Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії
За допомогою методу межових функцiй для квазiлiнiйного параболiчного рiвняння з малим коефiцiєнтом дифузiї побудовано асимптотичне розвинення перiодичного розв’язку з внутрiшнiм перехiдним шаром. Отримано достатнi умови iснування такого розв’язку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178004 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії / О.Є. Омельченко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 329-350. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178004 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1780042021-02-18T01:27:37Z Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії Омельченко, О.Є. За допомогою методу межових функцiй для квазiлiнiйного параболiчного рiвняння з малим коефiцiєнтом дифузiї побудовано асимптотичне розвинення перiодичного розв’язку з внутрiшнiм перехiдним шаром. Отримано достатнi умови iснування такого розв’язку. Using the boundary layer function method, an asymptotic expansion of the periodic solution with internal transition layer is built for a quasilinear parabolic equation with small diffusion term. Sufficient conditions for existence of such a solution are found. 2005 Article Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії / О.Є. Омельченко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 329-350. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178004 517.956.4 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
За допомогою методу межових функцiй для квазiлiнiйного параболiчного рiвняння з малим коефiцiєнтом дифузiї побудовано асимптотичне розвинення перiодичного розв’язку з внутрiшнiм
перехiдним шаром. Отримано достатнi умови iснування такого розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Омельченко, О.Є. |
| spellingShingle |
Омельченко, О.Є. Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії Нелінійні коливання |
| author_facet |
Омельченко, О.Є. |
| author_sort |
Омельченко, О.Є. |
| title |
Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії |
| title_short |
Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії |
| title_full |
Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії |
| title_fullStr |
Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії |
| title_full_unstemmed |
Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії |
| title_sort |
періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178004 |
| citation_txt |
Періодичні контрастні структури типу сходинки для квазілінійного параболічного рівняння з малим коефіцієнтом дифузії / О.Є. Омельченко // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 329-350. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT omelʹčenkooê períodičníkontrastnístrukturitipushodinkidlâkvazílíníjnogoparabolíčnogorívnânnâzmalimkoefícíêntomdifuzíí |
| first_indexed |
2025-07-15T16:18:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:18:36Z |
| _version_ |
1837730436085710848 |
| fulltext |
УДК 517.956.4
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ
ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
З МАЛИМ КОЕФIЦIЄНТОМ ДИФУЗIЇ
О. Є. Омельченко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, ул. Терещенкiвська, 3
e-mail: omel@imath.kiev.ua
Using the boundary layer function method, an asymptotic expansion of the periodic solution with internal
transition layer is built for a quasilinear parabolic equation with small diffusion term. Sufficient conditions
for existence of such a solution are found.
За допомогою методу межових функцiй для квазiлiнiйного параболiчного рiвняння з малим кое-
фiцiєнтом дифузiї побудовано асимптотичне розвинення перiодичного розв’язку з внутрiшнiм
перехiдним шаром. Отримано достатнi умови iснування такого розв’язку.
1. Вступ. У данiй роботi розглядається крайова задача для сингулярно збуреного однови-
мiрного за просторовою змiнною параболiчного рiвняння вигляду
L[u] := −ut + εuxx −A(u, x, t)ux −B(u, x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω := (a, b)× R, (1)
u(a, t, ε) = ua(t), u(b, t, ε) = ub(t), t ∈ R, (2)
де ε > 0 — малий параметр, A, B, ua та ub — достатньо гладкi функцiї своїх аргументiв,
перiодичнi за змiнною t з одним i тим самим перiодом T > 0.
Подiбнi задачi моделюють процеси переносу в неоднорiдних середовищах пiд дiєю
перiодичних збурень. При цьому, з точки зору практичних застосувань, цiкавим є дослiд-
ження стацiонарних перiодичних режимiв, якi можуть виникати у такiй системi.
Для рiвнянь типу (1) найбiльш дослiдженою є початково-крайова задача, якiй при-
свячено низку робiт вiтчизняних та зарубiжних учених (див. огляд [1] i наведену в ньому
бiблiографiю). Однак слiд зазначити, що бiльшiсть з цих робiт пов’язана з обґрунтуван-
ням так званого методу „штучної в’язкостi”. За допомогою цього методу вводиться понят-
тя узагальненого розв’язку для квазiлiнiйного гiперболiчного рiвняння
ut + A(u, x, t)ux + B(u, x, t) = 0, (3)
яке є виродженим щодо рiвняння (1). А саме, розв’язком початково-крайової задачi для
рiвняння (3) називається границя при ε → +0 послiдовностi розв’язкiв вiдповiдної почат-
ково-крайової задачi для рiвняння (1). Зрозумiло, що при такому пiдходi розв’язки остан-
ньої задачi не є головним об’єктом дослiдження, отже, їх структуру детально нiхто не
розглядав. Що ж стосується крайової задачi (1), (2) з перiодичними по t коефiцiєнтами,
то, наскiльки вiдомо автору, вона до цього часу взагалi не була предметом дослiджень.
c© О. Є. Омельченко, 2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 329
330 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Рис. 1 Рис. 2
У данiй роботi за допомогою методу межових функцiй [2, 3] побудовано та обґрун-
товано асимптотичне розвинення за степенями малого параметра ε для перiодичних кон-
трастних структур типу сходинки, якi виникають у системi (1), (2). Подiбнi розв’язки вi-
домi i в багатьох iнших сингулярно збурених системах. Вони активно вивчаються рiзними
математиками (див. огляд [4] i наведену в ньому бiблiографiю) i мають багато практич-
них застосувань у фiзицi, хiмiї та бiологiї.
Зауважимо, що в роботi пiд розв’язком задачi (1), (2) мається на увазi класичний
розв’язок, тобто функцiя u ∈ C2,1
x,t (Ω), яка є T -перiодичною за змiнною t i задовольняє
поточково спiввiдношення (1) та (2).
Контрастну структуру типу сходинки будемо конструювати, виходячи з розв’язкiв ви-
родженого рiвняння (3). Для цього зробимо наступне припущення.
I. Нехай рiвняння (3) має два розв’язки: u
(−)
0 (x, t) та u
(+)
0 (x, t), що задовольняють
вiдповiдно лiвi та правi крайовi умови (2) i визначенi для всiх (x, t) ∈ Ω.
Нехай, крiм того,
A(u(−)
0 (x, t), x, t) > 0, A(u(+)
0 (x, t), x, t) < 0 для всiх (x, t) ∈ Ω. (4)
З нерiвностей (4), очевидно, випливає, що поверхнi u = u
(−)
0 (x, t) та u = u
(+)
0 (x, t) не
мають спiльних точок для всiх (x, t) ∈ Ω. Отже, наслiдуючи [5], можна припустити, що
за певних умов у системi (1), (2) iснує перiодична контрастна структура типу сходин-
ки з переходом розв’язку вiд поверхнi u
(−)
0 (x, t) до поверхнi u
(+)
0 (x, t) в околi певної лi-
нiї x = x∗(t, ε). Бiльш детально структуру такого розв’язку можна описати таким чином.
Припустимо, що в площинi (x, t) iснує лiнiя переходу, задана рiвнянням x = x∗(t, ε). Ця
лiнiя є T -перiодичною i цiлком мiститься в областi Ω (рис. 1).
Злiва вiд лiнiї x = x∗(t, ε) графiк шуканого розв’язку u(x, t, ε) проходить в околi по-
верхнi u = u
(−)
0 (x, t), а справа — в околi поверхнi u = u
(+)
0 (x, t). В околi ж самої лiнiї
x = x∗(t, ε) маємо внутрiшнiй перехiдний шар (рис. 2).
2. Алгоритм побудови асимптотики. Вiдповiдно до методу межових функцiй [2, 3]
будемо шукати асимптотику контрастної структури типу сходинки у виглядi суми
U(x, t, ε) =
u(−)(x, t, ε) + Q(−)(ξ, t, ε) при a ≤ x ≤ x∗(t, ε),
u(+)(x, t, ε) + Q(+)(ξ, t, ε) при x∗(t, ε) < x ≤ b,
(5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 331
яка складається з регулярної компоненти u(±)(x, t, ε) та компоненти внутрiшнього пе-
рехiдного шару Q(±)(ξ, t, ε). Остання як аргумент мiстить так звану розтягнуту змiнну
ξ = [x − x∗(t, ε)]/ε. Кожна компонента асимптотики (5), у свою чергу, зображується у
виглядi
u(±)(x, t, ε) =
n∑
k=0
εku
(±)
k (x, t), Q(±)(ξ, t, ε) =
n∑
k=0
εkQ
(±)
k (ξ, t). (6)
Домовимося нижче писати Un(x, t, ε) замiсть U(x, t, ε), вказуючи тим самим верхнiй iндекс
у сумах (6). Крiм того, щоб зменшити громiздкiсть формул, будемо там, де це можливо,
нехтувати iндексами (−) та (+) при всiх функцiях, якi входять у розвинення (5), (6).
Рiвняння лiнiї переходу x = x∗(t, ε) спочатку також є невiдомим. Будемо шукати
функцiю x∗(t, ε) у виглядi
x∗(t, ε) =
n∑
k=0
εkxk(t), (7)
зафiксувавши її значення за допомогою спiввiдношення
u(x∗(t, ε), t, ε) = u∗(x0(t), t), де u∗(x, t) :=
1
2
[
u
(−)
0 (x, t) + u
(+)
0 (x, t)
]
. (8)
Крiм того, на лiнiї x = x∗(t, ε) накладемо на асимптотику додаткову умову гладкого зши-
вання, тобто злiва i справа вiд цiєї лiнiї мають збiгатися розклади самої функцiї
u(x∗(t, ε), t, ε) = u(x∗(t, ε), t, ε) + Q(0, t, ε) = Q0(0, t) + u0(x0(t), t)+
+ ε
{
Q1(0, t) + u1(x0(t), t) + x1(t)
∂u0
∂x
(x0(t), t)
}
+ . . .
. . . + εk
{
Qk(0, t) + uk(x0(t), t) + xk(t)
∂u0
∂x
(x0(t), t) + Mk(t)
}
+ . . . (9)
та її похiдної
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=x∗(t,ε)
=
∂u
∂x
(x∗(t, ε), t, ε) +
1
ε
∂Q
∂ξ
(0, t, ε) =
1
ε
∂Q0
∂ξ
(0, t)+
+
{
∂Q1
∂ξ
(0, t) +
∂u0
∂x
(x0(t), t)
}
+ . . . + εk
{
∂Qk+1
∂ξ
(0, t) + Nk+1(t)
}
+ . . . .
(10)
Зауваження 1. У формулi (9) при εk явно виписано вигляд усiх доданкiв, якi мiстять
залежнiсть вiд Qk(ξ, t), uk(x, t) або xk(t). Суму решти доданкiв позначено як Mk(t). Ана-
логiчно у формулi (10) при εk явно виписано вигляд усiх доданкiв, якi мiстять залежнiсть
вiд Qk+1(ξ, t). Суму решти доданкiв позначено як Nk+1(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
332 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Пiдставимо формальну асимптотику Un(x, t, ε), визначену формулами (5), (6) та (7),
у диференцiальний оператор L[u] i подамо отриманий вираз у виглядi суми регулярної
компоненти
L[Un] = −ut + εuxx −A(u(x, t, ε), x, t)ux(x, t, ε)−B(u(x, t, ε), x, t)
та компоненти внутрiшнього перехiдного шару
QL[Un] = −∂Q
∂t
+
1
ε
x∗t (t, ε)
∂Q
∂ξ
+
1
ε
∂2Q
∂ξ2 −
−
{
A(u(εξ + x∗(t, ε), t, ε) + Q, εξ + x∗(t, ε), t)
1
ε
∂
∂ξ
[
u(εξ + x∗(t, ε), t, ε) + Q
]
−
−A(u(εξ + x∗(t, ε), t, ε), εξ + x∗(t, ε), t)
1
ε
∂
∂ξ
[
u(εξ + x∗(t, ε), t, ε)
]
+
+ B(u(εξ + x∗(t, ε), t, ε) + Q, εξ + x∗(t, ε), t)−
−B(u(εξ + x∗(t, ε), t, ε), εξ + x∗(t, ε), t)
}
.
Останню компоненту очевидним чином можна переписати у коротшому виглядi
QL[Un] = −∂Q
∂t
+
1
ε
x∗t (t, ε)
∂Q
∂ξ
+
1
ε
∂2Q
∂ξ2 −
1
ε
∂
∂ξ
u(εξ+x∗(t,ε),t,ε)+Q∫
u(εξ+x∗(t,ε),t,ε)
A(u, εξ + x∗(t, ε), t) du
+
+
u(εξ+x∗(t,ε),t,ε)+Q∫
u(εξ+x∗(t,ε),t,ε)
[Ax(u, εξ + x∗(t, ε), t)−Bu(u, εξ + x∗(t, ε), t)] du.
Розкладаючи L[Un] в ряд за цiлими степенями малого параметра ε, отримуємо
L[Un] = ε0L0[Un] + εL1[Un] + ε2L2[Un] + . . . + εnLn[Un] + o(εn), (11)
де використано такi позначення:
L0[Un] = −∂u0
∂t
−A(u0(x, t), x, t)
∂u0
∂x
−B(u0(x, t), x, t),
Lk[Un] = −∂uk
∂t
−A(u0(x, t), x, t)
∂uk
∂x
− P (x, t)uk + Dk(x, t), k = 1, n,
P (x, t) = Au(u0(x, t), x, t)
∂u0
∂x
+ Bu(u0(x, t), x, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 333
Зауваження 2. У записi Lk[Un] явно подано вигляд усiх доданкiв, якi мiстять залежнiсть
вiд uk(x, t). Суму решти доданкiв позначено як Dk(x, t). Наприклад, D1(x, t) = ∂2u0
∂x2 .
Прирiвнюючи до нуля коефiцiєнти при кожному степенi ε у сумi (11), отримуємо
диференцiальнi рiвняння для визначення регулярних доданкiв у розвиненнi (5), (6). Цi
рiвняння слiд доповнити крайовими умовами, що випливають зi спiввiдношень (2). На-
приклад, для визначення доданкiв u
(±)
0 (x, t) маємо задачу
∂u
(±)
0
∂t
+ A(u(±)
0 , x, t)
∂u
(±)
0
∂x
+ B(u(±)
0 , x, t) = 0, (x, t) ∈ Ω,
(12)
u
(−)
0 (a, t) = ua(t), u
(+)
0 (b, t) = ub(t), t ∈ R.
Припущення I гарантує, що задача (12) має розв’язок. Бiльш того, вiн є єдиним. Справдi,
кожна iнтегральна поверхня рiвняння (3) складається з характеристик [6] — розв’язкiв
системи
dx
dt
= A(u, x, t),
du
dt
= −B(u, x, t). (13)
Отже, якщо A,B ∈ C1(R×Ω), то крайовi умови задачi (12) однозначно визначають сукуп-
нiсть характеристик, що утворюють поверхнi u = u
(−)
0 (x, t) та u = u
(+)
0 (x, t).
Аналогiчним чином для визначення наступних регулярних доданкiв запишемо задачi1
∂u
(±)
k
∂t
+ A(u(±)
0 (x, t), x, t)
∂u
(±)
k
∂x
+ P (±)(x, t)u(±)
k = D
(±)
k (x, t), (x, t) ∈ Ω,
(14)
u
(−)
k (a, t) = 0, u
(+)
k (b, t) = 0, t ∈ R.
Покажемо, що для довiльного k ≥ 1 задача (14) має єдиний розв’язок. Для цього розгля-
немо систему рiвнянь
dx
dt
= A(u(±)
0 (x, t), x, t),
du
dt
= D
(±)
k (x, t)− P (±)(x, t)u, (15)
яка має ту ж саму природу, що й система (13). Iз припущення I випливає, що, починаючи
з довiльної точки на площинi x = a (x = b), ми можемо побудувати в областi Ω розв’я-
зок першого диференцiального рiвняння системи (15), продовжуючи його до перетину
з площиною x = b (x = a). Пiсля пiдстановки цього розв’язку у друге рiвняння систе-
ми (15) воно перетворюється у лiнiйне диференцiальне рiвняння щодо невiдомої функцiї
u. Розв’язок цього, останнього, рiвняння iснує i навiть може бути записаний у квадрату-
рах. Таким чином, бачимо, що крайовi умови задачi (14) однозначно визначають сукуп-
нiсть характеристик — розв’язкiв системи (15), що утворюють поверхнi u = u
(−)
k (x, t) та
u = u
(+)
k (x, t).
1Iндекси (±) при коефiцiєнтах P (x, t) та Dk(x, t) вказують на те, що їх слiд поставити при всiх функцiях
ui(x, t), якi входять у визначення цих коефiцiєнтiв.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
334 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Розкладемо тепер в ряд за цiлими степенями малого параметра ε вираз QL[Un]. В ре-
зультатi отримаємо2
QL[Un] =
1
ε
QL−1[Un] + ε0QL0[Un] + εQL1[Un] + . . . + εn−1QL(n−1)[Un] + o(εn−1), (16)
де
QL−1[Un] = x′0(t)
∂Q0
∂ξ
+
∂2Q0
∂ξ2 − ∂
∂ξ
{ u0(x0,t)+Q0∫
u0(x0,t)
A(u, x0, t) du
}
,
QL0[Un] = −∂Q0
∂t
+ x′0(t)
∂Q1
∂ξ
+ x′1(t)
∂Q0
∂ξ
+
∂2Q1
∂ξ2 −
− ∂
∂ξ
{
A(u0(x0, t) + Q0, x0, t)[u1(x0, t) + Q1]−A(u0(x0, t), x0, t)u1(x0, t)+
+ (ξ + x1)
∂
∂x
[ u0(x,t)+Q0∫
u0(x,t)
A(u, x, t) du
]∣∣∣∣∣
x=x0
}
+
+
u0(x0,t)+Q0∫
u0(x0,t)
[
Ax(u, x0, t)−Bu(u, x0, t)
]
du,
QLk[Un] = x′0(t)
∂Qk+1
∂ξ
+ x′k+1(t)
∂Q0
∂ξ
+
∂2Qk+1
∂ξ2 −
− ∂
∂ξ
{
A(u0(x0, t) + Q0, x0, t)[uk+1(x0, t) + Qk+1]−A(u0(x0, t), x0, t)uk+1(x0, t)+
+ xk+1
∂
∂x
[ u0(x,t)+Q0∫
u0(x,t)
A(u, x, t) du
]∣∣∣∣∣
x=x0
}
+ Hk+1(ξ, t), k = 1, n− 1.
Зауваження 3. У записi QLk[Un] явно подано вигляд усiх доданкiв, якi мiстять залеж-
нiсть вiд Qk+1(ξ, t), uk+1(x, t) або xk+1(t). Суму решти доданкiв позначено як Hk+1(ξ, t).
2При розкладi виразу QL[Un] в ряд за степенями параметра ε зручно використовувати той факт, що для
довiльної функцiї f(x, t, ε) виконується спiввiдношення d
dε
[f(εξ + x∗(t, ε), t, ε)] = (ξ + x∗ε(t, ε))fx + fε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 335
Виходячи з вигляду коефiцiєнтiв при старших степенях ε в розвиненнях (16) та (9), а
також беручи до уваги умову (8), записуємо задачу для визначення функцiй внутрiшнього
перехiдного шару Q
(±)
0 (ξ, t), доповнюючи її традицiйною вимогою прямування цих функ-
цiй до нуля при ξ → ±∞. В результатi маємо
∂2Q
(±)
0
∂ξ2 =
∂
∂ξ
{ u
(±)
0 (x0(t),t)+Q
(±)
0∫
u
(±)
0 (x0(t),t)
A(u, x0(t), t) du
}
− x′0(t)
∂Q
(±)
0
∂ξ
, (ξ, t) ∈ R± × R, (17)
Q
(−)
0 (0, t) + u
(−)
0 (x0(t), t) = Q
(+)
0 (0, t) + u
(+)
0 (x0(t), t) = u∗(x0(t), t), t ∈ R, (18)
Q
(−)
0 (−∞, t) = Q
(+)
0 (+∞, t) = 0, t ∈ R. (19)
Задача (17) – (19) недовизначена, поки в неї не пiдставлено функцiю x0(t). Як показано в
наведенiй нижче лемi, цю функцiю можна знайти iз спiввiдношення
∂Q
(−)
0
∂ξ
(0, t) =
∂Q
(+)
0
∂ξ
(0, t), t ∈ R, (20)
яке є наслiдком умови гладкого зшивання асимптотики на лiнiї переходу та розкладу (10).
Лема 1. Нехай A,B ∈ C(R × Ω) i виконується припущення I. Тодi задача (17) – (19)
з додатковою умовою (20) може мати розв’язок, лише якщо функцiя x0(t) задовольняє
рiвнiсть
u
(+)
0 (x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(u, x0(t), t)− x′0(t)
]
du = 0. (21)
Доведення. Iнтегруючи рiвняння (17) по ξ вiд ξ1 до ξ2 (ξ1, ξ2 ≤ 0), отримуємо
∂Q
(−)
0
∂ξ
(ξ2, t)−
∂Q
(−)
0
∂ξ
(ξ1, t) =
u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0 (ξ2,t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0 (ξ1,t)
[
A(u, x0(t), t)− x′0(t)
]
du. (22)
Зi спiввiдношень (19) та (22) випливає, що
∂Q
(−)
0
∂ξ
(−∞, t) = 0. Спрямовуючи тепер ξ1 →
→ −∞ в (22) i перепозначаючи ξ2 через ξ, маємо
∂Q
(−)
0
∂ξ
(ξ, t) =
u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0 (ξ,t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(u, x0(t), t)− x′0(t)
]
du. (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
336 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
За допомогою аналогiчних мiркувань у випадку ξ ≥ 0 отримуємо формулу, аналогiчну
(23), в якiй iндекси (−) замiнено на (+).
Пiдставляючи формули (23)(−) та (23)(+) у рiвнiсть (20) i враховуючи спiввiдношення
(18), одержуємо (21).
Лему доведено.
Пiсля нескладних перетворень формулу (21) можна записати у виглядi диференцiаль-
ного рiвняння для визначення функцiї x0(t), а саме
dx
dt
=
I(x, t)
u
(+)
0 (x, t)− u
(−)
0 (x, t)
, де I(x, t) :=
u
(+)
0 (x,t)∫
u
(−)
0 (x,t)
A(u, x, t) du. (24)
Для скорочення формул, що виникають нижче, зручно також ввести функцiю
J(x, t) :=
I(x, t)
u
(+)
0 (x, t)− u
(−)
0 (x, t)
.
Сформулюємо тепер два нових припущення, якi, як показано у лемi 2, гарантують
розв’язнiсть задачi (17) – (19).
II. Нехай диференцiальне рiвняння (24) має T -перiодичний розв’язок x0(t), який задо-
вольняє умови:
1) a < x0(t) < b для всiх t ∈ R;
2) A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t) < x′0(t) < A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t) для всiх t ∈ R;
3)
T∫
0
J ′x(x0(t), t) dt < 0.
Зауваження 4. Пункт 3 припущення II гарантує локальну єдинiсть T -перiодичного
розв’язку x0(t). Справдi, лiнеаризуємо рiвняння (24) на цьому розв’язку. Отримане в ре-
зультатi диференцiальне рiвняння x′ = J ′x(x0(t), t)x має єдиний мультиплiкатор
µ = exp
T∫
0
J ′x(x0(t), t) dt
,
модуль якого є вiдмiнним вiд одиницi. Цей факт i гарантує зазначену вище локальну єди-
нiсть [7].
III. Нехай для кожного фiксованого t ∈ R iнтеграл
v∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(u, x0(t), t)− x′0(t)
]
du
не дорiвнює нулю при всiх v, що лежать у промiжку мiж u
(−)
0 (x0(t), t) та u
(+)
0 (x0(t), t).
Лема 2. Нехай A,B ∈ C(R × Ω). Якщо виконуються припущення I – III, то iснує
єдиний розв’язок задачi (17) – (19) з додатковою умовою (20). Бiльш того, його можна
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 337
подати у виглядi квадратурної формули
u
(±)
0 (x0(t),t)+Q
(±)
0∫
u∗(x0(t),t)
{ z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(u, x0(t), t)− x′0(t)
]
du
}−1
dz = ξ. (25)
Доведення. При доведеннi леми 1 були отриманi спiввiдношення (23)(−) та (23)(+), якi
задовольняє розв’язок задачi (17) – (19). Iнтегруючи цi спiввiдношення з початковою умо-
вою (18), отримуємо формулу (25).
Лему доведено.
Зауваження 5. Iз спiввiдношень (23)(−) та (23)(+) з урахуванням припущення III ви-
пливає, що при кожному фiксованому t ∈ R функцiя внутрiшнього перехiдного шару
Q
(−)
0 (ξ, t) є монотонною на променi ξ ∈ (−∞, 0], а функцiя внутрiшнього перехiдного
шару Q
(+)
0 (ξ, t) — монотонною на променi ξ ∈ [0,+∞). Бiльш того,
sign
{
∂Q
(±)
0
∂ξ
}
= sign[u(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)]. (26)
Зауваження 6. Виходячи з формули (25) з урахуванням пункту 2 припущення II, можна
показати, що iснують такi сталi Ci > 0, νi > 0, i = 1, 2, 3, що розв’язок задачi (17) – (19)
задовольняє нерiвностi
∣∣∣Q(±)
0 (ξ, t)
∣∣∣ ≤ C1e
−ν1|ξ|, C2e
−ν2|ξ| ≤
∣∣∣∣∣∂Q
(±)
0
∂ξ
∣∣∣∣∣ ≤ C3e
−ν3|ξ| для всiх (ξ, t) ∈ R± × R.
Аналогiчно до задачi (17) – (19) запишемо, виходячи з розвинень (16) та (9), задачу для
знаходження функцiй внутрiшнього перехiдного шару Q
(±)
1 (ξ, t). В результатi отримаємо
∂2Q
(±)
1
∂ξ2 = −x′1(t)
∂Q
(±)
0
∂ξ
− x′0(t)
∂Q
(±)
1
∂ξ
+
∂Q
(±)
0
∂t
+
+
∂
∂ξ
{
A(u(±)
0 (x0(t), t) + Q
(±)
0 , x0(t), t)[u
(±)
1 (x0(t), t) + Q
(±)
1 ]−
−A(u(±)
0 (x0(t), t), x0(t), t)u
(±)
1 (x0(t), t)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
338 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
+ [ξ + x1(t)]
∂
∂x
[ u
(±)
0 (x,t)+Q
(±)
0∫
u
(±)
0 (x,t)
A(u, x, t) du
]∣∣∣∣∣
x=x0(t)
}
−
−
u
(±)
0 (x0(t),t)+Q
(±)
0∫
u
(±)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du, (ξ, t) ∈ R± × R, (27)
Q
(±)
1 (0, t) + u
(±)
1 (x0(t), t) + x1(t)
∂u
(±)
0
∂x
(x0(t), t) = 0, (28)
Q
(−)
1 (−∞, t) = Q
(+)
1 (+∞, t) = 0. (29)
Як i (17) – (19), ця задача є недовизначеною, поки в неї не пiдставлено функцiю x1(t) у
явному виглядi. Як показано у наведенiй нижче лемi, цю функцiю можна знайти iз спiв-
вiдношення
∂Q
(−)
1
∂ξ
(0, t) +
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t) =
∂Q
(+)
1
∂ξ
(0, t) +
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t), (30)
отриманого з умови гладкого зшивання асимптотики на лiнiї переходу та з розкладу (10).
Лема 3. Нехай A,B ∈ C1(R× Ω) i виконуються припущення I – III. Тодi задача (27) –
(29) з додатковою умовою (30) може мати розв’язок, лише якщо функцiя x1(t) задо-
вольняє лiнiйне диференцiальне рiвняння
dx
dt
= J ′x(x0(t), t)x + F (t) (31)
з неоднорiднiстю, визначеною формулою
F (t) := [u(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)]−1
{
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t)−
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t)+
+ [A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t)− x′0(t)]u
(+)
1 (x0(t), t)−
− [A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t)− x′0(t)]u
(−)
1 (x0(t), t)+
+
u
(+)
0 (x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)]×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 339
×
u∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[A(y, x0(t), t)− x′0(t)] dy
)−1
dz
]
du−
− ∂
∂t
[ u
(+)
0 (x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[ u∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(y, x0(t), t)− x′0(t)
]
dy
)−1
dz
]
du
]}
.
Доведення. За аналогiєю до функцiї Q
(±)
0 (ξ, t) можна показати (див. доведення ле-
ми 1), що
∂Q
(±)
1
∂ξ
(±∞, t) = 0. Проiнтегруємо з урахуванням цiєї умови рiвняння (27) по ξ
вiд −∞ до 0. Беручи до уваги спiввiдношення (18), (19) та (29), отримуємо
∂Q
(−)
1
∂ξ
(0, t) = −x′1(t)Q
(−)
0 (0, t)− x′0(t)Q
(−)
1 (0, t)+
+ A(u∗(x0(t), t), x0(t), t)[u
(−)
1 (x0(t), t) + Q
(−)
1 (0, t)]−
−A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t)u
(−)
1 (x0(t), t)+
+ x1(t)
[
A(u∗(x0(t), t), x0(t), t)
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t)−
−A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t)
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t) +
u∗(x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
Ax(u, x0(t), t) du
]
−
−
0∫
−∞
{ u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0 (ξ,t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du− ∂Q
(−)
0
∂t
(ξ, t)
}
dξ.
Аналогiчне iнтегрування рiвняння (27) по ξ вiд 0 до +∞ приводить до рiвностi
−∂Q
(+)
1
∂ξ
(0) = x′1(t)Q
(+)
0 (0, t) + x′0(t)Q
(+)
1 (0, t)−
−A(u∗(x0(t), t), x0(t), t)[u
(+)
1 (x0(t), t) + Q
(+)
1 (0, t)]+
+ A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t)u
(+)
1 (x0(t), t)−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
340 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
− x1(t)
[
A(u∗(x0(t), t), x0(t), t)
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t)−
−A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t)
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t) +
u∗(x0(t),t)∫
u
(+)
0 (x0(t),t)
Ax(u, x0(t), t) du
]
−
−
+∞∫
0
{ u
(+)
0 (x0(t),t)+Q
(+)
0 (ξ,t)∫
u
(+)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du− ∂Q
(−)
0
∂t
(ξ, t)
}
dξ.
Додаючи почленно останнi два спiввiдношення i беручи до уваги умови узгодження (18),
(28) та (30), а також рiвнiсть
A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t)
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t)−A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t)
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t)+
+
u
(+)
0 (x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
Ax(u, x0(t), t) du = I ′x(x0(t), t),
отримуємо
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t)−
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t) = −x′1(t)[u
(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)]−
− x′0(t)
[
u
(+)
1 (x0(t), t) + x1(t)
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t)− u
(−)
1 (x0(t), t)− x1(t)
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t)
]
+
+ A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t)u
(+)
1 (x0(t), t)−
−A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t)u
(−)
1 (x0(t), t) + x1(t)I ′x(x0(t), t)−
−
0∫
−∞
{ u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0 (ξ,t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du− ∂Q
(−)
0
∂t
(ξ, t)
}
dξ−
−
+∞∫
0
{ u
(+)
0 (x0(t),t)+Q
(+)
0 (ξ,t)∫
u
(+)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du− ∂Q
(+)
0
∂t
(ξ, t)
}
dξ. (32)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 341
Змiнюючи порядок iнтегрування на пiдставi зауваження 5 i формули (25), нескладно отри-
мати тотожностi
−
0∫
−∞
{ u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0 (ξ,t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du
}
dξ =
=
u∗(x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
{
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)]×
×
u∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[A(y, x0(t), t)− x′0(t)] dy
)−1
dz
}
du,
−
+∞∫
0
{ u
(+)
0 (x0(t),t)+Q
(+)
0 (ξ,t)∫
u
(+)
0 (x0(t),t)
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)] du
}
dξ =
=
u
(+)
0 (x0(t),t)∫
u∗(x0(t),t)
{
[Ax(u, x0(t), t)−Bu(u, x0(t), t)]×
×
u∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[A(y, x0(t), t)− x′0(t)] dy
)−1
dz
}
du.
За допомогою формули (25) можна довести ще одну тотожнiсть
0∫
−∞
∂Q
(−)
0
∂t
dξ =
∂
∂t
0∫
−∞
Q
(−)
0 (ξ, t) dξ =
∂
∂t
{
ξQ
(−)
0 (ξ, t)
∣∣∣∣∣
ξ=0
ξ=−∞
−
0∫
−∞
ξ
∂Q
(−)
0
∂ξ
dξ
}
=
= − ∂
∂t
{ 0∫
−∞
[ u
(−)
0 (x0(t),t)+Q
(−)
0∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(y, x0(t), t)− x′0(t)
]
dy
)−1
dz
]
∂Q
(−)
0
∂ξ
dξ
}
=
= − ∂
∂t
{ u∗(x0(t),t)∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[ u∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(y, x0(t), t)− x′0(t)
]
dy
)−1
dz
]
du
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
342 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Так само доводимо, що
+∞∫
0
∂Q
(+)
0
∂t
dξ = − ∂
∂t
{ u
(+)
0 (x0(t),t)∫
u∗(x0(t),t)
[ u∫
u∗(x0(t),t)
( z∫
u
(−)
0 (x0(t),t)
[
A(y, x0(t), t)− x′0(t)
]
dy
)−1
dz
]
du
}
.
Враховуючи отриманi вище спiввiдношення i очевидну рiвнiсть
[u(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)]J ′x(x0(t), t) =
= I ′x(x0(t), t)− x′0(t)
[
∂u
(+)
0
∂x
(x0(t), t)−
∂u
(−)
0
∂x
(x0(t), t)
]
,
перетворюємо (32) у (31).
Лему доведено.
Зауваження 7. Завдяки пункту 3 припущення II рiвняння (31) завжди має єдиний T -
перiодичний розв’язок [7]. Пiсля того, як знайдену з (31) функцiю x1(t) пiдставлено у за-
дачу (27) – (29), остання розпадається на двi незалежнi лiнiйнi задачi вiдповiдно для ξ ≤ 0
i для ξ ≥ 0. Розв’язок кожної з цих задач iснує, єдиний i може бути записаний у виглядi
квадратур.
Продовжуючи описану вище процедуру побудови асимптотики, легко бачити, що ана-
лiз задач для функцiй внутрiшнього перехiдного шару всiх порядкiв вище першого буде
проводитися однаковим чином, збiгаючись з аналiзом задачi (27) – (29).
Отже, ми довели наступну лему.
Лема 4. Нехай A,B ∈ Cn(R×Ω), ua, ub ∈ Cn(R) i виконуються припущення I – III. Тодi
сформульований у даному пунктi алгоритм дозволяє однозначно побудувати формаль-
ну асимптотику n-го порядку Un(x, t, ε) для контрастної структури типу сходинки.
Зауваження 8. Аналогiчно до того, як це зроблено в роботi [2], можна показати, що
всi функцiї внутрiшнього перехiдного шару Q
(±)
k (ξ, t) задовольняють на нескiнченностi
оцiнку вигляду ∣∣∣Q(±)
k (ξ, t)
∣∣∣ ≤ Ce−ν|ξ| для всiх (ξ, t) ∈ R± × R, (33)
де C та ν — певнi додатнi константи, що не залежать вiд ξ i t. Подiбнi оцiнки мають
мiсце також i для частинних похiдних вiд Q-функцiй, а також для функцiй H
(±)
k (ξ, t) з
розвинення (16).
3. Основний результат. Для обґрунтування асимптотики, побудованої у попередньому
пунктi, застосуємо асимптотичний метод диференцiальних нерiвностей [8, 9]. У зв’язку
з цим нагадаємо означення та теорему про диференцiальнi нерiвностi, якi є частковим
випадком бiльш загального результату, отриманого у роботi [10].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 343
Означення. Функцiї α(x, t), β(x, t) ∈ C2,1
x,t (Ω) називаються вiдповiдно нижнiм та верх-
нiм розв’язками задачi(1), (2), якщо вони T -перiодичнi за змiнною t i задовольняють не-
рiвностi
L[α] ≥ 0, L[β] ≤ 0 для всiх (x, t) ∈ Ω, (34)
al(a, t) ≤ ua(t) ≤ β(a, t), α(b, t) ≤ ub(t) ≤ β(b, t) для всiх t ∈ R. (35)
Узагальнений варiант означення нижнього та верхнього розв’язкiв припускає можли-
вiсть втрати функцiями α(x, t) та β(x, t) своєї гладкостi на скiнченнiй кiлькостi кривих
вигляду x = χi(t), де χi ∈ C2(R). При цьому кривi x = χi(t) повиннi попарно не перети-
натись i не мати спiльних точок з межею областi Ω. В точках областi Ω, якi не лежать на
кривих x = χi(t), нижнiй та верхнiй розв’язки повиннi задовольняти нерiвностi (34) i (35).
На кривих x = χi(t) вони мають бути неперервними, а їх похiднi αx, αxx, βx, βxx повиннi
мати лiве та праве граничнi значення. При цьому мають задовольнятися нерiвностi
∂βn
∂x
∣∣∣∣
x=χi(t)−0
≥ ∂βn
∂x
∣∣∣∣
x=χi(t)+0
,
∂αn
∂x
∣∣∣∣
x=χi(t)−0
≤ ∂αn
∂x
∣∣∣∣
x=χi(t)+0
для всiх t ∈ R. (36)
Теорема про диференцiальнi нерiвностi. Нехай A,B ∈ C1(R × Ω), ua, ub ∈ C1(R).
Якщо iснують нижнiй α(x, t) та верхнiй β(x, t) розв’язки задачi (1), (2) i вони утворю-
ють упорядковану пару, тобто
α(x, t) ≤ β(x, t) для всiх (x, t) ∈ Ω, (37)
то iснує класичний T -перiодичний по t розв’язок u(x, t) задачi (1), (2), який задовольняє
нерiвностi α(x, t) ≤ u(x, t) ≤ β(x, t) для всiх (x, t) ∈ Ω.
Будемо шукати нижнiй та верхнiй розв’язки задачi (1), (2) у виглядi
αn(x, t, ε) = U(n+1)α(x, t, ε) + εn+1 [qα(x, t) + wα(ξα, t)] + εn+2Q(n+2)α(ξα, t, ε),
(38)
βn(x, t, ε) = U(n+1)β(x, t, ε) + εn+1 [qβ(x, t) + wβ(ξβ , t)] + εn+2Q(n+2)β(ξβ, t, ε),
де U(n+1)α(x, t, ε) та U(n+1)β(x, t, ε) — суми (n + 1)-го порядку (n ≥ 0), визначенi формула-
ми (5), (6), в якi у якостi функцiї x∗(t, ε) пiдставлено вiдповiдно
x∗α(t, ε) =
n+1∑
k=0
εkxk(t) + εn+1δα(t) та x∗β(t, ε) =
n+1∑
k=0
εkxk(t) + εn+1δβ(t). (39)
Розтягнуту змiнну ξ у визначеннi функцiї αn замiнено на ξα = [x − x∗α(t, ε)]/ε, а у ви-
значеннi функцiї βn — на ξβ = [x − x∗β(t, ε)]/ε. Функцiї qα(x, t), qβ(x, t), wα(ξ, t), wβ(ξ, t),
Q(n+2)α(ξ, t, ε), Q(n+2)β(ξ, t, ε), δα(t) i δβ(t) визначенi нижче.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
344 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Беручи до уваги вигляд верхнього розв’язку (38) i розвинення (11), (16) з попереднього
пункту, отримуємо
L[βn] = εn
{
∂2wβ
∂ξ2
β
+ δ′β(t)
∂Q0
∂ξβ
+ x′0(t)
∂wβ
∂ξβ
−
− ∂
∂ξβ
[
A (u0(x0(t), t) + Q0, x0(t), t) [qβ(x0(t), t) + wβ]−
−A (u0(x0(t), t), x0(t), t) qβ(x0(t), t) + δβ(t)
∂
∂x
[ u0(x,t)+Q0∫
u0(x,t)
A(u, x, t) du
]∣∣∣∣∣
x=x0(t)
]}
−
− εn+1
{
∂qβ
∂t
+ A(u0(x, t), x, t)
∂qβ
∂x
+ P (x, t)qβ
}
+ εn+1
{
∂2Q(n+2)β
∂ξ2
β
+ x′0(t)
∂Q(n+2)β
∂ξβ
−
− ∂
∂ξβ
[
A(u0(x0(t), t) + Q0, x0(t), t)Q(n+2)β
]
+ H(n+2)β(ξβ , t)
}
+ o(εn+1).
Тут функцiя H(n+2)β(ξ, t) має ту ж саму структуру, що й функцiя Hn+2(ξ, t), але у нiй вiд-
ображено змiни, внесенi модифiкуючими функцiями у (n + 1)-й порядок асимптотики.
Нехай функцiї wβ(ξ, t) та Q(n+2)β(ξ, t, ε) вибрано так, що вирази у перших i третiх фi-
гурних дужках у розкладi L[βn] дорiвнюють нулю, а q
(±)
β (x, t) = e∓γx, де γ > 0 — керую-
чий параметр. Тодi завдяки нерiвностям (4) завжди можна вибрати значення параметра γ
настiльки великим, щоб виконувалось спiввiдношення
∂qβ
∂t
+ A(u0(x, t), x, t)
∂qβ
∂x
+ P (x, t)qβ ≥ qβ для всiх (x, t) ∈ Ω.
Отже, у цьому випадку L[βn] ≤ −εn+1qβ(x, t)+o(εn+1), тому для достатньо малих значень
параметра ε маємо L[βn] < 0.
Повна задача для визначення функцiї w
(±)
β (ξ, t) має вигляд
∂2wβ
∂ξ2 = −δ′β(t)
∂Q0
∂ξ
− x′0(t)
∂wβ
∂ξ
+
∂
∂ξ
{
A(u0(x0(t), t) + Q0, x0(t), t)[qβ(x0(t), t) + wβ]−
−A(u0(x0(t), t), x0(t), t)qβ(x0(t), t)+
+ δβ(t)
∂
∂x
[ u0(x,t)+Q0∫
u0(x,t)
A(u, x, t) du
]∣∣∣∣∣
x=x0(t)
}
, (ξ, t) ∈ R± × R, (40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 345
w
(±)
β (0, t) + q
(±)
β (x0(t), t) + δβ(t)
∂u
(±)
0
∂x
(x0(t), t) = 0, (41)
w(−)(−∞, t) = w(+)(+∞, t) = 0. (42)
Як i у випадку з задачею (27) – (29), для визначення функцiї δβ(t) сформулюємо додаткову
умову
∂w
(+)
β
∂ξ
(0, t)−
∂w
(−)
β
∂ξ
(0, t) = −σ, (43)
де σ > 0 — довiльне фiксоване число. Тодi з розкладу (10) та умови (43) маємо
∂βn
∂x
∣∣∣∣
x=x∗β(t,ε)+0
− ∂βn
∂x
∣∣∣∣
x=x∗β(t,ε)−0
= εn
∂w
(+)
β
∂ξ
(0, t)−
∂w
(−)
β
∂ξ
(0, t)
+
+ O(εn+1) = −εnσ + O(εn+1).
Отже, при достатньо малих значеннях ε функцiя βn задовольняє нерiвностi (36)β .
Аналiзуючи задачу (40) – (42) за схемою леми 3, з умови (43) можна отримати дифе-
ренцiальне рiвняння щодо функцiї δβ(t), а саме:
dδβ
dt
= J ′x(x0(t), t)δβ + Fβ(t),
(44)
Fβ(t) := −[u(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)]−1
{
σ−
− [A(u(+)
0 (x0(t), t), x0(t), t)− x′0(t)]q
(+)
β (x0(t), t)+
+ [A(u(−)
0 (x0(t), t), x0(t), t)− x′0(t)]q
(−)
β (x0(t), t)
}
.
Враховуючи вигляд qβ(x, t) та припущення I i II, легко бачити, що функцiя Fβ(t) є зна-
косталою, причому sign[Fβ(t)] = − sign[u(+)
0 (x0(t), t) − u
(−)
0 (x0(t), t)]. Цей факт i пункт 3
припущення II гарантують, що рiвняння (44) має єдиний T -перiодичний розв’язок. Цей
розв’язок також знакосталий i
sign [δβ(t)] = − sign
[
u
(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)
]
. (45)
Пiсля того, як функцiю δβ(t) пiдставлено у задачу (40) – (42), остання легко розв’язується.
Отримана таким чином функцiя w
(±)
β (ξ, t) задовольняє оцiнку вигляду (33).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
346 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Функцiю Q(n+2)β(ξ, t) будемо визначати як розв’язок задачi
∂2Q
(±)
(n+2)β
∂ξ2 =
∂
∂ξ
[
A(u(±)
0 (x0(t), t) + Q
(±)
0 , x0(t), t)Q
(±)
(n+2)β
]
+ H
(±)
(n+2)β(ξ, t), (ξ, t) ∈ R± × R,
Q
(−)
(n+2)β(0, t) = 0, Q
(+)
(n+2)β(0, t) = dβ(t, ε), (46)
Q
(−)
(n+2)β(−∞, t) = Q
(+)
(n+2)β(+∞, t) = 0,
де
dβ(t, ε) = ε−(n+2)
{
U(n+1)β(x∗β(t, ε)− 0, t, ε) + εn+1
[
q(−)(x∗β(t, ε), t) + w
(−)
β (0, t)
]
−
−U(n+1)β(x∗β(t, ε) + 0, t, ε)− εn+1
[
q(+)(x∗β(t, ε), t) + w
(+)
β (0, t)
]}
.
З визначення функцiї U(n+1)β(x, t, ε) випливає, що dβ(t, ε) = O(1) при ε → +0. Отже,
задача (46) є розв’язною, її розв’язок — єдиним i має експоненцiальну оцiнку вигляду (33),
рiвномiрну щодо всiх ε з пiвiнтервалу (0, ε0], де ε0 > 0 — деяке число.
Таким чином, побудована вище функцiя βn при достатньо малих значеннях параметра
ε є верхнiм розв’язком задачi (1), (2).
Нижнiй розв’язок αn будується аналогiчним чином. Вiдмiннiсть полягає лише в тому,
що ми беремо q
(±)
α (x, t) = −e∓γx, а в умовi (43) замiнюємо параметр σ на −σ. При цьому
за аналогiєю з (45) отримуємо оцiнку
sign [δα(t)] = sign [u(+)
0 (x0(t), t)− u
(−)
0 (x0(t), t)]. (47)
Перевiримо тепер, чи виконується для побудованих функцiй αn та βn нерiвнiсть (37).
Для цього розiб’ємо область Ω на три пiдобластi:
Ω1 = [a,min{x∗α(t, ε), x∗β(t, ε)}]× R,
Ω2 = [min{x∗α(t, ε), x∗β(t, ε)},max{x∗α(t, ε), x∗β(t, ε)}]× R,
Ω3 = [max{x∗α(t, ε), x∗β(t, ε)}, b]× R.
Виходячи з визначення (38), (39) та з умов неперервного зшивання асимптотики (18), (28)
i т. д., в усiх точках пiдобластi Ω2 маємо
βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) = −εn[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
0
∂ξ
(0, t) + O(εn+1).
Отже, iз зауваження 6 i формул (26), (45) та (47) випливає, що при малих ε нерiвнiсть
βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) > 0 виконується для всiх (x, t) ∈ Ω2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 347
Аналогiчно в усiх точках пiдобластi Ω1 маємо
βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) =
{
Q
(−)
0
(
x− x∗β(t, ε)
ε
, t
)
−Q
(−)
0
(
x− x∗α(t, ε)
ε
, t
)}
+
+ ε
{
Q
(−)
1
(
x− x∗β(t, ε)
ε
, t
)
−Q
(−)
1
(
x− x∗α(t, ε)
ε
, t
)}
+
+ εn+1
{
q
(−)
β (x, t) + w
(−)
β
(
x− x∗β(t, ε)
ε
, t
)
− q(−)
α (x, t)−
−w(−)
α
(
x− x∗α(t, ε)
ε
, t
)}
+ O(εn+2).
За допомогою формули Лагранжа цей вираз можна переписати у виглядi
βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) = −εn[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
0
∂ξ
(ζ1(t), t)−
− εn+1[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
1
∂ξ
(ζ2(t), t)+
+ εn+1
{
q
(−)
β (x, t) + w
(−)
β
(
x− x∗β(t, ε)
ε
, t
)
− q(−)
α (x, t)−
− w(−)
α
(
x− x∗α(t, ε)
ε
, t
)}
+ O(εn+2),
де ζ1(t) та ζ2(t) — деякi числа з промiжку мiж [x− x∗α(t, ε)]/ε та [x− x∗β(t, ε)]/ε.
На пiдставi зауваження 6 i формул (26), (45) та (47) можна вибрати такi сталi C1 > 0
та ν1 > 0, що
−[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
0
∂ξ
(ζ1(t), t) ≥ C1 exp
{
ν1
x−max
[
x∗α(t, ε), x∗β(t, ε)
]
ε
}
.
Крiм того, з оцiнок (33) випливає iснування сталих C2 > 0 та ν2 > 0 таких, що∣∣∣∣∣[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
1
∂ξ
(ζ2(t), t)− w
(−)
β
(
x− x∗β(t, ε)
ε
, t
)
+ w(−)
α
(
x− x∗α(t, ε)
ε
, t
)∣∣∣∣∣ ≤
≤ C2 exp
{
ν2
x−min
[
x∗α(t, ε), x∗β(t, ε)
]
ε
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
348 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
Отже, при достатньо малих ε виконується нерiвнiсть
−εn[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
0
∂ξ
(ζ1(t), t)− εn+1
{
[δβ(t)− δα(t)]
∂Q
(−)
1
∂ξ
(ζ2(t), t)−
− w
(−)
β
(
x− x∗β(t, ε)
ε
, t
)
+ w(−)
α
(
x− x∗α(t, ε)
ε
, t
)}
≥ −εn+1q0
2
,
де q0 := min
(x,t)∈Ω
{
q
(−)
β (x, t)− q
(−)
α (x, t)
}
. Тому для малих значень ε маємо
βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) ≥ εn+1q0
2
+ O(εn+2) > 0 для всiх (x, t) ∈ Ω1.
Рiзниця βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) у пiдобластi Ω3 оцiнюється аналогiчним чином.
Отже, ми показали, що побудованi вище функцiї αn та βn задовольняють всi умо-
ви теореми про диференцiальнi нерiвностi, тому задача (1), (2) має класичний розв’язок
u(x, t, ε) такий, що αn(x, t, ε) ≤ u(x, t, ε) ≤ βn(x, t, ε). З попереднього аналiзу видно, що
βn(x, t, ε)− αn(x, t, ε) = O(εn), тому u(x, t, ε) = αn(x, t, ε) + O(εn). У випадку, коли n ≥ 1,
цю оцiнку можна дещо спростити, вiдкинувши всi доданки, що перевищують її точнiсть.
Остаточним результатом роботи є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай A,B ∈ Cn+2(R × Ω), ua, ub ∈ Cn+2(R), n ≥ 0, i виконуються
припущення I – III. Тодi для достатньо малих значень параметра ε > 0 задача (1), (2)
має класичний розв’язок u = u(x, t, ε) такий, що
lim
ε→+0
u(x, t, ε) =
u
(−)
0 (x, t) при a ≤ x < x0(t),
u
(+)
0 (x, t) при x0(t) < x ≤ b.
(48)
Бiльш того, якщо умова гладкостi, накладена на коефiцiєнти A, B, ua та ub, ви-
конана для n ≥ 1, то u(x, t, ε) = Un−1(x, t, ε) + O(εn), де Un−1(x, t, ε) — сума, визначе-
на формулами (5), (6), з розтягнутою змiнною ξ = [x − x∗(t, ε)]/ε та лiнiєю переходу
x∗(t, ε) =
n∑
k=0
εkxk(t).
Зауваження 9. У данiй роботi дослiджено крайову задачу з умовами Дiрiхле. Але та-
ким же чином можна дослiдити i задачу з крайовими умовами бiльш загального вигляду
p1(t)u(a, t)− r1(t)ux(a, t) = ua(t), p2(t)u(b, t) + r2(t)ux(b, t) = ub(t), (49)
де або pi(t) ≡ 1, ri(t) ≡ 0, або pi(t) ≥ 0, ri(t) ≡ 1, i = 1, 2. У цьому випадку при побудовi
асимптотики Un(x, t, ε) в задачах (12) та (14) крайовi умови Дiрiхле слiд замiнити на умо-
ви, якi випливають з (49). Тодi для задачi (1), (49) можна довести твердження, аналогiчне
теоремi 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI КОНТРАСТНI СТРУКТУРИ ТИПУ СХОДИНКИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОГО . . . 349
Приклад. Розглянемо крайову задачу для узагальненого рiвняння Бюргерса
−ut + εuxx = uux + u− cos t, (x, t) ∈ Ω := (−b, b)× R,
(50)
u(−b, t, ε) = c + sin t, u(b, t, ε) = −c + sin t, t ∈ R,
де b та c — вiдомi додатнi параметри. Неважко пересвiдчитись, що вироджене рiвняння
ut + uux + u− cos t = 0 (51)
має два перших iнтеграли: u + x − sin t = C1 та
[
u−
√
2
2 sin
(
t + π
4
)]
et = C2. За допо-
могою цих iнтегралiв будуємо два розв’язки рiвняння (51), якi задовольняють вiдповiдно
лiвi та правi граничнi умови задачi (50):
u
(−)
0 (x, t) = −x + c− b + sin t, u
(+)
0 (x, t) = −x + b− c + sin t.
Застосовуючи очевиднi оцiнки | sin t| ≤ 1 та |x| ≤ b для всiх (x, t) ∈ Ω, бачимо, що умова
c > 2b + 1 гарантує виконання нерiвностей (4).
Пiдставляючи знайденi вище функцiї u
(−)
0 (x, t) та u
(+)
0 (x, t) в формулу (24), отримуємо
диференцiальне рiвняння
x′ = −x + sin t.
Це рiвняння має єдиний 2π-перiодичний розв’язок x0(t) =
√
2
2 sin
(
t− π
4
)
. Очевидно, що
цей розв’язок задовольняє умову |x0(t)| < b, лише якщо b >
√
2/2.
Решта умов припущення II, а також припущення III перевiряються аналогiчно шля-
хом безпосередньої пiдстановки в них коефiцiєнтiв задачi (50) i знайдених функцiй u
(−)
0 (x, t),
u
(+)
0 (x, t) та x0(t). Отже, з теореми 1 випливає наступний результат.
Теорема 2. Нехай параметри b та c задовольняють нерiвностi b >
√
2/2 та c > 2b+1.
Тодi iснує класичний розв’язок задачi (50) з властивостями
lim
ε→+0
u(x, t, ε) =
−x + c− b + sin t при −b ≤ x <
√
2
2 sin
(
t− π
4
)
,
−x + b− c + sin t при
√
2
2 sin
(
t− π
4
)
< x ≤ b.
Застосовуючи алгоритм, викладений у пунктi 2, для цього розв’язку можна побуду-
вати асимптотичне розвинення за цiлими степенями малого параметра ε.
1. Олейник О. А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. —
1957. — 12, вып. 3 (75). — С. 3 – 73.
2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных урав-
нений. — М.: Наука, 1973. — 272 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
350 О. Є. ОМЕЛЬЧЕНКО
3. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.:
Высш. школа, 1990. — 208 с.
4. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор)
// Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 7. — С. 4 – 32.
5. Васильева А. Б., Омельченко О. Е. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для син-
гулярно возмущенного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. — 2000. — 36, № 2. —
С. 198 – 208.
6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004. — 472 с.
7. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
8. Howes F. A. Singular perturbations and differential inequalities // Mem. Amer. Math. Soc. — 1976. — 168. —
P. 75.
9. Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач
в частных производных // Дифференц. уравнения. — 1995. — 31, № 4. — С. 719 – 722.
10. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear Analysis: a Collection of Papers
in Honor of Erich Rothe. — New York: Acad. Press, 1978. — P. 1 – 29.
Одержано 16.03.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3
|