К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных

Рассмотрена задача устойчивости гибридных автоматов относительно части переменных.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Бычков, А.С., Супрун, О.Н., Кржиж, Й., Новотна, В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180830
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных / А.С. Бычков, О.Н. Супрун, Й. Кржиж, В. Новотна // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 25-32. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-180830
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1808302021-10-21T01:26:42Z К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных Бычков, А.С. Супрун, О.Н. Кржиж, Й. Новотна, В. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Рассмотрена задача устойчивости гибридных автоматов относительно части переменных. Розглянуто задачу стійкості гібридних автоматів відносно частини змінних. Задача актуальна і інтенсивно розвивається. Розглянуто також аспекти її вирішення методом функцій Ляпунова. Питання про стійкість гібридних автоматів відносно частини змінних виникає природним чином, перш за все, в прикладних проблемах. А саме, виходячи з вимог нормального функціонування обʼєкта, досить забезпечити його стійкість лише за частиною змінних. Постановка задачі про стійкість за частиною змінних належить О.М. Ляпунову, але він сам цією задачею не займався. Існує значна методологічна подібність у вивченні стійкості за всіма і за частиною змінних за допомогою функцій Ляпунова. У вирішенні деяких ідентичних питань стосовно задач стійкості за всіма і за частиною змінних є певні відмінності. Відомі методи дозволяють зводити задачу стійкості відносно частини змінних до дослідження задачі за всіма змінними деякої допоміжної системи, і навпаки. Ці два види стійкості тісно пов’язані та взаємно доповнюють один одного. Наразі задачу стійкості гібридного автомата відносно частини змінних розглядають як самостійний розділ теорії стійкості. Основним методом дослідження, як і в задачі стійкості за всіма змінними, виявився метод Ляпунова. Показано, що властивості y₁-додатно визначеності функцій Ляпунова недостатньо для дослідження стійкості гібридних автоматів за частиною змінних. Введено поняття y₁ -рівномірної додатної визначеної функції. Доведено теореми, які дають достатні умови стійкості. Для лінійних гібридних автоматів отримано конструктивні умови стійкості. Також показано, як за допомогою наведених теорем досліджувати на стійкість гібридні таймовані автомати. The problem of the stability of hybrid automata according to certain variables is considered. This problem is relevant and it is increasing rapidly, especially in recent years. Aspects of it's solution using the Lyapunov function are also considered. The problem of hybrid automata stability regarding certain variables arises naturally while solving the applied problems. Namely, when, based on the requirements of the normal functioning of an object, it is sufficient to ensure its stability only according to some variables. Formulation of the problem of stability regarding certain variables belongs to A.M. Lyapunov, but he himself did not investigate this problem. There is a great methodological similarity in the study of stability considering all, and part of variables using Lyapunov functions. But there are certain differences in resolving some identical issues as applied to stability problems for all and part of the variables. There are methods to reduce the problem of stability regarding certain variables to the study of stability in all variables of some auxiliary system, and vice versa. These two types of stability are closely related and mutually complementary. Currently, the problem of the stability of hybrid automata in terms of variables is considered as an independent section of the theory of stability. It is shown that the property of y₁ -positive definiteness of Lyapunov functions is not enough to investigate the stability of hybrid automata in terms of variables. The concept of a y₁-equable positive definiteness of a function had been introduced. Theorems that provide sufficient stability conditions had been proved. For linear hybrid automata, constructive stability conditions had been obtained. The article also shows how using the above theorems one can investigate the stability of hybrid timed automata. 2019 Article К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных / А.С. Бычков, О.Н. Супрун, Й. Кржиж, В. Новотна // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 25-32. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0572-2691 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180830 517.925 ru Проблемы управления и информатики Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
spellingShingle	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Бычков, А.С. Супрун, О.Н. Кржиж, Й. Новотна, В. К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных Проблемы управления и информатики
description	Рассмотрена задача устойчивости гибридных автоматов относительно части переменных.
format	Article
author	Бычков, А.С. Супрун, О.Н. Кржиж, Й. Новотна, В.
author_facet	Бычков, А.С. Супрун, О.Н. Кржиж, Й. Новотна, В.
author_sort	Бычков, А.С.
title	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных
title_short	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных
title_full	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных
title_fullStr	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных
title_full_unstemmed	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных
title_sort	к вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180830
citation_txt	К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных / А.С. Бычков, О.Н. Супрун, Й. Кржиж, В. Новотна // Проблемы управления и информатики. — 2019. — № 5. — С. 25-32. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT byčkovas kvoprosuobustojčivostigibridnyhavtomatovpočastiperemennyh AT suprunon kvoprosuobustojčivostigibridnyhavtomatovpočastiperemennyh AT kržižj kvoprosuobustojčivostigibridnyhavtomatovpočastiperemennyh AT novotnav kvoprosuobustojčivostigibridnyhavtomatovpočastiperemennyh
first_indexed	2025-07-15T21:10:00Z
last_indexed	2025-07-15T21:10:00Z
_version_	1837748771587358720
fulltext	© А.С. БЫЧКОВ, О.Н. СУПРУН, Й. КРЖИЖ, В. НОВОТНА, 2019 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 25 УДК 517.925 А.С. Бычков, О.Н. Супрун, Й. Кржиж, В. Новотна К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГИБРИДНЫХ АВТОМАТОВ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ Ключевые слова: динамическая система, устойчивость динамической систе- мы, гибридный автомат, тамированний гибридный автомат, функция Ляпунова. В некоторых задачах требуется исследовать устойчивость только относи- тельно переменных. Например, при исследовании автомобиля в управляемом заносе необходимо определить лишь траекторию движения, а не обороты дви- гателя или ход подвески. В.В. Румянцев [1] приводит основы устойчивости дифференциальных уравнений относительно переменных. Авторы данной статьи попытались расширить эту теорию на гибридные автоматы с переключением по состоянию и времени. Определение 1 [2]. Гибридным автоматом с фазовым переключением или просто гибридным автоматом (ГА) называется совокупность ),,,,,( JumpInvInitFXQH  , где )...,,2,1( NQ  — множество дискретных состояний автомата; ,( 1xX  )...,,2 nxx — совокупность непрерывных переменных; nn RRQF : — непре- рывное поведение автомата, ),()( xkFxfk  , nRQInv  — множество, на кото- ром ГА не переключает дискретное состояние, InvInv kqk  Pr , InvInit  — мно- жество начальных значений ГА, InitInit kqk  Pr , )(: nn RQRQJump  — условие переключения дискретного состояния. Определение 2 [2]. Фазовой орбитой гибридного автомата для любого Rt 0 и произвольной пары Initxq ),( 00 назовем последовательность M iiiii txq 1)),(,,(  со следующими свойствами: 1) M — натуральное число или бесконечность, при конечном M возможно M ; 2) 01 t , 001 )( xtx  , 01 qq  ; 3) на отрезке ),( ii  поведение автомата описывается дифференциальным уравнением ))(,( )( txqF dt tdx ii i  , Invtxq ii ))(,( и ))(,( txqJump ii ; 4) в точках i выполняется ii  1 и ))(,())(,( 111 iiiiii xqJumpxq   ; 5) если M конечное, эту последовательность невозможно продолжить, не нарушив предыдущие правила. Определение 3 [2]. Непрерывное состояние 0x назовем нулевым стацио- нарным состоянием гибридного автомата ,H если существует непустое множество QQ  такое, что для всех Qi выполняется следующее: 1) если )0,(),( iJumpzi  , то 0z и Qi  ; 2) 0)0,( if для всех .Qi Определение 4 [3]. Стационарное состояние 0x назовем устойчивым по Ляпунову, если для каждого 0 существует такое 0 , что если 0x и Initx 0 , то в течение всего времени жизни орбиты, которая начинается в точ- ке 0x , имеем )(tx . 26 ISSN 0572-2691 Для исследования устойчивости нулевого стационарного состояния исполь- зуем метод функций Ляпунова. При этом для каждого локального состояния об- щепринято строить отдельную функцию Ляпунова [4–7], т.е. для исследования устойчивости гибридного автомата с N локальными состояниями нужно анали- зировать свойства множества NqxVxqV q ,1)},({),(  [4]. Пусть Q — конечное множество номеров локальных состояний системы. Рассмотрим четкую гибридную систему )(yfy q , qInvy ,          2 1 y y y , 0)( 0 ty , Qq , (1) где nRy , 1 1 n Ry  , 2 2 n Ry  , 21 nnn  . Переменную 1y назовем наблюдаемой, 2y — скрытой, а переключение между состояниями Qq будем считать не- прерывным ( )},{(),( yryqJump  ). Ставится задача — исследовать устойчивость такой системы по вектору наблюдаемых координат 1y . Считаем, что 01 y — стационарная точка системы для всех значений скрытого вектора 2y . Обозначим x норму в пространстве nR , через 1 x и 2 x — в простран- ствах 1n R и 2n R соответственно. Аналогично 10 — ноль в пространстве 1n R , 0 — ноль в пространстве nR . Для исследования устойчивости относительно пе- ременных приведем определение В.В. Румянцева. Определение 5 [1]. Траектория ),( 0 tyy динамической системы ),( 0 tyy устой- чива по набору переменных 1y , если для любого 0 существует такое 0 , для которого при  00 yy будет выполняться  1 0 1 0 1 ),(),( tyytyy . Следует обратить внимание, что устойчивость имеет место при небольшом отклонении начальных значений как наблюдаемых, так и скрытых координат. Случай, когда требуется устойчивость при любых начальных значениях скрытых координат, так называемая параметрическая устойчивость, в данной статье не приводится. Рассмотрим теорему [1]. Теорема 1. Если система )(yfy  имеет 1y -положительно-определенную функцию Ляпунова и производная от этой функции по системе отрицательно определена, то стационарное состояние 01 y устойчиво по 1y . Но для исследования устойчивости гибридных автоматов относительно пе- ременных использования 1y -положительно-определенных функций Ляпунова не- достаточно [7]. Поэтому возникает необходимость модифицировать аппарат функций Ляпунова. Введем следующее определение. Определение 6. Функция RRByV n r  2)0(:)( 1 называется 1y -равномер- но-положительно-определенной, если существует две положительно-определен- ные функции: RByUyW r )0(:)(),( 111 такие, что для любого  ),( 21 yyy 2)0( 1 n r RB  выполняется неравенство )(),()( 1211 yUyyVyW  . Условие равномерности — достаточно сильное ограничение, причем для си- стем без переключений оно не нужно. Для них достаточно иметь 1y -положи- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 27 тельно-определенную функцию Ляпунова. Покажем, что даже одного переключе- ния достаточно, чтобы из двух устойчивых систем (в одной из которых устойчи- вость неравномерна) одну сделать неустойчивой. Рассмотрим гибридный автомат с двумя состояниями от двух переменных: 1y и 2y . Исследуем устойчивость по 1y . Состояние 1: 01 y , 12 y . Состояние 2: )( )( 2 2 11 yf yf yy   , 12 y , где        22 2 2 ;cos 11 )( yy k k k yf      ]);1([ kk . Функция f гладкая, поэтому интегральными кривыми второго состояния будут кривые )( 21 yafy  , где Ra . Переключение: при  221yy происходит переключение из состояния 1 в состояние 2, и система навсегда остается во втором состоянии. Берем интегральную кривую второго состояния )( 21 yfy  . Эта кривая име- ет бесконечное количество точек пересечения с кривой переключения (рисунок). Для произвольного 0 выби- раем точку пересечения ),( 1 2 1 1 yy та- кую, чтобы 1y . В качестве началь- ной точки выбираем 1 1 0 1 yy  , 00 2 y . При таких начальных условиях система переключится во второе состояние на кривую )( 21 yfy  и периодически будет вы- ходить на 11 y , что и доказывает неустойчивость системы. По теореме 1 в классической теории функция Ляпунова ограничена только функцией )( 1yW , а в гибридной системе — функцией W снизу и U сверху. Причина несоответствия такова. Устойчивость — это ситуация, когда )(ty в течение всего времени функционирования системы. Несмотря на то, что )0( ty , в момент после переключения ))0((  tyV будет большой, а потом эволюция си- стемы во втором состоянии унесет )(1 ty далеко от нуля. Для исследования устойчивости гибридных автоматов относительно пере- менных воспользуемся техникой, которая использовалась в [2] при исследовании устойчивости по всем переменными. Предположим, что переключение системы (1) непрерывное и циклическое ( N ...21 ). Взяв некоторое ),0(0 Cc  , стро- им такую последовательность чисел: ,),(max),(max 23 )( 212 )( 1 122 32 2 011 21 1 xVcxVc cxV x cxV x    )(max 1 )( 1 1 N cxV x N xVc NNN N N     . (2) Обозначим )( 1 1 yBr шар в пространстве 1n R радиуса r . Теорема 2. Пусть гибридный автомат (1) имеет циклическое непрерывное переключение. Если в цилиндре 2n RD , где 1n RD , существует такой набор y1 y2 28 ISSN 0572-2691 1y -равномерно-положительно-определенных функций Ляпунова  2: nq RDV R , что 0 qf qV для qInvDy  , и 0ccN  , то 0x — устойчивое стацио- нарное состояние гибридного автомата (1). Доказательство. Для простоты выкладок будем считать, что }2,1{Q и 202 0)( ty . Обозначим })(:{)( 11 1 ryWRyiW in r  , })(:{)( 11 1 ryURyiU in r  . Выберем произвольное 0ε . Покажем, что в условиях теоремы можно найти такое 0 , чтобы все фазовые орбиты, для которых выполняется )0(1y , удовлетворяли условию )(ty для всех 0t . Выберем ),0( r такое, что DB r 1 2 . Положим )(min)( 12 1 21 yWqa q Sy r  и ))(,0()( 22 qaqb  . Тогда 11 )( 22 )( rqb BiW  . Далее, пусть 0)(2 qp — такое число, что )(1 )( 1 )( 22 qUB qbqp  . Положим )(min 21 qpr Qq  . Аналогично строим )(min)( 1 3 1 1 11 yWqa q Sy r    , ))(,0()( 11 qaqb  . Тогда .)( 13 )( 11 r q qb BqW   Берем 0)(1 qp такое, что )()()( 11 qZB qbqp  . Положим )(min 1 qp Qq  . Пусть для определенности орбита начинается из состояния 1. Если она не пе- реходит из состояния 1 в состояние 2, то теорема вырождается в теорему Ляпунова об устойчивости. Пусть орбита переходит из состояния 1 в состояние 2 в момент 1t . Поскольку для ],[ 10 ttt Dty )( , получаем, что для всех ],[ 10 ttt выполняется 0 0 11 ))(())(( ctyVtyV  . Поскольку )(sup 12 )( 1 011 21 1 xVc cxV x    , то 1 1 2 ))(( ctyV  , то для ],[ 21 ttt будет выполняться 1 1 22 ))(())(( ctyVtyV  . Значит, по определе- нию 2c будет выполняться: ))(())(( 0 102 2 2 tyVcctyV  . Цикл повторяется. В течение всего цикла )(1 ty . Получим условия устойчивости линейных гибридных автоматов. Для произ- вольной матрицы A размера NN  обозначим 1][A матрицу, состоящую из пер- вых 1N строк. Для любой матрицы B , количество строк которой совпадает с ко- личеством столбцов A , выполняется равенство .][][ 11 BAAB  Теорема 3. Пусть задан линейный гибридный автомат HA: )(yAy q , }0{  yGInvy qq ,          2 1 y y y , 0)( 0 ty , причем непрерывное циклическое переключение ),1mod(),( yNqyq  проис- ходит на плоскостях zUy q , где вектор z имеет длину 1n . Если существует набор функций Ляпунова 1 T 11)( yHyyV q q  такой, что 0)()( 1 TT 11  yAHHAyyV qqqq q и матрица 1 T 1 ])[(][ qqrq UHHU  отрицательно определена, то 0y — устойчивое стационарное состояние гибридного автомата. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 29 Доказательство. Возьмем произвольное 0 . Положим :{:max{ 1yaa  )}0(})( 1 1  BayVq , }})(:{)0(:max{ 11 1 ayVyB q   , где )(1 aBr — закры- тый шар радиуса r в пространстве 1y . Тогда  и a можно оценить как )(min min q q Ha  , )(max )(min max min q q q q H H    . Покажем, что область })(,:{ 111 ayVInvyy qq  также может покинуть тра- екторию только через одну из поверхностей ayV q )( 1 , а не через плоскость пе- реключения. Действительно, рассмотрим поведение системы на переключении rNqq  1)mod( : .0])[(][ ])[(][)()()( 1 T 1 T 1 1 T 11 T 111   zUHHUz zUHHzUyHHyyVyV qqrq qqrqqr qr Таким образом, при переключении траектория останется в области })(,:{ 111 ayVInvyy qq  . Через границу ayV q )( 1 область также оставить невозможно, поскольку в пределах одного локального состояния при 21 tt  )()()()( 1112 2 1 tVdtyVtVtV q t t qqq    . Таким образом, траектория системы не может покинуть область })(,:{ 111 ayVInvyy q q  ни через границу ayV q )( 1 , ни сквозь поверхность переключения. Поскольку эта область расположена в шаре )0(B , выполняется определение устойчивости [8]. Применим доказанные теоремы для исследования устойчивости гибридных таймированных автоматов. Рассмотрим частный случай таких автоматов, когда переключение происходит циклически и в заданные заранее моменты времени: в момент 1t — с первого во второе, в момент 2t — со второго в третье, …, в мо- мент Nt — с N -го в первое и т.д. Будем считать также, что 0)0( qf для всех Qq . Такой автомат имеет стационарное состояние 0y . Для таймированного автомата последовательность Nqcq ...,,0,  , имеет вид ).(max,),(max),(max 1 )(: 23 )(: 212 )(: 1 112220111 N cxVx N cxVxcxVx xVcxVcxVc NNNN    Теорема 4. Пусть для таймированного автомата существует набор функций Ляпунова qV , Qq , такой, что 0qV и 0ccN  . Тогда стационарное состояние 0y гибридного таймированного автомата устойчиво. Доказательство. Докажем для случая }2,1{Q . Обозначим  )(ir })(:{ ryVRy in  . Выберем произвольное 0 . Покажем, что (в условиях теоремы) можно найти 0 такое, что все орбиты ),,( yi , для которых выпол- няется Bty )( 0 , удовлетворяют условию Bty )( для всех t . 30 ISSN 0572-2691 Выберем ),0( r такое, что DBr  2 . Положим )(min)( 2 2 xVia i Sx r  и ))(,0()( 22 iaib  . Тогда 22 )()( rib Bi  . Далее, пусть 0)(2 ip такое, что )()()( 22 iB ibip  . Положим )(min 21 ipr Qi  . Аналогично строим )(min)( 1 1 xVia i Sx r  , ))(,0()( 11 iaib  . Тогда rib Bi  )()(1 . Берем 0)(1 ip такое, что )()()( 11 iB ibip  . Положим )(min 1 ip Qi  . Пусть для определенности орбита начинается в состоянии 1. Если она не пе- реходит из состояния 1 в состояние 2, теорема вырождается в теорему Ляпунова. Пусть она переходит из состояния 1 в состояние 2 в момент 1t . Для всех ],[ 10 ttt выполняется )1())(( 1 1 atxV  , поэтому 11)( rty  . Если траектория не переходит из состояния 2 в состояние 1, теорема доказана. Если же есть скачок в точке 2t , то для всех ],[ 21 ttt выполняется )2())(( 2 2 atxV  , поэтому 22)( rty  . По условию теоремы для гибридного автомата существует положительно- определенная гибридная s -функция. Если s -функции ))(( 0 10  xVc , имеем )1())(())(( 10 102 2 1 atyVcctyV  , т.е. )1())(( 12 1 atyV  . Повторяя эти вы- кладки по индукции, получаем, что для любого 0tt  в первом состоянии выпол- няется )1())(( 1 1 atyV  , во втором — )2())(( 2 1 atyV  . В обоих случаях  2)( rty . Теорема доказана. Гибридный таймированный автомат — частный случай гибридного автомата с переключением по состоянию. Действительно, обозначим          t y z , тогда систе- ма превращается в          1 )(zf z q  . Переименуем yy 1 , ty 2 . Положительно-определенные функции Ляпу- нова, зависящие только от 1y , автоматически 1y -равномерно-положительно- определенные. Поэтому по теореме 2 автомат устойчив. Результатом предыдущих теорем является следующее утверждение. Утверждение. Если для гибридного таймированного линейного автомата существует набор функций Ляпунова yHyyV q T)(  такой, что )(yV q 0)( TT  yAHHAy qqqq и для всех переключений rq  матрица rq HU (][ T 1 1])[ qq UH отрицательно определена, то 0y — устойчивое решение ги- бридного автомата HA . Таким образом, в статье показано, что свойств 1y -положительной опреде- ленности функций Ляпунова недостаточно для исследования устойчивости ги- Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2019, № 5 31 бридных автоматов относительно переменных и обоснована необходимость вве- дения новой функции. Доказаны теоремы, которые дают достаточные условия устойчивости. Для линейных гибридных автоматов получены конструктивные условия устойчивости. Также показано, как с помощью приведенных теорем ис- следовать на устойчивость гибридные таймированные автоматы. О.С. Бичков, О.М. Супрун, Й. Кржиж, В. Новотна ДО ПИТАННЯ СТІЙКОСТІ ГІБРИДНИХ АВТОМАТІВ ЗА ЧАСТИНОЮ ЗМІННИХ Розглянуто задачу стійкості гібридних автоматів відносно частини змінних. За- дача актуальна і інтенсивно розвивається. Розглянуто також аспекти її вирі- шення методом функцій Ляпунова. Питання про стійкість гібридних автоматів відносно частини змінних виникає природним чином, перш за все, в прик- ладних проблемах. А саме, виходячи з вимог нормального функціонування обʼєкта, досить забезпечити його стійкість лише за частиною змінних. Поста- новка задачі про стійкість за частиною змінних належить О.М. Ляпунову, але він сам цією задачею не займався. Існує значна методологічна подібність у ви- вченні стійкості за всіма і за частиною змінних за допомогою функцій Ляпуно- ва. У вирішенні деяких ідентичних питань стосовно задач стійкості за всіма і за частиною змінних є певні відмінності. Відомі методи дозволяють зводити зада- чу стійкості відносно частини змінних до дослідження задачі за всіма змінними деякої допоміжної системи, і навпаки. Ці два види стійкості тісно пов’язані та взаємно доповнюють один одного. Наразі задачу стійкості гібридного автомата відносно частини змінних розглядають як самостійний розділ теорії стійкості. Основним методом дослідження, як і в задачі стійкості за всіма змінними, виявився метод Ляпунова. Показано, що властивості 1y -додатно визначе- ності функцій Ляпунова недостатньо для дослідження стійкості гібридних автоматів за частиною змінних. Введено поняття 1y -рівномірної додатної ви- значеної функції. Доведено теореми, які дають достатні умови стійкості. Для лінійних гібридних автоматів отримано конструктивні умови стійкості. Також показано, як за допомогою наведених теорем досліджувати на стійкість гібрид- ні таймовані автомати. Ключові слова: динамічна система, стійкість динамічної системи, гібридний автомат, таймований гібридний автомат, функція Ляпунова. A.S. Bychkov, O.N. Suprun, I. Krzhyzh, V. Novotna ON THE ISSUE OF THE STABILITY OF HYBRID AUTOMATA BY PART OF THE VARIABLES The problem of the stability of hybrid automata according to certain variables is con- sidered. This problem is relevant and it is increasing rapidly, especially in recent years. Aspects of it's solution using the Lyapunov function are also considered. The problem of hybrid automata stability regarding certain variables arises naturally while solving the applied problems. Namely, when, based on the requirements of the normal functioning of an object, it is sufficient to ensure its stability only according to some variables. Formulation of the problem of stability regarding certain variables belongs to A.M. Lyapunov, but he himself did not investigate this problem. There is a great methodological similarity in the study of stability considering all, and part of variables using Lyapunov functions. But there are certain differences in resolving some identical issues as applied to stability problems for all and part of the variables. There are methods to reduce the problem of stability regarding certain variables to 32 ISSN 0572-2691 the study of stability in all variables of some auxiliary system, and vice versa. These two types of stability are closely related and mutually complementary. Currently, the problem of the stability of hybrid automata in terms of variables is considered as an independent section of the theory of stability. It is shown that the property of 1y -po- sitive definiteness of Lyapunov functions is not enough to investigate the stability of hybrid automata in terms of variables. The concept of a 1y -equable positive definite- ness of a function had been introduced. Theorems that provide sufficient stability conditions had been proved. For linear hybrid automata, constructive stability condi- tions had been obtained. The article also shows how using the above theorems one can investigate the stability of hybrid timed automata. Keywords: dynamic system, stability of a dynamic system, hybrid automata, hybrid timed automata, Lyapunov function. 1. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к ча- сти переменных. М.: Наука. 1987. 256 с. 2. Бычков А.С., Меркурьев М.Г. Достаточные условия устойчивости стационарного состояния линейных гибридных автоматов. Управляющие системы и машины. 2007. № 2. С. 18–23. https//doi.org/10.15407/usim. 3. Бычков А.С., Иванов Е.В. Исследование устойчивости гибридных автоматов при модели- ровании движения летательных аппаратов. Управляющие системы и машины. 2008. № 5. С. 24–28, 61. https//doi.org/10.15407/usim. 4. Peleties P., DeCarlo R. Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov functions. Proceedings of the 31st IEEE Conference on Decision and Control. Tucson, AZ, USA, 1992. P. 3438–3439. http://dx.doi.org/ 10.1109/cdc.1992.371213. 5. Pettersson S., Lennartson B. Stability and robustness for hybrid systems. Proceedings of the 35th Conference on Decision and Control. Kobe, Japan, 1996. P. 1202–1207. http://dx.doi.org/ 10.1109/CDC.1996.572653. 6. Ye H., Michel A., Hou L. Stability theory for hybrid dynamical systems. IEEE Transactions on Automatic Control. 43, № 4. 1998. P. 461–474. http://dx.doi.org/10.1109/9.664149. 7. Panayotova G., Dimitrov G.P., Petrov P., Bychkov O.S. Modeling and data processing of infor- mation systems. Proceedings of the Third International Conference on Artificial Intelligence and Pattern Recognition (AIPR). Lodz, Poland, 2016. P. 154–158. http://dx.doi.org/10.1109/ ICAIPR.2016.7585229 . 8. Dimitrov G., Bychkov O., Petrov P. One approach for analysis of fuzzy linear hybrid auto- mata. Izvestia Journal of the Union of Scientists-Varna. Economic Sciences Series, Union of Scientists Varna, Economic Sciences Section, 2018. 7(2). P. 234–240, Handle: RePEc: vra:journl:v:7:y:2018:i:2:p:234-240. Получено 20.06.2019

К вопросу об устойчивости гибридных автоматов по части переменных

Репозитарії

Схожі ресурси