Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка
Розглянуто задачу Дарбу для диференцiального рiвняння дробового порядку, яке мiстить регуляризовану мiшану похiдну. Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку цiєї задачi в класi неперервних функцiй. Запропоновано один метод наближеного розв’язання цiєї задачi та доведено його збiжнiс...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178198 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Михайленко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 293-304. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178198 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1781982021-02-19T01:26:59Z Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. Розглянуто задачу Дарбу для диференцiального рiвняння дробового порядку, яке мiстить регуляризовану мiшану похiдну. Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку цiєї задачi в класi неперервних функцiй. Запропоновано один метод наближеного розв’язання цiєї задачi та доведено його збiжнiсть. We consider a Darboux problem for a fractional order differential equation that contains a regularized mixed derivative. Sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution of this problem is obtained in the class of continuous functions. We also propose a method for finding an approximate solution of this problem, and prove convergence of the method. 2008 Article Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Михайленко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 293-304. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178198 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглянуто задачу Дарбу для диференцiального рiвняння дробового порядку, яке мiстить регуляризовану мiшану похiдну. Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку цiєї
задачi в класi неперервних функцiй. Запропоновано один метод наближеного розв’язання цiєї
задачi та доведено його збiжнiсть. |
| format |
Article |
| author |
Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. |
| spellingShingle |
Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. |
| author_sort |
Витюк, А.Н. |
| title |
Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка |
| title_short |
Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка |
| title_full |
Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка |
| title_fullStr |
Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка |
| title_sort |
об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178198 |
| citation_txt |
Об одном классе дифференциальных уравнений дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Михайленко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 3. — С. 293-304. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT vitûkan obodnomklassedifferencialʹnyhuravnenijdrobnogoporâdka AT mihajlenkoav obodnomklassedifferencialʹnyhuravnenijdrobnogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T16:34:10Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:34:10Z |
| _version_ |
1837731415703158784 |
| fulltext |
УДК 517.9
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДРОБНОГО ПОРЯДКА
А. Н. Витюк, А. В. Михайленко
Одес. нац. ун-т
Ин-т математики, экономики и механики
Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: 8012@mail.ru
We consider a Darboux problem for a fractional order differential equation that contains a regularized mi-
xed derivative. Sufficient conditions for existence and uniqueness of a solution of this problem is obtained
in the class of continuous functions. We also propose a method for finding an approximate solution of this
problem, and prove convergence of the method.
Розглянуто задачу Дарбу для диференцiального рiвняння дробового порядку, яке мiстить ре-
гуляризовану мiшану похiдну. Отримано достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку цiєї
задачi в класi неперервних функцiй. Запропоновано один метод наближеного розв’язання цiєї
задачi та доведено його збiжнiсть.
Пусть P = (0; a] × (0; b] , P = [0; a] × [0; b] , 0 < a, b < +∞, 0 < α, β < 1, r = (α;β) , 1 −
−r = (1 − α; 1 − β) .Для f(x, y) ∈ L (P ) левосторонним смешанным интегралом Римана –
Лиувилля порядка r называем выражение [1, с. 341]
Ir
0f(x, y) =
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
(x− t)α−1 (y − s)β−1 f(t, s) dt ds,
где Γ (·) — гамма-функция Эйлера. В частности,
I1
0f(x, y) =
x∫
0
y∫
0
f(t, s) dt ds, I0
0f(x, y) = f(x, y).
Левосторонней смешанной дробной производной Римана – Лиувилля порядка r называем
функцию [1, с. 342]
Dr
0f(x, y) = Dxyf1−r(x, y), Dxy =
∂2
∂x∂y
, f1−r(x, y) = I1−r
0 f(x, y),
а частной дробной производной Римана – Лиувилля порядка α по переменной x — функ-
цию
Dα
0xf(x, y) =
1
Γ (1 − α)
∂
∂x
x∫
0
(x− t)−α f(t, y) dt.
c© А. Н. Витюк, А. В. Михайленко, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3 293
294 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
Пусть g(x) : [0; a] → R, m− 1 < ν < m, m ∈ N. Тогда функцию
Dν
0xg(x) =
dm
dxm
1
Γ (m− ν)
x∫
0
(x− t)m−ν−1 g(t) dt
называем [1, с. 44] левосторонней производной Римана – Лиувилля порядка ν функ-
ции g(x).
Регуляризованной производной Римана – Лиувилля порядка ν от функции g(x) являет-
ся [2, 3] функция
D
ν
0 g(x) = Dν
0x
(
g(x) −
m−1∑
k=0
g(k)(0)
xk
k!
)
,
а производной Капуто [3, 4] — функция
D̃ν
0g(x) =
1
Γ (m− ν)
x∫
0
(x− t)m−ν−1 g(m)(t) dt.
Если g(x) ∈ ACm ([0; a]) , то D
ν
0 g(x) = D̃ ν
0 g(x) для почти всех (п.в.) x ∈ [0; a] .
Задача Коши для дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто изу-
чалась в работах [3, 4], а с регуляризованной дробной производной — в работах [2, 5].
В настоящей работе рассматривается регуляризованная смешанная производная по-
рядка r, получены условия существования и единственности решения задачи Дарбу для
дифференциального уравнения, которое содержит эту производную, предложен числен-
ный метод решения этой задачи и доказана его сходимость.
1. Рассмотрим функцию f(x, y) : P → R и пусть
γ(x, y) = f(x, 0) + f(0, y) − f(0, 0), q(x, y) = f(x, y) − γ(x, y).
Смешанной регуляризованной производной функции f(x, y) порядка r называем функ-
цию
D
r
0f(x, y) = Dr
0q(x, y) =
1
Γ(1 − α)Γ(1 − β)
Dxy
x∫
0
y∫
0
q(t, s)
(x− t)α (y − s)β
dt ds,
а смешанной производной Капуто того же порядка — функцию
D̃r
0f(x, y) = I1−r
0 (Dxyf(x, y)) =
1
Γ(1 − α)Γ(1 − β)
x∫
0
y∫
0
Dtsf(t, s)
(x− t)α (y − s)β
dt ds.
Частной регуляризованной производной порядка α по переменной x называем функцию
D
α
0xf(x, y) = Dα
0x (f(x, y) − f(0, y)) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 295
Аналогично определяем производную D
β
0yf(x, y) = Dβ
0y (f(x, y) − f(x, 0)) .
Лемма 1. Пусть f(x, y) ∈ AC
(
P
)
и f(x, 0) = ϕ(x), f(0, y) = ψ(y). Тогда
D
r
0f(x, y) = D̃ r
0 f(x, y) для п.в. (x, y) ∈ P , (1)
Ir
0D
r
0 f(x, y) = f(x, y) − γ(x, y), (x, y) ∈ P , (2)
D
α
0xf(x, y) = I1−α
0 ϕ′(x) + Iβ
0D
r
0f(x, y),
(3)
D
β
0yf(x, y) = I1−β
0 ψ′(y) + Iα
0 D
r
0 f(x, y) для п.в. (x, y) ∈ P .
Доказательство. Поскольку f(x, y) ∈ AC
(
P
)
, то [6]
f(x, y) = γ(x, y) +
x∫
0
y∫
0
Dtsf(t, s) dt ds. (4)
Используя (4), имеем
q1−r(x, y) =
1
Γ(1 − α)Γ(1 − β)
x∫
0
y∫
0
(x− t)−α (y − s)−β
t∫
0
s∫
0
Dτzf(τ, z) dτ dz
dt ds =
=
1
Γ(1 − α)Γ(1 − β)
x∫
0
y∫
0
t∫
0
s∫
0
(t− τ)−α (s− z)−β Dτzf(τ, z) dτ dz
dt ds.
Согласно определению производной D
r
0 f(x, y) для п.в. (x, y) ∈ P получаем
D
r
0 f(x, y) = Dxyq1−r(x, y) =
1
Γ(1 − α)Γ(1 − β)
x∫
0
y∫
0
Dtsf(t, s) dt ds
(x− t)α (y − s)β
= D̃ r
0 f(x, y).
Кроме того, для (x, y) ∈ P
I r
0 D
r
0 f(x, y) = Ir
0I
1−r
0 Dxyf(x, y) = I1
0Dxyf(x, y) = f(x, y) − γ(x, y).
Докажем (3). Принимая во внимание определение производной D
α
0xf(x, y), находим
D
α
0xf(x, y) = D α
0x (f(x, y) − ψ(y)) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
296 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
В силу (2) f(x, y) − ψ(y) = ϕ(x) − ϕ(0) + Ir
0D
r
0 f(x, y). Следовательно,
D
α
0xf(x, y) =
∂
∂x
I1−α
0
(
ϕ(x) − ϕ(0) + Ir
0D
r
0 f(x, y)
)
=
=
∂
∂x
1
Γ(1 − α)
x∫
0
dt
(x− t)α
t∫
0
ϕ′(τ)dτ + I1−α
0 I r
0 D
r
0 f(x, y)
=
=
∂
∂x
1
Γ(1 − α)
x∫
0
t∫
0
ϕ′(τ)dτ
(t− τ)α
dt+
1
Γ(β)
x∫
0
y∫
0
D
r
0 f(t, s) ds
(y − s)1−β
dt
=
= I1−α
0 ϕ′(x) + Iβ
0 D
r
0 f(x, y) для п.в. (x, y) ∈ P .
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
D
r
0u(x, y) = F (x, y, u(x, y)) , (5)
решение которого удовлетворяет условиям
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0; a] , (6)
u(0, y) = ψ(y), y ∈ [0; b] , ϕ(0) = ψ(0), (7)
причем ϕ(x) ∈ AC ([0; a]) , ψ(y) ∈ AC ([0; b]) (γ(x, y) = ϕ(x) + ψ(y) − ϕ(0)) . Решением
задачи (5) – (7) называем такую функцию u(x, y) ∈ C
(
P
)
, что u1−r(x, y) ∈ AC
(
P
)
, удов-
летворяет условиям (6), (7) и дифференциальному уравнению (5) п.в. на P .
Пусть функция
F (x, y, u) : G → R, G =
{
(x, y, u) : (x, y) ∈ P , |u| ≤ max
P
|γ(x, y)| + d
}
удовлетворяет условиям:
а) измерима по (x, y) для каждого u и непрерывна по u для (x, y) ∈ P ;
б) существует постоянная M > 0 такая, что |F (x, y, u)| ≤ M.
Теорема 1. Для того чтобы функция u(x, y) ∈ C
(
P
)
была решением задачи (5) – (7),
необходимо и достаточно, чтобы она была решением интегрального уравнения
u(x, y) = γ(x, y) +
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
F (t, s, u(t, s)) dt ds
(x− t)1−α (y − s)1−β
. (8)
Доказательство. Пусть u(x, y) ∈ C
(
P
)
является решением задачи (5) – (7). Тогда
q1−r(x, y) = u1−r(x, y) − γ1−r(x, y) ∈ AC
(
P
)
. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 297
Если max
P
|q(x, y)| ≤ B, то для (x, y) ∈ P
|q1−r(x, y)| ≤
Bx1−αy1−β
Γ(2 − α)Γ(2 − β)
. (10)
Из (9), (10) следует, что
q1−r(x, 0) = q1−r(0, y) = 0, x ∈ [0; a] , y ∈ [0; b] . (11)
В соответствии с определением производной D
r
0u(x, y) и (11) имеем соотношение
I1
0D
r
0u(x, y) = q1−r(x, y),
которое представим в виде
I1−r
0
(
I r
0 D
r
0u(x, y) − q(x, y)
)
= 0. (12)
Применяя к (12) последовательно операции Ir
0 и Dxy, находим, что I r
0 D
r
0 u(x, y) = q(x, y)
для п.в. (x, y) ∈ P или согласно (5)
I r
0 F (x, y, u(x, y)) = q(x, y). (13)
Докажем, что µ(x, y) = Ir
0F (x, y, u(x, y)) ∈ C
(
P
)
. Пусть (x1, y1), (x2, y1) ∈ P и x1 <
< x2. Тогда
|µ(x2, y1) − µ(x1, y1)| ≤
≤
M
Γ(α)Γ(β)
x1∫
0
y1∫
0
(
(x1 − t)α−1 − (x2 − t)α−1
)
(y1 − s)β−1 dt ds+
+
x2∫
x1
y1∫
0
(x2 − t)α−1(y1 − s)β−1 dt ds
≤
≤
Mbβ
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
(2(x2 − x1)
α − (xα
2 − xα
1 )) ≤
2Mbβ(x2 − x1)
α
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
,
(13 a)
так как xα
2 − xα
1 ≤ (x2 − x1)
α . Если же (x1, y1), (x1, y2) ∈ P и y1 < y2, то аналогично
получаем
|µ(x1, y2) − µ(x1, y1)| ≤
2Maα(y2 − y1)
β
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
.
Следовательно, µ(x, y) ∈ C(P ). А так как
|µ(x, y)| ≤
Mxαyβ
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
298 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
то µ(x, y) можно продолжить по непрерывности так, что µ(x, y) ∈ C
(
P
)
и
µ(x, 0) = µ(0, y) = 0, x ∈ [0; a] , y ∈ [0; b] . (14)
Отсюда с учетом непрерывности q(x, y) следует, что (13) справедливо для (x, y) ∈ P .
Таким образом, решение u(x, y) ∈ C
(
P
)
задачи (5) – (7) удовлетворяет уравнению (8).
Пусть u(x, y) ∈ C
(
P
)
является решением уравнения (8). В силу (14) функция u(x, y)
удовлетворяет условиям (6), (7). Поскольку q1−r(x, y) = I1
0F (x, y, u(x, y)) ∈ AC
(
P
)
, то
D
r
0u(x, y) = Dr
0q(x, y) = Dxyq1−r(x, y) = F (x, y, u(x, y))
для п.в. (x, y) ∈ P .
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть числа a и b такие, что
Maαbβ
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
≤ d
и функция F : G → R удовлетворяет условиям а), б). Тогда множество решений задачи
(5) – (7) непусто.
Доказательство. Пусть
xi = ih, yj = jτ, nh = a, nτ = b,
P−1 = [−h; a] × [−τ ; b] , Pi = [xi; a] × [yi; b] , i = 0, n− 1,
Si = Pi\Pi+1, i = −1, n− 2, Sn−1 = Pn−1.
Построим последовательность un(x, y), n ≥ 1, положив u1(x, y) = γ(x, y), (x, y) ∈ P0.
Функцию un(x, y), n ≥ 2, последовательно строим в областях S−1, S0, , Sn−1, полагая
un(x, y) = γ(x, y) для (x, y) ∈ S−1 и
un(x, y) = γ(x, y) +
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
F (t, s, un(t− h, s− τ)) dtds
(x− t)1−α (y − s)1−β
(15)
для (x, y) ∈ Sk при условии, что функция un(x, y) уже определена для (x, y) ∈
⋃k−1
i=0 Si.
Для (x, y) ∈ P согласно (15) получаем
|un(x, y)| ≤ max
P
|γ(x, y)| +
Maαbβ
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
≤ max
P
|γ(x, y)| + d. (16)
Кроме того, для (x1, y1), (x2, y2) ∈ P таких, что |x2 − x1| ≤ δ1, |y2 − y1| ≤ δ2, как и при
получении оценки (13 a), доказываем, что
|un(x2, y2) − un(x1, y1)| ≤
2M max
(
aα, bβ
)
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
(
δα
1 + δβ
2
)
+ ω (ϕ; δ1) + ω (ψ; δ2) , (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 299
где ω (f ; δ) — модуль непрерывности функции f(x).
Из оценок (16), (17) следует, что последовательность un(x, y), n ≥ 1, является ограни-
ченной и равностепенно непрерывной и в соответствии с теоремой Арцела из нее мож-
но выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность. Не нарушая общности,
можно считать, что сама последовательность un(x, y), n ≥ 1, равномерно на P сходится
к v(x, y) ∈ C
(
P
)
, причем |v(x, y)| ≤ maxP |γ(x, y)| + d.
Докажем, что последовательность un(x − h, y − τ), n ≥ 1, также равномерно на P
сходится к функции v(x, y). Для (x, y) ∈ P имеем
|un(x− h, y − τ) − v(x, y)| ≤ |un(x− h, y − τ) − un(x, y − τ)| + |un(x, y − τ) − un(x, y)|+
+ |un(x, y) − v(x, y)| = A1 +A2 +A3, (18)
причем
A1 ≤
M
Γ(α)Γ(β)
x−h∫
0
y−τ∫
0
(
(x− h− t)α−1 − (x− t)α−1
)
(y − τ − s)β−1 dt ds +
+
x∫
x−h
y−τ∫
0
(x− t)α−1(y − τ − s)β−1 dt ds
≤
≤
M(y − τ)β
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
(2hα − (xα − (x− h)α)) ≤
2Mbβhα
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
, (19)
A2 ≤
2Maατβ
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
.
Теперь из оценок (18), (19) следует нужное утверждение. Из (15) при n → ∞ в силу тео-
ремы Лебега [7, с. 39] следует, что
v(x, y) = γ(x, y) +
1
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
F (t, s, v(t, s)) dt ds
(x− t)1−α (y − s)1−β
.
Согласно теореме 1 v(x, y) — решение задачи (5) – (7).
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть функция F (x, y, u) : G → R измерима по (x, y) при каждом u,
удовлетворяет условию Липшица по u с постоянной K для любых фиксированных
(x, y) ∈ P , а также условию б). Тогда задача (5) – (7) имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть u(x, y) ∈ P также является решением интегрального уравне-
ния (8) и z(x, y) = |v(x, y) − u(x, y)| . Тогда
z(x, y) ≤ (Tz) (x, y), (Tz) (x, y) =
K
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
z(t, s)dtds
(x− t)1−α(y − s)1−β
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
300 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
причем z(x, 0) = z(0, y) = 0, x ∈ [0; a] , y ∈ [0; b] .
Рассмотрим интегральное уравнение
ρ(x, y) = (Tρ) (x, y) + ε, (20)
где ε > 0 — произвольное число. Непосредственной проверкой убеждаемся, что реше-
нием уравнения (20) является функция
ρ(x, y) = εEr
(
Kxαyβ
)
, Er (η) =
∞∑
k=0
ηk
Γ(kα+ 1)Γ(kβ + 1)
.
Очевидно, что
z(x, 0) < ρ(x, 0) = ε, x ∈ [0; a] , z(0, y) < ρ(0, y) = ε, y ∈ [0; b] . (21)
Докажем, что z(x, y) < ρ(x, y) для (x, y) ∈ P. Предположим, что это утверждение невер-
но, и пусть S — множество таких точек области P, что z(x, y) ≥ ρ(x, y).
Рассмотрим функцию λ(x, y) = x+ y и пусть λ = infS λ(x, y). Предположим, что этот
инфимум достигается в некоторой точке (x, y) ∈ S, т. е. λ = λ(x, y). Тогда в области
([0;x] × [0; y])\{(x, y)}
z(x, y) < ρ(x, y).
С другой стороны, z(x, y) ≤ (Tz) (x, y) ≤ (Tρ) (x, y) < (Tρ) (x, y) + ε = ρ(x, y). Следова-
тельно, (x, y) /∈ S, т. е. предположение, что (x, y) ∈ S, неверно.
Тогда существует последовательность (xi, yi) ∈ S, i ≥ 1 такая, что lim
i→∞
λ(xi, yi) =
= λ. Если (x̃, ỹ) — предельная точка этой последовательности, то в силу непрерывности
функций z(x, y) и ρ(x, y) в области P получим z (x̃, ỹ) ≥ ρ (x̃, ỹ) . Поскольку (x̃, ỹ) /∈ S,
то (x̃, ỹ) ∈ P \ P, но это противоречит (21). Следовательно, множество S пусто. Таким
образом, доказано, что z(x, y) < ρ(x, y) для (x, y) ∈ P .
Принимая во внимание тот факт, что ρ(x, y) → 0 при ε → 0 равномерно на P , получа-
ем, что z(x, y) = 0 для (x, y) ∈ P.
Теорема 3 доказана.
3. Рассмотрим один метод численного решения задачи (5) – (7). Предполагаем, что
функция F (x, y, u) : G → R непрерывна по совокупности переменных (x, y, u), удовлет-
воряет условию Липшица с постоянной K по переменной u для любых фиксированных
(x, y) ∈ P , а также условию б).
ПустьQhτ = {(xi, yj) : xi = ih, yj = jτ ; N1h = a, N2τ = b} , Pij = [xi;xi+1]×[yi; yi+1] .
Через uij обозначим приближенное значение u (xi, yj) , а γij = γ (xi, yj) . Для 0 ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 301
≤ n ≤ N1 − 1, 0 ≤ m ≤ N2 − 1 согласно (8)
u (xn+1, ym+1) = γn+1,m+1 +
1
Γ(α)Γ(β)
xn+1∫
0
ym+1∫
0
F (t, s, u(t, s)) dt ds
(xn+1 − t)1−α (ym+1 − s)1−β
=
= γn+1,m+1 +
1
Γ(α)Γ(β)
n∑
i=0
m∑
j=0
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
F (t, s, u(t, s)) dt ds
(xn+1 − t)1−α (ym+1 − s)1−β
≈
≈ γn+1,m+1 +
1
Γ(α)Γ(β)
n∑
i=0
m∑
j=0
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
F (xi, yj , uij) dt ds
(xn+1 − t)1−α (ym+1 − s)1−β
.
Таким образом, за приближенное решение задачи (5) – (7) в узле (xn+1, ym+1) принимаем
величину
un+1,m+1 = γn+1,m+1+
+
1
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
n∑
i=0
m∑
j=0
F (xi, yj , uij)
(
xα
n−i+1 − xα
n−i
) (
yβ
m−j+1 − yβ
m−j
)
.
(22)
Пусть δij = u (xi, yj) − uij . Тогда согласно (8) и (21) получаем
|δn+1,m+1| ≤
1
Γ(α)Γ(β)
n∑
i=0
m∑
j=0
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
|F (t, s, u(t, s)) − F (xi, yj , uij)| dt ds
(xn+1 − t)1−α (ym+1 − s)1−β
. (23)
Для (x, y) ∈ Pij имеем
|F (x, y, u(x, y)) − F (xi, yj , uij)| ≤ |F (x, y, u(x, y)) − F (xi, yj , u(x, y))|+
+ |F (xi, yj , u(x, y)) − F (xi, yj , u(xi, yj))| + |F (xi, yj , u(xi, yj) − F (xi, yj , uij)| ≤
≤ ω (F ;h; τ ; 0) +K |u(x, y) − u(xi, yj)| +K |δij | ,
где
ω (F ;h; τ ; 0) = sup
u
sup (|F (x, y, u) − F (xi, yj , u)| : (x, y) ∈ Pij)
— частный модуль непрерывности [6, с. 124] функции F (x, y, u) , а также
|u(x, y) − u(xi, yj)| ≤ |γ(x, y) − γ(xi, yj)|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
302 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
+
1
Γ(α)Γ(β)
∣∣∣∣∣∣
x∫
0
y∫
0
F (t, s, u(t, s)) dt ds
(x− t)1−α (y − s)1−β
−
xi∫
0
yj∫
0
F (t, s, u(t, s)) dt ds
(xi − t)1−α (yj − s)1−β
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ ω(ϕ;h) + ω(ψ; τ)+
+
M
Γ(α)Γ(β)
{ xi∫
0
yj∫
0
(
(xi − t)α−1 (yj − s)β−1 − (x− t)α−1 (y − s)β−1
)
dt ds+
+
x∫
xi
yj∫
0
(x− t)α−1 (y − s)β−1 dt ds+
xi∫
0
y∫
yj
(x− t)α−1 (y − s)β−1 dt ds+
+
x∫
xi
y∫
yj
(x− t)α−1 (y − s)β−1 dt ds
}
.
Проводя несложные преобразования, для (x, y) ∈ Pij получаем
|u(x, y) − u(xi, yj)| ≤ T (h, τ), T (h, τ) = ω(ϕ;h) + ω(ψ; τ) +
2M
(
hα + τβ
)
max
(
aα, bβ
)
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
.
Таким образом,
|F (x, y, u(x, y)) − F (xi, yj , uij)| ≤ Y +K |δij | , (24)
где Y = ω (F ;h; τ ; 0) +KT (h, τ).
Из (23) с учетом оценки (24) находим
|δn+1,m+1| ≤
K
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
n∑
i=0
m∑
j=0
|δij |
(
xα
n−i+1 − xα
n−i
) (
yβ
m−j+1 − yβ
m−j
)
+ V, (25)
где V =
Y aαbβ
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
, n = 0, N1 − 1, m = 0, N2 − 1.
Докажем следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть сеточные функции v : Qhτ → R, w : Qhτ → R+ таковы, что
|vn+1,m+1| ≤
A
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
n∑
i=0
m∑
j=0
|vij |
(
xα
n−i+1 − xα
n−i
) (
yβ
m−j+1 − yβ
m−j
)
+B, (26)
wn+1,m+1 ≥
A
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
n∑
i=0
m∑
j=0
wij
(
xα
n−i+1 − xα
n−i
) (
yβ
m−j+1 − yβ
m−j
)
+B, (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 303
n = 0, N1 − 1, m = 0, N2 − 1,
причем
A > 0, B > 0, vi0 = v0j = 0, wi0 = w0j = B, i = 0, N1, j = 0, N2.
Тогда
|vij | ≤ wij , i = 0, N1, j = 0, N2, (28)
а соотношениям (27) удовлетворяют wij = σ (xi, yj) , где σ(x, y) — решение интеграль-
ного уравнения
σ(x, y) =
A
Γ(α)Γ(β)
x∫
0
y∫
0
(x− t)α−1 (y − s)β−1 σ(t, s) dt ds+B. (29)
Доказательство. Согласно условиям теоремы 4 |vi0| ≤ wi0, |v0j | ≤ w0j , i = 0, N1,
j = 0, N2. Справедливость соотношений (28) легко доказать индукцией. Докажем, что
wij = σ(xi, yj) удовлетворяет соотношениям (27). Поскольку σ(x, y) > 0 и σ(xi, yj) ≤
≤ σ(x, y) для (x, y) ∈ Pij , то
σ (xn+1, ym+1) =
A
Γ(α)Γ(β)
n∑
i=0
m∑
j=0
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
(xn+1 − t)α−1 (ym+1 − s)β−1 σ(t, s)dtds+B ≥
≥
A
Γ(α)Γ(β)
n∑
i=0
m∑
j=0
σ (xi, yj)
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
(xn+1 − t)α−1 (ym+1 − s)β−1 dt ds+B =
=
A
Γ(α+ 1)Γ(β + 1)
n∑
i=0
m∑
j=0
σ (xi, yj)
(
xα
n−j+1 − xα
n−i
) (
yβ
m−j+1 − yβ
m−j
)
+B.
Теорема 4 доказана.
Рассмотрим сеточную функцию δ : Qhτ → R и интегральное уравнение (29) при
A = K, B = V. Тогда из (25) на основании теоремы 4 с учетом того, что σ(x, y) =
= V Er
(
Kxαyβ
)
, следует оценка
|δmn| ≤ σ(xn, ym) ≤ V Er
(
Kaαyβ
)
.
Остается учесть, что V → 0 при h → 0, τ → 0. Если F (x, y, u) удовлетворяет условию
Липшица по переменным x, y, а также удовлетворяют условию Липшица функции ϕ(x)
и ψ(y), то |δnm| = O
(
hα + τβ
)
при h → 0, τ → 0.
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. Н. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения. — Минск: Техника, 1987. — 688 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
304 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
2. Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравне-
ния. — 1989. — 25, № 8. — С. 1359 – 1367.
3. Килбас А. А., Марзан С. А. Нелинейные дифференциальные уравнения с дробной производной Капу-
то в пространстве непрерывно дифференцируемых функций // Там же. — 2005. — 41, № 1. — С. 82 – 86.
4. Килбас А .А., Марзан С. А. Задача Коши для дифференциальных уравнений с дробной производной
Капуто // Докл. РАН. — 2004. — 339, № 1. — С. 7 – 11.
5. Эйдельман С. Д., Чикрий А. А. Динамические игровые задачи сближения для уравнений дробного по-
рядка // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 11. — С. 1566 – 1583.
6. Walczak S. Absolutely continuous functions of several variables and their application to differential equati-
ons // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. — 1987. — 35, № 11 – 12. — P. 733 – 744.
7. Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. — М.: Наука, 1967. — 220 с.
8. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. — М.: Физматгиз, 1965. —
624 с.
Получено 03.04.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 3
|