Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения
Розглядається крайова задача для системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку з рiзними степенями малого параметра при другiй похiднiй у першому i другому рiвняннях. Особливiсть системи полягає в тому, що одне iз двох рiвнянь виродженої системи має двократний корiнь. Це обумовлює...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177177 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения / В.Ф. Бутузов // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 6-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177177 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771772021-02-12T01:25:46Z Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения Бутузов, В.Ф. Розглядається крайова задача для системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку з рiзними степенями малого параметра при другiй похiднiй у першому i другому рiвняннях. Особливiсть системи полягає в тому, що одне iз двох рiвнянь виродженої системи має двократний корiнь. Це обумовлює якiснi вiдмiнностi асимптотики розв’язку примежового шару розглядуваної задачi вiд вiдомої асимптотики у випадку, коли коренi рiвнянь виродженої системи є простими (однократними): змiнюється структура рядiв примежового шару, примежовi шари є багатозонними, а стандартний алгоритм побудови примежових функцiй стає непридатним i потребує суттєвої модифiкацiї. We consider a boundary-value problem for a system of two second order ordinary differential equations having, in both equations, different powers of a small parameter as coefficients of the second order derivatives. A feature of the system is that one of the eqution has a root of multiplicity two. This leads to a qualitative difference in asymptotics of the boundary-layer solution of the system under consideration as opposed to the known asymptotics in the case where the roots of the equations of the degenerate system are simple. There is a change in the structure of the boundary-layer series, the boundary-layers become multizone, the standard algorithm for constructing boundary-layer functions becomes fails and needs an essential modification. 2018 Article Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения / В.Ф. Бутузов // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 6-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177177 517.228.4 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається крайова задача для системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь другого
порядку з рiзними степенями малого параметра при другiй похiднiй у першому i другому рiвняннях.
Особливiсть системи полягає в тому, що одне iз двох рiвнянь виродженої системи має двократний корiнь. Це обумовлює якiснi вiдмiнностi асимптотики розв’язку примежового шару розглядуваної задачi вiд вiдомої асимптотики у випадку, коли коренi рiвнянь виродженої
системи є простими (однократними): змiнюється структура рядiв примежового шару, примежовi шари є багатозонними, а стандартний алгоритм побудови примежових функцiй стає
непридатним i потребує суттєвої модифiкацiї. |
| format |
Article |
| author |
Бутузов, В.Ф. |
| spellingShingle |
Бутузов, В.Ф. Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бутузов, В.Ф. |
| author_sort |
Бутузов, В.Ф. |
| title |
Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения |
| title_short |
Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения |
| title_full |
Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения |
| title_fullStr |
Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения |
| title_full_unstemmed |
Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения |
| title_sort |
об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177177 |
| citation_txt |
Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения / В.Ф. Бутузов // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 6-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT butuzovvf obodnojsingulârnovozmuŝennojsistemeobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijskratnymkornemvyroždennogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:12:35Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:12:35Z |
| _version_ |
1837726282668834816 |
| fulltext |
УДК 517.228.4
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С КРАТНЫМ КОРНЕМ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ
В. Ф. Бутузов
МГУ им. М. В. Ломоносова
Ленинские горы, 1, стр. 2, Москва, 119991, Россия
We consider a boundary-value problem for a system of two second order ordinary differential equations
having, in both equations, different powers of a small parameter as coefficients of the second order deri-
vatives.
A feature of the system is that one of the eqution has a root of multiplicity two. This leads to a qualitative
difference in asymptotics of the boundary-layer solution of the system under consideration as opposed to
the known asymptotics in the case where the roots of the equations of the degenerate system are simple.
There is a change in the structure of the boundary-layer series, the boundary-layers become multizone,
the standard algorithm for constructing boundary-layer functions becomes fails and needs an essential
modification.
Розглядається крайова задача для системи двох звичайних диференцiальних рiвнянь другого
порядку з рiзними степенями малого параметра при другiй похiднiй у першому i другому рiвнян-
нях.
Особливiсть системи полягає в тому, що одне iз двох рiвнянь виродженої системи має дво-
кратний корiнь. Це обумовлює якiснi вiдмiнностi асимптотики розв’язку примежового ша-
ру розглядуваної задачi вiд вiдомої асимптотики у випадку, коли коренi рiвнянь виродженої
системи є простими (однократними): змiнюється структура рядiв примежового шару, при-
межовi шари є багатозонними, а стандартний алгоритм побудови примежових функцiй стає
непридатним i потребує суттєвої модифiкацiї.
1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим систему двух обыкновенных дифференци-
альных уравнений второго порядка
ε2
d2u
dx2
= F (u, v, x, ε), ε
d2v
dx2
= f(u, v, x, ε), x ∈ (0; 1), (1)
где ε > 0 — малый параметр. В граничных точках x = 0 и x = 1 зададим для искомых
функций u(x, ε) и v(x, ε) краевые условия, имея в виду для каждой из функций либо усло-
вие Дирихле (например, u(0, ε) = u0), либо условие Неймана
(
например,
dv
dx
(0, ε) = q0
)
.
Поставим вопрос о существовании и асимптотике по параметру ε погранслойного реше-
ния системы (1) с заданными краевыми условиями, т. е. такого решения, которое при
ε → 0 стремится на интервале (0; 1) к решению соответствующей вырожденной системы
(она получается из (1) при ε = 0):
F (u, v, x, 0) = 0, f(u, v, x, 0) = 0. (2)
Пусть первое уравнение системы (2) имеет простой (т. е. однократный) корень относи-
c© В. Ф. Бутузов, 2018
6 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 7
тельно u:
u = ϕ(v, x), (3)
и второе уравнение системы (2) после подстановки вместо u корня (3), т. е. уравнение
f(ϕ(v, x), v, x) = 0,
имеет простой корень относительно v:
v = v0(x), x ∈ [0; 1].
Таким образом, вырожденная система (2) имеет решение
u = u0(x) := ϕ(v0(x), x), v = v0(x).
При определенных требованиях (они зависят от вида краевых условий для u и v) крае-
вая задача для системы (1) имеет для достаточно малых ε решение u(x, ε), v(x, ε) погран-
слойного типа, обладающее асимптотическим разложением вида (см. [1])
u(x, ε) = u(x, ε) + Πu(ξ, ε) + Π̃u(ξ̃, ε) + Pu(ζ, ε) + P̃ u(ζ̃, ε),
v(x, ε) = v(x, ε) + Πv(ξ, ε) + Π̃v(ξ̃, ε) + Pv(ζ, ε) + P̃ v(ζ̃, ε).
(4)
Здесь u(x, ε) и v(x, ε) — регулярные части асимптотики, они представляют собой ряды по
целым степеням ε, например
u(x, ε) =
∞∑
i=0
εiui(x),
а главными членами этих рядов являются функции u0(x) и v0(x) — решение вырожден-
ной системы. Остальные четыре слагаемых в правой части каждого равенства (4) — это
погранслойные ряды по целым степеням
√
ε, коэффициенты которых (назовем их погра-
ничными функциями) зависят от погранслойных переменных
ξ = x/
√
ε, ζ = x/ε, ξ̃ = (1− x)/
√
ε, ζ̃ = (1− x)/ε, (5)
причем порядок (относительно ε) главного члена каждого погранслойного ряда зависит
от вида краевых условий. Например, если в точке x = 0 для функции v заданы условия
Дирихле, то ряды Πu и Πv начинаются с членов нулевого порядка, т. е. имеют вид
Πu(ξ, ε) =
∞∑
i=0
εi/2Πiu(ξ), Πv(ξ, ε) =
∞∑
i=0
εi/2Πiv(ξ),
а если для v в точке x = 0 заданы условия Неймана, то ряды Πu и Πv начинаются с членов
порядка
√
ε, т. е. их можно записать в виде
Πu(ξ, ε) =
√
ε
∞∑
i=0
εi/2Πiu(ξ), Πv(ξ, ε) =
√
ε
∞∑
i=0
εi/2Πiv(ξ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
8 В. Ф. БУТУЗОВ
Отметим один принципиальный момент, характерный для случая простых корней
уравнений вырожденной системы. Все пограничные функции определяются последова-
тельно с помощью известного алгоритма А. Б. Васильевой (см. [1]) и имеют экспонен-
циальные оценки вида
|Πiu(ξ)| ≤ c exp(−κξ), ξ ≥ 0, |Piu(ζ)| ≤ c exp(−κζ), ζ ≥ 0. (6)
Здесь и далее через c и κ обозначаются подходящие положительные числа, не зависящие
от ε и, вообще говоря, различные в разных оценках.
В данной работе рассмотрим случай, когда первое уравнение системы (2) имеет дву-
кратный корень, что обусловлено следующим требованием:
A1. Пусть функция F (u, v, x, ε) имеет вид
F (u, v, x, ε) = h(x)(u− ϕ(v, x))2 − εF1(u, v, x, ε), (7)
функции h, ϕ, F1 и f являются достаточно гладкими и h(x) > 0, x ∈ [0; 1].
Как обычно, требуемый порядок гладкости указанных функций обусловлен поряд-
ком асимптотики, которую мы хотим построить. Поскольку речь пойдет об асимптотике
произвольного порядка, будем считать эти функции бесконечно дифференцируемыми в
области {(u, v, x, ε) : u ∈ I1, v ∈ I2, x ∈ [0; 1], ε ∈ [0, ε0]}, где I1 и I2 — некоторые число-
вые интервалы, ε0 > 0 — некоторое число.
При условии A1 первое уравнение системы (2) имеет, очевидно, двукратный корень
u = ϕ(v, x).
Оказалось, что в этом случае краевая задача для системы (1) при определенных тре-
бованиях, зависящих от вида краевых условий, имеет для достаточно малых ε погран-
слойное решение с асимптотикой вида (4), однако, в отличие от случая простых корней
уравнений вырожденной системы, ряды, входящие в правые части равенств (4), имеют
иную структуру, а алгоритм А. Б. Васильевой определения пограничных функций требу-
ет существенной модификации.
В работе [2] исследована система (1) с краевыми условиями Неймана для функций
u(x, ε) и v(x, ε) в точках x = 0 и x = 1. В отличие от (5) погранслойные переменные ζ и
ζ̃ имеют в этом случае иной масштаб, а именно,
ζ = x/ε3/4, ζ̃ = (1− x)/ε3/4,
погранслойные ряды являются рядами по целым степеням ε1/4, а экспоненциальные оцен-
ки вида (6) сохраняются для всех пограничных функций.
В данной работе рассмотрим систему (1) с краевыми условиями Дирихле для функции
u(x, ε) и условиями Неймана для функции v(x, ε):
u(x, ε) = u0, u(1, ε) = u1,
dv
dx
(0, ε) = q0,
dv
dx
(1, ε) = q1. (8)
Как мы увидим, это приведет не только к изменению структуры погранслойных рядов,
но также к новым (не экспоненциальным) оценкам членов рядов Pu, Pv, P̃u, P̃ v, отра-
жающим трехзонный характер их убывания с ростом соответствующей погранслойной
переменной. Изменится также алгоритм формирования уравнений для P -функций.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 9
В п. 2 будет построена асимптотика погранслойного решения задачи (1), (8). По ходу
построения будут введены некоторые требования. В п. 3 доказана теорема о существо-
вании решения задачи (1), (8), обладающего построенной в п. 2 асимптотикой. Пункт 4
содержит некоторые замечания о задачах, примыкающих к рассмотренной в данной ра-
боте.
2. Построение асимптотики решения задачи (1), (8). Асимптотику решения задачи (1),
(8) построим в виде (4), где погранслойные переменные ξ, ζ, ξ̃, ζ̃ такие же, как в случае
простых корней уравнений вырожденной системы (см. (5)), а ряды в правых частях (4)
имеют иную структуру.
2.1. Регулярные части асимптотики. Построим их в виде
u(x, ε) =
∞∑
i=0
εi/2ui(x), v(x, ε) =
∞∑
i=0
εi/2vi(x). (9)
Стандартным способом, т. е. подставляя ряды (9) в уравнения (1) вместо u и v, разлагая
правые части уравнений в ряды по целым степеням
√
ε и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях ε в левой и правой частях равенств, получаем последовательно
для i = 0, 1, 2, . . . системы уравнений относительно ui(x), vi(x).
При i = 0 для u0, v0 имеем вырожденную систему
h(x)(u0 − ϕ(v0, x))2 = 0, f(u0, v0, x, 0) = 0.
Из первого уравнения следует равенство u0 = ϕ(v0, x), в силу которого второе уравнение
сводится к уравнению относительно v0:
g(v0, x) := f(ϕ(v0, x), v0, x, 0) = 0. (10)
A2. Пусть уравнение (10) имеет решение v0 = v0(x), x ∈ [0; 1], и
gv(x) :=
∂g
∂v0
(v0(x), x) > 0, x ∈ [0; 1]. (11)
Таким образом, главные члены u0(x) = ϕ(v0(x), x) и v0(x) рядов (9) являются решением
вырожденной системы уравнений.
Для u1, v1 получаем систему уравнений
h(x)(u1 − ϕv(x)v1)
2 − F 1(x) = 0, fu(x)u1 + fv(x)v1 = 0, (12)
где
ϕv(x) :=
∂ϕ
∂v
(v0(x), x), F 1(x) := F1(u0(x), v0(x), x, 0),
fu(x) :=
∂f
∂u
(u0(x), v0(x), x, 0), fv(x) :=
∂f
∂v
(u0(x), v0(x), x, 0).
(13)
Чтобы из первого уравнения найти функцию u1−ϕv(x)v1, потребуем, чтобы h(x) и F 1(x)
имели одинаковые знаки.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
10 В. Ф. БУТУЗОВ
A3. Пусть F 1(x) > 0, x ∈ [0; 1].
Тогда u1 − ϕv(x)v1 равно либо a(x), либо (−a(x)), где
a(x) =
[
h−1(x)F 1(x)
]1/2
> 0, x ∈ [0; 1]. (14)
Как будет видно из дальнейшего, для построения асимптотики погранслойного решения
нужно взять a(x) со знаком плюс:
u1 − ϕv(x)v1 = a(x). (15)
Решая теперь линейную систему уравнений, состоящую из уравнения (15) и второго урав-
нения в (12), находим u1(x) и v1(x):
u1(x) = g−1v (x)fv(x)a(x), v1(x) = −g−1v (x)fu(x)a(x).
Для коэффициентов ui(x), vi(x) рядов (9) при i ≥ 2 получаем аналогичную линейную
систему уравнений
ui − ϕv(x)vi = Gi(x), fu(x)ui + fv(x)vi = Hi(x),
где Gi(x) и Hi(x) рекуррентно выражаются через uj(x), vj(x) c номерами j < i. Из этой
системы однозначно определяются ui(x), vi(x), поскольку определитель системы равен
gv(x) > 0, x ∈ [0; 1].
Итак, регулярные части асимптотики построены.
2.2. Погранслойные части асимптотики. Погранслойные ряды Πu(ξ, ε), Πv(ξ, ε),
Pu(ζ, ε), Pv(ζ, ε), играющие существенную роль лишь в малой окрестности граничной
точки x = 0, а также погранслойные ряды Π̃u(ξ̃, ε), Π̃v(ξ̃, ε), P̃ u(ζ̃, ε), P̃ v(ζ̃, ε), имеющие
важное значение в окрестности точки x = 1, будем строить в виде рядов по целым сте-
пеням ε1/4. Рассмотрим процедуру построения погранслойных рядов Πu, Πv, Pu, Pv.
2.2.1. Уравнения для Π-функций. Ряды Πu и Πv будем строить в виде (ξ = x/
√
ε)
Πu(ξ, ε) =
√
ε
∞∑
i=0
εi/4Πiu(ξ), Πv(ξ, ε) =
√
ε
∞∑
i=0
Πiv(ξ). (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 11
Стандартным способом (см. [1]) для этих рядов получаем систему уравнений
ε
d2
dξ2
(
√
εΠ0u+ . . .) = ΠF := F
(
u(
√
εξ, ε) + Πu, v(
√
εξ, ε) + Πv,
√
εξ, ε
)
−
− F
(
u(
√
εξ, ε), v(
√
εξ, ε),
√
εξ, ε
)
=
= h(
√
εξ)
{[
u0(
√
εξ) +
√
εu1(
√
εξ) + . . .+
√
εΠ0u+ . . .
. . .− ϕ(v0(
√
εξ) +
√
εv1(
√
εξ) + . . .+
√
εΠ0v + . . . ,
√
εξ)
]2
−
−
[
u0(
√
εξ) +
√
εu1(
√
εξ) + . . .− ϕ(v0(
√
εξ)+
+
√
εv1(
√
εξ) + . . . ,
√
εξ)
]2}
− εΠF1,
(17)
d2
dξ2
(
√
εΠ0v + . . .) = Πf := f
(
u0(
√
εξ) +
√
εu1(
√
εξ) + . . .+
√
εΠ0u+ . . . , v0(
√
εξ)+
+
√
εv1(
√
εξ) + . . .+
√
εΠ0v + . . . ,
√
εξ, ε
)
− f
(
u0(
√
εξ)+
+
√
εu1(
√
εξ) + . . . , v0(
√
εξ) +
√
εv1(
√
εξ) + . . . ,
√
εξ, ε
)
, ξ > 0.
Разлагая правые части уравнений (17) в ряды по целым степеням ε1/4, стандартным
способом получаем последовательно для i = 0, 1, 2, . . . системы уравнений относительно
Πiu, Πiv. Для Π0u, Π0v имеем уравнения
h(0)
[
(a(0) + Π0u− ϕv(0)Π0v)2 − a2(0)
]
= 0,
d2Π0v
dξ2
= fu(0)Π0u+ fv(0)Π0v,
(18)
где a(0), ϕv(0), fu(0) и fv(0) определены в (13), (14).
Из первого уравнения системы (18) следует равенство
Π0u = ϕv(0)Π0v, (19)
в силу которого второе уравнение принимает вид
d2Π0v
dξ2
= gv(0)Πiv, ξ > 0, (20)
где gv(0) = fu(0)ϕv(0) + fv(0) > 0 (см. (10) и (11)).
Для определения функции Π0v(ξ) к уравнению (20) нужно добавить еще два гранич-
ных условия. Это будет сделано в пп. 2.2.3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
12 В. Ф. БУТУЗОВ
Для Πiu, Πiv при i ≥ 1 из (17) получаем линейную систему уравнений
2h(0)a(0) [Πiu− ϕv(0)Πiv] = ψi(ξ), (21)
d2Πiv
dξ2
= fu(0)Πiu+ fv(0)Πiv + χi(ξ), ξ > 0, (22)
где ψi(ξ) и χi(ξ) выражаются рекуррентно через Πju(ξ), Πjv(ξ) с номерами j < i, в
частности
ψ1(ξ) = 0, χ1(ξ) = 0, ξ ≥ 0, (23)
ψ2(ξ) =
d2Π0u
dξ2
(ξ) + 2h(0)a(0)
[
ϕvv(0)
(
v′0(0)ξ + v1(0) +
1
2
Π0v(ξ)
)
+ ϕvx(0)ξ
]
Π0v(ξ)+
+ F 1u(0)Π0u(ξ) + F 1v(0)Π0v(ξ). (24)
Выражая из уравнения (21) Πiu через Πiv и подставляя это выражение в уравнение
(22), приходим к уравнению для Πiv:
d2Πiv
dξ2
= gv(0)Πiv + πi(ξ), ξ > 0, (25)
где πi(ξ) выражается через Πju(ξ), Πjv(ξ) с номерами j < i. Граничные условия для
Πiv(ξ) будут найдены в пп. 2.2.3.
2.2.2. Уравнения для P -функций. Ряды Pu и Pv будем строить в виде (ζ = x/ε)
Pu(ζ, ε) =
∞∑
i=0
εi/4Piu(ζ), Pv(ζ, ε) =
√
ε
∞∑
i=0
εi/4Piv(ζ). (26)
Уравнения для коэффициентов этих рядов, т. е. для функций Piu, Piv, нельзя форми-
ровать стандартным способом, т. е. путем приравнивания членов одинакового порядка
относительно ε в разложениях левой и правой частей соответствующего уравнения. Это
обусловлено тем, что первое уравнение вырожденной системы (2) имеет в данном случае
двукратный корень. Чтобы сформировать правильные уравнения для функций Piu, Piv,
введем еще одну погранслойную переменную
η = x/ε3/4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 13
Тогда ξ = ε1/4η, и систему уравнений для рядов Pu, Pv запишем в виде
d2
dζ2
(
P0u+ ε1/4P1u+ . . .
)
= PF := F
(
u
(
ε3/4η, ε
)
+ Πu
(
ε1/4η, ε
)
+ Pu, v
(
ε3/4η, ε
)
+
+Πv
(
ε1/4η, ε
)
+ Pv, ε3/4η, ε
)
− F
(
u
(
ε3/4η, ε
)
+
+Πu
(
ε1/4η, ε
)
, v
(
ε3/4η, ε
)
+ Πv
(
ε1/4η, ε
)
, ε3/4η, ε
)
=
= h
(
ε3/4η
){[
u0
(
ε3/4η
)
+
√
εu1
(
ε3/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εΠ0u
(
ε1/4η
)
+ . . .+ P0u+ ε1/4P1u+ . . .
. . .− ϕ
(
v0
(
ε3/4η
)
+
√
εv1
(
ε3/4η
)
+ . . .+
√
εΠ0v
(
ε1/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εP0v + . . . , ε3/4η
)]2
−
[
u0
(
ε3/4η
)
+
√
εu1
(
ε3/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εΠ0u
(
ε1/4η
)
+ . . .− ϕ
(
v0
(
ε3/4η
)
+ +
√
εv1
(
ε3/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εΠ0v
(
ε1/4η
)
+ . . . , ε3/4η
)]2}
− εPF1, (27)
1
ε
d2
dζ2
(√
εP0v + . . .
)
= Pf := f
(
u0
(
ε3/4η
)
+ . . .+
√
εΠ0u
(
ε1/4η
)
+ . . .
. . .+ P0u+ . . . , v0
(
ε3/4η
)
+ . . .+
√
εΠ0v
(
ε1/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εP0v + . . . , ε3/4η, ε
)
− f
(
u0
(
ε3/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εΠ0u
(
ε1/4η
)
+ . . . , v0
(
ε3/4η
)
+ . . .
. . .+
√
εΠ0v
(
ε1/4η
)
+ . . . , ε3/4η, ε
)
. (28)
Извлекать уравнения для функций Piu и Piv из уравнений (27) и (28) будем с помощью
алгоритма, развитого для сингулярно возмущенных задач с кратным корнем вырожден-
ного уравнения (см. [3]). В частности, для P0u из уравнения (27) в соответствии с этим
алгоритмом получаем уравнение
d2P0u
dζ2
= h(0)
[
(P0u)2 + 2
√
εa(0)P0u
]
, ζ > 0, (29)
а для P0v из (28) извлекаем уравнение
d2P0v
dζ2
=
√
εq0(ζ), ζ > 0, (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
14 В. Ф. БУТУЗОВ
где
q0(ζ) = f (u0(0) + P0u(ζ), v0(0), 0, 0) . (31)
Уравнения для Piu и Piv при i ≥ 1, извлекаемые из (27) и (28), имеют вид
d2Piu
dζ2
= k(ζ, ε)Piu+ pi(ζ, ε), ζ > 0, (32)
и
d2Piv
dζ2
=
√
εqi(ζ, ε), ζ > 0, (33)
где k(ζ, ε) = 2h(0) (P0u(ζ) +
√
εa(0)) , функции pi(ζ, ε) и qi(ζ, ε) выражаются через Pju(ζ),
Pjv(ζ) с номерами j < i, а qi(ζ, ε), кроме того, через Piu(ζ) и формируются с помощью
упомянутого нестандартного алгоритма, о котором подробнее см. в пп. 2.2.5. В частности,
p1(ζ, ε) = 0, q1(ζ, ε) = 0. (34)
В пп. 2.2.3 будут приведены граничные условия для функций Piu, Piv.
2.2.3. Граничные условия для пограничных функций. Чтобы получить граничные усло-
вия для Πiv(ξ) при ξ = 0 и Piu(ζ) при ζ = 0, подставим ряды (4) с учетом их структуры,
т. е. формул (9), (16), (26), в граничные условия (8) при x = 0.Учитывая, что ряды Π̃u, Π̃v,
P̃ u, P̃ v равны нулю в окрестности точки x = 0 (см. замечание в конце пп. 2.2.5), получаем
равенства
u0(0) +
√
εu1(0) + . . .+
√
εΠ0u(0) + . . .+ P0u(0) + ε1/4P1u(0) + . . . = u0, (35)
dv0
dx
(0) +
√
ε
dv1
dx
(0) + . . .+
dΠ0v
dξ
(0) + ε1/4
dΠ1v
dξ
(0) + . . .
. . .+
1√
ε
(
dP0v
dζ
(0) + ε1/4
dP1v
dζ
(0) + . . .
)
= q0. (36)
Добавим к этим условиям стандартные для пограничных функций условия на бесконеч-
ности:
Πiv(∞) = 0, Piu(∞) = 0, Piv(∞) = 0, i ≥ 0. (37)
Из (35) стандартным способом получаем граничные условия для Piu(ζ) при ζ = 0:
P0u(0) = u0 − u0(0) =: P 0, P1u(0) = 0, (38)
Piu(0) = −ui/2(0)−Πi−2u(0), i ≥ 2, (39)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 15
причем ui/2(0) = 0 для нечетных i, а из (36) нестандартным способом извлекаем гранич-
ные условия для Πiv(ξ) при ξ = 0:
dΠ0v
dξ
(0) = q0 − dv0
dx
(0)− 1√
ε
dP0v
dζ
(0) =: γ0, (40)
dΠ1v
dξ
(0) = −
dvi/2
dx
(0)− 1√
ε
dPiv
dζ
(0), i ≥ 1, (41)
причем
dvi/2
dx
(0) = 0 для нечетных i.
2.2.4. Главные члены погранслойных рядов. Сначала решаем уравнение (29) дляP0u(ζ)
c граничными условиями P0u(0) = P 0 (см. (38)) и P0u(∞) = 0 (см. (37)). Чтобы эта задача
для P0u(ζ) имела решение, введем еще одно требование.
A4. Пусть P 0 := u0 − u0(0) > 0.
При условии A4 задача для P0u сводится стандартным способом к уравнению первого
порядка
dP0u
dζ
= −
[
2h(0)
(
1
3
P0u+
√
εa(0)
)]1/2
· P0u, ζ > 0,
с начальным условием
P0u(0) = P 0.
Решение этой задачи находим в явном виде
P0u(ζ) =
12
√
εa(0)
[
1 +O
(
ε1/4
)]
exp
(
−ε1/4k0ζ
){
1−
[
1− (12a(0) (P 0)−1)1/2ε1/4 +O(
√
ε)
]
exp
(
−ε1/4k0ζ
)}2 , (42)
где k0 = [2h(0)a(0)]1/2 > 0, а величиныO
(
ε1/4
)
и O(
√
ε) не зависят от ζ, для них нетрудно
привести явные выражения. Заметим, что P0u зависит не только от ζ, но также от ε,
однако с целью уменьшения громоздкости формул будем писать P0u(ζ) вместо P0u(ζ, ε),
и такую же договоренность примем в отношении функций Piu(ζ), i ≥ 1, и Piv(ζ), Πiu(ξ),
Πiv(ξ), i ≥ 0.
Несложный анализ выражения (42) показывает, что монотонное убывание P0u(ζ) с
ростом ζ имеет различный характер на разных промежутках изменения ζ. Можно выде-
лить три зоны.
Первой зоной является отрезок 0 ≤ ζ ≤ ε−γ , где в качестве γ можно взять любое не
зависящее от ε положительное число, меньшее 1/4. В этой зоне P0u(ζ) убывает с рос-
том ζ степенным образом: P0u(ζ) = O
(
1
1 + ζ2
)
. Затем следует вторая (переходная)
зона, где ε−γ ≤ ζ ≤ ε−1/4. В этой зоне происходит постепенное изменение характера
убывания P0u(ζ) от степенного убывания к экспоненциальному, а также изменение мас-
штаба погранслойной переменной. И, наконец, в третьей зоне, где ζ ≥ ε−1/4, возника-
ет новая погранслойная переменная η = ε1/4ζ = x/ε3/4, и функция P0u имеет оценку
P0u = O(
√
ε) exp(−k0η). Описанное трехзонное убывание функции P0u(ζ) находит отра-
жение в следующей оценке:
P0u(ζ) ≤ cPκ(ζ), ζ ≥ 0, (43)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
16 В. Ф. БУТУЗОВ
где
Pκ(ζ) =
√
ε exp
(
−ε1/4κζ
)[
1 + ε1/4 − exp
(
−ε1/4κζ
)]2 , ζ ≥ 0, (44)
c и κ — положительные числа, не зависящие от ε. Функция Pκ(ζ) будет эталонной (оце-
ночной) функцией для всех функций Piu(ζ), Piv(ζ), i ≥ 0, аналогично тому, как в случае
простых корней уравнений вырожденной системы эталонной функцией была exp(−κζ)
(см. (6)).
Отметим, что если формировать уравнение для P0u(ζ) стандартным способом, то вы-
ражение в квадратных скобках в правой части уравнения (29) не будет содержать слагае-
мого 2
√
εa(0)P0u, и тогда решение задачи дляP0u будет иметь оценкуP0u(ζ) = O
(
1
1 + ζ2
)
на всей полупрямой ζ ≥ 0, что не соответствует истинному поведению решения задачи
(1), (8) в пограничном слое.
Поскольку функция P0u(ζ) определена, то для P0v(ζ) имеем уравнение (30) с извест-
ной правой частью и граничное условие (см. (37))
P0v(∞) = 0. (45)
Решение задачи (30), (45) имеет вид
P0v(ζ) =
√
ε
ζ∫
∞
ds
s∫
∞
q0(s) ds. (46)
Из выражения (31) для q0(ζ) следует очевидная оценка
|q0(ζ)| ≤ cP0u(ζ) ≤ cPκ(ζ),
где функция Pκ(ζ) определена в (44). Используя эту оценку, нетрудно получить для P0v(ζ)
и ее производной следующие оценки:
|P0v(ζ)| ≤ cPκ(ζ), ζ ≥ 0, (47)∣∣∣∣dP0v
dζ
(0)
∣∣∣∣ ≤ c
√
ε. (48)
Отметим роль множителя
√
ε в правой части (46). Без него функция P0v(ζ) была
бы неограниченной при ε → 0 в окрестности точки ζ = 0, а ее производная не имела
бы оценки (48), которая будет играть принципиальную роль при определении функции
Π0v(ξ). Для этой функции имеем уравнение (20) с граничными условиями (см. (40) и (37))
dΠ0v
dξ
(0) = γ0, Π0v(∞) = 0, (49)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 17
причем γ0 = O(1), поскольку
1√
ε
dP0v
dζ
(0) = O(1) в силу (48). Решение задачи (20), (49)
находим в явном виде
Π0v(ξ) = −γ0b−1 exp(−bξ), ξ ≥ 0,
где b =
√
gv(0) > 0. Отсюда следует для Π0v(ξ) очевидная экспоненциальная оценка
|Π0v(ξ)| ≤ c exp(−κξ), ξ ≥ 0. (50)
Зная Π0v(ξ), по формуле (19) находим функцию Π0u(ξ), она также имеет оценку ви-
да (50):
|Π0u(ξ)| ≤ c exp(−κξ), ξ ≥ 0. (51)
Таким образом, главные члены погранслойных рядов Πu Πv и Pu, Pv определены и
имеют оценки (43), (47) и (50), (51).
2.2.5. Следующие члены погранслойных рядов. Для каждого i = 1, 2, . . . функции
Piu(ζ), Piv(ζ), Πiv(ξ), Πiu(ξ) определяются последовательно в том же порядке, что и для
i = 0. При i = 1 все эти функции оказываются равными нулю, так как p1(ζ, ε) = 0,
q1(ζ, ε) = 0 (см. (34)), ψ1(ξ) = 0, χ1(ξ) = 0 (см. (23)), P1u(0) = 0 (см. (38)),
dΠ1v
dξ
(0) = 0
(см. (41)).
Пусть функции Pju, Pjv и Πjv, Πju определены для j = 2, . . . , i − 1 и имеют оценки
вида (43), (47) и (50), (51).
Используя это индуктивное предположение, на i-м шаге сначала определяем Piu(ζ)
как решение уравнения (32) с граничными условиями (39) и
Piu(∞) = 0. (52)
Функция pi(ζ, ε), входящая в правую часть уравнения (32), формируется после разло-
жения правой части в (27) по целым степеням ε1/4 с помощью алгоритма, описанного в
[3], причем на последнем этапе формирования переменная η заменяется на ε1/4ζ. Этот
алгоритм обеспечивает для pi(ζ, ε) оценку
|pi(ζ, ε)| ≤ c
(
P 2
κ (ζ) +
√
εPκ(ζ)
)
, ζ ≥ 0. (53)
Решение задачи (32), (39), (52) можно записать в виде
Piu(ζ) =−Φ(ζ)Φ−1(0)
(
ui/2(0) + Πi−2u(0)
)
+ Φ(ζ)
ζ∫
0
Φ−2(s)
s∫
∞
Φ(t)pi(t, ε)dtds,
где Φ(ζ) =
dP0u
dζ
(ζ). Отсюда, используя (53), нетрудно получить оценку (см. [3])
|Piu(ζ)| ≤ cPκ(ζ), ζ ≥ 0. (54)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
18 В. Ф. БУТУЗОВ
В качестве примера приведем выражения для p2(ζ, ε):
p2(ζ, ε) = −2h(0)ϕv(0)P0u(ζ)P0v(ζ) + 2
√
εh(0)×
×
[
u2(0)− ϕv(0)v2(0) + (2h(0)a(0))−1ψ2(0)− 1
2
ϕvv(0)(v1(0) + Π0v(0))2
]
×
× P0u(ζ)− 2
√
εh(0)a(0)ϕv(0)P0v(ζ)−
−
√
ε [F1(u0(0) + P0u(ζ), v0(0), 0, 0)− F1(u0(0), v0(0), 0, 0)] ,
где ψ2(0) определено в (24).
Функция p2(ζ, ε) имеет, очевидно, оценку вида (53).
Определив функцию Piu(ζ), перйдем к уравнению (33) для Piv, правая часть qi(ζ, ε)
которого выражается через Pju(ζ), Pjv(ζ) с номерами j < i, а также через Piu(ζ), и,
следовательно, становится известной функцией после определения Piu(ζ), причем qi(ζ, ε)
имеет оценку
|qi(ζ, ε)| ≤ cPκ(ζ), ζ ≥ 0. (55)
Например, при i = 2 для функции q2(ζ, ε) имеем выражение
q2(ζ, ε) =
(
fu(ζ)− fu(0)
)
(u1(0) + Π0u(0)) + fu(ζ)P2u(ζ)+
+
(
fv(ζ)− fv(0)
)
(v1(0) + Π0v(0)) + fv(ζ)P0v(ζ),
где
fu(ζ) := fu(u0(0) + P0u(ζ), v0(0), 0, 0), fv(ζ) := fv(u0(0) + P0u(ζ), v0(0), 0, 0),
откуда для q2(ζ, ε) следует оценка вида (55), поскольку P0u(ζ), P0v(ζ) и P2u(ζ) имеют
оценки вида (43). Решение уравнения (33) с граничным условием Piv(∞) = 0 записывае-
тся аналогично (46):
Piv(ζ) =
√
ε
ζ∫
∞
ds
s∫
∞
qi(t, ε)dt,
откуда получаем оценки, аналогичные (47) и (48):
|Piv(ζ)| ≤ cPκ(ζ), ζ ≥ 0, (56)
∣∣∣∣dPivdζ
(0)
∣∣∣∣ ≤ c
√
ε.
Оценки типа (54) и (56) показывают, что все члены рядов Pu и Pv имеют трехзонный
характер убывания с ростом погранслойной переменной ζ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 19
Далее рассматриваем уравнение (25) для Πiv(ξ), в котором функция πi(ξ) в силу индук-
тивного предположения имеет экспоненциальную оценку
|πi(ξ)| ≤ c exp(−κξ), ξ > 0.
Решение уравнения (25) с граничными условиями (41) и Πiv(∞) = 0 можно найти в
явном виде, и оно также имеет экспоненциальную оценку
|Πiv(ξ)| ≤ c exp(−κξ), ξ ≥ 0. (57)
Зная Πiv(ξ), из равенства (21) находим функцию Πiu(ξ), которая тоже имеет оценку ви-
да (57).
Итак, погранслойные ряды Πu, Πv и Pu, Pv построены, и их коэффициенты имеют
оценки вида (54) и (57).
Погранслойные ряды Π̃u(ξ̃, ε), Π̃v(ξ̃, ε) и P̃ u(ζ̃, ε), P̃ v(ζ̃, ε) строятся аналогично рядам
Πu, Πv и Pu, Pv, и их коэффициенты имеют оценки, аналогичные (54) и (57) с заменой ξ
на ξ̃ и ζ на ζ̃.
При этом вводится требование, аналогичное A4.
A5. Пусть P 1 := u1 − u0(1) > 0.
Замечание. Чтобы функции Πiu, Πiv, Piu, Piv не вносили невязок в граничные усло-
вия при x = 1, умножим каждую из них на срезающую функцию, т. е. бесконечно диф-
ференцируемую функцию, равную единице в δ/2-окрестности точки x = 0 и нулю вне
δ-окрестности этой точки (0 < δ < 1/2). Это не повлияет на построенную асимптоти-
ку, поскольку каждая из пограничных функций есть o(εN ) для любого N при x ≥ δ/2.
Для регуляризованных таким образом пограничных функций сохраним старые обозна-
чения. Аналогичное умножение на срезающие функции выполним для функций Π̃iu, Π̃iv,
P̃iu, P̃iv.
3. Обоснование асимптотики. 3.1. Дополнительные условия и формулировка
теоремы. Обозначим через Un(x, ε) и Vn(x, ε) следующие частичные суммы построенных
рядов (4):
Un(x, ε) =
n∑
i=0
εi/2ui(x) +
√
ε
2(n−1)∑
i=0
εi/4
(
Πiu(ξ) + Π̃iu(ξ̃)
)
+
+
2n∑
i=0
εi/4
(
Piu(ζ) + P̃iu(ζ̃)
)
,
(58)
Vn(x, ε) =
n∑
i=0
εi/2vi(x) +
√
ε
2(n−1)∑
i=0
εi/4
(
Πiv(ξ) + Π̃iv(ξ̃)
)
+
+
√
ε
2(n−1)∑
i=0
εi/4
(
Piv(ζ) + P̃iv(ζ̃)
)
(при n = 0 вторая сумма в первом равенстве, и также вторая и третья суммы во втором
равенстве считаются равными нулю).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
20 В. Ф. БУТУЗОВ
Основной результат работы, сформулированный ниже в виде теоремы, состоит в том,
что для достаточно малых ε задача (1) – (8) имеет решение u(x, ε), v(x, ε), для которого
частичные суммы (58) являются асимптотическим приближением на отрезке 0 ≤ x ≤ 1
с точностью порядка O
(
ε
n
2
+ 1
4
)
. Чтобы доказать это утверждение, нам понадобятся еще
два условия.
A6. Пусть ϕv(x) :=
∂ϕ
∂v
(v0(x), x) > 0, x ∈ [0; 1].
A7. Пусть
fu(x) :=
∂f
∂u
(u0(x), v0(x), x, 0) < 0, x ∈ [0; 1], (59)
и
fu(u, v0(0), 0, 0) < 0, u ∈
[
u0(0), u0
]
, (60)
fu(u, v0(1), 1, 0) < 0, u ∈
[
u0(1), u1
]
. (61)
Роль этих условий выяснится ниже.
Заметим, что если числа P 0 := u0 − u0(0) и P 1 := u1 − u0(1) (они положительны в
силу условий A4 и A5) достаточно малы, то неравенства (60) и (61) следуют из (59).
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема. Если выполнены условия A1 – A7, то для достаточно малых ε задача
(1) – (8) имеет решение u(x, ε), v(x, ε) и для любого n = 1, 2, . . . справедливы равенства
u(x, ε) = Un(x, ε) +O
(
ε
n
2
+ 1
4
)
,
v(x, ε) = Vn(x, ε) +O
(
ε
n
2
+ 1
4
)
, x ∈ [0; 1],
(62)
а при n = 0 — равенства
u(x, ε) = U0(x, ε) +O(
√
ε), v(x, ε) = v0(x) +O(
√
ε), x ∈ [0; 1]. (63)
3.2. О методе дифференциальных неравенств. Для доказательства теоремы приме-
ним асимптотический метод дифференциальных неравенств, суть которого состоит в
том, что нижнее и верхнее решения строятся с использованием построенной формальной
асимптотики [4]. В связи с этим напомним понятия нижнего и верхнего решений приме-
нительно к задаче (1), (8).
Определение. Две пары функций U(x, ε), V (x, ε) и U(x, ε), V (x, ε) называются упо-
рядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (8), если они удовлетворяют
следующим условиям:
10) U(x, ε) ≤ U(x, ε), V (x, ε) ≤ V (x, ε), x ∈ [0; 1] (условие упорядоченности);
20) Lε(U, v) := ε2
d2U
dx2
− F (U, v, x, ε) ≥ 0 ≥ Lε(U, v) при V (x, ε) ≤ v ≤ V (x, ε), 0 <
< x < 1;
Mε(V , u) := ε
d2V
dx2
− f(u, V , x, ε) ≥ 0 ≥ Mε(V , u) при U(x, ε) ≤ u ≤ U(x, ε), 0 < x < 1;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 21
30)
U(0, ε ≤ u0 ≤ U(0, ε), U(1, ε) ≤ u1 ≤ U(1, ε), (64)
dV
dx
(0, ε) ≥ q0 ≥ dV
dx
(0, ε),
dV
dx
(1, ε) ≤ q1 ≤ dV
dx
(1, ε). (65)
Известно (см., например, [5, c. 62]), что если существуют упорядоченные нижнее и
верхнее решения задачи (1), (8), то существует решение u(x, ε), v(x, ε) этой задачи, удов-
летворяющее неравенствам
U(x, ε) = u(x, ε) ≤ U(x, ε), V (x, ε) ≤ v(x, ε) ≤ V (x, ε), x ∈ [0; 1]. (66)
Если функция F (u, v, x, ε) является невозрастающей функцией аргумента v, а f(u, v, x, ε)
— невозрастающей функцией аргумента u в области
G =
{
(u, v, x, ε) : U(x, ε) ≤ u ≤ U(x, ε),
V (x, ε) ≤ v ≤ V (x, ε), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ ε ≤ ε0
}
(67)
(в таком случае говорят, что функции F и f удовлетворяют условию квазимонотонности
в области G), то для выполнения условия 20 достаточно, чтобы были выполнены нера-
венства
Lε(U, V ) ≥ 0 ≥ Lε(U, V ), Mε(V ,U) ≥ 0 ≥ Mε(V ,U), x ∈ (0; 1). (68)
Условия A6 и A7 обеспечат, как мы увидим ниже, квазимонотонность функций F и f.
3.3. Оценки производных функций F (u, v, x, ε) и f(u, v, x, ε). Введем обозначение
Fu(x, ε) :=
∂F
∂u
(Un(x, ε), Vn(x, ε), x, ε),
где Un(x, ε) и Vn(x, ε) определены в (58), и аналогичный смысл придадим обозначениям
Fv(x, ε), fu(x, ε), fv(x, ε).
Используя вид (7) функции F (u, v, x, ε), получаем
Fu(x, ε) = 2h(x) [Un(x, ε)− ϕ(Vn, x)]− εF1u(x, ε),
Fv(x, ε) = −2h(x) [Un(x, ε)− ϕ(Vn, x)]ϕv(Vn, x)− εF1v(x, ε),
(69)
откуда следует равенство
Fv(x, ε) = −Fu(x, ε)ϕv(Vn, x) +O(ε), x ∈ [0; 1]. (70)
Пусть n ≥ 1. Тогда, используя выражения (58) для Un и Vn, от (69) приходим к равенству
Fu(x, ε) = 2h(x)
[√
εa(x) + P0u(ζ) +
√
ε (P2u(ζ)− ϕv(0)P0v(ζ)) +
+ P̃0u(ζ̃) +
√
ε
(
P̃2u(ζ̃)− ϕv(1)P̃0v(ζ̃)
) ]
+O
(
ε3/4
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
22 В. Ф. БУТУЗОВ
а так как h(x) > 0, a(x) > 0, P0u(ζ) > 0, P̃0u(ζ̃) > 0, то для Fu(x, ε) получаем оценку
Fu(x, ε) ≥ c0
√
ε, x ∈ [0; 1]. (71)
Учитывая эту оценку, а также равенство ϕv(Vn, x) = ϕv(x) + O(
√
ε) и условие A6, из
(70) получаем
Fv(x, ε) = −Fu(x, ε)
(
ϕv(x) +O(
√
ε)
)
+O(ε) ≤ −c1
√
ε, x ∈ [0; 1]. (72)
Здесь и далее через c0, c1, c2, c обозначены подходящие положительные числа, не зави-
сящие от ε.
Для производной fu(x, ε) имеем равенство
fu(x, ε) := fu(Un, Vn, x, ε) = fu(u0(x) + P0u(ζ) + P̃0u(ζ̃), v0(x), x, 0) +O(
√
ε).
На отрезке 0 ≤ x ≤ 1
2
функция P̃0u(ζ̃) = 0, поэтому
fu(x, ε) = fu(u0(x), v0(x), x, 0)+
+
[
fu (u0(εζ) + P0u(ζ), v0(εζ), εζ, 0)− fu (u0(εζ), v0(εζ), εζ, 0)
]
+
+O(
√
ε) = fu(x) +H0(ζ) +O(
√
ε), x ∈
[
0;
1
2
]
, (73)
где
H0(ζ) = fu (u0(0) + P0u(ζ), v0(0), 0, 0)− fu (u0(0), v0(0), 0, 0) ,
|H0(ζ)| ≤ cP0u(ζ), ζ ≥ 0.
(74)
На отрезке
1
2
≤ x ≤ 1 для fu(x, ε) имеем равенство, аналогичное (73):
fu(x, ε) = fu(x) +H1(ζ̃) +O(
√
ε), x ∈
[
1
2
, 1
]
, (75)
где
H1(ζ̃) = fu(u0(1) + P̃0u(ζ̃), v0(1), 1, 0)− fu(u0(1), v0(1), 1, 0),∣∣∣H1(ζ̃)
∣∣∣ ≤ cP̃0u(ζ̃), ζ̃ ≥ 0.
Поскольку H0(ζ) = 0 на отрезке
1
2
≤ x ≤ 1, а H1(ζ̃) = 0 на отрезке 0 ≤ x ≤ 1
2
, то из (73)
и (75) следует равенство
fu(x, ε) = fu(x) +H0(ζ) +H1(ζ̃) +O(
√
ε), x ∈ [0; 1]. (76)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 23
Отсюда, используя условие A7, получаем оценку
fu(x, ε) ≤ −c2 < 0, x ∈ [0; 1]. (77)
Для fv(x, ε) справедливо равенство, аналогичное (76):
fv(x, ε) = fv(x) +G0(ζ) +G1(ζ̃) +O(
√
ε), x ∈ [0; 1], (78)
где
G0(ζ) = fv (u0(0) + P0u(ζ), v0(0), 0, 0)− fv (u0(0), v0(0), 0, 0) ,
G1(ζ̃) = fv
(
u0(1) + P̃0u(ζ̃), v0(1), 1, 0
)
− fv (u0(1), v0(1), 1, 0) ,
(79)
|G0(ζ)| ≤ cP0u(ζ), ζ ≥ 0; |G1(ζ̃)| ≤ cP̃0u(ζ̃), ζ̃ ≥ 0.
Отметим, что так как gv(x) = fu(x)ϕv(x) + fv(x) > 0 (см. (10) и (11)) и fu(x) < 0,
ϕv(x) > 0, то
fv(x) > 0, x ∈ [0; 1].
3.4. Нижнее и верхнее решения задачи (1), (8). Определим функции α(x) и β(x) на
отрезке [0; 1] как решение линейной системы уравнений
α(x)− ϕv(x)β(x) = A, fu(x)α(x) + fv(x)β(x) = A, (80)
гдеA— положительное число, выбор которого уточним ниже. Из этой системы находим
α(x) = g−1v (x)
[
fv(x) + ϕv(x)
]
A, β(x) = g−1v (x)
[
1− fu(x)
]
A. (81)
В силу неравенств gv(x) > 0, fv(x) > 0, ϕv(x) > 0, fu(x) < 0 функции α(x) и β(x)
положительны и могут быть сделаны сколь угодно большими за счет выбора числа A.
Нижнее и верхнее решения задачи (1), (8) построим в виде
U(x, ε) = Un+1(x, ε)− α(x)ε
n
2
+ 1
4 , V (x, ε) = Vn+1(x, ε)− γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 , (82)
U(x, ε) = Un+1(x, ε) + α(x)ε
n
2
+ 1
4 , V (x, ε) = Vn+1(x, ε) + γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 , (83)
где n ≥ 1,
γ(x, ε) = β(x) +
√
εz(x, ε)−
√
ε(w0(ζ) + w1(ζ̃)) > 0, (84)
α(x), β(x) — функции из (81),
z(x, ε) = exp
(
−kx
ε
)
+ exp
(
k
x− 1
ε
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
24 В. Ф. БУТУЗОВ
k > 0 — число, выбор которого уточним ниже, w0(ζ) и w1(ζ̃) — функции, которые выбе-
рем ниже так, что они будут иметь оценки
0 < w0(ζ) ≤ cAPκ(ζ), 0 < w1(ζ̃) ≤ cAP̃κ(ζ̃), (85)
A — число из системы (80).
Покажем, что можно выбрать числа A, k и функции w0, w1 так, что U, V и U, V ,
определенные формулами (82) и (83), будут удовлетворять для достаточно малых ε тре-
бованиям 10 – 30 из определения.
Условие 10 (т. е. условие упорядоченности), очевидно, выполнено.
Далее заметим, что в силу неравенств (72) и (77) функции F (u, v, x, ε) и f(u, v, x, ε)
удовлетворяют условию квазимонотонности в области G, определенной в (67), поэтому
условие 20 будет выполнено, если выполнены неравенства (68).
Рассмотрим выражение для Lε(U, V ):
Lε(U, V ) = Lε(Un+1, Vn+1)− ε2α′′(x)ε
n
2
+ 1
4 +
+
[
F (Un+1, Vn+1, x, ε)− F
(
Un+1 − α(x)ε
n
2
+ 1
4 , Vn+1 − γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4
)]
, x ∈ (0; 1).
(86)
Нетрудно видеть, что
Lε(Un+1, Vn+1) = O
(
ε
n
2
+ 3
4
)
, x ∈ (0; 1), (87)
а выражение в квадратных скобках, используя равенства (82), (72), (80), преобразуем так:
F (Un+1, Vn+1,x, ε)− F
(
Un+1 − αε
n
2
+ 1
4 , Vn+1 − γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 , x, ε
)
=
= Fu(x, ε)αε
n
2
+ 1
4 + Fv(x, ε)γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 +O(α2 + γ2)εn+
1
2 =
= Fu(x, ε)αε
n
2
+ 1
4 −
[
Fu(x, ε)(ϕv(x) +O(
√
ε)) +O(ε)
]
ε
n
2
+ 1
4 (β +
√
εz)−
− Fv(x, ε)ε
n
2
+ 3
4 (w0 + w1) +O(α2 + γ2)εn+
1
2 =
= Fu(x, ε)
(
α− ϕv(x)β +O(
√
ε)β
)
ε
n
2
+ 1
4 +O
(
ε
n
2
+ 3
4
)
z−
− Fv(x, ε)ε
n
2
+ 3
4 (w0 + w1) +O(α2 + γ2)εn+
1
2 =
= Fu(x, ε)
(
A+O(
√
ε)A
)
ε
n
2
+ 1
4 − Fv(x, ε)ε
n
2
+ 3
4 (w0 + w1)+
+O
(
A2 + w2
0 + w2
1
)
εn+
1
2 . (88)
Учитывая равенства (87), (88), а также равенство α′′(x) = O(A) и неравенства (71),
(72), (85), из (86) получаем
Lε(U, V ) ≥ O
(
ε
n
2
+ 3
4
)
+ ε
n
2
+ 9
4O(A) + c0(A+O(
√
ε)A)ε
n
2
+ 3
4 +O(A2)εn+
1
2 . (89)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 25
Поскольку первое слагаемое в правой части (89) не зависит отA и n+
1
2
>
n
2
+
3
4
(так как
n ≥ 1), то при достаточно большом A и достаточно малых ε третье слагаемое в правой
части (89) будет доминирующим и обеспечит выполнение неравенства
Lε(U, V ) > 0, x ∈ (0; 1).
Обратимся теперь к выражению для Mε(V ,U):
M(V ,U) = Mε(Vn+1, Un+1)− εε
n
2
+ 1
4β′′ − ε
n
2
+ 3
4k2z + ε
n
2
− 1
4 (w′′0(ζ) + w′′1(ζ̃))+
+
[
f(Un+1, Vn+1, x, ε)− f(Un+1 − α(x)ε
n
2
+ 1
4 , Vn+1 − γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 , x, ε)
]
. (90)
Первое слагаемое в правой части (90) имеет оценку
Mε(Vn+1, Un+1) = O
(
ε
n
2
+ 1
4
)
, x ∈ (0; 1),
а выражение в квадратных скобках, использовав равенства (76), (78), преобразуем так:
f(Un+1, Vn+1,x, ε)− f
(
Un+1 − α(x)ε
n
2
+ 1
4 , Vn+1 − γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 , x, ε
)
=
= fu(x, ε)α(x)ε
n
2
+ 1
4 + fv(x, ε)γ(x, ε)ε
n
2
+ 1
4 +O(α2 + γ2)εn+
1
2 =
=
[
fu(x) +H0(ζ) +H1(ζ̃) +O(
√
ε)
]
α(x)ε
n
2
+ 1
4 +
+
[
fv(x) +G0(ζ) +G1(ζ̃) +O(
√
ε)
] (
β(x) +
√
εO(A)
)
ε
n
2
+ 1
4 +
+O
(
A2
)
εn+
1
2 =
[
fu(x)α(x) + fv(x)β(x)
]
ε
n
2
+ 1
4 +
+ [H0(ζ)α(x) +G0(ζ)β(x)] ε
n
2
+ 1
4 +
[
H1(ζ̃)α(x) +G1(ζ̃)β(x)
]
ε
n
2
+ 1
4 +
+O(A)ε
n
2
+ 3
4 +O(A2)εn+
1
2 .
Определим теперь функцию w0(ζ) как решение уравнения
w′′0 =
√
εr0(ζ) :=
√
ε [H0(ζ)α(0) +G0(ζ)β(0) +MAP0u(ζ)] , ζ > 0,
с условием на бесконечности w0(∞) = 0, причем число M возьмем столь большим, что-
бы функция r0(ζ) была положительной при ζ ≥ 0. Такой выбор M возможен в силу оце-
нок (74) и (79) для H0(ζ) и G0(ζ). Тогда
w0(ζ) =
√
ε
ζ∫
∞
ds
s∫
∞
r0(t)dt > 0, ζ ≥ 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
26 В. Ф. БУТУЗОВ
и справедлива оценка
0 < w0(ζ) ≤ cAPκ(ζ), ζ ≥ 0.
Аналогично определим функцию w1(ζ̃) как решение уравнения
w′′1 =
√
εr1(ζ̃) :=
√
ε
[
H1(ζ̃)α(1) +G1(ζ̃)β(1) +MAP̃0u(ζ̃)
]
, ζ̃ > 0,
с условием w1(∞) = 0 и достаточно большим M. Тогда
0 < w1(ζ̃) ≤ cAP̃κ(ζ̃), ζ̃ ≥ 0.
При таком выборе функций w0(ζ) и w1(ζ̃) равенство (90) принимает вид
Mε(V ,U) = O
(
ε
n
2
+ 1
4
)
+ ε
n
2
+ 5
4O(A)− ε
n
2
+ 3
4k2z + ε
n
2
+ 1
4MAP0u(ζ)+
+ ε
n
2
+ 1
4MAP̃0u(ζ̃) +
[
Aε
n
2
+ 1
4
]
+O(εζ)AP0u(ζ)ε
n
2
+ 1
4 +
+O(εζ̃)AP̃0u(ζ̃)ε
n
2
+ 1
4 +O(A)ε
n
2
+ 3
4 +O(A2)εn+
1
2 , x ∈ (0; 1), (91)
где первое слагаемое в правой части не зависит от A.
Поскольку четвертое и пятое слагаемые в правой части (91) положительны, а седь-
мое и восьмое являются величинами порядка O(A)ε
n
2
+ 5
4 , то при достаточно большом
A и достаточно малых ε за счет слагаемого, заключенного в квадратные скобки, будет
выполнено неравенство
Mε(V ,U) > 0, x ∈ (0; 1).
Аналогично доказывается, что при достаточно большом A и достаточно малых ε
выполняются неравенства
Lε(U, V ) < 0, Mε(V ,U) < 0, x ∈ (0; 1).
Таким оброазом, условие 20 выполнено.
Остается проверить выполнение условия 30. Так как Un+1(0, ε) = u0 (см. (58), (38) и
(39)), то
U(0, ε) = Un+1(0, ε)− α(0)ε
n
2
+ 1
4 = u0 − α(0)ε
n
2
+ 1
4 < u0,
т. е. выполнено первое неравенство из (64). Аналогично проверяется выполнение осталь-
ных неравенств в (64).
Для
dV
dx
(0, ε), учитывая равенства (40) и (41), получаем выражение
dV
dx
(0, ε) = q0 + v′n+1(0)ε
n+1
2 − β′(0)ε
n
2
+ 1
4 + k(1− exp(−k/
√
ε))ε
n
2
+ 1
4 + w′0(0)ε
n
2
− 1
4 . (92)
Поскольку
w′0(0) =
√
ε
0∫
∞
r0(t)dt =
√
εA ·O(1),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЕ . . . 27
то последнее слагаемое в правой части (92), как и β′(0)ε
n
2
+ 1
4 , является величиной порядка
O(A)ε
n
2
+ 1
4 , и, следовательно, при достаточно большом k и достаточно малых ε четвертое
слагаемое в правой части (92) обеспечивает выполнение неравенства
dV
dx
(0, ε) > q0,
т. е. выполнено первое неравенство в (65). Аналогично проверяется выполнение осталь-
ных неравенств в (65).
Итак, две пары функций U(x, ε), V (x, ε) и U(x, ε), V (x, ε), определенные неравенства-
ми (82) – (84), для достаточно больших чисел A и k и достаточно малых ε являются упо-
рядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (8).
3.5. Завершение доказательства теоремы. Построенные нижнее и верхнее решения
обеспечивают существование решения u(x, ε), v(x, ε) задачи (1), (8), удовлетворяющего
неравенствам (66).
Так как Un+1(x, ε) = Un(x, ε) + O(ε
n
2
+ 1
4 ), Vn+1(x, ε) = Vn(x, ε) + O(ε
n
2
+ 1
4 ), то из (82) и
(83) получаем равенства
U(x, ε) = Un(x, ε) +O(ε
n
2
+ 1
4 ), V (x, ε) = Vn(x, ε) +O(ε
n
2
+ 1
4 ),
U(x, ε) = Un(x, ε) +O(ε
n
2
+ 1
4 ), V (x, ε) = Vn(x, ε) +O(ε
n
2
+ 1
4 ),
и, следовательно, в силу неравенств (66) имеем
u(x, ε) = Un(x, ε) +O(ε
n
2
+ 1
4 ), v(x, ε) = Vn(x, ε) +O(ε
n
2
+ 1
4 ), x ∈ [0; 1],
т. е. справедливы равенства (62). Мы доказали их при условии n ≥ 1. Записывая эти
равенства для n = 1 и учитывая, что U1(x, ε) = u0(x) + P0u(ζ) + P̃0u(ζ̃) + O(
√
ε) =
= U0(x, ε) +O(
√
ε), V1(x, ε) = v0(x) +O(
√
ε), получаем равенства (63).
Теорема доказана.
4. Заключительные замечания. 1. Чтобы уменьшить громоздкость формул и выкла-
док, в работе рассмотрен случай, когда функция h(x) в выражении (7) для F (u, v, x, ε) за-
висит только от x.Если h = h(u, v, x), то при определенных условиях для решения задачи
(1), (8) можно построить и обосновать асимптотику вида (4), но построение и обоснова-
ние асимптотики станут более громоздкими.
2. Представляет интерес рассмотрение задачи (1), (8) в случае, когда первое уравне-
ние в системе (2) имеет корень кратности 3. Некоторые сингулярно возмущенные задачи
с трехкратным корнем вырожденного уравнения рассматривались в [6, 7]. В этом случае
возникают свои качественные особенности в построении и обосновании асимптотики.
3. Весьма интересной представляется краевая задача для системы (1) с функцией
F (u, v, x, ε) вида (7) и граничными условиями Неймана для u(x, ε) и Дирихле для v(x, ε).
Предварительный анализ этой задачи показывает, что погранслойные ряды будут ряда-
ми по целым степеням ε1/12, а масштаб погранслойных переменных ζ и ζ̃ будет иной,
нежели в рассмотренной здесь задаче.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
28 В. Ф. БУТУЗОВ
Литература
1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.:
Высш. шк., 1990. — 208 с.
2. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения системы сингулярно возмущенных уравнений в случае кратно-
го корня вырожденного уравнения // Дифференц. уравнения. — 2015. — 50, № 2. — С. 175 – 186.
3. Бутузов В. Ф. Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных задачах с кратным
корнем вырожденного уравнения // Мат. заметки. — 2013. — 94, вып. 1. — С. 68 – 80.
4. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингу-
лярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. — 1995. — 31, № 7. —
С. 1132 – 1139.
5. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. — New York; London: Plenum Press, 1992.
6. Бутузов В. Ф., Бычков А. И. Асимптотика решения начально-краевой задачи для сингулярно возму-
щенного параболического уравнения в случае трехкратного корня вырожденного уравнения // Журн.
вычислит. математики и мат. физики. — 2016. — 56, № 4. — С. 605 – 624.
7. Бутузов В. Ф. Асимптотика и устойчивость решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи
с трехкратным корнем вырожденного уравнения // Изв. РАН. Сер. мат. — 2017. — 81, № 3. — С. 21 – 44.
Получено 01.11.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
|