О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона
Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в частинному критичному випадку. Характерною особливiстю поставленої задачi є неможливiсть безпосереднього застосування традицiйн...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175881 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона / С.М. Чуйко, О.Е. Пирус // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 407-421. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175881 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758812021-02-03T01:30:12Z О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона Чуйко, С.М. Пирус, О.Е. Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в частинному критичному випадку. Характерною особливiстю поставленої задачi є неможливiсть безпосереднього застосування традицiйної схеми дослiдження та побудови розв’язкiв критичних крайових задач, що створена у роботах I. Г. Малкiна, А. М. Самойленка, Є. О. Гребенiкова, Ю. А. Рябова i О. А. Бойчука. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi в частинному критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з використанням методiв Ньютона i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропонованої технiки продемонстровано на прикладi перiодичної задачi для рiвняння типу Хiлла. We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions to a nonlinear autonomous Noether boundary-value problem for a system of ordinary second order differential equations in a particular critical case. A particular feature of the considered problem is that it is impossible to directly apply a traditional scheme, due to I. G. Malkin, A. M. Samoilenko, E. O. Grebenikov, Yu. A. Ryabov, and O. A. Boichuk, for studying the problem and finding its solutions. To construct solutions of a nonlinear Noether boundaryvalue problem in a particular critical case, we propose a scheme that combines Newton’s method and the least square technique. An effectiveness of the proposed method is demonstrated with an example of the periodic problem for a Hill type equation. 2012 Article О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона / С.М. Чуйко, О.Е. Пирус // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 407-421. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175881 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в частинному критичному випадку. Характерною особливiстю поставленої задачi є неможливiсть безпосереднього застосування традицiйної схеми дослiдження та побудови розв’язкiв критичних крайових задач, що створена у роботах I. Г. Малкiна, А. М. Самойленка, Є. О. Гребенiкова,
Ю. А. Рябова i О. А. Бойчука. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi в частинному критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з використанням методiв Ньютона i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропонованої технiки продемонстровано на прикладi перiодичної задачi для рiвняння типу Хiлла. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Пирус, О.Е. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Пирус, О.Е. О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Пирус, О.Е. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона |
| title_short |
О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона |
| title_full |
О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона |
| title_fullStr |
О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона |
| title_full_unstemmed |
О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона |
| title_sort |
о приближенном решении автономных краевых задач методом ньютона |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175881 |
| citation_txt |
О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона / С.М. Чуйко, О.Е. Пирус // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 407-421. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm opribližennomrešeniiavtonomnyhkraevyhzadačmetodomnʹûtona AT pirusoe opribližennomrešeniiavtonomnyhkraevyhzadačmetodomnʹûtona |
| first_indexed |
2025-07-15T13:31:30Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:31:30Z |
| _version_ |
1837719930879868928 |
| fulltext |
УДК 517.9
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ НЬЮТОНА*
С. М. Чуйко, О. Е. Пирус
Славян. гос. пед. ун-т
Украина, 84112, Славянск Донецкой обл., ул. Батюка, 19
We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions to a nonlinear autonomous Noether
boundary-value problem for a system of ordinary second order differential equations in a particular criti-
cal case. A particular feature of the considered problem is that it is impossible to directly apply a traditional
scheme, due to I. G. Malkin, A. M. Samoilenko, E. O. Grebenikov, Yu. A. Ryabov, and O. A. Boichuk, for
studying the problem and finding its solutions. To construct solutions of a nonlinear Noether boundary-
value problem in a particular critical case, we propose a scheme that combines Newton’s method and the
least square technique. An effectiveness of the proposed method is demonstrated with an example of the
periodic problem for a Hill type equation.
Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної автономної нете-
рової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в час-
тинному критичному випадку. Характерною особливiстю поставленої задачi є неможливiсть
безпосереднього застосування традицiйної схеми дослiдження та побудови розв’язкiв критич-
них крайових задач, що створена у роботах I. Г. Малкiна, А. М. Самойленка, Є. О. Гребенiкова,
Ю. А. Рябова i О. А. Бойчука. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi в
частинному критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з
використанням методiв Ньютона i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропоно-
ваної технiки продемонстровано на прикладi перiодичної задачi для рiвняння типу Хiлла.
1. Постановка задачи. Исследуется задача о построении решений [1 – 3]
z(t, ε) : z(·, ε) ∈ C2[a, b(ε)], z(t, ·) ∈ C[0, ε0], b(·) ∈ C[0, ε0], b∗ := b(0),
автономной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
второго порядка
z′′ = Az +Bz′ + f + εZ(z, z′, ε), `z(·, ε) = α+ εJ(z(·, ε), z′(·, ε), ε). (1)
Решения нетеровой (m 6= n) задачи (1) ищем в малой окрестности решения порождаю-
щей задачи
z′′0 = Az0 +Bz′0 + f, A,B ∈ Rn×n, f ∈ Rn, `z0(·) = α, α ∈ Rm. (2)
ЗдесьZ(z, z′, ε) — нелинейная функция, непрерывно дифференцируемая по z и z′ в окрест-
ности решения порождающей задачи и непрерывно дифференцируемая по малому пара-
метру ε на отрезке [0, ε0]; `z(·, ε) — линейный и J(z(·, ε), ε) — нелинейный векторный
* Выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Германии (DFG;
№ GZ:436UKR 13/103/0-1) и Государственного фонда фундаментальных исследований Украины
(№ 0109U000381).
c© С. М. Чуйко, О. Е. Пирус, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3 407
408 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
функционалы `z(·, ε), J(z(·, ε), z′(·, ε), ε) : C[a, b(ε)] → Rm, причем второй функционал
непрерывно дифференцируем по z, z′ и по малому параметру ε в окрестности решения
порождающей задачи и на отрезке [0, ε0]. Порождающая задача (2) является
частным случаем неавтономной нетеровой краевой задачи, исследованной в статье [4].
В критическом случае (PQ∗ 6= 0) при условии
PQ∗ {α− `K[f ](·)} = 0
порождающая задача (2) имеет семейство решений [4]
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G[f ;α](t), Xr(t) = X(t)PQr , cr ∈ Rr.
Здесь Q = `X(·) — (m × n)-матрица, rankQ = n1, n − n1 = r, PQ∗ — (m ×m)-матрица-
ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t) — фундаментальная матрица однородной части
дифференциальной системы (2); PQr — (n× r)-матрица, составленная из r линейно неза-
висимых столбцов (n× n)-матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q);
G[f ;α](t) = X(t)Q+ {α− `K[f ](·)}+K[f ](t)
— обобщенный оператор Грина задачи (2), Q+ — псевдообратная матрица по Муру –
Пенроузу [1],K[f ](t) — оператор Грина задачи Коши [4] для дифференциальной системы
(2). Для упрощения выкладок предположим, что дифференциальная система (1) не со-
держит диссипативного члена Bz′, либо его величина мала и слагаемое Bz′ может быть
отнесено к нелинейности. В этом случае дифференциальная система (2) не содержит дис-
сипативного члена Bz′0, а оператор Грина задачи Коши принимает вид
K[f ](t) = X(t)
t∫
a
Y (s)f ds, Y (t) := V −1(t)
(
O
In
)
.
Здесь V (t) — нормальная фундаментальная матрица системы
V ′(t) =
(
O In
A 0
)
V (t), V (a) = I2n.
В качестве фундаментальной матрицыX(t) однородной части дифференциальной систе-
мы (2) используем блок матрицы V (t) :
V (t) =
(
X(t)
X ′(t)
)
.
В критическом случае задача (1) существенно отличается от аналогичных неавтоном-
ных краевых задач; в отличие от последних правый конец b(ε) промежутка [a, b(ε)], на
котором ищем решение задачи (1), неизвестен и подлежит определению в процессе по-
строения решения. Выполняяя в задаче (1) замену переменной [2, 3]
t = a+ (τ − a)(1 + εβ(ε)), b(ε) = b∗ + ε(b∗ − a)β(ε), β(ε) ∈ C[0, ε0], β(0) = β∗,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 409
приходим к задаче об отыскании решения z(τ, ε) ∈ C2[a, b∗], C[0, ε0] системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений второго порядка
z′′ = Az + f + ε
[
Z(z, z′, ε) + β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f + εZ(z, z′, ε))
]
, (3)
удовлетворяющих краевому условию
`z(·, ε) = α+ ε
[
J̃(z(·, ε), z′(·, ε), ε) + β(ε)(2 + εβ(ε))(α+ εJ̃(z(·, ε), z′(·, ε), ε))
]
. (4)
Здесь `z(·, ε) — линейный и J̃(z(·, ε), ε) — нелинейный векторные функционалы `z(·, ε),
J̃(z(·, ε), ε) : C[a, b∗] → Rm. Решение задачи (3), (4) ищем в виде z(τ, ε) = z0(τ, cr) +
+x(τ, ε). Оставляя только линейно независимые строки условия разрешимости задачи
(3), (4), получаем эквивалентное условие разрешимости
PQ∗ρ
{
J̃(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)+
+ β(ε)(2 + εβ(ε))(α+ εJ̃(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε))−
− `K
{
Z(z0 + x, z′0 + x′, ε) + β(2 + εβ)(Az + f + εZ(z0 + x, z′0 + x′, ε))
}
(·)
}
= 0.
Здесь PQ∗ρ — (ρ × m)-мерная матрица, составленная из ρ линейно независимых строк
матрицы-ортопроектора PQ∗ . Обозначая
ϕ0(c
∗) = 2αβ∗ + J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0),
f0(s, c
∗) = 2β∗[Az0(s, c
∗
r) + f ] + Z(z0(s, c
∗
r), z
′
0(s, c
∗
r), 0),
аналогично [2, 3] приходим к необходимому условию разрешимости задачи (1).
Лемма. Если краевая задача (1) в критическом случае (PQ∗ 6= 0) имеет решение, при
ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c
∗
r), то вектор c∗ := (c∗r , β
∗) ∈ Rr+1
удовлетворяет уравнению [2]
F (c∗r , β
∗) := PQ∗ρ {ϕ0(c
∗)− `K[f0(s, c
∗)](·)} = 0. (5)
В случае ρ < r традиционная схема анализа автономных краевых задач [2] непри-
менима, так как для краевой задачи (1) не может иметь место ни один из критических
случаев — первого, второго или более высокого порядка. С другой стороны, задача (1) не
представляет также особый критический случай [6], поскольку уравнение F (c∗r , β
∗) = 0
не обращается в тождество.
2. Достаточное условие существования решения. Для нахождения решения задачи (3),
(4) разлагаем функцию Z(z, z′, ε) в окрестности порождающего решения z0(τ, c∗r) и точки
ε = 0 :
Z(z0(τ, c
∗
r) + x(τ, ε), z′0(τ, c
∗
r) + x′(τ, ε), ε) = Z(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0) +A1(τ)x(τ, ε)+
+A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c
∗
r)) +R1(z0(τ, c
∗
r) + x(τ, ε), z′0(τ, c
∗
r) + x′(τ, ε), ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
410 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
Здесь
A1(τ) = Z ′z(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0), A2(τ) = Z ′z′(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0),
A3(τ) = Z ′ε(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0).
Аналогично [5] выделяем линейные части функционала J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) +
+x′(·, ε), ε)
`1x(·, ε) = J̃ ′z(z(·, ε), z′(·, ε), ε), `2x
′(·, ε) = J̃ ′z′(z(·, ε), z′(·, ε), ε),
ε `3(z0(·, c∗r)) = ε J̃ ′ε(z(·, ε), z′(·, ε), ε)
и член J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) = J(z(·, 0), z′(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности
точек x = 0, x′ = 0 и ε = 0 :
J̃(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε) = J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0)+
+ `1x(·, ε) + `2x
′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε).
Обозначим (ρ×m)-матрицу
Bβ := 2PQ∗ρ {α− `K[Az0(τ, c
∗
r) + f ](·)} .
Для нахождения функции β(ε) приходим к уравнению
Bβ β(ε) =− PQ∗ρ
{
εαβ2(ε) + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε)))[J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) +
+ `1x(·, ε) + `2x
′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)]−
− `K
{
2βAx(τ, ε) + εβ2[Az(τ, ε) + f ] + (1 + εβ(2 + εβ))[Z(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0) +
+A1(τ)x(τ, ε) +A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c
∗
r)) +R1(z(τ, ε), z
′(τ, ε), ε)]
}
(·)
}
.
Пусть PB∗β — матрица-ортопроектор: Rρ → N(B∗β).При условии PB∗βPQ∗ρ = 0 по меньшей
мере одно из решений задачи (3), (4) определяет операторная система
z(τ, ε) = Xr(τ)c∗r + εG {β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f) +
+ ε(1 + β(ε)(2 + εβ(ε)))[Z(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0) +A1(τ)x(τ, ε)+
+A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c
∗
r)) +R1(z(τ, ε), z
′(τ, ε), ε)];
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 411
αβ(ε)(2 + εβ(ε)) + (1 + εβ(2 + εβ)[J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε)+
+ `2x
′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)]
}
(τ),
(6)
β(ε) =−B+
β PQ∗ρ
{
εαβ2(ε) + (1 + εβ(2 + εβ))[J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) +
+ `1x(·, ε) + `2x
′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z(·, ε), z′(·, ε), ε)]−
− `K
{
2β(ε)Ax(τ, ε) + εβ2(ε)[Az(τ, ε) + f ] +
+ (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε)))[Z(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0) +A1(τ)x(τ, ε)+
+ A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c
∗
r)) +R1(z(τ, ε), z
′(τ, ε), ε)]
}
(·)
}
.
Для построения этого решения в статье [7] предложена итерационная схема с линейной
сходимостью, построенная по методу наименьших квадратов. Целью данной статьи яв-
ляется построение итерационной техники по методу Ньютона с квадратичной сходимо-
стью. Обозначим
ψ(β(ε), z(τ, ε)) = B+
β PQ∗ρ
{
εαβ2(ε) + (1 + εβ(ε)(2 + εβ(ε)))[J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) +
+ `1x(·, ε) + `2x
′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)]−
− `K
{
2βAx(τ, ε) + εβ2[Az(τ, ε) + f ] + (1 + εβ(2 + εβ))[Z(z0(τ, c
∗
r), z
′
0(τ, c
∗
r), 0) +
+ A1(τ)x(τ, ε) +A2(τ)x′(τ, ε) + εA3(z0(τ, c
∗
r)) +R1(z(τ, ε), z
′(τ, ε), ε)]
}
(·)
}
,
g(z(τ, ε), β(ε)) = Xr(τ)c∗r + εG {β(ε)(2 + εβ(ε))(Az + f) +
+ ε(1 + β(ε)(2 + εβ(ε)))[Z(z0(s, c
∗
r), z
′
0(s, c
∗
r), 0) +A1(s)x(s, ε)+
+A2(s)x
′(s, ε) + εA3(z0(s, c
∗
r)) +R1(z(s, ε), z
′(s, ε), ε)];
αβ(ε)(2 + εβ(ε)) + (1 + εαβ(2 + εβ)[J(z0(·, c∗r), z′0(·, c∗r), 0) + `1x(·, ε)+
+ `2x
′(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r)) + J1(z0(·, c∗r) + x(·, ε), z′0(·, c∗r) + x′(·, ε), ε)]
}
(τ).
Для построения решения второго уравнения системы (6) методом Ньютона введем опе-
ратор
Ψ(β(ε), z(τ, ε))(ε) := β(ε) + ψ{β(ε), z(τ, ε)}(ε) : C[0, ε0] → C[0, ε0].
Предположим, что для вектор-функций
x(τ, ε) : x(·, ε) ∈ C2[a, b], x(τ, ·) ∈ C[0, ε0], ‖x(τ, ε)‖ ≤ q
имеют место неравенства
‖Ψ(β∗, g(z0(τ, c
∗
r), β
∗))(ε)‖ ≤ γ1,
∥∥[Ψ′β(β∗, g(z0(s, c
∗
r), β
∗))]−1(ε)
∥∥ ≤ γ2,∥∥∥Ψ′′β2(β(ε), g(z(s, ε), β(ε)))(ε)
∥∥∥ ≤ γ3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
412 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
Согласно теореме Ньютона – Канторовича [5, c. 680, 682] при условии PB∗0
PQ∗ρ = 0 и
2γ1γ2γ3 < 1 для построения по меньшей мере одного из решений операторной системы
(6) применима итерационная схема
zk+1(τ, ε) = g(zk(τ, ε), βk(ε))(τ), z0(τ, ε) := z0(τ, c
∗
r), β0(ε) := β∗, k = 0, 1, 2, . . . ,
(7)
βk+1(ε) = βk(ε)−
[
1− ∂Ψ(βk(ε), zk+1(τ, ε))
∂β
]−1
[βk(ε)−Ψ(βk(ε), zk+1(τ, ε))] .
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. В критическом случае (PQ∗ 6= 0) для корня c∗ ∈ Rr+1 уравнения F (c∗) = 0
при условии PB∗βPQ∗ρ = 0 задача (1) имеет по меньшей мере одно решение, при ε = 0
обращающееся в порождающее z0(τ, c∗r). Для построения решения задачи (1) в случае
2γ1γ2γ3 < 1 применима итерационная схема (7).
При условии ρ < 1, PB∗βPQ∗ρ = 0 будем говорить, что для автономной нетеровой кра-
евой задачи (1) имеет место частный критический случай, характерной особенностью
которого является отсутствие изолированных порождающих решений, в окрестности ко-
торых задача (1) разрешима.
3. Периодическая задача для уравнения типа Хилла. На примере T1(ε)-периодической
задачи для уравнения типа Хилла [10; 12, c. 315]
y′′ + y = ε Y (y, ε) (8)
продемонстрируем способ построения модифицированной итерационной техники для на-
хождения приближенных решений y(t, ε) ∈ C2[0, T1(ε)], C[0, ε0], T1(0) = 2π с исполь-
зованием метода наименьших квадратов [8], обеспечивающих большую точность при
меньшем числе итераций. Решение задачи (8) ищем в малой окрестности периодиче-
ского решения порождающего уравнения. Здесь Y (y, ε) — нелинейная скалярная функ-
ция, непрерывно дифференцируемая по неизвестной переменной y в малой окрестности
решения порождающей задачи и непрерывно дифференцируемая по малому параметру
ε на отрезке [0, ε0]. Зафиксируем начало отсчета независимой переменной таким обра-
зом, чтобы решение порождающего уравнения стало однопараметричным [11], напри-
мер y0(t) = ĉ cos t, ĉ ∈ R1. Предположим также, что уравнение для порождающих ам-
плитуд имеет действительный корень (ĉ∗, β∗) ∈ R2. Оставляя одну линейно независимую
строку уравнения для порождающих амплитуд F (ĉ∗, β∗) = 0, приходим к скалярному
уравнению
F̂ (ĉ∗, β∗) :=
2π∫
0
(Y (y0(t, ĉ
∗))− 2β∗y0(t, ĉ
∗)) cos t dt = 0.
При условии ĉ∗ 6= 0 имеет место неравенство Bβ := F̂ ′β(ĉ∗, β∗) = 2πĉ∗ 6= 0.Последнее не-
равенство обеспечивает однозначную разрешимость операторной системы (6) и, в свою
очередь, существование единственного периодического решения уравнения типа Хилла
(8) в малой окрестности 2π-периодического порождающего решения y0(t, ĉ∗) = ĉ∗ cos t,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 413
ĉ∗ ∈ R1. Представим период искомого решения T1(ε) = 2π(1 + εβ(ε)) через новую не-
известную β(ε) ∈ C[0, ε0], β(ε), β(0) = β∗. Замена независимой переменной в случае
периодической задачи принимает вид t = τ(1 + εβ(ε)). Таким образом, приходим к 2π-
периодической задаче для уравнения
y′′(τ, ε) + (1 + εβ(ε))2y(τ, ε) = ε (1 + εβ(ε))2 Y (y(τ, ε), ε). (9)
Обозначим оператор
Φ(β(ε), y(τ, ε))(ε) :=
2π∫
0
(ε(1 + εβ(ε))2Y (y(τ, ε), ε)−
− εβ(ε)(2 + εβ(ε)) y(τ, ε)) cos τ dτ : C[0, ε0] → C[0, ε0].
Условие разрешимости 2π-периодической задачи для уравнения (9) имеет вид
Φ(β(ε), y(τ, ε))(ε) = 0.
Искомое решение 2π-периодической задачи для уравнения (9) ищем в виде y(τ, ε) =
= y0(τ, ĉ
∗) + x(τ, ε). Отклонение от порождающего решения x(τ, ε) : x(·, ε) ∈ C2[0, 2π],
x(τ, ·) ∈ C[0, ε0] определяет 2π-периодическая задача для уравнения
x′′(τ, ε) + (1 + εβ(ε))2 x(τ, ε) = ε(1 + εβ(ε))2 Y (y0(τ, ĉ
∗) + x(τ, ε), ε)−
−
{
y′′0(τ, ĉ∗) + (1 + εβ(ε))2 y0(τ, ĉ
∗} . (10)
Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции Y (y, ε) в
окрестности порождающего решения y0(τ, ĉ∗) и непрерывную дифференцируемость по
второму аргументу в малой положительной окрестности нуля, разлагаем эту функцию в
окрестности точек x = 0 и ε = 0 :
Y (y0(τ, ĉ
∗) + x(τ, ε), ε) = Y (y0(τ, ĉ
∗), 0) +A1(y0(τ, ĉ
∗))x(τ, ε)+
+ εA2(y0(τ, ĉ
∗)) +R(y0(τ, ĉ
∗) + x(τ, ε), ε),
где
A1(y0(τ, ĉ
∗)) := Y ′y(y0(τ, ĉ
∗), 0), A2(y0(τ, ĉ
∗)) := Y ′ε (y0(τ, ĉ
∗), 0).
Первое приближение к решению 2π-периодической задачи для уравнения
y1(τ, ε) = y0(τ, ĉ
∗) + x1(τ, ε)
ищем, как периодическое решение уравнения
x′′1(τ, ε) + (1 + εβ∗)2 x1(τ, ε) = ε(1 + εβ∗)2×
× {Y (y0(τ, ĉ
∗), 0)+A1(y0(τ, ĉ
∗))x1(τ, ε)+εA2(y0(τ, ĉ
∗))} .
(11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
414 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
Пусть ϕ1(τ), ϕ2(τ), . . . , ϕµ(τ), . . . — система линейно независимых дважды непрерывно
дифференцируемых скалярных функций. Приближение к периодическому решению урав-
нения (11) ищем в виде x1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) = ϕ(τ)c1(ε), где ϕ(τ) = [ϕ1(τ)ϕ2(τ) . . . ϕµ(τ)] —
(1× µ)-матрица. Потребуем, чтобы∥∥(1 + εβ∗)2 [εA1(y0(τ, ĉ
∗))− 1]ξ1(τ, ε) + ε(1 + εβ∗)2 [Y (y0(τ, ĉ
∗), 0)+
+ εA2(y0(τ, ĉ
∗))]− ξ′′1 (τ, ε)− y′′0(τ, ĉ∗)− (1 + εβ∗)2 y0(τ, ĉ
∗)
∥∥2
L2[0,2π]
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). Обозначим (1× µ)-матрицу
F1(τ, ε) = (1 + εβ∗)2 [εA1(y0(τ, ĉ
∗))− 1]ϕ1(τ)− ϕ′′1(τ).
При условии
det [Γ(F1(·, ε))] 6= 0, Γ(F1(·, ε)) :=
2π∫
0
F∗1 (τ, ε)F1(τ, ε) dτ
находим вектор
c1(ε) =− [Γ(F1(·, ε))]−1
2π∫
0
F∗1 (τ, ε)
{
ε(1 + εβ∗)2 [Y (y0(τ, ĉ
∗), 0) + εA2(y0(τ, ĉ
∗))] −
− y′′0(τ, ĉ∗)− (1 + εβ∗)2 y0(τ, ĉ
∗)
}
dτ.
Первое приближение β1(ε) к функции β(ε) вычисляем по формуле Ньютона:
β1(ε) = β∗ −
[
1− ∂Φ(β∗, y1(τ, ε))
∂β
]−1
[β∗ − Φ(β∗, y1(τ, ε))].
Второе приближение к решению периодической задачи для уравнения (9) ищем, как
отклонение от первого
y2(τ, ε) = y0(τ, ĉ
∗) + x2(τ, ε), x2(τ, ε) = ξ1(τ, ε) + ξ2(τ, ε), ξ2(τ, ε) = ϕ(τ)c2(ε).
Предположим, что найденное первое приближение y1(τ, ε) ≈ y0(τ, ĉ
∗) + ξ1(τ, ε) принад-
лежит области определения функции Y (y, ε). Используя непрерывную дифференциру-
емость по y(τ, ε) функции Y (y(τ, ε), ε) в окрестности первого приближения y1(τ, ε) и не-
прерывную дифференцируемость по второму аргументу в малой положительной окрест-
ности нуля, разлагаем эту функцию в окрестности точек ξ2(τ, ε) = 0 и ε = 0 :
Y (y1(τ, ε) + ξ2(τ, ε), ε) = Y (y1(τ, ε), 0) +A1(y1(τ, ε))ξ2(τ, ε)+
+ εA2(y1(τ, ε)) +R(y1(τ, ε) + ξ2(τ, ε), ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 415
где
A1(y1(τ, ε)) := Y ′y(y1(τ, ε), 0), A2(y1(τ, ε)) := Y ′ε (y1(τ, ε), 0).
Второе приближение к решению периодической задачи для уравнения (9) ищем, как пе-
риодическое решение уравнения
y′′2(τ, ε) + (1 + εβ1(ε))
2 y2(τ, ε) = ε(1 + εβ1(ε))
2×
× {Y (y1(τ, ε), 0) +A1(y1(τ, ε))ξ2(τ, ε) + εA2(y1(τ, ε))} .
(12)
Обозначим (1× µ)-матрицу
F2(τ, ε) = (1 + εβ1(ε))
2 [εA1(y1(τ, ε))− 1]ϕ(τ)− ϕ′′(τ).
При условии
det [Γ(F2(·, ε))] 6= 0, Γ(F2(·, ε)) :=
2π∫
0
F∗2 (τ, ε)F2(τ, ε) dτ
находим вектор
c2(ε) = −[Γ(F2(·, ε))]−1
2π∫
0
F∗2 (τ, ε)
{
ε(1 + εβ1(ε))
2 ×
× [Y (y1(τ, ε), 0) + εA2(y1(τ, ε))]− (1 + εβ1(ε))
2 y1(τ, ε)− y′′1(τ, ε)
}
dτ.
Второе приближение β2(ε) к функции β(ε) определяет формула Ньютона
β2(ε) = β1(ε)−
[
1− ∂Φ(β1(ε), y2(τ, ε))
∂β
]−1
[β1(ε)− Φ(β1(ε), y2(τ, ε))].
Продолжая рассуждения, предполагаем, что найдено наилучшее (в смысле наименьших
квадратов) приближение
xk(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) + . . .+ ξk(τ, ε), . . . , ξk(τ, ε) = ϕ(τ)ck(ε), ck(ε) ∈ Rµ, k = 1, 2, . . . ,
к решению периодической задачи для уравнения (9) и приближение βk(ε) к функции β(ε).
Следующее приближение ищем в виде
xk+1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) + . . .+ ξk+1(τ, ε), ξk+1(τ, ε) = ϕ(τ)ck+1(ε), ck+1(ε) ∈ Rµ.
Предположим, что найденное приближение yk(τ, ε) ≈ y0(τ, ĉ
∗) + xk(τ, ε) принадлежит
области определения функции Y (y, ε).Используя непрерывную дифференцируемость по
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
416 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
y(τ, ε) функции Y (y(τ, ε), ε) в окрестности приближения yk(τ, ε) и непрерывную диффе-
ренцируемость по второму аргументу в малой положительной окрестности нуля, разла-
гаем эту функцию в окрестности точек ξk+1(τ, ε) = 0 и ε = 0 :
Y (yk(τ, ε) + ξk+1(τ, ε), ε) = Y (yk(τ, ε), 0) +A1(yk(τ, ε))ξk+1(τ, ε)+
+ εA2(yk(τ, ε)) +R(yk(τ, ε) + ξk+1(τ, ε), ε),
где
A1(yk(τ, ε)) := Y ′y(yk(τ, ε), 0), A2(yk(τ, ε)) := Y ′ε (yk(τ, ε), 0).
Обозначим (1× µ)-матрицу
Fk+1(τ, ε) = (1 + εβk(ε))
2 [εA1(yk(τ, ε))− 1]ϕ(τ)− ϕ′′(τ).
При условии
det [Γ(Fk+1(·, ε))] 6= 0, Γ(Fk+1(·, ε)) =
2π∫
0
F∗k+1(τ, ε)Fk+1(τ, ε) dτ
находим вектор
ck+1(ε) =− [Γ(Fk+1(·, ε))]−1
2π∫
0
F∗k+1(τ, ε)
{
ε(1 + εβk(ε))
2 [Y (yk(τ, ε), 0) + εA2(yk(τ, ε))] −
− (1 + εβk(ε))
2 yk(τ, ε)− y′′k(τ, ε)
}
dτ.
Следующее приближение к функции β(ε) представим в виде
βk+1(ε) = βk(ε)−
[
1− ∂Φ(βk(ε), yk+1(τ, ε))
∂β
]−1
[βk(ε)− Φ(βk(ε), yk+1(τ, ε))].
Предположим, что для произвольной функции
x(τ, ε) : x(·, ε) ∈ C2[0, T ], x(τ, ·) ∈ C[0, ε0], x(τ, 0) ≡ 0, ‖x(τ, ε)‖ ≤ q
имеют место неравенства
‖Φ(β∗, y1(τ, ε))‖ ≤ γ1,
∥∥∥[Φ′β(β∗, y1(τ, ε))
]−1∥∥∥ ≤ γ2,
∥∥∥Φ′′β2(β(ε), y(τ, ε))
∥∥∥ ≤ γ3.
Согласно теореме Ньютона – Канторовича [5, c. 680, 682] условие сходимости построен-
ной итерационной схемы имеет вид 2 γ1 γ2 γ3 < 1. Таким образом, доказано следующее
утверждение.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 417
Следствие. Для любого действительного корня (ĉ∗, β∗) ∈ R2 уравнения для поро-
ждающих амплитуд F̂ (ĉ∗, β∗) = 0 в случае Bβ 6= 0 задача (8) имеет единственное реше-
ние, при ε = 0 обращающееся в порождающее y0(τ, ĉ∗). При условии
2 γ1 γ2 γ3 < 1, det[Γ(Fk(·, ε))] 6= 0, k ∈ N,
это решение можно определить с помощью итерационного процесса
y1(τ, ε) = y0(τ, ĉ
∗) + x1(τ, ε), x1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) = ϕ(τ)c1(ε),
c1(ε) =− [Γ(F1(·, ε))]−1
2π∫
0
F∗1 (τ, ε)
{
ε(1 + εβ∗)2 [Y (y0(τ, ĉ
∗), 0) + εA2(y0(τ, ĉ
∗))] −
− y′′0(τ, ĉ∗)− (1 + εβ∗)2 y0(τ, ĉ
∗)
}
dτ,
β1(ε) = β∗ −
[
1− ∂Φ(β∗, y1(τ, ε))
∂β
]−1
[β∗ − Φ(β∗, y1(τ, ε))] ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yk+1(τ, ε) = y0(τ, ĉ
∗) + xk+1(τ, ε), (13)
xk+1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) + . . .+ ξk+1(τ, ε), ξk+1(τ, ε) = ϕ(τ)ck+1(ε),
ck+1(ε) =− [Γ(Fk+1(·, ε))]−1
2π∫
0
F∗k+1(τ, ε)
{
ε(1 + εβk(ε))
2 [Y (yk(τ, ε), 0) + εA2(yk(τ, ε))] −
− (1 + εβk(ε))
2 yk(τ, ε)− y′′k(τ, ε)
}
dτ,
βk+1(ε) = βk(ε)−
[
1− ∂Φ(βk(ε), yk+1(τ, ε))
∂β
]−1
[βk(ε)− Φ(βk(ε), yk+1(τ, ε))], . . . .
С учетом замены независимой переменной итерационная схема (13) определяет прибли-
женное решение T1(ε)-периодической задачи для уравнения Хилла (8).
Пример 1. Исследуем задачу о построении периодического решения уравнения Дюф-
финга [11]
y′′ + y = ε y3. (14)
Уравнение для порождающих амплитуд в случае задачи о нахождении периодическо-
го решения уравнения (14) принимает вид
Fρ(ĉ, β) :=
πĉ
4
(3ĉ2 − 8β) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
418 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
Для достаточно малых ĉ∗ ∈ R1 серия корней
β∗ =
3(ĉ∗)2
8
, ĉ∗ 6= 0,
определяет нетривиальные периодические решения уравнения Дюффинга. Примем для
определенности ĉ∗ = 1, ε0 = 0, 35, q = 0, 1. Для первого шага итерационной схемы (13)
положим
ϕ1(τ) = [cos τ cos 3τ cos 5τ ].
Матрица Грама, соответствующая порождающему решению y0(t, ĉ
∗) = cos t,
det[Γ(F1(·, ε))] = 82 944π3 ε2 + 184 032π3 ε3 + . . . 6= 0
невырождена, при этом
ξ1(τ, ε) ≈−
1
64
(17 cos τ + 2 cos 3τ) ε+
1
4096
(873 cos τ + 18 cos 3τ + 4 cos 5τ)ε2+
+
1
262 144
(−42 477 cos τ − 618 cos 3τ + 148 cos 5τ) ε3+
+
3
16 777 216
(674 847 cos τ + 22 870 cos 3τ + 276 cos 5τ)ε4+
+
5
1 073 741 824
(19 356 357 cos τ + 643 338 cos 3τ + 27 292 cos 5τ) ε5.
В этом случае величина 2 γ1 γ2 γ3 = 0, 137 661 < 1, где
‖Φ(β∗, y1(τ, ε))‖ ≤ γ1 = 0, 0511 762,
∥∥∥[Φ′β(β∗, y1(τ, ε))
]−1∥∥∥ ≤ γ2 = 0, 195 292,
∥∥∥Φ′′β2(β(ε), y(τ, ε))
∥∥∥ ≤ γ3 = 6, 88 697.
Согласно доказанному следствию задача о построении периодического решения урав-
нения Дюффинга в достаточно малой окрестности порождающего решения y0(τ, ĉ∗) =
= cos τ имеет единственное решение. Таким образом, найдено первое T1(ε) = 2π(1 +
+εβ1(ε))-периодическое приближение к решению уравнения Дюффинга, где
β1(ε) ≈
3
8
+
2 829ε2
32 768
+
2 378ε3
110 749
+
8 676ε4
351 163
+
361ε5
71 142
.
Нами найдено T1(ε) = 2π(1+εβ5(ε))-периодическое пятое приближение к решению урав-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 419
нения Дюффинга:
y5(τ, ε) = cos τ − 17
64
ε cos τ +
873
4 096
ε2 cos τ − 14 943
131 072
ε3 cos τ+
+
621 713
8 388 608
ε4 cos τ − 50 158 059
1 073 741 824
ε5 cos τ − 698 704
1 654 909 117
ε6 cos τ−
− 9 049 388
867 820 023
ε7 cos τ +
10 741 671
879 008 941
ε8 cos τ +
566 415
19 721 363 668
ε9 cos τ+
+
2 173 159
15 018 447 577
ε10 cos τ +
95 507
40 880 064 770
ε11 cos τ +
461 438
2 225 777 143
ε12 cos τ−
− 1
32
ε cos 3τ +
9
2 048
ε2 cos 3τ − 99
8 192
ε3 cos 3τ +
15 023
8 388 608
ε4 cos 3τ−
− 245 811
67 108 864
ε5 cos 3τ +
1 397 408
1 654 909 117
ε6 cos 3τ +
3 540 711
2 123 657 887
ε7 cos 3τ+
+
1 960 563
1 624 849 940
ε8 cos 3τ − 828 669
14 426 233 469
ε9 cos 3τ − 1 359 361
27 840 195 402
ε10 cos 3τ−
− 161 448
34 552 465 777
ε11 cos 3τ − 831 991
12 330 271 799
ε12 cos 3τ +
ε2 cos 5τ
1 024
+
ε3 cos 5τ
65 536
+
+
2 381
4 194 304
ε4 cos 5τ +
4 711
67 108 864
ε5 cos 5τ +
1 712 623
7 893 293 717
ε6 cos 5τ+
+
640 368
15 765 403 451
ε7 cos 5τ − 132 045
1 800 694 511
ε8 cos 5τ − 897 246
13 680 597 481
ε9 cos 5τ−
− 526 460
15 431 886 227
ε10 cos 5τ − 528 727
27 270 566 075
ε11 cos 5τ − 1 734 336
142 003 575 115
ε12 cos 5τ−
− ε3 cos 7τ
32768
− 11
2097152
ε4 cos 7τ − 1 639
67 108 864
ε5 cos 7τ − 69 559
8 589 934 592
ε6 cos 7τ−
− 239 097
19 345 370 824
ε7 cos 7τ − 403 307
73 080 294 227
ε8 cos 7τ +
55 879
49 276 366 858
ε9 cos 7τ+
+
121 117
56 739 559 495
ε10 cos 7τ +
65 865
26 390 366 173
ε11 cos 7τ +
101 795
51 470 915 149
ε12 cos 7τ+
+
ε4 cos 9τ
1 048 576
+
21
67 108 864
ε5 cos 9τ +
4 275
4 294 967 296
ε6 cos 9τ+
+
69 057
137 438 953 472
ε7 cos 9τ +
31 571
48 614 162 736
ε8 cos 9τ +
67 835
169 692 035 569
ε9 cos 9τ+
+
10 777
118 002 093 877
ε10 cos 9τ − 8 523
806 687 232 430
ε11 cos 9τ−
− 41 072
389 422 001 521
ε12 cos 9τ − ε5 cos 11τ
33 554 432
− 31
2 147 483 648
ε6 cos 11τ−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
420 С. М. ЧУЙКО, О. Е. ПИРУС
− 1 343
34 359 738
ε7 cos 11τ − 10 230
399 026 343 149
ε8 cos 11τ − 3 231
101 700 114 874
ε9 cos 11τ−
− 18 143
772 249 828 613
ε10 cos 11τ − 7 994
730 541 904 185
ε11 cos 11τ−
− 4 850
1 025 164 429 497
ε12 cos 11τ +
ε6 cos 13τ
1 073 741 824
+
41
68 719 476 736
ε7 cos 13τ+
+
2 891
1 935 568 954 727
ε8 cos 13τ +
4 706
3 980 901 955 859
ε9 cos 13τ+
+
2 226
1 515 947 240 489
ε10 cos 13τ +
1 947
1 579 817 200 855
ε11 cos 13τ+
+
909
117 892 647 304
ε12 cos 13τ − ε7 cos 15τ
34 359 738 368
− 51
2 199 023 255 552
ε8 cos 15τ−
− 739
13 223 742 405 886
ε9 cos 15τ − 443
8 660 210 519 111
ε10 cos 15τ−
− 286
44 407 852 761 913
ε11 cos 15τ − 152
2 533 003 655 895
ε12 cos 15τ.
При этом
β5(ε) ≈
3
8
+
2 829
32 768
ε2 +
11 433
1 048 576
ε3 +
2 235 327
134 217 728
ε4 +
4 503 417
1 073 741 824
ε5−
− 5 323 260
275 900 981
ε6 − 15 548 395
1 495 176 536
ε7 − 378
8 060 419 882 001
ε8 +
2 863 479
1 676 636 167
ε9+
+
2
3 001 557 602 515 237
ε10 +
1 448 398
4 151 585 815
ε11 +
4 145 643
4 212 674 074
ε12+
+
1 685 113
1 525 999 605
ε13 +
2 485 409
3 653 459 129
ε14 +
557 083
24 247 191 414
ε15.
Для оценки точности найденных приближений к периодическому решению уравнения
Дюффинга определим невязки нулевого y0(τ, ε) := y0(τ, ĉ
∗), β0(ε) := β∗ и первых пяти
приближений (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5)
∆i(ε) :=
∥∥y′′i (τ, ε) + (1 + εβi(ε))
2 yi(τ, ε)− ε (1 + εβi(ε))
2 y3i (τ, ε)
∥∥
C[0;2π]
.
Полагая ε = 0, 1, убеждаемся в уменьшении нулевой и первых пяти невязок от итерации
к итерации
∆0(0, 1) ≈ 0, 1, ∆1(0, 1) ≈ 9, 12 436 10−5, ∆2(0, 1) ≈ 3, 41 606 10−8,
∆3(0, 1) ≈ 5, 93 289 10−11, ∆4(0, 1) ≈ 2, 81 508 10−14, ∆5(0, 1) ≈ 2, 79 478 10−16.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ АВТОНОМНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . 421
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — xiv + 317 p.
2. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. уравнения.
— 1992. — 28, № 10. — С. 1668 – 1674.
3. Чуйко С. М., Бойчук И. А. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелiнiйнi
коливання. — 2009. — 12, № 3. — C. 405 – 416.
4. Шовкопляс Т. В. Критерiй розв’язностi лiнiйної крайової задачi для системи другого порядку // Укр.
мат. журн. — 2000. — 52, № 6. — С. 861 – 864.
5. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
6. Чуйко С. М. Слабонелинейная краевая задача в особом критическом случае // Укр. мат. журн. — 2009.
— 61, № 4. — С. 548 – 562.
7. Чуйко С. М., Старкова О. В. Автономные краевые задачи в частном критическом случае // Динами-
ческие системы. — 2009. — 27. — С. 127 – 142.
8. Чуйко С. М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов // Нелiнiйнi
коливання. — 2008. — 11, № 4. — C. 554 – 573.
9. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. — 408 с.
10. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. — 778 с.
11. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.
12. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их
приложения. — М.: Наука, 1972. — 720 с.
Получено 14.02.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
|