Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы

Cформулирована ланжевеновская динамика — стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы. Изложен функциональный формализм, являющийся модификацией метода, разработанного ранее Мигдалом для работы со стохастической динамикой классических вихревых нитей. В частности, ста...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Немировский, С.К.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2018
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176277
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы / С.К. Немировский // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1269-1277. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-176277
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1762772021-02-05T01:25:55Z Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы Немировский, С.К. Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Cформулирована ланжевеновская динамика — стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы. Изложен функциональный формализм, являющийся модификацией метода, разработанного ранее Мигдалом для работы со стохастической динамикой классических вихревых нитей. В частности, стартуя с уравнения ланжевеновского типа, получено функциональное уравнение Фоккера–Планка для характеристического функционала. На основе этого уравнения и в предположении, что коррелятор случайной силы удовлетворяет флуктуационно-диссипативной теореме, исследовано термодинамическое равновесие в системе хаотических квантованных вихрей. Рассмотрен случай неподвижного гелия, а также случай противотока с постоянным значением относительной скорости нормальной и сверхтекучей компонент. Обсуждены некоторые физические последствия полученных результатов. Сформульовано ланжевенівську динаміку — стохастичний рух вихрових нитей в Не II під дією випадкової сили. Викладено функціональний формалізм, що є модифікацією методу, який розроблено раніше Мігдалом для роботи із стохастичною динамікою класичних вихрових нитей. Зокрема, стартуючи з рівняння ланжевенівського типу, отримано функціональне рівняння Фоккера–Планка щодо характеристичного функціонала. На основі цього рівняння та в припущенні, що корелятор випадкової сили задовольняє флуктуаційнодиссипативній теоремі, досліджено термодинамічну рівновагу у системі хаотичних квантованих вихорів. Розглянуто випадок нерухомого гелію, а також випадок протитечії з постійним значенням відносної швидкості нормальної та надплинної компонент. Обговорено деякі фізичні наслідки отриманих результатів. Langevin dynamics is formulated — the stochastic motion of vortex filaments in He II under the action of random force. A functional formalism is described, which is a modification of the method developed earlier by Migdal to work with the stochastic dynamics of classical vortex filaments. In particular, starting from the Langevin-type equation, the Fokker–Planck functional equation for the characteristic functional obtained. On the basis of this equation and under the assumption that the random force correlator satisfies the fluctuation-dissipative theorem, thermodynamic equilibrium in a system of chaotic quantized vortices is investigated. The case of stationary helium is considered, as well as the counterflow case with a constant value of the relative velocity of the normal and superfluid components. Some physical consequences of the results are discussed. 2018 Article Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы / С.К. Немировский // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1269-1277. — Бібліогр.: 36 назв. — рос. 0132-6414 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176277 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
spellingShingle	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів Немировский, С.К. Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы Физика низких температур
description	Cформулирована ланжевеновская динамика — стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы. Изложен функциональный формализм, являющийся модификацией метода, разработанного ранее Мигдалом для работы со стохастической динамикой классических вихревых нитей. В частности, стартуя с уравнения ланжевеновского типа, получено функциональное уравнение Фоккера–Планка для характеристического функционала. На основе этого уравнения и в предположении, что коррелятор случайной силы удовлетворяет флуктуационно-диссипативной теореме, исследовано термодинамическое равновесие в системе хаотических квантованных вихрей. Рассмотрен случай неподвижного гелия, а также случай противотока с постоянным значением относительной скорости нормальной и сверхтекучей компонент. Обсуждены некоторые физические последствия полученных результатов.
format	Article
author	Немировский, С.К.
author_facet	Немировский, С.К.
author_sort	Немировский, С.К.
title	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы
title_short	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы
title_full	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы
title_fullStr	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы
title_full_unstemmed	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы
title_sort	стохастическое движение вихревых нитей в не ii под действием случайной силы
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Актуальні проблеми квантових рідин та кристалів
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/176277
citation_txt	Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы / С.К. Немировский // Физика низких температур. — 2018. — Т. 44, № 10. — С. 1269-1277. — Бібліогр.: 36 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT nemirovskijsk stohastičeskoedviženievihrevyhnitejvneiipoddejstviemslučajnojsily
first_indexed	2025-07-15T14:02:18Z
last_indexed	2025-07-15T14:02:18Z
_version_	1837721861047189504
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10, c. 1269–1277 Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы С.К. Немировский Институт теплофизики, пр. Лаврентьева, 1, г. Новосибирск, 630090, Россия Новосибирский государственный университет, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, Россия E-mail: nemir@itp.nsc.ru Статья поступила в редакцию 10 апреля 2018 г., опубликована онлайн 28 августа 2018 г. Cформулирована ланжевеновская динамика — стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы. Изложен функциональный формализм, являющийся модификацией метода, разработанного ранее Мигдалом для работы со стохастической динамикой классических вихревых ни- тей. В частности, стартуя с уравнения ланжевеновского типа, получено функциональное уравнение Фок- кера–Планка для характеристического функционала. На основе этого уравнения и в предположении, что коррелятор случайной силы удовлетворяет флуктуационно-диссипативной теореме, исследовано термо- динамическое равновесие в системе хаотических квантованных вихрей. Рассмотрен случай неподвижно- го гелия, а также случай противотока с постоянным значением относительной скорости нормальной и сверхтекучей компонент. Обсуждены некоторые физические последствия полученных результатов. Ключевые слова: ланжевеновская динамика, вихревые нити, Не II, уравнение Фоккера–Планка. 1. Введение. Квантованные вихри и сверхтекучая турбулентность В этом вводном разделе приведены основные ре- зультаты по теории квантовых вихрей. Кратко описана их динамика и приведен ряд математических соотно- шений, которые потребуются при изложении основно- го материала статьи. Также кратко дано представление о квантовой турбулентности. Основываясь на квантово-механических свойствах сверхтекучей жидкости Фейнманом [1] и Онзагером [2], предсказано, что вихревое движение Не II реализует- ся очень специфическим способом. В частности, они предположили, что в гелии возникают одномерные особенности, или вихревые нити, на которых наруша- ется условие потенциальности сверхтекучей скорости = 0s∇× v . Вихревую нить можно описать в параметри- ческом виде функцией ( , )tξs , где s — радиус-вектор точек линии, а параметр ξ «пересчитывает» точки ли- нии, часто величина ξ является параметром длины дуги (см. рис. 1). Набор линий { }( , )tξs эволюционирует, подчиняясь уравнениям движения и граничным усло- виям. Вокруг вихревых нитей возможно круговое дви- жение или циркуляция сверхтекучей компоненты гелия. Квантово-механические свойства сверхтекучей жидко- сти накладывают ограничения на круговое движение. В частности, циркуляция сверхтекучей скорости при- нимает только определенные, квантованные значения Рис. 1. Схематическое изображение вихревой линии в произ- вольной системе координат (изображенной внизу). Каждая точка вихревой линии ( , )tξs определяется декартовыми ко- ординатами ix , iy , iz и параметром ξ вдоль линии. Векторы 's , ''s и ' ''×s s — это тангенциальный вектор, вектор локаль- ной кривизны и вектор бинормали, совпадающий с направ- лением локально-индуцированной скорости s точки ( , )tξs вихревой линии. © С.К. Немировский, 2018 С.К. Немировский = ,s d n⋅ κ∫v l  (1) где n — целое число. Общепринято считать, что вихри с > 1n неустойчивы, в дальнейшем положим = 1n . Интеграл вычисляется вдоль любого контура, охваты- вающего нить, а величина κ (квант завихренности) равна 4 2= 2 / = 9.97 10 см /с.m −κ π ⋅ (2) Здесь  — постоянная Планка, а m — масса атома ге- лия. Поле завихренности ( ) sω ∇×r = v устроено таким образом, что ( ) = 0ω r вне линии, и ( ) =ω ∞r в точках нити ( , )tξs и направлено вдоль тангенциального век- тора. Формально такое поле завихренности ( )ω r мож- но записать следующим образом: ( ) = = ( ( , )) ,s ' t dω ∇× κ δ − ξ ξ∫r v s r s (3) где интегрирование происходит вдоль нити. Таким об- разом, квантовые вихри ведут себя абсолютно иден- тично тонким вихревым трубкам, изучаемым в клас- сической гидродинамике, за исключением того, что циркуляция квантованная. Кроме того, классические вихревые трубки — это всего лишь удобная и плодо- творная математическая модель, в то время как кван- товые вихри являются реальными объектами. Используя поле завихренности ( )ω r (3), индуциро- ванное вихревой линией, можно легко выписать ско- рость элементов вихревой нити ( )sv r . Эта скорость выражается с использованием закона Био–Савара: 3 [ ( , ) ( , )] ( , ) = . 4 \| ( , ) ( , ) \| ' i ' t t t d ' ' t t ξξ − ξ ×κ ξ ξ π ξ − ξ∫ s s s s s s  (4) Следующим важным фактором, определяющим дина- мику вихревых линий, и который мы сейчас обсудим, является взаимодействие между квантовыми вихрями и нормальной компонентой. Этот феномен является специфическим для квантовых жидкостей и не имеет никакой аналогии в теории вихревых трубок в класси- ческих жидкостях. Как описано в книге Доннелли [3], движение нормальной компоненты представляет собой просто дрейф (со скоростью nv ) квазичастиц — фоно- нов и ротонов, которые образуют эту компоненту. Энер- гия этих квазичастиц зависит от сверхтекучей скоро- сти sv (точнее, от относительной скорости =ns n s−v v v ) и поэтому является сильно изменяющейся функцией вблизи линии вихря. Другими словами, существует эф- фективный потенциал, описывающий взаимодействие между квазичастицами и вихревой линией. Это взаимо- действие приводит к рассеянию квазичастиц на вихре- вой линии во время относительного движения и, соот- ветственно, обмену импульсом. Разумеется, этот эффект влияет на движение вихревой нити. Отсылая опять к книге Доннелли [3], приведем окон- чательный результат для движения квантованной вих- ревой нити в сверхтекучем гелии: ( ) ( )= .i s ns i ns i' ' ' '+ +α × − −α × × −s s v s v s s s v s    (5) Величины α и 'α очень важны для исследования дина- мики вихревой нити, они являются функцией темпера- туры T и давления P (слабо). Как правило, они малы везде, кроме области, близкой к λ-точки. Величина 'α существенно меньше, чем α, и нередко опускается в расчетах [4]. Рассмотрим энергию течения, создаваемого вихревой структурой. Энергия E системы линейных вихрей оп- ределяется как (см. подробно в книгах [5–7]): 2 2 3 , 0 0 ( ) ( )1 = . 2 8 \| ( ) ( ) \| LL ji i i j js s s i j i i j jj i ' ' E d d d ξ ⋅ ξρ κ = ρ ξ ξ π ξ − ξ∑∫ ∫ ∫ s s v r s s (6) Вычисляя функциональную производную 0({ ( )}) / ( , )j jE tδ ξ δ ξs s , получим гамильтоновскую фор- му уравнения движения для линейных элементов ли- нии ( )j jξs : 0 0 0 ({ ( )} = ( ) ), , ) j j s i E ' t δ ξ ρ κ ξ × ξ δ ξ s ) s s ( s(  (7) где 0( )i ξs является скоростью вихревой линии, выра- женной законом Био–Савара (4). Что касается импульса, связанного с квантовыми вихрями, то в теории вихревых движений оперируют с так называемым импульсом Лэмба (см. [3]) 0 ( ) ( ) . 2 L j s j j j j j j ' d ρ κ ξ × ξ ξ∑ ∫P = s s  (8) Кроме описанной детерминистской эволюции, име- ется еще один, стохастический элемент динамики — это случайные столкновения нитей друг с другом с по- следующим перезамыканием, или реконнекцией (recon- nection). Изучение вихрей и вихревой динамики в рамках описанной процедуры называется методом вихревых нитей (vоrtex filament method (VFM)). Термин «сверхтекучая турбулентность» (СТ) был введен Фейнманом в своем основополагающем труде [1], где он объяснил результаты работы Гортера и Мел- линка (см. [8]). Авторы этой работы наблюдали резкое увеличение перепада температуры в противотоке He II, когда скорость превышает определенное, достаточно небольшое значение. Фейнман связал кризис Гортера и Меллинка, появлением в системе неупорядоченного набора квантованных вихревых линий или вихревого клубка, который оказывает сопротивление потоку нор- мальной компоненты, переносящему энтропию. Фейн- 1270 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы ман также предложил качественный сценарий развития вихревого клубка. В частности, он описал механизмы, которые ведут к росту плотности вихревых нитей, а также предложил законы распада вихревого клубка. Идеи Фейнмана были развиты в серии эксперименталь- ных работ Вайнена, который построил феноменологи- ческую теорию сверхтекучей турбулентности. Первое наглядное подтверждение идей Фейнмана было полу- чено три десятилетия спустя в работе Шварца [4], кото- рый продемонстрировал появление вихревого клубка в прямом численном моделировании. Примером вихре- вого клубка, который развивается в противотоке He II изначально гладких (шести) вихревых колец, изобра- жен на рис. 2. Еще спустя почти три десятилетия была проведена серия экспериментов по визуализации потоков гелия. Авторы наблюдали массу неупорядоченных вихрей. Ге- нерация квантовой турбулентности осциллирующими объектами является очень важной темой в этой облас- ти (см., например, [9–12]). В настоящее время теория квантовой турбулентности является активно развивающейся областью, имеющей большое количество приложений, как в теории сверх- текучести, так и в других областях физики. В качестве примеров можно указать теорию классической турбу- лентности [13–16], теорию космических струн [17], ис- следование дислокаций в твердых телах [18], а также теорию фазовых переходов [19]. Концепция квантовой турбулентности также используется в исследованиях кварк-глюонной плазмы [20] и в физике нейтронных звезд [21]. Еще одно обоснование интереса к квантовой турбу- лентности, привлекательное для теоретиков, состоит в том, что теория сверхтекучей турбулентности является элегантной и сложной проблемой статистической фи- зики хаотического набора струноподобных объектов, с нелинейным и нелокальным взаимодействием. Допол- нительную сложность придают перезамыкания, приво- дящие к слиянию или расщеплению вихревых петель (cм. обзор [22]). В работе рассматривается один частный случай хао- тического поведения вихревых нитей, а именно: вихревой клубок, находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Статья представляет собой совокупное из- ложение серии предварительных результатов, представ- ленных на различных научных совещаниях, фрагменты которых частично опубликованы в работах [22–24]. Cлу- чай термодинамического равновесия является необык- новенно важным, и он имеет множество приложений. Самое главное из них — это теория фазовых перехо- дов, инициированных вихревыми нитями. Реализация поставленной задачи основана на ланжевеновской фор- мулировке для динамики хаотических вихрей, развитой Мигдалом [25]. Во втором разделе мы изложим техни- ку, предложенную Мигдалом. Третий и четвертый раз- делы посвящены доказательству существования тер- модинамического равновесия в системе квантованных вихрей на основании ланжевеновской постановки за- дачи и решения соответствующего уравнения Фокке- ра–Планка. Рассмотрен случай неподвижного гелия, а также случай противотока с постоянным значением от- носительной скорости нормальной и сверхтекучей ком- понент. В Заключении обсуждаются некоторые физи- ческие последствия полученных результатов. 2. Ланжевеновская постановка задачи С целью создания математического аппарата для работы со стохастической динамикой вихревых нитей Мигдал [25] разработал функциональный формализм. В частности, стартуя с уравнения ланжевеновского типа, он вывел функциональное уравнение Фоккера–Планка для характеристического функционала ({ ( )}j jW ξP . Ос- новной целью этого формализма была разработка стра- тегии для описания турбулентности в терминах стохас- тической динамики вихревых нитей. Первоначально эта работа была проделана для классических, очень тонких вихревых трубок в обычных жидкостях. Что касается квантовых вихрей, этот случай соответствует отсут- ствию нормальной компоненты, что имеет место при нулевой температуре. Обобщение на случай конечной температуры будет выполнено позднее, в следующем разделе. Основная идея является стандартной и состоит в введении случайной (ланжевеновской) силы , )tξz( в уравнение движения вихревой нити (5) (с равными ну- лю коэффициентами α, 'α ) = , )i t+ ζ ξs s (  . (9) Напомним, is — это самоиндуцированная скорость Био–Савара, входящая в правую часть выражения (4). Рис. 2. Вихревой клубок в противотоке He II (см. текст). Ри- сунок взят из статьи Шварца [4]. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1271 С.К. Немировский Конечно, поскольку речь идет об уравнении для скоро- сти s движения (а не ускорения), более правильно бы- ло бы говорить не о случайных силах, а о случайных скоростях, вызванных, например, хаотически располо- женными вихрями, окружающими данный элемент вих- ревой нити. Мы, однако, будем придерживаться тер- минологии, принятой при изучении ланжевеновских процессов и называть случайное воздействие «силой» (или «перемешивающей силой»). Предполагается, что перемешивающая случайная сила является белым шу- мом во времени. Для исследования турбулентных про- цессов Мигдал предположил, что пространственная часть корреляционной функции ( )F 'ξ − ξ сосредоточена в об- ласти больших масштабов, порядка размера системы. Окончательно корреляционная функция имеет вид , ) , ) = ( ) ( ).t ' t' t t' F 'α β αβζ ξ ⋅ζ ξ δ δ − ξ − ξ( ( (10) Для вычисления многих средних величин удобно поль- зоваться характеристическим функционалом ({ ( )})j jW ξP , предложенным Мигдалом [25], 0 ({ ( )}) = exp ( ) ( ) . L j j j j j j j j j W i ' d    ξ ξ ⋅ ξ ξ     ∑ ∫P P s (11) Вычисление многих средних величин в этом случае сводится к дифференцированию характеристического функционала по аргументу ( )j jξP (см. детали в стать- ях [22,25]). Далее мы опустим индекс j для марки- ровки различных петель и будем писать dξ∫ вместо jj dξ∑ ∫ . Усреднение в формуле (11) производится по ансамблю случайных сил , )tζ ξ( . Если ввести функцию распределения вероятности ({ ( )}, )tξs в пространстве вихревых конфигураций { ( )}ξs , тогда формулу (11) можно записать в виде интеграла 0 ({ ( )}) = ( ) ({ ( )}, ) exp ( ) ( ) . L j W t i ' d    ξ ξ ξ ξ ⋅ ξ ξ     ∫ ∫P s s P s  (12) Отсюда видно, что характеристический функционал — это просто преобразование Фурье от плотности рас- пределения вероятности в функциональном простран- стве. Выведем уравнение эволюции величины ({ ( )}W ξP . Мигдал назвал полученное соотношение уравнением Фоккера–Планка, хотя было бы правильнее называть это равенство уравнением Хопфа (см., например, [26]), резервируя термин «уравнение Фоккера–Планка» для эволюции функционала вероятности ({ ( )}, )tξs . При- нимая во внимание, что по определению ({ ( )})W ξP за- висит от времени только через переменную ( , tα ξs ) , и используя цепное правило для функциональной произ- водной, мы получим следующее уравнение для эволю- ции величины ({ ( )})W ξP : ({ )}, ) =dW t dt ξP( ( )= ( , ( , exp ( , ( ,ii d t t i d t tα α α α′ ′ξ ξ ξ ξ ξ ⋅ ξ =∫ ∫s )P ) s ) P ) [ ] ( )= , ( , exp ( , ( , ) .ii d t t i d t tα α α α α′ ′ξ + ζ ξ ⋅ ξ ξ ξ ⋅ ξ∫ ∫s ( ) P ) s ) P (13) Второе слагаемое (в квадратных скобках в правой час- ти уравнения) может быть преобразовано с помощью хорошо известного свойства гауссовых величин, именно, с помощью соотношения Новикова–Фурутцу (см. [25]). Применяя это правило для флуктуирующей экспонен- ты, мы получаем 1 1 ( , )( , ) ( , ) = ( , ) ( , ) . ( , ) W tW t t d t t tα β α β δ ξ ξ ζ ξ ξ ζ ξ ζ ξ δζ ξ∫    (14) Функциональная производная ( , ) / ( , )W t tαδ ξ δζ ξ вы- числяется с использованием цепного правила 2 2 2 ( , )( , ) ( , )= , ( , )( , ) ( , ) tW t W td tt' t' β βα α δ ξδ ξ δ ξ ξ δ ξδζ ξ δζ ξ∫ s s  (15) где функция Грина 2( , ) / ( , )t t'β αδ ξ δζ ξs  при t t'→ удов- летворяет условию 2 2 ( , ) 1= ( 2( , ) t t' β αβ α δ ξ δ δ ξ − ξ δζ ξ s ).  (16) Собрав все выкладки вместе и подставляя результат в (13), получим (заменив переменную интегрирования ξ на 1ξ ), 1 2 1 2 1 ({ )}, ) 1= ( ) ( ( ) 2 dW t d d F dt α α ξ ′ ′− ξ ξ ξ ξ ξ − ξ +∫∫ P( P P ) ) 1 1( ) .ii d α′+ ξ ξ∫ P s (17) Уравнение (17) — искомое эволюционное уравнение Фоккера–Планка для характеристического функциона- ла ({ ( )})j jW ξP (см. [25]). В этой форме оно весьма неудобно, так как переменные (ξs ) не полностью ис- ключены, они входят в выражение is для формулы Био– Савара. Исключение функции (ξs ) может быть выпол- нено с помощью k-представления. В k-пространстве закон Био–Савара гласит [ ] 3 2 23 2 4( ) exp ( , , . (2 ) dt i ' i t t d k κ π ξ × ξ − ξ ξ π ∫ ks , = k s k s ) s( ) (18) 1272 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы Эту формулу легко получить, используя k-пред- ставление для поля завихренности (3) и формулу =kv 2/i k= × kk w . Учтем далее, что 's равно / iδ δP (приме- нительно к экспоненте), перепишем уравнение (17) в сле- дующем виде: { }( ) 3 1 1 2 3 ( ) , = ( ) (2 ) W t dd d t α ∂ ξ ′ξ ξ ξ × ∂ π∫ ∫ ∫ P kP 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) e k F i αβγ γ α β  δ′× − ξ − ×  δ ξ   k P Pk 1 2[ ( ) ( , , ), ].W t× ξ + Ω ξ ξ ξP k (19) В последующем соотношение будем называть как «уравнение Мигдала». Здесь функция 1 2( , , )Ω ξ ξ ξ опре- деляется с помощью ступенчатой функции ( )θ ξ : 1 2 1 2( , , ) = ( ) ( ).Ω ξ ξ ξ θ ξ − ξ − θ ξ − ξ (20) Эта функция появилась из использования преобразо- вания Фурье для выражения 2( , ) ( ,t tξ − ξs s ), входящего в закон Био–Савара. Функциональное уравнение (19) яв- ляется аналогом известного уравнения Хопфа [26] для классической турбулентности, соответственно, оно так- же необычайно сложно. В настоящее время не имеется никаких перспектив решить эту проблему. Тем не ме- нее уравнение (19) позволяет сделать некоторые выво- ды, касающиеся стохастической динамики вихрей (см. оригинальную статью [25]). Мигдал также предложил способ изучения этого уравнения численно на основе вариационного принципа. Мы хотели бы обратить вни- мание читателей, что процессы пересоединения и ре- комбинации вихревых петель полностью остаются вне рассмотрения в данном формализме. 3. Термодинамическое равновесие вихрей в покоющемся гелии Функциональный формализм Мигдала, описанный в разд. 2, хотя он и не рассматривал процессы реконнек- ций, является очень сложным и нуждается в сущест- венных упрощениях. Имеется один физический важ- ный случай, когда уравнение Фоккера–Планка имеет точное решение — это случай термодинамического рав- новесия. Квантованные вихри играют фундаменталь- ную роль в термодинамических свойствах квантовых жидкостей, сверхпроводников и других систем. Фазо- вые превращения, кинетические свойства, а также много других физических явлений связаны с появлением в системах квантованных вихрей и их динамикой. Так же, как и в случае квантовой турбулентности, вихревые ни- ти могут развиваться в запутанные хаотические струк- туры — вихревые клубки. Поэтому чтобы описать любые термодинамические явления в квантовых жидкостях, содержащих вихревые клубки, необходимо иметь ин- формацию относительно их структуры и статистики. Самый широко распространенный способ преодоле- вать эту трудность состоит в том, чтобы трактовать вих- ревые петли как своего рода тепловые возбуждения и использовать термодинамические методы. Другими сло- вами, предполагается, что набор хаотических вихревых петель находится в тепловом равновесии с основной системой (квантовой жидкостью). Предположение о тепловом равновесии основано на фундаментальных физических принципах, если рас- сматривать квантованные вихри как подсистему, по- груженную в термостат, с которым вихри обменивают- ся энергией. Роль термостата в данном случае играет соответствующее физическое поле, образующее сверх- текучую компоненту плюс тепловые возбуждения — квазичастицы. Хорошо известно, что распределение Гиббса может быть альтернативно получено в рамках некоторых мо- дельных задач, например, из кинетических уравнений или из уравнений Фоккера–Планка. Этот путь, конечно, не имеет такую большую общность как принцип мак- симальной энтропии, но он позволяет проследить ди- намические детали установления распределения Гиббса. Это, в свою очередь, может прояснить также динами- ческие детали и механизмы разрушения равновесного состояния. В этом разделе мы выбираем этот способ и ставим своей целью изучить, как в рамках ланжевенов- ского подхода устанавливается тепловое равновесие в системе хаотических вихревых петель. Чтобы показать это, сначала получим уравнение Фоккера–Планка, соответствующее ланжевеновской ди- намике вихревой петли. В отличие от рассмотренного выше изложения Мигдала (см. разд. 2), мы используем не характеристический функционал, а непосредственно функционал распределения вероятности. Кроме того, применим уравнение движения вихревой нити (5) со слагаемыми, отвечающими за взаимодействие с нор- мальной компонентой. Рассмотрим динамику вихревых петель в трехмер- ном пространстве без границ. Выберем уравнение дви- жения элементов вихревой линии в виде (5) с опущен- ным малым слагаемым, содержащим коэффициент 'α : = ( ) ( ) ( , ),i i' tξ −α × + ζ ξs s s s   (21) где is — самоиндуцированная скорость (4). Также в этом разделе исследуем случай, когда внешнее течение от- сутствует, = 0sv , = 0nv . Предполагается, что корре- ляционная функция для ланжевеновской силы , tζ ξ( ) связана с температурой системы через флуктуационно- диссипативную теорему 1 2 1 2 ,( , ) ( , ) = ( ) ( ) . ( / ) B s k Tt t' t t' mα β α β α ζ ξ ⋅ζ ξ δ ξ − ξ δ − δ ρ π  (22) Введем следующий функционал распределения ве- роятности случайной конфигурации вихревых нитей { ( )}ξs : Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1273 С.К. Немировский ( )({ ( )}, ) = ( ) ( , )t tξ δ ξ − ξs s s , (23) где δ является дельта функционалом в пространстве кон- фигураций вихревых петель. Усреднение выполняется по ансамблю случайной силы. Эволюция величины ({ ( )}, )tξs может быть представлена в следующем виде: det= ( , ) , ( , ) ( , ) d d t t t t    ∂ δ δ − ξ − ξ ζ ξ    ∂ δ ξ δ ξ   ∫ ∫s s s    (24) где dets — детерминированная часть скорости, опреде- ленная уравнением (5). Опуская стандартные детали (см., например, [27]), запишем следующее из (24) функ- циональное уравнение Фоккера–Планка для эволюции функционала распределения вероятности [ ]{ }) ( ) ) ( ) i id ' t ∂ δ + ξ ξ + α ξ × ξ + ∂ δ ξ∫ s ( s s ( s    1 ) ( ) = 0. 2 ( ) ( ) d d ' ' 'α β α β δ δ + ξ ξ ζ ξ ⋅ζ ξ δ ξ δ ξ∫∫ ( s s  (25) Здесь ) )'α βζ ξ ⋅ζ ξ( ( — корреляционная функция слу- чайной силы, действующей на линию (см. (22)). Наша цель теперь состоит в том, чтобы доказать, что уравнение (25) имеет решение в виде ({ ( )}) =ξs { }= exp ( / )H T− s , где  — нормировочный мно- житель. Величина { }H s — энергия вихревой системы (см. уравнение (6)). Мы начинаем доказательство с первого слагаемого в подынтегральном выражении (25). Используя пара- метризацию, в которой скорость 0( )i ξs нормальна вих- ревой нити, перепишем (7) в виде 0 1 ({ })( ) = ( ) . ( , )i s H' t δ ξ ξ × ρ κ δ ξ ss s s  (26) Тогда первое слагаемое в подынтегральном выражении (25) имеет вид 1 ({ })( ) exp( ({ }) / ) . ( ) ( , ) B s Hd ' H k T t  δ δ ξ ξ × − ρ κ δ ξ δ ξ ∫ ss s s s  (27) Выполняя функциональное дифференцирование и ис- пользуя тензорные обозначения, перепишем (27) в сле- дующем виде (опускаем коэффициент перед интегралом): { }( ) ( ) ({ })exp / ( ) ( , )B ' Hd H k T t βαβγ α γ δ ξ δ ξ − ε + δ ξ δ ξ∫ s ss s s { }( ) ({ })exp / ( ) ( ) ( , )B Hd H k T t αβγ β α γ  δ δ′+ ξ − ε ξ +  δ ξ δ ξ  ∫ ss s s s { }( ) ({ }) ({ })(1/ ) exp / ( ) . ( , ) ( , )B B H Hk T d H k T t t αβγ β γ α δ δ′+ ξ − ε ξ δ ξ δ ξ∫ s ss s s s (28) Здесь αβγε — единичный антисимметричный тензор. Функциональная производная ( ) / ( )β α βα′δ ξ δ ξ ∝ δs s , по- этому все члены тождественно исчезают из-за симмет- рии. Таким образом, обратимый (не связанный с дис- сипацией) член в исходном уравнении движения (5) не дает вклада в динамику функционала распределения вероятности. Принято говорить, что это дивергентно- свободное слагаемое. Понятно, что сказанное выше от- носится только к случаю теплового равновесия, т.е. справедливо только для решения Гиббса. Последнее слагаемое в подынтегральном выраже- нии (25) может быть преобразовано с помощью флук- туационно-диссипативной теоремы для линии (22) следующим образом: 1 ( ) ( ) = 2 ( ) ( ) d d ' ' 'α β α β δ δ ξ ξ ζ ξ ⋅ζ ξ δ ξ δ ξ∫∫ s s  1 2 1 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) B s k Td d ' t t 'α β α β α δ δ = ξ ξ δ ξ − ξ δ − δ × ρ κ δ ξ δ ξ∫ ∫ s s { }( )exp / .BH k T× − s (29) Воспользовавшись соотношениями (7) и (26) и ис- пользуя тензорные обозначения, легко убедиться, что получившееся выражение точно компенсирует второе слагаемое в подынтегральном выражении (25), как это и должно быть. 4. Тепловое равновесие вихревых линий в противотоке He II В этом разделе опишем динамику вихревой нити под действием случайной ланжевеновской силы в при- сутствии относительной скорости nsv . Мотивация дан- ной темы обусловлена тем, что хаотическое множество вихревых нитей, так называемая квантовая турбулент- ность, развивается в противотоке сверхтекучего гелия без случайного перемешивания, поэтому важно срав- нить оба механизма генерации вихревого клубка. Вы- берем уравнение движения вихревой линии элементов в виде соотношения (5) с опущенным малым слагае- мым, содержащим коэффициент 'α , ( ) ( ) ( )) ( , ).i s n s i' tξ + + α ξ × − − ξ + ζ ξs = s v s v v s (   (30) Предполагается, что корреляционная функция для лан- жевеновской силы , tζ ξ( ) удовлетворяет флуктуацион- но-диссипативной теореме (22). Уравнение Фоккера– Планка для эволюции во времени для функционала рас- пределения вероятностей ( )({ ( )}, ) = ( ) ( , )t tξ δ ξ − ξs s s (см. определение (23)) может быть получено из урав- нения движения (30) стандартным образом (см., напри- мер, [27] а также предыдущие два раздела) [ ]{ }) ( ) ( ( )) ( ) i s n s id ' t ∂ δ + ξ ξ + + α ξ × − − ξ + ∂ δ ξ∫ s ( v s v v s s    1 ) ) = 0 2 ( ) ( ) d d ' ' 'α β α β δ δ + ξ ξ ζ ξ ⋅ζ ξ δ ξ δ ξ∫∫ ( ( s s  . (31) 1274 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы Нашей целью является продемонстрировать, что урав- нение (31) имеет решение в виде распределения Гиббса ({ }) ({ ( )}, ) = exp ,c B H t k T   ξ −    s s  (32) где гамильтониан ({ })cH s в присутствии относитель- ной скорости nsv имеет вид ({ ({ ( ).c n sH E − −s}) = s}) P v v (33) Здесь P — это импульс Лэмба, определенный форму- лой (8). В обычной статистической механике, когда P это истинный импульс частицы (или квазичастицы), справедливость уравнений (32), (33) очевидна и выте- кает из преобразований Галилея. Так как импульс Лэм- ба не является «реальным» импульсом, справедливость соотношений (32), (33) не является очевидной и нуж- дается в детальной проверке. Далее мы приведем дока- зательство реализации распределения Гиббса в виде уравнения (32) с гамильтонианом (33). В первую очередь мы приведем два тождества. Ва- риационная производная энергии вихрей по перемен- ной ( )ξs связана с самоиндуцированной скоростью ( )i ξs Био–Савара следующим образом: 0 1 ({ }) ({ })( ) = ( ) ( ) ) = . , ) ( , )i s i s E E' ' t t δ δ ξ ξ × ⇒ ρ κ ξ × ξ ρ κ δ ξ δ ξ s ss s s s ( s( s   (34) Что касается вариационной производной от функцио- нала ( )n s−P v v , то для постоянного вектора n s−v v име- ет место следующее соотношение: ( ) ( ) = . ( , ) ns s ns' t δ ρ κ ξ × δ ξ Pv s v s (35) В качестве следующего шага мы должны подста- вить распределение Гиббса (32) в уравнение Фоккера– Планка (31). В случае постоянного противотока вели- чина nv является независящей от времени и простран- ственных координат, что допускает возможность рабо- тать в системе координат, где nv равна нулю. Начнем с недиссипативных членов, это первые два слагаемых в квадратных скобках в первой строчке уравнения Фоккера–Планка (31). Легко проверить, что они преобразуются к следующему виду: ({ }) 1 ({ })exp ( ) ( ) ( , ) c s B s H Ed ' k T t    δ δ ξ − ξ × + −   δ ξ ρ κ δ ξ    ∫ s ss v s s (36) 1 1 ({ })( ) ( , ) ({ })({ }) ( ) exp ( , ) B s c s B Ed ' k T t HE ' t k T  δ − ξ ξ × + × ρ κ δ ξ    δ × − + ξ × −  δ ξ    ∫ s ss v s ss s v s (37) Давайте проверим первую строку (36), которая вклю- чает в себя дифференцирование слагаемых внутри квадратной скобки: { }1 ({ })( ) exp ( ) ( , ) c s B HEd ' t k T     δ δ ξ ξ × + −    δ ξ ρ κ δ ξ      ∫ s sss v s s . (38) Выполняя функциональное дифференцирование и ис- пользуя тензорные обозначения, получим, что первое слагаемое в квадратных скобках пропорционально ({ })( ) ( ) ( , ) E t αβγ β α γ  δ δ′ε ξ  δ ξ δ ξ  ss s s . (39) Функциональная производная ( ) / ( )β α βα′δ ξ δ ξ ∝ δs s , по- этому этот член исчезает в силу симметрии. Кроме того, функциональная производная от постоянной скорос- ти sv , очевидно, также обращается в нуль, / ( ) = 0sδ δ ξv s . Слагаемые в (37), могут быть переписаны следую- щим образом: 1 ({ }) ({ })( ) ( , ) ( , )B E Ed ' k T t t   δ δ− ξ ξ × −  δ ξ δ ξ   ∫ s ss s s ({ })( ( ) ) ( ) ( , )s s E' ' t  δ − ρ κ ξ × ξ × + δ ξ  ss v s s ({ })({ }) ( ( ) ) exp ( , ) c s s s B HE ' t k T  δ + −ρ κ ξ × −  δ ξ    s ss v s v v s . (40) Первое слагаемое в фигурных скобках обращается в нуль в силу симметрии, а четвертый член исчезает, так как произведение ( )' ξ × ss v нормально вектору sv . Ос- тальные преобразуются к следующему выражению (мы опускаем фактор 1/ Bk T− и выбираем параметризацию, где ( ) ( ) = 0' 'ξ ξs s ): ({ }) ({ })( ( ) ) ( ) ( , ) , )s s s E Ed ' ' t t   δ δ ξ −ρ κ ξ × ξ × ×  δ ξ δ ξ   ∫ s sv s v s s s( ({ }) exp =c B H k T   × −    s ({ }) ({ }) ({ })( ( ) ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )s s s E E Ed ' ' t t t   δ δ δ = ξ − + ξ ξ + ×  δ ξ δ ξ δ ξ    ∫ s s sv s v s v s s s ({ })exp . B H k T   × −    s (41) В силу тождества (34) комбинация ( ) ({ })/ ( , ) = 0' E tξ δ δ ξs s s , и все члены уравнения (41) равны нулю. Таким образом, обратимые (не связанные с дисси- пацией) члены в исходном уравнении движения (30) не приводят к эволюции функционала распределения ве- роятностей ({ ( )}, )tξs . Мы опять говорим, что это ди- вергентно-свободный член. Понятно, что вышеизло- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1275 С.К. Немировский женное относится только к случаю теплового равнове- сия, т.е. справедливо только для решения (32). Сгруппируем оставшиеся диссипативное и «ланжеве- новское» слагаемые в уравнении Фоккера–Планка (31): [ ]{ }( ) ) ( ) n s id 'δ ξ α ξ × − − ξ + δ ξ∫ s v v s ( s  1 ( ) ( ) = 0. 2 ( ) ( ) d d ' ' 'α β α β δ δ + ξ ξ ζ ξ ⋅ζ ξ δ ξ δ ξ∫∫ s s  (42) Последнее слагаемое в подынтегральном выражении (42) может быть переписано с помощью флуктуационно-дис- сипативной теоремы (22) следующим образом: 1 2 1 2 , ( ) ( ) . ( ) ( ) B s k Td d ' t t 'α β α β α δ δ ξ ξ δ ξ − ξ δ − δ ρ κ δ ξ δ ξ∫ ∫ s s  (43) Подставляя ( )({ ( )}, ) = exp ({ })c Bt H k Tξ −s s /  и применяя тождества (26) и (35), мы можем легко убе- диться, что полученное выражение (43) точно компен- сирует диссипативный член в выражении (42) (напом- ним, что мы работаем в системе отчета, где nv равна нулю). Это означает, что распределение Гиббса с га- мильтонианом ({ })cH s (33) — действительно решение уравнения Фоккера–Планка, как это и должно быть в соответствии с общими физическими принципами. Важ- но отметить, что импульс Лэмба P (8) сыграл роль ре- ального импульса. 5. Заключение Таким образом, исследуя ланжевеновскую динами- ку хаотического набора квантовых вихревых нитей, мы проследили механизм установления термодинамиче- ского равновесия в вихревом клубке. При анализе на- шего доказательства можно видеть, что основная при- чина состоит в том, что случайная сила ( , )tζ ξ , действующая на элементы вихревой нити, в уравнении Фоккера–Планка точно компенсирует диссипативный поток распределения вероятности. Причем компенса- ция происходит в подынтегральном выражении, иными словами, реализуется детальный баланс между накач- кой и диссипацией. В свете этого наблюдения пред- ставляется естественным, что при возникновении дру- гих источников случайного воздействия на систему, например, при развитии неустойчивости в текущем ге- лии возможен переход в неравновесное (турбулентное) состояние. На основании полученных результатов, описанных в статье, можно исследовать задачи по динамике вихревых нитей в термодинамическом приближении. Например, рост вихревых зародышей под действием термических флуктуаций, как это было сделано Иорданским [28] в случае идеальных вихревых колец. Другой пример ка- сается равновесной (квазиравновесной) динамики вих- рей вблизи точки фазового перехода, которая описыва- ет рост плотности вихревых нитей при приближении к Tλ (см., например, [29,30]). В этом случае температу- ра T является обычной температуры системы. Можно исследовать, однако, задачи по стохастиче- скому поведению вихревых нитей, безотносительно тер- модинамики, но когда корреляционная функция явля- ется белым шумом как в пространстве, так и во времени. Данная ситуация может реализоваться, например, когда изучаемая вихревая нить окружена ансамблем других вихревых нитей. В этом случае флуктуирующее дельта- скоррелированное поле скоростей окружающего вихре- вого клубка играет роль «перемешивающей силы» для изучаемой вихревой нити. Температура в этом случае, в соответствии с флуктуационно-диссипативной теоре- мой, будет неким искусственным параметром, связанным с интенсивностью «перемешивающей силы». Другим близким примером статической задачи, где появляется искусственная температура, является известная модель Онзагера по статистической механике двумерных вих- рей [31–33]. Схожие вопросы для классической турбу- лентности обсуждены в известной книге McComb [34]. Показано, что в противотоке He II также может быть реализовано состояние термодинамического равнове- сия вихревых линий. Это является замечательным ре- зультатом, так как обычно в этой ситуации рассматри- ваются только турбулентные явления. Соотношение (32) предназначено для вычисления статистической суммы и, соответственно, для определения различных свойств вихревого клубка. Примером реализации такой страте- гии могут служить работы по статистической механике взаимодействующих струн (см., например, [35,36]). С использованием этой методики можно вычислить струк- турные факторы квантовой турбулентности, например, среднюю поляризацию вихревых петель, входящих в состав вихревого клубка в противотоке He II, а также анизотропию и среднюю кривизну. Эти величины были ранее получены только в численной работе Шварца [4]. Представляет интерес сравнить результаты по равно- весным свойствам вихревого клубка, которые могут быть получены на основании развитого здесь форма- лизма, с данными по квантовой турбулентности. Работа выполнена при поддержке гранта РНФ- № 14-19-00352. ________ 1. R.P. Feynman, Progress in Low Temp. Phys., North-Holland, Amsterdam (1955), Vol. 1, p. 17. 2. L. Onsager, Nuovo Cimento 6, 279 (1949). 3. R.J. Donnelly, Quantized Vortices in Helium II, Cambridge University Press, Cambridge, UK (1991). 4. K.W. Schwarz, Phys. Rev. B 38, 2398 (1988). 5. S.V. Alekseenko, P.A. Kuibin, and V.L. Okulov, Theory of Concentrated Vortices, Springer (2007). 1276 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.38.2398 Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы 6. P.G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, England (1992). 7. G.K. Batchelor, An Introduction to Fluid Mechanics, Cam- bridge University Press, Cambridge, England (1967). 8. C.J. Gorter and J.H. Mellink, Physica 15, 285 (1949). 9. V. Chagovets, I. Gritsenko, E. Rudavskii, G. Sheshin, A. Zadorozhko, and B. Verkin, J. Phys.: Conf. Ser. 150, 032014 (2009). 10. Г.А. Шешин, А.А. Задорожко, Э.Я. Рудавский, В.К. Чаговец, Л. Скрбек, М. Блажкова, ФНТ 34, 1111 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 875 (2008)]. 11. I. Gritsenko and G. Sheshin, J. Low Temp. Phys. 175, 91 (2014). 12. И.А. Гриценко, К.А. Клокол, C.С. Соколов, Г.А. Шешин, ФНТ 42, 23 (2016) [Low Temp. Phys. 42, 21 (2016)]. 13. W.F. Vinen, J. Low Temp. Phys. 161, 419 (2010). 14. S.K. Nemirovskii, Sov. Phys. JETP 64, 803 (1986). 15. S.K. Nemirovskii, J. Low Temp. Phys. 171, 504 (2013). 16. В.А. Андрющенко, С.К. Немировский, ФНТ 43, 150 (2017) [Low Temp. Phys. 43, 125 (2017)]. 17. E.J. Copeland, T.W.B. Kibble, and D.A. Steer, Phys. Rev. D 58, 043508 (1998). 18. F.R.N. Nabarro, Theory of Crystal Dislocations, Clarendon, Press Oxford (1967). 19. H. Kleinert, Gauge Fields in Condenced Matter Physics, World Scientific, Singapore (1990). 20. Mark Davidson, Physica E 42, 317 (2010). 21. A. Melatos and C. Peralta, Astrophys. J. Lett. 662, L99 (2007). 22. S.K. Nemirovskii, Phys. Rep. 524, 85 (2013). 23. S.K. Nemirovskii, Theor. Math. Phys. 141, 1452 (2004). 24. S.K. Nemirovskii, J. Low Temp. Phys. 185, 365 (2016). 25. A.A. Mигдал, Вопросы кибернетики (1986), с. 122. 26. A.S. Monin and A.M. Yaglom, Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence, MIT, Press Cambridge, Massa- chusets (1975), Vol. 2. 27. Jean Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Pheno- mena, Clarendon Press, Oxford (2002). 28. S.V. Iordanskii, Sov. Phys. JETP 21, 467 (1965). 29. W.H. Zurek, Phys. Rep. 276, 177 (1996). 30. Nuno D. Antunes, Luis M.A. Bettencourt, and Mark Hindmarsh, Phys. Rev. Lett. 80, 908 (1998). 31. L. Onsager, Statistical Hydrodynamics, Nuovo Cimento Suppl. 6, 249 (1949). 32. E.A. Novikov, Sov. Phys. JETP 68, 1868 (1975). 33. T.S. Lundgren and Y.B. Pointin, J. Stat. Phys. 17, 323 (1977). 34. W.D. McComb, The Physics of Fluid Turbulence, Oxford University Press Inc., New York (1991). 35. E. Copeland, D. Haws, S. Holbraad, and R. Rivers, Physica A 179, 507 (1991). 36. H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter Physics, World Scientific, Singapore (1991). ___________________________ Стохастичний рух вихрових нитей в Не II під дією випадкової сили С.К. Неміровський Сформульовано ланжевенівську динаміку — стохастич- ний рух вихрових нитей в Не II під дією випадкової сили. Викладено функціональний формалізм, що є модифікацією методу, який розроблено раніше Мігдалом для роботи із сто- хастичною динамікою класичних вихрових нитей. Зокрема, стартуючи з рівняння ланжевенівського типу, отримано функ- ціональне рівняння Фоккера–Планка щодо характеристично- го функціонала. На основі цього рівняння та в припущенні, що корелятор випадкової сили задовольняє флуктуаційно- диссипативній теоремі, досліджено термодинамічну рівновагу у системі хаотичних квантованих вихорів. Розглянуто випадок нерухомого гелію, а також випадок протитечії з постійним значенням відносної швидкості нормальної та надплинної компонент. Обговорено деякі фізичні наслідки отриманих результатів. Ключові слова: ланжевенівська динаміка, вихрові ниті, Не II, рівняння Фоккера–Планка. Stochastic motion of the vortex filaments in He II under the influence of random force S.K. Nemirovskii Langevin dynamics is formulated — the stochastic motion of vortex filaments in He II under the action of random force. A functional formalism is described, which is a modification of the method developed earlier by Migdal to work with the stochas- tic dynamics of classical vortex filaments. In particular, starting from the Langevin-type equation, the Fokker–Planck functional equation for the characteristic functional obtained. On the basis of this equation and under the assumption that the random force correlator satisfies the fluctuation-dissipative theorem, thermody- namic equilibrium in a system of chaotic quantized vortices is investigated. The case of stationary helium is considered, as well as the counterflow case with a constant value of the relative ve- locity of the normal and superfluid components. Some physical consequences of the results are discussed. Keywords: Langevin dynamics, vortex filaments, He II, Fokker– Planck equation. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2018, т. 44, № 10 1277 https://doi.org/10.1016/0031-8914(49)90105-6 https://doi.org/10.1088/1742-6596/150/3/032014 https://doi.org/10.1063/1.3009577 https://doi.org/10.1007/s10909-013-0937-z https://doi.org/10.1063/1.4940343 https://doi.org/10.1007/s10909-010-0229-9 https://doi.org/10.1007/s10909-012-0791-4 https://doi.org/10.1063/1.4975669 https://doi.org/10.1103/PhysRevD.58.043508 https://doi.org/10.1016/j.physe.2009.06.076 https://doi.org/10.1086/518598 https://doi.org/10.1016/j.physrep.2012.10.005 https://doi.org/10.1023/B:TAMP.0000043860.52270.0c https://doi.org/10.1007/s10909-015-1456-x https://doi.org/10.1016/S0370-1573(96)00009-9 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.908 https://doi.org/10.1007/BF02780991 https://doi.org/10.1007/BF01014402 https://doi.org/10.1016/0378-4371(91)90091-P 1. Введение. Квантованные вихри и сверхтекучая турбулентность 2. Ланжевеновская постановка задачи 3. Термодинамическое равновесие вихрей в покоющемся гелии 4. Тепловое равновесие вихревых линий в противотоке He II 5. Заключение

Стохастическое движение вихревых нитей в Не II под действием случайной силы

Institution

Ähnliche Einträge