Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки
Розглядаються динамiчнi системи, що породженi неперервними вiдображеннями iнтервалу I дiйсної прямої в себе. Доведено, що якщо iнтервал J з I мiстить прообраз перiодичної точки перiоду p вiдображення f ∈ C⁰(I, I), то послiдовнiсть iнтервалiв f2pn(J), n = 0, 1, 2, . . . , є збiжною....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2009
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178388 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки / В.В. Федоренко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 130-133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-178388 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1783882021-02-20T01:27:10Z Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки Федоренко, В.В. Розглядаються динамiчнi системи, що породженi неперервними вiдображеннями iнтервалу I дiйсної прямої в себе. Доведено, що якщо iнтервал J з I мiстить прообраз перiодичної точки перiоду p вiдображення f ∈ C⁰(I, I), то послiдовнiсть iнтервалiв f2pn(J), n = 0, 1, 2, . . . , є збiжною. We consider dynamical systems defined by continuous maps of an interval I of the real axis into itself. We prove that if an interval J in I contains the preimage of a periodic point of period p of a map f ∈ C⁰(I, I), then a sequence of the intervals f2pn(J), n = 0, 1, 2, . . . , is convergent. 2009 Article Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки / В.В. Федоренко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 130-133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178388 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядаються динамiчнi системи, що породженi неперервними вiдображеннями iнтервалу I
дiйсної прямої в себе. Доведено, що якщо iнтервал J з I мiстить прообраз перiодичної точки
перiоду p вiдображення f ∈ C⁰(I, I), то послiдовнiсть iнтервалiв f2pn(J), n = 0, 1, 2, . . . , є збiжною. |
| format |
Article |
| author |
Федоренко, В.В. |
| spellingShingle |
Федоренко, В.В. Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки Нелінійні коливання |
| author_facet |
Федоренко, В.В. |
| author_sort |
Федоренко, В.В. |
| title |
Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки |
| title_short |
Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки |
| title_full |
Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки |
| title_fullStr |
Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки |
| title_full_unstemmed |
Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки |
| title_sort |
асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178388 |
| citation_txt |
Асимптотика тректории интервала, содержащего прообраз периодической точки / В.В. Федоренко // Нелінійні коливання. — 2009. — Т. 12, № 1. — С. 130-133. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT fedorenkovv asimptotikatrektoriiintervalasoderžaŝegoproobrazperiodičeskojtočki |
| first_indexed |
2025-07-15T16:51:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T16:51:36Z |
| _version_ |
1837732511819497472 |
| fulltext |
УДК 517. 9
АСИМПТОТИКА ТРАЕКТОРИИ ИНТЕРВАЛА,
СОДЕРЖАЩЕГО ПРООБРАЗ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТОЧКИ*
В. В. Федоренко
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: vfedor@imath.kiev.ua
We consider dynamical systems defined by continuous maps of an interval I of the real axis into itself. We
prove that if an interval J in I contains the preimage of a periodic point of period p of a map f ∈ C0(I, I),
then a sequence of the intervals f2pn(J), n = 0, 1, 2, . . . , is convergent.
Розглядаються динамiчнi системи, що породженi неперервними вiдображеннями iнтервалу I
дiйсної прямої в себе. Доведено, що якщо iнтервал J з I мiстить прообраз перiодичної точки
перiоду p вiдображення f ∈ C0(I, I), то послiдовнiсть iнтервалiв f2pn(J), n = 0, 1, 2, . . . , є збiж-
ною.
Пусть I = [0, 1] — интервал прямой R1 и f ∈ C0(I, I) — непрерывное отображение
интервала I в себя. Пусть также fn = f ◦ fn−1, n = 1, 2, . . . , а f0 — тождественное
отображение. Ниже используются следующие обозначения: последовательность fn(x),
n = 0, 1, 2, . . . , — траектория точки x ∈ I; Fix f = {x ∈ I | f(x) = x} — множество
неподвижных точек; Per f = ∪
n≥0
Fix fn — множество периодических точек. Периодом
точки x ∈ Per f называется наименьшее натуральное p такое, что x ∈ Fix fp.
В работе исследуются асимптотические траектории fn(J), n = 0, 1, 2, . . . , замкнутого
интервала J ⊂ I. Необходимость исследования траекторий множеств, а не отдельных
точек, естественно возникает в различных задачах, в частности при исследовании асимп-
тотического поведения решений разностных уравнений с непрерывным временем [1, 2].
В силу непрерывности f каждый элемент траектории fn(J), n = 0, 1, 2, . . . , —
замкнутый интервал, возможно, вырожденный, т.е. точка. Интервал fn(J) обозначим че-
рез [an, bn], n = 0, 1, 2, . . . . Исследование асимптотического поведения траектории интер-
вала J, в частности ее сходимости, сводится к изучению предельного поведения последо-
вательностей an и bn при n → ∞.
Определение. Траекторию fn(J) = [an, bn], n = 0, 1, 2, . . . , интервала J будем на-
зывать сходящейся, если каждая из последовательностей an, n = 0, 1, 2, . . . , и bn, n =
= 0, 1, 2, . . . , является сходящейся при n → ∞.
Известно [3, 4], что из сходимости траектории любой точки из I (т. е. из того, что лю-
бое ω-предельное множество — неподвижная точка) следует сходимость траектории лю-
бого интервала из I. Однако если траектория любого интервала сходится, то отсюда не
следует сходимость траектории любой точки (примером такого отображения может слу-
жить так называемое тент-отображение). Если отображение имеет траектории интерва-
лов, которые не являются сходящимися, то естественно выяснить условия на интервал,
∗ Поддержана Научной програмой Национальной академии наук Украины (проект № 0107U002333).
c© В. В. Федоренко, 2009
130 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИКА ТРАЕКТОРИИ ИНТЕРВАЛА, СОДЕРЖАЩЕГО ПРООБРАЗ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 131
гарантирующие сходимость его траектории. Одно из таких условий, анонсированное в
[4], связано с наличием на интервале периодической точки или ее прообраза. Оно приве-
дено ниже в теореме, доказательству которой и посвящена данная работа. Заметим, что в
[5] приведено другое достаточное условие сходимости траектории интервала, связанное
с наличием на интервале неустойчивой по Ляпунову точки.
Теорема 1. Пусть f ∈ C0(I, I) и J ⊂ I — замкнутый интервал. Если J содержит
прообраз периодической точки периода p отображения f, то траектория интервала
J отображения f2p сходится.
Доказательство. Поскольку замкнутый интервал J ⊂ I содержит прообраз периоди-
ческой точки периода p отображения f, существует k ≥ 0 такое, что fk(J) содержит эту
периодическую точку, и, следовательно, отображение fp имеет неподвижную точку на
интервале fk(J). Поэтому для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай
k = 0 и p = 1, т. е. когда замкнутый интервал J содержит неподвижную точку. Утвержде-
ние теоремы следует из лемм 1 и 2.
Лемма 1. Если J ⊆ f(J) или J ⊇ f(J), то обе последовательности an и bn, n =
= 0, 1, 2, . . . , монотонные (а следовательно, сходящиеся).
Лемма 1 очевидна, так как из ее условия следует, что J ⊆ f(J) ⊆ f2(J) ⊆ . . .
. . . ⊆ fn(J) . . . или J ⊇ f(J) ⊇ f2(J) ⊇ . . . ⊇ fn(J) . . . .
Лемма 2. Если интервал J содержит неподвижную точку, то существует n0 ≥ 0
такое, что при n ≥ n0 каждая из последовательностей a2n, n = 0, 1, 2, . . . , и b2n, n =
= 0, 1, 2, . . . , монотонная.
Доказательство. Пусть α ∈ J — неподвижная точка отображения f. Поскольку α ∈
∈ fn(J) при каждом n ≥ 0, то an ≤ α ≤ bn при n = 0, 1, 2, . . . .
Если J ⊆ f(J) или J ⊇ f(J), то согласно лемме 1 обе последовательности an и bn, n =
= 0, 1, 2, . . . , монотонные, а n0 = 0. Если же ни одно из этих условий не выполняется, то
либо a1 < a0 и b1 < b0, либо a0 < a1 и b0 < b1. Рассмотрим первый случай (второй
рассматривается аналогично).
Возможны два варианта взаимного расположения точек a1 и a2: 1) a2 ≤ a1 либо
2) a1 < a2.
Вариант 1: a2 ≤ a1 < a0 и b1 < b0. Положим [an, bn] = Jn.
Если b1 ≤ b2, то J1 ⊆ f(J1), и, следовательно, обе последовательности an и bn, n =
= 1, 2, . . . , монотонные, n0 = 1.
Пусть теперь b2 < b1. Если при этом a2 = a1, то J1 ⊃ f(J1), и последовательности an
и bn, n = 1, 2, . . . , монотонные, n0 = 1.
И, наконец, рассмотрим случай a2 < a1 и b2 < b1. По определению a2 = min
x∈[a1,b1]
f(x).
Пусть точка c1 ∈ [a1, b1] такая, что f(c1) = a2. В силу того, что a2 < a1 < a0, b2 < b1 < b0
и a1 = min
x∈[a0,b0]
f(x), получаем c1 ∈ [a1, a0] ⊂ [a2, b2]. Поэтому a3 = min
x∈[a2,b2]
f(x) ≤ f(c1) =
= a2, т. е. последовательность an, n = 0, 1, 2, 3, невозрастающая.
Итак, a3 ≤ a2 и b2 < b1. Рассуждения, изложенные выше для точек a2 ≤ a1 и b1 < b0,
справедливы и для точек a3 ≤ a2 и b2 < b1 и т. д.
Повторяя эти рассуждения, получаем существование n′ такого, что последовательно-
сти an и bn, n = n′, n′ + 1, n′ + 2, . . . , монотонные.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
132 В. В. ФЕДОРЕНКО
Рассмотрим теперь вариант 2: a1 < a2 и b1 < b0. Возможны два случая: 2.1) a0 < a2 и
2.2) a2 ≤ a0.
В случае 2.1 имеем a1 < a0 < a2 ≤ α ≤ b1 < b0. Если b2 ≤ b0, то f2J0 ⊆ J0, и в силу
леммы 1 утверждение леммы 2 справедливо. Пусть теперь b0 < b2. Тогда существует
c2 ∈ [b1, b0] ⊂ [a2, b2] такая, что f(c2) = a1. Отсюда a3 ≤ a1. При этом если b1 ≤ b3, то
f2J1 ⊇ J1. Рассмотрим теперь случай b3 < b1. В этом случае существует c3 ∈ [a1, a0] ⊂
⊂ [a3, b3] такая, что f(c3) = b2. Поэтому b2 ≤ b4. Если a4 ≤ a2, то f2J2 ⊆ J2 ⊆ . . . .
Продолжая эти рассуждения, получаем, что при любом k либо f2Jk ⊆ Jk, либо f2Jk ⊇
⊇ Jk, либо последовательности a2n и b2n, n = 0, 1, 2, . . . , k, монотонные. Следовательно,
в случае 2.1 лемма 2 также справедлива.
Рассмотрим теперь случай 2.2, а именно, взаимное расположение концов интервалов
Jn, n = 0, 1, 2, следующее: a1 < a2 ≤ a0 ≤ α ≤ b1 < b0. Если b0 ≤ b2, то f2J0 ⊇ J0;
если b2 ≤ b1, то fJ1 ⊆ J1. В этих случаях лемма 2 следует из леммы 1. Рассмотрим теперь
случай b1 < b2 < b0. В силу того, что an и bn — минимальное и максимальное значения
функции f на интервале Jn−1, n = 1, 2, . . . , и рассматриваемого взаимного расположе-
ния концов интервалов Jn, n = 0, 1, 2, получаем f [a1, b0] ⊂ [a1, b2]. Отсюда следует, что
bn ≤ b2 при любом n = 3, 4, . . . . Если a3 ≥ a2, то f(J2) ⊆ J2, и лемма 2 в этом случае
справедлива. Пусть теперь a3 < a2. Если b3 ≤ b1, то f2(J1) ⊆ J1, следовательно, лемма
2 справедлива и этом случае. Рассмотрим теперь случай b1 < b3 < b2. Поскольку an и
bn — минимальное и максимальное значения функции f на интервале Jn−1, n = 1, 2, . . . ,
в этом случае f [a3, b2] ⊂ [a3, b2]. Следовательно, a3 < an при любом n = 4, 5, . . . . По-
скольку b4 ≤ b2, при a4 ≥ a2 получаем f2(J2) ⊆ J2, и лемма 2 справедлива. Пусть теперь
a4 < a2 < . . . . Продолжая рассуждения, получаем, что при любом l либо f2Jl ⊆ Jl, либо
f2Jl ⊇ Jl, либо обе последовательности a2n и b2n, n = 0, 1, 2, . . . , l, монотонно убываю-
щие. Поэтому в случае 2.2 лемма 2 также справедлива, что и завершает доказательство
леммы 2.
В заключение приведем два примера, показывающие неулучшаемость формулиро-
вок теоремы и леммы 2.
Пример 1. Необходимость наличия в теореме удвоенного периода в степени отобра-
жения.
Пусть f(x) = −x+1 и 0 ≤ a0 < 1/2. Точка b0 = 1/2 — неподвижная точка, остальные
— периодические точки периода 2. Поэтому траектория интервала J = [a0, b0] отобра-
жения f не является сходящейся, а траектория интервала J отображения f2 сходится.
Пример 2. Свидетельство того, что n0 в формулировке леммы 2 может быть любым
сколь угодно большим числом.
Пусть 0 < γ < α < β < 1. Рассмотрим кусочно-линейное отображение
f(x) =
(1− γ/α)x + γ, 0 ≤ x ≤ α,
(1− α)x/(β − α) + α(β − 1)/(β − α), α ≤ x ≤ β,
(x− 1)/(β − 1), β ≤ x ≤ 1.
Прообразы точки β на интервале [α, β] имеют координаты
β−n = α +
(β − α)n+1
(1− α)n
, n = 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
АСИМПТОТИКА ТРАЕКТОРИИ ИНТЕРВАЛА, СОДЕРЖАЩЕГО ПРООБРАЗ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТОЧКИ 133
Монотонно убывающая последовательность точек β−n при n, стремящемся к беско-
нечности, стремится к точке α. Зафиксируем произвольное натуральное число n0. Пусть
a0 — любая точка интервала [0, α) и b0 = β−n0 . Тогда последовательность левых концов
интервалов fnJ, где J = [a0, b0], имеет свойство an0+3 < an0+1 < an0+2. Следовательно,
конечная последовательность an, n = 0, 1, 2, . . . , n0 + 3, не является монотонной.
1. Шарковский А. Н. Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. —
Киев: Наук. думка, 1986. — 280 с. (перевод: Sharkovsky A. N., Maistrenko Yu. L., Romanenko E. Yu. Di-
fference equations and their applications. — Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1993. — 358 p.).
2. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Difference equations and dynamical systems generated by some classes
of boudary value problems // Proc. Steklov Inst. Math. — 2004. — 244. — P. 264 – 279.
3. Федоренко В. В. Топологический предел траекторий интервала простейших одномерных динамичес-
ких систем // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 3. — С. 425 – 430.
4. Fedorenko V. V. Topological limit of trajectories of intervals of one-dimensional dynamical systems // Iteration
Theory (ECIT’02) / Eds J. Sousa Ramos, D. Gronau, C. Mira, L. Reich, A. N. Sharkovsky (Grazer Math. Ber.,
Bericht Nr.). — 2004. — 346. — P. 107 – 111.
5. Романенко Е. Ю. Динамика окрестностей точек при непрерывном отображении интервала // Укр. мат.
журн. — 2005. — 57, № 11. — С. 534 – 547.
Получено 04.03.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2009, т . 12, N◦ 1
|