Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними

Побудовано теоретико-ігрові моделі конкуренції виробників на міжнародному ринку однорідного товару за умови, що стратегічні змінні виробників є випадковими величинами. Виділено клас розподілів випадкових змінних, який гарантує існування розв'язку безкоаліційних ігор, що описують міжнародну торг...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Косаревич, К.В., Єлейко, Я.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180857
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними / К.В. Косаревич, Я.І. Єлейко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 155-162. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-180857
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1808572021-10-29T21:42:42Z Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними Косаревич, К.В. Єлейко, Я.І. Системний аналіз Побудовано теоретико-ігрові моделі конкуренції виробників на міжнародному ринку однорідного товару за умови, що стратегічні змінні виробників є випадковими величинами. Виділено клас розподілів випадкових змінних, який гарантує існування розв'язку безкоаліційних ігор, що описують міжнародну торгівлю. У побудованих моделях встановлено явні формули для «виправленої» рівноваги за Нешем. Построены теоретико-игровые модели конкуренции производителей на международном рынке однородного товара при условии, что стратегические переменные производителей являются случайными величинами. Выделен класс распределений случайных переменных, который гарантирует существование решения бескоалиционных игр, описывающих международную торговлю. В построенных моделях установлены явные формулы для «исправленного» равновесия по Нэшу. Game-theoretical models of producers’ competition in the international market of a homogeneous product are constructed provided that the strategic variables of the producers are random. A class of distributions of random variables that guarantees the existence of a solution to non-cooperative games describing international trade is distinguished. Explicit formulas for the “corrected” Nash equilibrium are established in the constructed models. 2019 Article Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними / К.В. Косаревич, Я.І. Єлейко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 155-162. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180857 519.21 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Косаревич, К.В. Єлейко, Я.І. Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними Кибернетика и системный анализ
description	Побудовано теоретико-ігрові моделі конкуренції виробників на міжнародному ринку однорідного товару за умови, що стратегічні змінні виробників є випадковими величинами. Виділено клас розподілів випадкових змінних, який гарантує існування розв'язку безкоаліційних ігор, що описують міжнародну торгівлю. У побудованих моделях встановлено явні формули для «виправленої» рівноваги за Нешем.
format	Article
author	Косаревич, К.В. Єлейко, Я.І.
author_facet	Косаревич, К.В. Єлейко, Я.І.
author_sort	Косаревич, К.В.
title	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними
title_short	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними
title_full	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними
title_fullStr	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними
title_full_unstemmed	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними
title_sort	ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/180857
citation_txt	Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними / К.В. Косаревич, Я.І. Єлейко // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 2. — С. 155-162. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT kosarevičkv jmovírnísnijpídhíduzadačímížnarodnoíkonkurencíívirobnikívzvipadkovimizmínnimi AT êlejkoâí jmovírnísnijpídhíduzadačímížnarodnoíkonkurencíívirobnikívzvipadkovimizmínnimi
first_indexed	2025-07-15T21:12:09Z
last_indexed	2025-07-15T21:12:09Z
_version_	1837748904806842368
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Ê.Â. ÊÎÑÀÐÅÂÈ×, ß.². ªËÅÉÊÎ ÉÌÎÂ²ÐÍ²ÑÍÈÉ Ï²ÄÕ²Ä Ó ÇÀÄÀ×² Ì²ÆÍÀÐÎÄÍÎ¯ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖ²¯ ÂÈÐÎÁÍÈÊ²Â Ç ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÌÈ ÇÌ²ÍÍÈÌÈ Àíîòàö³ÿ. Ïîáóäîâàíî òåîðåòèêî-³ãðîâ³ ìîäåë³ êîíêóðåíö³¿ âèðîáíèê³â íà ì³æíàðîäíîìó ðèíêó îäíîð³äíîãî òîâàðó çà óìîâè, ùî ñòðàòåã³÷í³ çì³íí³ âèðîáíèê³â º âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè. Âèä³ëåíî êëàñ ðîçïîä³ë³â âèïàäêî- âèõ çì³ííèõ, ÿêèé ãàðàíòóº ³ñíóâàííÿ ðîçâ’ÿçêó áåçêîàë³ö³éíèõ ³ãîð, ùî îïèñóþòü ì³æíàðîäíó òîðã³âëþ. Ó ïîáóäîâàíèõ ìîäåëÿõ âñòàíîâëåíî ÿâí³ ôîðìóëè äëÿ «âèïðàâëåíî¿» ð³âíîâàãè çà Íåøåì. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ê³ëüê³ñíà êîíêóðåíö³ÿ, ñòðàòåã³ÿ, çàäà÷à ì³æíàðîäíî¿ òîðã³âë³, òåîðåòèêî-³ãðîâà ìîäåëü, «âèïðàâëåíà» ð³âíîâàãà çà Íåøåì. Ïðèéíÿòòÿ åêîíîì³÷íèõ ð³øåíü çäåá³ëüøîãî â³äáóâàºòüñÿ â óìîâàõ íåâèçíà÷å- íîñò³. Öå ìàº ì³ñöå ³ â ì³æíàðîäí³é òîðã³âë³ [1]. Ñòðàòåã³÷í³ ð³øåííÿ âèðîá- íèê³â òîâàðó ôîðìóþòüñÿ â óìîâàõ â³äñóòíîñò³ òî÷íî¿ ³íôîðìàö³¿ ïðî ðèíêî- âèé ïîïèò ³ îáñÿã âèïóñêó òîâàðó, çîêðåìà, ÿêùî âèðîáíèê âèõîäèòü íà ðèíîê âïåðøå àáî ïðåäñòàâëÿº ðèíîê ÿê³ñíî íîâèõ òîâàð³â. Ó çâ’ÿçêó ç öèì âèíèêàº ïîòðåáà ó ñòâîðåíí³ ìîäåëåé êîíêóðåíö³¿, ÿê³ âðàõîâóþòü ïðèòàìàííó âèðîá- íèêàì íåâèçíà÷åí³ñòü ³, ÿê íàñë³äîê, âèïàäêîâèé õàðàêòåð ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü. Ïîáóäîâà òà äîñë³äæåííÿ òàêèõ ìîäåëåé º àêòóàëüíèì çàâäàííÿì, îñê³ëüêè ¿õíº ïðèçíà÷åííÿ — àäåêâàòíî òà ïðàâäèâî â³äîáðàçèòè ðåàëüíèé, íå ³äåàë³çî- âàíèé åêîíîì³÷íèé ïðîöåñ. Ê²ËÜÊ²ÑÍÀ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖ²ß Ç ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÌ ÎÁÑßÃÎÌ ÂÈÏÓÑÊÓ ÒÎÂÀÐÓ ÅÊÑÏÎÐÒÅÐÎÌ Ðîçãëÿíåìî òåîðåòèêî-³ãðîâó ìîäåëü çàäà÷³ ê³ëüê³ñíî¿ êîíêóðåíö³¿ íà ì³æíà- ðîäíîìó ðèíêó, êîëè ð³âíîâàæíà ö³íà íà òîâàð âñòàíîâëþºòüñÿ íà îñíîâ³ ð³øåíü âèðîáíèê³â ïðî îáñÿã âèïóñêó, ïîïèò òà ïðîïîçèö³þ [1, 2]. Ââàæàòèìåìî, ùî ðèíîê äåÿêîãî îäíîð³äíîãî òîâàðó ïðåäñòàâëåíèé äâîìà âèðîáíèêàìè — çîâí³øí³ì (åêñïîðòåð) òà âíóòð³øí³ì («ñâ³é» âèðîáíèê íà âíóòð³øíüîìó ðèí- êó êðà¿íè) ï³äïðèºìñòâàìè. Îáèäâà âèðîáíèêè ïðàãíóòü ìàêñèì³çóâàòè âëàñ- íèé î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê øëÿõîì ïðèéíÿòòòÿ îïòèìàëüíèõ ñòðàòåã³÷íèõ ð³øåíü [3, 4]. Ïðèïóñòèìî, ùî îáñÿã âèïóñêó òîâàðó çîâí³øí³ì ï³äïðèºìñòâîì (íàäàë³ — ïåðøèì âèðîáíèêîì) º âèïàäêîâèì, à âíóòð³øíº ï³äïðèºìñòâî (íàäàë³ — äðóãèé âèðîáíèê) ó òîé ñàìèé ÷àñ âèêîðèñòîâóº äåòåðì³íîâàíó ñòðàòåã³þ. Íåõàé îáñÿã q1 âèïóñêó òîâàðó ïåðøèì âèðîáíèêîì — âèïàäêîâà âåëè÷èíà ³ç ù³ëüí³ñòþ ðîçïîä³ëó f x( ; )� , äå � � 0 — çì³íþâàíèé ïàðàìåòð ðîçïîä³ëó (íåâ³äîìèé íà ìîìåíò ïî÷àòêó âçàºìîä³¿ âèðîáíèê³â), à ôóíêö³ÿ f x( ; )� òàêà, ùî Eq1 � �, Eq 1 2 � � � �� 0, E ( )� — îïåðàòîð ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ. Îáñÿã âè- ïóñêó òîâàðó ïåðøèì âèðîáíèêîì âèïàäêîâèé, òîìó ñâ³é î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê öå ï³äïðèºìñòâî ìàêñèì³çóº, îáèðàþ÷è ÿê ñòðàòåã³þ ïîâåä³íêè î÷³êóâàíèé îáñÿã âèïóñêó Eq1, ïðè÷îìó Eq xf x dx1 � �� ( ; ) ( )� � � . Êð³ì ñòàëèõ âèòðàò âèðîáíèö- òâà ç ïåðøîãî âèðîáíèêà, ÿêèé º çîâí³øí³ì ï³äïðèºìñòâîì, ñòÿãóþòüñÿ òàêîæ òàðèôí³ ïëàòåæ³ t çà ââåçåííÿ îäèíèö³ òîâàðó. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 155 © Ê.Â. Êîñàðåâè÷, ß.². ªëåéêî, 2019 Ó ðîáîò³ [5] ê³ëüê³ñíó êîíêóðåíòíó âçàºìîä³þ äâîõ âèðîáíèê³â ç âèïàäêî- âèì îáñÿãîì âèïóñêó òîâàðó îäíèì ³ç íèõ ïðåäñòàâëåíî ÿê ãðó G 1 2( ) ó íîðìàëüí³é ôîðì³ G I S E Eq q i Ii i1 2 1 2 ( ) ( ,{ }, { ( , )}, )� � , äå I � { , }1 2 — ìíîæèíà ãðàâö³â, S i — ìíîæèíà äîïóñòèìèõ ñòðàòåã³é ãðàâöÿ i , E Eq qi� ( , )1 2 — ôóíêö³ÿ âèãðàøó (î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê) ãðàâöÿ i, i I . Çíàéäåìî «âèïðàâëåíó» ð³âíîâàãó çà Íåøåì [5] ó ãð³ G 1 2( ) ó âèïàäêó êîíêó- ðåíö³¿ íà ì³æíàðîäíîìó ðèíêó. Øóêàíèé íàá³ð ñòðàòåã³é ïîçíà÷èìî q Eq q* * (( ) , ( ) )� 1 2 . Ó çàäà÷³, ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ, E Eq q E q D q c q tqj j I �1 1 2 1 1 1 1 1( , ) ( )� � � � � � � � � � � � � �� , E Eq q E q D q c qj j I � 2 1 2 2 1 2 2( , ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � , äå D q j j I � � � � � � � � 1 — îáåðíåíà ôóíêö³ÿ ðèíêîâîãî ïîïèòó íà òîâàð, c qi i( ) — ôóíêö³ÿ âèòðàò âèðîáíèêà, i I , t — òàðèôí³ ïëàòåæ³. Ìîäåëü íåçàëåæíî¿ êîíêóðåíòíî¿ ïîâåä³íêè âèðîáíèê³â âèçíà÷àºòüñÿ çàäà- ÷àìè ìàêñèì³çàö³¿ ¿õí³õ î÷³êóâàíèõ ïðèáóòê³â: äëÿ ïåðøîãî âèðîáíèêà E q D q c q tqj j I Eq S 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � �( ) max , (1) äëÿ äðóãîãî âèðîáíèêà E q D q c qj j I q S 2 1 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � �( ) max . (2) Íåõàé îáåðíåíà ôóíêö³ÿ ïîïèòó (ö³íà) íà òîâàð º ë³í³éíîþ, òîáòî D q q a b q q� � � � �1 1 2 1 2( ) ( ) , äå a � 0 — ïîòåíö³àë ðèíêó, b � 0 — ïîêàçíèê åëàñ- òè÷íîñò³ ïîïèòó íà ðèíêó. Äëÿ ë³í³éíèõ ôóíêö³é âèòðàò î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê ïåðøîãî âèðîáíèêà ñòàíîâèòü E Eq q aEq bEq bq Eq c Eq tEq�1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1( , ) � � � � � , (3) äå Eq 1 2 � � �( ). Ó ñèëó ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ � òà Eq1 îòðèìóºìî Eq Eq Eq 1 2 1 1 1� �� ( ( )) ( ); îòæå (3) íàáóâàº âèãëÿäó E Eq q aEq b Eq bq Eq c Eq tEq� �1 1 2 1 1 2 1 1 1 1( , ) ( )� � � � � . (4) Âèêîðèñòîâóþ÷è äåòåðì³íîâàíó ñòðàòåã³þ, äðóãèé âèðîáíèê ìàêñèì³çóº ñâ³é î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê E Eq q aq bq bq Eq c q� 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2( , ) � � � � . (5) 156 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Ç óðàõóâàííÿì (4)–(5) çàäà÷³ (1)–(2) íàáóâàþòü âèãëÿäó aEq b Eq bq Eq c Eq tEq Eq S 1 1 2 1 1 1 1 1 1 � � � � � �( ) max , (6) aq bq bq Eq c q q S 2 2 2 2 1 2 2 2 2 � � � � max . (7) Ðåàêö³ÿ âèðîáíèêà íà ä³þ êîíêóðåíòà âèçíà÷àºòüñÿ ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷ (6)–(7) äëÿ ô³êñîâàíîãî (î÷³êóâàíîãî) îáñÿãó âèïóñêó òîâàðó êîíêóðåíòîì. Òåîðåìà 1 (ïðî ôîðìó «âèïðàâëåíî¿» ð³âíîâàãè çà Íåøåì ó ãð³ G 1 2( ) â óìî- âàõ ì³æíàðîäíî¿ êîíêóðåíö³¿). Íåõàé âèêîíóþòüñÿ òàê³ óìîâè: 1) c c c1 2� � , 2) ôóíêö³ÿ �( )Eq1 íàëåæèòü êëàñó êâàäðàòè÷íèõ çà çì³ííîþ Eq1, �( ) ( )Eq k Eq k Eq k1 1 1 2 2 1 3� � � , äå k k k1 2 30� , , — äåÿê³ êîíñòàíòè. Òîä³ äëÿ a c t� � 2 , (8) k1 1 4 � , (9) � � � � � � � �( )( )a c k t b k a c t b 2 1 2 2 1 2 (10) íàá³ð î÷³êóâàíîãî òà äåòåðì³íîâàíîãî îáñÿã³â âèïóñêó òîâàðó â³äïîâ³äíî ïåð- øèì òà äðóãèì âèðîáíèêàìè ( ) ( ) Eq a ñ bk t k b 1 2 1 2 2 4 1 � � � � � , (11) ( ) ( )( ) ( ) q a ñ k bk t k b 2 1 2 1 2 1 4 1 � � � � � � (12) º «âèïðàâëåíîþ» ð³âíîâàãîþ çà Íåøåì ó ãð³ G 1 2( ) â óìîâàõ ì³æíàðîäíî¿ êîí- êóðåíö³¿. Äîâåäåííÿ. Çã³äíî ç óìîâàìè òåîðåìè ôóíêö³¿ âèãðàøó (4) òà (5) ãðàâö³â íà- áóâàþòü âèäó E Eq q aEq b k Eq k Eq k bq Eq cEq�1 1 2 1 1 1 2 2 1 3 2 1 1( , ) ( ( ) )� � � � � � � tEq1, E Eq q aq bq bq Eq cq� 2 1 2 2 2 2 2 1 2( , ) � � � � . Ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî ôóíêö³ÿ E Eq q�1 1 2( , ) º îïóêëîþ çà çì³ííîþ Eq1, à ôóíêö³ÿ E Eq q� 2 1 2( , ) — çà q2 . Òîìó îïòèìàëüíèé (î÷³êóâàíèé) îáñÿã âèïóñêó òîâàðó âèðîáíèêîì äëÿ ô³êñîâàíîãî (î÷³êóâàíîãî) îáñÿãó âèïóñêó òîâàðó êîíêó- ðåíòîì çíàõîäèìî ç óìîâ îïòèìàëüíîñò³ ïåðøîãî ïîðÿäêó äëÿ â³äïîâ³äíèõ çàäà÷. Çàäà÷³ (6)–(7) ìàêñèì³çàö³¿ ôóíêö³¿ âèãðàøó ãðàâöÿ äëÿ ô³êñîâàíîãî (î÷³êó- âàíîãî) îáñÿãó âèïóñêó òîâàðó êîíêóðåíòîì ìàþòü òàêèé âèãëÿä: äëÿ ïåðøîãî âèðîáíèêà aEq b k Eq k Eq k bq Eq cEq tEq Eq 1 1 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 � � � � � � � ( ( ) ) max S 1 , (13) äëÿ äðóãîãî âèðîáíèêà aq bq bq Eq cq q S 2 2 2 2 1 2 2 2 � � � � max . (14) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 157 Çàïèøåìî óìîâè îïòèìàëüíîñò³ äëÿ çàäà÷ (13)–(14): � � � ( ( , )) ( ) E Eq q Eq �1 1 2 1 0 , � � � ( ( , ))E Eq q q � 2 1 2 2 0 àáî � � � � � � � � ( ( ( ) ) ) ( aEq b k Eq k Eq k bq Eq cEq tEq Eq 1 1 1 2 2 1 3 2 1 1 1 1 ) � 0 , � � � � � � ( )aq bq bq Eq cq q 2 2 2 2 1 2 2 0 . Ðîçâ’ÿçîê q Eq q * (( ) , ( ) )� 1 2 ñèñòåìè ð³âíÿíü ( ) ( ) , ( ) ( ) * * Eq a c t bk bk k q q a c b Eq 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 � � � � � � � � * � � �� º «âèïðàâëåíîþ» ð³âíîâàãîþ çà Íåøåì ó ãð³ G 1 2( ) [5] â óìîâàõ ì³æíàðîäíî¿ êîíêóðåíö³¿. Ä³éñíî, çíàéäåíèé ð³âíîâàæíèé íàá³ð î÷³êóâàíîãî òà äåòåðì³íîâàíîãî îá- ñÿã³â âèïóñêó òîâàðó â³äïîâ³äíî ïåðøèì òà äðóãèì âèðîáíèêàìè ( ) ( ) Eq a ñ bk t k b 1 2 1 2 2 4 1 � � � � � , ( ) ( )( ) ( ) q a ñ k bk t k b 2 1 2 1 2 1 4 1 � � � � � � çàäîâîëüíÿº îäíî÷àñíî íåð³âíîñòÿì E q E Eq q� �1 1 1 2( ) ( , ( ) )* � � Eq S1 1 òà E q E Eq q� �2 2 1 2( ) (( ) , ) � � q S2 2 . Óìîâè (8)–(10) òåîðåìè çàáåçïå÷óþòü íåâ³ä’ºìí³ñòü ð³âíîâàæíèõ î÷³êóâàíèõ îáñÿã³â âèïóñêó. Òåîðåìó äîâåäåíî. � Çàóâàæèìî, ùî ÿêùî q1 — äåòåðì³íîâàíà âåëè÷èíà, òî Eq q 1 2 1 2� . Ç ³íøîãî áîêó, ç óìîâè 2) òåîðåìè 1 ìàºìî Eq k q k q k 1 2 1 1 2 2 1 3� � � . Î÷åâèäíî, ùî ö³é ñè- òóàö³¿ â³äïîâ³äàþòü çíà÷åííÿ k1 1� , k2 0� , k3 0� . Òîìó â ðàç³ äåòåðì³íîâàíîñò³ ñòðàòåã³é îáîõ âèðîáíèê³â ôîðìóëè (11)–(12) íàáóâàþòü âèãëÿäó ( )q a ñ t b 1 2 3 � � � , ( )q a ñ t b 2 3 � � � . Ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî ð³âíîâàæíèé íàá³ð îá- ñÿã³â âèïóñêó òîâàðó äëÿ b �1çá³ãàºòüñÿ ç îòðèìàíèì ðàí³øå â [1] ðåçóëüòàòîì. Ïðèêëàä 1. Íåõàé âèïàäêîâà âåëè÷èíà q1 ìàº ïîêàçíèêîâèé ðîçïîä³ë ç³ çì³íþâàíèì ïàðàìåòðîì ðîçïîä³ëó � . Òîä³ Eq1 1 � � , Eq 1 2 2 2 � � . Ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî â öüîìó âèïàäêó Eq Eq 1 2 1 22� ( ) , à îòæå, âèêîíóºòüñÿ óìîâà 2) òåîðåìè 1, ïðè÷îìó k1 2� , k2 0� , k3 0� . ßêùî âèòðàòè ñèìåòðè÷í³ (c c c1 2� � ), à òàðèôí³ ïëàòåæ³ òàê³, ùî t a c � � 2 , òî çã³äíî ç òåîðåìîþ 1 ìàºìî ( )Eq a ñ t b 1 2 7 � � � , ( ) ( )q a ñ t b 2 3 7 � � � . Ïðèêëàä 2. Íåõàé îáñÿã q1 âèïóñêó òîâàðó ïåðøèì âèðîáíèêîì º âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ, ð³âíîì³ðíî ðîçïîä³ëåíîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ç³ çì³íþâàíîþ âåðõíüîþ 158 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 ìåæåþ, � �� 0 , � — äåÿêà êîíñòàíòà. Òîä³ Eq1 2 � �� , Eq 1 2 � � �( )� � ��2 3 . Ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî â öüîìó âèïàäêó Eq Eq Eq 1 2 1 2 1 24 2 3 � � �( ) � � , à îòæå, âèêî- íóºòüñÿ óìîâà 2) òåîðåìè 1, ïðè÷îìó k1 4 3 � , k2 2 3 � � � , k3 2 3 � � . Äëÿ ñèìåò- ðè÷íèõ âèòðàò òà t a c � � 2 çà òåîðåìîþ 1 ìàºìî ( ) ( )Eq a ñ b t b 1 3 4 6 13 � � � �� , ( ) ( )q a ñ b t b 2 5 2 3 13 � � � �� . Ì²ÆÍÀÐÎÄÍÀ Ê²ËÜÊ²ÑÍÀ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖ²ß ÂÈÐÎÁÍÈÊ²Â Ç ÂÈÏÀÄÊÎÂÈÌÈ ÎÁÑßÃÀÌÈ ÂÈÏÓÑÊÓ ÒÎÂÀÐÓ Ðîçãëÿíåìî òåïåð âèïàäîê, êîëè îáñÿãè âèïóñêó òîâàðó îáîìà âèðîáíèêàìè íå º äå- òåðì³íîâàíèìè. Íåõàé îáñÿã qi âèïóñêó òîâàðó ï³äïðèºìñòâîì i (i I , I � { , }1 2 ) º âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ ³ç ù³ëüí³ñòþ ðîçïîä³ëó f xi i i( ; )� , äå � i � 0 — çì³íþâàíèé ïàðàìåòð ðîçïîä³ëó. Áóäåìî ââàæàòè qi íåçàëåæíèìè â òåîðåòèêî-éìîâ³ðí³ñíîìó ñåíñ³. Íåõàé ôóíêö³¿ f xi i i( ; )� òàê³, ùî Eqi � �, Eqi 2 � � � �� i 0, i I . Îñê³ëüêè îáñÿãè âèïóñêó òîâàðó âèðîáíèêàìè º âèïàäêîâèìè, òî ñâ³é î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê êîæíå ï³äïðèºìñòâî ìàêñèì³çóº, ïðèéìàþ÷è ð³øåííÿ ïðî âåëè÷èíó î÷³êóâàíîãî îáñÿãó âèïóñêó Eqi , ïðè÷îìó Eq x f x dxi i i i i i i i� �� ( ; ) ( )� � � . Ðîçãëÿíåìî ãðó, ÿêà îïèñóº ê³ëüê³ñíó êîíêóðåíòíó âçàºìîä³þ äâîõ âèðîá- íèê³â ç âèïàäêîâèìè îáñÿãàìè âèïóñêó òîâàðó [5] G I S E Eq Eq i Ii i2 2 1 2 ( ) ( , { }, { ( , )}, )� � , äå I � { , }1 2 — ìíîæèíà ãðàâö³â, S i — ìíîæèíà äîïóñòèìèõ ñòðàòåã³é ãðàâöÿ i, E Eq Eqi� ( , )1 2 — ôóíêö³ÿ âèãðàøó (î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê) ãðàâöÿ i, i I . Çíàéäåìî «âèïðàâëåíó» ð³âíîâàãó çà Íåøåì [5] ó ãð³ G 2 2( ) ó âèïàäêó êîíêó- ðåíö³¿ íà ì³æíàðîäíîìó ðèíêó. Øóêàíèé íàá³ð ñòðàòåã³é ïîçíà÷èìî q Eq Eq * (( ) , ( ) )� 1 2 . Çàäà÷³ ìàêñèì³çàö³¿ î÷³êóâàíèõ ïðèáóòê³â ìàþòü òàêèé âèãëÿä: äëÿ ïåðøîãî âèðîáíèêà E Eq Eq Eq S �1 1 2 1 1 ( , ) max� , (15) äëÿ äðóãîãî âèðîáíèêà E Eq Eq Eq S � 2 1 2 2 2 ( , ) max� , (16) äå E Eq Eq E q D q c q tqj j I �1 1 2 1 1 1 1 1( , ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � � , E Eq Eq E q D q c qj j I � 2 1 2 2 1 2 2( , ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � , D q j j I � � � � � � � � 1 — îáåðíåíà ôóíêö³ÿ ðèíêîâîãî ïîïèòó íà òîâàð, c qi i( ) — ôóíêö³ÿ âèòðàò âèðîáíèêà, i I , t — òàðèôí³ ïëàòåæ³. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 159 Ó òîìó ðàç³, êîëè ôóíêö³¿ âèòðàò òà îáåðíåíà ôóíêö³ÿ ïîïèòó íà òîâàð º ë³í³éíèìè, î÷³êóâàíèé ïðèáóòîê ñòàíîâèòü: äëÿ ïåðøîãî âèðîáíèêà E Eq Eq aEq bEq bE q q c Eq tEq�1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1( , ) ( )� � � � � , (17) äëÿ äðóãîãî âèðîáíèêà E Eq Eq aEq bEq bE q q c Eq� 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2( , ) ( )� � � � , (18) äå Eqi i i 2 � � �( ), i I . Âðàõîâóþ÷è íåçàëåæí³ñòü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí q1 ³ q2 òà ôóíêö³îíàëüíèé çâ’ÿçîê ì³æ � i ³ Eqi , îòðèìóºìî Eq Eq Eqi i i i i i 2 1� �� ( ( )) ( ) . Òîä³ ç (17) òà (18) ìàºìî E Eq Eq aEq b Eq bEq Eq c Eq tEq� �1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1( , ) ( )� � � � � , (19) E Eq Eq aEq b Eq bEq Eq c Eq� �2 1 2 2 2 2 1 2 2 2( , ) ( )� � � � . (20) Îòæå, çàäà÷³ (15)–(16) íàáóâàþòü âèãëÿäó aEq b Eq bEq Eq c Eq tEq Eq S 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 � � � � � � ( ) max , (21) aEq b Eq bEq Eq c Eq Eq S 2 2 2 1 2 2 2 2 2 � � � � � ( ) max . (22) ßêùî î÷³êóâàíèé îáñÿã âèïóñêó òîâàðó êîíêóðåíòà º ô³êñîâàíèì, òî ðîçâ’ÿ- çîê çàäà÷ (21)–(22) âèçíà÷àº ðåàêö³þ âèðîáíèêà íà ä³þ éîãî êîíêóðåíòà. Òåîðåìà 2 (ïðî ôîðìó «âèïðàâëåíî¿» ð³âíîâàãè çà Íåøåì ó ãð³ G 2 2( ) â óìî- âàõ ì³æíàðîäíî¿ êîíêóðåíö³¿). Íåõàé âèêîíóþòüñÿ òàê³ óìîâè: 1) c c c1 2� � , 2) ôóíêö³ÿ � i iEq( ) íàëåæèòü êëàñó êâàäðàòè÷íèõ çà çì³ííîþ Eqi , � i i i i i i iEq k Eq k Eq k( ) ( )( ) ( ) ( )� � � 1 2 2 3 , äå k k ki i i 1 2 3 0( ) ( ) ( ), ,� — äåÿê³ êîíñòàíòè. Òîä³ äëÿ k k 1 1 1 2 1 4 ( ) ( ) � , (23) k a c t b2 1( ) � � � , (24) 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 k bk t a c k b k a c k( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )( ) ( )(� � � � � � � 1 2 1 1 1 1 2 ) ( ) ( ) )� � �bk t k b (25) íàá³ð î÷³êóâàíèõ îáñÿã³â âèïóñêó òîâàðó â³äïîâ³äíî ïåðøèì òà äðóãèì âèðîá- íèêàìè ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Eq k a c bk t a c bk k k 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 4 � � � � � � � 2 1) )� b , (26) ( ) ( ) ( ) ( * ( ) ( ) ( ) ( ) ( Eq k a c bk a c bk t k k 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 4 � � � � � � � 2 1) )� b (27) º «âèïðàâëåíîþ» ð³âíîâàãîþ çà Íåøåì ó ãð³ G 2 2( ) â óìîâàõ ì³æíàðîäíî¿ êîíêóðåíö³¿. Äîâåäåííÿ. Çã³äíî ç óìîâàìè ö³º¿ òåîðåìè ôóíêö³¿ âèãðàøó (19) òà (20) ãðàâö³â íàáóâàþòü âèãëÿäó E Eq Eq aEq b k Eq k Eq k�1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1( , ) ( )( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � �bEq Eq cEq tEq1 2 1 1, E Eq Eq aEq b k Eq k Eq k� 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2( , ) ( )( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �bEq Eq cEq1 2 2 . 160 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 Çíàéäåìî îïòèìàëüíèé î÷³êóâàíèé îáñÿã âèïóñêó òîâàðó âèðîáíèêîì äëÿ ô³êñîâàíîãî î÷³êóâàíîãî îáñÿãó âèïóñêó òîâàðó êîíêóðåíòîì. Ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî ôóíêö³¿ E Eq Eq�1 1 2( , ) òà E Eq Eq� 2 1 2( , ) º îïóêëèìè çà çì³ííèìè Eq1 òà Eq2 , â³äïîâ³äíî. Çàäà÷³ ìàêñèì³çàö³¿ ôóíêö³¿ âèãðàøó ãðàâöÿ (21)–(22) äëÿ ô³êñîâàíîãî î÷³êó- âàíîãî îáñÿãó âèïóñêó òîâàðó êîíêóðåíòîì ìàþòü òàêèé âèãëÿä: äëÿ ïåðøîãî âèðîáíèêà ( ) ( ) max( ) ( ) ( )a c t bk Eq bk Eq bEq Eq bk E � � � � � � � 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 q S1 1 , (28) äëÿ äðóãîãî âèðîáíèêà ( ) ( ) max( ) ( ) ( )a c bk Eq bk Eq bEq Eq bk Eq � � � � � � 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 S 2 . (29) Çàïèøåìî óìîâè îïòèìàëüíîñò³ äëÿ çàäà÷ (28)–(29): � � � ( ( , )) ( ) E Eq Eq Eq �1 1 2 1 0 , � � � ( ( , )) ( ) E Eq Eq Eq � 2 1 2 2 0 , àáî a c t bk bk Eq bEq� � � � � � 2 1 1 1 1 22 0( ) ( ) , a c bk bk Eq bEq� � � � � 2 2 1 2 2 12 0( ) ( ) . Ðîçâ’ÿçîê q Eq Eq* * (( ) , ( ) )� 1 2 ñèñòåìè ð³âíÿíü ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) * * Eq a c t bk bk k Eq Eq a 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 � � � � � � � c bk bk k Eq � � � � � �� 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) º «âèïðàâëåíîþ» ð³âíîâàãîþ çà Íåøåì [5] ó ãð³ G 2 2( ) â óìîâàõ ì³æíàðîäíî¿ êîíêóðåíö³¿. Ä³éñíî, çíàéäåíèé ð³âíîâàæíèé íàá³ð î÷³êóâàíèõ îáñÿã³â âèïóñêó òîâàðó â³äïîâ³äíî ïåðøèì òà äðóãèì âèðîáíèêàìè ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( Eq k a c bk t a c bk k k 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 4 � � � � � � � 2 1) )� b , ( ) ( ) ( ) ( * ( ) ( ) ( ) ( ) ( Eq k a c bk a c bk t k k 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 4 � � � � � � � 2 1) )� b çàäîâîëüíÿº îäíî÷àñíî íåð³âíîñòÿì E q E Eq Eq Eq S� �1 1 1 2 1 1( ) ( , ( ) )* � � òà E q E Eq Eq� �2 2 1 2( ) (( ) , ) � � Eq S2 2 . Óìîâè (23)–(25) òåîðåìè çàáåçïå÷óþòü íåâ³ä’ºìí³ñòü ð³âíîâàæíèõ (î÷³êóâàíèõ) îáñÿã³â âèïóñêó. Òåîðåìó äîâåäåíî. � Çàóâàæèìî, ùî îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äîáðå óçãîäæóþòüñÿ ç â³äîìèìè [1]. Ä³éñíî, ó âèïàäêó äåòåðì³íîâàíîñò³ ñòðàòåã³é îáîõ âèðîáíèê³â ôîðìó- ëè (26)–(27) íàáóâàþòü âèãëÿäó ( )q a ñ t b 1 2 3 � � � , ( )q a ñ t b 2 3 � � � , à äëÿ b �1 ìàºìî ( )q a ñ t 1 2 3 � � � , ( )q a ñ t 2 3 � � � . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2 161 Ïðèêëàä 3. Íåõàé âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè q1 òà q2 º íåçàëåæíèìè ³ ðîçïîä³ëå- íèìè çà ïîêàçíèêîâèì çàêîíîì ç³ çì³íþâàíèì ïàðàìåòðîì ðîçïîä³ëó � . Ç òåîðå- ìè 2 äëÿ c c c1 2� � , k k 1 1 1 1 2( ) ( )� � òà k k k k 2 1 2 2 3 1 3 2 0( ) ( ) ( ) ( )� � � � îòðèìóºìî ( ) ( )Eq a c t b 1 3 4 15 � � � , ( ) ( )*Eq a c t b 2 3 15 � � � . Çàïðîïîíîâàíèé ó ñòàòò³ éìîâ³ðí³ñíèé ï³äõ³ä äàº çìîãó ïîáóäóâàòè òà äîñë³äèòè òåîðåòèêî-³ãðîâ³ ìîäåë³ ì³æíàðîäíî¿ êîíêóðåíö³¿ âèðîáíèê³â ç âèïàäêî- âèìè ñòðàòåã³÷íèìè çì³ííèìè. Ïîáóäîâàí³ ìîäåë³ âðàõîâóþòü íåâèçíà÷åí³ñòü ï³ä ÷àñ ïðèéíÿòòÿ âèðîáíèêàìè ñòðàòåã³÷íèõ ð³øåíü ó ì³æíàðîäí³é òîðã³âë³ ³ á³ëüø ïðàâäèâî â³äîáðàæàþòü êîíêóðåíö³þ íà ðåàëüíèõ ðèíêàõ ïîð³âíÿíî ç êëàñè÷íèìè. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ôàõðåòäèíîâà Â.À. Òåîðåòèêî-èãðîâàÿ ìîäåëü çàäà÷è ìåæäóíàðîäíîé òîðãîâëè ïðè íåîïðåäåëåííîñ- òè. Âåñòíèê ÏñêîâÃÓ. Ñåðèÿ: Åñòåñòâåííûå è ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè. 2014. ¹ 5. Ñ. 173–176. 2. Cournot A. Researches into the mathematical principles of the theory of wealth. English edition of Cournot (1838) translated by N.T. Bacon. New York: A.M. Kelley, 1971. 213 p. 3. Nash J. Equilibrium points in N-person games. Proc. Nat. Academ. Sci. USA (Jan. 15, 1950). 1950. Vol. 36, N 1, P. 48–49. 4. Ôîí Íåéìàí Äæ., Ìîðãåíøòåðí Ý. Òåîðèÿ èãð è ýêîíîìè÷åñêîå ïîâåäåíèå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1970. 708 ñ. 5. Kosarevych K.V., Yelejko Ya.I. Game theoretic models of competition between producers with random product yields under duopoly of differentiated goods. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51, N 4. P. 609–618. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 11.04.2018 Å.Â. Êîñàðåâè÷, ß.È. Åëåéêî ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÍÛÉ ÏÎÄÕÎÄ Â ÇÀÄÀ×Å ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÎÉ ÊÎÍÊÓÐÅÍÖÈÈ ÏÐÎÈÇÂÎÄÈÒÅËÅÉ ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÛÌÈ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÌÈ Àííîòàöèÿ. Ïîñòðîåíû òåîðåòèêî-èãðîâûå ìîäåëè êîíêóðåíöèè ïðîèçâîäè- òåëåé íà ìåæäóíàðîäíîì ðûíêå îäíîðîäíîãî òîâàðà ïðè óñëîâèè, ÷òî ñòðà- òåãè÷åñêèå ïåðåìåííûå ïðîèçâîäèòåëåé ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Âûäåëåí êëàññ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûé ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ áåñêîàëèöèîííûõ èãð, îïèñûâàþùèõ ìåæäóíàðîä- íóþ òîðãîâëþ. Â ïîñòðîåííûõ ìîäåëÿõ óñòàíîâëåíû ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ «èñïðàâëåííîãî» ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîëè÷åñòâåííàÿ êîíêóðåíöèÿ, ñòðàòåãèÿ, çàäà÷à ìåæäóíàðîä- íîé òîðãîâëè, òåîðåòèêî-èãðîâàÿ ìîäåëü, «èñïðàâëåííîå» ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. K.V. Kosarevych, Ya.I. Yelejko PROBABILISTIC APPROACH IN THE PROBLEM OF INTERNATIONAL COMPETITION OF PRODUCERS WITH RANDOM VARIABLES Abstract. Game-theoretical models of producers’ competition in the international market of a homogeneous product are constructed provided that the strategic variables of the producers are random. A class of distributions of random variables that guarantees the existence of a solution to non-cooperative games describing international trade is distinguished. Explicit formulas for the “corrected” Nash equilibrium are established in the constructed models. Keywords: quantitative competition, strategy, problem of international trade, game-theoretical model, “corrected” Nash equilibrium. Êîñàðåâè÷ Êàòåðèíà Â³êòîð³âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Ëüâ³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà, e-mail: kosarevych_ktps@ukr.net ªëåéêî ßðîñëàâ ²âàíîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Ëüâ³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà, e-mail: yikts@yahoo.com 162 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 2

Ймовірнісний підхід у задачі міжнародної конкуренції виробників з випадковими змінними

Institution

Ähnliche Einträge