Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса
Описано всi серiйнi частково впорядкованi множини з додатно означеною квадратичною формою Тiтса i доведено, що довiльна частково впорядкована множина порядку бiльшого за 7 iз додатно означеною формою Тiтса є серiйною....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178159 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса / В.М. Бондаренко, М.В. Стьопочкіна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 320-325. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178159 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781592021-02-19T01:27:27Z Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса Бондаренко, В.М. Стьопочкіна, М.В. Описано всi серiйнi частково впорядкованi множини з додатно означеною квадратичною формою Тiтса i доведено, що довiльна частково впорядкована множина порядку бiльшого за 7 iз додатно означеною формою Тiтса є серiйною. We have described all series partially ordered sets with positive definite Tits form and prove that an arbitrary partially ordered set of order greater than 7 with a positive definite Tits form is series. 2006 Article Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса / В.М. Бондаренко, М.В. Стьопочкіна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 320-325. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178159 512.647.2+512.562 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Описано всi серiйнi частково впорядкованi множини з додатно означеною квадратичною формою Тiтса i доведено, що довiльна частково впорядкована множина порядку бiльшого за 7 iз
додатно означеною формою Тiтса є серiйною. |
| format |
Article |
| author |
Бондаренко, В.М. Стьопочкіна, М.В. |
| spellingShingle |
Бондаренко, В.М. Стьопочкіна, М.В. Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бондаренко, В.М. Стьопочкіна, М.В. |
| author_sort |
Бондаренко, В.М. |
| title |
Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса |
| title_short |
Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса |
| title_full |
Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса |
| title_fullStr |
Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса |
| title_full_unstemmed |
Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса |
| title_sort |
про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою тітса |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178159 |
| citation_txt |
Про серійні частково впорядковані множини з додатно означеною квадратичною формою Тітса / В.М. Бондаренко, М.В. Стьопочкіна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 320-325. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bondarenkovm proseríjníčastkovovporâdkovanímnožinizdodatnooznačenoûkvadratičnoûformoûtítsa AT stʹopočkínamv proseríjníčastkovovporâdkovanímnožinizdodatnooznačenoûkvadratičnoûformoûtítsa |
| first_indexed |
2025-07-15T16:31:34Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:31:34Z |
| _version_ |
1837731251855818752 |
| fulltext |
УДК 512 . 647 . 2+512 . 562
ПРО СЕРIЙНI ЧАСТКОВО ВПОРЯДКОВАНI МНОЖИНИ
З ДОДАТНО ОЗНАЧЕНОЮ КВАДРАТИЧНОЮ ФОРМОЮ ТIТСА
В. М. Бондаренко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: vit-bond@imath.kiev.ua
М. В. Стьопочкiна
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, прос. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
e-mail: StMar@ukr.net
We have described all series partially ordered sets with positive definite Tits form and prove that an arbi-
trary partially ordered set of order greater than 7 with a positive definite Tits form is series.
Описано всi серiйнi частково впорядкованi множини з додатно означеною квадратичною фор-
мою Тiтса i доведено, що довiльна частково впорядкована множина порядку бiльшого за 7 iз
додатно означеною формою Тiтса є серiйною.
Квадратичнi форми виникають при розв’язаннi рiзних задач в алгебрi, геометрiї, теорiї
диференцiальних та iнтегральних рiвнянь, теорiї операторiв та iнших областях матема-
тики (див., наприклад, [1 – 26]). Серед них важливу роль вiдiграють квадратичнi форми
Тiтса для зорiєнтованих графiв, частково впорядкованих множин, алгебр, тощо. Ця стат-
тя пов’язана з такими формами.
1. Формулювання основного результату. Нагадаємо спочатку деякi означення.
Нехай S — скiнченна чи нескiнченна частково впорядкована (ч. в.) множина. Гово-
рять, що S є сумою своїх пiдмножин A1, . . . , As i записують S = A1 + . . . + As, якщо
S = ∪s
i=1Ai i до того ж Ai ∩ Aj = ∅ для i 6= j. Якщо при цьому елементи рiзних доданкiв
завжди непорiвняннi, то S називають прямою сумою вказаних пiдмножин. Далi, згiдно з
[27] сума S = A1 + . . . + As називається односторонньою, якщо (з точнiстю до нумерацiї
доданкiв) i < j кожного разу, коли iснують елементи b ∈ Ai i c ∈ Aj для i 6= j такi,
що b < c. Знову ж таки згiдно з [27] сума S = A1 + . . . + As називається мiнiмаксною,
якщо iз x < y, де x i y належать рiзним доданкам, випливає, що x є мiнiмальним, а y —
максимальним елементом множини S. Хоча формально пряма сума є мiнiмаксною, да-
лi, розглядаючи мiнiмакснi суми, ми завжди вважаємо (для зручностi), що вони не є пря-
мими.
Зауважимо, що пiд пiдмножиною ч. в. множини S ми завжди розумiємо повну ч. в.
пiдмножину (тобто частковий порядок на нiй iндукується частковим порядком на S).
Квадратичною формою Тiтса ч. в. множини S називають форму qS(z) : ZS∪0
0 → Z,
c© В. М. Бондаренко, М. В. Стьопочкiна, 2006
320 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СЕРIЙНI ЧАСТКОВО ВПОРЯДКОВАНI МНОЖИНИ . . . 321
що задається рiвнiстю
qS(z) = z2
0 +
∑
i∈S
z2
i +
∑
i<j, i, j∈S
zizj − z0
∑
i∈S
zi,
де ZS∪0
0 — пiдмножина декартового добутку ZS∪0 = {(zi), i ∈ S ∪ 0}, що складається з
усiх векторiв iз скiнченним числом ненульових координат (якщо S скiнченна, то ZS∪0
0 =
= ZS∪0).
Переходимо до формулювання основного результату.
Скiнченну чи нескiнченну ч. в. множину S iз додатно означеною формою Тiтса на-
зиватимемо серiйною, якщо для будь-якого натурального m iснує ч. в. множина T, така,
що:
а) S є пiдмножиною T ;
б) |T \ S| = m;
в) форма Тiтса множини T є додатно означеною.
Теорема 1. Будь-яка ч. в. множина порядку бiльшого за 7 iз додатно означеною фор-
мою Тiтса є серiйною.
У процесi доведення теореми ми вкажемо явний вигляд серiйних ч. в. множин.
2. Будова серiйних частково впорядкованих множин. Ч. в. множину з єдиною парою
непорiвнянних елементiв назвемо майже ланцюгом (ланцюгом називається довiльна лi-
нiйно впорядкована множина). Шириною ч. в. множини називаємо максимальне число її
попарно непорiвнянних елементiв.
Доведемо наступну теорему.
Теорема 2. Ч. в. множина S з додатно означеною формою Тiтса є серiйною тодi i
лише тодi, коли виконано одну з таких умов:
1) S — пряма сума двох ланцюгiв;
2) S — одностороння мiнiмаксна сума двох ланцюгiв;
3) S — пряма сума ланцюга i майже ланцюга.
Зауважимо, що в умовах 1) i 3) ланцюги можуть бути порожнiми.
Геометрично умови 1) – 3) мають такий вигляд:
1) 2) q
q��
�
�
�
�
�
�
��
3)
q qq
q��
@@
@@
��
(тут вертикальнi лiнiї є ланцюгами, а похилi вiдрiзки не мiстять промiжних точок).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
322 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЬОПОЧКIНА
Ця теорема випливає по сутi iз результатiв роботи [27]. А саме, згiдно з основною
теоремою цiєї роботи нескiнченна ч. в. множина має додатно означену форму Тiтса тодi
i лише тодi, коли вона має вигляд 1), 2) або 3); це означає, що теорема 2 справедлива
для нескiнченних ч. в. множин. Зауважимо, що звiдси випливає, що для нескiнченних ч. в.
множин має мiсце i теорема 1 (тому що в ч. в. множинi вигляду 1), 2) або 3) легко вказати
таку точку, пiсля замiни якої на ланцюг iз m точок нова ч. в. множина має, вiдповiдно,
такий же вигляд).
При доведеннi теореми з роботи [27] її автори використали деякий список ч. в. мно-
жин, форма Тiтса яких не є додатно означеною; оскiльки цей список скiнченний i склада-
ється лише iз скiнченних ч. в. множин, то тим самим доведено, що iснує деяке натуральне
число N таке, що будь-яка скiнченна ч. в. множина порядку бiльшого за N iз додатно
означеною формою Тiтса має вигляд 1), 2) або 3). Звiдси випливає теорема 2 для скiнчен-
них ч. в. множин (див. пояснення для нескiнченних ч. в. множин). Зауважимо, що довести
теорему 1 для скiнченних ч. в. множин — це означає показати, що за N можна взяти
число 7.
З огляду на теорему 2 легко побачити, що ч. в. множина порядку n ≤ 7 з додатно
означеною формою Тiтса може не бути серiйною. Наприклад, не є серiйною ч. в. множи-
на (порядку 5) T = {a, b1, b2, c1, c2 | b1 < b2, c1 < c2}.
3. Доведення теореми 1 (для скiнченних ч. в. множин). При доведеннi теореми будемо
використовувати поняття (min, max)-еквiвалентностi ч. в. множин, введене в [28].
Нагадаємо означення такої еквiвалентностi.
Нехай S — ч. в. множина i a — її мiнiмальний (вiдповiдно максимальний) елемент. Для
елементiв x, y ∈ S запис x >< y означатиме, що x i y непорiвняннi. Множину елементiв x ∈
∈ S, непорiвнянних iз фiксованим елементом a ∈ S, позначатимемо S><(a). Одноелемент-
нi пiдмножини S завжди ототожнюємо iз самими елементами.
Означимо ч. в. множину S↑
a (вiдповiдно S↓
a) таким чином. Як звичайна множина (тобто
без урахування часткового порядку) це S, i при цьому частковий порядок на S \ a збере-
жено, а a є вже максимальним (вiдповiдно мiнiмальним) елементом i до того ж a > x
(вiдповiдно a < x) тодi i лише тодi, коли x ∈ S><(a).
Далi будемо писати S↑↑
xy замiсть (S↑
x)↑y тощо.
Нехай S i T — ч. в. множини, такi, що S = T як звичайнi множини. Ми називаємо їх
(min, max)-еквiвалентними i пишемо T ∼=(min,max) S, якщо
T = S
ε1ε2...εp
x1x2...xp (p ≥ 0),
де εi ∈ {↑, ↓} i для кожного i = 1, . . . , p xi — мiнiмальний (вiдповiдно максимальний)
елемент S
ε1ε2...εi−1
x1x2...xi−1 , якщо εi =↑ (вiдповiдно εi =↓); зауважимо, що при цьому x1, x2, . . . , xp
не обов’язково є рiзними. Для p = 0 вважаємо, що T = S.
У випадку, коли всi стрiлки в цьому означеннi направленi вгору вiдповiдно вниз), ч. в.
множини S i T назвемо min-еквiвалентними (вiдповiдно max-еквiвалентними). Зауважи-
мо, що будь-якi (min, max)-еквiвалентнi ч. в. множини є як min-еквiвалентними, так i max-
еквiвалентними, але нi доводити це, нi користуватися цим ми в цiй статтi не будемо.
У роботi [28] доведено, що (min, max)-еквiвалентнi ч. в. множини мають еквiвалентнi
форми Тiтса, i тому природно вивчати ч. в. множини з додатно означеною формою Тiтса
з точнiстю до такої еквiвалентностi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СЕРIЙНI ЧАСТКОВО ВПОРЯДКОВАНI МНОЖИНИ . . . 323
Безпосередньо з означення (min, max)-еквiвалентностi випливає наступне тверджен-
ня.
Твердження. Нехай T1 — множина всiх мiнiмальних елементiв ч. в. множини T поряд-
ку n i (iндуктивно) Ti, i > 1, — множина всiх мiнiмальних елементiв T \ (∪i−1
j=1Tj), запис
h(x) = i для x ∈ T означатиме, що x ∈ Ti. Тодi для будь-якої послiдовностi без повто-
рiв (x1, x2, . . . , xn) такої, що h(x1) ≤ h(x2) ≤ . . . ≤ h(xn), вираз T ′ = T ↑↑...↑
x1x2...xn має сенс,
до того ж T ′ = T .
Перейдемо безпосередньо до доведення теореми 1 для скiнченних ч. в. множин (вiд-
носно нескiнченних ч. в. множин див. попереднiй пункт). Згiдно з теоремою 2 достатньо
показати, що довiльна ч. в. множина порядку бiльшого за 7 iз додатно означеною фор-
мою Тiтса має вигляд 1), 2) або 3).
Ширину ч. в. множини X (максимальне число її попарно непорiвнянних елементiв)
позначаємо через w(X).
Нехай S — (скiнченна) ч. в. множина. Зафiксуємо в S деякий максимальний елемент
a i позначимо через S(a) множину всiх елементiв x ∈ S, таких, що x < a. Зафiксуємо
для S(a) деяку послiдовнiсть (y1, y2, . . . , ys), про яку йшла мова у твердженнi, i розгля-
немо ч. в. множину T = S↑↑...↑
y1y2...ys . Очевидно, що в T елемент a є як мiнiмальним, так i
максимальним.
Оскiльки форма Тiтса q(z) ч. в. множини, що складається iз чотирьох попарно непо-
рiвнянних елементiв, наприклад 1, 2, 3, 4, не є додатно означеною (q(z) = 0 для z0 = 2,
z1 = z2 = z3 = z4 = 1), то випадок w(T ) ≥ 4 є неможливим, а отже, w(T ) ≤ 3. Тодi,
очевидно, ч. в. множина P = T ↑
a має ширину w ≤ 2.
Отже, ми довели, що ч. в. множина S min-еквiвалентна деякiй частково впорядкова-
нiй множинi P , яка має ширину 2: P = S↑↑...↑↑
y1y2...ysa. Тодi S = P ↓↓...↓↓
ays...y2y1 (оскiльки X↑↓
yy = X i
X↓↑
zz = X для довiльного мiнiмального елемента y i довiльного максимального елемента
z будь-якої ч. в. множини X). Звiдси (з урахуванням п. 2) випливає, що завершити дове-
дення теореми 1 можна за такою схемою.
I. Показати, шо довiльна ч. в. множина S ширини w ≤ 2 i порядку n > 7 з додатно
означеною формою Тiтса має вигляд 1), 2) або 3) (в останньому випадку ланцюг, що є
прямим доданком, повинен бути порожнiм, iнакше w = 3).
II. Показати, що якщо ч. в. множина S ширини w ≤ 3 i порядку n > 7 має вигляд 1),
2) або 3) i x — максимальний елемент S, то S↓
x є або ч. в. множиною ширини w′ ≤ 2 (а
тодi згiдно з п. I вона матиме вигляд 1), 2) або 3)), або ч. в. множиною ширини 3, що має
вигляд 3).
Вказане в п. I твердження доведено авторами в роботi [29].
Перейдемо до кроку II.
Нехай S — ч. в. множина ширини w ≤ 3 i порядку n > 7, яка має вигляд 1), 2) або 3). У
другому випадку для визначеностi будемо вважати, що мiнiмальний елемент 1-го ланцюга
менший за максимальний елемент 2-го ланцюга. Нехай x — максимальний елемент S i
T = S↓
x. Тодi
1.1) якщо S має вигляд 1), то w(T ) ≤ 2 (а саме, T має також вигляд 1));
2.1) якщо S має вигляд 2) i x належить 1-му ланцюгу, то w(T ) ≤ 2 (а саме, T має також
вигляд 2));
2.2) якщо S має вигляд 2) i x належить 2-му ланцюгу, то T має вигляд 3) (при цьому
можливий як випадок w(T ) = 2, так i випадок w(T ) = 3);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
324 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЬОПОЧКIНА
3.1) якщо S має вигляд 3) i x належить ланцюгу, то T має вигляд 3) (при цьому можли-
вий як випадок w(T ) = 2, так i випадок w(T ) = 3);
3.2) якщо S має вигляд 3) i x належить майже ланцюгу, причому майже ланцюг має 1
максимальний елемент, то w(T ) = 3 i T має вигляд 3);
3.3) якщо S має вигляд 3) i x належить майже ланцюгу, причому майже ланцюг має 2
максимальних елементи, то w(T ) ≤ 2 (а саме, T має також вигляд 2)).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що вказане в п. II твердження є правильним i для n ≤ 7 (доведення ана-
логiчне).
1. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств // Функ-
цион. анализ и его прил. — 1974. — 8. — C. 34 – 42.
2. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Применение квадратичных форм к исследова-
нию систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1985. — 21, № 5. —
С. 776 – 788.
3. Кочубей А. Н. Фундаментальные решения псевдодифференциальных уравнений, связанных с p-ади-
ческими квадратичными формами // Изв. РАН. — 1998. — 62, № 6. — C. 103 – 124.
4. Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen // Manuscr. math. — 1972. — 6. — P. 71 – 103, 309.
5. Brenner S. Quivers with commutativity conditions and some phenomenology of forms // Proc. Int. Conf.
Represent. Algebras. — Ottawa, Ontario: Carleton Univ., 1974. — Paper № 5.
6. Bongartz K. Algebras and quadratic forms // J. London Math. Soc. — 1983. — 28, № 3. — P. 461 – 469.
7. Ringel C. M. Tame algebras and integral quadratic forms // Lect. Noths Math. — Berlin etc.: Springer, 1984.
— 1099. — 376 p.
8. Crandall M. G. Semidifferentials, quadratic forms and fully nonlinear elliptic equations of second order //
Ann. Inst. H. Poincaré. Anal. Non Linéare. — 1989. — 6, № 6. — P. 419 – 435.
9. Corovei I. Some functional equations connected with quadratic forms // Anal. Numér. Théor. Approxim. —
1990. — 19, № 2. — P. 123 – 127.
10. Al-Naggar I., Pearson D. B. Quadratic forms and solutions of the Schrödinger equation // J. Phys. A. — 1996.
— 29, № 20. — P. 6581 – 6584.
11. Alsina M., Bayer P. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves // CRN Monogr. Ser. 22. —
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004. — 196 p.
12. Shimura G. Arithmetic and analytic theories of quadratic forms and Clifford groups // Math. Surv. and
Monogr. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004. — 109. — 275 p.
13. Hoffmann D. W., Lanhribi A. Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2 // Trans. Amer. Math.
Soc. — 2004. — № 10. — P. 4019 – 4052.
14. Ateiwi A. M. A study of dichotomy of linear systems of difference equations using the quadratic forms // J.
Fract. Calc. — 2004. — 25. — P. 93 – 100.
15. Fang F., Pan J. Secondary Brown-Kervaire quadratic forms and π-manifolds // Forem Math. — 2004. — 16,
№ 4. — P. 459 – 481.
16. Ueno T. Modular forms arising from zeta functions in two variables attached to prehomogeneous vector
spaces related to quadratic forms // Nagoya Math. J. — 2004. — 175. — P. 1 – 37.
17. Chan W. K., Peters M. Quaternary quadratic forms and Hilbert modular surfaces // Contemp. Math. —
2004. — 344. — P. 85 – 97.
18. Kohnen W. Special Siegel modular forms and singular series polynomials of quadratic forms // Ibid. — P. 229 –
236.
19. Laghribi A. Quasi-hyperbolicity of totally singular quadratic forms // Ibid. — P. 237 – 248.
20. Schulze-Pillot R. Representation by integral quadratic forms — a survey // Ibid. — P. 303 – 321.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
ПРО СЕРIЙНI ЧАСТКОВО ВПОРЯДКОВАНI МНОЖИНИ . . . 325
21. Fitzgerald R. W., Yucas J. L. Pensils of quadratic forms over finite fields // Discrete Math. — 2004. — 283. —
P. 71 – 79.
22. Li M., Dezhong C. Systems of Hermitian quadratic forms // Can. Math. Bull. — 2004. — 47, № 1. — P. 73 – 81.
23. Car M. Quadratic forms with polynomial coefficients // Acta arithm. — 2004. — 113, № 2. — P. 131 – 155.
24. Bevelacqua A. J. Four dimensional quadratic forms over F (X) where I3
t F (X) = 0 and a failure of the strong
Hasse principle // Communs Algebra. — 2004. — 32, № 3. — P. 855 – 877.
25. Teksan A. Representations of positive integers by a direct sum of quadratic forms // Results Math. — 2004. —
46. — P. 146 – 163.
26. Jaschke S., Keúppelberg C., Lindner A. Asymptotic behavior of tails and quantiles of quadratic forms of
Gaussian vectors // J. Multivar. Anal. — 2004. — 88, № 2. — P. 252 – 273.
27. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О критерии положительной определенности для одного класса бес-
конечных квадратичных форм // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 1. — С. 3 – 14.
28. Bondarenko V. M. On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms// Вiсн. Київ. ун-ту.
Фiзика i математика. — 2005. — № 1. — С. 24 – 25.
29. Bondarenko V. M., Styopochkina M. V. On posets of width two with positive Tits form// Algebra and Discrete
Math. — 2005. — № 2. — P. 11 – 22.
Одержано 05.04.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|