Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна

Рассмотрена диссипативная модель движения вихрей в рамках двумерного уравнения Гросса–Питаевского. Методом асимптотического согласования решений получена система обыкновенных диффренциальных уравнений первого порядка, описывающих движение вихрей во вращающемся конденсате Бозе–Эйнштейна. Модель учит...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
1. Verfasser:	Зуева, T.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2019
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Бозе-ейнштейнівська конденсація
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175431
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна / T.И. Зуева // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 1. — С. 78-89. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-175431
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1754312021-02-02T01:27:04Z Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна Зуева, T.И. Бозе-ейнштейнівська конденсація Рассмотрена диссипативная модель движения вихрей в рамках двумерного уравнения Гросса–Питаевского. Методом асимптотического согласования решений получена система обыкновенных диффренциальных уравнений первого порядка, описывающих движение вихрей во вращающемся конденсате Бозе–Эйнштейна. Модель учитывает влияние различных внешних факторов: частот ловушки, числа частиц в кондесате, угловой скорости вращения конденсата, параметра диссипации и др. В частных случаях бездиссипативного движения результаты согласуются с известными результатами других авторов. Добавление диссипации обобщает известные уравнения и позволяет увидеть движение вихрей к точкам равновесия и определить равновесные конфигурации любого числа вихрей. Модель иллюстрируется большим количеством примеров. Розглянуто дисипативну модель руху вихорів в межах двовимірного рівняння Гросса–Пітаєвського. Методом асимптотичного зіставлення розв’язків отримано систему звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, що описують рух вихорів у конденсатах Бозе–Ейнштейна, що обертаються. Модель враховує вплив різних зовнішніх факторів: частот магнітної пастки, числа атомів у конденсаті, кутової швидкості обертання конденсату, параметру дисипації та ін. В окремих випадках бездисипативного руху результати узгоджуються з відомими результатами інших авторів. Додавання дисипації узагальнює відомі рівняння і дозволяє побачити рух вихорів до точок рівноваги та визначити рівноважні конфігурації будь-якої кількості вихорів. Значна кількість малюнків ілюструє модель. A dissipative model of vortex motion within a two-dimensional Gross-Pitaevskii equation is studied. With the asymptotic coordination method of solutions, a system of ordinary first-order differential equations describing vortex motion in rotating Bose-Einstein condensate was derived. The model takes into account the effect of various external factors: magnetic trap frequencies, number of particles in the condensate, angular rotational velocity of the condensate, dissipation parameter, etc. In special cases of dissipation-free motion, the results are coordinated with the known results of other authors. The addition of dissipation generalizes the known equations and makes it possible to see the vortex motion to the equilibrium points and to define the equilibrium configurations of any number of vortices. The model is illustrated by a large number of examples. 2019 Article Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна / T.И. Зуева // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 1. — С. 78-89. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0132-6414 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175431 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Бозе-ейнштейнівська конденсація Бозе-ейнштейнівська конденсація
spellingShingle	Бозе-ейнштейнівська конденсація Бозе-ейнштейнівська конденсація Зуева, T.И. Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна Физика низких температур
description	Рассмотрена диссипативная модель движения вихрей в рамках двумерного уравнения Гросса–Питаевского. Методом асимптотического согласования решений получена система обыкновенных диффренциальных уравнений первого порядка, описывающих движение вихрей во вращающемся конденсате Бозе–Эйнштейна. Модель учитывает влияние различных внешних факторов: частот ловушки, числа частиц в кондесате, угловой скорости вращения конденсата, параметра диссипации и др. В частных случаях бездиссипативного движения результаты согласуются с известными результатами других авторов. Добавление диссипации обобщает известные уравнения и позволяет увидеть движение вихрей к точкам равновесия и определить равновесные конфигурации любого числа вихрей. Модель иллюстрируется большим количеством примеров.
format	Article
author	Зуева, T.И.
author_facet	Зуева, T.И.
author_sort	Зуева, T.И.
title	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна
title_short	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна
title_full	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна
title_fullStr	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна
title_full_unstemmed	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна
title_sort	диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах бозе–эйнштейна
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Бозе-ейнштейнівська конденсація
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175431
citation_txt	Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна / T.И. Зуева // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 1. — С. 78-89. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT zuevati dissipativnoedviženievihrejvprostranstvennoneodnorodnyhkondensatahbozeéjnštejna
first_indexed	2025-07-15T12:44:49Z
last_indexed	2025-07-15T12:44:49Z
_version_	1837716985984581632
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1, c. 78–89 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна T.И. Зуева Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: zueva@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 26 июня 2018 г., опубликована онлайн 26 ноября 2018 г. Рассмотрена диссипативная модель движения вихрей в рамках двумерного уравнения Гросса–Пи- таевского. Методом асимптотического согласования решений получена система обыкновенных диф- френциальных уравнений первого порядка, описывающих движение вихрей во вращающемся конденсате Бозе–Эйнштейна. Модель учитывает влияние различных внешних факторов: частот ловушки, числа час- тиц в кондесате, угловой скорости вращения конденсата, параметра диссипации и др. В частных случаях бездиссипативного движения результаты согласуются с известными результатами других авторов. До- бавление диссипации обобщает известные уравнения и позволяет увидеть движение вихрей к точкам равновесия и определить равновесные конфигурации любого числа вихрей. Модель иллюстрируется большим количеством примеров. Ключевые слова: конденсаты Бозе–Эйнштейна, квантованные вихри, вихревые решетки, диссипативное движение, равновесные конфигурации вихрей. 1. Введение Экспериментальное открытие в 1995 году атомных конденсатов Бозе–Эйнштейна (БЭК) предоставило новое поле деятельности для изучения особенностей нелиней- ной динамики квантованных вихрей. Самые популярные объекты исследования: образование нескольких вихрей; динамика вихревых решеток; распад вихрей с кратной циркуляцией в совокупность единичных вихрей; гене- рация квантовой турбулентности и др. [1]. Вихрь пред- ставляет собой хорошо заметный дефект плотности, ко- торый можно отслеживать визуально: радиус кора вихря в БЭК достигает 0,2 мкм (в гелии он составляет всего 10 нм [2]). Более того, современные технологии по- зволяют с помощью двух лазерных лучей генерировать пары вихрей в любой точке конденсата. Тогда при вы- ключении лазера можно наблюдать свободную дина- мику вихревой системы [1,3]. Возможность помещения вихрей в произвольные точ- ки в конденсате и визуализация их движения сделали актуальной задачу теоретического описания законов ди- намики произвольного числа вихрей. В качестве исходного уравнения для изучения дви- жения квантованных вихрей берется уравнение Грос- са–Питаевского [4,5], описывающее поведение волно- вой функции Ψ конденсата из слабо взаимодействую- щих атомов, помещенного во внешнее поле с потенциа- лом trV . Для трехмерного конденсата, вращающегося с угловой скоростью = (0,0, )ΩΩ , это уравнение запи- сывают в виде 2 2 2 tr 3= \| \| ( ) . 2 Di V g i t m  ∂Ψ − ∇ + + Ψ − µ + × ⋅∇ Ψ  ∂    r   Ω Здесь 2 3 = 4 /Dg a mπ — постоянная взаимодействия, пропорциональная амплитуде рассеяния a; m — масса атома; 2 2 tr = , , = 2 x y z mV xα α α ω∑ — захватывающий потенциал ловушки в трехмерном случае; слагаемое с Ω обусловлено переходом во вра- щающуюся систему координат; химический потен- циал µ — множитель Лагранжа, обеспечивающий вы- полнение условия нормировки волновой функции 2\| \| =dV NΨ∫ , N — число атомов в конденсате. Если прижимающее поле в направлении z намного больше, чем в поперечном направлении, z rω ω , кон- денсат сплющивается и принимает вид практически © T.И. Зуева, 2019 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна двумерного диска. В этом случае можно использовать двумерную модель в плоскости ( , )x y [6]: 2 2= 2 i t m ∂ψ − ∇ ψ + ∂   2 2 2 2 = , \| \| ( ) . 2 D x y m r g iα α α + ω ψ + ψ ψ − µψ + Ω× ⋅∇ψ∑ r (1) Здесь 2 3= / 2D D zg g mω π , волновая функция = \| \| exp ( )iψ ψ φ зависит только от двух пространствен- ных переменных, градиент и лапласиан уже двумер- ные, а вихрь представляет собой точку-сингулярность, удовлетворяющую условию квантования циркуляции = 2 , = 1, 2, 3...,dl n n Γ ∇φ⋅ π∫ (2) Γ — любой замкнутый контур, охватывающий вихрь. Число возникающих в конденсате вихрей vN зависит прежде всего от угловой скорости Ω , однако искус- ственно можно генерировать любое число вихрей. Переход к двумерной системе позволил активно ис- пользовать теорию функций комплексного переменно- го и получить явные уравнения движения вихрей. Пер- вые работы, в которых были получены уравнения, описывающие движение отдельных вихрей, появились более двух десятилетий назад: [7–9] для однородных сред; [10] для абстрактной неоднородной среды; в ра- ботах [11–13] и др. были получены уравнения движе- ния вихрей в конденсатах Бозе–Эйнштейна. Одна из самых плодотворных идей заключается в использова- нии метода согласования асимптотических разложе- ний, предложенного Писменом и Рубинштейном [8,10] и позднее применяемого многими авторами. В двумерной модели рассматривались два вида урав- нений: уравнение Шредингера и уравнение потока теп- ла. В простейшем случае однородной модели уравне- ние Шредингера 2(1 \| \| ) = ti∆ψ + − ψ ψ − ψ давало периодические траектории одинаковых вихрей или движение по замкнутым контурам для вихрей раз- ных знаков [7,14], в то время как уравнение потока тепла, представляющее собой уравнение Шредингера с мнимым временем = itτ , 2(1 \| \| ) = ,τ∆ψ + − ψ ψ ψ приводило к движению вихрей к точкам равновесия [7]. Это свойство использовалось в работе [6] для получе- ния равновесного состояния системы. Бездиссипативная ситуация описывалась уравнени- ем Шредингера и приводила к гамильтоновым уравне- ниям [9,10]. Модель давала периодические [1,15,16] или почти периодические траектории со сносом, обу- словленным вращением [17]. Траектории сильно зави- сели от начального положения вихрей. Между тем в экспериментальных работах было об- наружено затухание коллективных возбуждений в ох- лажденных бозе-газах [18,19], т.е. наличие диссипации. Изначально диссипация в уравнение Гросса–Питаев- ского была введена феноменологически [20] для учета роли конечных температурных флуктуаций в динамике БЭК. В более поздних работах ([21] и др.) было пред- ложено добавлять диссипативный член в уравнение Гросса–Питаевского (1) как дополнительное слагаемое в производной по времени: 2 2 0( ) = 2 i t m ∂ψ − γ − ∇ ψ + ∂   2 2 2 2 = , \| \| ( ) , 2 D x y m r g iα α α + ω ψ + ψ ψ − µψ + Ω× ⋅∇ψ∑ r (3) т.е., по сути, в уравнении Шредингера использовалось комплексное время. (Во избежание путаницы в парамет- ре диссипации введен индекс 0: буквой γ без индекса обозначают постоянную Эйлера 0,5772γ ≈ , которая появится в решениях.) Часть решения, соответствую- щая реальному времени, давала периодическое движе- ние; слагаемое с мнимой частью времени отвечало за диссипацию, приводящую к движению к точкам рав- новесия. Объединение этих двух эффектов позволяло увидеть как движение к точкам равновесия по спира- левидным траекториям [1,22], так и выведение вихрей за пределы конденсата, если их существование было энергетически невыгодным [23]. Параметр 0γ в работах Tsubota и его группы ([21] и др.) полагался равным 0 = 0,03γ , в соответствии с экспериментальными оценками [19]. Другие авторы используют параметр диссипации в диапазоне от 0,01 до 0,03 и даже предлагают зависящую от температуры формулу для его вычисления [24]. В большей части работ диссипативные уравнения изучаются численно, исходя из уравнения (3). Между тем уравнения движения отдельных вихрей для без- диссипативной модели уже активно использовались [15,16,25]. Настоящая работа посвящена получению уравне- ний, описывающих диссипативное движение вихрей во вращающихся конденсатах Бозе–Эйнштейна. Это ис- следование обобщает хорошо изученный в литературе бездиссипативный случай и является логическим про- должением предыдущей работы [17]. Уравнения приво- дятся к безразмерному виду. Методом асимптотическо- го согласования решений выводится система уравнений первого порядка, описывающая динамику отдельных вихрей (разд. 2). Приведена явная формула нахожде- ния равновесного радиуса окружности, на которой вы- страиваются вихри c заданной угловой скоростью, по- ка их число невелико (разд. 3). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 79 T.И. Зуева Модель учитывает как взаимное влияние вихрей, так и влияние внешних факторов: числа атомов в конден- сате, угловой скорости вращения конденсата как цело- го, соотношения частот ловушки и параметра диссипа- ции (разд. 4). При увеличении угловой скорости число вихрей растет, и распределяются они уже в виде неко- торой решетки. Задавая начальные положения вихрей, из динамических уравнений можно получить равновес- ную конфигурацию, которая может быть сопоставлена с экспериментальными результатами. Многочисленные графики иллюстрируют приведенные уравнения. 2. Переход к безразмерным переменным и идея метода асимптотического согласования Используем приближение Томаса–Ферми: будем по- лагать, что кинетическая энергия, связанная с измене- нием плотности, пренебрежимо мала по сравнению с энергией ловушки и энергией взаимодействия. Пара- болический профиль Томаса–Ферми для уравнения (1) для симметричной ловушки ( =x y rω ω ≡ ω ) определя- ется как 2 2 2 2 / 2 \| \| = ,r D m r g µ − ω ψ а радиус Томаса–Ферми, полученный из условия 2\| \| 0ψ = , оказывается равным 2 2 2= .TF r R m µ ω (4) Из условия нормировки 2\| \| =dV Nψ∫ получаем зави- симость химического потенциала от числа атомов: 2 2= .D rNg mω µ π (5) Заметим, что в отличие от жидкости, заключенной в сосуд, газообразный конденсат не имеет четко опреде- ленной границы, поэтому корректное граничное условие имеет вид \| = 0∞ψ . Это означает, что радиус Томаса– Ферми позволяет только оценить характерный размер конденсата, но не определяет его физическую границу. Чтобы использовать метод асимптотического согла- сования, необходимо в уравнении (3) выбрать малый параметр. В качестве такого параметра обычно берется отношение радиуса кора вихря к характерному внеш- нему размеру [10]. Перейдем в уравнении (3) к безразмерным перемен- ным. В качестве нормировочного параметра для хими- ческого потенциала возьмем 0 = zµ ω [1,25], тогда 0= /µ µ µ . Соответствующий радиус Томаса–Ферми (4) равен 2 2 0 = 2 / ( )z rR mω ω . Остальные переменные пе- ренормируем так: 0= / ,Rρ r 0= ,tΩ Ω tr 0= / ,rΩ ω ω 0= / ,t t t 0= Rψ ψε , где 0 = rω ω . Нормировочное время 0t и параметр ε получаются естественным образом при подстановке этих новых переменных в уравнение (3): 2 0 0= 2 /t mR , 0 0 = = . 2 r zt ω ε µ ω  (6) Для дискообразного конденсата ( z rω ω ) ε мало. Можно проверить, что 0 0= / Rε ξ , где длина когерент- ности 0ξ определяется как 1/2 0 0 2= (8 / )Da g −ξ π µ [26]. Частота ловушки trΩ нормируется на 0 = rω ω и оказывается равной 1. Однако чтобы не потерять в уравнениях слагаемые, обусловленные наличием ло- вушки, сохраним обозначение trΩ . Безразмерное урав- нение в этих переменных запишется как 2 2 2 2 0 tr2 1( ) = ( \| \| ) ( ) .i g i t ∂ψ − γ −∆ψ − ψ µ −Ω ρ − ψ + Ω× ⋅∇ψ ∂ ε ρ        (7) Здесь 2 2 2= 2 /Dg g m  . Размер конденсата R и хими- ческий потенциал µ оказываются порядка 1, а радиус кора вихря имеет порядок ε. При значениях параметров, соответствующих реаль- ным экспериментальным данным, все величины можно вычислить явно. Так, для конденсата из атомов рубидия ( = 87 а.е.m , 5,3 нмa  ) для ловушки с частотами [1] = 2 ·2 Гцrω π , = 2 ·90 Гцzω π параметр 0,011ε . Зада- вая число атомов N , можно примерно оценить безраз- мерный химический потенциал µ , размерный ( TFR ) и безразмерный ( =TFR R  ) радиусы конденсата, а также длину когерентности ξ (см. табл. 1). В первой строчке выписаны значения параметров при 0=µ µ . Таблица 1. Параметры конденсата N µ , мкмTFR TFR , мкмξ 52,72 10⋅ 1,00 73,2 1,000 0,80 54,40 10⋅ 1,27 81,5 1,127 0,71 61,00 10⋅ 1,91 100,1 1,384 0,58 61,50 10⋅ 2,35 110,8 1,532 0,52 62,00 10⋅ 2,71 119,1 1,646 0,49 С ростом N радиус Томаса–Ферми и химический потенциал растут как Nµ , 4 TFR N , а длина ко- герентности убывает. Явная зависимость безразмерных µ и TFR от числа частиц показана на рис. 1. В реальных физических экспериментах значение химического потенциала = 1,5µ соответствует при- мерно 54,4·10 атомам рубидия, радиусу Томаса– Ферми 87 мкм и радиусу вихря 0,64 мкмξ [1], что находится в хорошем согласии с приведенными фор- мулами. Для реализации метода асимптотического согласо- вания построим два асимптотических решения в окре- 80 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна стности j -го вихря, j — любой номер от 1 до Nv , в двух разных линейных масштабах, соответствующих исходным и растянутым координатам [8,10]. Более стро- гое математическое обоснование метода приведено в книге [27]. В уравнении (7) перейдем в систему координат, свя- занную с j-м вихрем: = ( )j t +ρ ξ r, где ( )( ) = ( ), ( )j j jt t tη ζξ — координаты j -го вихря: 2 2 2 0 tr2 1( ) ( ) = ( ( )j ji t ∂ψ − γ − ξ ⋅∇ ψ −∇ ψ − ψ µ −Ω + − ∂  ε ξ r 2 2\| \| ) ( ( )) .jg i− ψ + × + ⋅∇ψΩ ξ r (8) Для упрощения записи тильды над всеми буквами опущены. Уравнение (8) выписано в исходных координатах и соответствует внешнему уравнению (far field equation). В области 1/2 out = { < < }B rε ∞ вокруг j -го вихря стро- им решение, учитывающее поведение системы вдали от вихря, т.е. влияние других вихрей и граничные условия. Внутреннее уравнение (core solution) описывает струк- туру волновой функции вблизи вихря. Чтобы удобней было изучать поведение решения, перейдем к растяну- тым координатам = / εR r : 2 0( ) ( )j Ri t ∂Ψ − γ ε − ε ξ ⋅∇ Ψ = ∂   ( )2 2 2 2 2 tr ( ) \| \|R j g= −∇ Ψ −Ψ µ −Ω + ε − Ψ +ξ R ( ( )) .j Ri+ ε Ω× + ε ⋅∇ Ψξ R (9) Решение строим в области 1/2 inn = {1 < < 2 }B R −ε с уче- том условия на границе вихря (при = 1R ). В промежу- точной области — кольце 1/2 1/2= { < < 2 }K R− −ε ε — решения должны совпадать [27]. Сопоставление реше- ний и дает искомые уравнения движения вихря. Заме- тим, что в кольце K r мало ( 1r  ), а R велико ( 1).R Волновые функции строятся в виде разложений по малому параметру ε: 0 1( , ) = ( , ) ( , )t t tψ ψ + εψ +r r r 2 2 ( , )t+ ε ψ +r  . Подстановка этого разложения в урав- нение (8) и приравнивание нулю коэффициентов при одинаковых степенях ε дает уравнения для функций 0ψ , 1ψ ... Решения ищем в виде рядов Фурье. Вычисле- ния показывают, что в разложения при малых r входят слагаемые порядка r и lnr r [9,10]. Аналогично находится решение внутреннего урав- нения. В разложения при больших R тоже входят сла- гаемые порядка lnR R . При сопоставлении решений необходимо учесть, что = /R r ε , и это даст ln ε в сис- теме уравнений (см. также [12], уравнение (31)). Самый интересный момент — нахождение произ- вольных постоянных, фигурирующих в решениях. Для их определения используется либо асимптотика вблизи вихря, либо интегральное условие совместности. Детали вывода достаточно утомительны, хотя легко воспроизводимы. Подробный вывод уравнений движе- ния вихрей вынесен в отдельную статью [28]. Некото- рые интересные моменты, касающиеся определения постоянных интегрирования, приведены в Приложе- нии. Конечный результат имеет вид системы уравне- ний, описывающих диссипативную динамику вихрей в неоднородном конденсате Бозе–Эйнштейна: ___________________________________________________ 2 tr 1 1 02 2 1/2 1/2 2 tr 1 1 02 2 1/2 1/2 ( ) 2 2 2 = 2 ln ln , \| \| e e ( ) 2 2 2 = 2 ln ln . \| \| e e k j k j j j j j j j j k j j k j j j k j k j j j j j j j j k j j k j j j n n a a n m m n n a a n m m γ− γ+ ≠ γ− γ+ ≠  ζ − ζ Ω Ξ Ξ η −Ωζ − − ζ + γ ζ  ξ − ξ Ξ ε ε  η −η Ω Ξ Ξ ζ +Ωη + η − γ η ξ − ξ Ξ ε ε ∑ ∑     (10) ______________________________________________ Здесь 2 2 2 tr=j jΞ µ −Ω ξ — плотность неоднородного кон- денсата в точке jξ , 2 2 2 tr tr2 2 2 2 tr (2 ) = ( ) j j j m Ω µ+Ω ξ µ −Ω ξ (см. Приложение), jn — интенсивность j -го вихря (см. (2)), 0,5772γ ≈ — постоянная Эйлера. Численный параметр 1a связан с плотностью конденсата в окрест- ности j -го вихря и оценивается как 0,405 1 ea ≈ [10]. Параметр ε определяется соотношением частот ло- вушки: = / (2 )r zε ω ω . Рис. 1. Безразмерный химический потенциал и радиус Тома- са–Ферми как функция числа частиц. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 81 T.И. Зуева Приведенные уравнения получены для j -го вихря, однако процедура может быть проведена для каждого из Nv вихрей, составляющих вихревую систему. Ме- няя j от 1 до Nv , получаем систему 2Nv обыкновен- ных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих движение вихрей во вращающемся кон- денсате Бозе–Эйнштейна. При 0 = 0γ получаем бездис- сипативные уравнения, которые можно записать в га- мильтоновом виде [17]. Уравнения с диссипацией га- мильтоновыми не являются. Обозначив 2 tr 1 2 1/2 2 2 = ln , e j j j j j n a m γ− Ω Ξ ω Ξ ε 1 1/2 2 = ln , e j j j j a n m γ+ Ξ Γ ε 1 1 1 2 ( ) = ( , ) = , \| \| k j k j j j k j j k n C S ≠ ξ − ξ ξ − ξ ∑K запишем систему (10) в векторном виде: 1 0( ) = 2 ( ) .j j j j j j j j j j jn nξ + × × + × × − γ ΓΩ ξ k K ω ξ k ξ (11) Здесь введены обозначения для векторов: = (0,0, )j jωω ; = (0,0, )j jnk — гировектор j -го вихря, = (0,0, )ΩΩ , = ( , ,0)j j jη ζξ . Система (11) имеет наглядный и понятный вид. Сле- ва в скобках стоит скорость j -го вихря в лабораторной системе координат: =j j jξ + ×v Ω ξ , вращение конден- сата как целого дает дополнительное слагаемое ( )j×Ω ξ . 1 jK описывает влияние остальных 1N −v вихрей и мо- жет быть записано в виде (см. (23) в [17], (34) в [29] и (7) в [30]) 2 1 , ( ) = , = ln \| \| . Nv j j j k j k j k j k j dEn E n n d ≠ − − ξ − ξ ξ ∑K Слагаемое с jω обусловлено неоднородностью кон- денсата (ср. с выражением (87) в [11]); и наконец, по- следнее слагаемое описывает силу трения, действую- щую на вихрь (см. формулу (22) в [31]). Количество вихрей и характер их движения зависят от внешних параметров системы: — числа частиц N — от него зависит химический потенциал µ и радиус Томаса–Ферми; — частот магнитной ловушки rω , zω ; хотя явно они в уравнения не входят, и даже trΩ оказалось равным 1, их влияние заключено в параметре = / (2 )r zε ω ω ; — угловой скорости вращения Ω ; — параметра диссипации 0γ . Поскольку при выводе уравнений мы ограничились только первыми членами разложения волновых функций и пренебрегли слагаемыми порядка ε и выше, получен- ные уравнения применимы до тех пор, пока расстояния между вихрями остаются большими по сравнению с размером кора вихря и вихри не подходят слишком близко к границе конденсата, где плотность по абсо- лютной величине сравнима с ε. Это означает, что сис- тема не описывает слияние вихрей и исчезновение вих- ря при подходе к границе. В простейших случаях система (10) сводится к из- вестным результатам. 1. Для одного вихря в бездиссипативном конденсате без вращения получается скорость вихря (23) из рабо- ты [10]: 2 1 tr 1 1 1 1 1 12 1/2 1 1 2 2 = ln ( , ) e n a m γ− Ω Ξ ≡ ξ −ζ η Ξ ε v  , если согласовать обозначения: 0 1e =µ Ξ , 2 2 0 tr 1 1 1( ) = ( / )( , )∇µ − Ω Ξ η ζr . 2. В работе [12] выписано уравнение прецессии единственного вихря в неоднородном конденсате (31). Авторы шли другим путем и обнаружили зависимость угловой скорости прецессии от положения вихря (зна- менатель 2 1(1 )r− и соответствующий множитель в ло- гарифме), обусловленную неоднородностью конденсата. В это уравнение в явном виде входит малый параметр / =Rξ ε. 3. Скорость единственного вихря во вращающемся конденсате имеет вид (90) в работе [11]. В работе [13] (формула (1)) учитывается неоднородность конденсата. 4. В [25] используется асимптотика вблизи вихря и уточняется выражение для угловой скорости прецес- сии. Уравнения принимают вид (3), (4) (см. также сис- тему (2) в [16]). Именно к такому виду сводится система уравнений (10), если вихрь находится недалеко от цен- тра конденсата: 2 2 tr/ / (2 )j jmΞ ≈ µ Ω . Однако в случае произвольного расположения вихрей нужно учитывать зависимость параметров jΞ и jm от координат вихря. 5. И наконец, отметим работу [22], в которой были получены диссипативные уравнения. Авторы исходили из известного факта [6], что энергия в диссипативном случае — убывающая функция времени, а скорость ее убывания пропорциональна диссипации. Полученная система уравнений подобна (10), а коэффициент при параметре диссипации найден численно из аппрокси- мации Паде для некоторых значений химического по- тенциала. В системе (10) этот коэффициент вычисляет- ся непосредственно из общих параметров задачи. Таким образом, система (10) охватывает все рас- смотренные ранее случаи, хорошо с ними согласуется, однако является более общей и может быть применена к самым разным ситуациям без ограничений. 3. Условия равновесия кольца вихрей При наличии диссипации вихри движутся к точкам равновесия. Равновесные положения вихрей определя- ются из общей системы уравнений (10) при = = 0j jη ζ . 82 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна В общем случае произвольной конфигурации вихрей получаем систему 2Nv алгебраических уравнений от- носительно координат { , }j jη ζ , = 1,j Nv , решение ко- торой при больших Nv становится трудоемкой зада- чей. В частном случае цепочки из одинаковых вихрей ( = 1jn для всех j ), расположенных на окружности ра- диуса 0r , условие равновесия выписывается явно: 0 0 0 0 1 ( ) = 0.j N r r r r − Ω − +ωv (12) Численные расчеты показывают, что при > 5Nv более предпочительной является конфигурация с централь- ным вихрем. К подобному выводу пришли и авторы статьи [12]. Для такой системы условие равновесия ( 1)N −v вихрей записывается в виде 0 0 0 0 ( ) = 0.j N r r r r Ω − +ωv (13) При = 1Nv уравнение (12) имеет корень 0 = 0r при любой угловой скорости. При большем числе вихрей, равномерно распределенных на одной окружности, с центральным вихрем или без него, наличие корней за- висит от угловой скорости Ω . Уравнение, определя- ющее равновесный радиус кольца вихрей, (12) или (13), при малых угловых скоростях решения не имеет (рис. 2): существование вихрей энергетически невы- годно, и они выводятся за пределы конденсата. Начи- ная с некоторого значения Ω появляются два корня: неустойчивый (ближе к краю) и устойчивый (ближе к центру). Сингулярность вблизи границы конденсата на рисунке не изображена. С ростом Ω при фиксированном числе вихрей зна- чение 0r уменьшается (см. рис. 2); равновесное кольцо сжимается. В реальной ситуации при увеличении угло- вой скорости появляются новые вихри и радиус кольца растет. В табл. 2 показана зависимость радиуса ок- ружности, на которой находится цепочка вихрей, от угловой скорости при разном количестве вихрей (при значениях внешних параметров (14), см. ниже). Послед- ние три строчки — конфигурация с центральным вихрем. Минимальное значение угловой скорости, при которой уравнение имеет корни, для значений = 2, 3, 4, 5, 6Nv оказывается равным = 10, 11, 13, 15, 16Ω соответственно. Конфигурация с центральным вихрем (уравнение (13)) появляется при числе вихрей больше пяти; для = 6, 7, 8Nv это происходит при = 17, 18, 19Ω (см. табл. 2). 4. Численные эксперименты: зависимость решения от внешних параметров Проведены расчеты для ловушки с частотами = 2 2 Гцrω π⋅ , = 2 90 Гцzω π⋅ [1] для числа частиц 6= 1 10N ⋅ . Безразмерная частота tr = 1Ω , безразмерный радиус Томаса–Ферми, химический потенциал и малый параметр (см. табл. 1) равны соответственно = 1,384, = 1,917, = 0,011.TFR µ ε  (14) Для иллюстрации будем прослеживать зависимость от разных внешних параметров: угловой скорости, па- раметра диссипации 0γ , числа вихрей; от соотношения частот ловушки (параметр ε). Стартовать будем с про- стейшего случая одного вихря в конденсате без враще- ния; затем будем последовательно добавлять диссипа- цию, вращение, количество вихрей. При расчетах использовалась схема Рунге–Кутта четвертого порядка. Рис. 2. (Онлайн в цвете) Левая часть уравнения (12) для двух вихрей при разных значениях угловой скорости. Таблица 2. Радиус окружности с цепочкой вихрей в зависимости от угловой скорости Ω при разном количестве вихрей Nv Ω 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 = 2Nv 0,57 0,48 0,43 0,39 0,36 = 3Nv 0,57 0,53 0,49 0,46 0,44 0,42 0,40 0,38 = 4Nv 0,76 0,67 0,62 0,58 0,54 0,52 0,49 0,47 = 5Nv 0,74 0,68 0,64 0,60 0,58 0,55 0,53 = 6Nv 0,79 0,73 0,69 0,65 0,62 0,60 = 5 1N +v 0,83 0,77 0,72 0,69 0,66 = 6 1N +v 0,86 0,80 0,75 0,72 = 7 1N +v 0,88 0,82 0,78 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 83 T.И. Зуева 4.1. Влияние диссипации Рассмотрим простейший случай: конденсат без вра- щения и без диссипации. При нулевой угловой скоро- сти появление вихря энергетически невыгодно, однако если поместить его в конденсат принудительно, он бу- дет вращаться по окружности того радиуса, куда был помещен изначально (рис. 3(a)). Добавление диссипа- ции отражает реальную ситуацию: вихрь будет выве- ден за пределы конденсата, причем чем больше дисси- пация 0γ , тем быстрее это произойдет (рис. 3(б), (в)). 4.2. Влияние вращения Зафиксируем параметр диссипации, 0 = 0,03γ , и на- чальное положение вихря — скажем, 1( = 0,7,η 1 = 0,0)ζ , — и будем менять скорость вращения. При малых угловых скоростях вихрь будет по-прежнему выводиться за пределы конденсата (рис. 4(a)), но при некоторой угловой скорости (здесь при 7,5Ω ≈ ) вихрь остановится, а потом, по мере увеличения угловой скорости, по спирали начнет двигаться к центру (рис. 4(б),(в)). Чем больше скорость вращения, тем быстрее движется вихрь — время эксперимента на ри- сунках (б) и (в) одинаковое. Определенная таким образом критическая угловая скорость зависит от начального положения вихря: чем ближе к границе конденсата находится вихрь, тем большую скорость вращения нужно приложить, чтобы заставить его двигаться к центру. 4.3. Траектории движения двух вихрей 4.3.1. Два вихря одного знака. При отсутствии вра- щения и диссипации два вихря, расположенные в на- чальный момент времени на одном диаметре, движутся по окружности. При отклонении от этой тривиальной ситуации картинки усложняются. Для наглядности на рис. 5(a)–(г) взяты одни и те же несимметричные начальные положения (0,7; 0,0) и (0,2; 0,3). Даже простейший случай 0 = 0γ , = 0Ω дает сложные траектории со сносом, обусловленным неод- нородностью конденсата (рис. 5(а)). Добавление вращения ( = 3Ω ) дает снос траекторий пропорционально угловой скорости (рис. 5(б)). Можно убедиться, что диссипация при этой заведомо недоста- точной скорости вращения выводит вихри за пределы конденсата. Увеличим скорость вращения. На рис. 5(в) при = 9Ω один из вихрей уже приблизился к границе, а второй Рис. 3. Движение одного вихря в конденсате без вращения: 0 = 0γ (a), 0 = 0,01γ (б), 0 = 0,03γ (в). Рис. 4. Влияние вращения на движение одного вихря: = 2Ω (a), = 9Ω (б), = 12Ω (в). 84 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна явно направляется к центру конденсата — в равновес- ную позицию (счет прерывается, когда хотя бы один вихрь подходит близко к границе). И только достаточ- но большая угловая скорость ( = 12Ω , рис. 5(г)) обес- печивает движение обоих вихрей к точкам равновесия, соответствующим расчетным значениям (12). 4.3.1. Два вихря разных знаков (диполь). Рассмотрим ту же последовательность примеров. (1) Нет ни вращения, ни диссипации. Симметричные начальные положения дают замкнутые траектории, по которым вихри движутся в противоположных направ- лениях. Внешний контур соответствует начальным пози- циям {(1,0;0,0), (0,0;1,0)}, внутренний {(0,7;0,0), (0,0;0,7)} (рис. 6(a)). Произвольные начальные положения дают траектории со сносом, обусловленным неоднородно- стью среды, со временем плотной сеткой покрывающие все пространство. Рисунок 6(б) построен для началь- ных положений {(0,8;0,0), (0, 2;0,0)} (ср. с рис. 3 [1]). (2) Вращение в бездиссипативном случае дает до- полнительный снос. Случай симметричных начальных положений {(0,8;0,0), (0,0;0,8)} для = 2Ω показан на рис. 6(в). На рис. 6(г) к случаю (б) добавлено вращение. Картина бездиссипативного движения пары вихрь– антивихрь аналогична вращению вихревой пары во- круг дефекта в магнетиках (см. [30], рис. 5(в)): уравне- ния, описывающие обе системы, записываются в виде уравнений Тиле (7) [30]. (3) Самый любопытный случай — с диссипацией. Случай без вращения (рис. 7(a)) при симметричных начальных позициях дает симметричные траектории: вихри разных знаков движутся навстречу друг другу или в противоположных направлениях, в зависимости от выбора порядка вихрей, и аннигилируют. Небольшое вращение ( = 4Ω ) сносит эти траектории против часовой стрелки (рис. 7(б)), а дальнейшее уве- личение скорости вращения ( = 5Ω ) приводит к удале- нию вихрей из конденсата (рис. 7(в)). Интересно было бы проследить, при какой угловой скорости за пределы конденсата выводится только отрицательный вихрь, а положительный занимает свое равновесное положение в центре, но модель не допускает изменения числа вихрей. Таким образом, существование вихрей с отрица- тельной циркуляцией энергетически невыгодно. Если в идеальном бездиссипативном случае такие вихри чис- то теоретически могут существовать, то добавление даже небольшой диссипации приводит к их взаимному уничтожению или выведению за пределы конденсата. Рис. 5. (Онлайн в цвете) Движение двух вихрей одного знака: (a) 0 = 0γ , = 0Ω , (б) 0 = 0γ , = 3Ω , (в) 0 = 0,03γ , = 9Ω , (г) 0 = 0,03γ , = 12Ω . Рис. 6. (Онлайн в цвете) Движение двух вихрей разных знаков: случай без диссипации ( 0 = 0γ ): (a) = 0Ω , симметричные начальные положения; (б) = 0Ω , несимметричные начальные положения; (в), (г) — к случаям (а) и (б) добавлено вращение = 2Ω . Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 85 T.И. Зуева 4.4. Равновесные конфигурации при большом числе вихрей При > 5Nv реализуется ситуация с центральным вихрем, когда вокруг одного вихря в центре движется кольцо вихрей. Равновесный радиус этого кольца оп- ределяется уравнением (13). Расчетные позиции великолепно согласуются с точ- ками, в которые со временем попадают вихри в чис- ленных экспериментах. На рис. 8 показано движение вихрей к точкам равновесия. Чтобы не загромождать рисунок, начальные участки траекторий вихрей не по- казаны, показано только движение в окрестности точек равновесия. Конфигурация с центральным вихрем (рис. 8(б)) прослеживается вплоть до = 8Nv . И уже при 9N ≥v равновесная система представляет собой вихревую ре- шетку. Задавая угловую скорость и произвольные началь- ные положения вихрей (при условии, что расстояния между любыми двумя вихрями должны быть много больше ε) и запуская вычислительный процесс (10), че- рез некоторое число шагов получаем равновесные кон- фигурации вихрей. На рис. 9(a)–(в) показаны равновес- ные структуры для = 9, 15, 20Nv . При = 9Nv внутри кольца оказываются уже два вихря, и внешнее кольцо превращается в эллипс. Вихревые структуры с боль- шим числом вихрей приближаются к треугольной ре- шетке. Если число вихрей зафиксировать, а угловую ско- рость увеличивать, равновесная конфигурация будет сжиматься: вращение создает дополнительную центро- стремительную силу. На рис. 9(г) угловая скорость уд- воена по сравнению с 9(в). В реальном конденсате ос- вободившееся место занимают новые вихри. 4.5. Влияние числа частиц в конденсате и соотношения частот магнитной ловушки Все приведенные графики построены для парамет- ров (14). Однако внешние параметры можно менять произвольно — например, в соответствии с экспери- ментальными данными. Изменение числа частиц повлечет за собой измене- ние радиуса Томаса–Ферми и химического потенциала в соответствии с формулами (4) и (5) (см. рис. 1). Рис. 7. (Онлайн в цвете) Движение двух вихрей разных знаков при наличии диссипации, 0 = 0,03γ : (a) случай без вращения, = 0Ω , — симметричные кривые; (б) снос, обусловленный небольшим вращением ( = 4Ω ); (в) = 5Ω — вихри уходят за пределы конденсата. Рис. 9. Вихревая решетка при: = 9Nv , = 30Ω (a), = 15Nv , = 40Ω (б), = 20Nv , = 40Ω (в), = 20Nv , = 80Ω (г). Рис. 8. (Онлайн в цвете) Движение вихрей к точкам равнове- сия: = 5Nv , = 19Ω (a), = 7Nv , = 25Ω (б). 86 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна Изменение соотношения частот ловушки изменит малый параметр ε (6). Нужно помнить, что приведен- ная модель описывает систему, близкую к двумерной, т.е. для z rω ω , тогда ε мало. Уменьшение ε делает конденсат еще более пло- ским, радиус конденсата растет, влияние неоднородно- сти плотности ослабляется, модель сводится к почти однородной плоской модели в неограниченном про- странстве. В реальных экспериментах частоты ловуш- ки конечны, и конденсат удерживается в ограниченном объеме. Увеличение ε в конце концов приводит к трехмер- ной системе, тогда наша модель не работает. 5. Заключение Получены уравнения движения вихрей (10) в неод- нородном конденсате Бозе–Эйнштейна при наличии вращения и диссипации. Уравнения выведены не- посредственно из двумерного диссипативного уравне- ния Гросса–Питаевского (3) методом асимптотического согласования решений. Система уравнений (10) позволяет определить тра- ектории движения заданного числа вихрей, запущенных из заданных начальных положений. Внешние парамет- ры — соотношение частот ловушки, число частиц в конденсате, угловая скорость вращения — также за- даются. Преимуществом системы является минимальное ко- личество численных параметров: кроме параметра 1a , определяемого интегралом от плотности конденсата в окрестности вихря, все остальные коэффициенты урав- нений вычисляются либо из внешних параметров (час- тот ловушки, числа частиц и т.п.), либо с помощью известных параметров (постоянная Эйлера γ и физиче- ские константы: постоянная Планка, масса атома и т.п.). Полученные результаты хорошо согласуются с чис- ленными результатами других авторов. Было бы инте- ресно сопоставить численные траектории с экспери- ментальными данными. Автор выражает признательность участникам семи- нара отдела теоретической физики №26 Физико-техни- ческого института низких температур им. Б.И. Веркина (рук. д.ф.-м.н. И.В. Криве) за искренний интерес к ра- боте и эмоциональную поддержку. Особая благодар- ность д.ф.-м.н. А.С. Ковалеву и д.ф.-м.н. С.И. Шевчен- ко за полезные обсуждения и ценные замечания. Приложение Волновые функции 0 1( , ), ( , ),t tψ ψr r , составляю- щие решения внешнего (8) и внутреннего (9) уравне- ний, ищем в виде ( ) = ( )exp( ( ))k k kf iψ Φr r r , где плот- ность и фаза находятся в виде рядов Фурье: 0 1 , 1 ,( ) = ( ) ( ) cos ( )sink k c k s kf f r f r f r+ θ+ θ+r . Для функ- ций 1 , 1 ,( ), ( ),c k s kf r f r  получаем обыкновенные диф- ференциальные уравнения второго порядка с правой частью. Асимптотику решений внешнего уравнения ищем вблизи вихря, т.е. при малых r , внутреннего — вдали от вихря, при больших R . В полученные асимп- тотические разложения входят произвольные посто- янные, которые нужно определить из дополнительных условий. Вблизи вихря внешнее уравнение нулевого порядка специальными преобразованиями (см. [10,25,28]) сво- дится к уравнению модифицированных функций Бес- селя нулевого порядка 0 ( )jK m r , где 2 2= ( )jm −∆ν + ∇ν и ( )rν связано с плотностью Томаса–Ферми как 2 2 tr( ) = 1/ 2 ln ( )r rν µ −Ω . Вычисляя градиент и лапласи- ан от этого выражения в точке дислокации j -го вихря, получаем значение jm , приведенное выше. Для определения произвольных постоянных, вхо- дящих во внутреннее решение, запишем уравнения для функций нулевого и первого порядка 2 2 2 0 0 0( \| \| ) = 0,j g∆Ψ +Ψ Ξ − Ψ ( )2 2 2 2 2 1 1 0 0 12 \| \| =j g g∆Ψ +Ψ Ξ − Ψ − Ψ Ψ ( )2 0 0 tr 0 0( ) · 2 ( ) ( )j j ji i= × ∇Ψ − Ψ Ω ⋅ − − γ ⋅∇ΨΩ ξ R ξξ и воспользуемся условием совместности [7,10]: ( ) ( )Re = Re n nu u dx u u dl ∂ − ∂ − ∂∫ ∫v v v v     . Здесь ( ),u x ( )xv — заданные гладкие функции,  — двумерная область, dD — ее граница, n∂ — производ- ная по внешней нормали,  — оператор в левой части уравнения для 1Ψ . В качестве функций u и v возьмем 0ˆ=u ⋅∇Ψe 1 2ˆ( = ( , )e ee — произвольный единичный вектор), 1= Ψv , а черта означает комплексное сопря- жение. Область  выберем в виде круга радиусом 1/2= ( ) 1L −ε  вокруг j-го вихря таким образом, чтобы граница круга попадала в область сопоставления ре- шений, а остальные вихри располагались далеко за пре- делами круга. Легко убедиться, что 0ˆ= ( ) = 0u ⋅∇Ψe  . Производная по внешней нормали — производная по R , 1Ψ совпадает с правой частью уравнения для 1Ψ , и интегральное тождество принимает вид ( )0 1ˆRe ( ) dx⋅∇Ψ Ψ =∫ e   01 0 1 ˆ( )ˆRe ( ) .dl R R ∂  ∂ ⋅∇Ψ∂Ψ = ⋅∇Ψ −Ψ  ∂ ∂  ∫ e e  Интегралы по границе вычисляются явно, если знать асимптотику 0Ψ и 1Ψ при больших R . Она найдена с точностью до произвольных постоянных. По кругу интегрируется только функция нулевого порядка, ко- торая имеет вид 0 0( , ) = ( )exp ( )jR f R inΨ θ θ и в окрест- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 87 T.И. Зуева ности вихря хорошо изучена. Интеграл по кругу сво- дится к линейной комбинации четырех интегралов: 1 0 0 0 = , L i f f dR′∫ 2 2 0 0 0 = , L i f f R dR′∫ 2 3 0 0 = , L i f RdR′∫ 2 2 0 4 0 = L j f i n dR R∫ . Первые два интеграла вычисляются явно: 22 0 1 0 0 2 0 0 = = = , 2 2 LL jf i f f dR g Ξ ′∫ ( ) 2 2 2 0 0 12 0 = = ln L j' j n i f f R dR a L g Ξ∫ ( 2i вычислен в статье [10], численный параметр 0,405 1 ea ≈ ). Оставшиеся два сводятся к двум первым: 2 2 3 4 2 1= 2 .j ji i i n i+ Ξ − Подставляя все найденные значения интегралов в ус- ловие совместности, вычисляем постоянные интегри- рования и получаем внутреннее решение. Сопоставле- ние двух решений дает систему (10). _______ 1. B. Gertjerenken, P.G. Kevrekidis, R. Carretero-Gonzalez, and B.P. Anderson, Phys. Rev. A 93, 023604 (2016). 2. Progress in Low Temperature physics: Quantum Turbulence, Vol. XVI, M. Tsubota and W.P. Halperin (eds.), Elsevier (2009), pp. 253, 362. 3. E.C. Samson, K.E. Wilson, Z.L. Newman, and B.P. Anderson, Phys. Rev. A 93, 023603 (2016). 4. E.P. Gross, Nuovo Cimento 20, 454 (1961). 5. L.P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 40, 646 (1961). 6. Y. Castin and R. Dum, Eur. Phys. J. D 7, 399 (1999). 7. J. Neu, Physica D 43, 385 (1990). 8. L.M. Pismen and J. Rubinstein, Physica D 47, 353 (1991). 9. E. Weinan, Physica D 77, 383 (1994). 10. B.Y. Rubinstein and L.M. Pismen, Physica D 78, 1 (1994). 11. A.L. Fetter and A.A. Svidzinsky, J. Phys.: Condens. Matter 13, R135 (2001). 12. Jong-Kwan Kim and A.L. Fetter, Phys. Rev. A 70, 043624 (2004). 13. D.V. Freilich, D.M. Bianchi, A.M. Kaufman, T.K. Langin, and D.S. Hall, Science 329, 1182 (2010). 14. Т.И. Зуева, ФНТ 26, 119 (2000) [Low Temp. Phys. 26, 85 (2000)]. 15. P.J. Torres, R. Carretero-Gonzalez, S. Middelkamp, P. Schmelcher, D.J. Frantzeskakis, and P.G. Kevrekidis, Communications on Pure and Applied Analysis 10, 1589 (2011). 16. R. Navarro, R. Carretero-Gonzalez, P.J. Torres, and P.G. Kevrekidis, Phys. Rev. Lett. 110, 225301 (2013). 17. Т.И. Зуева, Мат. Методи та Фіз.-Мех. Поля 57, 68 (2014). 18. D.S. Jin, J.R. Ensher, M.R. Matthews, C.E. Wieman, and E.A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 77, 420 (1996). 19. S. Choi, S.A. Morgan, and K. Burnett, Phys. Rev. A 57, 4057 (1998). 20. L.P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 35, 408 (1958). 21. M. Tsubota, K. Kasamatsu, and M. Ueda, Phys. Rev. A 65, 023603 (2002). 22. D. Yan, R. Carretero-Gonzalez, D.J. Frantzeskakis, P.G. Kevrekidis, N.P. Proukakis, and D. Spirn, Phys. Rev. A 89, 043613 (2014). 23. E.J.M. Madarassy and C.F. Barenghi, J. Low Temp. Phys. 152, 122 (2008). 24. C.W. Gardiner, J.R. Anglin, and T.I.A. Fudge, arXiv:cond- mat/0112129. 25. S. Middelkamp, P.G. Kevrekidis, D.J. Frantzeskakis, R. Carretero-Gonzalez, and P. Schmelcher, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43, 155303 (2010). 26. P.G. Kevrekidis, D.J. Frantzeskakis, and R. Carretero-Gonzalez, Springer Series on Atomic, Optical, and Plasma Physics, Vol. 45 (2008). 27. А.Л. Пятницкий, Г.А. Чечкин, А.С. Шамаев, Усреднение. Методы и приложения, Новосибирск: Тамара Рожков- ская (2007). 28. Т.И. Зуева, Мат. Методи та Фіз.-Мех. Поля, в печати. 29. А.С. Ковалев, ФНТ 43, 334 (2017) [Low Temp. Phys. 43, 274 (2017)]. 30. А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский, ФНТ 44, 847 (2018) [Low Temp. Phys. 44, 663 (2018)]. 31. E.B. Sonin, Phys. Rev. B 55, 485 (1997). ___________________________ Дисипативний рух вихорів у просторово неоднорідних конденсатах Бозе–Ейнштейна Т.І. Зуєва Розглянуто дисипативну модель руху вихорів в межах дво- вимірного рівняння Гросса–Пітаєвського. Методом асимп- тотичного зіставлення розв’язків отримано систему звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, що описують рух вихорів у конденсатах Бозе–Ейнштейна, що обертаються. Мо- дель враховує вплив різних зовнішніх факторів: частот маг- нітної пастки, числа атомів у конденсаті, кутової швидкості обертання конденсату, параметру дисипації та ін. В окремих випадках бездисипативного руху результати узгоджуються з відомими результатами інших авторів. Додавання дисипації узагальнює відомі рівняння і дозволяє побачити рух вихорів до точок рівноваги та визначити рівноважні конфігурації будь-якої кількості вихорів. Значна кількість малюнків ілюст- рує модель. Ключові слова: конденсати Бозе–Ейнштейна, квантовані вихорі, вихорові гратки, дисипативний рух, рівноважні кон- фігурації вихорів. 88 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.93.023604 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.93.023603 https://doi.org/10.1007/BF02731494 https://doi.org/10.1007/s100530050584 https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90143-D https://doi.org/10.1016/0167-2789(91)90035-8 https://doi.org/10.1016/0167-2789(94)90298-4 https://doi.org/10.1016/0167-2789(94)00119-7 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.70.043624 https://doi.org/10.1126/science.1191224 https://doi.org/10.3934/cpaa.2011.10.1589 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.110.225301 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.77.420 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.57.4057 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.023603 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.89.043613 https://doi.org/10.1007/s10909-008-9811-9 https://doi.org/10.1088/0953-4075/43/15/155303 https://doi.org/10.1063/1.5041432 https://doi.org/10.1063/1.5041432 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.55.485 Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна Dissipative motion of vortices in spatially inhomogeneous Bose–Einstein condensates T.I. Zueva The problem of dissipative vortex motion in frame of 2D Gross–Pitaevskii equation is considered. Using the me- thod of matched asymptotic expansion we construct the system of ordinary differential equations describing the vortex dynamics in the rotating Bose–Einstein condensate. The model takes into account the influence of different outer factors, such as magnetic trap frequencies, number of atoms in the condensate, angular velocity, dissipation pa- rameter and others. In special cases of non-dissipative mo- tion the results are consistent with known results of other authors. Addition of dissipation generalizes the known equa- tions and allows to see the motion of the vortices to equi- librium points and determine equilibrium configuration of any number of vortices. А large number of examples illus- trates the model. Keywords: Bose–Einstein condensate, quantized vortices, vortex lattice, dissipative motion, vortex equilibrium configuration. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 89 1. Введение 2. Переход к безразмерным переменным и идея метода асимптотического согласования 3. Условия равновесия кольца вихрей 4. Численные эксперименты: зависимость решения от внешних параметров 4.1. Влияние диссипации 4.2. Влияние вращения 4.3. Траектории движения двух вихрей 4.4. Равновесные конфигурации при большом числе вихрей 4.5. Влияние числа частиц в конденсате и соотношения частот магнитной ловушки 5. Заключение Приложение

Диссипативное движение вихрей в пространственно неоднородных конденсатах Бозе–Эйнштейна

Institution

Ähnliche Einträge