Моделювання епідемій

Через поширення COVID-19 у світі, математичне моделювання епідеміологічних процесів – це важлива і актуальна наукова проблема. Іноді через високу вартість лікувальних засобів забезпечення ними кожного хворого, особливо в незаможних країнах, стає неможливим. В цьому випадку виникає задача пошуку певн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Hauptverfasser:	Кнопов, П.С., Богданов, О.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Кібернетика та комп’ютерні технології
Schlagworte:	Математичне моделювання та чисельні методи
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173141
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Моделювання епідемій / П.С. Кнопов, О.В. Богданов // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 2. — С. 30-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-173141
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1731412020-11-24T01:26:29Z Моделювання епідемій Кнопов, П.С. Богданов, О.В. Математичне моделювання та чисельні методи Через поширення COVID-19 у світі, математичне моделювання епідеміологічних процесів – це важлива і актуальна наукова проблема. Іноді через високу вартість лікувальних засобів забезпечення ними кожного хворого, особливо в незаможних країнах, стає неможливим. В цьому випадку виникає задача пошуку певного «компромісу» між реально можливими обсягами закупівлі ліків та потенційною чисельністю людських втрат у результаті епідемії. Цель работы. В данной работе произведена математическая постановка задачи минимизации убытков, понесенных вследствие эпидемии, и проведено ее аналитическое исследование. Результаты. В ходе работы получены несколько оценок параметров эпидемии, такие как длительность эпидемии и количество больных в определенный момент времени при заданном исходном количестве больных. Найден явный вид первых двух моментов числа больных в каждый момент времени. Также была найдена оценка значения математического ожидания общих затрат вследствие эпидемии, состоящих из общей стоимости лекарств и убытков в результате смертей. Были предложены несколько формул, упрощающие нахождение такого количества единиц лекарства в день, которое минимизирует значение вышеупомянутой оценки. The purpose of the paper is to develop a mathematical model corresponding to the minimization of losses from certain pandemics, as well as the analysis of such a model. Results. In this paper, we propose a stochastic model that describes the behavior of an epidemic with a certain amount of medication administered among the population. We present several estimates for the parameters of the epidemic, such as its duration and the total number of infected people at a certain time, given an initial number of infected people. The first two moments of the number of infected people at a given time were found. Furthermore, we found an estimate of the total losses as a result of the pandemic, which includes medication costs and losses from deaths. Several formulas are presented, which simplify the search for the minimal amount of medication needed to minimize the losses. 2020 Article Моделювання епідемій / П.С. Кнопов, О.В. Богданов // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 2. — С. 30-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 2707-4501 DOI:10.34229/2707-451X.20.2.4 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173141 519.85 uk Кібернетика та комп’ютерні технології Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математичне моделювання та чисельні методи Математичне моделювання та чисельні методи
spellingShingle	Математичне моделювання та чисельні методи Математичне моделювання та чисельні методи Кнопов, П.С. Богданов, О.В. Моделювання епідемій Кібернетика та комп’ютерні технології
description	Через поширення COVID-19 у світі, математичне моделювання епідеміологічних процесів – це важлива і актуальна наукова проблема. Іноді через високу вартість лікувальних засобів забезпечення ними кожного хворого, особливо в незаможних країнах, стає неможливим. В цьому випадку виникає задача пошуку певного «компромісу» між реально можливими обсягами закупівлі ліків та потенційною чисельністю людських втрат у результаті епідемії.
format	Article
author	Кнопов, П.С. Богданов, О.В.
author_facet	Кнопов, П.С. Богданов, О.В.
author_sort	Кнопов, П.С.
title	Моделювання епідемій
title_short	Моделювання епідемій
title_full	Моделювання епідемій
title_fullStr	Моделювання епідемій
title_full_unstemmed	Моделювання епідемій
title_sort	моделювання епідемій
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Математичне моделювання та чисельні методи
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173141
citation_txt	Моделювання епідемій / П.С. Кнопов, О.В. Богданов // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 2. — С. 30-43. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Кібернетика та комп’ютерні технології
work_keys_str_mv	AT knopovps modelûvannâepídemíj AT bogdanovov modelûvannâepídemíj
first_indexed	2025-07-15T09:40:33Z
last_indexed	2025-07-15T09:40:33Z
_version_	1837705392294985728
fulltext	МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ 30 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2 КІБЕРНЕТИКА та КОМП'ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ Через поширення COVID-19 у світі, мате- матичне моделювання епідеміологічних про- цесів – це важлива і актуальна наукова проблема. Іноді через високу вартість ліку- вальних засобів забезпечення ними кожного хворого, особливо в незаможних країнах, стає неможливим. В цьому випадку виникає задача пошуку певного «компромісу» між реально можливими обсягами закупівлі ліків та потенційною чисельністю людських втрат у результаті епідемії. Ключові слова: епідемія, моделювання епіде- мій, мінімізація збитків.  П.С. Кнопов, О.В. Богданов, 2020 УДК 519.85 DOI:10.34229/2707-451X.20.2.4 П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ Вступ. Через поширення вірусу COVID-19 у світі, математичне моделювання епідеміологічних процесів – це важлива і актуальна наукова проблема. Іноді через високу вартість лікувальних засобів забезпе- чення ними кожного хворого, особливо в незаможних країнах, стає неможливим. В цьому випадку виникає задача пошуку певного «компромісу» між реально можливими обсягами закупівлі ліків та потенційною чисельністю людських втрат у результаті епідемії. У даній роботі виконано математичну постановку такої задачі та проведено її аналітичне дослідження, а також отримано оцінки деяких параметрів епідемій, зокрема, їх тривалості та кількості хворих у певний момент часу при деякій (великій) початковій кількості хворих. Постановка задачі. Для моделювання епідемій зазвичай розглядаються моделі, що розділяють попу- ляцію на три класи [1]:  клас S – susceptible – вразливі, але не інфіковані люди;  клас I – infected – інфіковані люди;  клас R – removed – люди, що були інфіковані і потім виключені з класу тих, хто може бути інфі- кованим (наприклад, через набуття імунітету або смерть). Відповідно хвороби та їх моделі поділяють на декілька типів у залежності від того, яким чином вони переводять один клас в інший:  SIR – хвороби, що викликають постійний іму- нітет та переводять кожного індивіда з класу S в клас І, а потім – в клас R. Зазвичай до цього типу належать вірусні захворювання;  SIS – хвороби, що не викликають жодного імунітету та повертають людей з класу інфікованих знову до класу вразливих. Зазвичай до цього класу належать бактеріальні хвороби. Також існують більш складні типи хвороб та відповідних моделей. Наприклад, модель SIRS відпо- відає ситуації, коли набутий у результаті хвороби імунітет є тимчасовим. https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.2.4 МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 31 Прикладом моделі SIR є модель Kermack-McKendrick [3]. Позначимо через функції S(t), I(t), R(t), відповідно, чисельність вразливих, інфікованих та виключених з моделі людей у певний момент часу t. Тоді зміна цих функцій описується системою диференціальних рівнянь: , , , dS SI dt dI SI I dt dR I dt               де  – рівень захворюваності,  – швидкість одужання. Ця система обґрунтовується наступним чином: збільшення кількості інфікованих залежить прямо пропорційно від теперішньої кількості інфікованих (адже чим більшою є чисельність інфікованих людей, тим більше мається джерел інфекції) та теперішньої кількості вразливих. Кількість тих, хто одужав з набуттям імунітету, та померлих залежить прямо пропорційно від кількості інфікованих. Така модель досить добре описує початок епідемії, коли густина інфікованих серед вразливих є низькою. Еволюція функцій S(t), I(t), R(t) залежить від числа, що в епідеміології називається коефіцієнтом відтворення і визначається із виразу: 0 S R    (зазначимо, що R0 – це лише позначення, що не має нічого спільного з R(t)). R0 < 1 означає, що кожен інфікований у середньому інфікує менше одного вразливого до свого виключення. В цьому разі епідемія швидко завершується. Якщо ж R0 > 1, кількість інфікованих стрімко зростатиме. На сьогодні розроблена досить велика кількість моделей такого «детермінованого» типу, поведінка і властивості багатьох з них досліджені. Принциповий недолік моделей такого типу – це відсутність у них стохастичних підходів, хоча очевидним є те, що процес розвитку епідемії за своєю суттю – випадковий. Тому в даній роботі розглядаються модель і методи, які описують розповсюдження епідемій як випадкові, а не детерміновані процеси. Нехай є n хворих людей. Кожного дня кожен хворий незалежно від інших може одужати з ймовірністю n  і померти – з ймовірністю n  . Також кожного дня х хворим видаються ліки, які в нашій моделі вважаються абсолютно ефективними. Кожна одиниця ліків має ціну с. Кожна смерть завдає деякої шкоди, якій присвоюється грошова вартість d. Процес завершується, коли всі хворі або одужають, або помруть. Задача полягає у мінімізації значення функціонала  E c d  , де  – загальна кількість використаних одиниць ліків під час епідемії,  – загальна кількість смертей, за допомогою варіації щоденної кількості використаних одиниць ліків х при n . Зауважимо такі особливості задачі:  на відміну від більшості моделей епідеміології, до класу хворих у ході процесу не додаються нові індивіди. Це можливо, наприклад, якщо хвороба є генетичною, або викликана деякою поодинокою катастрофою;  вважатимемо, що всі параметри задачі (β, γ, c, d, n, х) додатні. Також, звичайно, кількість хворих та щоденна кількість одиниць ліків цілі; П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ 32 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2  ми вважаємо, що x не змінюється в часі. На відміну від параметрів β, γ, c, d, n, регулюємо х, але він залишається сталим. Розв’язання задачі. Нехай  tN – кількість хворих у момент часу .t Розглянемо процес, що задається рівнянням        0 t i M t n i x i       ,  0M n , (1) де  i – кількість людей, що померли в момент ,і  i – кількість тих, хто одужав самостійно у момент .і Бачимо, що для будь-якої траєкторії              .0,0 ;0, tM tMtM tN (2) Дійсно,  tN перестає задовольняти рівнянням (1) лише коли кількість хворих стає меншою за щоденну кількість одиниць ліків х. Надалі ми будемо працювати з М(t), а потім покажемо, що отримані результати можна застосувати до  tN . Для знаходження поведінки функції збитків від захворювання доведено три леми. Лема 1.    1 1 t x nx E M t n n n                       . (3) Доведення. Кожного дня кожен хворий помирає або одужує випадково незалежно від інших, тому            1 1 1 1 m M t E t M t E t M t m m M t n n                    . (4) Так само      1 1E t M t M t n        , (5) тому        1 1E t E E t M t EM t n            , (6)    1E t EM t n     . (7) З рівняння (1) випливає, що        1M t M t t x t      , тому            1 1 1EM t EM t E t x E t EM t x EM t n n                 , звідки отримуємо    1 1EM t EM t x n n            . (8) Розглянемо однорідне рівняння    1 1y t y t n n           . (9) МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 33 Розв’язком цього однорідного рівняння є   11 t y t C n n          , (10) де 1 C – деяка константа. Тоді розв’язок рівняння (8) можна представити у вигляді   1 21 t EM t C C n n           . (11) Підставляючи (11) в (8), знайдемо 2C : 2 2 21 nx C C x C n n               . (12) Константу 1C знаходимо з початкової умови   nEM 0 : 1 1 1 nx x n C C n               . Підставляючи отримані значення 1C та 2C у (Л1.9), отримуємо   1 1 t x nx EM t n n n                    . Лему 1 доведено. Лема 2.  2 2 4 1 3 4 1 2 3 1 1 2 11 1 t t t a a a a E M t a n a a a a a a                , (13) де     2 1 2 n n a n        , (14)      22 2 2 2 1 1 xn n x x a n                 , (15) 3 1a n n      , (16)      22 2 4 2 2 1xn n x x a x n                . (17) Доведення. Аналогічно до (4), (5) маємо      1 1 1D t M t M t n n              , (18)      1 1 1D t M t M t n n              . (19) Тоді                  22 2 2 2 1 1 1 1 1 1E t M t D t M t E t M t M t M t n n n                               , П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ 34 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2 звідки           2 2 2 2 2 1 1 1 1E t E E t M t EM t EM t n n n                    . (20) Аналогічно       2 2 2 2 1 1 1E t EM t EM t n n n              . (21) Також                       cov , 1 1 1 1 1t t M t E t t M t E t M t E t M t M t n n                            , звідки           2 2 1 1 1E t t M t M t M t n                    2 2 1 1E t t EM t EM t n           . (22) З рівняння (4) випливає, що        21 1 1M t E t M t M t n                 21 1 1E t M t M t M t n               21 1E t M t EM t n         . (23) Так само      21 1E t M t EM t n        . (24) З рівняння (1) випливає, що        0 t i M t n i x i       , звідки отримуємо                    2 1 1 22 2 0 0 1 t t i i EM t EM t E n i x i t x t n i x i                                                   1 2 0 2 t i E n i x i t x t t x t                                            2 2 22 1 2 2 2E M t t x t t x t x t x t t t                           2 1 2 1 2 1E t M t xEM t E t M t                           2 2 2 2 2 2E t x E t xE t xE t E t t              . (25) Знаючи співвідношення (6), (7), (10) – (12), можна виразити всі доданки правої частини (25) через  12 tEM та  1tEM . Маємо:          2 2 2 21 2 1 2 1 2 1EM t EM t EM t EM t xEM t n n             МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 35       2 2 21 1 1 1 1EM t EM t x EM t n n n n n                                        2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1EM t x EM t x EM t EM t n n n n                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1EM t EM t n n n n n n                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x x x EM t x n n n n n n n                       , звідки випливає, що                2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n n xn n x EM t EM t EM t x n n                     , (26) причому  1tEM визначається з (3). Позначивши константи у (26) , 1,4ia i  , отримуємо    2 2 1 2 3 41 tEM t a EM t a a a    . (27) В нашій моделі n , , , constx    , тому       2 1 2 2 2 1 1 , n n a o n           n . (28) Оскільки     2 2 n     для достатньо великих n , то 1 1.a  (29) Розглянемо константи 2 3 4, , .a a a        22 2 2 2 1 1 2 1 0 xn n x x x a x n o n n                              , .n (30)  3 1 1 1 0a o n n         , .n (31)        22 2 2 4 2 2 1 2 0 xn n x x x a x n o n n                     , .n (32) З рівняння (28), (31) маємо   2 1 3 2 0 n n a a n            1 3 1 n o n a a       , .n (33) Повернемося до (27). Спочатку розглянемо однорідне рівняння    1 2 31 .ty t a y t a a   (34) Розглянемо перші декілька :y   10y C ,   1 1 2 31y a C a a  , (35)      2 2 1 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 32y a a C a a a a a C a a a a      ,       2 3 3 2 2 1 1 1 2 3 1 3 2 3 1 1 2 3 1 1 3 33y a a C a a a a a a a C a a a a a a        . П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ 36 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2 Аналізуючи (35), можна припустити, що   1 3 1 1 2 3 1 3 t t t a a y t a C a a a a     . (36) З рівняння (33) маємо, що 1 3 0.a a  Перевіримо припущення (36) за допомогою матема- тичної індукції. База доведена в (35). Припустимо, що (36) правильно для t . Тоді     1 11 3 1 2 3 1 1 1 2 3 2 3 1 3 1 t t t t ta a y t a y t a a a a C a a a a a a              1 1 1 11 1 3 1 3 3 1 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 3 1 3 t t t t t t t ta a a a a a a a a C a a a C a a a a a a              . Таким чином, (36) доведено. З вигляду (27) та (36) видно, що розв'язком рівняння (27) є  2 1 3 1 1 2 3 2 1 3 t t t a a EM t a C a a C a a      . (37) Знайдемо константу 2C . Підставляючи (37) в (27), маємо: 4 2 1 2 4 2 11 a C a C a C a      . (38) Також з умов задачі відомо, що  2 20 ,EM n звідки випливає, що 2 1 2C n C  . (39) Таким чином, з (37) – (39) маємо  2 2 4 1 3 4 1 2 3 1 1 3 11 1 t t t a a a a EM t a n a a a a a a             , де , 1,4ia i  визначаються з (28), (30) – (32). Таким чином, лему 2 доведено. Лема 3. Нехай aR . Тоді      2 0 D M an E M an        , n . (40) Доведення. Ми знаємо  EM an (3) та  2EM an (13). Ми також вже знайшли асимптотичні значення деяких компонент  2EM t в (30) – (31). Знайдемо решту:         2 2 1 2 1 1 2 1 n aana e o n n                  , .n (41) З рівняння (32) випливає, що   2 4 2x a n o n    , n     1 1 1 2 n o n a      , n тому     2 2 24 2 11 a x n o n a      , n . (42) МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 37 З рівняння (30), (31) випливає, що  2 3 2 1 x a a x n o n           , ,n (43)    3 1 1 an aana e o n n             , .n З рівняння (41) випливає, що      2 1 3 1 a aan ana a e e o         , .n З урахуванням (33) маємо       22 21 3 2 3 1 3 1 2 1 an an a aa a x a a x n e e n a a                                   2 22 2 2 2 2 a ax x n e e o n                  , .n (44) З рівняння (41), (42) та (44) маємо                  2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 a a ax x x x EM an e n e e n n o n                                         2 2 2 2 2 2 2 2 1 ax x x e n                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 ax x x e n n o n                  , n . (45) Розглянемо    2 EM an . З рівняння (3) випливає, що        2 2 2 21 a x x EM an e n o n                              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 a ax x x x x e n e n n o n                                  . (46) З рівняння (46) бачимо, що, по-перше      2 2 ,EM an O n n  , (47) по-друге,           22 2 ,D M an EM an EM an o n n    . (48) З рівнянь (47), (48) можна зробити висновок, що      2 0, . D M an n E M an         Лему 3 доведено. Теорема 1. Нехай  nT – загальна тривалість хвороби при n хворих, тобто     min : 0 t N T n t N t    . П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ 38 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2 Тоді   00 0, ,P T n a n n n       (49) де 0 ln x xa       . (50) Доведення. Розглянемо   P T n an для деякого a             0P T n an P M an P M an EM an EM an       . (51) Ми застосуємо нерівність Чебишова для оцінки цієї ймовірності, але для цього потрібно, щоб виконувалась умова    0 0EM an EM an    , яка, враховуючи (3), еквівалентна наступному: 1 1 0 an x nx n n n                     1 an x n n x              ln 1 ln x an n n x             0 ln 1 ln : , . ln x n n xa a n x n x                    (52) Таким чином, обираючи 0a a виконується на підставі нерівності Чебишова           anEManEManMPannTP               n anEM anMD anEManEManMP ,0 2 . (53) Аналогічно, при 0a a , оскільки в цьому випадку     00  anEManEM , отримуємо           anEManEManMPannTP               n anEM anMD anEManEManMP ,0 2 . (54) З нерівностей (53), (54) випливає, що           0 0 0, 0 , 0, P T n a n n P T n a n n               що рівносильне (49). Таким чином, теорему 1 доведено. Зауваження. Теорема 1 означає, що    0T n a n o n  . МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 39 Далі використовуватимемо наближення   nanET 0  при обчисленні значення x , що мінімізує значення функціонала  .E c d  Теорема 2.          0 0 02 1 a x d a xd E c d n e a cx                     . (55) Доведення. Кожного дня використовується x одиниць ліків, тому загальна кількість викори- станих одиниць ліків         0, ,x n xT n Ec x n cxET n a cxn      . (56) Загальна кількість смертей           1 1 , T n T n i i d E d x n E d i EN t n                  0 1 1 1 ia n i d x xn n n n n                           0 0 1 1 1 ia n i x a xnd d n n                            0 0 1 1 1 1 a n x a xndn n d n n n n                                    0 01 1 1 a n n x a xnd d n n                                 . (57) З рівняння (57) випливає, що           0 0 02 1 a n x d a xnd E c d e a cxn                            0 0 02 1 a x d a xd n e a cx                   . (58) Теорема 3. Позначимо    ,f x n E c d   . 1. Якщо  c d    , то значення f зростає зі зростанням x ; 2.        , lnx x d sign f x n sign x x d c                          ; 3.      221 , 1xxsign f x n sign d d c d x                    . Доведення. З нерівності (52) випливає, що  0 0 ln x xa a x        . П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ 40 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2 Знайдемо першу похідну  ,xf x n            0 22 2 , a x x dx f x n n e x x x                              02 2 x xd xd d cx a c x x x                                              0 02 1a d d d n e c a c xx                                        0 02 d d c a d n a c x xx                               2 2 2 2 2 n d d d c c c x                       ln ln x x c x d x x x                               2 2 ln 1 0 x x c c d c d x n x                                       2 ln 1 0 x x c c d c d x                         . (59) Якщо   0,c d     (60) то         2 1 1 0c d d d d                    і тоді  , 0xf x n  . (61) Це означає, що при збільшенні обсягу ліків на день загальні матеріальні збитки зростають. Нехай тепер   0c d     . Похідна f дорівнює нулю, коли виконується:     ln x g x x x                 2 1c d d c d d c                      . (62) Оскільки   2 ln ln ln 1 0 x x x x g x x x x x x x x                              , тому рівняння (62) має не більше одного розв’язку, а  nxf , – не більше однієї критичної точки. МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 41 Таким чином, ми довели, що       ,x x sign f x n sign E c d           ln x d sign x x d c                         . (63) Розглянемо другу похідну функції f               2 2 2 22 1 ,xx c d c dx f x n n x x x                                              2 2 2 1 1 0 n d c c d x x                                   2 2 1 0 d c c d x x                      21 1 1 1 0d c d x x                           221 1 0d d c d x                 , тобто      221 , 1xxsign f x n sign d d c d x                    . (64) Таким чином, теорему 3 доведено. Результат теореми 3 дає змогу знаходити за допомогою чисельних методів при заданих значеннях параметрів γ та β таке значення х, при якому значення функціонала  E c d  – мінімальне. Висновки. У роботі отримано декілька оцінок параметрів епідемії. Знайдено явні вигляди перших двох моментів числа хворих у кожен момент часу, а також оцінка тривалості епідемії. Також знайдено оцінку значення математичного сподівання загальних витрат через епідемію, що складаються з загальної вартості ліків та збитків у результаті смертей. Запропоновано декілька формул, що спрощують знаходження такої кількості одиниць ліків на день, що мінімізують значення вищезазначеної оцінки. Запропонована задача та її розв’язок можуть бути використані в основі моделей деяких епідемій для мінімізації витрат на вакцини та виплати пов’язані зі смертями, викликані захворюванням. П.С. КНОПОВ, О.В. БОГДАНОВ 42 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 2 Список літератури 1. Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. New York: Springer, 2012. 508 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1686-9 2. Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика. Київ: Видавничо-поліграфічний центр «Київський універ- ситет». 2008. 494 с. 3. Kermack W., McKendrick A. A contribution to the Mathematical Theory of Epidemic. Proceedings of the Royal Society of London. 1927. 115 (772). P. 700 – 721. https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0118 4. Покровский В.И., Пак С.Г., Брико Н.И., Данилкан Б.К. Инфекционные болезни и эпидемиология. М.: ГЭОТАР- Медиа, 2007. 816 с. 5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. М.: Мир, 1984. Одержано 25.04.2020 Кнопов Павло Соломонович, доктор фізико-математичних наук, завідувач відділу Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, https://orcid.org/0000-0001-6550-2237 Богданов Олександр Вячеславович, аспірант Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ. wolfiksw@gmail.com УДК 519.85 П.С. Кнопов, О.В. Богданов Моделирование эпидемий Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев Переписка: wolfiksw@gmail.com Введение. Ввиду распространения COVID-19 в мире, математическое моделирование эпидемио- логических процессов является важной и актуальной научной проблемой. Иногда, из-за высокой стоимости медицинских препаратов, обеспечение ими каждого больного, особенно в бедных странах, становится невозможным. В таком случае возникает задача поиска определенного «компромисса» между действительно возможными объемами закупки лекарств и потенциальной численностью человеческих потерь в результате эпидемии. Цель работы. В данной работе произведена математическая постановка задачи минимизации убытков, понесенных вследствие эпидемии, и проведено ее аналитическое исследование. Результаты. В ходе работы получены несколько оценок параметров эпидемии, такие как длительность эпидемии и количество больных в определенный момент времени при заданном исходном количестве больных. Найден явный вид первых двух моментов числа больных в каждый момент времени. Также была найдена оценка значения математического ожидания общих затрат вследствие эпидемии, состоящих из общей стоимости лекарств и убытков в результате смертей. Были предложены несколько формул, упрощающие нахождение такого количества единиц лекарства в день, которое минимизирует значение вышеупомянутой оценки. Выводы. Предложенная задача и ее решение могут быть положены в основу моделей некоторых эпидемий для минимизации расходов на вакцины и выплаты, связанные со смертями, вызванными заболеванием. Ключевые слова: эпидемия, моделирование эпидемий, минимизация убытков. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-1686-9 https://doi.org/10.1098/rspa.1927.0118 https://orcid.org/0000-0001-6550-2237 mailto:wolfiksw@gmail.com mailto:wolfiksw@gmail.com МОДЕЛЮВАННЯ ЕПІДЕМІЙ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.2 43 UDC 519.85 P. Knopov, O. Bogdanov Epidemics modeling V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kyiv Correspondence: wolfiksw@gmail.com Introduction. Due to the spread of COVID-19 in the world, mathematical modeling of epidemiological processes is an important and relevant scientific problem. There are many models describing the dynamics of pandemics, such as the standard SIR model, but most of them are deterministic, while in reality, the processes of infecting and recoveries are random in nature. Also, most of the models either do not include the existence of vaccines or medication or do not take into consideration the price of such medication. Sometimes, because of the high price, the widespread use of contemporary medication is impossible, especially in poor countries. In this case, there is a problem of finding a compromise between the purchase of a low amount of medication and a low amount of human deaths as a result of a pandemic. We propose a stochastic model, which describes this situation. The purpose of the paper is to develop a mathematical model corresponding to the minimization of losses from certain pandemics, as well as the analysis of such a model. Results. In this paper, we propose a stochastic model that describes the behavior of an epidemic with a certain amount of medication administered among the population. We present several estimates for the parameters of the epidemic, such as its duration and the total number of infected people at a certain time, given an initial number of infected people. The first two moments of the number of infected people at a given time were found. Furthermore, we found an estimate of the total losses as a result of the pandemic, which includes medication costs and losses from deaths. Several formulas are presented, which simplify the search for the minimal amount of medication needed to minimize the losses. Conclusions. The presented problem and its solution can be used for models of certain epidemics to minimize the medication costs and losses from deaths. Keywords: epidemic, epidemic modeling, loss minimization. mailto:wolfiksw@gmail.com

Моделювання епідемій

Institution

Ähnliche Einträge