Бифуркации в базовых моделях многомерных систем
Рассмотрены две системы А. Ресслера (трехмерную и четырехмерную) и систему с множеством особых точек (модель твердого тела с линейной цепью обратной связи). Составлен уравнения множества особых точек. Приведена новая интерпретация принципа симметрии в трехмерных системах. Установлены механизмы возни...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174262 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркации в базовых моделях многомерных систем / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 102-110. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174262 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1742622021-01-11T01:26:17Z Бифуркации в базовых моделях многомерных систем Никитина, Н.В. Рассмотрены две системы А. Ресслера (трехмерную и четырехмерную) и систему с множеством особых точек (модель твердого тела с линейной цепью обратной связи). Составлен уравнения множества особых точек. Приведена новая интерпретация принципа симметрии в трехмерных системах. Установлены механизмы возникновения регулярных аттракторов и перерождения их в странные. Розглянуто дві системи О. Ресслера (тривимірну і чотиривимірну) і систему з множиною особливих точок (модель твердого тіла з лінійним ланцюгом зворотнього зв’язку). Складено рівняння множини особливих точок. Наведено нову інтерпретацію принципу симетрії в тривимірних системах. Встановлено механізми виникнення регулярних аттракторів і переродження їх в дивні. Two Rossler’s problems (three-dimensional and four-dimensional) and a problem with set of singular points (a model of a rigid body with a linear feedback chain) are considered. The equation of set of singular points is written. A new interpretation of the symmetry principle in three-dimensional systems is given. The mechanisms of appearance of regular attractors and their degeneration into the strange ones are established. 2018 Article Бифуркации в базовых моделях многомерных систем / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 102-110. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174262 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены две системы А. Ресслера (трехмерную и четырехмерную) и систему с множеством особых точек (модель твердого тела с линейной цепью обратной связи). Составлен уравнения множества особых точек. Приведена новая интерпретация принципа симметрии в трехмерных системах. Установлены механизмы возникновения регулярных аттракторов и перерождения их в странные. |
| format |
Article |
| author |
Никитина, Н.В. |
| spellingShingle |
Никитина, Н.В. Бифуркации в базовых моделях многомерных систем Прикладная механика |
| author_facet |
Никитина, Н.В. |
| author_sort |
Никитина, Н.В. |
| title |
Бифуркации в базовых моделях многомерных систем |
| title_short |
Бифуркации в базовых моделях многомерных систем |
| title_full |
Бифуркации в базовых моделях многомерных систем |
| title_fullStr |
Бифуркации в базовых моделях многомерных систем |
| title_full_unstemmed |
Бифуркации в базовых моделях многомерных систем |
| title_sort |
бифуркации в базовых моделях многомерных систем |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174262 |
| citation_txt |
Бифуркации в базовых моделях многомерных систем / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 102-110. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT nikitinanv bifurkaciivbazovyhmodelâhmnogomernyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-15T11:12:07Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:12:07Z |
| _version_ |
1837711153765023744 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 6
102 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 6
Н . В . Н и к и т и н а
БИФУРКАЦИИ В БАЗОВЫХ МОДЕЛЯХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев Украина; e-mail:center@inmech.kiev.ua
Abstract. Two Rossler’s problems (three-dimensional and four-dimensional) and a
problem with set of singular points (a model of a rigid body with a linear feedback chain)
are considered. The equation of set of singular points is written. A new interpretation of the
symmetry principle in three-dimensional systems is given. The mechanisms of appearance
of regular attractors and their degeneration into the strange ones are established.
Key words: nonlinear systems, symmetry principles, limit cycle, bifurcation, chaos.
Введение.
Учитывая даже определенный опыт исследования нелинейных систем [1 – 8, 10 –
13] проблема существования регулярных и странных аттракторов в многомерных си-
стемах остается открытой и связана с изучением механизмов возникновения аттрак-
торов. В восьмидесятых годах прошлого века несколько многомерных моделей было
предложено О. Рёсслером [11]. Две модели получили популярность и их можно при-
числить к базовым, часто используемым для тестов различных численных методов
хаотической динамики [2, 11]. В многомерных системах (четырехмерных, например)
сложно осуществить качественный анализ в силу большой размерности. В случае
численного анализа исчезает физическая сторона явления и прогноз становится весь-
ма слабым.
Рассмотрим задачу существования аттрактора (регулярного и странного) в трех-
мерной и четырехмерной системах. Представим следующий вариант исследования:
определяем особые точки системы; составляем уравнения движения в новых коорди-
натах; устанавливаем устойчивость и характер траектории.
Запишем систему четырех уравнений О. Рёсслера [1, 11]
= ; = ; = ; = .
d d d d
a b c d
dt dt dt dt
(1)
Примем следующие значения параметров: ( , , , ) = (0, 25;3; 0,05;0;5)a b c d . Приравняем
правые части системы (1) нулю. Cистема алгебраических уравнений
= 0; = 0; = 0; = 0a b c d
имеет такие решения:
* * * * *= ; = ; = ; = .
( )
d ac bc b
b d
c d ac c d ac
Вводим систему координат 1 2 3 4Ox x x x , в которой особая точка находится в нуле
103
1 * 2 * 3 * 4 *= ; = ; = ; = .x x x x
Cистема уравнений (1) в новых координатах примет следующий вид:
31 2 4
2 3 1 2 4 * 1 * 3 1 3 3 4= ; = ; = ; = .
dxdx dx dx
x x x ax x x x x x dx cx
dt dt dt dt
(2)
1. Качественный анализ трехмерной системы.
Рассмотрим систему трех уравнений, которая получена из системы (2)
31 2
2 3 1 2 * 1 * 3 1 3= ; = ; = .
dxdx dx
x x x ax x x x x
dt dt dt
(3)
Система (3) также принадлежит О.Рёсслеру и качественное исследование подобных
систем имеет свое значение в динамике химических реакций с перемешиванием [8].
Систему (3) можно представить в виде двух двумерных подсистем
1 2
2 1 2= ; = ;
dx dx
x x ax
dt dt
(4)
31
3 3 1 3= ; = ( , ),
dxdx
x f x x
dt dt
(5)
где
3 1 3 * 1 * 3 1 3( , ) = .f x x x x x x
Система разделена на две подсистемы таким образом, чтобы линейная подсистема
(4) определяла процесс на плоскости 1 2x x . Подсистема (5) содержит нелинейное
уравнение трехмерной системы (3) и определяет процесс на плоскости 1 3x x . Плос-
кость 2 3x x исключена из рассмотрения, так как система (3) не содержит соответству-
ющей правой части. Подсистемы на плоскостях 1 2x x и 1 3x x связаны между собой пе-
ременной 1x . Подсистема (4) является диссипативным осциллятором 2 2x ax
2 = 0x , траектория которого уходит из нуля плоскости 1 2x x . Предположим, что
подсистема (5) устойчива; тогда в системе (3) может образоваться трехмерный ат-
трактор. Эти физические предположения составляют основу доказательства теоремы
о существовании аттрактора в системе (3).
Рассмотрим принцип кососимметрии для нелинейных двумерных систем, кото-
рый был введен в работе [3]. Предполагается, что нелинейный осциллятор имеет ли-
нейную и нелинейную составляющие диссипации. Линейная порождает в нуле не-
устойчивую особую точку (неустойчивый фокус) и линейную составляющую косо-
симметрии траектории. Нелинейная составляющая ограничивает также область ухода
траектории из нуля кососимметричной кривой. Эта кривая образует предельный цикл.
Пример нелинейной двумерной системы – осциллятор Ван-дер-Поля, который обра-
зует кососимметричный предельный цикл при малых и больших значениях параметра
2
1 2 2 1 2 1 2/ = , / = ( ),dx dt x dx dt x x x x (6)
где – параметр. Кососимметрия связана с двумя осями координат. В нелинейной
системе вида (6) (с линейной и нелинейной составляющей диссипации)
1 1 2 2/ = ( ); / = ( )dx dt F x dx dt F x (7)
существует замкнутая траектория, если функции, стоящие в правой части системы (7),
связаны следующими условиями:
104
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) = ( , ); ( , ) = ( , );F x x F x x F x x F x x (8)
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ).F x x F x x F x x F x x (9)
Условия (8), (9) создают кососимметрию, которая образует кососимметричный пре-
дельный цикл. Нелинейная составляющая диссипации ограничивает область и, таким
образом, останавливает уход изображающей точки. Приведенные сведения из мето-
дов качественного анализа двумерных систем будут применены для подсистем (4), (5)
при доказательстве существования аттрактора в системе (3).
Предположение. Пусть трехмерная нелинейная система (3) приводится к виду
(4), (5). Особая точка трехмерной системы в нуле (0,0,0) – седлофокус. На одной ко-
ординатной плоскости 1 2x x подсистема (4) образует линейный диссипативный ос-
циллятор; особая точка на плоскости – неустойчивый фокус. Линейная система на
плоскости 1 2x x отвечает условиям (8), (9). Траектория на плоскости 1 2x x имеет
фокусные точки. На плоскости 1 3x x вторая подсистема (5) – нелинейная, которая
ограничивает уход траектории от нуля. Особая точка в нуле (0,0) имеет характери-
стические показатели (ХП) 1 2< 0, < 0 . Здесь 2
1,2 * * * *= / 2 ( / 2) ; < 0 .
Теорема. Если трехмерная система (3) удовлетворяет условиям Предположения,
то в окрестности особой точки (0,0,0) рождается аттрактор.
Доказательство. Так как особая точка трехмерной системы в нуле – седлофокус,
то траектория уходит от нуля. В трехмерной системе первая подсистема (4) (плос-
кость 1 2x x ) имеет неустойчивую особую точку в нуле и удовлетворяет условиям (8),
(9). Подсистема линейная и образование замкнутой кривой не происходит. Подсисте-
мы (4), (5) связаны между собой через переменную 1x . Одновременно вторая подсис-
мема включается в режим притяжения к нулю на плоскости 1 3x x . В этом случае уход
траектории на плоскости 1 2x x остановлен. На плоскости 1 3x x доминирует процесс
притяжения. Поле, порожденное уравнениями в вариациях подсистемы (5), – это по-
ле, которое образует аттрактор. Траектория трехмерной системы (3) либо замыкается,
находясь в окрестности нуля (0,0,0) трехмерной системы, либо (в силу избытка сед-
лофокусных решений) осуществляет бесконечный поиск, стремясь замкнуться, в ок-
рестности нуля, образуя странный аттрактор. Теорема доказана.
На рис. 1, а, б, в приведены координатные портреты системы (3). При изменении
параметра a ( = 0,3a ) в системе возникает удвоение периода (рис. 2, а, б), что явля-
ется признаком разрушения периодического движения. Дальнейшее изменение пара-
метра a ( = 0,4a ) порождает хаотический аттрактор (рис. 2, в).
а б в
Рис. 1
105
2. Замечание о симметрии проекций замкнутой траектории на координатные
плоскости.
Пусть при некоторых значениях параметров траектория замыкается. На плоскости
1 2x x она близка к кососимметрии. Трехмерная система (1) содержит седлофокусные
решения, которые делают кососимметрию приближенной. Увеличение седловой со-
ставляющей в частном решении приводит к возникновению кратного периода колеба-
ний либо к хаотическим колебаниям.
а б в
Рис. 2
3. Четырехмерная система.
Рассмотрим четырехмерную систему вида (2).
Утверждение 1. Если к плоскостям, на которых пребывает трехмерная система
вида (3), добавляются две ( 2 4x x , 3 4x x ) и взаимодействие на плоскостях определяется
уравнениями
2 4
4 4= ; = ;
dx dx
ax cx
dt dt
(10)
3 4
* 3 3= | | ; = ,
dx dx
x dx
dt dt
(11)
то изображающая точка теряет устойчивость.
Доказательство. К плоскостям, на которых пребывает изображающая точка, до-
бавятся две: 2 4x x , 3 4x x . На этих двух плоскостях траектория (уравнения (10), (11))
уходит из нуля. На плоскости 2 4x x характеристическое уравнение системы (10) имеет
корни 1 2= 0, = .c На плоскости 3 4x x характеристическое уравнение системы (11)
имеет корни 1 2 *= 0, = | | . Тогда система (2) теряет устойчивость. Траектория
системы (2) не образует аттрактор, а медленно увеличивает отклонения от нуля, со-
вершая колебания хаотического характера в силу седлофокусных решений. Утвер-
ждение 1 доказано.
На рис. 3, а, б, в приведены координатные портреты медленно возрастающей кру-
говой траектории системы (2).
а б в
Рис. 3
106
4. Базовая математическая модель с множеством особых точек.
Заголовок этого параграфа принят согласно работ [5, 8], где приводится числен-
ный анализ движения модели твердого тела с линейной цепью обратной связи, пред-
назначенной для стабилизации движения. Речь идет о модели, которая обладает мно-
жеством особых точек. Ниже составлено уравнение множества и приведен анализ
влияния множества особых точек на качество движения. Уравнения движения пред-
ставлены дифференциальной системой третьего порядка
= 2 ; = ; = ,
dx dy dz
bx y cyz x by cxz z cxy
dt dt dt
(12)
которая получена из уравнений Эйлера с учетом цепи обратной связи. Поиск особых
точек осуществляется с помощью системы алгебраических уравнений
2 = 0; = 0; = 0.bx y cyz x by cxz z cxy (13)
Из третьего уравнения системы (13) запишем
= .
cxy
z
(14)
Второе уравнение системы (13) умножим на b и сложим с первым уравнением.
Учитывая равенство (14), получаем
2
2 (1 ) 2
= .
b z
x
bc bc
(15)
Первое уравнение системы (13) умножим на b и сложим со вторым уравнением.
Учитывая равенство (14), получаем
2
2 (1 )
= .
2 2
b z
y
bc bc
(16)
Особая точка в нуле системы (12) имеет ХП, согласно характеристического уравнения
3 2 (1 *( 2 )) (1 (1 2 )) ( 1) = 0,b b b b
1,2 3 1,2 3< 0; > 0;| |>| | .Re Re (17)
Применяя равенства (15), (16), получим кривую в виде эллипса, которая на плоскости
xy ограничивает в определенной мере уход из нуля траектории в силу ХП (17)
2 2
2 2
= 1,
x y
A B
(18)
где
2 2
2 2
2 2
3( 1) 3( 1)
= ; = .
4
b b
A B
bc bc
Утверждение 2. Особые точки системы (12) на плоскости xy в области, огра-
ниченной эллипсом (18), имеют тип устойчивого фокуса.
Доказательство. Запишем уравнения движения на плоскости xy в виде
= ; = .
dx dy
bx y x by
dt dt
Особая точка в нуле (на плоскости xy ) имеет следующие ХП: 1,2 = / 2b i . Поле
линейной системы распространяется на плоскость, ограниченную эллипсом (18). В
этой области траектория притягивается к нулю. Утверждение 2 доказано.
107
5. Об одной интерпретации принципа симметрии в трехмерных системах.
Системы вида (12) отличаются от трехмерных систем, для которых в работе [4]
развит принцип симметрии. В [4] трехмерные системы разделены на подсистемы из
двух уравнений. Система вида (12) разделена на три подсистемы, которые связаны с
плоскостями xy , xz , yz . Каждая подсистема состоит из трех уравнений
1 1 1= ( , ); = ( , ); = ( , )x y z
dx dy dz
F x y F x y F x y
dt dt dt
(19)
( 1 =xF bx y ; 1 =yF x by ; 1 =zF cxy );
2 2 2= ( , ); = ( , ); = ( , )x y z
dx dy dz
F x z F x z F x z
dt dt dt
(20)
( 2 = ;xF bx 2 = ( 1 );yF x cz 2 =zF z );
3 3 3= ( , ); = ( , ); = ( , )x y z
dx dy dz
F y z F y z F y z
dt dt dt
(21)
( 3 = ( 1 );xF y cz 3 = ;yF by 3 =zF z ).
Рассмотрим подсистему, которая может организовать на плоскости xy кососим-
метричный портрет. Подсистема (19) содержит два линейных уравнения и одно нели-
нейное, которые порождают кососимметрию на координатной плоскости xy при вы-
полнении следующих условий [3]:
1 1 1 1 1 1( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ).x x y y z zF x y F x y F x y F x y F x y F x y (22)
Траектория трехмерной системы уходит из нуля в силу седлофокусной особой точки
(см. (17)); система в вариациях (19) имеет ХП – 1 2,3= 0; = b i , что указывает на
кососимметричный характер замкнутой траектории на плоскости xy . Нелинейность
1 =zF cxy вынуждает кососимметричную траекторию замкнуться.
Рассмотрим подсистему на плоскости xz . Подсистема (20) отвечает качеству
симметрии на плоскости xz . Согласно принципа симметрии на плоскости [9] замыка-
ние траектории на плоскости xz происходит при выполнении следующих условий в
уравнениях (20): четность функции 2zF относительно x , нечетность функции 2zF
относительно x . Тогда ось z становится осью симметрии:
2 2 2 2 2 2( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ).x x y y z zF x z F x z F x z F x z F x z F x z (23)
Рассмотрим подсистему на плоскости yz . Подсистема (21) отвечает качеству
симметрии на плоскости yz . Согласно принципа симметрии на плоскости [9] замы-
кание траектории на плоскости yz происходит при выполнении следующих условий
в уравнениях (21): четность функции 3zF относительно y , нечетность функции 3zF
относительно y . Тогда ось z становится также осью симметрии:
3 3 3 3 3 3( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ); ( , ) = ( , ).x x y y z zF y z F y z F y z F y z F y z F y z (24)
Условия (22) – (24) могут порождать регулярный аттрактор. Параметры, при ко-
торых, например, справедливо Утверждение 2, имеют значения
( , , ) = (0, 4; 5; 0, 26).b c (25)
108
6. О существовании регулярного аттрактора в системе (12).
Докажем утверждение о существовании аттрактора в системе (12).
Утверждение 3. В системе (12) при значениях параметров (25) существует ре-
гулярный аттрактор.
Доказательство. Множество особых точек по контуру эллипса (18) не включено
в траекторию системы (12) и относительно этих точек не образуется аттрактор. Траек-
тория образует аттрактор относительно особой точки (0,0,0) в силу симметрии про-
екций на координатные плоскости [3, 4, 9]. Утверждение 3 доказано.
На рис. 4, а, б, в приведены координатные портреты системы (12) и эллипс (18)
(рис. 4, а), а также след эллипса (18) на плоскостях xz , yz .
а б в
г д е
Рис. 4
На рис. 4, г, д, е приведена временная реализация системы (12). Отметим, что при
значениях параметров (25) особая точка на эллипсе с координатой = 0, =x y B и в
малой окрестности этой точки имеет определенное влияние на траекторию. Это видно
по временной реализации (рис. 4, д), на которой показано удвоение периода. Влияние
особой точки из множества на эллипсе состоит в изменении периода колебаний изоб-
ражающей точки, что вызывает самоорганизацию системы (12) в виде удвоения пери-
ода. Удвоение периода выступает как один из признаков (этапов) разрушения перио-
дического движения, которое переходит в хаос.
7. Перерождение аттрактора в странный.
Примем следующие значения параметров [8]:
( , , ) = (0, 4; 5; 0,175).b c (26)
При этих значениях параметров особые точки на эллипсе (18) имеют влияние на тра-
ектории системы (12). Уменьшились величины ,A B в эллипсе (18). Множество осо-
бых точек приблизились к точке (0,0,0) и каждая особая точка может влиять на дви-
жение траектории. В силу того, что система (12) имеет седловую составляющую дви-
жения, траектория, теряя симметрию, хаотизируется. Трехмерный регулярный аттрак-
тор перерождается в странный. Детализация хаотического движения может быть про-
ведена с помощью уравнений в вариациях системы (12). Таким образом, изменение
одного параметра ( ) из перечня (25) усилило влияние множества особых точек на
109
движение. Седловая составляющая, доминируя, изменила качество движения. На
рис. 5, а, б, в приведены координатный портрет системы (12) и эллипс (18) (рис. 5, а),
а также координатные портреты и следы эллипса (18) на плоскостях xz , yz . На
рис. 5, г, д, е приведена временная реализация системы (12). Отклонения по коорди-
нате x на координатных плоскостях существенно меньше при хаотическом режиме
движения по сравнению с регулярным движением.
Заметим, что начальные значения координат системы (12) при построении рисун-
ков для всех рассматриваемых случаев весьма малы (<<1). Выбор начальных условий
сильно влияет на координатные портреты хаотического движения.
а б
в
г д
е
Рис. 5
110
Таким образом, множество особых точек порождено эллипсом (18). В одном слу-
чае эти точки устойчивые и почти не влияют на траекторию системы (12). Тогда осо-
бая точка в нуле рождает лишь регулярный аттрактор.
Заключение.
Предлагаемый качественный анализ – шире, нежели численный эксперимент, на
что указывают следующие положения:
1) детализация перехода к системе координат, в которой нуль совпадает с особой
точкой;
2) приведена новая интерпретация принципа симметрии в трехмерных системах.
Установление качества кососимметрии и симметрии координатных портретов систе-
мы указывает на прямую связь симметрии с решением проблемы существования ат-
трактора. Симметрия (кососимметрия) на координатных плоскостях порождает замы-
кание траектории многомерной (трехмерной) системы;
3) численный анализ не установил отсутствие аттрактора в четырехмерной систе-
ме [5, 8]. В тоже время типовой подход доказательства в системе вида (2) и вида (12)
позволяет продвинуться в вопросе существования аттракторов и перерождения регу-
лярных аттракторов в странные;
4) анализ механизма перехода от регулярного аттрактора к странному при множе-
стве особых точек является оригинальным и связан с топологией пространства, в ко-
тором движется изображающая точка системы (12).
Р Е З Ю М Е Розглянуто дві системи О. Ресслера (тривимірну і чотиривимірну) і систему з
множиною особливих точок (модель твердого тіла з лінійним ланцюгом зворотнього зв’язку).
Складено рівняння множини особливих точок. Наведено нову інтерпретацію принципу симетрії в
тривимірних системах. Встановлено механізми виникнення регулярних аттракторів і переродження
їх в дивні.
1. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990. – 312 с.
2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных
средах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 488 с.
3. Никитина Н.В. Нелинейные системы со сложным и хаотическим поведением траекторий. – К.:
Феникс, 2012. – 235 с.
4. Никитина Н.В. Принцип симметрии в трехмерных системах // Доп. НАН України. – 2017. – № 7. –
С. 21 – 28.
5. Leipnik R.B. Double Strange Attraсtor in Rigid Body Motion with Linear Field back control // Phys. Lett.
– 1981. – 86A, N 2. – P. 63 – 67.
6. Leonov G.A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. – St. Peterburg: St. Peterburg University
Press, 2008. – 160 p.
7. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcation and Sinchronization of Two Coupled Generators // Int. Appl.
Mech. – 2017. – 53, N 2. – P. 369 – 379.
8. Neimark Yu.I., Landa P.S. Stochastic and Chaotic Oscillations. – Dordrecht: Kluwer, 1992. – 424 p.
9. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equation. – Princeton: Princeton Univ.
Press, 1960. – 550 p.
10. Nikitina N.V. Analysis of Mechanisms of Stability Loss of an Orbit in Matematical Models of Three-
dimensional Systems // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 6. – P. 121 – 132.
11. Rössler O.E. Chemical turbulence: chaos in a simple reaction–diffusion system // Zeitschrift fur
Naturforschung – 1976. – B. 31 a, H.10. – S. 1168 – 1172.
12. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear
Dynamics. Part I. – Singapore: World Scientific, 1998. – 416 с.
13. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear
Dynamics. Part II. – Singapore: World Scientific, 2001. – 592 с.
Поступила 29.01.2018 Утверждена в печать 22.05.2018
|