Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа
Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi для вироджуваного багатовимiрного рiвняння мiшаного типу однозначно розв’язна. Встановлено також критерiй єдиностi регулярного розв’язку....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177290 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 20-31 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177290 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772902021-02-15T01:26:20Z Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа Алдашев, С.А. Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi для вироджуваного багатовимiрного рiвняння мiшаного типу однозначно розв’язна. Встановлено також критерiй єдиностi регулярного розв’язку. We show that a Dirichlet problem, in a cylindrical domain, for a degenerating many-dimension equation of a mixed type has a unique solution. We find a criterion for uniqueness of a regular solution. 2017 Article Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 20-31 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177290 517.956 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi для вироджуваного багатовимiрного рiвняння мiшаного типу однозначно розв’язна. Встановлено також критерiй єдиностi регулярного розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Алдашев, С.А. |
| spellingShingle |
Алдашев, С.А. Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа Нелінійні коливання |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| author_sort |
Алдашев, С.А. |
| title |
Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа |
| title_short |
Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа |
| title_full |
Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа |
| title_fullStr |
Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа |
| title_full_unstemmed |
Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа |
| title_sort |
корректность задачи дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177290 |
| citation_txt |
Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 20-31 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa korrektnostʹzadačidirihledlâvyroždaûŝegosâmnogomernogouravneniâsmešannogotipa |
| first_indexed |
2025-07-15T15:19:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:19:59Z |
| _version_ |
1837726747728019456 |
| fulltext |
УДК 517.956
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
С. А. Алдашев
Казах. нац. пед. ун-т им. Абая
ул. Толеби, 86, Алматы, 050012, Казахстан
e-mail: aldash51@mail.ru
We show that a Dirichlet problem, in a cylindrical domain, for a degenerating many-dimension equation
of a mixed type has a unique solution. We find a criterion for uniqueness of a regular solution.
Показано, що задача Дiрiхле в цилiндричнiй областi для вироджуваного багатовимiрного рiв-
няння мiшаного типу однозначно розв’язна. Встановлено також критерiй єдиностi регуляр-
ного розв’язку.
1. Введение. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются
уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией u(x, t),
x = (x1, . . . , xm), m ≥ 2, то по принципу Гамильтона приходим к многомерным вырожда-
ющимся гиперболическим уравнениям.
Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Га-
мильтона также получаем многомерные вырождающиеся эллиптические уравнения.
Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в
качестве вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений.
Проблема корректности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в специаль-
ных областях была объектом исследований многих авторов на плоскости [1 – 5] и в про-
странстве [6]. В данной работе показано, что задача Дирихле в цилиндрической области
для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа однозначно разреши-
ма. Получен также критерий единственности регулярного решения.
2. Постановка задачи и результаты. Пусть Ωβγ — цилиндрическая область евклидова
пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1},
плоскостями t = β > 0 и t = γ < 0, где |x|— длина вектора x = (x1, . . . , xm).
Обозначим через Ωβ и Ωγ части области Ωβγ , а через Γβ, Γγ части поверхности Γ, ле-
жащие в полупространствах t > 0 и t < 0; σβ —верхнее, σγ — нижнее основание области
Ωβγ . Пусть далее S — общая часть границ областей Ωβ, Ωγ , представляющая множество
{t = 0, 0 < |x| < 1} в Em.
В области Ωβγ рассмотрим вырождающееся многомерное уравнение смешанного ти-
па
|t|p∆xu− sgn tutt = 0, (1)
где p = const > 0,∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сфери-
ческим r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θi ≤ π, i ∈ {1, 2, . . . ,m − 2}, 0 ≤ θm−1 < 2π,
θ = (θ1, . . . , θm−1).
c© С. А. Алдашев, 2017
20 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 21
Задача 1 (Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Ωβγ при t 6= 0 из класса
C(Ωβγ) ∩ C1(Ωβγ) ∩ C2(Ωβ ∪ Ωγ), удовлетворяющее краевым условиям
u
∣∣
σβ
= ϕ1(r, θ), u
∣∣
Γβ
= ψ1(t, θ), (2)
u
∣∣
Γγ
= ψ2(t, θ), u
∣∣
σγ
= ϕ2(r, θ). (3)
Пусть
{
Y k
n,m(θ)
}
— система линейно независимых сферических функций порядка n,
1 ≤ k ≤ kn, (m− 2)!n!kn = (n+m− 3)!(2n+m− 2), W l
2(S), l = 0, 1, . . . , — пространства
Соболева.
Справедливы следующие утверждения [7].
Лемма 1. Пусть функция f(r, θ) принадлежит W l
2(S). Если l ≥ m− 1, то ряд
f(r, θ) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
fkn(r)Y k
n,m(θ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ≤ l−m+1, сходятся
абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы функция f(r, θ) принадлежала W l
2(S), необходимо и до-
статочно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
|f1
0 (r)| ≤ c1,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n2l
∣∣∣fkn(r)
∣∣∣2 ≤ c2, c1, c2 = const.
Через ϕk1n(r), ϕk2n(r), ψk1n(t), ψk2n(t) обозначим коэффициенты ряда (4), соответствен-
но, функций ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ), ψ1(t, θ), ψ2(t, θ).
Теорема 1. Если ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ) ∈ W l
2(S), ψ1(t, θ) ∈ W l
2(Γβ), ψ2(t, θ) ∈ W l
2(Γγ), l ≥ 3m
2и имеет место
cosµs,nβ
′ shµs,nγ
′ 6= sinµs,nβ
′ chµs,nγ
′, s = 1, 2, . . . , (5)
где µs,n — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+m−2
2
(z), β′ =
2
2 + p
×
×β
2+p
2 , γ′ =
2
2 + p
γ
2+p
2 , то задача 1 однозначно разрешима.
Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняет-
ся условие (5).
Отметим, что эти теоремы при p = 0 получены в [8].
3. Доказательство теоремы 1. В сферических координатах уравнение (1) в области Ωβ
имеет вид
tp
(
urr +
m− 1
r
ur −
δu
r2
)
− utt = 0, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
22 С. А. АЛДАШЕВ
δ ≡ −
m−1∑
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(
sinm−j−1 ∂
∂θj
)
, g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2, j > 1.
Известно [7], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n+m−2),
n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных
функций Y k
n,m(θ).
Поскольку искомое решение задачи 1 в области Ωβ принадлежит классуC(Ω̄β)∩C2(Ωβ),
то его можно искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūkn(r, t)Y k
n,m(θ), (7)
где ūkn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (7) в (6) и используя ортогональность сферических функций Y k
n,m(θ) [7],
имеем
tp
(
ūknrr +
m− 1
r
ūknr −
λn
r2
ūkn
)
− ūkntt = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (8)
при этом краевое условие (2), с учетом леммы 1, соответственно запишется в виде
ūkn(r, β) = ϕ̄k1n(r), ūkn(1, t) = ψk1n(t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (9)
Выполняя в (8), (9) замену ῡkn(r, t) = ukn(r, t)− ψk1n(t), получаем
tp
(
ῡknrr +
m− 1
r
ῡknr −
λn
r2
ῡkn
)
− ῡkntt = f
k
n(r, t), (10)
ῡkn(r, β) = ϕk1n(r), ῡkn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (11)
f
k
n(r, t) = ψk1ntt +
λnt
p
r2
ψk1n(t), ϕk1n(r) = ϕk1n(r)− ψk1n(β).
Далее, выполняя замену ῡkn(r, t) = r
1−m
2 υkn(r, t) и полагая затем r = r, x0 =
2
2 + p
t
2+p
2 ,
задачу (10), (11) сводим к задаче
Lαυ
k
α,n ≡ υkα,nrr − υkα,nx0x0 −
α
x0
υkα,nx0 +
λ̄n
r2
υkα,n = fkα,n(r, x0), (12)
υkα,n(r, β′) = ϕ̃k1n(r), υkα,n(1, x0) = 0, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 23
где 0 < α =
p
2 + p
< 1, λ̄n =
(m− 1)(3−m)− 4λn
2
,
υkα,n(r, x0) = υkn
[
r,
(
2 + p
2
x0
) 2
2+p
]
,
fkα,n(r, x0) = r
m−1
2
(
x0
1− α
)−2α
f̄kn(r)
[
r,
(
x0
1− α
)1−α
]
,
ϕ̃k1n(r) = r
m−1
2 ϕk1n(r).
Решение задачи (12), (13) будем искать в виде
υkα,n(r, x0) = υk,1α,n(r, x0) + υk,2α,n(r, x0), (14)
где υk,1α,n(r, x0) — решение задачи Коши
Lαυ
k,1
α,n = fkα,n(r, x0), (15)
υk,1α,n(r, β′) = 0, υk,1α,n(1, x0) = 0, (16)
а υk,2α,n(r, x0) — решение задачи
Lαυ
k,2
α,n = 0, (17)
υk,2α,n(r, β′) = ϕ̃1n(r), υk,2α,n(1, x0) = 0. (18)
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде
υkα,n(r, x0) =
∞∑
s=1
Rs(r)Tα,s(x0), (19)
при этом пусть
fkα,n(r, x0) =
∞∑
s=1
aα,s(x0)Rs(r), ϕ̃k1n(r) =
∞∑
s=1
bsRs(r). (20)
Подставляя (19) в (15), (16), с учетом (20) получаем
Rsrr +
λ̄n
r2
Rs + µRs = 0, 0 < r < 1, (21)
Rs(1) = 0,
∣∣Rs(0)
∣∣ < ∞, (22)
MαTα,s ≡ Tα,sx0x0 +
α
x0
Tα,sx0 + µTα,s = −aα,s(x0), 0 < x0 < β′, (23α)
Tα,s(β
′) = 0. (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
24 С. А. АЛДАШЕВ
Ограниченным решением задачи (21), (22) является следующее [9]:
Rs(r) =
√
rJν(µs,nr), (25)
где ν =
n+m− 2
2
, µ = µ2
s,n.
Наряду с уравнением (23α) рассмотрим уравнение
M0T0,s ≡ T0,sx0x0 + µT0,s = −a0,s(x0), 0 < x0 < β′. (230)
Как доказано в [10, 11], существует следующая функциональная связь между решения-
ми задачи Коши для уравнений (23α) и (230).
Утверждение 1. Если T 1
0,s(x0) — решение задачи Коши для уравнения (230), удовлет-
воряющее условиям
T 1
0,s(0) = τs, T 1
0,sx0(0) = 0, (26)
то функция
T 1
α,s(x0) = γα
1∫
0
T 1
0,s(ξx0)(1− ξ2)
α
2
−1dξ ≡ 2−1γαΓ
(α
2
)
x1−α
0 D
−α
2
0x20
[
T 1
0,s(x0)
x2
0
]
(27)
при α > 0 является решением уравнения (23α) с условиями (26).
Утверждение 2. Если T 2
0,s(x0) — решение задачи Коши для уравнения (230), удовле-
творяющее условиям
T 2
0,s(0) =
νs
(1− α)(3− α) . . . (2q + 1− α)
, T 2
0,sx0(0) = 0,
то при 0 < α < 1 функция
T 2
α,s(x0) = γ2−k+2q
(
1
x0
∂
∂x0
)q x1−α+2q
0
1∫
0
T 2
0,s(ξx0)(1− ξ2)q−
α
2 dξ
≡
≡ γ2−k+2q2
q−1Γ
(
q − α
2
+ 1
)
D
α
2
−1
0x20
[
T 2
0,s(x0)
x0
]
(28)
является решением уравнения (23α) с начальными данными
T 2
α,s(0) = 0, lim
x0→+0
xα0
∂
∂x0
T 2
α,s = νs,
где
√
πΓ
(α
2
)
γα = 2Γ
(
α+ 1
2
)
, Γ(z) — гамма-функция,Dα
0t — оператор Римана – Лиувил-
ля [12], q ≥ 0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 − α + 2q ≥
≥ m− 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 25
При этом функции aα,s(x0) и a0,s(x0) связаны формулами (27) в случае утверждения 1
и формулами (28) в случае утверждения 2.
В силу (27), (28), учитывая обратимость оператора Dα
0t [12], из условия (24) получаем
условие
T0,s(β
′) = 0. (29)
Теперь будем решать задачу (230), (29).
Общее решение уравнения (230) имеет вид [9]
T0,s(x0) = c1s cosµs,nx0 + c2s sinµs,nx0 +
cosµs,nx0
µs,n
x0∫
0
a0,s(ξ) sinµs,nξ dξ−
− sinµs,nx0
µs,n
x0∫
0
a0,s(ξ) cosµs,nξ dξ, (30)
где c1s, c2s — произвольные пока неизвестные постоянные. Удовлетворив условию (29),
будем иметь
c1s cosµs,nβ
′ + c1s sinµs,nβ
′ +
cosµs,nβ
′
µs,n
β′∫
0
a0,s(ξ) sinµs,nξ dξ−
− sinµs,nβ
′
µs,n
β′∫
0
a0,s(ξ) cosµs,nξ dξ = 0. (31)
Подставляя (25) в (20), получаем
r−
1
2 fkα,n(r, x0) =
∞∑
s=1
aα,s(x0)Jν(µs,nr), r−
1
2 ϕ̃k1n(r) =
∞∑
s=1
bs,nJν(µs,nr), 0 < r < 1. (32)
Ряды (32) — разложение в ряды Фурье – Бесселя [13], если
aα,s(x0) = 2[Jν+1(µs,n)]−2
1∫
0
√
ξfkα,n(ξ, x0)Jν(µs,nξ) dξ,
bs = 2[Jν+1(µs,n)]−2
1∫
0
√
ξϕ̃k1n(ξ)Jν(µs,nξ) dξ, (33)
где µs,n, s = 1, 2, . . . , — положительные нули функций Бесселя Jν(z), расположенные в
порядке возрастания их величин.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
26 С. А. АЛДАШЕВ
Таким образом, если известны постоянные c1s, c2s, то из (30) однозначно найдем ре-
шение T0,s(x0) уравнения (230).
Далее, подставляя (19) в (17), (18), с учетом (20) получаем задачу
MαTα,s ≡ Tα,sx0x0 +
α
x0
Tα,sx0 + µTα,s = 0, 0 < x0 < β′,
Tα,s
(
β′
)
= bs,
которая в силу (27), (28) переходит в задачу
M0T0,s ≡ T0,sx0x0 + µT0,s = 0, 0 < x0 < β′, (340)
T0,s
(
β′
)
= bs, (35)
где bs находится из (33).
Общее решение уравнения (340) записывается в виде
T0,s(x0) = c′1s cosµs,nx0 + c′2s sinµs,nx0. (36)
Удовлетворив условию (35), получим
c′1s cosµs,nβ
′ + c′2s sinµs,nβ
′ = bs. (37)
Теперь рассмотрим в области Ωγ первую краевую задачу для уравнения
(−t)p
(
urr +
m− 1
r
ur −
δu
r2
)
+ utt = 0 (38)
с условиями
u
∣∣
σγ
= ϕ2(r, θ), u
∣∣
Γγ
= ψ2(t, θ). (3′)
Решение задачи (38), (3′) будем искать в виде (7).
Подставляя (7) в (38), получаем уравнение
(−t)p
(
ūknrr +
m− 1
r
ūknr −
λn
r2
ūkn
)
+ ūkntt = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (39)
при этом краевое условие (3′)принимает вид
ukn(r, γ) = ϕk2n(r), ukn(1, t) = ψk2n(t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (40)
Выполняя в (39), (40) замену ω̄kn(r, t) = ūkn(r, t)− ψk2n(t), получаем
(−t)p
(
ω̄knrr +
m− 1
r
ω̄knr −
λn
r2
ω̄kn
)
+ ω̄kntt = gkn(r, t), (41)
ω̄kn(r, γ) = ϕk2n(r), ω̄kn(1, t) = 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (42)
ḡkn(r, t) = −ψk2ntt +
λn(−t)p
r2
ψk2n, ϕk2n(r) = ϕ̄k2n(r)− ψk2n(γ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 27
Далее, выполняя замену ω̄kn(r, t) = r
1−m
2 ωkn(r, t) и полагая затем r = r, x0 =
2
2 + p
(−t)
2+p
2 ,
задачу (41), (42) сводим к задаче
Lαω
k
α,n ≡ ωkα,nrr + ωkα,nx0x0 +
α
x0
ωkα,nx0 +
λ̄n
r2
ωkα,n = gkα,n(r, x0), (43)
ωkα,n(r, γ′) = ϕ̃k2n(r), ωkα,n(1, x0) = 0, (44)
ωkα,n(r, x0) = ωkn
[
r,
(
2 + p
2
x0
) 2
2+p
]
,
gkα,n(r, x0) = r
m−1
2
(
x0
1− α
)−2α
ḡkn(r)
[
r,
(
x0
1− α
)1−α
]
,
ϕ̃k2n(r) = r
m−1
2 ϕk2n(r).
Решение задачи (43), (44) ищем в виде
ωkα,n(r, x0) = ωk,1α,n(r, x0) + ωk,2α,n(r, x0), (45)
где ωk,1α,n(r, x0) — решение задачи
Lαω
k,1
α,n = gkα,n(r, x0), (46)
ωk,1α,n(r, γ′) = 0, ωk,1α,n(1, x0) = 0, (47)
а ωk,2α,n(r, x0) — решение задачи
Lαω
k,2
α,n = 0, (48)
ωk,2α,n(r, γ′) = ϕ̃k2n(r), ωk,2α,n(1, x0) = 0. (49)
Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде
ωkα,n(r, x0) =
∞∑
s=1
Rs(r)Vα,s(x0). (50)
При этом пусть
gkα,n(r, x0) =
∞∑
s=1
dα,s(x0)Rs(r), ϕ̃k2n(r) =
∞∑
s=1
esRs(r). (51)
Подставляя (50) в (46), (47), с учетом (51) получаем задачу
PαVα,s ≡ Vα,sx0x0 +
α
x0
Vα,sx0 − µ2
s,nVα,s = dα,s(x0), γ′ < x0 < 0, (52α)
Vα,s(γ
′) = 0. (53)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
28 С. А. АЛДАШЕВ
Наряду с уравнением (52α) рассмотрим уравнение
P0V0,s ≡ V0,sx0x0 − µ2
s,nV0,s = d0,s(x0), γ′ < x0 < 0, (520)
для которого справедливы утверждения 1 и 2, при этом функции dα,s(x0) и d0,s(x0) связа-
ны формулами (27) и (28).
В силу (27), (28) из (53) получим условие
V0,s(γ
′) = 0. (54)
Общее решение уравнения (520) представимо в виде [9]
V0,s(x0) = c̃1s chµs,nx0 + c̃2s shµs,nx0 +
chµs,nx0
µs,n
0∫
x0
d0,s(ξ) shµs,nξ dξ−
− shµs,nx0
µs,n
0∫
x0
d0,s(ξ) chµs,nξ dξ. (55)
Удовлетворив условию (54), будем иметь
c̃1s chµs,nγ
′ + c̃2s shµs,nγ
′ +
chµs,nγ
′
µs,n
0∫
γ′
d0,s(ξ) shµs,nξ dξ−
− shµs,nγ
′
µs,n
0∫
γ′
d0,s(ξ) chµs,nξ dξ = 0. (56)
Подставляя (25) в (51), получаем ряды
r−
1
2 gkα,n(r, x0) =
∞∑
s=1
dα,s(x0)Jν(µs,nr), r−
1
2 ϕ̃k2n(r) =
∞∑
s=1
esJν(µs,nr),
которые являются рядами Фурье – Бесселя, если
dα,s(x0) = 2[Jν+1(µs,n)]−2
1∫
0
√
ξgkα,n(ξ, x0)Jν(µs,nξ)dξ,
es = 2[Jν+1(µs,n)]−2
1∫
0
√
ξϕ̃k2n(ξ)Jν(µs,nξ)dξ. (57)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 29
Далее, подставляя (50) в (48), (49), с учетом (51) получаем задачу
PαVα,s ≡ Vα,sx0x0 +
α
x0
Vα,sx0 − µ2
s,nVα,s = 0, γ′ < x0 < 0,
Vα,s(γ
′) = es, (58)
которая в силу (27), (28) переходит в задачу
P0V0,s ≡ V0,sx0x0 − µ2
s,nVα,s = 0, γ′ < x0 < 0, (590)
V0,s(γ
′) = es, (60)
где es находится из формулы (57).
Общее решение уравнения (590) имеет вид
V0,s(x0) = c̃′1s chµs,nx0 + c̃′2s shµs,nx0. (61)
Удовлетворив условию (60), будем иметь
c̃′1s chµs,nγ
′ + c̃′2s shµs,nγ
′ = es. (62)
Поскольку искомое решение u принадлежит C(Ωβγ) ∩ C1(Ωβγ), то из (7), (19), (50)
следует, что
Tα,s(0) = Vα,s(0) = τs,
lim
x0→+0
xα0Tα,sx0 = lim
x0→−0
xα0Vα,sx0 = νs, s = 1, 2, . . . .
Отсюда и из утверждений 1, 2 получаем
T 1
0,s(0) = V 1
0,s(0) = τs, T 1
0,sx0(0) = V 1
0,sx0(0) = 0,
T 2
0,s(0) = V 2
0,s(0) =
νs
(1− α)(3− α) . . . (2q + 1− α)
, T 2
0,sx0(0) = V 2
0,sx0(0) = 0. (63)
Далее, из (30), (55), (63) следует, что
c1s = c̃1s = τs, c2s = c̃2s =
νs
µs,n
.
Аналогично из (36), (61), (63) имеем c′1s = c̃′1s, c
′
2s = c̃′2s.
Таким образом, для определения неизвестных коэффициентов c1s, c2s, c
′
1s, c
′
2s из (31),
(56), (37), (62) получаем системы алгебраических уравнений
µs,n(c1s cosµs,nβ
′ + c2s sinµs,nβ
′) = (sinµs,nβ
′)
β′∫
0
a0,s(ξ) cosµs,nξ dξ−
− (cosµs,nβ
′)
β′∫
0
a0,s(ξ) sinµs,nξ dξ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
30 С. А. АЛДАШЕВ
µs,n(c1s chµs,nγ
′ + c2s shµs,nγ
′) = (shµs,nγ
′)
0∫
γ′
d0,s(ξ) chµs,nξ dξ−
− (chµs,nγ
′)
0∫
γ′
d0,s(ξ) shµs,nξ dξ,
c′1s cosµs,nβ
′ + c′2s sinµs,nβ
′ = bs,
c′1s chµs,nγ
′ + c′2s shµs,nγ
′ = es,
которые однозначно разрешимы, если выполняется условие (5).
Следовательно, решения задач (230), (29) и (340), (35) определяются по формулам (30)
и (36).
Аналогично по формулам (55), (61) находятся решения задач (520), (54) и (590), (60).
Далее, используя утверждения 1 и 2 и формулы (14), (45), получаем единственное ре-
шение задачи 1 в виде ряда
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
{ψk1n(t) + r
1−m
2 [υk,1α,n(r, x0) + υk,2α,n(r, x0)]}Y k
n,m(θ), t > 0,
(64)
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
{ψk2n(t) + r
1−m
2 [ωk,1α,n(r, x0) + ωk,2α,n(r, x0)]}Y k
n,m(θ), t < 0.
Учитывая формулу [13] 2J ′ν(z) = Jν−1(z)− Jν+1(z), оценки [7, 14]
Jν(z) =
√
2
πz
cos
(
z − π
2
ν − π
4
)
+ 0
(
1
z3/2
)
, ν ≥ 0,
(65)
|kn| ≤ c1n
m−2,
∣∣∣∣∣ ∂q∂θqj Y k
n,m(θ)
∣∣∣∣∣ ≤ c2n
m
2
−1+q, j ∈ {1, 2, . . . ,m− 1}, q = 0, 1, . . . ,
а также леммы и ограничения на заданные функции ϕ1(r, θ), ϕ2(r, θ), ψ1(t, θ), ψ2(t, θ), не-
трудно показать, как в [10, 11], что полученное решение (64) принадлежит классуC(Ω̄βγ)∩
∩C1(Ωβγ) ∩ C2(Ωβ ∪ Ωγ).
Теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2. Если выполняется условие (5), то из теоремы 1 следует,
что решение задачи 1 единственно.
Пусть теперь условие (5) не выполняется хотя бы для одного s = l.
Тогда, если решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, будем искать в
виде ряда (7), придем к задачам (340), (29) при x0 > 0 и (59), (54) при x0 < 0, решениями
которых являются функции
T0,l(x0) = cosµl,nx0 + sinµl,nx0,
(66)V0,l(x0) = chµl,nx0 + shµl,nx0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 31
Далее, из (27), (66) следует, что однородные задачи (17), (18) и (48), (49) имеют ненулевые
решения
υkα,n(r, x0) = γα
√
r
1∫
0
T0,l(ξx0)(1− ξ2)
α
2
−1dξ
Jν(µl,nr),
ωkα,n(r, x0) = γα
√
r
1∫
0
V0,l(ξx0)(1− ξ2)
α
2
−1dξ
Jν(µl,nr), ν =
n+m− 2
2
.
Следовательно, нетривиальным решением однородной задачи 1 является функция
u(r, θ, t) =
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n−pr
1−m
2
[
υkα,n(r, x0) + ωkα,n(r, x0)
]
Y k
n,m(θ),
при этом из (65) следует, что она принадлежит искомому классу, если p >
3m
2
.
Литература
1. Шабат Б. В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // Докл. АН СССР. —
1957. — 112, № 3. — С. 386 – 389.
2. Бицадзе А. В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных облас-
тях // Докл. АН СССР. — 1958. — 122, № 2. — С. 167 – 170.
3. Солдатов А. П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева – Бицадзе // Докл. РАН. — 1993. —
332, № 6 — С. 696 – 698; 333, № 1. — С. 396 – 407.
4. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. — М.: Наука, 2006. —
287 с.
5. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл.
РАН. — 2007. — 413, № 1. — С. 23 – 26.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилинд-
рической области // Дифференц. уравнения. — 1970. — 6, № 1. — С. 190 – 191.
7. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М.: Физматгиз,
1962. — 254 с.
8. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения
Лаврентьева – Бицадзе // Изв. НАН РК. Сер. физ.-мат. — 2014. — № 3(295). — С. 136 – 143.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1965. — 703 с.
10. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. — Ал-
маты: Гылым, 1994. — 170 с.
11. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. — Орал: ЗКАТУ, 2007. —
139 с.
12. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1985. — 301 с.
13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 295 с.
14. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. — 724 с.
Получено 21.01.16,
после доработки — 23.08.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|