Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій

Построен наилучший линейный метод приближения ограниченных гармонических функций на компактных подмножествах единичного круга. Показано, что оптимальной ортонормированной на единичной окружности системой функций для построения наилучшего линейного метода приближения является система Такенаки – Маль...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Савчук, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2008
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178578
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій / В.В. Савчук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 242-251. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-178578
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1785782021-02-28T01:26:10Z Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій Савчук, В.В. Построен наилучший линейный метод приближения ограниченных гармонических функций на компактных подмножествах единичного круга. Показано, что оптимальной ортонормированной на единичной окружности системой функций для построения наилучшего линейного метода приближения является система Такенаки – Мальмквиста. We construct a best linear method for approximations harmonic functions on compact subsets of the unit disk. We show that a system of functions, which are orthonormal on the unit circle and optimal for constructing the best linear approximation method, is a Takenaka – Malmquist system. 2008 Article Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій / В.В. Савчук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 242-251. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178578 517.5 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Построен наилучший линейный метод приближения ограниченных гармонических функций на компактных подмножествах единичного круга. Показано, что оптимальной ортонормированной на единичной окружности системой функций для построения наилучшего линейного метода приближения является система Такенаки – Мальмквиста.
format	Article
author	Савчук, В.В.
spellingShingle	Савчук, В.В. Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій Нелінійні коливання
author_facet	Савчук, В.В.
author_sort	Савчук, В.В.
title	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій
title_short	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій
title_full	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій
title_fullStr	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій
title_full_unstemmed	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій
title_sort	найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/178578
citation_txt	Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій / В.В. Савчук // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 242-251. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT savčukvv najkraŝílíníjnímetodinabližennâobmeženihgarmoníčnihfunkcíj
first_indexed	2025-07-15T16:43:57Z
last_indexed	2025-07-15T16:43:57Z
_version_	1837732031045304320
fulltext	УДК 517 . 5 НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ* В. В. Савчук Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 We construct a best linear method for approximations harmonic functions on compact subsets of the unit disk. We show that a system of functions, which are orthonormal on the unit circle and optimal for constructing the best linear approximation method, is a Takenaka – Malmquist system. Построен наилучший линейный метод приближения ограниченных гармонических функций на компактных подмножествах единичного круга. Показано, что оптимальной ортонормирован- ной на единичной окружности системой функций для построения наилучшего линейного мето- да приближения является система Такенаки – Мальмквиста. 1. Позначення. Постановка задачi. Нехай D := {z ∈ C : \|z\| < 1}, T := {z ∈ C : \|z\| = 1}, h∞ — простiр обмежених дiйснозначних гармонiчних функцiй f, визначених у крузi D з нормою ‖f‖ h∞ = sup z∈D \|f(z)\| < ∞ i Uh∞ := {f ∈ h∞ : ‖f‖ h∞ ≤ 1}. Позначимо через Uh∞ клас гармонiчних у крузi D функцiй, спряжених до функцiй з Uh∞, тобто Uh∞ := := {f гармонiчна в D : f̃ ∈ Uh∞}. Вiдомо, що кожна функцiя f iз простору h∞ має майже скрiзь на колi T радiальнi граничнi значення f∗(w) := lim%→1 f(%w), причому ess sup w∈T \|f∗(w)\| < ∞. Нехай a := {ak}∞k=0 – послiдовнiсть точок у крузi D, серед яких можуть бути точки скiнченної i навiть нескiнченної кратностi. Системою функцiй Такенаки – Мальмквiста, породженою послiдовнiстю a, називається [1] (§10.7) система {ϕk}∞k=0 функцiй вигляду ϕ0(z) = √ 1− \|a0\|2 1− a0z , ϕk(z) = √ 1− \|ak\|2 1− akz k−1∏ j=0 −\|aj \| aj z − aj 1− ajz , k = 1, 2, . . . , (1) де при aj = 0 покладено \|aj \|/aj = −1. Вiдомо, що система Такенаки – Мальмквiста є ортонормованою системою на колi T (див., наприклад, [1], §10.7 ), тобто 〈ϕk, ϕl〉 := ∫ T ϕkϕldσ = δkl, k, l = 0, 1, 2 . . . , де δkl — символ Кронекера. ∗ Виконано за пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (грант № GP/F13/0018). c© В. В. Савчук, 2008 242 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ 243 Нехай TM — множина всiх систем Такенаки – Мальмквiста i ϕ ∈ TM . Тодi для будь- якої функцiї f ∈ h∞ послiдовнiсть чисел f̂(k) := f̂ϕ(k) :=  〈f, ϕk〉, k = 0, 1, 2, . . . , 〈f, ϕ−k〉, k = −1,−2, . . . , iснує i утворює послiдовнiсть коефiцiєнтiв Фур’є функцiї f за системою {ϕk}∞k=0∪{ϕk}∞k=1. Кожному елементу ϕk системи ϕ поставимо у вiдповiднiсть добуток Бляшке Bk сте- пеня k. Нагадаємо, що так називають функцiю вигляду B0(z) = 1, Bn(z) = τ n−1∏ j=0 z − aj 1− ajz , n = 1, 2, . . . , де aj ∈ D, j = 0, n− 1, i \|τ \| = 1. Нехай Bn — множина всiх добуткiв Бляшке степеня не бiльше n. Будь-який добуток Бляшке Bn ∈ Bn, нулi якого збiгаються з нулями функцiї ϕn вигляду (1), будемо називати n-добутком Бляшке системи Такенаки – Мальмквiста ϕ. Позначимо через L множину всiх нескiнченних нижньотрикутних матриць Λ := (λk,n), n = 1, 2, . . . , k = 0, 1, . . . , n−1, елементами яких є функцiї λk,n(·), визначенi та неперервнi в D. Для даної матрицi Λ ∈ L i системи ϕ ∈ TM визначимо на h∞ послiдовнiсть лiнiйних операторiв Un,Λ,ϕ правилом Un,Λ,ϕ(f) = −f(0)Re(λ0,nϕ0) + 2 Re n−1∑ k=0 λk,nf̂(k)ϕk, n = 1, 2, . . . . Нехай K — компактна пiдмножина круга D i ‖f‖ K := maxz∈K \|f(z)\|. У данiй роботi будемо дослiджувати величину En(X;K;ϕ) := inf Λ∈L sup f∈X ‖f − Un,Λ,ϕ(f)‖ K , n ∈ N, X = Uh∞ ∨ Uh∞, (2) яку називають величиною найкращого лiнiйного наближення на компактi K за системою ϕ ∈ TM класу X. Зокрема, вказано формулу, за якою будуються елементи матрицi Λ, для якої досягається нижня межа в (2). Про таку матрицю Λ кажуть, що вона породжує найкращий лiнiйний метод наближення класу X за системою ϕ на компактi K. Поряд iз величиною (2) дослiджується також величина Ln(X;K) := inf ϕ∈TM En(X;K;ϕ), n ∈ N. (3) Систему ϕ∗ ∈ TM , для якої досягається точна нижня межа в (3), називатимемо оптималь- ною системою Такенаки – Мальмквiста в сенсi найкращого наближення. Теорема. Нехай ϕ ∈ TM i {Bn}∞n=0 — послiдовнiсть n-добуткiв Бляшке системи ϕ. Тодi для будь-якого ζ ∈ D i кожного натурального n справджуються рiвностi inf Λ∈L sup f∈Uh∞ \|f(ζ)− Un,Λ,ϕ(f)(ζ)\| = max f∈Uh∞ \|f(ζ)− Un,Λ∗,ϕ(f)(ζ)\| = 4 π arctg \|Bn(ζ)\|, (4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 244 В. В. САВЧУК inf Λ∈L sup f∈Uh∞ \|f(ζ)− Un,Λ,ϕ(f)(ζ)\| = max f∈Uh∞ ∣∣∣f̃(ζ)− Un,Λ∗∗,ϕ(f̃)(ζ) ∣∣∣ = 2 π ln 1 + \|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\| , (5) де Λ∗,Λ∗∗ ∈ L — матрицi, елементи яких обчислюються вiдповiдно за формулами λ∗k,n(ζ) = 1 1 + \|Bn(ζ)\|2 1− ζ 1− akζ ζ − ak ∣∣∣∣∣∣ n−1∏ j=k ζ − aj 1− ajζ ∣∣∣∣∣∣ 2 , λ∗∗k,n(ζ) = 1 + \|Bn(ζ)\|2 1− \|Bn(ζ)\|2 λ∗k,n(ζ). Для кожного фiксованого ζ ∈ D i даного n ∈ N максимуми у (4) i (5) досягаються вiдповiдно для функцiй f1,ζ(z) = 2 π arg 1 + iBn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) 1− iBn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) , f2,ζ(z) = 2 π arg 1 + Bn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) 1−Bn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) . Наслiдок 1. Нехай K — компактна пiдмножина круга D. Тодi за умов теореми 1 справджуються рiвностi En(Uh∞;K;ϕ) = max f∈Uh∞ ‖f − Un,Λ∗,ϕ(f)‖ K = 4 π arctg ( ‖Bn‖K ) , (6) En(Uh∞;K;ϕ) = max f∈Uh∞ ∥∥∥f̃ − Un,Λ∗∗,ϕ(f̃) ∥∥∥ K = 2 π ln 1 + ‖Bn‖K 1− ‖Bn‖K . (7) Максимуми в (6) i (7) досягаються вiдповiдно для функцiй f1,ζ i f2,ζ , в яких ζ — точка на K така, що \|Bn(ζ)\| = ‖Bn‖K . Наслiдок 2. Нехай K — компактна пiдмножина круга D. Тодi для будь-якого нату- рального n справджується рiвностi Ln(Uh∞;K) = 4 π arctg ( ‖B∗ n‖K ) i Ln(Uh∞;K) = 2 π ln 1 + ‖B∗ n‖K 1− ‖B∗ n‖K , в яких B∗ n — добуток Бляшке, що задовольняє рiвняння ‖B∗ n‖K = inf Bn∈Bn\Bn−1 ‖Bn‖K . (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ 245 Справдi, нехай a∗1, . . . , a ∗ n−1 – нулi мiнiмального добутку Бляшке B∗ n у (8) (такий добу- ток, як вiдомо, iснує для будь-якого компакту K). Тодi система ϕ, побудована за систе- мою точок a∗1, . . . , a ∗ n−1, an, an+1, . . . , де aj , j ≥ n, — довiльнi точки в D, є оптимальною для Ln(X;K), X = Uh∞ ∨ Uh∞ при даному n. Зауваження 1. Для того щоб для системи ϕ, породженої послiдовнiстю точок {ak}∞k=0, справджувалося спiввiдношення limn→∞ \|Bn(z)\| = 0 рiвномiрно по z на будь-якiй замкне- нiй пiдмножинi круга D, необхiдно i достатньо, щоб ∞∑ k=0 (1− \|ak\|) = ∞. За цiєї умови система ϕ є повною в просторi h2, який складається з усiх гармонiчних в D функцiй f, для яких sup 0<%<1 ∫ T \|f(%w)\|2dσ(w) < ∞ (9) (див., наприклад, [1], гл. 10, [2], §1). Зауваження 2. За умов теореми λ∗k,n(al) = λ∗∗k,n(al) = 1 i Bn(al) = 0, якщо k ≤ l ≤ ≤ n− 1. Тому Un,Λ∗,ϕ(f)(al) = Un,Λ∗∗,ϕ(f)(al) = f(al), l = 0, n− 1, тобто значення операторiв Un,Λ∗,ϕ(f) i Un,Λ∗∗,ϕ(f) збiгаються мiж собою та iнтерполюють функцiю f у точках al, l = 0, n− 1, з вiдповiдною їм кратнiстю. Зауваження 3. Нехай K = D% := {z : \|z\| ≤ %}, 0 ≤ % < 1. Тодi функцiя B∗ n(z) = = zn — єдиний з точнiстю до унiмодулярного множника добуток Бляшке степеня n, для якого виконується (8). У цьому випадку система Такенаки – Мальмквiста набуває вигляду ϕk(z) = zk, k = 0, 1, . . . , а спiввiдношення (6) i (7) перетворюються вiдповiдно в рiвностi En(Uh∞; D%;ϕ) = max f∈Uh∞ ‖f − Un,Λ∗,ϕ(f)‖ D% = 4 π arctg %n, (10) En(Uh∞; D%;ϕ) = max f∈Uh∞ ∥∥∥f̃ − Un,Λ∗∗,ϕ(f̃) ∥∥∥ D% = 2 π ln 1 + %n 1− %n . (11) При цьому елементи матриць Λ∗ i Λ∗∗ набирають вигляду λ∗k,n(ζ) = 1− %2(n−k) 1 + %2n i λ∗∗k,n(ζ) = 1− %2(n−k) 1− %2n , % = \|ζ\|. Уперше рiвностi (10) i (11) отримано в роботах [3, 4]. При n = 1 вони є класичними рiвностями Шварца та Кьобе [5]. До цих результатiв примикають результати роботи [6], де вказано низку властивостей функцiї, екстремальних в (10) i (11). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 246 В. В. САВЧУК 2. Доведення результатiв. Нехай H2 — простiр Гардi, який складається з усiх голо- морфних в D функцiй, для яких виконується (9). Радiальнi граничнi значення на T функцiї f ∈ H2, заради спрощення викладок, позначатимемо так само через f. Доведемо спочат- ку таке твердження. Лема 1. Нехай ϕ ∈ TM i Bn — n-добуток системи ϕ, n ∈ N. Якщо функцiя f нале- жить H2 i f̂(k) = 〈f, ϕk〉 = 0, k = 0, 1, . . . , n− 1, то f(ζ) = Bn(ζ) ∫ T f(w)Bn(w) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) ∀ ζ ∈ D. Доведення леми. Зафiксуємо ζ ∈ D i розглянемо функцiю g, означену в D за правилом g(w) = f(w) 1− \|ζ\|2 1− ζw . Зрозумiло, що g ∈ H2. Нехай {ak}∞k=0 — послiдовнiсть точок, яка породжує систему ϕ, i R0(w) = √ 1− \|a0\|2 w − a0 , Rk(w) = √ 1− \|ak\|2 w − ak k−1∏ j=0 −\|aj \| aj 1− ajw w − aj , k ∈ N. Оскiльки ϕk(w) = wRk(w) ∀w ∈ T, то за теоремою про лишки маємо формули f̂(0) = f(a0) = 0, f̂(k) = 1 2πi ∫ T f(w)Rk(w)dw = k∑ ν=0 ( res w=aν f(w)Rk(w) ) = = k∑ ν=0 ( 1 (kν − 1)! lim w→aν dkν−1 dwkν−1 ( (w − aν)kν f(w)Rk(w) )) , k ∈ N, в яких kν — кратнiсть множника (1−aνw)/(w−aν) у виразi Rk(w), причому ∑k−1 ν=0 kν = k. З цих формул послiдовно для кожного k = 0, 1, . . . , n− 1 отримуємо значення f(ak) = 0. Тому g(ak) = 0, k = 0, n− 1. Отже, обчислюючи коефiцiєнти Фур’є функцiї g за системою ϕ в той самий спосiб, як це зроблено для функцiї f, знаходимо, що i ĝϕ(k) = 0, k = 0, n− 1. З урахуванням цього факту за формулою Кошi маємо рiвнiсть f(ζ) = g(ζ) = ∫ T f(w) 1− \|ζ\|2 1− ζw ( 1 1− wζ − n−1∑ k=0 ϕk(w)ϕk(ζ) ) dσ(w). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ 247 На завершення доведення леми залишається скористатися тотожнiстю [2]: для кожно- го фiксованого ζ ∈ D 1 1− wζ − n−1∑ k=0 ϕk(w)ϕk(ζ) = Bn(ζ)Bn(w) 1 1− ζw ∀ w ∈ T. Доведення теореми. Нехай f ∈ Uh∞ i f̃ — функцiя, спряжена до f. Оскiльки f ∈ h2, то i f̃ ∈ h2 (див., наприклад, [7, с. 380]). Отже, функцiя f+ := (f +if̃)/2 належить простору H2. За вiдомими теоремами про граничнi значення f∗(w) = f+(w) + f+(w) майже скрiзь на T. Оскiльки добуток f+Bn належить H2, то за теоремою Фiхтенгольца (див., наприклад, [7, с. 392]) справджується рiвнiсть \|Bn(ζ)\|2f+(ζ) = Bn(ζ) ∫ T f+(w)Bn(w) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) = = \|Bn(ζ)\| ∫ T f+(w) exp(−iθn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) ∀ ζ ∈ D, (12) де θn,ζ(w) := arg Bn(ζ) Bn(w) . Покладаючи Tn(f+)(ζ) = n−1∑ k=0 αk,n(ζ)f̂+(k)ϕk(ζ), де αk,n(ζ) = 1− Bn(ζ) ϕk(ζ) ∫ T Bn(w)ϕk(w) 1− \|ζ\|2 \|1− ζw\|2 dσ(w) = = 1− (1− akζ) n−1∏ j=k ζ − aj 1− ajζ ∫ T 1 1− akw n−1∏ j=k 1− ajw w − aj  1 w − ζ − 1 w − 1 ζ  dw 2πi = = 1− ζ 1− akζ ζ − ak ∣∣∣∣∣∣ n−1∏ j=k ζ − aj 1− ajζ ∣∣∣∣∣∣ 2 , k = 0, 1, . . . , n− 1, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 248 В. В. САВЧУК за допомогою леми отримуємо низку рiвностей f+(ζ)− Tn(f+)(ζ) = = f+(ζ)− n−1∑ k=0 f̂+(k)ϕk(ζ) + n−1∑ k=0 f̂+(k) ∫ T Bn(ζ)Bn(w)ϕk(w) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) = = Bn(ζ) ∫ T ( f+(w)− n−1∑ k=0 f̂+(k)ϕk(w) ) Bn(w) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w)+ +Bn(ζ) ∫ T ( n−1∑ k=0 f̂+(k)ϕk(w) ) Bn(w) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) = = Bn(ζ) ∫ T f+(w)Bn(w) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) = = \|Bn(ζ)\| ∫ T f+(w) exp(iθn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) ∀ ζ ∈ D. (13) Додаючи до рiвностi (12) рiвнiсть (13), пiсля елементарного перетворення знаходимо фор- мули f+(ζ)− Tn(f+)(ζ) 1 + \|Bn(ζ)\|2 = 2\|Bn(ζ)\| 1 + \|Bn(ζ)\|2 ∫ T f+(w) cos (θn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w), f+(ζ)− Tn(f+)(ζ) 1 + \|Bn(ζ)\|2 = 2\|Bn(ζ)\| 1 + \|Bn(ζ)\|2 ∫ T f+(w) cos (θn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w). Додавши останнi двi рiвностi, з урахуванням того, що f̂+(k) = f̂(k), k = 1, 2, . . . , i f̂+(0) = = f̂(0)− √ 1− \|a0\|2f(0)/2, одержимо вираз f(ζ)− Un,Λ∗,ϕ(f)(ζ) = 2\|Bn(ζ)\| 1 + \|Bn(ζ)\|2 ∫ T f∗(w) cos (θn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) ∀ ζ ∈ D, (14) де елементи матрицi Λ∗ визначаються правилом λ∗k,n(ζ) = αk,n(ζ)/(1 + \|Bn(ζ)\|2). З (14) випливає оцiнка inf Λ∈L sup f∈Uh∞ \|f(ζ)− Un,Λ,ϕ(f)(ζ)\| ≤ sup f∈Uh∞ \|f(ζ)− Un,Λ∗,ϕ(f)(ζ)\| ≤ ≤ 2\|Bn(ζ)\| 1 + \|Bn(ζ)\|2 ∫ T \|cos (θn,ζ(w))\| 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w). (15) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ 249 Вiзьмемо функцiю f1,ζ(z) = 2 π arg 1 + iBn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) 1− iBn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) = 2 π arctg 2\|Bn(z)\| cos (θn,ζ(z)) 1− \|Bn(z)\|2 . Легко бачити, що ‖f1,ζ‖h∞ ≤ 1 i f1,ζ(ζ) = 2 π arctg 2\|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\|2 = 4 π arctg \|Bn(ζ)\|. Для радiальних граничних значень функцiї f1,ζ для майже всiх w ∈ T маємо вираз f∗1,ζ(w) = lim %→1 f1,ζ(%w) =  1, cos (θn,ζ(w)) > 0 0, cos (θn,ζ(w)) = 0 −1, cos (θn,ζ(w)) < 0  = sign (cos (θn,ζ(w))) . Розглянемо функцiю F1,ζ(z) := 2 π ln 1 + iBn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) 1− iBn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) . Зрозумiло, що f1,ζ = Im F1,ζ (тут f1,ζ розглядається як головне значення логарифма). Оскiльки f1,ζ ∈ h2, то i f̃1,ζ = Re F1,ζ ∈ h2. Отже, функцiя F1,ζ належить H2 i тому її можна розкласти в ряд Фур’є за системою ϕ. Оскiльки функцiя F1,ζ має n нулiв у крузi D i вони збiгаються з нулями добутку Бляшке Bn, то першi n коефiцiєнтiв Фур’є функцiї F1,ζ за системою ϕ дорiвнюють нулевi (див. доведення леми): F̂1,ζ(k) = 0, k = 0, 1, . . . , n − 1. Такi мiркування приводять до висновку, що f̂1,ζ(k) = Im F̂1,ζ(k) = 0, k = 0, 1, . . . , n− 1. Отже, Un,Λ,ϕ(f1,ζ) = 0, якою б не була матриця Λ. Тому 4 π arctg \|Bn(ζ)\| = \|f1,ζ(ζ)\| = inf Λ∈L \|f1,ζ(ζ)− Un,Λ,ϕ(f1,ζ)(ζ)\| = f1,ζ(ζ)− Un,Λ∗,ϕ(f1,ζ)(ζ) = = 2\|Bn(ζ)\| 1 + \|Bn(ζ)\|2 ∫ T \|cos (θn,ζ(w))\| 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w). (16) Об’єднуючи спiввiдношення (15) i (16), отримуємо рiвнiсть (4). Розглянемо тепер спряжену функцiю f̃ . Вiднявши вiд рiвностi (13) рiвнiсть (12), зна- ходимо формули f+(ζ)− Tn(f+)(ζ) 1− \|Bn(ζ)\|2 = 2i\|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\|2 ∫ T f+(w) sin (θn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w), f+(ζ)− Tn(f+)(ζ) 1− \|Bn(ζ)\|2 = −2i\|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\|2 ∫ T f+(w) sin (θn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 250 В. В. САВЧУК з яких випливає вираз f̃(ζ)− Un,Λ∗∗,ϕ(f̃)(ζ) = 2\|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\|2 ∫ T f∗(w) sin (θn,ζ(w)) 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w) ∀ ζ ∈ D, (17) де елементи матрицi Λ∗ визначаються правилом λ∗∗k,n(ζ) = αk,n(ζ)/(1− \|Bn(ζ)\|2). Отже, inf Λ∈L sup f∈Uh∞ \|f(ζ)− Un,Λ,ϕ(f)(ζ)\| ≤ sup f∈Uh∞ ∣∣∣f̃(ζ)− Un,Λ∗,ϕ(f̃)(ζ) ∣∣∣ ≤ ≤ 2\|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\|2 ∫ T \|sin (θn,ζ(w))\| 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w). (18) Для радiальних граничних значень функцiї f2,ζ(z) = 2 π arg 1 + Bn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) 1−Bn(z) exp(−i arg Bn(ζ)) майже скрiзь на T маємо вираз f∗2,ζ(w) = lim %→1 f2,ζ(%w) = lim %→1 2 π arg 1 + Bn(%w) exp(−i arg Bn(ζ)) 1−Bn(%w) exp(−i arg Bn(ζ)) = = lim %→1 2 π arctg 2\|Bn(%w)\| sin (θn,ζ(w)) 1− \|Bn(%w)\|2 =  1, sin (θn,ζ(w)) > 0 0, sin (θn,ζ(w)) = 0 −1, sin (θn,ζ(w)) < 0  = sign (sin (θn,ζ(w))) . Отже, аналогiчно до попереднього знаходимо 2 π ln 1 + \|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\| = \|f̃2,ζ(ζ)\| = inf Λ∈L \|f̃2,ζ(ζ)− Un,Λ,ϕ(f̃2,ζ)(ζ)\| = f̃2,ζ(ζ)− Un,Λ∗,ϕ(f̃2,ζ)(ζ) = = 2\|Bn(ζ)\| 1− \|Bn(ζ)\|2 ∫ T \|sin (θn,ζ(w))\| 1− \|ζ\|2 \|1− wζ\|2 dσ(w). (19) Об’єднуючи спiввiдношення (18) i (19), отримуємо рiвнiсть (5). 1. Уолш Дж. Л. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. — 508 с. 2. Джрбашян М. М. Разложения по системам рациональных функций с фиксированными полюсами // Изв. АН АрмССР. Сер. мат. — 1967. — 2, № 1. — С. 3 – 51. 3. Крейн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Докл. АН СССР. — 1938. — 18, № 4 – 5. — С. 245 – 249. 4. Nagy B. Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen, I. Periodischer Fall // Ber. math.-phys. Kl. Acad. Wiss. Leipzig. — 1938. — 90. — S. 103 – 134. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2 НАЙКРАЩI ЛIНIЙНI МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ОБМЕЖЕНИХ ГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ 251 5. Koebe P. Über das Schwarzsche Lemma und einige damit zusammenhängende Ungleichheitsbeziehungen der Potentialtheorie und Funktionentheorie // Math. Z. — 1920. — 6. — S. 52 – 84. 6. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Разностные неравенства для гармонических в круге функций // Докл. АН СССР. — 1967. — 173, № 4. — C. 777 – 780. 7. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. — 623 с. Одержано 11.09.07 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 2

Найкращі лінійні методи наближення обмежених гармонічних функцій

Репозитарії

Схожі ресурси