Gh Ih
P
h
M P
h
P M
h
M
I I� � � �� � � �( , ) ( , )
� �
(51)
è
K K K l F l G l F l Gl l
M
l
P M
l
M P
l
P
I I I� � � �� � � �( , ) ( , ).
� �
(52)
Ïðèðàâíèâàÿ ñëàãàåìûå âûðàæåíèé (49) è (51), (50) è (52), ïîëó÷àåì
ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå èñêîìûå êîýôôèöèåíòû:
C F l Gh
P
h
P� �4 1( ( , ) );
�
(53)
C Fh
M
h
M� 4 ; (54)
C F l Gl
M
l
M� �4 1( ( , ) );
�
(55)
C Fl
P
l
P� 4 . (56)
Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÏÐÒ áåçðàçìåðíûå ÊÈÍ
Fh
P , Fh
M , Fl
P , Fl
M èñïîëüçóåì èç ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêîâ.
2.2. Ïðîâåðêà ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ñðàâíèì ïîëó÷åííûå ôîðìóëû
äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÏÐÒ ñ ïðåäñòàâëåííûìè â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ. Ðàñ-
ñìîòðèì ñëó÷àé äåéñòâèÿ îäíîðîäíûõ ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèé. Ïîëó÷åí-
íóþ ôîðìóëó (39) è ôîðìóëó (6) [8] ïðåäñòàâèì â âèäå
A Ah
( )
( ),
0
0 1� �/ (57)
ãäå / – äîáàâî÷íàÿ áåçðàçìåðíàÿ ÏÐÒ.
Ïðè äåéñòâèè òîëüêî ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèé âåëè÷èíà /, ïîëó÷åííàÿ
ïî ôîðìóëå (39), íàõîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
/ /� �h
P
h
PC 2, (58)
êîýôôèöèåíò C h
P îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (53), ãäå çíà÷åíèÿ áåçðàçìåð-
íîãî ÊÈÍ äëÿ îêðóæíîé òðåùèíû F Ch
P
m� èñïîëüçóåì èç ðàáîòû [24], äëÿ
ïðîäîëüíîé F Ah
P
e� – èç [23] (òàáëèöà).
46 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå çíà÷åíèé äîáàâî÷íûõ áåçðàçìåðíûõ
ïëîùàäåé ðàñêðûòèÿ îêðóæíîé òðåùèíû, ïîëó÷åííûõ ïî ôîðìóëå (58) è ïî
ìåòîäó Òàäà–Ïàðèñà (7) [8] ïðè R tm �9 461, [13].
Íà ðèñ. 3 ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå çíà÷åíèé áåçðàçìåðíûõ ïëîùàäåé ðàñ-
êðûòèÿ îñåâîé òðåùèíû, ïîëó÷åííûõ ïî ôîðìóëàì (58) è (8) [9]. Âèäíî, ÷òî
ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèÿõ, õîðîøî ñîâïàäàþò
ìåæäó ñîáîé.
Ïðè äåéñòâèè ãëîáàëüíîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà M b (èçãèá öèëèíäðà
êàê áàëêè, äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðîãî èñïîëüçóåòñÿ íèæíèé èíäåêñ b) â ðàáîòå
[8] ïðåäëîæåíî ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÏÐÒ â âèäå
A l
Eb
b
b�2 2�
�
, (59)
ãäå
b îïðåäåëÿåòñÿ ïî âûðàæåíèþ (10), è äëÿ ìàëûõ � �( )� 040 ìîæíî
çàïèñàòü
�
�
�
b t t( )
cos
.�
�
1 �
�
�
�
�
�
�
�
3
4
1
8
2
(60)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 47
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
Çíà÷åíèÿ áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ äëÿ ïðîäîëüíîé è îêðóæíîé òðåùèí â öèëèíäðå
ïðè äåéñòâèè ìåìáðàííûõ è ìîìåíòíûõ íàïðÿæåíèé
� Cm
äëÿ îêðóæíîé
òðåùèíû [24]
Ae ae Ab ab
äëÿ ïðîäîëüíîé òðåùèíû [23]
0,2
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
–
1,0439
1,1496
1,2847
1,4290
1,5715
1,0096
1,1993
1,6177
2,1035
2,5999
3,0895
0,006161
0,052830
0,103300
0,141000
0,169100
0,190300
0,99816
0,96946
0,91936
0,87023
0,82440
0,78616
0,00410
0,03359
0,05664
0,06014
0,04700
0,02012
Ðèñ. 2. Ñðàâíåíèå äîáàâî÷íûõ ïëîùàäåé ðàñêðûòèÿ îêðóæíîé òðåùèíû, ïîëó÷åííûõ ïî
ôîðìóëàì (58) – 1 è Òàäà–Ïàðèñà – 2.
Ïîäñòàâëÿÿ (7) è (60) â (59), ïîëó÷àåì
A l
Eb
b
t1 �
�
�
�
�
�
�
�2 1
8
2
2
�
�
�
. (61)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé ïî ñå÷åíèþ öèëèíäðà-
áàëêè äàåòñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
� � � � �b b b� 1 �0 21 2cos ( ), (62)
ãäå � îáîçíà÷àåò òåêóùóþ óãëîâóþ êîîðäèíàòó, îòñ÷èòûâàåìóþ êàê �.
Òîãäà (62) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� �b b x l l R� �0 2 21 0 5( , ( ) ( ) ), (63)
ãäå x R�� , ò.å. íàãðóçêà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ñóììà äâóõ êîìïîíåíò – îäíî-
ðîäíîé è êâàäðàòè÷íîé.
Èç ôîðìóë (40) è (43) ñëåäóåò, ÷òî A Ah h
( ) ( )
, ,
2 0
0 25� îòêóäà ïîëó÷àåì
A A A l R A l Rh h h h� � 2 � �( ) ( ) ( )
, , ( ) ( , ( ) ).
0 0 2 0 20 25 0 5 1 0 125 (64)
Ñðàâíåíèå âûðàæåíèÿ (61) ñ (64) ñâèäåòåëüñòâóåò î ñîâïàäåíèè ðåçóëüòàòîâ,
÷òî ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì àíàëèòè÷åñêèì ïîäòâåðæäåíèåì ýìïèðè÷åñ-
êîé ôîðìóëû Òàäà–Ïàðèñà.
2.3. Àíàëèç âëèÿíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ ðàñêðûòèÿ òðåùèíû íà åå ïëî-
ùàäü. Ïðîàíàëèçèðóåì âëèÿíèå îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé
íà ÏÐÒ â ñëó÷àå äåéñòâèÿ îäíîðîäíûõ ìåìáðàííûõ è èçãèáíûõ íàïðÿæåíèé.
48 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
Ðèñ. 3. Ñðàâíåíèå äîáàâî÷íûõ ïëîùàäåé ðàñêðûòèÿ îñåâîé òðåùèíû, ïîëó÷åííûõ ïî ôîðìó-
ëàì (58) – 1 è Êàñòíåðà – 2.
Ðàññìîòðèì ñîñòàâëÿþùèå ôîðìóë (39) è (40) è îöåíèì èõ âëèÿíèå â çàâè-
ñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �. Äîáàâî÷íàÿ áåçðàçìåðíàÿ ÏÐÒ / îïðåäå-
ëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
äëÿ îäíîðîäíîé ñîñòàâëÿþùåé íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (39)
/ / /h h
P
M
P h
M� �
�
�
, (65a)
äëÿ ëèíåéíîé íà îñíîâàíèè (40)
/ / /l l
M
P
M l
P� �
�
�
, (66a)
îòêóäà èìååì
C h
P
h
P2�/ ; C h
M
h
M2�/ ; (65á)
C l
P
l
P2�/ ; C l
M
l
M2�/ . (66á)
Çíà÷åíèÿ áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèÿõ íàãðóæå-
íèÿ äëÿ îñåâîé è îêðóæíîé òðåùèí èñïîëüçóåì èç ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêîâ.
2.3.1. Îñåâàÿ òðåùèíà. Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ÊÈÍ, ïðèíÿòûõ â íàñòîÿ-
ùåé ðàáîòå, âûðàæåíèÿ áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ Fh
P , Fh
M , Fl
P , Fl
M äëÿ îñåâîé
òðåùèíû â ñëó÷àå äåéñòâèÿ ìåìáðàííûõ è èçãèáíûõ íàïðÿæåíèé ñîãëàñíî
[23] èìåþò âèä
F Ah
P
e� ; (67)
F ah
M
e� �( ) ;1 32� (68)
F Al
M
b� ; (69)
F al
P
b�
�
�
3
1 32
�
�( )
, (70)
ãäå çíà÷åíèÿ Ae , ae , Ab , ab ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå.
Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè äîáàâî÷íûõ ïëîùàäåé ðàñêðûòèÿ
îñåâîé òðåùèíû îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà � äëÿ îäíîðîäíûõ ïåðåìåùåíèé / h
P ,
/ h
M â ïðîöåíòàõ ê ÏÐÒ äëÿ ïëîñêîãî òåëà ïðè äåéñòâèè ìåìáðàííûõ íàïðÿ-
æåíèé è ëèíåéíûõ ïåðåìåùåíèé / l
P , / l
M â ïðîöåíòàõ ê ÏÐÒ äëÿ ïëàñòèíû
ïðè äåéñòâèè èçãèáíûõ íàïðÿæåíèé.
Èç ðèñ. 4,à âèäíî, ÷òî îñíîâíîé ñîñòàâëÿþùåé ÏÐÒ îò îäíîðîäíûõ ïåðå-
ìåùåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå / h
P – äîáàâî÷íàÿ ÏÐÒ ïðè äåéñòâèè ìåìáðàí-
íûõ íàïðÿæåíèé. Ýòà äîáàâêà ïðè ��5 ïðåâûøàåò áåçðàçìåðíóþ ÏÐÒ äëÿ
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 49
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
ïëàñòèíû Ãðèôôèòñà â ÷åòûðå ðàçà. Âêëàä ñëàãàåìîãî / h
M – äîáàâî÷íîé ÏÐÒ
ïðè äåéñòâèè èçãèáàþùåãî ìîìåíòà çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ � �M P è ñ
ðîñòîì çíà÷åíèÿ � óìåíüøàåòñÿ. Òàê, ïðè 1 5� �� è � �M P �1 îí ñîñòàâ-
ëÿåò 10...5% âêëàäà / h
P .
Íà ðèñ. 4,á ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü äîáàâî÷íûõ ÏÐÒ îò ëèíåéíûõ
ïåðåìåùåíèé / l
P è / l
M ïðè äåéñòâèè ìåìáðàííûõ è ìîìåíòíûõ íàïðÿæå-
íèé ñîîòâåòñòâåííî. Äîáàâêà / l
P çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðè-
ëàãàåìûõ íàïðÿæåíèé � �P M è åå âëèÿíèå ñóùåñòâåííî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè
çíà÷åíèè ��3 (äî 72% ïî ñðàâíåíèþ ñ ÏÐÒ äëÿ ïëàñòèíû ïðè � �P M �1).
50 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
a
á
Ðèñ. 4. Äîáàâî÷íûå ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ îñåâîé òðåùèíû äëÿ îäíîðîäíûõ (/h
P – 1, /h
M – 2) – a
è ëèíåéíûõ (/l
P – 3, /l
M – 4) – á ïåðåìåùåíèé ïðè � �Ì Ð �1.
/h
P , % /h
M , %
/ /l
P
l
M, , %
Ïðè íàãðóæåíèè èçãèáàþùèì ìîìåíòîì êðèâèçíà îáîëî÷êè ñïîñîáñòâóåò
óìåíüøåíèþ ÏÐÒ. Ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà � âëèÿíèå ýòîãî
ýôôåêòà óñèëèâàåòñÿ.
2.3.2. Îêðóæíàÿ òðåùèíà. Â ðàáîòå [25] äàíî íåñêîëüêî äðóãîå, îòëè÷-
íîå îò ïðèíÿòîãî â íàñòîÿùåé ðàáîòå, îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé � óó íà
ëèíèè òðåùèíû â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò åå âåðøèíû ïðè äåéñòâèè
èçãèáíûõ íàïðÿæåíèé:
�
"
�
�óó
l
h
K
r
� �
2
2
3
I
( ), (71)
ïðè äåéñòâèè ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèé îïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò:
�
�óó
hK
r
� I
2
. (72)
Ñ ó÷åòîì âûøåèçëîæåííîãî áåçðàçìåðíûå ÊÈÍ Fh
P , Fh
M , Fl
P , Fl
M
îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì [25]:
Fh
P � �1
64
2��
; (73)
Fh
M �
�
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�( )
( )( )
( )
( ) ln
1
3 16 3 1
1
2
1
8
2 2� �
� �
�
� 3
�
�
�
�
�
�
; (74)
Fl
P �
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
1 16 3
1
2
1
82
2
( ) ( )
( )
( ) ln
�
�
�
�
� 3
�
; (75)
Fl
M � �
� �
� �
1
5 2
1 3 64
2 2� �
� �
��
( )( )
, (76)
ãäå 3�0 5768, ; ��2 5, .
Íà ðèñ. 5 ïðè ��0 3, ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè äîáàâî÷íûõ ïëîùàäåé
ðàñêðûòèÿ îêðóæíûõ òðåùèí îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà � äëÿ îäíîðîäíûõ
ïåðåìåùåíèé / h
P , / h
M â ïðîöåíòàõ ê ÏÐÒ äëÿ ïëîñêîãî òåëà è ëèíåéíûõ
ïåðåìåùåíèé / l
P , / l
M â ïðîöåíòàõ ê ÏÐÒ äëÿ ïëàñòèíû.
Èç ðèñ. 5,à âèäíî, ÷òî, êàê è äëÿ îñåâîé òðåùèíû, îñíîâíîé ñîñòàâ-
ëÿþùåé ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ îêðóæíîé òðåùèíû ÿâëÿåòñÿ ñëàãàåìîå / h
P –
äîáàâî÷íàÿ ÏÐÒ îò îäíîðîäíûõ ïåðåìåùåíèé ïðè äåéñòâèè ìåìáðàííûõ
íàïðÿæåíèé. Åå âåëè÷èíà ïðèìåðíî â òðè ðàçà ìåíüøå, ÷åì äëÿ îñåâûõ
òðåùèí, è ïðè ��2 4, ñîñòàâëÿåò îêîëî 60% ÏÐÒ äëÿ ïëîñêîãî òåëà. Ñëà-
ãàåìîå / h
M – äîáàâî÷íàÿ ÏÐÒ îò îäíîðîäíûõ ïåðåìåùåíèé ïðè äåéñòâèè
èçãèáàþùåãî ìîìåíòà. Ïðè � �Ì Ð �1 åãî âêëàä äîáàâêè îòíîñèòåëüíî / h
P
óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì çíà÷åíèé � îò 40 äî 12% ïðè 1 2� �� .
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 51
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
Íà ðèñ. 5,á ñëàãàåìûå / l
M è / l
P – äîáàâî÷íàÿ ÏÐÒ îò ëèíåéíûõ
ïåðåìåùåíèé ïðè äåéñòâèè ìîìåíòíûõ è ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèé. Êàê è äëÿ
îñåâûõ òðåùèí, ïðè íàãðóæåíèè ìîìåíòîì êðèâèçíà îáîëî÷êè ñïîñîáñòâóåò
óìåíüøåíèþ ÏÐÒ. Ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ � âëèÿíèå ýòîãî ýôôåêòà óñè-
ëèâàåòñÿ. Äîáàâêà / l
P çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïðèëàãàåìûõ
íàïðÿæåíèé � �Ð Ì . Âêëàä äîáàâêè / l
M ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùèì ïî÷òè äëÿ
âñåãî äèàïàçîíà çíà÷åíèé �. Òàê, ïðè � �Ð Ì �1 äëÿ 1 2 4� �� , âêëàä
äîáàâêè / l
P îòíîñèòåëüíî / l
M óìåíüøàåòñÿ îò 100 äî 11%.
52 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
a
á
Ðèñ. 5. Äîáàâî÷íûå ïëîùàäè ðàñêðûòèÿ îêðóæíîé òðåùèíû äëÿ îäíîðîäíûõ (/h
P – 1, /h
M – 2) –
à è ëèíåéíûõ (/l
P – 3, /l
M – 4) – á ïåðåìåùåíèé ïðè � �Ì Ð �1.
/h
P , % /h
M , %
/ /l
P
l
M, , %
Òàêèì îáðàçîì, â öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷êàõ ïðè îïðåäåëåíèè ÏÐÒ
êðîìå äîáàâîê, ó÷èòûâàþùèõ êðèâèçíó îáîëî÷êè îò ïðèëàãàåìûõ íàïðÿæå-
íèé (ìåìáðàííûå èëè èçãèáíûå), íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü äîáàâêè îò äîïîëíè-
òåëüíî âîçíèêàþùèõ (èçãèáíûõ èëè ìåìáðàííûõ).
 û â î ä û
1. Ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé áåðåãîâ
òðåùèíû â ïëàñòèíå ïðè äåéñòâèè ñîñðåäîòî÷åííîãî ìîìåíòà â äâóõ ïðî-
òèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè òðåùèíû.
2. Ïðåäëîæåíî ïðèáëèæåííîå ôóíäàìåíòàëüíîå âûðàæåíèå äëÿ ñìåùå-
íèé áåðåãîâ òðåùèíû â âèäå ñóììû îäíîðîäíûõ ïåðåìåùåíèé Vh è ëèíåéíî
èçìåíÿþùèõñÿ ïåðåìåùåíèé Vl ïðè äåéñòâèè ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû è ñîñðå-
äîòî÷åííîãî ìîìåíòà. Ñîñòàâëÿþùèå ïåðåìåùåíèé çàïèñàíû â âèäå ñóììû
ôóíäàìåíòàëüíûõ ïåðåìåùåíèé äëÿ ïëîñêîãî òåëà è ïëàñòèíû è äîáàâî÷íûõ
ñëàãàåìûõ çàäàííîãî âèäà ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïîäëåæàùèìè
îïðåäåëåíèþ.
3. Íà îñíîâå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ïîëó÷åíû
ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ÷åðåç çíà÷åíèÿ
áåçðàçìåðíûõ ÊÈÍ äëÿ îáîëî÷êè ñî ñêâîçíîé òðåùèíîé.
4. Äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî ïîëÿ íàïðÿæåíèé ïîëó÷åíû îáùèå âûðàæåíèÿ
äëÿ ñìåùåíèé áåðåãîâ òðåùèíû è ïðåäëîæåíû ôîðìóëû äëÿ ïëîùàäè åå ðàñ-
êðûòèÿ.
5. Ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ âåëè÷èí äîáàâî÷íûõ ÏÐÒ ñ ðåçóëüòàòàìè
Êàñòíåðà è Òàäà–Ïàðèñà äëÿ ïðîäîëüíîé è îêðóæíîé òðåùèí â öèëèíäðè-
÷åñêîé îáîëî÷êå ñîîòâåòñòâåííî ïîêàçàëî õîðîøåå èõ ñîãëàñîâàíèå.
6. Íà îñíîâå èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ îïðåäåëåíèÿ ÊÈÍ â öèëèíäðè÷åñêîé
îáîëî÷êå ñ ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé òðåùèíàìè ïðîàíàëèçèðîâàíî âëèÿíèå
ìåìáðàííûõ íàïðÿæåíèé íà ëèíåéíûå ïåðåìåùåíèÿ è, íàîáîðîò, èçãèáíûõ
íàïðÿæåíèé íà îäíîðîäíûå ïåðåìåùåíèÿ.
Ð å ç þ ì å
Ïëîùà ðîçêðèòòÿ íàñêð³çíî¿ òð³ùèíè â îáîëîíö³ º îäíèì ç îñíîâíèõ ðîç-
ðàõóíêîâèõ ïàðàìåòð³â â êîíöåïö³¿ “òå÷à ïåðåä ðóéíóâàííÿì”. ²ñíóþ÷³
ìåòîäè ¿¿ âèçíà÷åííÿ, ïî ñóò³, ðîçãëÿäàþòü îáîëîíêó ÿê ïëîñêå ò³ëî ³ íå
âðàõîâóþòü ë³í³éíî çì³ííó ñêëàäîâó ïîëÿ ïåðåì³ùåíü (ÿê ó òåî𳿠ïëàñòèí).
Íà îñíîâ³ êîìá³íîâàíîãî ìåòîäó âàãîâèõ ôóíêö³é çàïðîïîíîâàíî ïðîñòó
ïðîöåäóðó îòðèìàííÿ íàáëèæåíîãî âèðàçó äëÿ âèçíà÷åííÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî
ïîëÿ ïåðåì³ùåíü âíàñë³äîê 䳿 çîñåðåäæåíèõ ñèëè ³ ìîìåíòó íà áåðåãè
òð³ùèíè ó âèãëÿä³ ñóìè îäíîð³äíî¿ òà ë³í³éíî çì³ííî¿ ïî òîâùèí³ ñò³íêè
ñêëàäîâèõ. Öå äîçâîëÿº, çîêðåìà, îòðèìàòè çðó÷í³ ôîðìóëè äëÿ âèçíà÷åííÿ
ïëîù³ ðîçêðèòòÿ òð³ùèíè â ïîë³íîì³àëüíîìó ïîë³ ÿê ìåìáðàííèõ, òàê ³
ë³í³éíèõ íàïðóæåíü. Äëÿ öèë³íäðè÷íî¿ îáîëîíêè ç ïîçäîâæíüîþ òà ïîïåðå÷-
íîþ òð³ùèíàìè ïîð³âíþþòñÿ îòðèìàí³ âåëè÷èíè ïëîù³ ç òàêèìè, ùî º â
ë³òåðàòóðíèõ äæåðåëàõ. Îö³íåíî âíåñîê ë³í³éíî¿ ñêëàäîâî¿ â çàãàëüíó ïëîùó
ðîçêðèòòÿ òð³ùèíè.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 53
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
1. Bueckner H. F. Field singularities and related integral representation // G. C.
Sih (Ed.), Mechanics of Fracture. Vol. 1: Method of Analysis and Solution of
Crack Problems. – Leyden: Noordhoff, 1973. – P. 131 – 178.
2. Petroski H. J. and Achenbach J. D. Computation of the weight function from
a stress intensity factor // Eng. Fract. Mech. – 1978. – 10. – P. 257 – 266.
3. Orynyak I. V. and Borodii M. V. The combined weight function method
application for a hole emanated crack // Ibid. – 1994. – 48, No. 6. – P. 891 –
894.
4. Îðèíÿê ². Â., Áîðîä³é Ì. Â. Âèêîðèñòàííÿ íàáëèæåíîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî
ðîçâ’ÿçêó äëÿ ï³âïëîùèíè ç êðàéîâîþ òð³ùèíîþ â êîìá³íîâàíîìó ìåòîä³
âàãîâèõ ôóíêö³é // Ô³ç.-õ³ì. ìåõàí³êà ìàòåð³àë³â. – 1994. – 4. – Ñ. 105 –
108.
5. Sanders J. L., Jr. On the Griffith–Erwin fracture theory // J. Appl. Mech. –
1960. – 27. – P. 352 – 353.
6. Sanders J. L., Jr. Circumferential through-cracks in cylindrical shells under
tension // Ibid. – 1982. – 49. – P. 103 – 107.
7. Sanders J. L., Jr. Circumferential through-cracks in a cylindrical shell under
combined bending and tension // Ibid. – 1983. – 50. – P. 221.
8. Paris P. C. and Tada H. The Application of Fracture Proof Design Methods
Using Tearing Instability Theory to Nuclear Piping Postulating Circumferential
Through-Wall Crack, NUREG/CR-3464, Nuclear Regulatory Commission.
9. Kastner W., Rohrich E., Schmitt W., and Steinbuch R. Critical crack sizes in
ductile piping // Int. J. Press. Vess. Piping. – 1981. – 9. – P. 197 – 219.
10. Zahoor A. Ductile Fracture Handbook // Report NP-6301-D. – Electric Power
Research Institute, 1989.
11. Bhandari S., Faidy C., and Acker D. Computation of leak areas of circumferential
cracks in piping for application in demonstrating the leak-before-break behaviour
// Nucl. Eng. Design. – 1992. – 135. – P. 141 – 149.
12. Ghosh B., Bandyopadhyay S. K., Lele H. G., and Ghosh A. K. Estimation of
crack opening area for leak before break analysis of nuclear reactor system //
Ibid. – 2009. – 239. – P. 327 – 337.
13. NUREG/CR-6765. Development of Technical Basis for Leak-Before-Break
Evaluation Procedures // Battelle U.S. Nuclear Regulatory Commission,
Washington, DC 20555-0001, May 2002.
14. Îðûíÿê È. Â., Ðàä÷åíêî Ñ. À. Àíàëèç äåôîðìàöèé ãèáà òðóáû íà îñíîâå
ñìåøàííîãî ïîäõîäà. Ñîîáù. 1. Ïðîñòðàíñòâåííûé èçãèá ïî Ñåí-Âåíàíó
// Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2004. – ¹ 3. – Ñ. 23 – 51.
15. Orynyak I. V. and Radchenko S. A. Analytical and numerical solution for a
elastic pipe bend at in-plane bending with consideration for the end effect //
Int. J. Solids Struct. – 2007. – 44. – P. 1488 – 1510.
16. Ëåîíîâ Ì. ß., Ïàíàñþê Â. Â. Ïðåäåëüíîå ðàâíîâåñèå õðóïêèõ òåë ñ
òðåùèíàìè. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1968. – 248 ñ.
54 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6
È. Â. Îðûíÿê, Å. Ñ. ßêîâëåâà, ß. Ð. Äóáèê
17. Ñàâðóê Ì. Ï. Ìåõàíèêà ðàçðóøåíèÿ è ïðî÷íîñòü ìàòåðèàëîâ. Ñïðà-
âî÷íîå ïîñîáèå.  4 ò. / Ïîä îáù. ðåä. Â. Â. Ïàíàñþêà. – Ò. 2. Êîýôôè-
öèåíòû èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé â òåëàõ ñ òðåùèíàìè. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1988. – 620 ñ.
18. Ìåðêóëîâ Â. À. Èçãèá ïëàñòèí ñ ðàçðåçàìè âäîëü ïðÿìîé èëè äóã îêðóæ-
íîñòè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. – 1975. – 3. – Ñ. 165 –
171.
19. Ñàâèí Ã. Í. Êîíöåíòðàöèÿ íàïðÿæåíèé îêîëî îòâåðñòèé. – Ì.; Ë.: Ãîñòåõ-
èçäàò, 1951. – 496 ñ.
20. Ìóñõåëåèøâèëè Í. È. Íåêîòîðûå îñíîâíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé òåî-
ðèè óïðóãîñòè. – Ì.: Íàóêà, 1966. – 707 ñ.
21. Sih G. C., Paris P. C., and Erdogan F. Crack tip stress intensity factor for
plane extension and plate bending problems // J. Appl. Mech. – 1962. – 29,
No. 2. – P. 306 – 312.
22. Erdogan F. and Ratwani M. Fracture of cylindrical and spherical shells
containing a crack // Nucl. Eng. Design. – 1972. – 20. – P. 265 – 286.
23. Erdogan F. and Kibler J. J. Cylindrical and spherical shells with cracks // Int.
J. Fract. Mech. – 1969. – 5. – P. 229 – 237.
24. Delale F. and Erdogan F. Transverse shear effect in a circumferentially
cracked cyclindrical shell // Quart. Appl. Mathem. – 1979. – 37. – P. 239 –
258.
25. Folias E. S. On the effect of initial curvature on cracked flat sheets // Int. J.
Fract. Mech. – 1969. – 5, No. 4. – P. 327 – 346.
Ïîñòóïèëà 10. 02. 2011
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2012, ¹ 6 55
Ïðèìåíåíèå êîìáèíèðîâàííîãî ìåòîäà âåñîâûõ ôóíêöèé ...
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /All
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Warning
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments false
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000500044004600206587686353ef901a8fc7684c976262535370673a548c002000700072006f006f00660065007200208fdb884c9ad88d2891cf62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef653ef5728684c9762537088686a5f548c002000700072006f006f00660065007200204e0a73725f979ad854c18cea7684521753706548679c300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <FEFF005500740069006c006900730065007a00200063006500730020006f007000740069006f006e00730020006100660069006e00200064006500200063007200e900650072002000640065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000410064006f00620065002000500044004600200070006f007500720020006400650073002000e90070007200650075007600650073002000650074002000640065007300200069006d007000720065007300730069006f006e00730020006400650020006800610075007400650020007100750061006c0069007400e90020007300750072002000640065007300200069006d007000720069006d0061006e0074006500730020006400650020006200750072006500610075002e0020004c0065007300200064006f00630075006d0065006e00740073002000500044004600200063007200e900e90073002000700065007500760065006e0074002000ea0074007200650020006f007500760065007200740073002000640061006e00730020004100630072006f006200610074002c002000610069006e00730069002000710075002700410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650074002000760065007200730069006f006e007300200075006c007400e90072006900650075007200650073002e>
/ITA <FEFF005500740069006c0069007a007a006100720065002000710075006500730074006500200069006d0070006f007300740061007a0069006f006e00690020007000650072002000630072006500610072006500200064006f00630075006d0065006e00740069002000410064006f006200650020005000440046002000700065007200200075006e00610020007300740061006d007000610020006400690020007100750061006c0069007400e00020007300750020007300740061006d00700061006e0074006900200065002000700072006f006f0066006500720020006400650073006b0074006f0070002e0020004900200064006f00630075006d0065006e007400690020005000440046002000630072006500610074006900200070006f00730073006f006e006f0020006500730073006500720065002000610070006500720074006900200063006f006e0020004100630072006f00620061007400200065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065002000760065007200730069006f006e006900200073007500630063006500730073006900760065002e>
/JPN <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>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020b370c2a4d06cd0d10020d504b9b0d1300020bc0f0020ad50c815ae30c5d0c11c0020ace0d488c9c8b85c0020c778c1c4d560002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /NoConversion
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /NA
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles true
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|