Периодические решения уравнения Хилла
Встановлено розв’язнiсть перiодичної крайової задачi для рiвняння Хiлла як у класичному, так i в узагальненому сенсi. Перiодичнi розв’язки подано з допомогою узагальненого оператора Грiна....
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177043 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Периодические решения уравнения Хилла / А.А. Покутный // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 111-117. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177043 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1770432021-02-11T01:28:54Z Периодические решения уравнения Хилла Покутный, А.А. Встановлено розв’язнiсть перiодичної крайової задачi для рiвняння Хiлла як у класичному, так i в узагальненому сенсi. Перiодичнi розв’язки подано з допомогою узагальненого оператора Грiна. We prove that a periodic boundary-value problem for the Hill equation is solvable in both the classical and generalized senses. Periodic solutions are expressed in terms of generalized Green’s operator. 2013 Article Периодические решения уравнения Хилла / А.А. Покутный // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 111-117. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177043 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено розв’язнiсть перiодичної крайової задачi для рiвняння Хiлла як у класичному, так i в узагальненому сенсi. Перiодичнi розв’язки подано з допомогою узагальненого оператора Грiна. |
| format |
Article |
| author |
Покутный, А.А. |
| spellingShingle |
Покутный, А.А. Периодические решения уравнения Хилла Нелінійні коливання |
| author_facet |
Покутный, А.А. |
| author_sort |
Покутный, А.А. |
| title |
Периодические решения уравнения Хилла |
| title_short |
Периодические решения уравнения Хилла |
| title_full |
Периодические решения уравнения Хилла |
| title_fullStr |
Периодические решения уравнения Хилла |
| title_full_unstemmed |
Периодические решения уравнения Хилла |
| title_sort |
периодические решения уравнения хилла |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177043 |
| citation_txt |
Периодические решения уравнения Хилла / А.А. Покутный // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — С. 111-117. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pokutnyjaa periodičeskierešeniâuravneniâhilla |
| first_indexed |
2025-07-15T15:00:14Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:00:14Z |
| _version_ |
1837725506038923264 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА
А. А. Покутный
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: lenasas@gmail.com
We prove that a periodic boundary-value problem for the Hill equation is solvable in both the classical and
generalized senses. Periodic solutions are expressed in terms of generalized Green’s operator.
Встановлено розв’язнiсть перiодичної крайової задачi для рiвняння Хiлла як у класичному, так i
в узагальненому сенсi. Перiодичнi розв’язки подано з допомогою узагальненого оператора Грiна.
Линейный случай. Постановка задачи. Рассмотрим в вещественном гильбертовом про-
странстве H уравнение Хилла [1]
ÿ(t) + Ty(t) = 0 (1)
с периодическим условием
y(0) = y(w), ẏ(0) = ẏ(w). (2)
В уравнении (1) T — строго положительный самосопряженный оператор. Пусть T
1
2 ≥ λI
— положительный квадратный корень из оператора T. Поскольку оператор T замкнут,
область определения D(T
1
2 ) оператора T
1
2 является гильбертовым пространством отно-
сительно скалярного произведения (T
1
2u, T
1
2u) [2, 3]. Выполнив замену переменных по
аналогии с заменой типа Ван дер Поля (при r = 0), получим неоднородную операторную
систему дифференциальных уравнений
ẋ1(t) = T
1
2x2(t) + r cos tT
1
2 z,
(3)
ẋ2(t) = −T
1
2x1(t) + r sin tT
1
2 z
с краевым условием
x1(0) = x1(w), x2(0) = x2(w) + rT−
1
2 coswT
1
2 z − rT−
1
2 z. (4)
Здесь ẏ(t) = ẋ1(t), z — произвольный элемент H.
Эволюционным семейством операторов для уравнения (3) при r = 0 будет сильно
непрерывная унитарная группа [3, 4]
U(t) := U(t, 0) =
(
cos tT
1
2 sin tT
1
2
− sin tT
1
2 cos tT
1
2
)
.
c© А. А. Покутный, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1 111
112 А. А. ПОКУТНЫЙ
Как известно [4, 5], она не является сжимающей. Отметим некоторые свойства этой груп-
пы:
Un(t) =
(
cosntT
1
2 sinntT
1
2
− sinntT
1
2 cosntT
1
2
)
= U(nt), ‖Un(t)‖ = 1, n ∈ N.
Введя в рассмотрение новое гильбертово пространствоH
T
1
2
= D(T
1
2 )⊕D(T
1
2 ) c внутрен-
ним произведением (〈u, v〉, 〈u, v〉)H
T
1
2
= (T
1
2u, T
1
2u) + (T
1
2 v, T
1
2 v) и вектор ϕ = (x1, x2)
T ,
задачу (3), (4) на спаренном пространстве H
T
1
2
запишем в виде
ϕ̇(t) = Aϕ(t) + f(t), (5)
ϕ(0) = ϕ(w) + α, (6)
где оператор A имеет вид
A =
(
0 T
1
2
−T
1
2 0
)
=
(
T
1
2 0
0 T
1
2
) (
0 I
−I 0
)
=
(
0 I
−I 0
) (
T
1
2 0
0 T
1
2
)
,
вектор-функция f(t) = (r cos tT
1
2 z, r sin tT
1
2 z)T , α = (0, rT−
1
2 (cos wT
1
2 z − z))T .
Основной результат. Исследуем теперь вопрос о разрешимости краевой задачи (5),
(6). Решение задачи (5) будет иметь вид
ϕ(t) = U(t)c+
t∫
0
U(t)U−1(τ)f(τ) dτ
для произвольного элемента c ∈ H
T
1
2
. Подставляя f(t), окончательно получаем
ϕ(t) = U(t)c+
(
rT−
1
2 sin tT
1
2 z
0
)
. (7)
Подставляя (7) в условие (6), убеждаемся, что задача (5), (6) будет эквивалентна разре-
шимости операторного уравнения
(I − U(w))c = g, (8)
где
g =
(
rT−
1
2 sinwT
1
2 z
rT−
1
2 (coswT
1
2 z − z)
)
.
Изучим теперь операторное уравнение (8). Покажем, что уравнение (8) всегда можно
сделать разрешимым в некотором смысле.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА 113
1. Классические решения. Предположим, что множество значений оператора I−U(w)
замкнуто, т. е. R(I − U(w)) = R(I − U(w)). Операторная система (8) будет разрешима
тогда и только тогда, когда [6]
U0(w)g = 0,
где
U0(w) = lim
n→∞
∑n
k=0 U
k(w)
n
= lim
n→∞
∑n
k=0 U(kw)
n
— ортопроектор, который проектирует пространствоH
T
1
2
на собственное подпространст-
во 1 ∈ σ(U(w)). При выполнении этого условия решения уравнения (8) будут иметь
вид [6]
c = U0(w)c+
∞∑
k=0
(µ− 1)k
{ ∞∑
l=0
µ−l−1(U(w)− U0(w))
l
}k+1
− U0(w)
g.
Подставляя выражение для константы c в (7), находим все периодические решения зада-
чи (5), (6) в виде
ϕ(t) = U(t)U0(w)c+ (G[f, α])(t), (9)
где
(G[f, α])(t) =
∞∑
k=0
(µ− 1)k
{ ∞∑
l=0
µ−l−1(U(w)− U0(w))
l
}k+1
×
×
(
rT−
1
2 sinwT
1
2 z
rT−
1
2 (coswT
1
2 z − z)
)
− U0(w)
(
rT−
1
2 sinwT
1
2 z
rT−
1
2 (coswT
1
2 z − z)
)
+
+
(
rT−
1
2 sin tT
1
2 z
rT−
1
2 (cos wT
1
2 z − z)
)
(10)
— обобщенный оператор Грина задачи (5), (6).
2. Обобщенные решения. Рассмотрим случай, когда R(I − U(w)) 6= R(I − U(w)).
Пусть g ∈ R(I − U(w)). И в этом случае условие равносильно U0(w)g = 0 [6, 7].
Поскольку степени оператора монодромии являются равномерно ограниченными [7,
c. 299], справедливо разложение
H
T
1
2
= N(I − U(w))⊕R(I − U(w)),
и, таким образом, ядроN(I−U(w)) оператора I−U(w) является дополняемым подпрост-
ранством в H
T
1
2
. Профакторизировав пространство H
T
1
2
по ядру N(I − U(w)), получим
оператор
(I − U(w))P
R(I−U(w))
: H
T
1
2
/N(I − U(w)) → R(I − U(w)) ⊂ R(I − U(w)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
114 А. А. ПОКУТНЫЙ
где P
R(I−U(w))
— проектор на подпространство R(I − U(w)) ⊂ H
T
1
2
. Таким образом, по-
лученный оператор будет инъективным. Далее используем процесс пополнения по норме
‖(I − U(w))P
R(I−U(w))
x‖R(I−U(w)) [9, 10, c. 504, 505]. Тогда полученный расширенный опе-
ратор ˜I − U(w) : ˜H
T
1
2
/N(I − U(w)) → R(I − U(w)) будет осуществлять гомеоморфизм
между пространствами ˜H
T
1
2
/N(I − U(w)) и R(I − U(w)). В силу конструкции обобщен-
ного решения [9] уравнение (
˜I − U(w)
)
x = g
будет иметь единственное сильное обобщенное решение, которое обозначим через
c̃ ∈ ˜H
T
1
2
/N(I − U(w)), и пространство H
T
1
2
/N(I − U(w)) будет плотно вложенным в
˜H
T
1
2
/N(I − U(w)). В силу плотности вложения существует последовательность c̃n ∈
∈ H
T
1
2
/N(I − U(w)) классов эквивалентности, которая будет сходиться к c̃ по норме
˜H
T
1
2
/N(I − U(w)). Выбирая по представителю из каждого класса cn ∈ c̃n, убеждаем-
ся, что она сходится к обобщенному решению c̃. Такая последовательность называется
сильным почти решением (подробнее см. [9, c. 26, 29]). Все сильные почти решения опе-
раторного уравнения (8) будут иметь вид {cn + PN(I−U(w))c, n ∈ N} для любого c ∈ H
T
1
2
или, что то же самое, {cn +U0(w)c, n ∈ N}. Тогда сильные периодические почти решения
задачи (5), (6) можно представить в виде последовательности
{ϕn(t) = U(t)U0(w)c+ U(t)cn, n ∈ N}, (11)
которая сходится к U(t)c̃ в ˜H
T
1
2
/N(I − U(w)). Отметим, что если g ∈ R(I − U(w)), то
сильные обобщенные решения будут классическими.
3. Псевдорешения. Рассмотрим теперь случай, когда элемент g /∈ R(I − U(w)) или,
что то же самое, U0(w)g 6= 0. В этом случае ни классических, ни сильных обобщенных
решений нет, но существуют элементы из H̃
T
1
2
, минимизирующие норму невязки ‖(I −
−U(w))c− g‖
H̃
T
1
2
, а именно [8]:
c = (I − U(w))+g + U0(w)c ∀c ∈ H
T
1
2
.
Эти элементы и будем называть псевдорешениями (в случае незамкнутости множества
значений нужно заменить соответствующий оператор на расширенный). Отметим, что
из этого множества элемент (I − U(w))+g имеет наименьшую норму. Тогда множество
всех периодических псевдорешений снова будет иметь вид (9).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема. Краевая задача (5), (6) всегда разрешима.
1. Обобщенные решения краевой задачи (5), (6) существуют тогда и только тогда,
когда
U0(w)
(
rT−
1
2 sinwT
1
2 z
rT−
1
2 (coswT
1
2 z − z)
)
= 0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА 115
если дополнительно вектор (rT−
1
2 sinwT
1
2 z; rT−
1
2 (coswT
1
2 z − z))T ∈ R(I − U(w)), то
решения будут классическими.
При выполнении условия разрешимости решения краевой задачи (5), (6) имеют вид
ϕ(t) = U(t)U0(w)c+ (G[f, α])(t),
где (G[f, α])(t) — расширение операторa (G[f, α])(t).
2. Псевдорешения существуют тогда и только тогда, когда
U0(w)
(
rT−
1
2 sinwT
1
2 z
rT−
1
2 (coswT
1
2 z − z)
)
6= 0.
При выполнении этого условия решения краевой задачи (5), (6) имеют вид
ϕ(t) = U(t)U0(w)c+ (G[f, α])(t).
Примеры. Проиллюстрируем изложенное выше на примерах.
1. Рассмотрим краевую задачу для уравнения колебаний маятника:
ẍ(t) = −
(
2π
ω
)2
x(t), (12)
x(0) = x(ω). (13)
Введя замену x(t) = x1(t), ẋ1(t) =
2π
ω
x2(t) + r cos
2π
ω
t, запишем эту задачу в виде следу-
ющей краевой задачи для системы уравнений:
ẋ1(t) =
2π
ω
x2(t) + r cos
2π
ω
t,
(14)
ẋ2(t) = −
2π
ω
x1(t) + r sin
2π
ω
t,
x1(0) = x1(ω). (15)
Фундаментальная матрица решений однородной системы для (14), нормированная в нуле,
имеет вид
X(t) =
cos
2π
ω
t sin
2π
ω
t
− sin
2π
ω
t cos 2π
ω t
.
Введем вспомогательные векторы
z(t) = (x1(t), x2(t))
T , f(t) =
(
r cos
2π
ω
t, r sin
2π
ω
t
)T
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
116 А. А. ПОКУТНЫЙ
Краевая задача (14), (15) является нерегулярной [8] в том смысле, что имеет множество
периодических решений (в отличие от регулярного случая). Тогда согласно теории, по-
строенной в [8], множество всех ω-периодических решений задачи (14), (15) будет иметь
вид
z(t, c) = X(t)c+ (G[f ])(t)
для произвольной вектор-константы c = (c1, c2)
T ∈ R2. Здесь (G[·])(t) — обобщенный
оператор Грина периодической задачи (14), (15), который можно найти, например, сле-
дующим образом:
(G[f ])(t) = X(t)
t∫
0
X−1(τ)f(τ) dτ.
В рассматриваемом случае преобразование X(t) является ортогональным и сохраняю-
щим площади [5], поэтому X−1(t) = XT (t). Простым подсчетом можно убедиться, что
(G[f ])(t) =
(
rω
2π
sin
2π
ω
t, 0
)T
. Таким образом, множество всех ω-периодических решений
краевой задачи (14), (15) имеет вид
(
x1(t, c, r)
x2(t, c, r)
)
=
cos
2π
ω
t sin
2π
ω
t
− sin
2π
ω
t cos
2π
ω
t
(
c1
c2
)
+
rω
2π
sin
2π
ω
t
0
(16)
для любых c1, c2, r ∈ R.
2. Рассмотрим краевую задачу (14), (15) с дополнительными краевыми условиями (пе-
реопределенную)
x2(0) = x2
(ω
4
)
= 0, (17)
ω
2∫
0
x1(t) dt = α 6= 0. (18)
Покажем, что эта задача имеет решение для произвольного числа α ∈ R. Подставляя
вторую компоненту решения (16) в условия (17), получаем
x2(0) = c2 = 0, x2
(ω
4
)
= −c1 = 0.
После подстановки первой компоненты получим x1(t, c, r) =
rω
2π
sin
2π
ω
t. Учитывая усло-
вие (18), имеем
ω
2∫
0
x1(t, c, r) dt =
rω
2π
ω
2∫
0
sin
2π
ω
t dt =
rω2
2π2
= α.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА 117
Отсюда находим r =
2π2α
ω2
. Таким образом, решение краевой задачи (14) – (18) имеет вид
(x1(t), x2(t))
T =
(
πα
ω
sin
2π
ω
t, 0
)T
.
Замечание 1. Без введения дополнительного параметра r такая задача не имела бы
решения.
3. Рассмотрим теперь краевую задачу (14) – (17), на решениях которой необходимо
минимизировать критерий качества
1∫
0
x1(t, c, r) dr → inf
t∈R
. (19)
Согласно примеру 1 c1 = c2 = 0. Тогда интеграл в (19) будет равен
1∫
0
x1(t, c, r) dr =
ω
2π
sin
2π
ω
t
1∫
0
r dr =
ω
4π
sin
2π
ω
t.
Нетрудно увидеть, что задача (19) разрешима и наименьшее значение равно − ω
4π
(дости-
гается на точках вида tk = (3/4 + k)ω, k ∈ Z).
Замечание 2. Аналогичным образом в уравнение колебаний маятника можно ввести
любое количество дополнительных параметров.
Основная роль параметра r будет показана при изучении слабо нелинейного случая.
Отметим, что линейные волновые уравнения могут быть приведены к виду (1) (см., на-
пример, [4, c. 321]).
1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.
2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — M.: Наука, 1967. —
464 с.
3. Функциональный анализ. СМБ / Под ред. С. Г. Крейна. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: В 4 т. — М.: Мир, 1978. — Т.2. Гар-
монический анализ. Самосопряженность. — 395 с.
5. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 240 с.
6. Biletskyi B. A., Boichuk A. A., Pokutnyi A. A. Periodic problems of difference equations and ergodic theory //
Abstrs and Appl. Anal. — 2011. — Article ID 928587. — 12 p. /http://www.hindawi.com/journals/aaa/2011/928587
7. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
8. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
9. Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обоб-
щенные решения операторных уравнений. — М.: Диалектика, 2009. — 185 с.
10. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. — Киев: Вища шк., 1990. — 600 с.
Получено 21.05.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 1
|