Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь
Дослiджується асимптотична поведiнка на нескiнченностi розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь спецiального вигляду. Також запропоновано спосiб зведення до такого вигляду бiльш загальних систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, що дає можливiсть дослiджувати їх асимптотичнi властиво...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176101 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь / С.М. Коваленко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 459-464. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-176101 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1761012021-02-04T01:27:11Z Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь Коваленко, С.М. Дослiджується асимптотична поведiнка на нескiнченностi розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь спецiального вигляду. Також запропоновано спосiб зведення до такого вигляду бiльш загальних систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, що дає можливiсть дослiджувати їх асимптотичнi властивостi. We study asymptotic behavior of a system of differential equations of a special form at infinity. We also propose a method for reducing a more general system of nonlinear differential equations to such a form, which gives a possibility to study asymptotic properties of the system. 2002 Article Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь / С.М. Коваленко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 459-464. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176101 517.948.34 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджується асимптотична поведiнка на нескiнченностi розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь спецiального вигляду. Також запропоновано спосiб зведення до такого
вигляду бiльш загальних систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, що дає можливiсть дослiджувати їх асимптотичнi властивостi. |
| format |
Article |
| author |
Коваленко, С.М. |
| spellingShingle |
Коваленко, С.М. Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Коваленко, С.М. |
| author_sort |
Коваленко, С.М. |
| title |
Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_short |
Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full |
Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_sort |
про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176101 |
| citation_txt |
Про асимптотичу поведінку розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь / С.М. Коваленко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 459-464. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kovalenkosm proasimptotičupovedínkurozvâzkívsisteminelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T13:43:34Z |
| last_indexed |
2025-07-15T13:43:34Z |
| _version_ |
1837720681937108992 |
| fulltext |
УДК 517 .948 .34
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ
СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
С. M. Коваленко
Академiя працi i соцiальних вiдносин Федерацiї профспiлок України
Україна, 03680, Київ, Велика окружна дорога, 3
We study asymptotic behavior of a system of differential equations of a special form at infinity. We also
propose a method for reducing a more general system of nonlinear differential equations to such a form,
which gives a possibility to study asymptotic properties of the system.
Дослiджується асимптотична поведiнка на нескiнченностi розв’язкiв системи нелiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь спецiального вигляду. Також запропоновано спосiб зведення до такого
вигляду бiльш загальних систем нелiнiйних диференцiальних рiвнянь, що дає можливiсть дослi-
джувати їх асимптотичнi властивостi.
У роботi [1] запропоновано метод дослiдження асимптотичної поведiнки на нескiнченно-
стi розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь, який ґрунтується на перетворен-
нi систем до так званого L-дiагонального вигляду. Завдяки такому перетворенню подаль-
ше дослiдження вихiдних систем помiтно спрощується.
У роботi [2] цей метод узагальнено i застосовано для дослiдження iнших класiв ди-
ференцiальних рiвнянь. Зокрема, досить детально дослiджено випадок системи лiнiйних
диференцiальних рiвнянь з кратними коренями характеристичного рiвняння. У роботi [3]
вказаний метод узагальнено на клас лiнiйних iнтегро-диференцiальних рiвнянь. У данiй
роботi робиться спроба поширити цей метод на системи нелiнiйних диференцiальних рiв-
нянь.
Розглянемо систему
dx
dt
= [Λ(t) +G(t)]x+ f(t) + g(t, x), t ∈ [t0,∞), (1)
де x(t), f(t), g(t, x) — n-вимiрнi вектори, G(t) — комплекснозначна матриця розмiрiв n×
×n, Λ(t) — комплекснозначна дiагональна матриця вигляду
Λ(t) = diag {λ1(t), λ2(t), . . . , λn(t)} .
Встановимо умови, при виконаннi яких система (1) асимптотично еквiвалентна систе-
мi
dz
dt
= Λ(t)z, t ∈ [t0,∞), (2)
тобто для розв’язкiв x(t) i y(t) систем (1) та (2) вiдповiдно справедлива асимптотична
рiвнiсть
‖x(t)− y(t)‖ = o(1), t → ∞,
c© С. М . Коваленко, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4 459
460 С. М . КОВАЛЕНКО
де o(1) — нескiнченно мала на нескiнченностi функцiя.
Нехай виконуються умови:
10) Λ(t) ∈ L [t0, t1] для будь-якого скiнченного t1;
20) f(t), G(t) — iнтегровнi за Лебегом на промiжку [t0,∞) функцiї (f(t), G(t) ∈
∈ L [t0,∞));
30) нi одна з рiзниць Re [λj(t)− λr(t)] для довiльного j, 1 ≤ j ≤ n, i деякого фiксова-
ного r, 1 ≤ r ≤ n, не змiнює знаку при t > T, де T — досить велике число;
40) Reλr(t) > 0 ∀t ∈ [t0,∞) ;
50) g(t, x) неперервна в областi D = {t > T, x ∈ Rn} i iснує функцiя ψ(t) така, що
‖g(t, x)‖ < ψ(t), ψ(t) ∈ L [t0,∞) .
Зафiксуємо iндекс r у системi (1) i шукатимемо її розв’язок у виглядi
xr(t) = yr(t) exp
t∫
t0
λr(η)dη. (3)
Тодi для визначення yr(t) отримаємо рiвняння
yr(t) = Ayr(t), (4)
де A — оператор вигляду
Aϕ(t) = er +
t∫
ν
Kr(t, τ)
(
G(τ)ϕ(τ)+
+ exp
− τ∫
t0
λr(η)dη
f(τ) + g
τ, ϕ(τ) exp
τ∫
t0
λr(η)dη
)dτ, (5)
Kr(t, τ) ≡ exp
t∫
τ
[Λ(η)− λr(η)E] dη,
er — вектор, r-та компонента якого дорiвнює одиницi, а всi iншi — нулi, ν — n-вимiрний
сталий вектор, E — одинична матриця.
Вiдповiдно [1] координати вектора ν виберемо таким чином:
1) якщо
∞∫
t0
Re [λj(η)− λr(η)] dη = −∞ (коротко j ∈ I1), то νj = t0;
2) якщо
∞∫
t0
Re [λj(η)− λr(η)] dη > −∞ (коротко j ∈ I2), то νj = ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 461
Розглядатимемо рiвняння (4) у просторi V обмежених i неперервних на промiжку
[T,∞) вектор-функцiй. Якщо вiдстань мiж функцiями ϕ(t) i s(t) у просторi V визначити
формулою
ρ(ϕ, s) = sup
t0≤t<∞
‖ϕ(t)− s(t)‖ , (6)
то V буде повним метричним простором.
Для того щоб рiвняння (4) мало єдиний розв’язок у V , достатньо, щоб V був iнварiан-
тним простором для оператора A, а оператор A — стискаючим у V . Знайдемо умови, якi
для цього повиннi виконуватись.
Перш за все вектор Aϕ(t) повинен бути обмеженим для будь-якого ϕ(t) ∈ V. Оцiню-
ючи за нормою Aϕ(t), отримуємо
‖Aϕ(t)‖ ≤ ‖er‖+
t∫
ν
‖Kr(t, τ)‖
{
‖G(τ)‖ ‖ϕ(τ)‖+
+
∣∣∣∣∣∣exp
t0∫
τ
λr(η)dη
∣∣∣∣∣∣
‖f(τ)‖+
∥∥∥∥∥∥g
τ, ϕ(τ) exp
τ∫
t0
λr(η)dη
∥∥∥∥∥∥
}dτ. (7)
Аналогiчно [4] можна довести, що матриця Kr(t, τ) обмежена при t ≥ T, тобто
‖Kr(t, τ)‖ ≤ α < ∞.
Крiм того, з умови 40, враховуючи, що [νj , t] ⊂ [T ;∞) , маємо∣∣∣∣∣∣exp
t0∫
τ
λr(η)dη
∣∣∣∣∣∣ = exp
− τ∫
t0
Re(λr(η))dη
≤ 1. (8)
Тому, зважаючи на умови 30, 40 i оцiнки (7), (8), iз (6) отримуємо оцiнки
‖Aϕ(t)‖ ≤ 1 + α
∞∫
T
(‖G(τ)‖ · c+ ‖f(τ)‖+ ψ(τ)) dτ =
= 1 + αc
∞∫
T
‖G(τ)‖ dτ + α
∞∫
T
(‖f(τ)‖+ ψ(τ)) dτ,
де ‖ϕ(t)‖ ≤ c, оскiльки ϕ(t) ∈ V.
Оскiльки f(t), G(t), ψ(t) iнтегровнi за Лебегом на промiжку [t0,∞) (умови 20 i 50), то
‖Aϕ(t)‖ ≤ c1 < ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
462 С. М . КОВАЛЕНКО
Неважко показати, що при виконаннi умов 10 – 50 вектор Aϕ(t) буде неперервним.
Отже, V буде iнварiантним простором для оператора A.
Нехай, крiм того, в областi {t > T, x ∈ Rn} функцiя g(t, x) задовольняє умову Лiпши-
ця, тобто
60) iснує iнтегровна за Лебегом на промiжку [T,+∞) функцiя h(t) така, що
‖g(t, x1)− g(t, x2)‖ < h(t) ‖x1 − x2‖
для будь-яких x1, x2 ∈ Rn.
Нехай ϕ(t), s(t) ∈ V. Оцiнимо за нормою рiзницю Aϕ(t)− As(t). Iз спiввiдношень (7),
(8) маємо
‖Aϕ(t)−As(t)‖ ≤ α sup ‖ϕ(t)− s(t)‖
t∫
ν
(‖G(τ)‖+ h(τ)) dτ. (9)
Оскiльки [νj , t] ⊂ [T,+∞) , iз (9) отримуємо оцiнку
ρ(Aϕ,As) < qρ(ϕ, s), (10)
де q = α
∞∫
τ
(‖G(τ)‖+ h(τ)) dτ.
З огляду на те, що виконуються умови 20 i 60,
∞∫
t
(‖G(τ)‖+ h(τ)) dτ → 0 при t → ∞.
Таким чином, можна вказати таке досить велике число T, що для будь-якого t ≥ T
число q задовольняє нерiвнiсть
q < 1,
а це означає, що A є оператором стиску в просторi V.
Згiдно з принципом стискуючих вiдображень у просторi V iснує єдиний розв’язок рiв-
няння (4), (5), який можна зобразити у виглядi абсолютно i рiвномiрно збiжного на про-
мiжку [T,+∞) ряду
yr(t) = er +
∞∑
p=1
(
y(p)r (t)− y(p−1)r (t)
)
,
де
y
(0)
r (t) = er,
y(p)r (t) =
t∫
ν
Kr(t, τ)
G(τ)y(p−1)r (τ) + exp
− τ∫
t0
λr(η)dη
×
×
f(τ) + g
τ, y(p−1)r (τ) exp
τ∫
t0
λr(η)dη
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРО АСИМПТОТИЧНУ ПОВЕДIНКУ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 463
Аналогiчно [1] можна довести, що
lim
t→∞
yr(t) = er.
Таким чином, система (1) має частинний розв’язок вигляду
xr = [er + o(1)] exp
t∫
t0
λr(η)dη. (11)
Якщо умови 30, 40 виконуються для усiх r = 1, n, то система (1) має n лiнiйно незале-
жних розв’язкiв вигляду (11), тобто має матрицю-розв’язок
X(t) = [E + o(1)] exp
t∫
t0
Λ(η)dη. (12)
Отже, доведено наступну теорему.
Теорема. Якщо для системи (1) виконуються умови 10 – 50, то вона має розв’язок
(12), тобто асимптотично еквiвалентна системi (2).
Цю теорему можна використовувати для дослiдження асимптотичної поведiнки на не-
скiнченностi розв’язкiв бiльш загальних систем вигляду
dx
dt
= r(t, x), t ≥ t0, x ∈ Rn, (13)
де r(t, x) = colon {r1(t, x), r2(t, x), . . . , rn(t, x)} , r(t, x) ∈ Rn.
Будемо вважати, що функцiя r(t, x) неперервна в областi D = {t ≥ t0, x ∈ Rn} i має
неперервнi частиннi похiднi по xi, i = 1, n, до другого порядку включно.
За допомогою формули Тейлора вектор r(t, x) можемо записати у виглядi
r(t, x) = r(t, 0) +A(t)x+
1
2
r(t, θx), (14)
де число θ задовольняє нерiвнiсть 0 < θ < 1,
A(t) =
∂r1
∂x1
∂r1
∂x2
. . .
∂r1
∂xn
∂r2
∂x1
∂r2
∂x2
. . .
∂r2
∂xn
. . . . . . . . . . . .
∂rn
∂x1
∂rn
∂x2
. . .
∂rn
∂xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x=0
, (15)
r(t, θx) = colon {r1, r2, . . . , rn} ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
464 С. М . КОВАЛЕНКО
ri(t, θx) =
n∑
j=1
∂2ri
∂x2j
∣∣∣∣∣∣
x=θx
x2j + 2
n−1∑
j=1
n∑
k=j
∂2ri
∂xj∂xk
∣∣∣∣∣∣
x=θx
xjxk.
Таким чином, систему (13) можна записати у виглядi (1):
dx
dt
= A(t)x+ r(t, 0) +
1
2
r(t, θx). (16)
Якщо матриця A(t), визначена рiвнiстю (15), задовольняє умови:
а) має скiнченну границю на нескiнченностi
A(∞) = lim
t→∞
A(t),
причому гранична матриця A(∞) має рiзнi власнi значення;
б)
dA(t)
dt
∈ L [t0,+∞) ,
то систему (13) в областi t ≥ T � t0, за допомогою лiнiйного перетворення
x = B(t)y
можна звести до вигляду
dy
dt
= [Λ(t) +G(t)] y + f(t) + g(t, y), (17)
де
Λ(t) = B−1(t)A(t)B(t), G(t) = B−1(t)B′(t), f(t) = B−1(t)r(t, 0),
g(t, y) =
1
2
B−1(t)r(t, θB(t)y).
Для дослiдження цiєї системи можна використовувати доведену вище теорему. Зокре-
ма, неважко показати, що при виконаннi умов а), б) для системи (17) будуть виконуватись
умови 10, 20, 50 теореми.
1. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. —
Киев: Изд-во АН УССР, 1954. — 286 с.
2. Шкiль М.I. Асимптотичнi методи в диференцiальних рiвняннях. — Київ: Вища шк., 1971. — 226 с.
3. Коваленко С.Н. Асимптотические формулы для решений системы линейных интегро-дифференци-
альных уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1986. — N◦ 6. — C. 5 – 9.
4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
Одержано 30.09.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
|