Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления
Запропоновано i обґрунтовано деякi алгоритми часткового i повного усереднення систем дискретних рiвнянь i включень. На основi отриманих схем усереднення побудовано алгоритми чисельно-асимптотичного розв’язання задач оптимального управлiння дискретними системами....
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2004
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177008 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления / В.А. Плотников, Л.И. Плотникова, А.Т. Яровой // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 241-254. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177008 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770082021-02-10T01:26:00Z Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления Плотников, В.А. Плотникова, Л.И. Яровой, А.Т. Запропоновано i обґрунтовано деякi алгоритми часткового i повного усереднення систем дискретних рiвнянь i включень. На основi отриманих схем усереднення побудовано алгоритми чисельно-асимптотичного розв’язання задач оптимального управлiння дискретними системами. We propose and substantiate certain algorithms for partial and complete averaging for systems of discrete equations and inclusions. Using the obtained averaging schemes we construct algorithms for finding solutions, in a numerical-analytical way, of optimal control problems for discrete systems. 2004 Article Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления / В.А. Плотников, Л.И. Плотникова, А.Т. Яровой // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 241-254. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177008 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано i обґрунтовано деякi алгоритми часткового i повного усереднення систем дискретних рiвнянь i включень. На основi отриманих схем усереднення побудовано алгоритми чисельно-асимптотичного розв’язання задач оптимального управлiння дискретними системами. |
| format |
Article |
| author |
Плотников, В.А. Плотникова, Л.И. Яровой, А.Т. |
| spellingShingle |
Плотников, В.А. Плотникова, Л.И. Яровой, А.Т. Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления Нелінійні коливання |
| author_facet |
Плотников, В.А. Плотникова, Л.И. Яровой, А.Т. |
| author_sort |
Плотников, В.А. |
| title |
Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления |
| title_short |
Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления |
| title_full |
Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления |
| title_fullStr |
Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления |
| title_full_unstemmed |
Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления |
| title_sort |
метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177008 |
| citation_txt |
Метод усреднения дискретных систем и его приложение к задачам управления / В.А. Плотников, Л.И. Плотникова, А.Т. Яровой // Нелінійні коливання. — 2004. — Т. 7, № 2. — С. 241-254. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT plotnikovva metodusredneniâdiskretnyhsistemiegopriloženiekzadačamupravleniâ AT plotnikovali metodusredneniâdiskretnyhsistemiegopriloženiekzadačamupravleniâ AT ârovojat metodusredneniâdiskretnyhsistemiegopriloženiekzadačamupravleniâ |
| first_indexed |
2025-07-15T14:58:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T14:58:02Z |
| _version_ |
1837725367338532864 |
| fulltext |
УДК 517.9
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ
В. А. Плотников
Одес. нац. ун-т
Украина, 27026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: v.plotnikov@paco.net
Л. И. Плотникова
Одес. нац. политехн. ун-т
Украина, 27014, Одесса, просп. Шевченко, 1
А. T. Яровой
Одес. нац. ун-т
Украина, 27026, Одесса, ул. Дворянская, 2
We propose and substantiate certain algorithms for partial and complete averaging for systems of discrete
equations and inclusions. Using the obtained averaging schemes we construct algorithms for finding soluti-
ons, in a numerical-analytical way, of optimal control problems for discrete systems.
Запропоновано i обґрунтовано деякi алгоритми часткового i повного усереднення систем дис-
кретних рiвнянь i включень. На основi отриманих схем усереднення побудовано алгоритми чи-
сельно-асимптотичного розв’язання задач оптимального управлiння дискретними системами.
Интерес к исследованию дискретных систем управления связан с широким применени-
ем на практике цифровых вычислительных машин в управлении различными объекта-
ми. Построение и обоснование алгоритмов численно-асимптотического решения задач
оптимального управления непрерывными системами, основанных на схемах усреднения,
рассматривались в работах [1 – 5].
Рассмотрим систему дискретных уравнений стандартного вида
xi+1 = xi + εF (i, xi), x0 = x0, (1)
где xi ∈ Rn — фазовый вектор, ε > 0 — малый параметр; F (i, x) — вектор-функция,
i ∈ I = {0, 1, ..., N}, N = E(Lε−1), E(s) — целая часть s.
Пусть существует функция F 0(i, x) такая, что
lim
n→∞
1
n
p+n−1∑
i=p
[F (i, x)− F 0(i, x)] = 0. (2)
Tогда системе (1) поставим в соответствие систему
yi+1 = yi + εF 0(i, yi), y0 = x0, (3)
и назовем ее частично усредненной.
c© В. А. Плотников, Л. И. Плотникова, А. T. Яровой, 2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2 241
242 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
Рассмотрим вопрос о близости решений систем (1) и (3) на конечном промежутке.
Наряду с системами (1), (3) рассмотрим системы
zk+1 = zk + ε
(k+1)h−1∑
i=kh
F (i, zk), z0 = x0, (4)
wk+1 = wk + ε
(k+1)h−1∑
i=kh
F 0(i, wk), w0 = x0, (5)
где h(ε)− целое число и
lim
ε→0
h(ε) = ∞, lim
ε→0
εh(ε) = 0. (6)
Лемма 1. Пусть в области Q{i ∈ I, x ∈ D ⊂ Rn} выполнены следующие условия :
1) функции F (i, x) и F 0(i, x) равномерно ограничены константой M и удовлетворя-
ют условию Липшица по x c постоянной λ;
2) решения {zk}, {wk} с начальным условием x0 ∈ D
′ ⊂ D определены при ε ∈
∈ (0, σ], k ≥ 0 и вместе с ρ-окрестностью принадлежат области D.
Tогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что для 0 < ε ≤ ε0
и i ∈ I выполняются неравенства
||xi − zk|| ≤ η, ||yi − wk|| ≤ η, i ∈ [kh, (k + 1)h− 1).
Доказательство. Очевидно, что
x(k+1)h = xkh + ε
(k+1)h−1∑
i=kh
F (i, xi), x0 = x0,
(7)
y(k+1)h = ykh + ε
(k+1)h−1∑
i=kh
F 0(i, yi), y0 = x0.
Пусть γk = ||xkh − zk||, тогда из (7), (4) имеем
γk+1 ≤ γk + ε
∥∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
i=kh
F (i, xi)−
(k+1)h−1∑
i=kh
F (i, zk)
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ γk + ελ
(k+1)h−1∑
i=kh
||xi − zk|| ≤ (1 + ελh)γk + ελ
(k+1)h−1∑
i=kh
||xi − xkh|| ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ 243
≤ (1 + ελh)γk + ε2λ
(k+1)h−1∑
i=kh
i∑
j=kh
||F (j, xj)|| ≤
≤ (1 + ελh)γk + ε2λMh2/2 ≤ (eλL − 1)εhM/2.
Поскольку
||xi − xkh|| ≤ εhM, kh ≤ i ≤ (k + 1)h,
то
||xi − zk|| ≤ (eλL + 1)εhM/2. (8)
Аналогично получаем
||ykh − wk|| ≤ (eλL − 1)εhM/2, 1 ≤ k ≤ N,
(9)
||yi − wk|| ≤ (eλL + 1)εhM/2, 1 ≤ k ≤ N.
Теорема 1. Пусть в области Q{i ∈ I, x ∈ D ⊂ Rn} выполнены следующие условия :
1) функции F (i, x) и F 0(i, x) равномерно ограничены константой M и удовлетворя-
ют условию Липшица по x c постоянной λ;
2) равномерно относительно x и p существует предел (2);
3) решения wk усредненной системы (5) с начальным условием w0 = x0 ∈ D
′ ⊂ D
определены при ε ∈ (0, σ], k ≥ 0 и вместе с ρ-окрестностью принадлежат области D.
Tогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что для 0 < ε ≤ ε0
и i ∈ I выполняется неравенство
||xi − yi|| ≤ η, (10)
где
yi = wk + (i− kh)(wk+1 − wk)/h, i ∈ [kh, (k + 1)h), (11)
xi — решение системы (1), x0 = y0 ∈ D
′
.
Доказательство. Уравнения (1) и (3) запишем в виде
xj = xkh + ε
j−1∑
i=kh
F (i, xi),
yj = ykh + ε
j−1∑
i=kh
F 0(i, yi).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
244 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
Пусть δk = ||zk − wk||, тогда из (4) и (5) получаем
δk+1 ≤ δk + ε
∥∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
i=kh
F (i, zk)−
(k+1)h−1∑
i=kh
F 0(i, wk)
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ (1 + εhλ)δk + ε
∥∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
i=kh
F (i, wk)− ε
(k+1)h−1∑
i=kh
F 0(i, wk)
∥∥∥∥∥∥ . (12)
В силу условия 2 теоремы можно указать такую монотонно убывающую функцию f(h),
стремящуюся к нулю при h → ∞, что для всех x ∈ D выполняется
ε
∥∥∥∥∥∥
(j+1)h−1∑
i=hj
[F (i, y)− F 0(i, y)]
∥∥∥∥∥∥ ≤ εhf(h). (13)
Из (11) – (13) имеем
||yi − wk|| ≤ εhM,
δk+1 ≤ (1 + ελh)δk + εhf(h) ≤ (eλL − 1)
f(h)
λ
. (14)
Таким образом, из (8), (14) получаем
||xi − yi|| ≤ (eλL + 3)εhM/2 + (eλL − 1)
f(h)
λ
. (15)
Из (6) и (15) следует утверждение теоремы.
Замечание 1. Рассмотрим схему ступенчатого усреднения [3], т. е. зададим функцию
F 0(i, x) следующим образом :
F 0(i, x) =
Fk(x) =
1
h
(k+1)h−1∑
j=kh
F (j, x), i ∈ [kh, (k + 1)h− 1), k = 0, 1, ...
. (16)
При этом неравенство (13) примет вид
ε
k−1∑
j=0
∥∥∥∥∥∥
(j+1)h−1∑
i=hj
[F (i, yhj)− F 0(i, yhj)]
∥∥∥∥∥∥ = 0,
и, следовательно, оценку (10) можно записать в виде
||xi − yi|| ≤ Cεh, (17)
где C = eλLM(λL+ 2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ 245
Если h(ε) ≡ h0, то оценка (17) имеет вид
||xi − yi|| ≤ C1ε,
где постоянная C1 = Ch0 не зависит от ε.
Заметим, что величину h(ε) можно выбирать не обязательно целочисленной.
В этом случае в доказательстве теоремы суммы
(k+1)h−1∑
j=kh
необходимо заменить суммами∑
kh≤j<(k+1)h
.
Замечание 2. Если функция F (i, x) периодична по i с периодом p, то, выбирая h = p
из (16), получаем
F 0(i, x) ≡ F (x) =
1
p
p−1∑
i=0
F (i, x),
и система (3) принимает вид
yn+1 = yn + εF (yn), y0 = x0, (18)
т. е. получаем схему полного усреднения.
Замечание 3. При усреднении дифференциальных уравнений системе
ẋ = εF (t, x), x(0) = x0, t ∈ [0, Lε−1], (19)
ставится в соответствие усредненная система
dy
dτ
= F 0(y), τ = εt, y(0) = x0, τ ∈ [0, L]. (20)
При численном интегрировании системы (19) необходимо интегрировать неавтономную
систему на асимптотически большом промежутке времени. При численном интегриро-
вании усредненной системы (20) интегрируется автономная система на конечном проме-
жутке, что требует меньшего объема вычислений.
Системы (1) и (18) определяются на одном и том же множестве, и поэтому решение
системы (18) требует меньшего объема вычислений только при условии меньших затрат
на вычисление функции F 0(x) по сравнению с затратами на вычисление функции F (i, x).
При рассмотрении схемы частичного усреднения предполагается, что система (3) проще
системы (1).
Рассмотрим схему полного усреднения в общем случае. Предположим, что существу-
ет среднее функции F (i, x), т. е.
F 0(x) = lim
n→∞
1
n
p+n−1∑
i=p
F (i, x). (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
246 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
Системе (1) поставим в соответствие следующую усредненную cистему:
yi+1 = yi + εF 0(yi), y0 = x0.
Рассмотрим также систему
zk+1 = zk + εhF 0(zk), z0 = x0,
(22)
yi = zk + (i− kh)(zk+1 − zk)/h, kh ≤ i < (k + 1)h, k = 0, 1, . . . ,
где h удовлетворяет условиям (6).
Теорема 2. Пусть в области Q{i ∈ I, x ∈ D} выполнены следующие условия:
1) функция F (i, x) равномерно ограничена и удовлетворяет условию Липшица по x:
||F (i, x)|| ≤ M, ||F (i, x)− F (i, y)|| ≤ λ||x− y||;
2) равномерно относительно x и p существует предел (21);
3) решения zk усредненной системы (22) с начальным условием z0 = x0 ∈ D
′ ⊂ D
определены при k ≥ 0 и вместе с ρ-окрестностью принадлежат области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что для 0 < ε ≤ ε0
и i ∈ I выполняется неравенство
||xi − yi|| ≤ η, (23)
где xi и yi — решения уравнений соответственно (1) и (22), удовлетворяющие условию
x0 = y0 ∈ D
′
.
Доказательство. Очевидно, что функция F 0(x) равномерно ограничена и удовлетво-
ряет условию Липшица. Таким образом, оценка (23) следует из теоремы 1.
Замечание 4. Решение системы (22) проводится с шагом h(ε) и, следовательно, объем
вычислений для получения решения yi меньше объема вычислений, необходимого для
получения решения xi. В качестве h(ε) можно взять, например, h(ε) = c/
√
ε.
Теорема 3. Пусть в области Q выполнены условия теоремы 2 и, кроме того :
4) решения zk системы (22) равномерно асимптотически устойчивы равномерно
относительно ε ∈ (0, σ].
Тогда для любого 0 < η < ρ можно указать такое ε0(η) > 0, что при 0 < ε ≤ ε0 и
i ≥ 0 выполняется неравенство
||xi − yi|| ≤ η.
Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы Банфи –
Филатова [6] с заменой ссылок на теорему Боголюбова ссылками на теорему 2.
Рассмотрим задачу оптимального управления дискретной системой
xi+1 = xi + ε[f(i, xi) +A(xi)ϕ(i, ui)], x0 = x0, (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ 247
с терминальным критерием
I(u) = Φ(xN ), (25)
где f(i, x), ϕ(i, u) — вектор-функции,A(x) — матрица размерности n×m, ui ∈ U− вектор
управления, U ∈ comp(Rp), i = 0, 1, ..., N, N = E(L/ε), comp(Rn) — пространство всех
непустых компактных подмножеств пространства Rn с метрикой Хаусдорфа
δ(A,B) = min{d ≥ 0|B ⊂ Sd(A), A ⊂ Sd(B)},
Sd(A) — замкнутая d-окрестность компактного множества A ⊂ Rn.
Задаче (24), (25) поставим в соответствие следующую автономную задачу:
zk+1 = zk + εω[f0(zk) +A(zk)vk], z0 = x0, (26)
I0(v) = Φ(yN ), (27)
yi = zk +
(i− kω)(zk+1 − zk)
ω
, kω ≤ i < (k + 1)ω, (28)
где
f0(x) = lim
n→∞
1
n
p+n−1∑
i=p
f(i, x),
vi ∈ V = lim
n→∞
1
n
p+n−1∑
i=p
ϕ(i, U). (29)
Сходимость в (29) понимается в смысле метрики Хаусдорфа.
Решение полученной автономной задачи оптимального управления (26) – (29) требует
значительно меньшего объема вычислений, чем решение исходной задачи (24), (25).
Для обоснования данного алгоритма рассмотрим сначала ω-периодический случай,
т. е. предположим, что существует целое число ω > 0 такое, что f(i, x) = f(i + ω, x),
ϕ(i, u) = ϕ(i+ ω, u). Тогда
f0(x) =
1
ω
ω∑
i=1
f(i, x),
vi ∈ V 0 =
1
ω
ω∑
i=1
ϕ(i, U).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
248 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
Заметим, что в данном случае множество V 0 ∈ comp(Rn) не является выпуклым, но V =
= convV 0.
Установим следующее соответствие между управлениями ui уравнения (24) и управ-
лениями vk уравнения (26):
(k+1)ω−1∑
i=kω
ϕ(i, ui) = ωvk, k ≥ 0. (30)
Теорема 4. Пусть в области Q{i ≥ 0, x ∈ D ⊂ Rn, u ∈ U} выполнены следующие
условия:
1) функции f(i, x), A(x), ϕ(i, u) равномерно ограничены и удовлетворяют условию
Липшица:
||f(i, x)|| ≤ M, ||f(i, x)− f(i, y)|| ≤ λ||x− y||, ||A(x)|| ≤ M,
||A(x)−A(y)|| ≤ λ||x− y||, ||ϕ(i, u)|| ≤ M, ||ϕ(i, u)− ϕ(i, z)|| ≤ λ||u− z||;
2) существует целое число ω > 0 такое, что f(i, x) = f(i+ω, x), ϕ(i, u) = ϕ(i+ω, u);
3) решения {zk, k = 0, 1, . . . } уравнения (26) с начальным условием z0 = x0 ∈ D′ ⊂ D
для любого управления vk определены для k ≥ 0 и вместе с ρ-окрестностью принадле-
жат области D.
Тогда для любого L > 0 существуют такие C > 0 и ε0(L) > 0, что для 0 < ε ≤ ε0,
0 ≤ i ≤ E(Lε−1) справедливы следующие утверждения:
1) для любого управления vk системы (26) существует в соответствии c (30) управ-
ление ui системы (24) такое, что имеет место оценка
||xi − yi|| ≤ Cε, (31)
где yi, xi — решения систем (26), (28) и (24), соответствующие управлениям vk и ui,
x0 = y0 ∈ D
′
;
2) для любого управления ui системы (24) существует в соответствии c (30) управ-
ление vk системы (26) такое, что справедлива оценка (31).
Доказательство. Пусть ui — произвольное допустимое управление системы (24), xi —
соответствующая ему траектория, vk — управление системы (26), построенное согласно
(30) по управлению ui, yi — соответствующая траектория системы (26).
При указанном построении управления vk для систем (24) и (26) выполнены условия
теоремы 1 с построением частично усредненной системы по схеме ступенчатого усредне-
ния (16).
Следовательно, для решений xi и yi выполнена оценка (17), где постоянная C не зави-
сит от управления ui.
Таким образом, справедливо утверждение 2 теоремы. Утверждение 1 доказывается
аналогично.
Замечание 5. Из теоремы 4 следует, что
δ(XN , YN ) ≤ Cε,
где XN и YN — множества достижимости систем соответственно (24) и (26).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ 249
Теорема 5. Пусть в области Q выполнены условия 1, 3 теоремы 4 и равномерно
относительно x ∈ D и p существуют пределы (29).
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что при 0 < ε ≤ ε0
и 0 ≤ i ≤ E(Lε−1) справедливы следующие утверждения:
1) для любого управления vk системы (26) существует такое управление ui системы
(24), что выполняется оценка
||xi − yi|| ≤ η, (32)
где xi, yi — траектории систем (24) и (26), соответствующие управлениям ui, vk;
2) для любого управления ui системы (24) существует такое управление vk системы
(26), что справедлива оценка (32).
Доказательство. Применим к системе (24) схему ступенчатого усреднения (16) с ша-
гом h(ε). Из условия теоремы следует, что выполняется неравенство
δ
V, 1
h
p+h−1∑
i=p
ϕ(i, U)
≤ f(h).
Следовательно, для любого управления ui системы (24) существует такое управление
vk ∈ V системы (26) , что имеет место неравенство∥∥∥∥∥vk − 1
h
p+h−1∑
i=p
ϕ(i, ui)
∥∥∥∥∥ = min
v∈V
∥∥∥∥∥v − 1
h
p+h−1∑
i=p
ϕ(i, ui)
∥∥∥∥∥ ≤ f(h). (33)
Аналогично для любого управления vk ∈ V существует управление ui такое, что
выполняется ∥∥∥∥∥vk − 1
h
p+h−1∑
i=p
ϕ(i, ui)
∥∥∥∥∥ = min
ri∈U
∥∥∥∥∥vk − 1
h
p+h−1∑
i=p
ϕ(i, ri)
∥∥∥∥∥ ≤ f(h). (34)
Повторяя выкладки, аналогичные доказательству теоремы 1, и учитывая соответ-
ствия (33) и (34) между управлениями ui и vk, получаем оценку (32).
Замечание 6. Из теоремы 5 следует, что
δ(XN , YN ) ≤ η,
где XN и YN — множества достижимости систем соответственно (24) и (26).
Теорема 6. Пусть в области Q выполнены условия теоремы 5 и, кроме того,
|Φ(x)− Φ(y)| ≤ µ‖x− y‖.
Тогда оптимальное решение задачи (26), (27) является асимптотически оптималь-
ным решением исходной задачи (24), (25), т. е. для любых η > 0, L > 0 существует
такое ε0(η, L) > 0, что при ε ∈ (0, ε0] справедливы оценки
|J0∗ − J∗| ≤ η, J̃ − J∗ ≤ η, (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
250 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
где {J∗, J0∗}— оптимальные решения исходной и усредненной задач, J̃ — значение кри-
терия исходной задачи при управлении {ũi}, соответствующем оптимальному управ-
лению усредненной задачи.
Доказательство. Пусть {z∗k, v∗k, J0∗} — оптимальное решение задачи (26), (27), а {ũi}
— соответствующее управление системы (24), построенные согласно (33).
Из теоремы 5 следует, что для любых L > 0, η1 > 0 существует такое ε0(η, L) > 0,
что справедлива оценка
‖x̃N − yN‖ ≤ η1,
где x̃i — решение системы (24), соответствующее управлению ũi.
Следовательно,
|J̃ − J0∗| = |Φ(x̃N )− Φ(yN )| ≤ µ‖x̃N − y∗N‖ ≤ µη1. (36)
Из (36) при η1 = η/µ получаем
|J0∗ − J̃ | ≤ η. (37)
Аналогично
|J∗ − J̃0| ≤ η, (38)
где {J∗, x∗i , u∗i }— оптимальное решение задачи (24), (25), а {J̃0, z̃k}— значение критерия
(27) и решение системы (26), соответствующие управлению z̃k , построенному по управ-
лению u∗i согласно (33).
Очевидно, что
J∗ ≤ J̃ , J0∗ ≤ J̃0. (39)
Возможно выполнение одного из неравенств
J∗ > J0∗ или J∗ ≤ J0∗. (40)
Из неравенств (36) – (40) следует оценка (35).
Таким образом, получено обоснование следующего алгоритма численно-асимптоти-
ческого решения задачи (24), (25):
1) с помощью метода усреднения задаче (24), (25) ставим в соответствие задачу (26),
(27);
2) численными методами решаем упрощенную задачу (26), (27).
Из теоремы 5 следует, что полученное решение является асимптотически оптималь-
ным решением исходной задачи.
Для исследования движения управляемых объектов широко используются диффе-
ренциальные включения. В работах [2 – 4] построены алгоритмы численно-асимптоти-
ческого решения задач управления, основанные на методе усреднения дифференциаль-
ных включений.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ 251
Рассмотрим аналогичный подход, использующий усреднение дискретных включений.
Теорема 7. Пусть в области Q определены дискретные включения
xn+1 ∈ xn + εF 1(n, xn), x0 = x0, (41)
yn+1 ∈ yn + εF 2(n, yn), y0 = x0, (42)
и выполнены следующие условия:
1) отображения F i(n, x) являются непустыми компактами при всех допустимых
значениях аргументов, равномерно ограничены, удовлетворяют условию Липшица по
x с постоянной λ, т. е.
|F i(n, x)| ≤ M, δ
(
F i(n, x), F i(n, y)
)
≤ λ‖x− y‖;
2) равномерно относительно p ≥ 0, x ∈ D существует предел
lim
n→∞
δ
1
n
p+n−1∑
i=p
F 1(i, x),
1
n
p+n−1∑
i=p
F 2(i, x)
= 0;
3) для всех x0 ∈ D
′ ⊂ D и ε ∈ (0, σ] решения yi включения (42) при i ≥ 0 вместе с
ρ-окрестностью принадлежат области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 можно указать такое ε0(η, L) ∈ (0, σ], что при
ε ∈ (0, ε0], i ∈ [0, E(Lε−1)] справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения xi включения (41) существует такое решение yi включения
(42), что выполняется неравенство
‖xi − yi‖ ≤ η; (43)
2) для любого решения yi включения (42) существует такое решение xi включения
(41), что выполняется неравенство (43).
Таким образом, справедлива оценка
δ(XN , YN ) ≤ η,
где XN , YN — сечения семейств решений включений соответственно (41) и (42).
Доказательство. Докажем сначала первое утверждение теоремы. Пусть xi —
произвольное решение включения (41). Запишем решения включений (41), (42) в виде
x(k+1)h = xkh + ε
(k+1)h−1∑
n=kh
vn, vn ∈ F 1(n, xn),
y(k+1)h = ykh + ε
(k+1)h−1∑
n=kh
wn, wn ∈ F 2(n, yn).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
252 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
Пусть ‖xkh − ykh‖ = δk, тогда
δk+1 ≤δk + ε
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
vn −
(k+1)h−1∑
n=kh
wn
∥∥∥∥∥ ≤ δk +
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
vn −
(k+1)h−1∑
n=kh
rn
∥∥∥∥∥+
+ ε
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
rn −
(k+1)h−1∑
n=kh
r
′
n
∥∥∥∥∥+ ε
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
r
′
n −
(k+1)h−1∑
n=kh
pn
∥∥∥∥∥+
+ ε
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
pn −
(k+1)h−1∑
n=kh
wn
∥∥∥∥∥, (44)
где
‖vn − rn‖ = min
r∈F 1(n,xkh)
‖vn − r‖,
‖rn − r
′
n‖ = min
r∈F 1(n,ykh)
‖rn − r‖,
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
r
′
n −
(k+1)h−1∑
n=kh
pn
∥∥∥∥∥ = min
zn∈F 2(n,ykh)
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
r
′
n −
(k+1)h−1∑
n=kh
zn
∥∥∥∥∥,
‖pn − wn‖ = min
w∈F 2(n,yn)
‖pn − w‖.
Оценим каждое слагаемое в (44) отдельно:
‖vn − rn‖ ≤ δ(F 1(n, xn), F 1(n, xkh)) ≤ λ‖xn − xkh‖ ≤
≤ λε
n∑
j=kh
‖F 1(j, xj)‖ ≤ λMεh,
‖rn − r
′
n‖ ≤ δ(F 1(n, xkh), F 1(n, ykh)) ≤ λδk,
∥∥∥∥∥
(k+1)h−1∑
n=kh
r
′
n −
(k+1)h−1∑
n=kh
pn
∥∥∥∥∥ ≤ hf(h), (45)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ 253
‖pn − wn‖ ≤ δ(F 2(n, yn), F 2(n, ykh)) ≤ λ‖yn − ykh‖ ≤
≤ λε
n∑
j=kh
‖F 2(j, yj)‖ ≤ λMεh.
Из (44), (45) имеем
δk+1 ≤ (1 + ελh)δk + λMε2h2 + εhf(h) ≤ (eλL − 1)
(
Mεh+
f(h)
λ
)
,
и, следовательно,
‖yi − xi‖ ≤ (eλL + 1)εMh+ (eλL − 1)
f(h)
λ
. (46)
Из (46) и (6) получаем (43). Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.
Замечание 7. Если функция F 2(n, x) не зависит от n, т. е. F 2(n, x) ≡ F (x), то
yn+1 ∈ yn + εF (yn), y0 = x0,
и из теоремы 6 следует схема полного усреднения.
В этом случае аналогично дискретным уравнениям можно рассмотреть включение
zk+1 ∈ zk + εhF (zk), z0 = x0,
yi = zk + (i− kh)(zk+1 − zk)/h, kh ≤ i < (k + 1)h, k + 0, 1, ...,
где h(ε) удовлетворяет условию (6).
Замечание 8. Уравнения управляемого движения (24), (25) можно записать в форме
включений
xi+1 ∈ xi + ε[f(i, xi) +A(xi)ϕ(i, U)], x0 = x0, (47)
zk+1 ∈ zk + εh[f0(zk) +A(zk)V ], z0 = x0. (48)
Если для правых частей включения (47) выполнены условия теоремы 4, то для вклю-
чений (47), (48) выполнены условия теоремы 7 и, следовательно, обоснование предло-
женной схемы асимптотического решения задачи оптимального управления следует из
теоремы 7.
1. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981. — 400 c.
2. Плотников В. А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к зада-
чам оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 1978. — № 8. — C. 1427 – 1433.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
254 В. А. ПЛОТНИКОВ, Л. И. ПЛОТНИКОВА, А. T. ЯРОВОЙ
3. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с.
4. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: Астропринт, 1999. — 356 с.
5. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980. —
384 с.
6. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных
уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с.
Получено 12.01.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2004, т . 7, N◦ 2
|