Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість

Для системи рiзницевих рiвнянь встановлено умови iснування та стiйкостi iнварiантних множин, обґрунтовано принцип зведення. Дослiджено поведiнку iнварiантної множини при малих збуреннях....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Ткачук, А.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178024
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість / А.М. Ткачук // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 258-264. — Бібліогр.: 2 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178024
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1780242021-02-18T01:27:59Z Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість Ткачук, А.М. Для системи рiзницевих рiвнянь встановлено умови iснування та стiйкостi iнварiантних множин, обґрунтовано принцип зведення. Дослiджено поведiнку iнварiантної множини при малих збуреннях. We find conditions for existence and stability of invariant sets, give a substantiation for the reduction principle for the system of difference equations, and study the behavior of the invariant set under small perturbations. 2005 Article Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість / А.М. Ткачук // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 258-264. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178024 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Для системи рiзницевих рiвнянь встановлено умови iснування та стiйкостi iнварiантних множин, обґрунтовано принцип зведення. Дослiджено поведiнку iнварiантної множини при малих збуреннях.
format	Article
author	Ткачук, А.М.
spellingShingle	Ткачук, А.М. Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість Нелінійні коливання
author_facet	Ткачук, А.М.
author_sort	Ткачук, А.М.
title	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість
title_short	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість
title_full	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість
title_fullStr	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість
title_full_unstemmed	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість
title_sort	інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178024
citation_txt	Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість / А.М. Ткачук // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 258-264. — Бібліогр.: 2 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT tkačukam ínvaríantnímnožiniríznicevihsistemtaíhstíjkístʹ
first_indexed	2025-07-15T16:23:31Z
last_indexed	2025-07-15T16:23:31Z
_version_	1837730745265684480
fulltext	УДК 517 . 9 IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ РIЗНИЦЕВИХ СИСТЕМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ А. М. Ткачук Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64 We find conditions for existence and stability of invariant sets, give a substantiation for the reduction principle for the system of difference equations, and study the behavior of the invariant set under small perturbations. Для системи рiзницевих рiвнянь встановлено умови iснування та стiйкостi iнварiантних мно- жин, обґрунтовано принцип зведення. Дослiджено поведiнку iнварiантної множини при малих збуреннях. 1. Постановка задачi. Розглядається система рiзницевих рiвнянь вигляду xh n+1 = xh n + hX(xh n), (1) де h > 0, n ∈ Z+, xh n = xh(t0 + nh), xh 0(t0) = x0, x ∈ Rn, функцiя X(x) визначена в деякiй областi D простору Rn та лiпшицева. Будемо вивчати iнварiантнi множини таких систем. Означення 1. Множину M ⊂ D назвемо iнварiантною множиною системи (1), якщо вона має властивiсть: розв’язок xh n(x0) системи (1), що починається в точцi x0 ∈ M , залишається на M для довiльного n ∈ Z. Якщо n ∈ Z+, то множину M будемо назива- ти додатно iнварiантною множиною системи (1). Iнварiантнi множини системи (1), а також питання, якi пов’язанi з їх стiйкiстю, можуть бути вивченi в термiнах знакосталих функцiй аналогiчно тому, як це зроблено для систем диференцiальних рiвнянь [1]. Означення 2. Компактну додатно iнварiантну множину N системи (1) назвемо стiй- кою, якщо для довiльного ε > 0 iснує δ = δ(ε) > 0 таке, що якщо ρ(x0, N) < δ, то ρ(xh n(x0), N) < ε для n ∈ Z+. Якщо множина N стiйка та задовольняє граничне спiввiд- ношення lim n→∞ ρ(xh n(x0), N) = 0 для всiх x0 iз деякого δ0-околу множини N , то назвемо її асимптотично стiйкою. Нехай D1 — обмежена область, що мiститься в D з деяким своїм околом, D1 = D1 ∪ ∪∂D1. Означення 3. Функцiю Vh(x), визначену в D1, будемо називати знакосталою в D1, якщо для всiх x ∈ D1 ненульовi значення функцiї Vh(x) мають один i той же знак. Зна- косталу в D1 функцiю Vh(x) назвемо знаковизначеною в D1, якщо множина її нулiв є непорожньою i компактною в D1. 2. Основнi результати. 1. Iнварiантнi множини, їх стiйкiсть. Нехай 4Vh(x) = Vh(x + +hX(x))−Vh(x), а Vµ(h) — множина точок D1, для яких 0 < \|Vh(x)\| ≤ µ. Наведена нижче теорема дає умови iснування та стiйкостi додатно iнварiантної множини для системи (1). c© А. М. Ткачук, 2005 258 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ РIЗНИЦЕВИХ СИСТЕМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 259 Теорема 1. Якщо Vh(x) — знаковизначена в D1 функцiя, для якої4Vh(x) — знакоста- ла в D1 множина N0(h): Vh(x) = 0, x ∈ D1, (2) рiвномiрно вiддiлена по h вiд межi областi ∂D1, тобто ∃h0 > 0 ∃γ > 0 ∀ h ≤ h0 : ρ(N0(h), ∂D1) > γ, (3) то множина (2) є додатно iнварiантною та стiйкою, коли знаки Vh(x) i 4Vh(x) рiзнi. Доведення. Припустимо, що Vh(x) ≥ 0, 4Vh(x) ≤ 0, x ∈ D1. Покажемо, що множина N0(h), яка складається з точок D1, для яких Vh(x) = 0, є додатно iнварiантною стiйкою множиною системи (1). Розглянемо розв’язок системи xh n(x0) (1), який починається при n = 0 в точцi x0 ∈ ∈ N0(h), i покажемо, що цей розв’язок належить множинi нулiв N0(h). Нехай M = = max x∈D1 ‖X(x)‖ i h виберемо таким чином, щоб hM < γ 4 . Тодi ρ ( xh 1(x0), N0(h) ) ≤ ∣∣∣xh 1(x0)− x0 ∣∣∣ ≤ h ‖X(x0)‖ < γ 4 . (4) Звiдси xh 1(x0) ∈ D1, де xh 1(x0) – розв’язок системи (1) при n = 1. За умовою теореми 4Vh(xh 1(x0)) = Vh(x0 + hX(x0)) − Vh(x0) ≤ 0, тому Vh(xh 1(x0)) ≤ ≤ Vh(x0) = 0. Отже, xh 1(x0) ∈ N0(h). (5) З (4) та (5) отримуємо ρ ( xh 2(x0), N0(h) ) ≤ ρ ( xh 2(x0), xh 1(x0) ) +ρ ( xh 1(x0), N0(h) ) < γ 4 . Звiд- си xh 2(x0) ∈ D1. З умови теореми Vh(xh 2(x0)) ≤ Vh(x1(x0)) ≤ Vh(x0) = 0, а тому xh 2(x0) ∈ N0(h). Аналогiчно одержуємо ρ ( xh n(x0), N0(h) ) < γ 4 , n ∈ Z+, xh n(x0) ∈ D1, n ∈ Z+ та xh n(x0) ∈ N0(h). Отже, N0(h) — додатно iнварiантна множина. Доведемо стiйкiсть N0(h) для кожного h ≤ h0, тобто покажемо, що для довiльного ε > 0 iснує δ = δ(ε, h) > 0 таке, що якщо ρ (x0, N0(h)) < δ, то ρ ( xh n(x0), N0(h) ) < ε для n ∈ Z+. Нехай ε > 0 — достатньо мале число таке, що Uε = Uε(N0(h)) ⊂ D1 i ε < γ 2 . Згiдно з лемою [1, с. 60] за заданим ε можна вибрати µ = µ(ε, h) > 0 i δ = δ(ε, h) > 0 так, щоб виконувалися включення Uδ(N0(h)) ⊂ Vµ ⊂ Uε(N0(h)). (6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 260 А. М. ТКАЧУК Розглянемо розв’язок xh n(x0) системи (1), що при n = 0 починається в точцi x0 ∈ ∈ Uδ(N0(h)). Тодi з (4) при n = 1 отримаємо ρ ( xh 1(x0), N0(h) ) ≤ ρ ( xh 1(x0), x0 ) + ρ (x0, N0(h)) < γ 4 + δ < γ, звiдки xh 1(x0) ∈ D1. Iз знакосталостi 4Vh(x) в D1 маємо Vh(xh 1(x0)) ≤ Vh(x0) ≤ µ. (7) Отже, xh 1(x0) ∈ Vµ, а з (6) випливає ρ ( xh 1(x0), N0(h) ) < ε. Аналогiчно при n = 2 одержуємо ρ ( xh 2(x0), N0(h) ) ≤ ρ ( xh 2(x0), xh 1(x0) ) + ρ ( xh 1(x0), N0(h) ) ≤ γ 4 + ε < γ, звiдки xh 2(x0) ∈ D1. З умови 4Vh(x) ≤ 0 випливає Vh(xh 2(x0)) ≤ Vh(xh 1(x0)) ≤ Vh(x0) ≤ µ, тому xh 2(x0) ∈ Vµ. З (6) маємо, що ρ ( xh 2(x0), N0(h) ) < ε. Продовжуючи далi, отримуємо ρ ( xh n(x0), N0(h) ) < ε для довiльного n ∈ Z+. Теорему доведено. Наступна теорема гарантує асимптотичну стiйкiсть додатно iнварiантної множини. Теорема 2. Якщо функцiї Vh(x) та 4Vh(x) є знаковизначеними в D1, множини їх ну- лiв для кожного кроку h > 0 в D1 збiгаються та виконується умова (3), то додатно iнварiантна множина (2) є асимптотично стiйкою, коли знаки Vh(x) i 4Vh(x) рiзнi. Доведення. Припустимо, що Vh(x) ≥ 0, а 4Vh(x) ≤ 0 для x ∈ D1. З теореми 1 випли- ває, що множина нулiв N0(h) функцiї Vh(x) в D1 є додатно iнварiантною стiйкою множи- ною системи (1). Тому для кожного ε > 0 iснує δ = δ(ε) > 0 таке, що при ρ (x0, N0(h)) < δ виконується нерiвнiсть ρ ( xh n(x0), N0(h) ) < ε для n ∈ Z+ та довiльнoго h > 0. Тепер для асимптотичної стiйкостi достатньо показати виконання граничного спiввiд- ношення lim n→∞ ρ ( xh n(x0), N0(h) ) = 0 (8) для довiльної точки x0 ∈ Uδ0 = Uδ0(N0(h)), де δ0 — достатньо мале додатне число. Виберемо δ = δ(ε) так, щоб розв’язок системи (1) xh n(x0) з початковими даними x0 такими, що ρ (x0, N0(h)) < δ, належав D1 при n ≥ 0. Внаслiдок стiйкостi множини N0(h) та вибору δ i ε це завжди можна зробити. Розглянемо траєкторiю xh n(x0) системи (1) для n ∈ Z+, h > 0, x0 ∈ Uδ. Можливi два випадки. В першому xh p(x0) ∈ N0(h) для деяко- го p ∈ Z+, тодi внаслiдок додатної iнварiантностi множини N0(h) траєкторiя xh n(xh p(x0)) належить N0(h) при всiх n ∈ Z+, тому спiввiдношення (8) виконано. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ РIЗНИЦЕВИХ СИСТЕМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 261 Розглянемо другий випадок, коли xh n(x0)∈N0(h) нi при одному n ∈ Z+. Тодi, оскiльки 4Vh(xh n(x0)) = Vh(xh n(x0) + hX(xh n(x0)))− Vh(xh n(x0)) = = Vh(xh n+1(x0))− Vh(xh n(x0)) ≤ 0, n ∈ Z+, функцiя Vh(xh n(x0)) монотонно спадає i, отже, прямує до деякої границi µ0 ≥ 0 (внаслiдок невiд’ємностi функцiї Vh). Покажемо, що µ0 = 0. Припустимо, що µ0 > 0. Тодi iснує таке δ0 = δ0(µ0) > 0, що має мiсце включення Uδ0 ⊂ Vµ0 i xh n(x0) ∈ Uε\Uδ0 , n ∈ Z+. Позначимо sup x∈Uε\Uδ0 4Vh(x) = −α, де α > 0 (оскiльки 4Vh(x) набуває лише вiд’ємних значень). Тодi 4Vh(xh n(x0)) = Vh(xh n(x0) + hX(xh n(x0)))− Vh(xh n(x0)) ≤ −α, n ∈ Z+, h > 0. Звiдси Vh(xh n+1(x0)) = Vh(x0) + [Vh(xh 1(x0))− Vh(x0)] + [Vh(xh 2(x0))− Vh(xh 1(x0))] + . . . . . . + [Vh(xh n(x0))− Vh(xh n−1(x0))] + [Vh(xh n+1(x0))− Vh(xh n(x0))] = = Vh(x0) + n∑ k=0 [Vh(xh k+1(x0))− Vh(xh k(x0))] ≤ Vh(x0)− α(n + 1). Дана нерiвнiсть при досить великих n приводить до суперечностi з додатною визначе- нiстю функцiї Vh(x) в областi D1. Отже, µ0 = 0. Тому якщо xh n(x0)∈N0(h) при цiлих не- вiд’ємних n, то lim n→∞ Vh(xh n(x0)) = 0 ∀h > 0, n ∈ Z+. (9) Розглянемо Ωx0 — ω-граничну множину точок траєкторiї xh n(x0). З її означення маємо lim n→∞ ρ ( xh n(x0),Ωx0 ) = 0. (10) Iз спiввiдношення (10) випливає, що для доведення (8) достатньо довести включення Ωx0 ⊂ N0(h) для кожного x0 ∈ Uδ. Доведення цього факту аналогiчне [1, с. 64], що й доводить асимптотичну стiйкiсть множини N0(h). 2. Принцип зведення для рiзницевих систем. Нехай N(h) та M(h) — додатно iнварi- антнi множини системи (1) для кожного кроку h, причому такi, що N ⊃ M . Означення 4. Будемо говорити, що M стiйка на N , якщо для довiльного околу Uε множини M iснує такий її окiл Uδ, що якщо x0 ∈ Uδ ∩N , то xh n(x0) ⊂ (Uε ∪M) при всiх n ∈ Z+. Будемо говорити, що M асимптотично стiйка на N , якщо M стiйка на N i знайдеться δ0 > 0 таке, що lim n→∞ ρ(xh n(x0),M) = 0 для всiх x0 ∈ Uδ0 ∩N. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 262 А. М. ТКАЧУК Наступний результат вказує умови, при яких iз стiйкостi множини M на iнварiантнiй множинi N випливає її стiйкiсть. Позначимо через Vδ,µ(h) множину точок x ∈ D1, якi належать δ-околу множини M i задовольняють нерiвнiсть \|Vh(x)\| ≤ µ, де Vh(x) — деяка визначена в D1 функцiя. Теорема 3. Нехай додатно iнварiантна множина N системи (1) мiстить замкнену додатно iнварiантну й асимптотично стiйку на N множину M . Тодi якщо N є множи- ною (2) для деякої знакосталої в D1 функцiї Vh(x), для якої 4Vh(x) є знакосталою в D1 та має протилежний з Vh знак, то M — стiйка множина системи (1). Доведення. Використовуючи лему 1 [1, с. 68] та асимптотичну стiйкiсть M на N , вибе- ремо додатнi числа ε i δ = δ(ε) так, щоб виконувалися спiввiдношення ρ ( xh n(x0),M ) < ε 2 , (Uε ∪M) ⊂ D1, n ∈ Z+, x0 ∈ Vδ,0, (11) lim n→∞ ρ ( xh n(x0),M ) = 0 рiвномiрно по x0 ∈ Vδ,0. (12) Нехай n0 — додатне цiле число, що визначається iз умови ρ ( xh n0 (x0),M ) < δ 2 для всiх x0 ∈ Vδ,0. Можливiсть вибору такого n0 випливає iз рiвномiрностi граничного спiввiдно- шення (12). Виберемо тепер µ0 = µ0(n0, ε) так, щоб траєкторiя xh n(x0) при n ∈ [0, n0] належала множинi Uε ∪M для довiльного x0 ∈ Vδ,µ0 . Вибiр такого µ0 є можливим. Пока- жемо це. Нехай µ0 вказаним способом вибрати не можна. Тодi знайдуться збiжнi послiдовностi nm, ym, µm такi, що 0 < nm ≤ n0, lim m→∞ nm = τ, lim m→∞ ym = y0, lim m→∞ µm = 0 i ym ∈ ∈ Vδ,µm , xh n(y0) ⊂ (Uε∪M), n ∈ [0, nm], ρ ( xh nm (ym),M ) ≥ ε. З останнього спiввiдношення граничним переходом отримуємо ρ ( xh τ (y0),M ) ≥ ε. (13) Згiдно з лемою 2 [1, с. 69] множина Vδ,µm стягується до Vδ,0 при µm → 0. Тому y0 ∈ Vδ,0 i ρ ( xh τ (y0),M ) < ε 2 . Ми прийшли до суперечностi з рiвнiстю (13). Iз неперервної залежностi розв’язкiв системи (1) вiд початкових даних отримаємо не- рiвнiсть ρ ( xh n(x0), xh n(x̃0) ) ≤ δ 2 , n ∈ [0, n0], (14) для довiльних двох точок x0, x̃0 ∈ (Vδ,µ0 ∪ M) таких, що ρ(x0, x̃0) ≤ d, де d — достатньо мале. Даний факт i подальше доведення проводиться по схемi, аналогiчнiй для диференцi- альних рiвнянь [1]. З нерiвностi (14) матимемо ρ ( xh n(y),M ) ≤ ε, n ∈ [0, n0], де y — довiльна точка множини Vδ,µ, а ρ ( xh n0 (y),M ) < δ. Тодi для розв’язку, який починається в точцi y ∈ Vδ,µ в момент n = n0, отримаємо, що xh n0 (y) ∈ (Vδ,µ∪M). Звiдси буде випливати стiйкiсть множини M . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ РIЗНИЦЕВИХ СИСТЕМ ТА ЇХ СТIЙКIСТЬ 263 3. Дослiдження поведiнки iнварiантної множини при малих збуреннях системи. Не- хай M0(h) — замкнена iнварiантна множина системи (1). Наступний результат пояснює характер поведiнки M0 при малих збуреннях системи (1). Збурення будемо характеризу- вати малим додатним параметром µ. Збурену систему запишемо у виглядi xh n+1 = xh n + h [ X(xh n) + µY (xh n) ] , (15) де функцiї X та Y визначенi i задовольняють умову Лiпшиця для всiх x з областi D. Означення 5. Областю притягування Π(M0) множини M0 назвемо всi точки x0 ∈ D, для яких Ωx0 ⊂ M0, де Ωx0 — ω-гранична множина траєкторiї xh n(x0). Теорема 4. Якщо M0 — замкнена компактна асимптотично стiйка iнварiантна (до- датно) множина системи (1), то можна вказати такi δ > 0 i µ0 = µ0(δ) > 0, що для всiх µ < µ0 система (15) також має замкнену iнварiантну множину M = M(µ, h), для якої lim µ→0 ρ(M0,M) = 0 i Uδ(M0) ⊂ Π(M). Для доведення теореми нам буде потрiбна лема. Лема. Якщо розв’язки системи (1) при µ = 0 xh n(x0, 0) = xh n(x0) належать областi D для n ∈ [0, n0] i x0 ∈ S ⊂ D разом з деяким ε-околом, то при достатньо малих µ розв’язки xh n(x0, µ) системи (15) належать при n ∈ [0, n0] областi D разом iз деяким околом i має мiсце граничне спiввiдношення sup n∈[0,n0];x0∈S ∣∣∣xh n(x0, µ)− xh n(x0) ∣∣∣ → 0, µ → 0. (16) Доведення леми. Позначимо через P компактну пiдмножину точок з D, що мiстить траєкторiю xh n(x0) (n ∈ [0, n0]) разом з ε-околом, а A = max x∈D \|Y (x)\|. Для кожного h > 0 виберемо µ(h) так, щоб hµ(h)(1 + hL)n0n0 max x∈P \|Y (x)\| < ε 2 . (17) Iз сумарних зображень розв’язкiв систем (1) та (15) вiдповiдно xh n(x0) = x0 + h n−1∑ p=0 X ( xh p(x0) ) , xh n(x0, µ) = x0 + h n−1∑ p=0 (X(xh p(x0, µ)) + µY (xh p(x0, µ)))  ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2 264 А. М. ТКАЧУК для їх рiзницi отримаємо оцiнку ∣∣∣xh n(x0, µ)− xh n(x0) ∣∣∣ ≤ h n−1∑ p=0 [ \|X(xh p(x0, µ))−X(xh p(x0))\|+ µ\|Y (xh p(x0, µ))\| ] ≤ ≤ Lh n−1∑ p=0 \|xh p(x0, µ)− xh p(x0)\|+ hµ n−1∑ p=0 \|Y (xh p(x0, µ))\|. Звiдси та з [2] маємо ∀n ∈ Z+ : ∣∣∣xh n(x0, µ)− xh n(x0) ∣∣∣ ≤ (1 + Lh)nhµ n−1∑ p=0 \|Y (xh p(x0, µ))\|. (18) Нерiвнiсть (18) виконується при довiльному n ∈ [0, n0] такому, що xh n(x0, µ) ∈ P . По- кажемо, що xh n(x0, µ) ∈ P для кожного n ∈ [0, n0]. Останнє доведемо за iндукцiєю. Справдi, при n = 0 твердження є вiрним. Нехай при n = k − 1 воно також є вiрним. Доведемо його справедливiсть при n = k. З (18) випливає, внаслiдок припущення iндукцiї i (17), оцiнка ∣∣∣xh k(x0, µ)− xh k(x0) ∣∣∣ < ε 2 . I оскiльки xh k(x0) за умовою належить D разом з ε-околом, то з огляду на будову мно- жини P xh k(x0, µ) ∈ P . Отже, згiдно з iндукцiєю xh n(x0, µ) ∈ P при n ∈ [0, n0]. Граничне спiввiдношення (16) випливає тепер iз (17) та (18). Лему доведено. Продовжимо доведення теореми. Оскiльки множина M0 є асимптотично стiйкою, то умови леми, очевидно, виконуються для всiх розв’язкiв незбуреної системи, що почина- ються в достатньо малому околi M0. Iснування замкненої додатно iнварiантної множини M для системи (15) та включення Uδ(M0) ⊂ Π(M) випливають iз аналогiчних до [1, с. 75] мiркувань для диференцiальних рiвнянь, де суттєво використовується рiвномiрна неперервнiсть розв’язкiв за параметром. Справедливiсть цього факту для рiзницевих систем випливає з доведеної леми. 1. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. — М.: Наука, 1987. — 304 с. 2. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1972. — 246 с. Одержано 30.05.2005 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2

Інваріантні множини різницевих систем та їх стійкість

Institution

Ähnliche Einträge