Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием
За допомогою узагальнення чисельно-аналiтичного методу встановлюються умови iснування перiодичних по t з перiодом T розв’язкiв системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними з iмпульсним збуренням....
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177391 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием / А.Б. Ткач // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 123-131. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177391 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1773912021-02-16T01:25:45Z Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием Ткач, А.Б. За допомогою узагальнення чисельно-аналiтичного методу встановлюються умови iснування перiодичних по t з перiодом T розв’язкiв системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними з iмпульсним збуренням. By a modification of the numerical-analytic method we establish conditions for existence of solutions periodic in t with period T for systems of partial integro-differential equations with an impulsive effect. 2005 Article Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием / А.Б. Ткач // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 123-131. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177391 517.946 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
За допомогою узагальнення чисельно-аналiтичного методу встановлюються умови iснування перiодичних по t з перiодом T розв’язкiв системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними з iмпульсним збуренням. |
| format |
Article |
| author |
Ткач, А.Б. |
| spellingShingle |
Ткач, А.Б. Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием Нелінійні коливання |
| author_facet |
Ткач, А.Б. |
| author_sort |
Ткач, А.Б. |
| title |
Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием |
| title_short |
Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием |
| title_full |
Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием |
| title_fullStr |
Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием |
| title_full_unstemmed |
Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием |
| title_sort |
численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177391 |
| citation_txt |
Численно-аналитический метод исследования периодических решений интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с импульсным воздействием / А.Б. Ткач // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 1. — С. 123-131. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT tkačab čislennoanalitičeskijmetodissledovaniâperiodičeskihrešenijintegrodifferencialʹnyhuravnenijsčastnymiproizvodnymisimpulʹsnymvozdejstviem |
| first_indexed |
2025-07-15T15:30:22Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:30:22Z |
| _version_ |
1837727400880766976 |
| fulltext |
УДК 517 . 946
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
А. Б. Ткач
Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко
Украина, 01033, Киев, ул. Владимирская, 64
By a modification of the numerical-analytic method we establish conditions for existence of solutions
periodic in t with period T for systems of partial integro-differential equations with an impulsive effect.
За допомогою узагальнення чисельно-аналiтичного методу встановлюються умови iснування
перiодичних по t з перiодом T розв’язкiв системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь з частинни-
ми похiдними з iмпульсним збуренням.
Введение. Численно-аналитический метод отыскания периодических решений, предло-
женный А. М. Самойленко [1] для отыскания периодических решений систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений, допускает многочисленные обобщения. В моно-
графии [2] численно-аналитический метод обобщен на системы уравнений с частными
производными. В статье [3] численно-аналитический метод отыскания периодических
решений развит для систем уравнений с частными производными с импульсным воздей-
ствием.
В статьях О. Д. Нуржанова, Б. Е. Турбаева, Н. А. Перестюка, Г. Х. Сарафовой, М. А. Хе-
кимовой [4 – 6] изучаются условия существования периодических решений систем интегро-
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
1. Постановка задачи и формулировка основных результатов. В настоящей работе
численно-аналитический метод обобщается на системы интегро-дифференциальных
уравнений с частными производными с импульсным воздействием вида
∂2u(t, x)
∂t∂x
= B(t, x)u(t, x) + f
(
t, x, u(t, x), u′t(t, x),
x∫
0
t+T∫
t
φ(t, s, x, η, u(s, η), u′s(s, η))dsdη
)
при t 6= ti, (1)
∆
∂u(t, x)
∂x
∣∣∣∣
t=ti
= Di(x)u(τi, x) + qi(x, u(τi, x), u′t(τi, x)). (2)
Здесь u, f, φ, qi ∈ En, (n × n)-матрицы B(t, x), Di(x), i ∈ Z, непрерывны относительно
своих аргументов. Вектор-функции f, φ, qi и матрицы Di, i ∈ Z, удовлетворяют равен-
ствам
c© А. Б. Ткач, 2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1 123
124 А. Б. ТКАЧ
f(t, x, u, u′t, z) = f(t + T, x, u, u′t, z),
φ(t, s, x, η, u, u′t) = φ(t + T, s, x, η, u, u′t) = φ(t, s + T, x, η, u, u′t),
(3)
Di+s(x) = Di(x),
qi+s(x, u, u′t) = qi(x, u, u′t)
для некоторого натурального числа s, T — период системы.
Будем искать периодическое по t с периодом T решение системы (1), (2), удовлетво-
ряющее условиям
u(t, 0) = u0(t) + ν(0), u(0, x) = u0(0) + ν(x). (4)
Вектор-функция u0(t) задана, непрерывна, периодична по t с периодом T, имеет непре-
рывную производную и удовлетворяет неравенствам∣∣u0(t)
∣∣ ≤ N,
∣∣u′0(t)∣∣ ≤ N1, (5)
а вектор-функция ν(x) находится в процессе построения периодического решения.
Предполагаем, что матрицы B(t, x), Di(x) и вектор-функции f(t, x, u, u′t, z), φ(t, s, x, η,
u, u′t) и qi(x, u, u′t), i ∈ Z, удовлетворяют следующим условиям:
I. Матрица B(t, x) определена и непрерывна в области Ω0: (t, x) ∈ (−∞,+∞)× [−a, a],
периодична по t с периодом T и элементы матрицы B определены соотношениями
Bij = sup
(t,x)∈Ω
∣∣{B(t, x)
}
ij
∣∣. (6)
II. Матрицы Di(x), i ∈ Z, определены и непрерывны при x ∈ [−a, a], матрица D0
определяется равенствами
D0 kj = sup
x∈[−a,a]
∣∣{Di(x)
}
kj
∣∣. (7)
III. Матрица
1
T
∫ T
0
B(ξ, x)dξ+
1
T
S∑
i=1
Di(x) невырождена, а элементы матрицы B0 опре-
делены соотношениями
B0
ij = sup
x∈[−a,a]
∣∣∣∣∣∣∣
1
T
T∫
0
B(ξ, x)dξ +
1
T
S∑
Di(x)
−1
ij
∣∣∣∣∣∣∣ . (8)
IV. Вектор-функция f(t, x, u1, u2, u3) определена в области
Ω : (t, x, u1, u2, u3) ∈ (−∞,+∞)× [−a, a]×D1 ×D2 ×D3,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ . . . 125
где D1 = {u1 : b ≤ u1 ≤ c} , D2 = {u2 : |u2| ≤ b1} , D3 = {u3 : |u3| ≤ b2} , непрерывна по
всем аргументам в этой области, периодична по t с периодом T и удовлетворяет неравен-
ствам
|f(t, x, u1, u2, u3)| ≤ M,
∣∣∣∣∣∣f
t, x, u0(t), u′0(t),
x∫
0
t+T∫
t
φ(t, s, x, η, u0(s), u′0(s))dsdη
∣∣∣∣∣∣ ≤ M1, (9)
|f(t, x, u1, u2, u3)− f(t, x, u1, u2, u3)| ≤ K1|u1 − u1|+ K2|u2 − u2|+ K3|u3 − u3|. (10)
Здесь элементы матриц K1, K2, K3 неотрицательны, b, c, b1, b2 — векторные постоянные,
причем векторы b1, b2 определены ниже.
V. Вектор-функция φ(t, s, x, η, u1, u2) определена и непрерывна в области
Ω1 : (t, s, x, η, u1, u2) ∈ (−∞,+∞)× (−∞,+∞)× [−a, a]× [−a, a]×D1 ×D2,
периодична по первым двум аргументам с периодом T и удовлетворяет неравенствам
|φ(t, s, x, η, u1, u2)| ≤ M,
(11)
|φ(t, s, x, η, u1, u2)− φ(t, s, x, η, u1, u2)| ≤ K4|u1 − u1|+ K5|u2 − u2|.
VI. Вектор-функции qi(x, u1, u2), i = 1, 2, . . . , определены в области Ω2:
Ω2 : (x, u1, u2) ∈ [−a, a]×D1 ×D2,
непрерывны по своим аргументам в области Ω2 и удовлетворяют неравенствам
|qi(x, u1, u2)| ≤ M1, |qi(x, u0(τi), u′0(τi))| ≤ M2,
(12)
|qi(x, u1, u2)− qi(x, u1, u2)| ≤ L1|u1 − u1|+ L2|u2 − u2|.
VII. Собственные числа матрицы P,
P =
(
B +
2sD0
T
)((
a
T
2
B + asD0
)
B0 + a
T
2
E
)
+
+
(
K1 + aTK3K4 +
2sL1
T
)((
a
T
2
B + asD0
)
B0 + a
T
2
E + B0
)
+
+
(
K2 + aTK3K5 +
2sL2
T
)(
aBB0 + aE
)
, (13)
лежат в круге единичного радиуса.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
126 А. Б. ТКАЧ
VIII. Векторные постоянные b, c и вектор-функция u0(t) удовлетворяют неравенству
b + S ≤ u0(t) + ν0(x) ≤ c− S, (14)
где
ν0(x) =
1
T
T∫
0
B(ξ, x)dξ +
1
T
s∑
i=1
Di(x)
−1
×
{
−1
T
T∫
0
[
B(ξ, x)u0(ξ) +
+ f
(
ξ, x, u0(ξ), u′0(ξ),
x∫
0
ξ+T∫
ξ
φ(ξ, s, x, p, u0(s), u′0(s))dsdp
)]
dξ−
− 1
T
s∑
i=1
[
Di(x)u0(τi) + qi(x, u0(τi), u′0(τi))
]}
, (15)
S = a
T
2
(
B +
2sD0
T
)
B0(E − P )−1R + a
T
2
(E − P )−1R+
+ B0P (E − P )−1R + a
T
2
Q1 + aQ2 + B0R (16)
и векторы R, Q1, Q2 определены равенствами
R =
(
B +
2sD0
T
)(
a
T
2
Q1 + aQ2
)
+
(
K1 + aTK3K4 +
2sL1
T
)
×
×
(
a
T
2
Q1 + aQ2 + B0N0
)
+
(
K2 + aTK3K5 +
2sL2
T
)
aQ1,
Q1 = B(N + B0N0) + M1, (17)
Q2 = sD0(N + B0N0) + sM2,
причем
N0 = BN + M1 +
s
T
D0N +
s
T
M2. (17′)
Последовательность вектор-функций {un(t, x)}, периодических по t с периодом T,
выбираем в виде
u0(t, x) = u0(t) + ν0(x),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ . . . 127
un+1(t, x) = u0(t) + ν0(x) +
n+1∑
i=1
δi(x) +
x∫
0
t∫
0
{[
B(ξ, η)un(ξ, η) +
+ f
(
ξ, η, un(ξ, η), u′nξ(ξ, η),
η∫
0
ξ+T∫
ξ
φ(ξ, s, η, p, un(s, p), u′ns(s, p))dsdp
)]
−
[
B(ξ, η)un(ξ, η)+
+f
(
ξ, η, un(ξ, η), u′nξ(ξ, η),
η∫
0
ξ+T∫
ξ
φ(ξ, s, η, p, un(s, p), u′ns(s, p))dsdp
)]}
dξdη+
+
x∫
0
∑
0≤τi≤t
(
Di(η)un(τi, η) + qi(η, un(τi, η), u′nξ(τi, η))
) dη−
−
x∫
0
t
∑
0≤τi≤t
(
Di(η)un(τi, η) + qi(η, un(τi, η), u′nξ(τi, η))
)dη, n = 0, 1, 2, . . . . (18)
Здесь
[Bun + f ] =
1
T
T∫
0
[Bun + f ] dt,
∑
0≤τi≤t
qi =
1
T
s∑
i=1
qi, un(t, x) = un(t, x)− δn(x). (19)
Вектор-функции ν0(x), δ1(x), δ2(x), . . . определяются при n = 0, 1, 2, . . . из условий
1
T
T∫
0
[
B(ξ, x)un(ξ, x)+
+ f
(
ξ, η, un(ξ, x), u′nξ(ξ, x),
x∫
0
ξ+T∫
ξ
φ(ξ, s, x, p, un(s, p), u′ns(s, p))dsdp
)]
dξ+
+
1
T
S∑
i=1
[Di(x)un(τi, x) + qi(x, un(τi, x), u′nξ(τi, x))] = 0, n = 0, 1, 2, . . . . (20)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть система интегро-дифференциальных уравнений с частными про-
изводными с импульсным воздействием (1), (2) удовлетворяет условиям I – VIII. Тог-
да существует единственное решение системы (1), (2), периодическое по t с периодом
T . Это решение является равномерным в области Ω0 пределом последовательности
(18) – (20) периодических по t с периодом T функций un(t, x) и удовлетворяет системе
интегро-дифференциальных уравнений
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
128 А. Б. ТКАЧ
u(t, x) = u0(t) + ν(x) +
x∫
0
t∫
0
[
B(ξ, η)u(ξ, η)+
+ f
(
ξ, η, u(ξ, η), u′ξ(ξ, η),
η∫
0
ξ+T∫
ξ
φ(ξ, s, η, p, u(s, p), u′s(s, p))dsdp
)]
dξdη+
+
x∫
0
∑
0≤τi≤t
(Di(η)u(τi, η) + qi(x, u(τi, η), u′ξ(τi, η)))
dη, (21)
где вектор-функция ν(x) является равномерным по x ∈ [−a, a] пределом последова-
тельности {
ν0(x) +
n∑
i=1
δi(x)
}
, ν(x) = lim
n→∞
[
ν0(x) +
n∑
i=1
δi(x)
]
.
2. Доказательство теоремы. Периодичность по t периода T последовательности (18) –
(20) функций un(t, x) следует из ее структуры.
Для доказательства равномерной сходимости последовательности {un(t, x)} оценим
сначала разность u1(t, x) − u0(t, x). Рассмотрим соотношение (18) при n = 0. Из этого
соотношения находим вектор-функцию ν0(x) в виде (15).
Используя соотношения (6) – (8), неравенства (5), (9), (12), из соотношения (15) полу-
чаем оценку
|ν0(x)| ≤ B0N0, (22)
где вектор N0 определен равенством (17′).
Тогда, используя лемму 1 [3], для разности u1(t, x)− u0(t, x) получаем неравенство
|u1(t, x)− u0(t, x)| ≤ aα(t)Q1 + aQ2,
(23)
|u′1t(t, x)− u′0t(t, x)| ≤ aQ1,
где векторы Q1 и Q2 определены равенствами (17) и функция
α(t) = 2t
(
1− t
T
)
.
Вычитая из (18) при n = 1 выражение (18) при n = 0 и используя условия Липшица
(10), (11), оценки (22), (23) и лемму 1 работы [3], для вектор-функции δ1(x) получаем
оценку
|δ1(x)| ≤ B0R, (24)
где вектор R определен равенством (17).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ . . . 129
Теперь, оценивая разность u2(t, x)− u1(t, x) и используя оценки (23), (24), находим
|u2(t, x)− u1(t, x)| ≤
(
a
T
2
B + aD0s
)
B0R + a
T
2
R,
|u′2t(t, x)− u′1t(t, x)| ≤ aBB0R + aR.
Продолжая последовательно процесс оценки δ2(x), δ3(x), . . . , |u3(t, x)−u2(t, x)|, |u4(t, x)−
−u3(t, x)|, . . . , получаем
|δn+1(t, x)| ≤ B0PnR,∣∣∣un+1(t, x)− un(t, x)
∣∣∣ ≤ a
T
2
(
B +
2sD0
T
)
B0Pn−1R + a
T
2
Pn−1R + B0PnR,
∣∣∣u′(n+1)t(t, x)− u′nt(t, x)
∣∣∣ ≤ aBB0Pn−1R + aPn−1R.
Далее имеем
δn+k(x)| ≤ B0Pn+k−1R,
(25)∣∣∣un+k(t, x)− un(t, x)
∣∣∣ ≤ a
T
2
(
B +
2sD0
T
)
B0Pn−1
k−1∑
i=0
P iR+
+ a
T
2
Pn−1
k−1∑
i=0
P iR + B0Pn
k−1∑
i=0
P iR,
∣∣∣u′(n+k)t(t, x)− u′nt(t, x)
∣∣∣ ≤ aBB0Pn−1
k−1∑
i=0
P iR + aPn−1
k−1∑
i=0
P iR, (26)
n∑
i=1
|δi(x)| ≤ B0
n−1∑
i=0
P iR.
Из условия VII и неравенств (25) вытекает равномерная по (t, x) ∈ (−∞,+∞) ×
×[−a, a] сходимость последовательности (18) – (20) функций un(t, x) к предельной функ-
ции u∞(t, x), периодической по t с периодом T . Из (18) и (20) при n → ∞ следует, что
u∞(t, x) удовлетворяет системе интегро-дифференциальных уравнений (21).
Равномерная по x ∈ [−a, a] сходимость последовательности{
ν0(x) +
n∑
i=1
δi(x)
}
следует из условия VII и неравенства (26), при этом
ν(x) = lim
n→∞
{
ν0(x) +
n∑
i=1
δi(x)
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
130 А. Б. ТКАЧ
Из неравенств (25) вытекают оценки∣∣∣u∞(t, x)− un(t, x)
∣∣∣ ≤ a
T
2
(
B +
2sD0
T
)
B0Pn−1(E − P )−1R+
+ a
T
2
Pn−1(E − P )−1R + B0Pn(E − P )−1R,
|u′∞t(t, x)− u′nt(t, x)| ≤ aBB0Pn−1(E − P )−1R + aPn−1(E − P )−1R.
Легко видеть, что u′∞t(t, x) ∈ D2, если выбрать
b1 = N1 + aQ1 + aBB0(E − P )−1R + a(E − P )−1R
и
b2 = aTM.
Для доказательства единственности периодического по t с периодом T решения пред-
полагаем существование двух решений u(t, x) и z(t, x) системы (1) – (4).
Используя периодическое по t решение (21) и соотношения (20) при n → ∞, после k
итераций для разности u(t, x)− z(t, x) получаем оценки
|u(t, x)− z(t, x)| ≤ a
T
2
P kG,
(27)∣∣u′t(t, x)− z′t(t, x)
∣∣ ≤ aP kG,
где вектор G определен равенством
G =
(
B + K1 + aTK3K4 +
2sD0
T
+
2sL1
T
) ∣∣u(t, x)− z(t, x)
∣∣
0
+
+
(
K2 + aTK3K5 +
2sL2
T
) ∣∣u′t(t, x)− z′t(t, x)
∣∣
0
,
причем
|u(t, x)− z(t, x)|0 = sup
(t,x)∈Ω0
|u(t, x)− z(t, x)|0.
Из неравенств (27) и условия VII при k → ∞ следует единственность периодического
по t с периодом T решения системы уравнений (1) – (4).
Теорема доказана.
1. Самойленко А. М. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 1965. — 17, № 4. — C. 16 – 23.
2. Самойленко А. М., Ткач Б. П. Численно-аналитические методы в теории периодических решений урав-
нений с частными производными. — Киев: Наук. думка, 1992. — 208 c.
3. Tkach A. B. Numerical-analytic method of finding periodic solutions for systems of partial differential equati-
ons with pulse influence // Nonlinear Oscillations. — 2001. — 4, № 2. — P. 278 – 288.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ . . . 131
4. Перестюк Н. А., Сарафова Г. Х., Хекимова М. А. Периодические решения слабо нелинейных интегро-
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Вестн. Киев. ун-та. Математика и меха-
ника. — 1980. — Вып. 22. — С. 96 – 101.
5. Нуржанов О. Д. О периодических решениях нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с
импульсным воздействием // Аналитические методи теории дифференциальных уравнений. — Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1977. — С. 88 – 103.
6. Турбаев Б. Е. О периодических решениях слабо нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с
импульсным воздействием // Укр. мат. журн. — 1986. — 38. № 2. — С. 211 – 214.
Получено 14.07.2004
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 1
|