Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю
Получены условия перманентности и существования положительного асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического решения уравнения типа Макки – Гласса с почти периодическими коэффициентами и импульсным воздействием....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175521 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю / Ю.М. Мисло, В.I. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 507-515. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175521 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755212021-02-02T01:27:55Z Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.I. Получены условия перманентности и существования положительного асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического решения уравнения типа Макки – Гласса с почти периодическими коэффициентами и импульсным воздействием. We obtain sufficient conditions for the permanence and existence of positive asymptotically stable piecewise continuous almost periodic solution of Mackey – Glass equation with almost periodic coefficients and impulsive action. 2011 Article Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю / Ю.М. Мисло, В.I. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 507-515. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175521 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия перманентности и существования положительного асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического решения уравнения типа Макки – Гласса с почти периодическими коэффициентами и импульсным воздействием. |
| format |
Article |
| author |
Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.I. |
| spellingShingle |
Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.I. Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю Нелінійні коливання |
| author_facet |
Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.I. |
| author_sort |
Мисло, Ю.М. |
| title |
Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю |
| title_short |
Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю |
| title_full |
Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю |
| title_fullStr |
Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю |
| title_full_unstemmed |
Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю |
| title_sort |
майже перiодичнi розв’язки рiвнянь маккi – гласса з iмпульсною дiєю |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175521 |
| citation_txt |
Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю / Ю.М. Мисло, В.I. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 507-515. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT misloûm majžeperiodičnirozvâzkirivnânʹmakkiglassazimpulʹsnoûdiêû AT tkačenkovi majžeperiodičnirozvâzkirivnânʹmakkiglassazimpulʹsnoûdiêû |
| first_indexed |
2025-07-15T12:50:29Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:50:29Z |
| _version_ |
1837717341555654656 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ
РIВНЯНЬ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
Ю. М. Мисло, В. I. Ткаченко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We obtain sufficient conditions for the permanence and existence of positive asymptotically stable piece-
wise continuous almost periodic solution of Mackey – Glass equation with almost periodic coefficients and
impulsive action.
Получены условия перманентности и существования положительного асимптотически устой-
чивого кусочно-непрерывного почти периодического решения уравнения типа Макки – Гласса с
почти периодическими коэффициентами и импульсным воздействием.
Вступ. У данiй роботi ми дослiджуємо рiвняння типу Маккi – Гласса з майже перiодичними
коефiцiєнтами та iмпульсною дiєю
dx(t)
dt
= −α(t)x(t) +
β(t)x(t− h)
1 + γ(t)xp(t− h)
, (1)
x(tk + 0)− x(tk) = akx(tk) + bk, (2)
де x ≥ 0, p i h— додатнi сталi, кусково-неперервнi функцiї α(t), β(t) та γ(t) додатнозначнi
та w-майже перiодичнi, послiдовностi {ak} та {bk} майже перiодичнi i ak > −1, bk ≥ 0,
k ∈ Z, послiдовнiсть {tk} точок iмпульсної дiї має рiвномiрно майже перiодичнi рiзницi
(див. означення нижче).
Рiвняння (1) зi сталими коефiцiєнтами було запропоноване Маккi та Глассом у роботi
[1] як модель гематопоезу (вiдтворення клiтин кровi). Його дослiдженню присвячено ба-
гато робiт (див., наприклад, [2 – 7]). Метою даної роботи є знаходження умов перманент-
ностi та iснування кусково-неперервного додатного майже перiодичного розв’язку рiв-
няння (1), (2). Ми використовуємо концепцiю кусково-неперервних майже перiодичних
функцiй у сенсi робiт [8, 9]. Спочатку доводиться iснування додатнозначного асимпто-
тично w-майже перiодичного розв’язку рiвняння (1), (2), з чого за результатами роботи
[7] випливає iснування додатнозначного асимптотично стiйкого w-майже перiодичного
розв’язку.
Позначимо через PCk(J,Rn), J ⊂ R, простiр усiх кусково-неперервних функцiй x :
J → Rn таких, що:
i) множина T = {tj ∈ J, tj+1 > tj , j ∈ Z} є множиною розривiв функцiї x;
ii) функцiї неперервнi злiва x(tj − 0) = x(tj) i iснують границi limt→tj+0 x(t) = x(tj +
+0) < ∞;
iii) функцiя x(t) є гладкою класу Ck на множинi J \ T.
c© Ю. М. Мисло, В. I. Ткаченко, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4 507
508 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
Функцiю x(t) ∈ PC([−h, α],Rn), де α > 0, називаємо розв’язком рiвняння (1), (2),
якщо x(t) неперервна при всiх t 6= tk, неперервно диференцiйовна при всiх t > 0 за ви-
нятком скiнченної кiлькостi точок, лiвостороння похiдна функцiї x(t) iснує i задовольняє
рiвняння (1) при всiх t 6= tk, а при t = tk функцiя x(t) задовольняє рiзницеве спiввiдношен-
ня (2).
Означення 1 [9]. Послiдовнiсть дiйсних чисел {tk} має рiвномiрно майже перiодичнi
рiзницi, якщо для довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина ε-майже перiодiв,
спiльних для всiх послiдовностей {tjk}, де tjk = tk+j − tk, j ∈ Z.
Означення 2 [9]. Функцiя ϕ(t) ∈ PC(R,Rn) називається w-майже перiодичною, якщо:
i) послiдовнiсть {tk} точок розривiв функцiї ϕ(t) має рiвномiрно майже перiодичнi
рiзницi;
ii) для довiльного ε > 0 iснує додатне число δ = δ(ε) таке, що якщо точки t′ i t′′
належать до одного iнтервалу неперервностi i |t′− t′′| < δ, то ‖ϕ(t′)−ϕ(t′′)‖ < ε (‖.‖—
звичайна норма в Rn);
iii) для довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина Γ ε-майже перiодiв таких, що
якщо τ ∈ Γ,то ‖ϕ(t+τ)−ϕ(t)‖ < ε для всiх t ∈ R, якi задовольняють умову |t− tk| ≥ ε,
k ∈ Z.
Означення 3. Кусково-неперервна функцiя ϕ1(t) ∈ PC(J,Rn) знаходиться у ε-околi
функцiї ϕ2(t) ∈ PC(J,Rn) якщо ‖ϕ1(t)− ϕ2(t)‖ < ε для всiх t ∈ J таких, що |t− τ1i | > ε,
|t− τ2i | > ε, i |τ1i − τ2i | < ε, i ∈ Z, де {τ1i } i {τ2i }— послiдовностi розривiв функцiй ϕ1(t) i
ϕ2(t) вiдповiдно.
Послiдовнiсть {fk(t)} функцiй fk ∈ PC(J,Rn), J ⊂ R, збiгається у w-топологiї до
функцiї f ∈ PC(J,Rn), якщо для кожного ε > 0 iснує натуральне число N = N(ε)
таке, що ‖fk(t) − f(t)‖ < ε для всiх k ≥ N, |t − τi| > ε (τi — точки розривiв функцiї f
на множинi J) i точки розривiв функцiй fk(t), якi лежать у J, збiгаються до точок τi
рiвномiрно вiдносно i.
Як i в неперервному випадку [10, с. 154], для кусково-неперервних функцiй вводиться
поняття асимптотично w-майже перiодичних функцiй, яке буде корисним при дослiджен-
нi iснування майже перiодичних розв’язкiв iмпульсних систем.
Означення 4. Означена на [0,∞) кусково-неперервна функцiя a(t) називається асимп-
тотичноw-майже перiодичною, якщо вона є сумоюw-майже перiодичної функцiї p(t) та
функцiї q(t) ∈ PC такої, що q(t) → 0 при t → ∞.
Для асимптотично w-майже перiодичних функцiй справедливi наступнi твердження,
доведенi в [7].
Теорема 1. Кусково-неперервна функцiя ξ(t) асимптотично w-майже перiодична тодi
i тiльки тодi, коли для кожної послiдовностi дiйсних чисел {τk}таких, що τk → ∞ при
k → ∞, iснує пiдпослiдовнiсть {τkj} така, що ξ(t + τkj ) збiгається на 0 ≤ t < ∞ у
w-топологiї.
Теорема 2. Припустимо, що рiвняння (1), (2) має розв’язок ξ(t), означений на I =
= [0,∞) i такий, що ‖ξ(t)‖ ≤ C < ∞ для всiх t ≥ 0. Якщо розв’язок ξ(t) асимптотично
w-майже перiодичний, то рiвняння (1), (2) має w-майже перiодичний розв’язок p(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 509
Нехай обмежений розв’язок ξ(t) рiвняння (1), (2) рiвномiрно асимптотично стiйкий
при t ≥ 0. Тодi ξ(t) асимптотично w-майже перiодичний, а рiвняння (1), (2) має w-майже
перiодичний розв’язок, який є асимптотично стiйким при t ≥ 0.
Перманентнiсть. Виходячи з бiологiчної iнтерпретацiї, будемо розглядати невiд’ємнi
розв’язки рiвняння (1), (2). Тому початковi умови розв’язкiв задаються так:
x(θ) = ψ(θ) ≥ 0, θ ∈ [−h, 0], ψ(0) > 0. (3)
Використовуючи метод крокiв, легко перевiрити, що розв’язки початкових задач (3)
для рiвняння (1), (2) iснують при всiх t > 0.
Означення 5. Рiвняння (1), (2) називається перманентним, якщо iснують додатнi
сталi m0 i M0 такi, що для кожного розв’язку x(t) з додатними початковими значення-
ми (3) виконується
lim inf
t→+∞
x(t) ≥ m0, lim sup
t→+∞
x(t) ≤ M0. (4)
Для майже перiодичної послiдовностi {ak} завжди iснує границя
σ = lim
T→∞
1
T
∑
0≤tk<T
ln(1 + ak).
Припускаємо, що функцiя
ω(t) =
∏
0≤tk<t
(1 + ak) e
−σt
w-майже перiодична.
Будемо позначати ωL = inft∈R ω(t), ωM = supt∈R ω(t).
Теорема 3. Припустимо, що функцiя ω(t) w-майже перiодична i виконуються нерiв-
ностi
α(t)− σ ≥ σ1 > 0, inf
t
ω(t) > 0, (5)
inf
t
β(t)
∏
t−h≤tk<t
(1 + ak)
−1 − α(t) + σ
> 0. (6)
Тодi рiвняння (1), (2) перманентне, тобто iснують додатнi сталi m0 i M0 такi, що
для кожного розв’язку x(t) з додатними початковими значеннями (3) виконуються
нерiвностi (4).
Доведення. Якщо функцiя ω(t) w-майже перiодична, то i функцiї
A(t) = α(t)− σ, C(t) = γ(t)ωp(t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
510 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
i
B(t) =
β(t)ω(t− h)
ω(t)
= β(t)
∏
t−h≤tk<t
(1 + ak)
−1
w-майже перiодичнi. У рiвняннi (1), (2) виконаємо замiну змiнних
x(t) = ω(t)y(t) =
∏
0≤tk<t
(1 + ak) e
−σt y(t) (7)
i отримаємо рiвняння з майже перiодичними коефiцiєнтами
dy(t)
dt
= −A(t)x(t) +
B(t)y(t− h)
1 + C(t)yp(t− h)
, t 6= tk, (8)
∆y(tk) = y(tk + 0)− y(tk) = b∗k =
bk
ω(tk + 0)
, k ∈ N, (9)
Враховуючи обмеженiсть i вiддiленiсть вiд нуля w-майже перiодичної функцiї ω(t),
достатньо довести перманентнiсть рiвняння (8), (9). Покажемо, що iснують додатнi сталi
m̃0 i M̃0 такi, що для кожного розв’язку y(t) з додатними початковими значеннями вико-
нуються нерiвностi
lim inf
t→+∞
y(t) ≥ m̃0, lim sup
t→+∞
y(t) ≤ M̃0. (10)
1. Позначимо через y(t, ϕ) розв’язок рiвняння (8), (9) з початковою функцiєю ϕ.Якщо
ϕ задовольняє умову (3), то розв’язок строго додатний: y(t, ϕ) > 0 при t > 0. Дiйсно,
функцiя
z(t) = y(t, ϕ) exp
t∫
0
A(s) ds
, t > 0, z(t) = ϕ(t), t ≤ 0,
задовольняє рiвняння
ż(t) =
B(t)z(t− h) exp
{∫ t
t−h
A(s) ds
}
1 + C(t)zp(t− h) exp
{
−p
∫ t−h
0
A(s) ds
} , t 6= tk,
z(tk + 0) = z(tk) + b∗k exp
tk∫
0
A(s) ds
.
При умовi (3) виконується ż(t) ≥ 0. Оскiльки b∗k ≥ 0, робимо висновок, що функцiя z(t)
неспадна. Оскiльки ϕ(0) > 0, отримуємо строгу додатнiсть z(t), а отже i y(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 511
2. Покажемо, що розв’язки рiвняння (8), (9) фiнально рiвномiрно обмеженi, а саме,
iснує M̃0 > 0 таке, що lim supt→∞ y(t, ϕ) ≤ M̃0 для всiх невiд’ємних початкових функцiй ϕ.
Якщо p ≥ 1, то
B(t)y(t− h)
1 + C(t)yp(t− h)
≤ (p− 1)
p−1
p
p
sup
t
B(t)
C1/p(t)
= M1.
Розв’язок рiвняння (8), (9) задовольняє рiвнiсть
y(t, ϕ) = e−
∫ t
0 A(u)du ϕ(0) +
t∫
0
e−
∫ t
s A(u)du
B(s)y(s− h)
1 + C(c)yp(s− h)
ds+
∑
0≤tk<t
e−
∫ tk
0 A(u)du b∗k.
Позначимо черезN0 максимальне число точок послiдовностi {tk} на iнтервалi одинич-
ної довжини. За лемою 26 [9, с. 197] таке число для послiдовностi з рiвномiрно майже
перiодичними рiзницями завжди iснує. Тодi виконуються нерiвностi
∑
0≤tk<t
e−
∫ tk
0 A(u)dub∗k ≤ b∗
[t]∑
n=0
∑
n≤tk<n+1
N0e
−σ1n ≤ b∗N0
1− e−σ1([t]+1)
1− e−σ1
,
де b∗ = supk b
∗
k.
Тепер можемо оцiнити розв’язок y(t, ϕ) :
lim sup
t→∞
y(t, ϕ) ≤ M1
σ1
+
N0b
∗
1− e−σ1
= M01. (11)
Нехай тепер p < 1.Встановимо оцiнки аналогiчно отриманим у роботi [3, с. 5]. Оскiль-
ки y′(t) ≥ −A(t)y(t), то
y(t) ≥ y(t− h) exp
− t∫
t−h
A(s) ds
, y(t− h) ≤ y(t) exp
t∫
t−h
A(s) ds
.
Тому
y′(t) ≤ −A(t)y(t) +
B(t)
C(t)
y1−p(t− h) ≤ −A(t)y(t) +B1(t)y
1−p(t),
де
B1(t) =
B(t)
C(t)
exp
(1− p)
t∫
t−h
A(s)ds
.
Отже, розв’язки рiвняння (8), (9) оцiнюються зверху розв’язками iмпульсної нерiвностi
y′(t) ≤ −A(t)y(t) +B1(t)y
1−p(t),
y(tk + 0)− y(tk) = b∗k, k ∈ N.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
512 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
Замiною змiнних yp = z отримуємо
z′ ≤ −pA(t)z + pB1(t), t 6= tk,
z(tk + 0) = z(tk) + ck(z(tk)),
де ck(z) = (z1/p + b∗k)
p − z.
Оскiльки
dck(z)
dz
= (z1/p + b∗k)
p−1z−1+1/p − 1 ≤ 0
при z ≥ 0 i p < 1, то
0 < ck(z) < (b∗k)
p, z ≥ 0.
Тому
z(t, ψ) ≤ e−p
∫ t
0 A(ξ)dξϕ(0) +
t∫
0
e−p
∫ t
s A(ξ)dξpB1(s) ds+
∑
0≤tk<t
e
−p
∫ t
tk
A(ξ)dξ
c(z(tk))
i, як в (11), отримуємо
lim sup
t→∞
z(t, ϕ) ≤ 1
σ1
sup
t
B1(t) + (b∗)p
N0
1− e−pσ1
= M02,
де, як i ранiше, N0 — максимальне число точок послiдовностi {tk} на iнтервалi одиничної
довжини.
Отже, як верхню оцiнку M̃0 для розв’язкiв рiвняння (8), (9) можна вибрати M01 при
p ≥ 1 i M02 при p < 1.
Вiдповiдно, як верхню оцiнкуM0 для розв’язкiв рiвняння (1), (2) можна вибратиM01ω
M
при p ≥ 1 i M02ω
M при p < 1.
3. Доведемо, що iснує m̃0 > 0 таке, що
lim inf
t→∞
y(t, ϕ) ≥ m̃0 (12)
для всiх початкових функцiй (3).
Враховуючи додатнiсть iмпульсних збурень, за теоремами порiвняння достатньо роз-
глянути рiвняння (8) без iмпульсної дiї.
Припустимо, що (12) не виконується. Тодi для кожного ε > 0 iснує розв’язок y(t, ϕ1)
такий, що lim inft→∞ y(t, ϕ1) < ε.
Якщо y′(t, ϕ1) ≥ 0 для всiх t ≥ t̄ з деяким t̄ > 0, то розв’язок монотонний i обмежений
(в точках, де не iснує звичайна похiдна, розглядаємо лiвосторонню похiдну). Тому iснує
lim
t→∞
y(t, ϕ1) = y0 i lim
t→∞
y′(t, ϕ1) = 0.
Отже,
lim
t→∞
(
A(t)y0 +
B(t)y0
1 + C(t)yp0
)
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 513
Рiвнiсть y0 = 0 неможлива при виконаннi умови (6). Тому y0 > 0.У цьому випадку рiвнян-
ня має додатну асимптотично стiйку нерухому точку
y0 = lim
t→∞
(
B(t)−A(t)
C(t)B(t)
)1/p
.
Припустимо тепер, що розв’язок немонотонний. Тодi iснує послiдовнiсть точок {τk}
така, що y(τk, ϕ1) < ε i y′(τk, ϕ1) = 0, якщо τk не збiгається з точками iмпульсної дiї, i
y′(τk − 0, ϕ1) ≤ 0, якщо τk = tj для деякого j. Звiдси випливає, що
−A(τn)y(τn) +
B(τn)y(τn − h)
1 + C(τn)yp(τn − h)
≤ 0,
тому
y(τn − h)
1 + C(τn)yp(τn − h)
≤ A(τn)
B(τn)
ε. (13)
Спочатку припустимо, що p ≤ 1. У цьому випадку функцiя x/(1 + cxp) монотонно
зростає вiдносно x ≥ 0.
Знайдемо розв’язок рiвняння
y
1 + Cyp
=
A
B
ε (14)
вигляду y = zε. Тодi z задовольняє рiвняння
z
1 + Czpεp
=
A
B
. (15)
Легко перевiрити, що корiнь z набуває значень, менших за 1, якщо
ε <
(
B −A
BC
)1/p
.
Тому при
ε < ε∗ = inf
t
(
B(t)−A(t)
B(t)C(t)
)1/p
(16)
iснує ν ∈ (0, 1) таке, що розв’язок нерiвностi (13) задовольняє оцiнку
y(τn − h) < νε.
Якщо y′(τn − h) ≤ 0, то
y(τn − 2h)
1 + C(τn − h)yp(τn − 2h)
≤ A(τn − h)
B(τn − h)
νε
i y(τn − 2h) < ν2ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
514 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
Якщо y′(τn − h) > 0, виберемо першу злiва вiд τn − h точку θ1, де y′(θ1, ϕ1) ≤ 0.
Продовжуючи аналогiчно, отримуємо послiдовнiсть точок θk таку, що y(θk, ϕ1) ≤ νkε.
Нехай ϕ̃1 = infθ∈[−h(0),0] ϕ1(θ). Виберемо k1 так, що γk1ε < ϕ̃1. Вибираючи досить вели-
ке τn за початкове з нескiнченної послiдовностi {τn}, отримуємо, що iснує θk таке, що
y(θk, ϕ1) ≤ νkε < ϕ̃1. Суперечнiсть. Якщо початкова функцiя ϕ1(θ) не вiдокремлена вiд
нуля, то як початкову функцiю розглядаємо розв’язок y(t, ϕ1), t ∈ [0, h]. За першою ча-
стиною доведення теореми вiн є строго додатним i infθ∈[0,h] y(θ, ϕ1) > 0.
Якщо p > 1, то функцiя x/(1 + cxp) має максимум у точцi xM = (c(p− 1))−1/p.
При фiксованому ε > 0 рiвняння (14) має два додатнi розв’язки y1 i y2. Якщо
A
B
ε <
M̃0
1 + CM̃p
0
,
то корiнь y2 задовольняє оцiнку y2 > M̃0.
Оскiльки всi розв’язки рiвняння (8), (9) фiнально рiвномiрно обмеженi зверху сталою
M̃0, будемо вважати, що розв’язки обмеженi сталою M̃0 при всiх t ≥ t0. Тому коренем y2
рiвняння (14) нехтуємо.
Отже, при
ε < ε∗ = min
{
inf
t
(
B(t)−A(t)
B(t)C(t)
)1/p
, inf
t
(
B(t)M̃0
A(t)(1 + C(t)M̃p
0 )
)}
розв’язок нерiвностi (13) задовольняє оцiнку y(τn − h) < νε з деяким ν ∈ (0, 1).
Далi доведення аналогiчне випадку p ≤ 1.
Отже, в якостi m̃0 для розв’язкiв рiвняння (8), (9) можна вибрати число ε∗, якщо p ≤ 1,
i число ε∗ при p > 1.
Вiдповiдно, в якостi m0 для розв’язкiв рiвняння (1), (2) можна вибрати число ωLε∗,
якщо p ≤ 1, i число ωLε∗ при p > 1.
Теорему доведено.
Iснування додатного майже перiодичного розв’язку.
Теорема 4. Нехай виконуються умови (5) i (6), а також
sup
t∈R
sup
y∈[m̃0,M̃0]
B(t)(1 + C(t)(1− p)yp)
(1 + C(t)yp)2
< σ1. (17)
Тодi рiвняння (1), (2) має єдиний додатний асимптотично стiйкий w-майже перiо-
дичний розв’язок.
Доведення. З доведення теореми 3 випливає, що якщо початкова функцiя розв’язку
належить областi перманентностi рiвняння, то розв’язок залишається в цiй областi при
всiх t > 0. Розглянемо два такi розв’язки y1(t) i y2(t) рiвняння (8), (9), тобто розв’язки, якi
задовольняють умови
m̃0 ≤ yi(t) ≤ M̃0, i = 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 515
Їхня рiзниця w(t) = y1(t)− y2(t) задовольняє рiвняння без iмпульсiв
w′(t) = −A(t)w(t) +B2(t)w(t− h), (18)
де
B2(t) =
B(t)(1 + (1− p)C(t)ỹp(t− h)
(1 + C(t)ỹp(t− h))2
,
ỹ(t) = y1(t) + ξ(t)(y1(t)− y2(t)), функцiя ξ(t) набуває значень з вiдрiзка [0, 1] при всiх t.
Рiвняння (18) рiвномiрно асимптотично стiйке, якщо supt |B2(t)| < inftA(t) (див. [11,
с. 154]).
Отже, рiвномiрно асимптотично стiйким є i кожний розв’язок рiвняння (8), (9), який
належить областi перманентностi. За теоремою 2 всi цi розв’язки асимптотичноw-майже
перiодичнi. Тому рiвняння (8), (9) має єдиний w-майже перiодичний розв’язок, а отже, i
рiвняння (1), (2) має єдиний w-майже перiодичний розв’язок, який є додатнозначним i
асимптотично стiйким при t → +∞.
Наслiдок. Нехай виконуються умови (5) i (6), а також
BM
1 + CLεp∗
< σ1,
якщо p ≤ 1, або
BMp
1 + CL(ε∗)p
< σ1,
якщо p > 1.Тодi рiвняння (1), (2) має єдиний додатний асимптотично стiйкийw-майже
перiодичний розв’язок.
1. Mackey M. C., Glass L. Oscillation and chaos in physiological control systems // Science. — 1977. — 197. —
P. 287 – 289.
2. Alzabut J. O., Nieto J. J., Stamov G. T. Existence and exponentioal stability of positive almost periodic soluti-
ons for a model of hematopoiesis // Boundary Value Problems. — 2009. — ID 127510. — 10 p.
3. Berezansky L., Braverman E. Mackey – Glass equation with variable coefficients // Comput. and Math. Appl.
— 2006. — 51. — P. 1 – 16.
4. Gopalsamy K., Trofimchuk S. I., Bantsur N. R. A note on global attractivity in modems of hematopoiesis //
Ukr. Math. J. — 1998. — 50, № 1. — P. 5 – 12.
5. Gyori I., Ladas G. Oscillation theory of delay differential equations. — Oxford: Clarendon Press, 1991. —
368 p.
6. Liz E., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for a family of delayed population
models // Quart. Appl. Math. — 2005. — 63. — P. 56 – 70.
7. Myslo Y. M., Tkachenko V. I. Global attractivity in almost periodic single species models // Funct. Different.
Equat. — 2011. — 18, № 3 – 4. — P. 269 – 278.
8. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсних систем. — М.: Мир, 1971. — 310 с.
9. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. — Singapore: World Sci., 1995. — 462 p.
10. Fink A.M. Almost periodic differential equations // Lect. Notes Math. — Springer, 1974. — 337. — 336 p.
11. Hale J. K., Lunel S. M. V. Introduction to functional differential equations. — New York: Springer, 1993. —
447 p.
Одержано 11.05.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
|