Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами
Исследовано существование решения и приведено обоснование метода усреднения по быстрым переменным для многочастотных систем дифференциальных уравнений с линейно преобразованными аргументами и интегральными краевыми условиями. Коэффициенты в интегральных краевых условиях зависят как от медленного вр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177109 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами / I.В. Березовська // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 147-156. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177109 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771092021-02-11T01:28:26Z Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами Березовська, I.В. Исследовано существование решения и приведено обоснование метода усреднения по быстрым переменным для многочастотных систем дифференциальных уравнений с линейно преобразованными аргументами и интегральными краевыми условиями. Коэффициенты в интегральных краевых условиях зависят как от медленного времени и медленных переменных, так и от быстрых переменных. We study existence of a solution and give a substantiation of the procedure of averaging with respect to fast variables in a multifrequency differential system with linearly transformed arguments and integral boundary-value conditions. The coefficients in the integral boundary-value conditions depend on slow time and both slow and fast variables. 2013 Article Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами / I.В. Березовська // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 147-156. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177109 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследовано существование решения и приведено обоснование метода усреднения по быстрым
переменным для многочастотных систем дифференциальных уравнений с линейно преобразованными аргументами и интегральными краевыми условиями. Коэффициенты в интегральных краевых условиях зависят как от медленного времени и медленных переменных, так и от
быстрых переменных. |
| format |
Article |
| author |
Березовська, I.В. |
| spellingShingle |
Березовська, I.В. Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Березовська, I.В. |
| author_sort |
Березовська, I.В. |
| title |
Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами |
| title_short |
Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами |
| title_full |
Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами |
| title_fullStr |
Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами |
| title_full_unstemmed |
Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами |
| title_sort |
усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177109 |
| citation_txt |
Усереднення в багаточастотних крайових задачах iз лiнiйно перетвореними аргументами / I.В. Березовська // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 2. — С. 147-156. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT berezovsʹkaiv userednennâvbagatočastotnihkrajovihzadačahizlinijnoperetvorenimiargumentami |
| first_indexed |
2025-07-15T15:04:26Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:04:26Z |
| _version_ |
1837725769741107200 |
| fulltext |
УДК 517.9
УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ
IЗ ЛIНIЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМИ АРГУМЕНТАМИ
I. В. Березовська
Чернiв. нац. ун-т
Україна, 58012, Чернiвцi, вул. М. Коцюбинського, 2
We study existence of a solution and give a substantiation of the procedure of averaging with respect to
fast variables in a multifrequency differential system with linearly transformed arguments and integral
boundary-value conditions. The coefficients in the integral boundary-value conditions depend on slow
time and both slow and fast variables.
Исследовано существование решения и приведено обоснование метода усреднения по быстрым
переменным для многочастотных систем дифференциальных уравнений с линейно преобра-
зованными аргументами и интегральными краевыми условиями. Коэффициенты в интеграль-
ных краевых условиях зависят как от медленного времени и медленных переменных, так и от
быстрых переменных.
1. Постановка задачi. Багаточастотнi системи диференцiальних рiвнянь за допомогою
методу усереднення дослiджувались у багатьох працях (див., наприклад, [1 – 3]).
У статтi [4] вперше розглянуто багаточастотну систему з iнтегральними крайовими
умовами й усереднення за швидкими змiнними проведено як у системi, так i в крайових
умовах. При цьому одержано ефективну оцiнку вiдхилення для повiльних змiнних. Подiб-
нi постановки задач для систем диференцiальних рiвнянь iз запiзненням у резонансному
випадку розглядались, зокрема, у працях [5 – 7]. У монографiї [3] та у працях [5 – 7] роз-
глядалися випадки, коли коефiцiєнти бiля швидких змiнних у крайових умовах залежать
тiльки вiд повiльного часу i повiльних змiнних. У данiй статтi розглядається бiльш за-
гальний випадок iз урахуванням вектора лiнiйно перетворених аргументiв. Для систем
без запiзнення таку задачу розв’язано в роботi [8].
Нехай λi i θj — числа з пiвiнтервалу (0, 1], 0 < λ1 < . . . < λr1 ≤ 1, 0 < θ1 < . . .
. . . < θr2 ≤ 1, aλi(τ) = a(λiτ), ϕθj (τ) = ϕ(θjτ), aΛ = (aλ1 , . . . , aλr1 ), ϕΘ = (ϕθ1 , . . . , ϕθr2 ).
Розглянемо m-частотну систему диференцiальних рiвнянь iз лiнiйно перетвореними
аргументами
da
dτ
= X(τ, aΛ, ϕΘ), (1)
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ Y (τ, aΛ, ϕΘ), (2)
де a ∈ D, D — обмежена область в Rn, ϕ ∈ Rm, τ ∈ [0, L], X i Y — 2π-перiодичнi
за швидкими змiнними вектор-функцiї. Системи рiвнянь у випадку, коли r1 = r2 = 2,
λ1 < λ2 = 1 i θ1 < θ2 = 1, розглянуто у роботах [6, 9].
c© I. В. Березовська, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2 147
148 I. В. БЕРЕЗОВСЬКА
Задамо для системи (1), (2) iнтегральнi крайовi умови
L∫
0
f(τ, aΛ, ϕΘ) dτ = d1, (3)
L∫
0
r2∑
j=1
hj(τ, aΛ, ϕΘ)ϕθj + g(τ, aΛ, ϕΘ)
dτ = d2. (4)
Тут X, Y, f, g i h1, . . . , hr2 — 2π-перiодичнi за швидкими змiнними вектор-функцiї, d1 i
d2 — n- i m-вимiрнi вектори, a = a(τ, y, ψ, ε), ϕ = ϕ(τ, y, ψ, ε) — розв’язки рiвнянь (1) i (2)
вiдповiдно, a(0, y, ψ, ε) = y, ϕ(0, y, ψ, ε) = ψ.
2. Усереднена задача. Усереднимо вектор-функцiїX, Y, f, g i hj , j = 1, . . . , r2, за швид-
кими змiнними. Нехай F := [X,Y, f, h1, . . . , hr2 , g], середнє значення набирає вигляду
F0(τ, aΛ) =
1
(2π)mr2
2π∫
0
F (τ, aΛ, ϕΘ) dϕΘ.
Усереднену систему рiвнянь запишемо у виглядi
da
dτ
= X0(τ, aΛ), (5)
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ Y0(τ, aΛ). (6)
Ця система хоч i мiстить запiзнення при τ > 0, але правi частини не залежать вiд швидких
змiнних i знаходження компоненти розв’язку ϕ(τ) зводиться до iнтегрування, якщо ϕ(0) i
a(τ) є вiдомими.
Для розв’язку усередненої системи рiвнянь (5), (6) задаються крайовi умови, одержанi
усередненням вектор-функцiй f , h1, . . . , hr2 i g за швидкими змiнними, якi мають вигляд
L∫
0
f0(τ, aΛ) dτ = d1, (7)
L∫
0
r2∑
j=1
h0j(τ, aΛ)ϕθj + g0(τ, aΛ)
dτ = d2. (8)
3. Умови i допомiжнi результати. Умовою резонансу частот у системi (1), (2) в точцi τ
є виконання рiвностi [10, 11]
γl(τ) :=
r2∑
j=1
θj(l
(j), ω(θjτ)) = 0, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ . . . 149
де l = col (l(1), . . . , l(r2)), l(j) ∈ Zm, ‖l‖ :=
∑r2
j=1 ‖l(j)‖, ‖l‖ 6= 0.
Припустимо, що виконуються наступнi умови:
10) вектор-функцiя F належить C1
τ,aΛ
(G, σ1), де G = [0, L] × Dr1 × Rmr2 , сталою σ1
обмежено норми вектор-функцiї F та її похiдних по τ i aΛ;
20) F належить Cq1ϕΘ(G, σ1),
∂F
∂aΛ
∈ Cq2ϕΘ
(G, σ1),
∂2F
∂τ∂aΛ
∈ Cq3(G, σ1),
∂2F
∂aΛ∂a
(i)
ν
∈
∈ Cq3(G, σ1), i = 1, . . . , r1, ν = 1, . . . , n, min(q1 − 2, q2 − 1, q3) ≥ mr2;
30) коефiцiєнти Фур’є вектор-функцiї F (τ, aΛ, ϕΘ) задовольняють нерiвнiсть
∑
‖l‖6=0
[
sup
G1
‖Fl‖+
1
‖l‖θ
(
sup
G1
∥∥∥∥∂Fl∂τ
∥∥∥∥+ sup
G1
∥∥∥∥ ∂Fl∂aΛ
∥∥∥∥)] ≤ σ2, (10)
де G1 = [0, L]×Dr1 , ‖l‖θ =
∑r2
j=1 θj‖l(j)‖;
40) умови „незастрягання"системи на резонансi є такими:
ων ∈ Cp−1[0, L], p ≥ mr2,
(11)
‖(W T
p (τ)Wp(τ))−1Wp(τ)‖ ≤ σ2, τ ∈ [0, L],
деWp(τ) — (p×mr2)-матриця, ((ν−1)m+k)-й стовпець якої утворено елементами
dωkν (ξj)
dτk
,
ξj(τ) = θjτ, k = 0, . . . , p − 1, ν = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , r2. Якщо p = mr2, то detWp(τ) —
визначник Вронського за системою функцiй {ω(θ1τ), . . . , ω(θr2τ)};
50) iснує єдиний розв’язок a = a(τ, y) крайової задачi (5), (7), a(0, y) = y, який лежить
в D разом iз деяким ρ-околом.
Як показано в [10], при виконаннi умови 10 та перших двох умов iз пп. 20 i 30 для
досить малого ε1 ∈ (0, ε0] на промiжку [0, L] iснує єдиний розв’язок системи рiвнянь (1),
(2) з тими ж початковими умовами (y, ψ),що i для розв’язку усередненої системи, для всiх
τ ∈ [0, L] i ε ∈ (0, ε1] виконується оцiнка
‖a(τ, y, ψ, ε)− a(τ, y)‖+ ‖ϕ(τ, y, ψ, ε)− ϕ(τ, y, ψ, ε)‖ ≤ c1ε
α, (12)
де α = p−1, c1 > 0 i не залежить вiд ε.
Якщо ж виконуються i двi останнi умови з п. 20, то така ж оцiнка є правильною i для
похiдних вiдхилення розв’язкiв за початковими умовами y i ψ. Вважатимемо, що для цiєї
оцiнки коефiцiєнт також дорiвнює c1.
4. Iснування розв’язку крайової задачi та обґрунтування методу усереднення. Якщо
розв’язок крайової задачi (5), (7) знайдено, то розв’язання задачi (6), (8) зводиться до
знаходження початкового значення ψ(ε) та iнтегрування. Введемо позначення
Q1 =
L∫
0
r2∑
j=1
h0j(τ, aΛ(τ, y)) dτ.
Як i у [8, с. 25], доводиться наступна лема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
150 I. В. БЕРЕЗОВСЬКА
Лема. Нехай виконуються умови 10, 50 i матриця Q1 є невиродженою. Тодi iснує єди-
ний розв’язок крайової задачi (6), (8), до того ж
‖ψ(ε)‖ ≤ ‖Q−1
1 ‖
‖d2‖+ 4L2σ2
1ε
−1
r2∑
j=1
θj
. (13)
Теорема 1. Нехай:
1) виконуються умови 10 – 50;
2) матрицi Q1 i
Q2 =
L∫
0
∂f0(τ, aΛ(τ, y))
∂aΛ
∂aΛ(τ, y)
∂y
dτ
є невиродженими.
Тодi для кожного ε ∈ (0, ε3], 0 < ε3 ≤ ε1, iснують розв’язок {a(τ, y, ψ, ε), ϕ(τ, y, ψ, ε)}
задачi (1) – (4) i функцiя ξ(ε) : (0, ε3] → Rm такi, що виконуються нерiвностi
‖a(τ, y, ψ, ε)− a(τ, y)‖+ ‖ϕ(τ, y, ψ, ε)− ϕ(τ, y, ψ, ε)− ξ(ε)‖ ≤ c2ε
α,
‖ξ(ε)‖ ≤ c3ε
α−1
при (τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε3] зi сталими c2, c3, якi не залежать вiд ε, α = p−1.
Доведення. Оцiнку вiдхилення повiльних змiнних одержують згiдно зi схемою дове-
дення з роботи [10] з нерiвностi
‖a(τ, y + µ, ψ, ε)− a(τ, y)‖ ≤ ‖a(τ, y + µ, ψ, ε)− a(τ, y + µ)‖+ ‖a(τ, y + µ)− a(τ, y)‖, (14)
де µ ∈ Rn знаходиться з умови, що вектор-функцiя a(τ, y + µ, ϕ, ε) задовольняє крайову
умову (3). Якщо виконуються умови 10 – 50, то iснує єдине значення µ, до того ж ‖µ‖ ≤
≤ c4ε
α, якщо ε ≤ ε2 ≤ ε1. Тодi з нерiвностi (14) й оцiнки для µ маємо ‖a(τ, y + µ, ψ, ε) −
−a(τ, y)‖ ≤ c5ε
α, i ця оцiнка є правильною для всiх τ ∈ [0, L], ε ∈ (0, ε2] i ϕ ∈ Rm.
Розглянемо тепер питання про оцiнку вiдхилення швидких змiнних ϕ(τ, y, ψ, ε) та
ϕ (τ, y, ψ, ε). Нехай ψ(ε) = ψ(ε) + ξ(ε). Введемо позначення M = (τ, y + µ, ψ + ξ), M̃ =
= (τ, y+µ) iM = (τ, y) — точки в Rn+m+1 i Rn+1 вiдповiдно, h̃(τ, a, ϕ) = h(τ, a, ϕ)−h0(τ, a).
Пiдставивши ϕ(τ, y, ψ, ε) у крайовi умови (4) i вiднявши вiд одержаної рiвностi (8), мати-
мемо
ξ = Φ(ξ, µ, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ . . . 151
де
Φ(ξ, µ, ε) = −Q−1
1
{
r2∑
j=1
L∫
0
hj(τ, aΛ(M), ϕΘ(M))(ϕθj (M)− ϕθj (M)) dτ+
+
r2∑
j=1
L∫
0
(
hj(τ, aΛ(M), ϕΘ(M))− hj(τ, aΛ(M̃), ϕΘ(M))
)
ϕθj (M) dτ+
+
r2∑
j=1
L∫
0
h̃j
(
τ, aΛ(M̃), ϕΘ(M)
)
ϕθj (M) dτ+
+
r2∑
j=1
L∫
0
hj0(τ, aΛ(M))(ϕθj (τ, y + µ, 0, ε)− ϕ(τ, y, 0, ε)) dτ+
+
r2∑
j=1
L∫
0
(
hj0(τ, aΛ(M̃))
)
− hj0(τ, aΛ(M)))ϕθj (M) dτ+
+
L∫
0
(
g(τ, aΛ(M), ϕΘ(M))− g0(τ, aΛ(M))
)
dτ
}
.
Через Iν , ν = 1, . . . , 6, позначимо вiдповiднi доданки виразу у фiгурних дужках. Нехай
S = {ξ : ‖ξ‖ ≤ c3ε
α−1}— куля в Rm. Покажемо, що Φ : S → S для всiх ε ∈ (0, ε3], c3 i ε3
будуть вказанi нижче.
З умови 10 на пiдставi оцiнки (12) одержимо
‖I1‖ ≤ Lr2σ1c1ε
α. (15)
Врахувавши оцiнку (13), отримаємо
‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε)‖ ≤ ‖ξ‖+ c6 + c7ε
−1,
де c6 = ‖Q−1
1 ‖‖d2‖, c7 = 2Lσ1
(
2‖Q−1
1 ‖Lσ1
∑r2
j=1 θj + 1
)
. Тодi
‖I2‖ ≤ 2r2σ1c1Lε
α(‖ξ‖+ c6 + c7ε
−1). (16)
Для оцiнки iнтеграла I3 застосуємо оцiнку осциляцiйного iнтеграла [5]∥∥∥∥∥∥
L∫
0
bl(τ, ε)e
i
ε
τ∫
0
γl(z)dz
ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ σ3ε
α
(
sup
G2
‖bl(τ, ε)‖+
1
‖l‖θ
sup
G2
∥∥∥∥dbl(τ, ε)dτ
∥∥∥∥) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
152 I. В. БЕРЕЗОВСЬКА
де G2 = [0, L]× (0, ε0], σ3 > 0 i не залежить вiд l, τ i ε,
bl(τ, ε) =
r2∑
j=1
hjl(τ, aΛ(M̃))ϕθj (M) exp
i r2∑
j=1
(l(j), ϕθj )−
i
ε
τ∫
0
γl(z) dz
.
В результатi отримаємо
‖I3‖ ≤ σ3ε
α
(
(1 + σ1)‖ξ‖+ (1 + σ1)c6 + ((1 + σ1)c7 + 2σ1)ε−1
)
×
×
r2∑
j=1
∑
l 6=0
[
sup
G2
‖hjl‖+
1
‖l‖θ
(
sup
G2
∥∥∥∥∂hjl∂τ
∥∥∥∥+ sup
G2
∥∥∥∥∂hjl∂aΛ
∥∥∥∥)] .
Використовуючи оцiнку (10), маємо
‖I3‖ ≤ r2σ2σ3ε
α
(
(1 + σ1)‖ξ‖+ (1 + σ1)c6 + ((1 + σ1)c7 + 2σ1)ε−1
)
. (17)
Оскiльки µ вибрано так, що ‖µ‖ ≤ c4ε
α, то
‖I4‖ ≤ r2Lσ1c8ε
α, (18)
де
c8 = Lσ1c4 sup
G3
∥∥∥∥∂aΛ
∂y
∥∥∥∥ , G3 = [0, L]×D1, y ∈ D1 ⊂ D.
Аналогiчно
‖I5‖ ≤ r2c8ε
α(‖ξ‖+ c6 + c7ε
−1). (19)
Насамкiнець
I6 =
L∫
0
(
g(τ, aΛ(M), ϕΘ(M))− g(τ, aΛ(M̃), ϕΘ(M))
)
dτ+
+
L∫
0
(
g0(τ, aΛ(M̃))− g0(τ, aΛ(M̃))
)
dτ +
L∫
0
g̃(τ, aΛ(M̃), ϕΘ(M)) dτ,
тому
‖I6‖ ≤ (2σ1c1L+ c8 + σ2σ3(1 + σ1))εα. (20)
На пiдставi оцiнок (15) – (20) одержуємо
‖Φ(ξ, µ, ε)‖ ≤ c9ε
α + c10ε
α‖ξ‖+ c11ε
α−1 ≤ c10ε
α‖ξ‖+ 2c11ε
α−1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ . . . 153
де
c9 = ‖Q−1
1 ‖(σ1c1Lr2(3 + 2c6) + c8(σ1Lr2 + c6r2 + 1) + σ2σ3(1 + σ1)(1 + c6r2)),
c10 = ‖Q−1
1 ‖r2(2σ1c1L+ σ2σ3(1 + σ1) + c8),
c11 = ‖Q−1
1 ‖r2(2σ1c1c7L+ σ2σ3((1 + σ1)c7 + 2σ1) + c7c8).
Нехай c3 = 4c11, ε3 = min(ε2, (2c10)−1/α). Тодi
‖Φ(ξ, µ, ε)‖ ≤ 4c11ε
α−1 = c3ε
α−1
для всiх ‖ξ‖ ≤ c3ε
α−1 i ε ∈ (0, ε3], тобто для довiльного ε ∈ (0, ε3] Φ : S → S, де S — куля
радiуса c3ε
α−1. Оскiльки вiдображення Φ є неперервним по ξ, то за теоремою Брауера
[12] iснує початкове значення ψ = ψ + ξ. Тодi iснує розв’язок {a(τ, y, ψ, ε), ϕ(τ, y, ψ, ε)}
системи (1), (2), який задовольняє крайовi умови (3), (4).
Далi маємо
‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε)− ϕ(τ, y, ψ, ε)− ξ(ε)‖ ≤ ‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε)− ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε)‖+
+ ‖ϕ(τ, y + µ, ψ + ξ, ε)− ϕ(τ, y, ψ, ε)− ξ(ε)‖ ≤ (c1 + c8)εα.
Оцiнку з теореми одержуємо при c2 := c1 + c5 + c8.
Приклад. Розглянемо крайову задачу
da
dτ
= cos(ϕ1 − 8ϕ1,θ − ϕ2 + 8ϕ2,θ), τ ∈ [0, 1], θ =
1
2
,
dϕ1
dτ
=
1 + τ + 12τ2 + 8τ3
ε
+ cos(ϕ1 − 8ϕ1,θ − ϕ2 + 8ϕ2,θ),
dϕ2
dτ
=
1 + τ
ε
+ cos(ϕ1 − 8ϕ1,θ − ϕ2 + 8ϕ2,θ), (21)
1∫
0
(a+ k0 cos(ϕ1 − 8ϕ1,θ − ϕ2 + 8ϕ2,θ))dτ = d0,
1∫
0
ϕ1dτ = d1,
1∫
0
(1 + k1 cos(ϕ1 − 8ϕ1,θ − ϕ2 + 8ϕ2,θ))(−ϕ1 + 16ϕ1,θ + ϕ2 − 16ϕ2,θ) dτ = d2, (22)
де ki i dj — деякi ненульовi сталi, i = 0, 1, j = 0, 1, 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
154 I. В. БЕРЕЗОВСЬКА
Вiдповiдна (21), (22) усереднена задача має вигляд
da
dτ
= 0,
1∫
0
a dτ = d0,
dϕ1
dτ
=
1 + τ + 12τ2 + 8τ3
ε
,
1∫
0
ϕ1 dτ = d1,
(23)
dϕ2
dτ
=
1 + τ
ε
,
1∫
0
(−ϕ1 + 16ϕ1,θ + ϕ2 − 16ϕ2,θ) dτ = d2.
Оскiльки γ(τ) = 4τ3, то в системi (21) є резонанс при τ = 0, γ(0) = 0. За системою
функцiй {ω1(τ), ω1(τ/2), ω2(τ), ω2(τ/2)} визначник Вронського detW4(τ) = −72 6= 0, то-
му умова 40 виконується.
Знайдемо вiдхилення повiльної змiнної при τ = 1 :
a(1, ε)− a(1) = (1− k0)
1∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
ds−
1∫
0
1∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
ds dτ.
На пiдставi оцiнок iнтеграла Френеля [13] маємо |a(1, ε) − a(1)| ≤ |2 + k0|c̃ 4
√
ε, де c̃ =
= Γ(5/4).
Позначимо ξ1(ε) = ϕ0
1 − ϕ0
1. З крайових умов (22) та (23) знаходимо
ϕ0
1 = d1 −
31
15ε
−
1∫
0
τ∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
ds dτ, ϕ0
1 = d1 −
31
15ε
.
Тодi
ξ1(ε) =
1∫
0
τ∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
ds dτ, |ξ1(ε)| ≤ c̃ 4
√
ε.
Враховуючи цю оцiнку, одержуємо
|ϕ1(τ, ε)− ϕ1(τ, ε)| =
∣∣∣∣∣∣
τ∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
ds+ ξ1(ε)
∣∣∣∣∣∣ ≤ 2c̃ 4
√
ε.
Позначимо
ξ2(ε) = ϕ0
2 − ϕ0
2, c1(ε) =
1∫
0
cos
(
τ4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
dτ,
c2(ε) =
1∫
0
τ∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
УСЕРЕДНЕННЯ В БАГАТОЧАСТОТНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ . . . 155
c3(ε) = 2 sin
1
2ε
cos
(
1
2ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
.
З крайових умов (22) та (23) знаходимо
ϕ0
2 =
1 + εc3(ε)− d2ε
15ε(1 + k1c1(ε))
+ d1 −
31
15ε
− c2(ε), ϕ0
2 = d1 −
d2
15
− 2
ε
.
Тодi
ξ2(ε) =
1 + εc3(ε)− d2ε
15ε(1 + k1c1(ε))
+
d2ε− 1− 15εc2(ε)
15ε
.
Виберемо ε1 =
(
15
14
k1c̃
)−4
. Тодi для всiх ε ≤ ε1 буде виконуватись оцiнка
|ξ2(ε)| ≤
(
2
4
√
ε3 + (15 + |d2k1|)c̃ε+ 15|k1|ε 4
√
ε+ |k1|c̃
) 1
4
√
ε3
.
Нехай
ε ≤ ε2 = min
(
ε1,
(
|k1|c̃
2
)4/3
,
|k1|
15 + |d2k1|
,
(
c̃
15
)4/5
)
, c = 4|k1|c̃,
тодi
|ξ2(ε)| ≤ c
4
√
ε3
.
Враховуючи цю оцiнку, одержуємо
|ϕ2(τ, ε)− ϕ2(τ, ε)| =
∣∣∣∣∣∣
τ∫
0
cos
(
s4
ε
− 7(ϕ0
1 + ϕ0
2)
)
ds+ ξ2(ε)
∣∣∣∣∣∣ ≤ (c̃ε+ c)
1
4
√
ε3
.
Якщо ε ≤ ε3 = min(ε2, c/c̃), c = 2c, то |ϕ2(τ, ε)− ϕ2(τ, ε)| ≤ c
4
√
ε3
.
Отже, для всiх τ ∈ [0, 1] i ε ∈ (0, ε3) для вiдхилення повiльної змiнної a i швидких
змiнних ϕ1 i ϕ2 маємо оцiнку, асимптотика якої узгоджується з висновком теореми.
1. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 431 с.
2. Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости. — М.: Наука, 1986. — 192 с.
3. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. — Київ: Наук.
думка, 2004. — 474 с.
4. Петришин Р. I., Петришин Я. Р. Усереднення крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь з
повiльними та швидкими змiнними // Нелiнiйнi коливання. — 1998. — 1, № 1. — С. 51 – 65.
5. Бiгун Я. Й. Усереднення коливних систем iз запiзненням та iнтегральними крайовими умовами // Укр.
мат. журн. — 2004. — 56, № 2. — С. 257 – 263.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
156 I. В. БЕРЕЗОВСЬКА
6. Бiгун Я. Й. Усереднення в багаточастотних системах iз лiнiйно перетвореним аргументом та iнте-
гральними крайовими умовами // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Математика. — 2005. — Вип. 269. —
С. 5 – 10.
7. Данилюк I. М. Крайова задача з параметрами для нелiнiйної коливної системи iз загаюваннями // На-
ук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Математика. — 2009. — Вип. 454. — С. 19 – 27.
8. Березовська I. В., Бiгун Я. Й. Дослiдження однiєї багаточастотної системи рiвнянь з iнтегральними
крайовими умовами методом усереднення // Наук. вiсн. Чернiв. нац. ун-ту. Математика. — 2011. — 1,
№ 4. — С. 24 – 28.
9. Бiгун Я. Й. Iснування розв’язку та усереднення нелiнiйних багаточастотних задач iз запiзненням // Укр.
мат. журн. — 2007. — 59, № 4. — С. 435 – 446.
10. Бiгун Я. Про усереднення початкової i крайової задачi з лiнiйно перетвореним аргументом // Мат. вiсн.
НТШ. — 2008. — 5. — С. 23 – 35.
11. Бигун Я. И., Самойленко А. М. Обоснование принципа усреднения для многочастотных систем диф-
ференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, № 1. — С. 8 – 14.
12. Петровский И. Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970. — 279 с.
13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — M.: Наука, 1974. — Т. 2. — 295 с.
Одержано 26.04.12,
пiсля доопрацювання — 18.02.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 2
|