О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов
З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi породжуючого розв’язку. Знайдено о...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178197 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178197 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781972021-02-19T01:26:29Z О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов Чуйко, С.М. З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi породжуючого розв’язку. Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть цiєї iтерацiйної процедури до шуканого розв’язку. Using the least square method we construct a new iteration algorithm for finding solutions of a weakly nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical case, expanding the solution into a generalized Fourier polynomial in a neighborhood of the generating solution. We find an estimate for values of the small parameter for which convergence of this iteration procedure to the sought solution is preserved. 2008 Article О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178197 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi породжуючого розв’язку. Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається
збiжнiсть цiєї iтерацiйної процедури до шуканого розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чуйко, С.М. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_short |
О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_full |
О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_fullStr |
О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_full_unstemmed |
О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| title_sort |
о приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178197 |
| citation_txt |
О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm opribližennomrešeniikraevyhzadačmetodomnaimenʹšihkvadratov |
| first_indexed |
2025-07-15T16:34:06Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:34:06Z |
| _version_ |
1837731411594838016 |
| fulltext |
УДК 517.9
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
С. М. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84116, Славянск Донецой обл., ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
Using the least square method we construct a new iteration algorithm for finding solutions of a weakly
nonlinear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations in the critical case,
expanding the solution into a generalized Fourier polynomial in a neighborhood of the generating soluti-
on. We find an estimate for values of the small parameter for which convergence of this iteration procedure
to the sought solution is preserved.
З використанням методу найменших квадратiв побудовано нову iтерацiйну процедуру для зна-
ходження розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
рiвнянь у критичному випадку у виглядi розвинення в узагальнений полiном Фур’є в околi пород-
жуючого розв’язку. Знайдено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається
збiжнiсть цiєї iтерацiйної процедури до шуканого розв’язку.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу [1] о нахождении решений
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию
ℓz(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε). (2)
Решение задачи (1), (2) ищем в малой окрестности решения
z0(t) = col
(
z
(1)
0 (t), . . . , z
(n)
0 (t)
)
, z
(i)
0 (·) ∈ C1[a, b], i = 1, 2, . . . , n,
порождающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), ℓz0(·) = α, (3)
c© С. М. Чуйко, 2008
554 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 555
где A(t) — (n × n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементы кото-
рых — непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, α ∈ Rm
— действитель-
ный вектор-столбец, Z(z, t, ε) — нелинейная вектор-функция, непрерывно дифферен-
цируемая по z в малой окрестности решения порождающей задачи, непрерывная по t
на отрезке [a, b] и непрерывно дифференцируемая по малому параметру ε на отрезке
[0, ε0]; ℓz(·, ε) и J(z(·, ε), ε) — линейный и нелинейный векторный функционалы ℓz(·, ε),
J(z(·, ε), ε) : C[a, b] → Rm, причем второй функционал непрерывно дифференцируем по
неизвестной переменной z и по малому параметру ε в малой окрестности решения поро-
ждающей задачи и на отрезке [0; ε0].
Исследован критический случай PQ∗ 6= 0; при условии [1]
PQ∗
d
{
α − ℓK
[
f(s)
]
(·)
}
= 0 (4)
порождающая задача (3) имеет r линейно независимых решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s);α
]
(t), cr ∈ Rr.
Здесь X(t) — нормальная (X(0) = In) фундаментальная матрица однородной части си-
стемы (3), Q = ℓX(·) — (n × n)-мерная матрица, rank Q = n1, Xr(t) = X(t)PQr
, PQr
—
(n×r)-мерная матрица, составленная из r линейно независимых столбцов (n×n)-мерной
матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q), PQ∗
d
— (d × n)-мерная матрица, составленная
из d линейно независимых строк (m × m)-ортопроектора PQ∗ : Rm → N(Q∗),
G
[
f(s);α
]
(t) = K
[
f(s)
]
(t) − X(t)Q+ℓK
[
f(s)
]
(·)
— обобщенный оператор Грина краевой задачи (3);
K
[
f(s)
]
(t) = X(t)
t
∫
a
X−1(s)f(s)ds
— оператор Грина задачи Коши для дифференциальной системы (3), Q+− псевдообра-
тная матрица по Муру – Пенроузу.
Учитывая непрерывность нелинейной вектор-функции Z(z(t, ε), t, ε) и нелинейного
векторного функционала J(z(·, ε), ε) по ε в малой положительной окрестности нуля, по-
лучаем необходимое условие [1]
F0(cr) = PQ∗
d
{
J(z0(·, cr), 0) − ℓK
[
Z(z0(s, cr), s, 0)
]
(·)
}
= 0 (5)
существования решения исходной задачи (1), (2) в критическом случае.
Лемма 1. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (4) разрешимости порождающей задачи (3). Предположим также,
что задача (1), (2) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) =
= z0(t, c
∗
r). Тогда вектор c∗r ∈ Rr удовлетворяет уравнению (5) для порождающих
амплитуд.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
556 С. М. ЧУЙКО
Предположим далее, что уравнение (5) имеет действительные корни. Фиксируя одно
из решений c∗r ∈ Rr уравнения (5), приходим к задаче об отыскании решения
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
задачи (1), (2) в окрестности порождающего решения
z0(t, c
∗
r) = Xr(t)c
∗
r + G
[
f(s);α
]
(t).
Для нахождении возмущения
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(j)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(j)(t, ·) ∈ C[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0, j = 1, 2, . . . , n,
порождающего решения z0(t, c
∗
r) используем задачу
dx(t, ε)
dt
= A(t)x(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (6)
ℓx(·, ε) = εJ(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε). (7)
Учитывая непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции Z(z, t, ε) в
окрестности порождающего решения и непрерывную дифференцируемость по третьему
аргументу, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и ε = 0 :
Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) = Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+ A1(t)x(t, ε) + εA2(t) + R(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (8)
где
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
, A2(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
.
Остаток R(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) разложения функции Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) более высо-
кого порядка малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем три первых члена
разложения, поэтому
R(z, t, ε)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
≡ 0,
∂R(z, t, ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
≡ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 557
Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по пер-
вому аргументу векторного функционала J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε) и непрерывность по вто-
рому аргументу, выделяем линейные по x и по ε части ℓ1x(·, ε) и εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) этого фун-
кционала и член J(z0(·, c
∗
r), 0) = J(z(·, 0), 0) нулевого порядка по ε в окрестности точек
x = 0 и ε = 0 :
J(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε) = J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1x(·, ε)+
+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + x(·, ε), ε). (9)
Остаток J1(z0(·, c
∗
r)+x(·, ε), ε) разложения функционала J(z0(·, c
∗
r)+x(·, ε), ε) более высо-
кого порядка малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем два первых члена
разложения, поэтому
J1(z(·, ε), ε)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂z
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0,
∂J1(z(·, ε), ε)
∂ε
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
z=z0(t,c∗r)
ε=0
= 0.
Обозначим (d × r)-мерную матрицу
B0 = PQ∗
d
{
ℓ1Xr(·) − ℓK
[
A1(s)Xr(s)
]
(·)
}
.
При условии PB∗
0
= 0 краевая задач (6), (7) имеет по меньшей мере одно решение
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в нулевое x(t, 0) ≡ 0. Для построения этого решения краевой
задачи (6) применяется метод простых итераций [1 – 5]. Этот метод отличают простота
вычислительной схемы, показательная скорость сходимости, затухание ошибок округле-
ния и численная устойчивость, однако построение приближенных решений с применени-
ем метода простых итераций для краевых задач связано с быстро увеличивающейся от
итерации к итерации сложностью вычислений. Целью данной работы является постро-
ение приближенных решений краевой задачи (6) c использованием метода наименьших
квадратов в виде частичных сумм обобщенного ряда Фурье [6 – 9].
2. Итерационная процедура. Пусть ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕk(t), . . . — система линейно неза-
висимых непрерывно дифференцируемых n-мерных вектор-функций. Первое приближе-
ние к решению краевой задачи (6), (7)
x1(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x
(1)
1 (t, ε)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
558 С. М. ЧУЙКО
ищем как решение краевой задачи
dx1(t, ε)
dt
= A(t)x1(t, ε) + ε
[
Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) + A1(t)x1(t, ε)
]
, (10)
ℓx1(·, ε) = ε
[
J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1x1(·, ε)
]
. (11)
Приближение к частному решению краевой задачи (10), (11) ищем в виде
x
(1)
1 (t, ε) ≈ ξ1(t, ε) =
k
∑
i=1
c
(i)
1 (ε)ϕi(t).
Обозначим (n×k)-мерную матрицу ϕ(t) =
[
ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕk(t)
]
. В общем случае первое
приближение
ξ1(t, ε) = ϕ(t)c1(ε), c1(ε) =
[
c
(1)
1 (ε) c
(2)
1 (ε) ... c
(k)
1 (ε)
]∗
не является решением краевой задачи (10), (11), поэтому потребуем, чтобы
F (c1(ε)) =
∥
∥
∥
∥
[
A(t) + εA1(t)
]
ξ1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) − ξ′1(t, ε)
∥
∥
∥
∥
2
L2[a,b]
+
+
∥
∥
∥
∥
[
εℓ1 − ℓ
]
ξ1(·, ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)
∥
∥
∥
∥
2
Rm
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). Функция
F (c1(ε)) =
b
∫
a
{[
A(t) + εA1(t)
]
ξ1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) − ξ′1(t, ε)
}∗
×
×
{[
A(t) + εA1(t)
]
ξ1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) − ξ′1(t, ε)
}
dt+
+
{[
εℓ1 − ℓ
]
ξ1(·, ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)
}∗ {[
εℓ1 − ℓ
]
ξ1(·, ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)
}
представима в виде
F (c1(ε)) = ‖Φ(t, ε)c1(ε) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0)‖2
L2[a,b] +
+ ‖Ψ(ε)c1(ε) + εJ(z0(·, c
∗
r), 0)‖2
Rm ,
где
Φ(t, ε) =
[
A(t) + εA1(t)
]
ϕ(t) − ϕ′(t)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 559
— (n× k)-мерная матрица, Ψ(ε) =
[
εℓ1 − ℓ
]
ϕ(·) — (m× k)-мерная матрица. Необходимое
условие минимизации функции F (c1(ε)) приводит к уравнению
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]
c1(ε) = −ε
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)dt − εΨ∗(ε)J(z0(·, cr∗), 0),
однозначно разрешимому относительно вектора c1(ε) ∈ Rk при условии невырожденно-
сти суммы (k × k)-мерных матриц Грама [8]
Γ
(
ϕ(·)
)
=
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Φ(t, ε)dt, Γ
(
ℓϕ(·)
)
= Ψ(ε)∗Ψ(ε).
Таким образом, при условии det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]
6= 0 находим вектор
c1(ε) = −ε
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]−1
×
×
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, cr∗), t, 0)dt + Ψ∗(ε)J(z0(·, c
∗
r), 0)
,
определяющий первое приближение x1(t, ε) ≈ Xr(t)cr(ε) + ξ1(t, ε) к решению краевой
задачи (10), (11). Здесь
ξ1(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]−1
×
×
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, cr), t, 0)dt + Ψ∗(ε)J(z0(·, cr), 0)
— наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение к частному решению
x
(1)
1 (t, ε) краевой задачи (10), (11). Второе приближение x2(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x
(1)
2 (t, ε)
к решению краевой задачи (6), (7) ищем, как решение краевой задачи
dx2(t, ε)
dt
= A(t)x2(t, ε) + ε
[
Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+ A1(t)x2(t, ε) + εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + x1(t, ε), t, ε)
]
, (12)
ℓx2(·, ε) = ε
[
J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1x2(·, ε)+
+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + x1(·, ε), ε)
]
. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
560 С. М. ЧУЙКО
Приближение к частному решению краевой задачи (12), (13)
x
(1)
2 (t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
определяет вектор-функция
ξ2(t, ε) = ϕ(t)c2(ε) =
k
∑
i=1
c
(i)
2 (ε)ϕi(t), c2(ε) =
[
c
(1)
2 (ε) c
(2)
2 (ε) . . . c
(k)
2 (ε)
]∗
.
В общем случае сумма ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) не является решением краевой задачи (12), (13),
поэтому потребуем, чтобы
F (c2(ε)) =
∥
∥
∥
∥
[
A(t) + εA1(t)
]
ξ2(t, ε) + ε2A2(t)+
+ εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − ξ′2(t, ε)
∥
∥
∥
∥
2
L2[a,b]
+
+
∥
∥
∥
∥
[
εℓ1 − ℓ
]
ξ2(·, ε) + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
∥
∥
∥
∥
2
Rm
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). Функция
F (c2(ε)) =
b
∫
a
{
[
A(t) + εA1(t)
]
ξ2(t, ε) + ε2A2(t)+
+ εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − ξ′2(t, ε)
}∗
×
×
{[
A(t) + εA1(t)
]
ξ2(t, ε) + ε2A2(t) + εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − ξ′2(t, ε)
}
dt+
+
{[
εℓ1 − ℓ
]
ξ2(·, ε) + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}∗
×
×
{[
εℓ1 − ℓ
]
ξ2(·, ε) + ε2ℓ2(z0(·, cr), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}
представима в виде
F (c2(ε)) =
b
∫
a
{
Φ(t, ε)c2 + ε2A2(t) + εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
}∗
×
×
{
Φ(t, ε)c2 + ε2A2(t) + εR1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
}
dt+
+
{
Ψ(ε)c2 + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}∗
×
×
{
Ψ(ε)c2 + ε2ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + εJ1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 561
Необходимое условие минимизации функции F (c2(ε)) приводит к уравнению
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]
c2(ε) =
= −ε
b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt−
− εΨ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
.
При условии det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]
6= 0 находим вектор
c2(ε) = −ε
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
,
определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение к частному
решению x
(1)
2 (t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) краевой задачи (12), (13). Здесь
ξ2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
.
Таким образом, на втором шаге итерационной процедуры найдено наилучшее (в смысле
наименьших квадратов) приближение
x2(t, ε) ≈ Xr(t)cr(ε) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
к решению краевой задачи (12), (13). Продолжая рассуждения, предполагаем, что найде-
но (j + 1)-е приближение (j = 1, 2, . . .) к решению краевой задачи (6), (7). Следующее,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
562 С. М. ЧУЙКО
(j + 2)-е, приближение к решению краевой задачи (6), (7) ищем, как решение краевой
задачи
dxj+2(t, ε)
dt
= A(t)xj+2(t, ε) + ε
[
Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+ A1(t)xj+2(t, ε) + εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + xj+1(t, ε), t, ε)
]
, (14)
ℓxj+2(·, ε) = ε
[
J(z0(·, c
∗
r), 0) + ℓ1xj+2(·, ε)+
+ εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + xj+1(·, ε), ε)
]
. (15)
Приближение к частному решению краевой задачи (14), (15)
x
(1)
j+2(t, ε) ≈
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε)
определяет вектор-функция
ξj+2(t, ε) = ϕ(t)cj+2(ε) =
k
∑
i=1
c
(i)
j+2(ε)ϕi(t), cj+2(ε) =
[
c
(1)
j+2(ε) c
(2)
j+2(ε) . . . c
(k)
j+2(ε)
]∗
.
В общем случае сумма ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + . . . + ξj+2(t, ε) не является решением краевой
задачи (14), (15), поэтому потребуем, чтобы
F (cj+2(ε)) =
∥
∥
∥
∥
∥
[
A(t) + εA1(t)
]
ξj+2(t, ε)+
+ ε
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
− ξ′j+2(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
2
L2[a,b]
+
+
∥
∥
∥
∥
∥
[
εℓ1 − ℓ
]
ξj+2(·, ε) + ε
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
∥
∥
∥
∥
∥
2
Rm
→ min
при фиксированной матрице ϕ(t). При условии det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]
6= 0 находим
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 563
вектор
cj+2(ε) = −ε ·
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
}
,
определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение к частному
решению
x
(1)
j+2(t, ε) ≈
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε)
краевой задачи (14), (15). Здесь
ξj+2(t, ε) = −εϕ(t) ·
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
}
.
Таким образом, на (j +2)-м шаге итерационной процедуры найдено наилучшее (в смысле
наименьших квадратов) приближение
xj+2(t, ε) ≈ Xr(t)cr(ε) +
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
564 С. М. ЧУЙКО
к решению краевой задачи (14), (15). Ниже будет получена оценка точности приближе-
ния к искомому решению задачи (1), (2), достигаемая с помощью полученной итерацион-
ной процедуры. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть краевая задача (1), (2) представляет критический случай PQ∗ 6= 0
и выполнено условие (4) разрешимости порождающей задачи (3). Тогда для каждого
корня c∗r ∈ Rr уравнения (5) для порождающих амплитуд при условии PB∗
0
= 0 задача
(6), (7) имеет по меньшей мере одно решение
x(t, ε) = col
(
x(1)(t, ε), . . . , x(n)(t, ε)
)
,
x(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], x(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, . . . , n,
при ε = 0 обращающееся в нулевое x(t, 0) ≡ 0. В случае
det
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]
6= 0
это решение можно определить с помощью сходящегося для ε ∈ [0, ε∗] итерационного
процесса
x1(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)]−1
×
×
b
∫
a
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)dt + Ψ∗(ε)J(z0(·, c
∗
r), 0)
,
x2(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε),
ξ2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
εA2(t) + R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
εℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) + J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
,
x3(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + ξ3(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 565
ξ3(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε), t, ε) − R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + ξ2(·, ε), ε) − J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε), ε)
]
}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xj+2(t, ε) ≈
j+2
∑
i=1
ξi(t, ε), j = 1, 2, . . . , (16)
ξj+2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
+ Γ
(
ℓϕ(·)
)
]−1
×
×
{ b
∫
a
Φ∗(t, ε)
[
R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + . . . + ξj+1(t, ε), t, ε)−
− R1(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) + . . . + ξj(t, ε)
]
dt+
+ Ψ∗(ε)
[
J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj+1(·, ε), ε)−
− J1(z0(·, c
∗
r) + ξ1(·, ε) + . . . + ξj(·, ε), ε)
]
}
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Задача (1), (2) имеет в этом случае по меньшей мере одно решение
z(t, ε) = col
(
z(1)(t, ε), . . . , z(n)(t, ε)
)
,
z(i)(·, ε) ∈ C1[a, b], z(i)(t, ·) ∈ C[0, ε0], i = 1, 2, ... , n,
при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) ≡ z0(t, c
∗
r), которое может быть най-
дено по формуле zk(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + xk(t, ε), k = 1, 2, . . . , с помощью итерационного
процесса (16).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
566 С. М. ЧУЙКО
В случае периодической задачи для уравнения (1) для построения приближенного
решения целесообразно использовать периодическую матрицу ϕ(t). При этом итераци-
онная процедура (16) значительно упрощается, поскольку в этом случае Γ
(
ℓϕ(·)
)
= 0,
Ψ∗(ε) ≡ 0; кроме того, для линейного периодического краевого условия ℓz(·) = z(0) −
−z(T ) имеют место тождества
ℓ1z(·) = ℓ2(z0(·, c
∗
r), 0) ≡ 0, J(z(·, ε), ε) ≡ J1(z(·, ε), ε) ≡ 0.
3. Оценка точности итераций по методу наименьших квадратов. Для оценки точности
итераций по методу наименьших квадратов в критическом случае предположим, что опе-
ратор Φ
(
z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
)
является сжимающим, при этом для любых вектор-функций
y1(t, ε), y2(t, ε) из малой окрестности нуля выполняется неравенство
‖Φy1(t, ε) − Φy2(t, ε)‖ ≤ λ‖y1(t, ε) − y2(t, ε)‖, λ < 1.
Согласно принципу Каччопполи – Банаха [3, c. 605], в этом случае в малой окрестности
нуля существует единственная неподвижная точка x∗(t, ε) отображения Φx(t, ε), пред-
ставляющая положение равновесия уравнения x(t, ε) = Φx(t, ε). Для нахождения непод-
вижной точки x∗(t, ε) отображения Φx(t, ε) применим метод простых итераций. Есте-
ственно предположить, что первое приближение x1(t, ε) = Φ(0) 6= 0. Другими словами,
предположим, что неподвижная точка x∗(t, ε) отображения Φx(t, ε) отлична от нуля. В
этом случае
‖x∗(t, ε) − x1(t, ε)‖ = ‖Φx∗(t, ε) − Φ(0)‖ ≤ λ‖x∗(t, ε)‖.
Обозначим
δ1(ε) =
‖x1(t, ε) − ξ1(t, ε)‖
‖x∗(t, ε)‖
.
Величина δ1(ε) зависит от выбора (n × k)-мерной матрицы ϕ(t). Используя неравенство
треугольника, получаем оценку
‖x∗(t, ε) − ξ1(t, ε)‖ ≤ ‖x∗(t, ε) − x1(t, ε)‖ + ‖x1(t, ε) − ξ1(t, ε)‖ ≤ (λ + δ1)‖x
∗(t, ε)‖.
Для второго приближения, вычисленного по методу простых итераций, имеет место не-
равенство
‖x∗(t, ε) − x2(t, ε)‖ = ‖Φx∗(t, ε) − Φx1(t, ε)‖ ≤ λ2‖x∗(t, ε)‖.
Обозначим
δ2(ε) =
∥
∥
∥
∥
x2(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
)∥
∥
∥
∥
‖x∗(t, ε)‖
.
Используя неравенство треугольника, получаем оценку
∥
∥
∥
∥
x∗(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
)
∥
∥
∥
∥
≤ ‖x∗(t, ε) − x1(t, ε)‖+
+
∥
∥
∥
∥
x1(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
)∥
∥
∥
∥
≤ (λ2 + δ2)‖x
∗(t, ε)‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 567
Аналогично
∥
∥
∥
∥
∥
x∗(t, ε) −
k
∑
i=1
ξi(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
≤ ‖x∗(t, ε) − xk(t, ε)‖ +
∥
∥
∥
∥
∥
xk(t, ε) −
k
∑
i=1
ξi(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
≤ (λk + δk)‖x
∗(t, ε)‖.
Здесь
δk(ε) =
∥
∥
∥
∥
xk(t, ε) −
(
ξ1(t, ε) + . . . + ξk(t, ε)
)∥
∥
∥
∥
‖x∗(t, ε)‖
.
При достаточно малой величине
δ(ε) = max
0≤i≤k
δi(ε)
для k ≤ κ выполняются неравенства
λk + δ(ε) < λk−1 + δ(ε) < . . . < λ2 + δ(ε) < λ + δ(ε) < 1,
гарантирующие достаточно малое значение нормы разности
∥
∥
∥
∥
∥
x∗(t, ε) −
k
∑
i=1
ξi(t, ε)
∥
∥
∥
∥
∥
.
В отличие от метода простых итераций использование итерационной процедуры (16), по-
строенной по методу наименьших квадратов, позволяет находить итерации сколь угодно
высокого порядка, однако точность полученного с помощью метода наименьших квад-
ратов приближения ограничена величиной порядка δ(ε), которая зависит от выбора
(n × k)-мерной матрицы ϕ(t). Кроме того, на точность полученного с помощью метода
наименьших квадратов приближения влияют погрешности промежуточных приближен-
ных вычислений.
Пример. Покажем, что итерационная процедура (16) применима для нахождения ре-
шения периодической задачи
dz
dt
= (2t − 1)z + εz ln z,
(17)
ℓz(·) = z(0, ε) − z(1, ε) = 0.
Для этого исследуем порождающую задачу
dz0
dt
= (2t − 1)z0,
(18)
ℓz0(·) = z0(0) − z0(1) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
568 С. М. ЧУЙКО
Нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциального уравне-
ния (18) суть функция X(t) = et2−t. Поскольку Q = ℓX(·) = 0, имеет место критический
случай; при этом r = d = 1,
PQ∗ = PQ∗
d
= PQ = PQr
= 1.
Общее решение порождающей задачи (18) имеет вид z0(t, c) = c et2−t. Единственное не-
тривиальное решение c∗1 = e
1
6 уравнения для порождающих амплитуд задачи (17) опре-
деляет производную A1(t) = t2 − t +
7
6
, которая приводит к константе B0 = 1. Положим
ϕ(t) = ϕ6(t) =
[
1 t(1 − t) t(1 − t)2 t(1 − t)3 t(1 − t)4 t(1 − t)5
]
.
Матрица ϕ6(t) удовлетворяет краевому условию (17) и определяет невырожденную (6 ×
6)-матрицу Грама Γ
(
ϕ6(·)
)
. Чтобы проверить последнее утверждение, найдем разложе-
ние
det
[
Γ
(
ϕ6(·)
)
]
≈
1212919
647 244 981 444 399 245 107 200 000
+
+
3 679 913 919 765 888 641
1 386 398 750 253 903 183 019 622 400 000
· ε2+
+
217 883 317 764 850 527 659
1 297 669 230 237 653 379 306 366 566 400 000
· ε4+
+
68 421 914 410 913 602 709
19 465 038 453 564 800 689 595 498 496 000 000
· ε6 6= 0.
Невырожденность матрицы Грама Γ
(
ϕ6(·)
)
обеспечивает возможность нахождения при-
ближенного решения краевой задачи (17) с помощью итерационного процесса (16). Пер-
вое приближение x1(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) = ϕ(t)c1(ε) к решению краевой задачи (6), (7) опреде-
ляет вектор
c1(ε) = −ε
[
Γ
(
ϕ6(·)
)
]−1 T
∫
0
Φ∗(t, ε)Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)dt ≈
≈ col
[
− 2, 72 097 · 10−7 − 1, 45 621 · 10−10ε − 0, 00 320 359ε2−
− 1, 59 131 · 10−7ε3 + 0, 0 000 809 896ε4 − 0, 0 000 408 258ε5+
+ 0, 000 414 518ε6 − 0, 00 317 151ε7 + 0, 0 178 324ε8 − 0, 0 720 259ε9+
+ 0, 198 016ε10 − 0, 332 254ε11 + 0, 257 046ε12,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 569
2, 72 073 · 10−7 − 0, 19 554ε + 0, 00 343 683ε2 + 0, 00 396 644ε3−
− 0, 0 000 726 042ε4 − 0, 0 000 533 456ε5 − 0, 000 424 831ε6+
+ 0, 00 326 058ε7 − 0, 0 183 758ε8 + 0, 0 744 472ε9−
− 0, 205 278ε10 + 0, 34 539ε11 − 0, 267 864ε12,
1, 35 394 · 10−7 + 0, 563 049ε + 0, 106 853ε2 − 0, 00 649 617ε3−
0, 00 238 175ε4 + 0, 000 114 958ε5 + 0, 000 117 308ε6−
− 0, 000 358 307ε7 + 0, 00 138 363ε8 − 0, 00 299 176ε9+
+ 0, 000 921 885ε10 + 0, 010 609ε11 − 0, 0172 272ε12,
1, 75 841 · 10−7 − 0, 515 905ε − 0, 237 509ε2 − 0, 00 430 925ε3+
+ 0, 00 420 828ε4 + 0, 000 197 839ε5 − 0, 0 000 183 747ε6−
− 0, 000 567 387ε7 + 0, 00 276 651ε8 − 0, 00 766 056ε9+
+ 0, 0 051 925ε10 + 0, 0 295 068ε11 − 0, 0 616 531ε12,
− 8, 08 892 · 10−8 + 0, 343 937ε + 0, 261 311ε2 + 0, 00 287 231ε3−
− 0, 00 364 128ε4 − 0, 000 270 189ε5 + 0, 0 014 102ε6−
− 0, 00 992 461ε7 + 0, 05 392ε8 − 0, 208 951ε9+
+ 0, 547 188ε10 − 0, 867 501ε11 + 0, 628 253ε12,
4, 04 485 · 10−8 − 1, 23 674 · 10−10ε − 0, 130 656ε2−
− 1, 48 305 · 10−7ε3 + 0, 0 018 283ε4 − 0, 0 000 369 977ε5+
+ 0, 000 342 181ε6 − 0, 00 291 183ε7 + 0, 0 168 427ε8−
− 0, 0 707 827ε9 + 0, 203 738ε10 − 0, 357 727ε11 + 0, 287 339ε12
]
.
Для оценки точности приближений к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17),
получаемых с помощью итерационного процесса (16), зафиксируем ε = 0, 1 и увеличим
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
570 С. М. ЧУЙКО
размерность матрицы
ϕ12(t) = col
[
1 , t(1 − t) , t(1 − t)2 , t(1 − t)3 ,
t(1 − t)4 , t(1 − t)5 , t(1 − t)6 , t(1 − t)7 ,
t(1 − t)8 , t(1 − t)9 , t(1 − t)10 , t(1 − t)11
]∗
.
Матрица ϕ12(t) удовлетворяет краевому условию (17) и определяет невырожденную (12×
×12)-матрицу Грама Γ
(
ϕ12(·)
)
, при этом
det
[
Γ
(
ϕ12(·)
)
]
≈ 5, 93 620 · 10−63.
Первое приближение к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17), получаемое
с помощью метода наименьших квадратов, имеет вид
x1(t, ε) ≈ −0, 0 000 320 264 − t
[
0, 0196 536(1 − t) + 0, 0601 986(1 − t)2−
− 0, 0 718 794(1 − t)3 + 0, 0 869 444(1 − t)4 − 0, 07 242(1 − t)5+
+ 0, 0 594 333(1 − t)6 − 0, 038 034(1 − t)7t + 0, 0 214 742(1 − t)8−
− 0, 00 829 416(1 − t)9 + 0, 00 207 076(1 − t)10 − 0, 000 122 446(1 − t)11
]
.
Второе приближение к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17)
x2(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε)
определяет вектор
ξ2(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
]−1
×
×
T
∫
0
Φ∗(t, ε)
[
Z(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − Z(z0(t, c
∗
r), t, 0) − A1(t)ξ1(t, ε)
]
dt.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 571
Таким образом,
x2(t, ε) ≈ −0, 0 000 328 073 − t
[
0, 0 196 527(1 − t)+
+ 0, 0 601 981(1 − t)2 − 0, 0 718 842(1 − t)3 + 0, 086 969(1 − t)4−
− 0, 072 472(1 − t)5 + 0, 0 595 019(1 − t)6 − 0, 0 381 007(1 − t)7+
+ 0, 0 215 211(1 − t)8 − 0, 00 831 588(1 − t)9+
+ 0, 00 207 643(1 − t)10 − 0, 000 122 812(1 − t)11
]
.
Третье приближение к решению краевой задачи (6), (7) для уравнения (17) в соответ-
ствии со схемой (16)
x3(t, ε) ≈ ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + ξ3(t, ε)
определяет вектор
ξ3(t, ε) = −εϕ(t)
[
Γ
(
ϕ(·)
)
]−1
×
×
T
∫
0
Φ∗(t, ε)
[
Z(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε), t, ε)−
− Z(z0(t, c
∗
r) + ξ1(t, ε), t, ε) − A1(t)ξ2(t, ε)
]
dt,
при этом
x3(t, ε) ≈ −0, 0 000 328 073 − t
[
0, 0196 527(1 − t) + 0, 0601 981(1 − t)2−
− 0, 0 718 841(1 − t)3 + 0, 086 969(1 − t)4 − 0, 072 472(1 − t)5+
+ 0, 0595 019(1 − t)6 − 0, 0 381 007(1 − t)7 + 0, 0 215 211(1 − t)8−
− 0, 0 083 159(1 − t)9 + 0, 00 207 644(1 − t)10 − 0, 000 122 813(1 − t)11
]
.
Заметим также, что три первых приближения к решению краевой задачи (6), (7) для
уравнения (17), полученные с помощью метода наименьших квадратов, удовлетворяют
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
572 С. М. ЧУЙКО
краевому условию (17). Точность полученных приближений демонстрирует последова-
тельное уменьшение от итерации к итерации норм невязок
∆i(ε) =
{
∥
∥
∥
∥
A(t)zi(t, ε) + f(t) + εZ(z0(t, c
∗
r) + xi(t, ε), t, ε) −
dzi(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
2
C[0;1]
+
+ ‖ℓzi(·) − α − J(z0(·, c
∗
r) + xi(·, ε), ε)‖
2
Rm
}
1
2
, i = 0, 1, 2, . . . ,
в решении краевой задачи (1), (2). Действительно, при ε = 0, 1 имеем
∆
0
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)z0(t, c
∗
r) + εZ(z0(t, c
∗
r), t, 0) −
dz0(t, c
∗
r)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 0, 0196 893,
∆
1
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)x1(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x1(t, ε), t, ε) −
dx1(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 1, 29 484 · 10−7,
∆
2
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)x2(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x2(t, ε), t, ε) −
dx2(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 2, 20 191 · 10−8,
∆
3
(0, 1) =
∥
∥
∥
∥
A(t)x3(t, ε) + εZ(z0(t, c
∗
r) + x3(t, ε), t, ε) −
dx3(t, ε)
dt
∥
∥
∥
∥
C[0;1]
≈ 2, 20 212 · 10−8.
Далее, используя метод пристрелки, находим более точное приближение к начальному
значению решения краевой задачи (17):
x(0; 0, 1) ≈ −0, 000 032 807 300 636.
Точность полученных с помощью итерационного процесса (16) приближений демонстри-
рует последовательное уменьшение от итерации к итерации отклонений начальных зна-
чений решений уравнения (17) от начальных значений полученных приближений. Дей-
ствительно, при ε = 0, 1 имеем
δ0(ε) = |x(0; 0, 1)| ≈ 0, 000 032 807 300 636,
δ1(ε) = |x1(0; 0, 1) − x(0; 0, 1)| ≈ 7, 80 858 · 10−7,
δ2(ε) = |x2(0; 0, 1) − x(0; 0, 1)| ≈ 1, 98 857 · 10−11,
δ3(ε) = |x3(0; 0, 1) − x(0; 0, 1)| ≈ 8, 50 282 · 10−14.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 573
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 p.
2. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
4. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук.
думка, 1968. — 244 с.
5. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с.
6. Крылов Н. М. Избранные труды. — Киев: Изд-во АН УССР, 1961. — Т. 1. — 268 с.
7. Кравчук М. Вибранi математичнi працi. — Київ; Нью-Йорк, 2002. — 792 с.
8. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. — 408 с.
9. Гаврилюк I. П., Макаров В. Л. Методи обчислень. — Київ: Вища шк., 1995. — Ч. II. — 432 с.
Получено 28.12.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 4
|