Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке
Обґрунтовано можливiсть застосування повної i часткової схем усереднення при дослiдженнi систем нечiтких диференцiальних рiвнянь, що мiстять малий параметр.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175522 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке / А.В. Плотников, Т.А. Комлева // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 516-527. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175522 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1755222021-02-02T01:28:38Z Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке Плотников, А.В. Комлева, Т.А. Обґрунтовано можливiсть застосування повної i часткової схем усереднення при дослiдженнi систем нечiтких диференцiальних рiвнянь, що мiстять малий параметр. We substantiate the possibility of applying the total and partial averaging schemes for studying fuzzy systems of differential equations containing a small parameter. 2011 Article Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке / А.В. Плотников, Т.А. Комлева // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 516-527. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175522 517.911 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Обґрунтовано можливiсть застосування повної i часткової схем усереднення при дослiдженнi систем нечiтких диференцiальних рiвнянь, що мiстять малий параметр. |
| format |
Article |
| author |
Плотников, А.В. Комлева, Т.А. |
| spellingShingle |
Плотников, А.В. Комлева, Т.А. Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке Нелінійні коливання |
| author_facet |
Плотников, А.В. Комлева, Т.А. |
| author_sort |
Плотников, А.В. |
| title |
Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке |
| title_short |
Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке |
| title_full |
Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке |
| title_fullStr |
Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке |
| title_full_unstemmed |
Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке |
| title_sort |
усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175522 |
| citation_txt |
Усреднение нечётких дифференциальных уравнений на конечном промежутке / А.В. Плотников, Т.А. Комлева // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 4. — С. 516-527. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovav usrednenienečëtkihdifferencialʹnyhuravnenijnakonečnompromežutke AT komlevata usrednenienečëtkihdifferencialʹnyhuravnenijnakonečnompromežutke |
| first_indexed |
2025-07-15T12:50:32Z |
| last_indexed |
2025-07-15T12:50:32Z |
| _version_ |
1837717345215184896 |
| fulltext |
УДК 517.911
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
А. В. Плотников, Т. А. Комлева
Одес. гос. академия стр-ва и архитектуры
Украина, 65029, Одесса, ул. Дидрихсона, 4
e-mail: a-plotnikov@ukr.net
t-komleva@ukr.net
We substantiate the possibility of applying the total and partial averaging schemes for studying fuzzy
systems of differential equations containing a small parameter.
Обґрунтовано можливiсть застосування повної i часткової схем усереднення при дослiдженнi
систем нечiтких диференцiальних рiвнянь, що мiстять малий параметр.
1. Введение. Развитие теории многозначных отображений и дифференциальных уравне-
ний с многозначными решениями дали возможность рассмотреть аналогичные понятия
в теории нечетких множеств, которая начала свое развитие с работы L. A. Zadeh [1]. В
1983 г. M. L. Puri, D. A. Ralescu [2] ввели понятие H-производной и интеграла для нечет-
ких отображений, в котором использовался подход M. Hukuhara [3] и R. J. Aumann [4]
для α-срезок нечетких отображений. В 1987 г. O. Kaleva ввел в рассмотрение нечеткие
дифференциальные уравнения [5]. Впоследствии данные уравнения рассматривались в
работах O. Kaleva [6 – 8], V. Lakshmikantham [9, 10], J. Y. Park, H. K. Han [11, 12], S. Seikkala
[13, 14], T. A. Комлевой, А. В. Плотникова [15, 16] и др.
В данной работе обосновывается возможность использования некоторых схем усред-
нения [17 – 26] для такого типа уравнений, содержащих малый параметр.
2. Основные обозначения и определения. Введем в рассмотрение пространство En
отображений u : Rn → [0, 1], удовлетворяющих следующим условиям:
1) u полунепрерывно сверху, т. е. для любого ξ̃ ∈ Rn и любого ε > 0 существует
δ(ξ̃, ε) > 0 такое, что для всех ‖ξ − ξ̃‖ < δ выполняется неравенство u(ξ) < u(ξ̃) + ε;
2) u нормально, т. е. существует вектор ξ0 ∈ Rn такой, что u(ξ0) = 1;
3) u нечетко выпукло, т. е. для любых ξ1, ξ2 ∈ Rn и любого λ ∈ [0, 1] выполняется
неравенство u(λξ1 + (1− λ)ξ2) ≥ min{u(ξ1), u(ξ2)};
4) замыкание множества {ξ ∈ Rn : u(ξ) > 0} компактно.
Нулем в пространстве En является элемент 0̂(ξ) =
{
1, ξ = 0,
0, ξ ∈ Rn\0.
Обозначим
[u]α =
{
{ξ ∈ Rn : u(ξ) ≥ α}, 1 ≥ α > 0,
cl {ξ ∈ Rn : u(ξ) > 0}, α = 0.
Определим в пространстве En метрику D : En × En → [0,+∞), положив
D(u, v) = sup
0≤α≤1
h([u]α, [v]α).
c© А. В. Плотников, Т. А. Комлева, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4 516
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 517
Пусть функция g : Rn × Rn → Rn, тогда согласно принципу L. A. Zadeh [1] можно
продолжить g на En × En → En соотношением
g(u, v)(z) = sup
z=g(x,y)
min{u(x), v(y)}.
При этом
[g(u, v)]α = g([u]α, [v]α)
для непрерывной функции g и всех u, v ∈ En, 0 ≤ α ≤ 1. В частности, для суммы и
умножения на скаляр имеем
[u+ v]α = [u]α + [v]α, [ku]α = k[u]α,
где u, v ∈ En, k ∈ R, 0 ≤ α ≤ 1.
Легко показать, что
D(u+ w, v + w) = D(u, v), D(ku, kv) = kD(u, v)
для всех u, v, w ∈ En и k ≥ 0.
Теорема 1 [27, 28]. Метрическое пространство (En, D) является полулинейным пол-
ным метрическим пространством.
Определение 1 [12]. Отображение f : [t0, T ] → En называется строго измеримым,
если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) = [f(t)]α измеримо.
Определение 2 [12]. Отображение f : [t0, T ] → En называется слабо непрерывным
в точке t ∈ (t0, T ), если для всех α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα : [t0, T ] →
→ conv (Rn) непрерывно в точке t ∈ (t0, T ).
Определение 3 [12]. Отображение f(·) : [t0, T ] → En называется интегрально огра-
ниченным, если существует суммируемая функция h(·) такая, что ‖y‖ ≤ h(t) для всех
y ∈ F0(t).
Определение 4 [12]. Интегралом от отображения f : [t0, T ] → En на отрезке [t0, T ]
называется элемент g =
∫ T
t0
f(t) dt ∈ En такой, что [g]α =
T∫
t0
Fα(t) dt для всех α ∈ [0, 1],
где интеграл от Fα(·) понимается в смысле Ауманна [4].
Теорема 2 [12]. Если f : [t0, T ] → En строго измеримо и интегрально ограничено, то
f(·) интегрируемо на [t0, T ].
Определение 5 [12]. Отображение f : [t0, T ] → En называется дифференцируемым
в точке τ ∈ [t0, T ], если для любого α ∈ [0, 1] многозначное отображение Fα(t) диффе-
ренцируемо по Хукухаре [3] в точке τ и семейство {DHFα(τ) : α ∈ [0, 1]} определяет
некоторый элемент f ′(τ) ∈ En.
Если f : [t0, T ] → En дифференцируемо в точке τ ∈ [t0, T ], то элемент f ′(τ) будем
называть нечеткой производной от f(t) в точке τ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
518 А. В. ПЛОТНИКОВ, Т. А. КОМЛЕВА
Определение 6. Отображение f(x) называется равномерно средним относительно
x для отображения f(t, x) в области Q{t ≥ 0, x ∈ P ⊂ En}, если для любого δ > 0
существует такое T (δ) > 0, не зависящее от x, что при любом τ ≥ T (δ) неравенство
D
1
τ
τ∫
0
f(t, x) dt, f(x)
< δ
выполняется для всех x ∈ P.
3. Основной результат. Рассмотрим нечеткое дифференциальное уравнение с малым
параметром
x′ = εf(t, x), (1)
где x ∈ En, ε > 0 — малый параметр, f : R× En → En, t — время.
Определение 7 [11]. Отображение x : R → En называется решением системы (1)
с начальным условием x(0) = x0, если оно слабо непрерывно и удовлетворяет инте-
гральному уравнению
x(t) = x0 +
t∫
0
εf(s, x(s)) ds. (2)
Схема полного усреднения. Системе (1) поставим в соответствие усредненную систе-
му
y′ = εf(y), (3)
где
lim
T→0
D
1
T
T∫
0
f(t, x)dt, f(x)
= 0. (4)
Теорема 3. Пусть в области Q = {t ≥ 0, x ∈ P ⊂ En} выполнены условия:
1) отображение f(t, x) слабо непрерывно по t, равномерно ограничено и удовлетво-
ряет условию Липшица по x с постоянной λ, т. е.
F (f(t, x), 0̂) ≤ M, D(f(t, x1), f(t, x2)) ≤ λD(x1, x2);
2) равномерно относительно x ∈ P существует предел (4);
3) решение y(·) системы (3) с начальным условием y(0) = x0 ∈ P ′ ⊂ P определено
для всех t ≥ 0 и лежит вместе с ρ-окрестностью в области P.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 519
Тогда для любого η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что для ε ∈ (0, ε0] и
t ∈ [0, Lε−1] выполняется неравенство
D(x(t), y(t)) ≤ η, (5)
где x(·) и y(·) — решения уравнений (1) и (3) соответственно, удовлетворяющие усло-
вию x(0) = y(0) ∈ P ′.
Доказательство. Легко показать, что отображение f(y) ограничено и удовлетворяет
условию Липшица. Действительно, в силу условия 2 для любого δ > 0 можно указать
такое T1(δ), что при всех T > T1 справедлива оценка
D(f(y1), f(y2)) ≤ D
f(y1),
1
T
T∫
0
f(t, y1) dt
+
+D
1
T
T∫
0
f(t, y1) dt,
1
T
T∫
0
f(t, y2) dt
+
+D
1
T
T∫
0
f(t, y2) dt, f(y2)
≤
≤ δ +
1
T
T∫
0
D(f(t, y1), f(t, y2)) dt ≤ δ + λD(y1, y2).
Поскольку значение δ произвольно, в пределе получаем
D(f(y1), f(y2)) ≤ λD(y1, y2).
Из условий 1, 2 и [11] следует, что системы (1) и (3) имеют единственные и продолжи-
мые при t ≥ 0 решения пока x(t) (соответственно y(t)) принадлежат множеству P.
Согласно определению решения
x(t) = x0 + ε
t∫
0
f(s, x(s)) ds, (6)
y(t) = x0 + ε
t∫
0
f(y(s)) ds. (7)
Из (6) и (7) имеем
D(x(t), y(t)) ≤ ελ
t∫
0
D(x(s), y(s)) ds+ εD
t∫
0
f(s, y(s)) ds,
t∫
0
f(y(s)) ds
. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
520 А. В. ПЛОТНИКОВ, Т. А. КОМЛЕВА
Оценим на промежутке [0, Lε−1] последнее слагаемое в (8). Для этого разделим отре-
зок [0, Lε−1] на m равных частей точками t0 = 0, t1 =
L
εm
, . . . , ti =
iL
εm
, . . . , tm =
L
ε
и обозначим y(ti) = yi, i = 0,m. Предположим, что t ∈ (tk, tk+1) для некоторого k,
k = 0,m− 1.
Тогда
εD
t∫
0
f(s, y(s)) ds,
t∫
0
f(y(s)) ds
≤ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f(τ, y(τ)), f(τ, yi)) dτ+
+ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f(yi), f(y(τ)))dτ + ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
0
f(τ, yi)dτ,
ti+1∫
0
f(yi)dτ
+
+ ε
k∑
i=1
D
ti∫
0
f(τ, yi)dτ,
ti∫
0
f(yi)dτ
+D
t∫
0
f(τ, yk)dτ,
t∫
0
f(yk)dτ
,
ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f(yi), f(y(τ)))dτ ≤ ML2λ
m
,
ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f(τ, y(τ)), f(τ, yi))dτ ≤
ML2λ
m
.
В силу условия 2 существует такая монотонно убывающая функция ϕ(t), стремящаяся к
0 при t → ∞, что во всей области P выполняется неравенство
D
t∫
0
f(τ, x)dτ,
t∫
0
f(x)dτ
< tϕ(t).
Следовательно,
εD
t∫
0
f(τ, x)dτ,
t∫
0
f(x)dτ
< εtϕ(t) ≤ F (ε),
где F (ε) = supτ∈[0,L](τϕ(τ/ε)), τ = εt. Очевидно, что limε→0 F (ε) = 0.
Таким образом,
ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
0
f(τ, yi)dτ,
ti+1∫
0
f(yi)dτ
+ ε
k∑
i=1
D
ti∫
0
f(τ, yi)dτ,
ti∫
0
f(yi)dτ
+
+D
t∫
0
f(τ, yk)dτ,
t∫
0
f(yk)dτ
≤ 2mF (ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 521
Итак,
εD
t∫
0
f(s, y(s)) ds,
t∫
0
f(y(s)) ds
≤ 2ML2λ
m
+ 2mF (ε). (9)
Из (8), (9) и леммы Гронуолла – Беллмана имеем
D(x(t), y(t)) ≤ εeλLD
t∫
0
f(τ, y(τ))dτ,
t∫
0
f(y(τ))dτ
≤ eλL
2ML2λ
m
+ eλL2mF (ε).
Выберем число m так, чтобы выполнялось неравенство
eλL
λML2
m
≤ η/2. (10)
Теперь зафиксируем m и выберем ε0 так, чтобы при ε ∈ (0, ε0] выполнялось неравенство
eλL2mF (ε) ≤ η/2. (11)
Из неравенств (8), (10) и (11) следует неравенство (5).
Теорема 3 доказана.
Замечание 1. Если условие 3 не выполняется, то его можно заменить следующим
условием:
3′) решение y(·) системы (3) с начальным условием y(0) = x0 ∈ P при ε = 1 лежит
вместе с ρ-окрестностью в области P при t ∈ [0, T1].
Тогда для любых η > 0 и L ∈ [0, T1] существует такое ε0(η, L) > 0, что для ε ∈ (0, ε0]
и t ∈ [0, Lε−1] выполняется неравенство (5).
Теорема 4. Пусть в области Q выполняются следующие условия:
1) отображение f(t, x) строго измеримо по t, слабо непрерывно по x и существует
суммируемая функция M(t) такая, что
D(f(t, x), 0̂) ≤ M(t),
t2∫
t1
M(t)dt ≤ M0(t2 − t1), M0 = const;
2) существует суммируемая функция N(t) такая, что
D(f(t, x1), f(t, x2)) ≤ N(t)D(x1, x2), |N(t)| ≤ N0 = const;
3) равномерно отоносительно x в области Q существует предел (4), причем
D(f(x1), f(x2)) ≤ ϑD(x1, x2);
4) решение y(·), y(0) = x(0) уравнения (3) определено для всех t ≥ 0 и лежит в обла-
сти P с некоторой ρ-окрестностью.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
522 А. В. ПЛОТНИКОВ, Т. А. КОМЛЕВА
Тогда для любых η > 0 и L > 0 можно указать такое ε0(η, L) > 0, что для ε ∈ (0, ε0]
и t ∈ [0, Lε−1] выполняется неравенство
D(x(t), y(t)) < η,
где x(·) и y(·) — решения уравнений (1) и (3) соответственно, удовлетворяющие усло-
вию x(0) = y(0) ∈ P ′.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 3, только существование реше-
ний систем (1) и (3) следует из условий 1 – 3 теоремы 4 и [15, 16].
Схема частичного усреднения. Пусть существует такое отображение f̃(t, x), для ко-
торого
lim
T→∞
1
T
D
T∫
0
f(t, x) dt,
T∫
0
f̃(t, x) dt
= 0. (12)
Тогда системе (1) поставим в соответствие систему
y′ = εf̃(t, y) (13)
и назовем ее частично усредненной.
Рассмотрим вопрос о близости решений систем (1) и (13) на конечном промежутке.
Теорема 5. Пусть в области Q выполняются следующие условия:
1) отображения f(t, x) и f̃(t, x) слабо непрерывны по t, ограничены постоянной M и
удовлетворяют условию Липшица по переменной x с постоянной λ;
2) равномерно по отношению к x в области P существует предел (12);
3) решение y(·), y(0) = x(0) ∈ P ′ ⊂ P системы (13) при t ≥ 0 для всех ε ∈ (0, σ]
лежит с некоторой ρ-окрестностью в области P.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 можно указать такое ε0(η, L) ∈ (0, σ], что для
ε ∈ (0, ε0] и t ∈ [0, Lε−1] выполняется неравенство
D(x(t), y(t)) ≤ η,
где x(·) и y(·) — решения систем (1) и (13) соответственно, удовлетворяющие условию
x(0) = y(0) ∈ P ′.
Доказательство. Из (1), (13), [11] и определения 7 имеем
D(x(t), y(t))≤ εD
t∫
0
f(τ, x(τ))dτ,
t∫
0
f(τ, y(τ)) dτ
+εD
t∫
0
f(τ, y(τ))dτ,
t∫
0
f̃(τ, y(τ))dτ
.
Следовательно,
D(x(t), y(t)) ≤ ε
t∫
0
λD (x(τ), y(τ)) dτ + εD
t∫
0
f(τ, y(τ))dτ,
t∫
0
f̃(τ, y(τ))dτ
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 523
По лемме Гронуолла – Беллмана
D(x(t), y(t)) ≤ εeλL sup
0≤t≤Lε−1
εD
t∫
0
f(τ, y(τ))dτ,
t∫
0
f̃(τ, y(τ))dτ
.
Разделим отрезок [0, Lε−1] на m равных частей и положим y(ti) = yi, ti =
iL
εm
, i =
= 0,m. Предположим, что t ∈ (tk, tk+1] для некоторого k, 4k = 0,m− 1. После неслож-
ных выкладок получаем оценки
εD
t∫
0
f(τ, y(τ))dτ,
t∫
0
f̃(τ, y(τ))dτ
≤ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f(τ, y(τ)), f(τ, yi))dτ+
+ ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f̃(τ, y(τ)), f̃(τ, yi)) dτ + ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
0
f(τ, yi)dτ,
ti+1∫
0
f̃(τ, yi) dτ
+
+ ε
k∑
i=1
D
ti∫
0
f(τ, yi) dτ,
ti∫
0
f̃(τ, yi) dτ
+ εD
t∫
0
f(τ, yk)dτ,
t∫
0
f̃(τ, yk)dτ
,
ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f̃(τ, y(τ)), f̃(τ, yi)dτ ≤
ML2λ
m
,
ε
k−1∑
i=0
ti+1∫
ti
D(f(τ, y(τ)), f(τ, yi)dτ ≤
ML2λ
m
.
В силу условия 2 существует такая монотонно убывающая функция φ(t), стремящаяся
к 0 при t → ∞, что во всей области P выполняется неравенство
D
t∫
0
f(τ, y)dτ,
t∫
0
f̃(τ, y)dτ
< tφ(t).
Следовательно,
εD
t∫
0
f(τ, y)dτ,
t∫
0
f̃(τ, y)dτ
< εtφ(t) ≤ F (ε),
где F (ε) = supτ∈[0,L]
[
τf
(τ
ε
)]
, τ = εt. Очевидно, что limε→0 F (ε) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
524 А. В. ПЛОТНИКОВ, Т. А. КОМЛЕВА
Таким образом,
ε
k−1∑
i=0
D
ti+1∫
0
f(τ, yi) dτ,
ti+1∫
0
f̃(τ, yi)dτ
+ ε
k∑
i=1
D
ti∫
0
f(τ, yi) dτ,
ti∫
0
f̃(τ, yi) dτ
+
+ εD
t∫
0
f(τ, yk)dτ,
t∫
0
f̃(τ, yk)dτ
≤ 2mF (ε).
Итак,
εD
t∫
0
f(τ, y(τ))dτ,
t∫
0
f̃(τ, y(τ))dτ
≤ 2ML2λ
m
+ 2mF (ε) ≡ a(ε,m).
Выбирая достаточно большое m и малое ε, можно сделать a(ε,m) сколь угодно ма-
лым.
Значит, на отрезке [0, Lε−1] имеет место оценка
D(x(t), y(t)) ≤ a(ε,m)eλL.
Полагая a(ε,m) < min{ρ, η}e−λL, получаем утверждение теоремы.
Теорема 4 доказана.
Замечание 2. Данные результаты обобщают результаты M. Kisielewicz [29],
А. В. Плотникова [24] для дифференциальных уравнений с производной Хукухары и
В. А. Плотникова [22], А. Н. Филатова, Л. В. Шаровой [30], М. М. Хапаева [31] для обыкно-
венных дифференциальных уравнений.
Проиллюстрируем полученые результаты следующим примером.
Пример. Рассмотрим схему усреднения для линейной задачи Коши нечетких диффе-
ренциальных уравнений вида
x′ = ε(A(t)x+B(t)), x(0) = x0, (14)
где x : R → E2, A : R → R2×2, B : R → E2, A(t) =
(
cos(t) 1
−1 sin(t)
)
, B(t) таково, что
[B(t)]α = K40(1−α)‖ sin(t)‖
(
10 sin(t)
10 cos(t)
)
,
x0(ξ) =
√
1− (ξ1 − 1)2 − (ξ2 − 1)2, ξ ∈ S1
(
1
1
)
,
0, ξ /∈ S1
(
1
1
)
,
Ka(b) = {(k1, k2) : |ki − bi| ≤ a, i = 1, 2}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 525
Задаче (14) поставим в соответствие усредненную задачу
x̄′ = ε(Ax̄+ B̄), x̄(0) = x0,
где Ā =
(
0 1
−1 0
)
, B̄ таково, что [B̄]α = K 40
π
(1−α)
(
0
0
)
.
На рис. 1 приведены графики решений x(t) и x̄(t), а на рис. 2 показано, как „плава-
ющий” характер свободного члена исходной задачи проявляется на графике динамики
α-срезок.
Рис. 1. Решения задач при ε = 0, 01, T = 10.
Рис. 2. Динамика α-срезок при α = 0, 5, ε = 0, 01.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
526 А. В. ПЛОТНИКОВ, Т. А. КОМЛЕВА
1. Zadeh L. Fuzzy sets // Inform. Control. — 1965. — № 8. — P. 338 – 353.
2. Puri M. L., Ralescu D. A. Differential of fuzzy functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1983. — 91. — P. 552 –
558.
3. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvaci-
oj. — 1967. — № 10. — P. 205 – 223.
4. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1965. — № 12. — P. 1 – 12.
5. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 301 – 317.
6. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — № 35.
— P. 389 – 396.
7. Kaleva O. The Peano theorem for fuzzy differential equations revisited // Fuzzy Sets and Systems. — 1998. —
№ 98. — P. 147 – 148.
8. Kaleva O. O notes on fuzzy differential equations // Nonlinear Anal. — 2006. — № 64. — P. 895 – 900.
9. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric
spaces. — Cambridge Sci. Publ., 2006. — 204 p.
10. Laksmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. — Melbourne:
Florida Inst. Technol., 2003. — 178 p.
11. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniqueness theorem for a solution of fuzzy differential equations // Int. J.
Math. and Math. Sci. — 1999. — 22, № 2. — P. 271 – 279.
12. Park J. Y., Han H. K. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 2000. — № 110. — P. 69 – 77.
13. Vorobiev D., Seikkala S. Towards the theory of fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 2002.
— № 125. — P. 231 – 237.
14. Seikkala S. On the fuzzy initial value problem // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — № 24. — P. 319 – 330.
15. Комлева Т. А., Плотников А. В., Скрипник Н. В. Ω-пространство и его связь с теорией нечетких мно-
жеств // Труды Одес. политехн. ун-та. — 2007. — Вып.2 (28). — С. 182 – 191.
16. Комлева Т. А., Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с многозначными ре-
шениями // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 10. — С. 1326 – 1337.
17. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.
— М.: Наука, 1974. — 503 с.
18. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
363 с.
19. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971. — 440 с.
20. Митропольский Ю. А., Хома Г. Н. Математическое обоснование асимптотических методов нелиней-
ной механики. — Киев: Наук. думка, 1983. — 216 с.
21. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциаль-
ные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т математики НАН Украи-
ны, 2007. — 428 с.
22. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. — Одесса: Одес. гос.
ун-т, 1976. — 103 с.
23. Плотников В. А. Усреднение дифференциальных включений // Укр. мат. журн. — 1979. — 31, № 5. —
С. 573 – 576.
24. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной пра-
вой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 1999. — 354 с.
25. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
26. Самойленко А. М., Теплинский Ю.В̇. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 1993. — 308 с.
27. Puri M. L., Ralescu D. A. Fuzzy random variables // J. Math. Anal. and Appl. — 1986. — № 114. — P. 409 –
422.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
УСРЕДНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 527
28. Stojaković M. Rn-valued fuzzy random variable // Univ. u Novom Sadu Zb. Rad. Prirod. Mat. Fak. Ser. Mat.
— 1990. — 20, № 2. — P. 95 – 103.
29. Kisielewicz M. Method of averaging for differential equations with compact convex valued solutions // Rend.
Math. — 1976. — 9, №3. — P. 397 – 408.
30. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. — М.: На-
ука, 1976. — 151 с.
31. Хапаев М.М. О методе усреднения и некоторых задачах, связанных с усреднением // Диференц. урав-
нения. — 1966. — 11, № 5. — С. 600 – 608.
Получено 28.08.09,
после доработки — 16.04.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 4
|