Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі
Дослiджується питання про обмеженiсть або iнтегровнiсть з p-м степенем розв’язкiв рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом для спецiальних класiв „вхiдних” функцiй....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175882 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі / М.Ф. Городнiй, А.В. Сиротенко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 337-343. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-175882 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1758822021-02-03T01:27:23Z Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі Городнiй, М.Ф. Сиротенко, А.В. Дослiджується питання про обмеженiсть або iнтегровнiсть з p-м степенем розв’язкiв рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом для спецiальних класiв „вхiдних” функцiй. We study the problem for solutions of a difference equation with continuous argument to be bounded or pth power summable in the case where the "input” function belongs to a special class. 2012 Article Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі / М.Ф. Городнiй, А.В. Сиротенко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 337-343. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175882 517.98 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджується питання про обмеженiсть або iнтегровнiсть з p-м степенем розв’язкiв рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом для спецiальних класiв „вхiдних” функцiй. |
| format |
Article |
| author |
Городнiй, М.Ф. Сиротенко, А.В. |
| spellingShingle |
Городнiй, М.Ф. Сиротенко, А.В. Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городнiй, М.Ф. Сиротенко, А.В. |
| author_sort |
Городнiй, М.Ф. |
| title |
Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі |
| title_short |
Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі |
| title_full |
Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі |
| title_fullStr |
Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі |
| title_full_unstemmed |
Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі |
| title_sort |
про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/175882 |
| citation_txt |
Про інтегровні з р-м степенем розв’язки різницевого рівняння з неперервним аргументом у банаховому просторі / М.Ф. Городнiй, А.В. Сиротенко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 337-343. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodnijmf proíntegrovnízrmstepenemrozvâzkiríznicevogorívnânnâzneperervnimargumentomubanahovomuprostorí AT sirotenkoav proíntegrovnízrmstepenemrozvâzkiríznicevogorívnânnâzneperervnimargumentomubanahovomuprostorí |
| first_indexed |
2025-07-15T13:18:53Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:18:53Z |
| _version_ |
1837719128519999488 |
| fulltext |
УДК 517.98
ПРО IНТЕГРОВНI З p-М СТЕПЕНЕМ РОЗВ’ЯЗКИ
РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ З НЕПЕРЕРВНИМ АРГУМЕНТОМ
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
М. Ф. Городнiй, А. В. Сиротенко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
We study the problem for solutions of a difference equation with continuous argument to be bounded or
pth power summable in the case where the "input” function belongs to a special class.
Дослiджується питання про обмеженiсть або iнтегровнiсть з p-м степенем розв’язкiв рiзнице-
вих рiвнянь з неперервним аргументом для спецiальних класiв „вхiдних” функцiй.
1. Вступ. Нехай B — комплексний банахiв простiр з нормою ‖ · ‖ i нульовим елементом
0̄; C([0,∞), B) — множина неперервних (за нормою на [0,∞)) B-значних функцiй, зада-
них на [0,∞); A — лiнiйний неперервний оператор, що дiє з B в B. Позначимо через
C∗([0,∞), B) множину всiх функцiй f : [0,∞) → B таких, що f неперервна на [0, 1) та
[1,∞), а також limt→1− f(t) = f(1) + Af(0). Покладемо при p ∈ [1,∞)
L0
p(B) :=
f ∈ C([0,∞), B) | ‖f‖p :=
∞∫
0
‖f(t)‖p dt
1
p
< ∞
,
L∗p(B) := {f ∈ C∗([0,∞), B) | ‖f‖p < ∞},
Wp :=
x ∈ B | ‖x‖Wp :=
( ∞∑
n=0
‖Anx‖p
) 1
p
< ∞
,
а також
L0
∞(B) := {f ∈ C([0,∞), B) | ‖f‖∞ := sup
t≥0
‖f(t)‖ < ∞},
L∗∞(B) := {f ∈ C∗([0,∞), B) | ‖f‖∞ < ∞}, W∞ := {x ∈ B | ‖x‖W∞ := sup
n≥0
‖Anx‖ < ∞}.
У подальшому зафiксуємо p ∈ [1,∞] i вважатимемо, що Wp 6= {0̄}.
Розглянемо рiзницеве рiвняння з неперервним аргументом
x(t + 1) = Ax(t) + f(t + 1), t ≥ 0,
(1)
x(t) = f(t), t ∈ [0, 1),
в якому f ∈ L∗p(B) — задана функцiя.
c© М. Ф. Городнiй, А. В. Сиротенко, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3 337
338 М. Ф. ГОРОДНIЙ, А. В. СИРОТЕНКО
Зауважимо, що визначена за допомогою (1) функцiя x є неперервною на [0,∞).
У данiй статтi дослiджуються умови на оператор A, при виконаннi яких справджується
така умова.
Умова iнтегровностi. Для довiльної функцiї f : [0,∞) → Wp такої, що f ∈ L∗p(B),
вiдповiдна до неї функцiя x, задана формулою (1), належить простору L0
p(B).
Аналогiчний результат для аналога рiвняння (1) з дискретним аргументом отримано
в роботах [1, 2]. Про властивостi розв’язкiв лiнiйних неоднорiдних рiзницевих рiвнянь з
неперервним аргументом у скiнченновимiрному просторi див. [3, 4] та наведенi там поси-
лання.
2. Рiзницеве рiвняння з одним операторним коефiцiєнтом. У подальшому будемо ви-
користовувати такi твердження.
Лема 1. Якщо для спектрального радiуса rA оператора A виконується нерiвнiсть
rA < 1, (2)
то для довiльної функцiї f ∈ L∗p(B) вiдповiдна до неї функцiя x, що визначається за
допомогою (1), належить простору L0
p(B).
Доведення. Довизначимо функцiю f на вiд’ємнiй пiвосi, поклавши f(t) ≡ 0̄ при t <
< 0. Тодi неважко переконатися, що вiдповiдна до f функцiя x в явному виглядi задається
формулою
x(t) =
∞∑
n=0
Anf(t− n), t ≥ 0. (3)
Зауважимо, що при фiксованому t ≥ 0 у формулi (3) мiститься скiнченна кiлькiсть
ненульових доданкiв. Покажемо, що x належить L0
p(B).
Якщо p ∈ [1,∞), то ‖x‖pp =
∫ ∞
0
‖
∑∞
n=0A
nf(t− n)‖pdt ≤
∑∞
n=0 ‖An‖p ‖f‖pp <∞, оскiль-
ки ряд
∑∞
n=0 ‖An‖p є збiжним згiдно з нерiвнiстю (2).
При p = ∞ supt≥0 ‖
∑∞
n=0A
nf(t− n)‖ ≤
∑∞
n=0 ‖An‖ supt≥0 ‖f(t− n)‖ < ∞.
Лему 1 доведено.
Лема 2.
(
Wp, ‖ · ‖Wp
)
— банахiв простiр.
Лема 3. Простiр (Wp, ‖ · ‖) є повним тодi i лише тодi, коли ‖ · ‖ ∼ ‖ · ‖Wp .
Доведення лем 2 i 3 наведено в роботах [1] (випадок p = ∞) i [2] (випадок p ∈ [1,∞)).
Справджується наступна теорема.
Теорема 1. Для рiвняння (1) умова iнтегровностi виконується тодi i лише тодi, ко-
ли:
1) простiр (Wp, ‖ · ‖) є повним;
2) для звуження Ã оператора A на Wp виконується нерiвнiсть (2).
Доведення. Достатнiсть випливає з того, що до оператора Ã у просторi (Wp, ‖ · ‖)
можна застосувати лему 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО IНТЕГРОВНI З p-М СТЕПЕНЕМ РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 339
Зазначимо, що для кожного фiксованого s ∈ [0.∞) визначений за допомогою (3) еле-
мент x(s) належить простору Wp. Дiйсно, оскiльки f(t) ∈ Wp для кожного t ∈ [0,∞) i
простiр Wp є iнварiантним для оператора A, то внаслiдок (3) x(s) =
∑[s]
k=0 Ã
kf(s − k), де
[s] — цiла частина числа s, належить Wp як скiнченна сума елементiв простору Wp.
Необхiднiсть будемо доводити окремо для двох випадкiв: p = ∞ та p ∈ [1,∞).
Нехай p = ∞. Покажемо, що для довiльної обмеженої за нормою ‖ · ‖ послiдовностi
{yn : n ≥ 0} iз W∞ вiдповiдна до неї послiдовнiсть {xn : n ≥ 0}, задана рiзницевим
рiвнянням
xn+1 = Ãxn + yn+1, n ≥ 0,
(4)
x0 = y0,
теж є обмеженою за нормою ‖ · ‖.
Для заданої послiдовностi {yn : n ≥ 0} покладемо для кожного t ∈ [0,∞)
f(t) := {t}y[t]+1 + (1− {t})y[t], t ≥ 1,
(5)
f(t) := (1− t)y0 + t(y1 + Ãy0), t ∈ [0, 1).
Тут {t} := t − [t]. Побудована таким чином функцiя f належить C∗([0,∞), B), а також,
оскiльки послiдовнiсть {yn : n ≥ 0} обмежена за нормою ‖ · ‖, i L∗∞(B). Крiм того, для
кожного фiксованого s ∈ [0,∞) елемент f(s) належить простору W∞, оскiльки {yn : n ≥
≥ 0} ⊂ W∞. Тому з умови iнтегровностi випливає, що для такої функцiї f вiдповiдна до
неї функцiя x, яка визначається за допомогою рiвняння (1), належить простору L0
∞(B).
Ця функцiя має вигляд (3). Легко переконатися, що {x(n) : n ≥ 0} збiгається з розв’яз-
ком рiвняння (4), а отже, цей розв’язок обмежений за нормою ‖ · ‖.
Застосувавши до рiзницевого рiвняння (4) теорему 1 iз [1], робимо висновок, що прос-
тiр (W∞, ‖ · ‖) є повним i для rà виконується нерiвнiсть (2).
Якщо p ∈ [1,∞), то позначимо l̃p(B) = {x = {xn : n ≥ 0} ⊂B | |x|p := (
∑∞
n=0 ‖xn‖p)
1
p <
< ∞} i покажемо, що для довiльної послiдовностi {yn : n ≥ 0} ∈ l̃p(B) такої, що yn ∈ Wp
для кожного n ≥ 0, вiдповiдна до неї послiдовнiсть {xn : n ≥ 0}, задана рiзницевим рiв-
нянням (4), належить l̃p(B). Для заданої послiдовностi {yn : n ≥ 0} ∈ l̃p(B) функцiю f(t)
визначимо за допомогою формули (5). Тодi f належить C∗([0,∞), B), а також, оскiльки
{yn : n ≥ 0} ∈ l̃p(B), i L∗p(B). Крiм того, для кожного фiксованого s ∈ [0,∞) елемент f(s)
належить простору Wp, оскiльки {yn : n ≥ 0} ⊂ Wp. Тому з умови iнтегровностi випли-
ває, що для такої функцiї f вiдповiдна до неї функцiя x, яка визначається за допомогою
рiвняння (1), належить простору L0
p(B). Ця функцiя має вигляд (3). Легко переконатися,
що {x(n) : n ≥ 0} збiгається з розв’язком рiзницевого рiвняння (4).
Покажемо, що {x(n) : n ≥ 0} ∈ l̃p(B). Позначивши n = [t], s = {t} i використавши
рiвностi (3), (5), одержимо
x(t) =
[t]∑
k=0
Akf(t− k) = f(n + s) + Af(n + s− 1) + . . . + Anf(s) = (1− s)yn + syn+1+
+ A((1− s)yn−1 + syn) + . . . + An−1((1− s)y1 + sy2) + An((1− s)y0+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
340 М. Ф. ГОРОДНIЙ, А. В. СИРОТЕНКО
+s(y1 + Ay0)) = (1− s)x(n) + sx(n + 1).
Зауважимо, що згiдно з умовою iнтегровностi
∫ ∞
0
‖x(t)‖p dt =
∑∞
n=0
∫ 1
0
‖(1 − s)x(n) +
+sx(n + 1)‖pds < ∞. З iншого боку, внаслiдок властивостей спряженого простору до
банахового простору i нерiвностi Гельдера
∞∑
n=0
1∫
0
‖(1− s)x(n) + sx(n + 1)‖p ds=
∞∑
n=0
1∫
0
(
sup
ϕ∈B∗ |ϕ‖=1
|ϕ((1− s)x(n) + sx(n + 1))|
)p
ds ≥
≥
∞∑
n=0
sup
ϕ∈B∗
‖ϕ‖=1
1∫
0
|ϕ((1− s)x(n) + sx(n + 1))|p ds ≥
≥
∞∑
n=0
sup
ϕ∈B∗
‖ϕ‖=1
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
ϕ((1− s)x(n) + sx(n + 1)) ds
∣∣∣∣∣∣
p
=
=
∞∑
n=0
∣∣∣∣∣∣∣ sup
ϕ∈B∗
‖ϕ‖=1
1∫
0
ϕ((1− s)x(n) + sx(n + 1))ds
∣∣∣∣∣∣∣
p
=
∞∑
n=0
(
‖x(n) + x(n + 1)‖
2
)p
.
Покладемо g(t) =
1
2
(x(n) + x(n + 1)), t ∈ [n, n + 1), n ≥ 0. Ми довели, що g ∈ L0
p(B).
Крiм того, x ∈ L0
p(B), звiдки
∞∫
0
‖x(t)− g(t)‖p dt =
∞∑
n=0
1∫
0
∥∥∥∥(1
2
− s
)
x(n)−
(
1
2
− s
)
x(n + 1)
∥∥∥∥p ds =
=
1∫
0
∣∣∣∣12 − s
∣∣∣∣p ds
∞∑
n=0
‖x(n)− x(n + 1)‖p < ∞.
Таким чином, послiдовностi {x(n)+x(n+1) : n ≥ 0} i {x(n)−x(n+1) : n ≥ 0}, а отже
i їхня сума, належать l̃p(B). Тому на пiдставi теореми 1 iз [2] простiр (Wp, ‖ · ‖) є повним i
для rà виконується нерiвнiсть (2).
Теорему 1 доведено.
3. Узагальнення на випадок рiвняння з кiлькома операторними коефiцiєнтами. Зафiк-
суємо m ≥ 2, m ∈ N. Нехай {A1, A2, . . . , Am}— лiнiйнi обмеженi оператори, що дiють iз
B в B. Позначимо тепер через C∗([0,∞), B) множину всiх функцiй f : [0,∞) → B таких,
що f неперервна на [0,m) та [m,∞), а також limt→m f(t) = f(m) +A1f(m− 1) +A2f(m−
−2) + . . . + Amf(0). Простори L0
p(B) i L∗p(B) визначаються, як i в п. 1. Покладемо для
x̄ = (x1, . . . , xm)t ∈ Bm |x̄| := max{‖x1‖, ‖x2‖, . . . , ‖xm‖}. Зазначимо, що (Bm, | · ‖) —
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО IНТЕГРОВНI З p-М СТЕПЕНЕМ РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 341
банахiв простiр iз покоординатним додаванням елементiв i множенням на скаляр. Роз-
глянемо лiнiйний обмежений оператор T : Bm → Bm, який дiє за правилом
T x̄ =
A1 A2 A3 . . . . . . Am
I O O . . . . . . . . .
O I O . . . . . . . . .
O O I
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . O O
. . . . . . . . . . . . I O
x1
x2
...
xm
,
де x̄ = (x1, . . . , xm)t ∈ Bm, I та O — вiдповiдно одиничний i нульовий оператор в B.
Зафiксуємо p ∈ [1,∞] i розглянемо рiзницеве рiвняння
x(t + m) = A1x(t + m− 1) + A2x(t + m− 2) + . . . + Amx(t) + f(t + m), t ≥ 0,
(6)
x(t) = f(t), t ∈ [0,m),
в якому f ∈ L∗p(B). Далi будемо використовувати таку умову.
Умова iнтегровностi для рiвняння (6). Для довiльної функцiї f ∈ L∗p(B) визначена за
допомогою (6) функцiя x належить L0
p(B).
Справджується наступна теорема.
Теорема 2. Якщо для спектрального радiуса rT оператора T виконується нерiвнiсть
rT < 1, (7)
то виконується умова iнтегровностi для рiвняння (6).
Доведення. Зафiксуємо функцiю f ∈ L∗p(B). Доозначимо її на вiд’ємнiй пiвосi, поклав-
ши f(t) ≡ 0̄ при t < 0. Зауважимо, що при кожному t ≥ 0 ряд
∑∞
n=0Cnf(t− n), де
C0 = I,
Cn =
n∑
i=1
AiCn−i, 1 ≤ n < m,
Cn =
m∑
i=1
AiCn−i, n ≥ m,
є збiжним, оскiльки має скiнченну кiлькiсть ненульових доданкiв.
Неважко переконатися, що розв’язок рiвняння (6) записується у виглядi
x(t) =
∞∑
n=0
Cnf(t− n), t ≥ 0. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
342 М. Ф. ГОРОДНIЙ, А. В. СИРОТЕНКО
Доведемо, що x належить L0
p(B). Якщо p ∈ [1,∞), то
‖x‖pp =
∞∫
0
‖x(t)‖p dt ≤
∞∑
n=0
‖Cn‖p
∞∫
0
‖f(t− n)‖p dt < ∞,
оскiльки f належить L∗p(B), а ряд
∑∞
n=0 ‖Cn‖p є збiжним внаслiдок того, що коефiцiєнт
Cn — це оператор, що дiє на елемент u ∈ B при зображеннi першої координати вектора
Tnū, ū = (u, 0̄, . . . , 0̄), а також справджується нерiвнiсть (7).
При p = ∞
sup
t≥0
∥∥∥∥∥
∞∑
n=0
Cnf(t− n)
∥∥∥∥∥ ≤ sup
t≥0
( ∞∑
n=0
‖Cn‖ ‖f(t− n)‖
)
≤
∞∑
n=0
‖Cn‖ sup
t≥0
‖f(t− n)‖ < ∞.
Теорему 2 доведено.
Нехай p = ∞. Розглянемо множину W∞(T ) := {u ∈ Bm | supn≥0 |Tnu| < ∞}.
Для фiксованої функцiї f ∈ L∗p(B) покладемо
f̄∗(0) :=
m−1∑
k=0
T k
f(m− 1− k)−
m−1−k∑
j=1
Ajf(m− 1− k − j)
0̄
...
0̄
,
f̄∗(n) :=
m−1∑
k=0
Tm−1−k
f(mn + k)
0̄
...
0̄
, n ∈ N.
Припущення 1. Для довiльної функцiї f ∈ L∗∞(B) такої, що f̄∗(n) ∈ W∞(T ) для
кожного n ∈ N ∪ {0}, визначена за допомогою (6) функцiя x належить L0
∞(B).
Покажемо, що при виконаннi припущення 1 для довiльної обмеженої за нормою ‖ · ‖
послiдовностi {yn : n ≥ 0} iз B такої, що ȳ∗n ∈ W∞(T ) для кожного n ≥ 0, вiдповiдна до
неї послiдовнiсть {xn : n ≥ 0}, задана рiзницевим рiвнянням
x0 = y0, x1 = y1, . . . , xm−1 = ym−1,
(9)
xn = A1xn−1 + A2xn−2 + . . . + Amxn−m + yn, n ≥ m,
теж є обмеженою за нормою ‖ · ‖.
Для заданої послiдовностi {yn : n ≥ 0} покладемо для кожного t ∈ [0,∞)
f(t) := {t}y[t]+1 + (1− {t})y[t], t ∈ [0,m− 1) ∪ [m,∞),
f(t) := (1− {t})ym−1 + {t}(ym + A1ym−1 + A2ym−2 + . . . + Amy0), t ∈ [m− 1,m).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО IНТЕГРОВНI З p-М СТЕПЕНЕМ РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 343
Побудована таким чином функцiя f належить C∗([0,∞), B), а також, оскiльки послi-
довнiсть {yn : n ≥ 0} обмежена за нормою ‖ · ‖, i L∗∞(B). Крiм того, для кожного фiксо-
ваного n ≥ 0 елемент f(n) належить простору W∞(T ), оскiльки {ȳ∗n : n ≥ 0} ⊂ W∞(T ).
Тому з припущення 1 випливає, що для такої функцiї f вiдповiдна до неї функцiя x, яка ви-
значається за допомогою рiвняння (6), належить простору L0
∞(B). Ця функцiя має вигляд
(8). Легко переконатися, що {x(n) : n ≥ 0} збiгається з розв’язком рiзницевого рiвняння
(9), а отже, цей розв’язок обмежений за нормою ‖ · ‖. Використавши також аналог тео-
реми 2 iз [2] для випадку p = ∞, робимо висновок, що справджується таке твердження.
Теорема 3. Нехай виконується припущення 1. Тодi:
1) множина W∞(T ) замкнена в (Bm, | · |);
2) для звуження T̃ оператора T на W∞(T ) виконується нерiвнiсть r(T̃ ) < 1.
1. Городнiй М. Ф., Вятчанiнов О. В. Про обмеженiсть однiєї рекурентної послiдовностi в банаховому
просторi // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 6. — С. 1293 – 1296.
2. Вятчанiнов О. В. Сумовнi зi степенем p рекурентнi послiдовностi у банаховому просторi // Вiсн. Київ.
ун-ту. Фiз.-мат. науки. — 2010. — № 2. — С. 40 – 44.
3. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука,
1986. — 128 с.
4. Пелюх Г. П., Богай Н. А. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних рiз-
ницевих рiвнянь з неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 351 – 359.
Одержано 09.02.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
|