Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах

Розглянуто клас неiдеальних коливних (за Зоммерфельдом – Кононенком) динамiчних систем. Встановлено iснування двох типiв гиперхаотичних атракторiв у таких системах. Описано сценарiї переходiв вiд регулярних атракторiв до хаотичних, а також сценарiї переходiв мiж рiзними типами хаотичних атракторi...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Швец, А.Ю., Сиренко, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2018
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177194
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах / А.Ю. Швец, В.А. Сиренко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 284-292. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177194
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1771942021-02-12T01:26:37Z Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах Швец, А.Ю. Сиренко, В.А. Розглянуто клас неiдеальних коливних (за Зоммерфельдом – Кононенком) динамiчних систем. Встановлено iснування двох типiв гиперхаотичних атракторiв у таких системах. Описано сценарiї переходiв вiд регулярних атракторiв до хаотичних, а також сценарiї переходiв мiж рiзними типами хаотичних атракторiв. A class of nonideal oscillating (by Sommerfeld – Kononenko) dynamical systems is considered. We establish the existence of two types of hyperchaotic attractors in these systems. We describe scenarios of transitions from regular attractors to chaotic ones and scenarios of transitions between chaotic attractors of different types. 2018 Article Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах / А.Ю. Швец, В.А. Сиренко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 284-292. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177194 517.9: 534.1 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Розглянуто клас неiдеальних коливних (за Зоммерфельдом – Кононенком) динамiчних систем. Встановлено iснування двох типiв гиперхаотичних атракторiв у таких системах. Описано сценарiї переходiв вiд регулярних атракторiв до хаотичних, а також сценарiї переходiв мiж рiзними типами хаотичних атракторiв.
format	Article
author	Швец, А.Ю. Сиренко, В.А.
spellingShingle	Швец, А.Ю. Сиренко, В.А. Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах Нелінійні коливання
author_facet	Швец, А.Ю. Сиренко, В.А.
author_sort	Швец, А.Ю.
title	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах
title_short	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах
title_full	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах
title_fullStr	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах
title_full_unstemmed	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах
title_sort	сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177194
citation_txt	Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах / А.Ю. Швец, В.А. Сиренко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 284-292. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT švecaû scenariiperehodovkgiperhaosuvneidealʹnyhkolebatelʹnyhsistemah AT sirenkova scenariiperehodovkgiperhaosuvneidealʹnyhkolebatelʹnyhsistemah
first_indexed	2025-07-15T15:13:45Z
last_indexed	2025-07-15T15:13:45Z
_version_	1837726356277821440
fulltext	УДК 517.9: 534.1 СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДОВ К ГИПЕРХАОСУ В НЕИДЕАЛЬНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ А. Ю. Швец, В. А. Сиренко Нац. техн. ун-т Украины “КПИ им. И. Сикорского” пр. Победы, 37, Киев, 03056, Украина e-mail: alex.shvets@bigmir.net A class of nonideal oscillating (by Sommerfeld –Kononenko) dynamical systems is considered. We establish the existence of two types of hyperchaotic attractors in these systems. We describe scenari- os of transitions from regular attractors to chaotic ones and scenarios of transitions between chaotic attractors of different types. Розглянуто клас неiдеальних коливних (за Зоммерфельдом –Кононенком) динамiчних систем. Встановлено iснування двох типiв гиперхаотичних атракторiв у таких системах. Описано сценарiї переходiв вiд регулярних атракторiв до хаотичних, а також сценарiї переходiв мiж рiзними типами хаотичних атракторiв. 1. Введение. При исследовании возникновения детерминированного хаоса в динамиче- ских системах большое внимание уделяется описанию сценариев переходов от регулярных режимов к хаотическим. Несмотря на большое количество математических моделей ди- намических систем сценарии переходов к хаосу в таких системах можно разбить на три группы. К первой группе принадлежит сценарий Фейгенбаума, при реализации которого происходит переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периодов предельных циклов [1, 2]. Ко второй группе принадлежат сценарии переходов к хаосу че- рез перемежаемость по Помо –Манневиллю [3, 4]. Наконец, к третьей группе принадлежат сценарии, описывающие переход к хаосу через разрушение инвариантных торов [5]. В последнее время были описаны сценарии переходов к хаосу, представляющие собой различные обобщения сценариев Помо –Манневилля [6 – 8], а также сценарии, которым присущи как каскады бифуркаций удвоения периодов, так и различные типы перемежа- емостей [9, 10]. Однако многие вопросы, касающиеся возможных сценариев переходов к хаосу, остаются не выясненными. 2. Постановка задачи и математическая модель. Любая колебательная система состоит из двух основных подсистем, источника возбуждения колебаний и собственно колеба- тельной нагрузки. Если мощность источника возбуждения сравнима с мощностью, по- требляемой колебательной нагрузкой, то такая система называется неидеальной по Зом- мерфельду –Кононенко [11]. Если же мощность источника возбуждения значительно пре- вышает мощность, потребляемую колебательной нагрузкой, то такая система называется идеальной. Задачи глобального энергосбережения вынуждаютмаксимальноминимизироватьмощ- ности применяемых источников возбуждения колебаний. В связи с этим большинство реальных современных колебательных систем являются неидеальными. При математиче- ском моделировании неидеальных систем обязательно следует учитывать обратное вли- яние колебательной нагрузки на функционирование источника возбуждения колебаний. © А. Ю. Швец, В. А. Сиренко, 2018 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 284 СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДОВ К ГИПЕРХАОСУ В НЕИДЕАЛЬНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ . . . 285 Это приводит к тому, что дифференциальные уравнения движения неидеальной системы содержат дополнительные уравнения по сравнению с идеальным случаем. Заметим, что пренебрежение влиянием колебательной нагрузки на источник возбуждения может при- вести к утрате информации о реально существующих как регулярных, так и хаотических установившихся режимах колебаний [6, 7]. Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений: dp1 dτ = αp1 − [β + A 2 (p21 + q21 + p22 + q22)]q1 +B(p1q2 − p2q1)p2, dq1 dτ = αq1 + [ β + A 2 ( p21 + q21 + p22 + q22 ) ] p1 +B(p1q2 − p2q1)q2 + 1, dβ dτ = N3 +N1β − µ1q1, (1) dp2 dτ = αp2 − [ β + A 2 ( p21 + q21 + p22 + q22 ) ] q2 −B(p1q2 − p2q1)p1, dq2 dτ = αq2 + [ β + A 2 ( p21 + q21 + p22 + q22 ) ] p2 −B(p1q2 − p2q1)q1, где p1, q1, β, p2, q2 —фазовые координаты, τ —время, A, B, α, N1, N3, µ1 —некоторые параметры. Как установлено в работах [6, 7, 12 – 16], система уравнений (1) используется для описа- ния колебаний жидкости в цилиндрических баках, моделирования колебаний тонкостен- ных оболочек, изучения маятниковых систем с вибрирующей точкой подвеса и ряда других актуальных задач нелинейной динамики. В зависимости от рассматриваемой прикладной задачи параметры A, B, α, N1, N3, µ1 имеют различный физический или геометрический смысл. В свою очередь, фазовые переменные p1, q1, p2, q2 являются обобщенными коорди- натами колебательной подсистемы, фазовая переменная β описывает функционирование источника возбуждения колебаний [6, 7]. Система уравнений (1) — нелинейная детерминированная динамическая система с пятимерным фазовым пространством. В работах [6 – 10] установлено, что существует не- сколько типов регулярныхи хаотических аттракторов этой системыи описан ряд сценариев перехода к хаосу, обобщающих классические сценарии Помо –Манневилля и Фейгенбау- ма. Цель данной работы— выявление и описание новых сценариев перехода к детермини- рованному хаосу в динамических системах типа (1).Мырассмотримкак сценарии перехода от регулярных аттракторов к хаотическим, так и сценарии переходов между различными типами хаотических аттракторов. 3. Идентификация и описание сценариев перехода к гиперхаосу. Так как система урав- нений (1) является нелинейной, то в общем случае детальное и всестороннее исследова- ние ее динамики может быть проведено только с использованием различных численных, численно-аналитических и компьютерных методов [5, 17]. В пространстве параметров си- стемы (1) был проведен большой цикл компьютерных расчетов, целью которых являлось выявление регулярных, хаотических и гиперхаотических аттракторов, а также новых сце- нариев перехода к гиперхаосу.Методика проведения таких расчетов разработана и описана в [7, 18]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 286 А. Ю. ШВЕЦ, В. А. СИРЕНКО a) б) в) г) Рис. 1. Проекции фазовых портретов предельных циклов при а) α = −0.025; в) α = −0.0352; б) квазиперио- дического аттрактора при α = −0.03 и г) хаотического аттрактора при α = −0.0384. Пусть параметры системы (1) имеют следующие значения: A = 1.12, B = −1.531, N3 = −1, N1 = −1, µ1 = 4.125. Проведем исследование существующих в системе аттракторов и сценариев перехода типов “регулярный режим – хаос” и “хаос – хаос” при изменении значения параметра α. Заме- тим, что выбор таких значений параметров произведен на основании карт динамических режимов этой системы, построенных в работах [8, 9]. Особое внимание при этом уделим гиперхаотическим аттракторам и особенностям их возникновения. При −0.0254 < α < −0.0102 в системе существует устойчивый однотактный пре- дельный цикл. Проекция фазового портрета предельного цикла такого типа приведена на рис. 1 а. Сигнатура спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) таких предельных циклов имеет вид 〈0,−,−,−,−〉 . При уменьшении значения параметра α, при α = −0.0254, существующий предельный цикл теряет устойчивость, и в системе в ре- зультате бифуркации Неймарка возникает устойчивый инвариантный тор [19]. На рис. 1 б приведена проекция фазового портрета инвариантного тора, построенного при α = −0.03. Сигнатура спектра ЛХП инвариантного тора имеет вид 〈0, 0,−,−,−〉 . При дальнейшем уменьшении значения параметра α = −0.0352 происходит разру- шение тора и возникновение резонансного цикла на торе (рис. 1 в). Но уже при значении α = −0.0382 существующий резонансный предельный цикл исчезает и в системе возникает хаотический аттрактор (рис. 1 г). Сигнатура спектра ЛХП хаотического аттрактора имеет ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДОВ К ГИПЕРХАОСУ В НЕИДЕАЛЬНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ . . . 287 Рис. 2. Проекция фазового портрета “малого” гиперхаотического аттрактора при α = −0.0388. вид 〈+, 0,−,−,−〉 . Полученный хаотический аттрактор (рис. 1 г) существует на достаточно малом интервале изменения параметра, и уже при α = −0.0388 наблюдается бифуркация “хаос – гиперхаос”, в результате которой возникает гиперхаотический аттрактор (рис. 2) с сигнатурой спектра ЛХП 〈+,+, 0,−,−〉 . Проекция фазового портрета возникшего ги- перхаотического аттрактора (рис. 2) визуально незначительно отличается от проекции хаотического аттрактора (рис. 1 г). Но существенная разница между этими аттракторами заключается в том, что спектр ЛХП гиперхаотического аттрактора содержит два положи- тельных ляпуновских показателя, а спектр ЛХП хаотического аттрактора — только один положительный ляпуновский показатель. Следовательно, в фазовом пространстве гипер- хаотического аттрактора существуют два направления, по которым разбегаются близкие фазовые траектории, принадлежащие аттрактору. При дальнейшем уменьшении параметра α, при α = −0.0402, происходит бифурка- ция “гиперхаос – гиперхаос”. Гиперхаотический аттрактор (рис. 2) исчезает и в системе возникает гиперхаотический аттрактор нового типа. Проекции фазового портрета тако- го аттрактора приведены на рис. 3. Причем на рис. 3 б приведен увеличенный фрагмент рис. 3 а. Прежде всего следует заметить, что по сравнению с гиперхаотическим аттрак- тором, приведенным на рис. 2, значительно увеличивается объем области локализации аттрактора в фазовом пространстве. Соответственно заметно растут амплитуды колебаний фазовых переменных. Кроме того, у возникшего гиперхаотического аттрактора приблизи- тельно в три раза возрастает величина старшего ляпуновского показателя, что свидетель- ствует об увеличении скорости разбегания близких фазовых траекторий, принадлежащих аттрактору. Также следует обратить внимание на качественное подобие фрагмента про- екции возникшего гиперхаотического аттрактора (рис. 3 б) всей проекции исчезнувшего гиперхаотического аттрактора (рис. 2). Следуя терминологии, введенной для хаотических аттракторов в работах [8, 9], будем называть гиперхаотические аттракторы типа, представленного на рис. 3, “большими”, а гиперхаотические аттракторы типа, приведенного на рис. 2, — “малыми”. Как показали проведенные исследования, переход “гиперхаос – гиперхаос” происходит по сценарию обобщенной перемежаемости, который был детально описан в работах [7, 9, 18] для переходов типа “хаос – хаос”. Здесь сценарий обобщенной перемежаемости реализуется для переходов “гиперхаос – гиперхаос”. В соответствии с таким сценарием движение по траекториям “большого” гиперхаотического аттрактора состоит из двух фаз. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 288 А. Ю. ШВЕЦ, В. А. СИРЕНКО a) б) Рис. 3. Проекции фазового портрета “большого” гиперхаотического аттрактора при α = −0.0402. a) б) в) Рис. 4. Проекции сечения Пуанкаре гиперхаотических аттракторов при а) α = −0.0388; б), в) α = −0.0402. Водной из них, грубо-ламинарной по классификации работ [7, 18], происходит хаотическое движение траекторий в области локализации исчезнувшего “малого” гиперхаотического аттрактора (рис. 3 б). В другой фазе, турбулентной, происходят непредсказуемые уходы траекторий в отдаленные области фазового пространства (рис. 3 а). Подобные закономерности, характерные для перемежаемости, наблюдаются и при анализе сечений Пуанкаре. На рис. 4 приведены проекции сечений Пуанкаре “малого” (рис. 4 а) и “большого” (рис. 4 б, в) гиперхаотических аттракторов. В качестве секущей выбиралась плоскость β = −1.2. Заметим, что рис. 4 в является увеличенным фрагментом центральной части рис. 4 б. Построенные сечения представляют собой развитые хаоти- ческие множества точек. Внимательное изучение этих рисунков позволяет заметить каче- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДОВ К ГИПЕРХАОСУ В НЕИДЕАЛЬНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ . . . 289 a) б) в) г) Рис. 5. Проекции фазовых портретов симметричных предельных циклов при а), б) α = −0.02 и квазиперио- дических аттракторов в), г) при α = −0.027. ственное подобие сеченияПуанкаре “малого” гиперхаоса с густо затемненной центральной частью сечения Пуанкаре “большого” гиперхаоса. Фактически сечение Пуанкаре “малого” гиперхаоса является подмножеством соответствующего сечения “большого” гиперхаоса. Это еще раз подчеркивает перемежаемость аттракторов. Грубо-ламинарной фазе переме- жаемости отвечают точки, расположенные в густо затемненной центральной части рис. 4 б. Соответственно точки, расположенные на более светлых участках этого рисунка, принад- лежат турбулентной фазе перемежаемости. Положим µ1 = 4.024. При этом не будем изменять значения остальных параметров системы (1). В результате проведения большого количества численных компьютерных экспериментов удалось обнаружить и описать достаточно сложную цепочку сценариев перехода от регулярных аттракторов к хаотическим. Установлено, что при −0.026 < α < −0.01 в системе существуют симметричные относи- тельно оси q1 = 0 однотактные предельные циклы. Проекции фазовых портретов предель- ных циклов такого типа приведенына рис. 5 а, б. Каждый из предельных циклов существует отдельно и характеризуется своим бассейном притяжения. При уменьшении значения па- раметра α, при α = −0.027, существующие предельные циклы теряют устойчивость и в системе возникают симметричные инвариантные торы. На рис. 5 в, г приведены проекции фазовых портретов симметричных инвариантных торов, построенных при α = −0.034. Каждый из построенных инвариантных торов существует отдельно, имеет свой бассейн притяжения и возникает в окрестности соответствующего предельного цикла, “верхнего” или “нижнего”, в результате бифуркации Неймарка [5]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 290 А. Ю. ШВЕЦ, В. А. СИРЕНКО a) б) в) г) Рис. 6. Проекции фазовых портретов симметричных предельных циклов на торах при а), б) α = −0.035 и хаотических аттракторов в), г) при α = −0.0365. При дальнейшем уменьшении значения параметра, при α = −0.035, происходит раз- рушение каждого из симметричных торов и возникновение симметричных резонансных циклов на торах (рис. 6 а, б). Каждый из полученных резонансных циклов возникает на соответствующей тороидальной поверхности и характеризуется своим бассейном притя- жения. Но уже при значении α = −0.0365 существующие симметричные резонансные пре- дельные циклы исчезают и в системе возникают симметричные хаотические аттракторы (рис. 6 в, г). В спектре ЛХП каждого из полученных хаотических аттракторов присутствует один положительный показатель, что свидетельствует об их хаотичности. Возникновение каждого из хаотических аттракторов происходит по классическому сценарию переме- жаемости Помо –Манневилля [3, 4]. Хаотические аттракторы имеют разные бассейны притяжения, не имеющие общих точек. Хаотические аттракторы (рис. 6 в, г) существуют на достаточно малом интервале изме- нения параметра α, и уже при α = −0.0405 наблюдается бифуркация “хаос – гиперхаос”, в результате которой происходит разрушение каждого из хаотических аттракторов и возник- новение соответствующих гиперхаотических аттракторов (рис. 7 а, б). Сигнатура спектра ЛХП каждого гиперхаотического аттрактора имеет вид 〈+,+, 0,−,−〉 . Проекции фазовых портретов (рис. 7 а, б) построенных гиперхаотических аттракторов незначительно визу- ально отличаются от соответствующих хаотических (рис. 6 в, г). Но существенная разница между ними заключается в том, что спектр ЛХП гиперхаотического аттрактора имеет два положительных ляпуновских показателя, в то время как спектр ЛХП хаотического аттрактора имеет только один положительный ляпуновский показатель. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДОВ К ГИПЕРХАОСУ В НЕИДЕАЛЬНЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ . . . 291 a) б) в) г) Рис. 7. Проекции фазовых портретов симметричных гиперхаотических аттракторов при а), б) α = −0.0405 и гиперхаотического аттрактора в), г) при α = −0.0407. Возникающие симметричные гиперхаотические аттракторы также существуют на не- большом интервале изменения параметра α, и уже при значении α = −0.0407 в системе происходит бифуркация “гиперхаос – гиперхаос”, в результате которой гиперхаотические аттракторы (рис. 7 а, б) исчезают и в системе возникает гиперхаотический аттрактор ново- го типа. Проекция фазового портрета такого гиперхаотического аттрактора приведена на рис. 7 в. Данный аттрактор представляет собой “склейку” исчезающих, после прохожде- ния точки бифуркации, гиперхаотических аттракторов с симметричными проекциями. На рис. 7 г приведен фрагмент центральной (более темной) части гиперхаотического аттра- ктора (рис. 7 в). Эта затемненная часть соответствует областям локализации исчезнувших гиперхаотических аттракторов. Переход “гиперхаос – гиперхаос” здесь происходит по модифицированному сценарию обобщенной перемежаемости. Такая перемежаемость имеет существенные отличия от обобщенной перемежаемости, описанной в [7, 9, 18]. Движение типичной траектории аттрактора состоит из трех фаз. Две из этих фаз представляют хаотические движения тра- ектории в одной из затемненных (верхней или нижней) областей рис. 7 в, г, т. е. в областях локализации исчезнувших гиперхаотических аттракторов (рис. 7 а, б). Такие фазы дви- жения называются грубо-ламинарными. Третья фаза движения представляет собой уходы траектории в отдаленные области фазового пространства. Эта фаза движения называется турбулентной. Таким образом, траектория, начав движение, например, в одной из грубо- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 292 А. Ю. ШВЕЦ, В. А. СИРЕНКО ламинарных фаз, в непредвиденный момент времени срывается в турбулентную фазу. Да- лее, опять в непредвиденный момент времени возвращается в одну из грубо-ламинарных фаз. Причем, начав движение в верхней затемненной области рис. 7 а, б, траектория после турбулентного всплеска может вернуться как в верхнюю затемненную область, так и пе- рейти в нижнюю. Отметим, что “переключение” траекторий между грубо-ламинарными фазами является непредсказуемым. Такой сложный характер изменения фаз движения тра- ектории повторяется бесконечное число раз. В отличие от описанного в [7, 9, 18] сценария обобщенной перемежаемости здесь присутствуют две грубо-ламинарные фазы движения. Литература 1. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. – 1978. – 19, № 1. – P. 25 – 52. 2. Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. – 1979. – 21, № 6. – P. 669 – 706. 3. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems // Phys. D. – 1980. – 1, № 2. – P. 219 – 226. 4. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Comm. Math. Phys. – 1980. – 74, № 2. – P. 189 – 197. 5. Кузнецов С. П. Динамический хаос. – М.: Физматлит, 2006. – 356 c. 6. Krasnopol’skayaT. S., Shvets А. Yu. Chaotic surfacewaves in limited power—supply cylindrical tank vibrations // J. Fluids Struct. – 1994. – 8, № 1. – P. 1 – 18. 7. Krasnopol’skaya T. S., Shvets А. Yu. Dynamical chaos for a limited power supply for fluid oscillations in cylindrical tanks // J. Sound Vib. – 2009. – 322, № 3. – P. 532 – 553. 8. Швец А. Ю., Сиренко В. А. Особенности перехода к детерминированному хаосу в неидеальной гидроди- намической системе “бак с жидкостью – электродвигатель” // Динам. системы. – 2011. – 1(29), № 1. – С. 113 – 131. 9. Швец А.Ю., Сиренко В. А. Единство и разнообразие сценариев перехода к хаосу при колебаниях жидкости в цилиндрических баках // Зб. праць Iн-ту математики НАН України “Математичнi проблеми механiки та обчислювальної математики”. – 2014. – 11, № 4. – C. 386 – 398. 10. Shvets A. Yu., Sirenko V. O. New ways of transitions to deterministic chaos in non ideal oscillating systems // Res. Bull. Nat. Techn. Univ. Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute”. – 2015. – 99, № 1. – P. 45 – 51. 11. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. – М.: Наука, 1964. – 256 c. 12. Луковский И. А. Математические модели нелинейной динамики твердых тел с жидкостью. – Киев: Наук. думка, 2010. – 407 с. 13. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. – М.: Машиностроение, 1983. – 296 с. 14. Ibrahim R. A. Liquid sloshing dynamics: theory and applications. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005. – 970 p. 15. Швец А. Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 4. – С. 534 – 548. 16. Krasnopol’skaya T. S., Shvets A. Yu. Properties of chaotic fluid oscillations in cylindrical basins // Internat. Appl. Mech. – 1992. – 28, № 6. – P. 386 – 394. 17. Samoilenko A. M., Ronto N. I. Numerical-analytic methods of investigating periodic solutions. – Moscow: Mir, 1979. 18. Krasnopolskaya T. S., Shvets А. Yu. Regular and chaotic dynamics of systemswith limited excitation. –Moscow – Izhevsk: R&C Dynamics, 2008. – 280 p. 19. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. – М: Наука. – 1987. – 303 с. Получено 01.11.17 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2

Сценарии переходов к гиперхаосу в неидеальных колебательных системах

Репозитарії

Схожі ресурси