Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров
Предложена модель иммуносенсора, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке. Приведен результат условия локальной асимптотической стойкости эндемического состояния. Применен метод функционалов Ляпунова, сочетающий общий подход к их построению для модел...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181016 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров / В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, И.С. Гвоздецкая // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 119-132. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-181016 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1810162021-10-27T01:26:44Z Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Гвоздецкая И.С. Системний аналіз Предложена модель иммуносенсора, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке. Приведен результат условия локальной асимптотической стойкости эндемического состояния. Применен метод функционалов Ляпунова, сочетающий общий подход к их построению для моделей хищник жертва c использованием дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке. Численным примером показано их влияние на устойчивость величины запаздывания, а именно переход от устойчивого фокуса через бифуркацию Хопфа к предельному циклу. Запропоновано модель імуносенсора, яка ґрунтується на системі диференціальних рівнянь із запізненням на гексагональній решітці. Наведено результат умови локальної асимптотичної стійкості ендемічного стану. Використано метод функціоналів Ляпунова, який поєднує загальний підхід до побудови функціоналів Ляпунова моделей хижак жертва з використанням диференціальних рівнянь із запізненням на гексагональній решітці. Чисельний приклад показав вплив на стійкість величини запізнення, а саме, перехід від стійкого фокуса через біфуркацію Хопфа до граничного циклу. A model of immunosensor is proposed, which is based on the system of differential equations with time delay on a hexagonal lattice. The main result is conditions of local asymptotic stability of endemic state. To this end, the method of Lyapunov functionals is used. It combines the general approach to construction of Lyapunov functionals for the predator-prey models and differential equations with time delay on a hexagonal lattice. A numerical example shows the influence of time delay on stability, namely, we have transition from stable focus to the limit cycle through the Hopf bifurcation. 2019 Article Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров / В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, И.С. Гвоздецкая // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 119-132. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181016 602.1:519.85:53.082.9:616-07 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Гвоздецкая И.С. Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров Кибернетика и системный анализ |
| description |
Предложена модель иммуносенсора, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке. Приведен результат условия локальной асимптотической стойкости эндемического состояния. Применен метод функционалов Ляпунова, сочетающий общий подход к их построению для моделей хищник жертва c использованием дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке. Численным примером показано их влияние на устойчивость величины запаздывания, а именно переход от устойчивого фокуса через бифуркацию Хопфа к предельному циклу. |
| format |
Article |
| author |
Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Гвоздецкая И.С. |
| author_facet |
Марценюк, В.П. Сверстюк, А.С. Гвоздецкая И.С. |
| author_sort |
Марценюк, В.П. |
| title |
Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров |
| title_short |
Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров |
| title_full |
Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров |
| title_fullStr |
Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров |
| title_full_unstemmed |
Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров |
| title_sort |
использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181016 |
| citation_txt |
Использование дифференциальных уравнений с запаздыванием на гексагональной решетке для моделирования иммуносенсоров / В.П. Марценюк, А.С. Сверстюк, И.С. Гвоздецкая // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 56, № 4. — С. 119-132. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT marcenûkvp ispolʹzovaniedifferencialʹnyhuravnenijszapazdyvaniemnageksagonalʹnojrešetkedlâmodelirovaniâimmunosensorov AT sverstûkas ispolʹzovaniedifferencialʹnyhuravnenijszapazdyvaniemnageksagonalʹnojrešetkedlâmodelirovaniâimmunosensorov AT gvozdeckaâis ispolʹzovaniedifferencialʹnyhuravnenijszapazdyvaniemnageksagonalʹnojrešetkedlâmodelirovaniâimmunosensorov |
| first_indexed |
2025-07-15T21:32:06Z |
| last_indexed |
2025-07-15T21:32:06Z |
| _version_ |
1837750164427636736 |
| fulltext |
ÓÄÊ 602.1:519.85:53.082.9:616-07
Â.Ï. ÌÀÐÖÅÍÞÊ, À.Ñ. ÑÂÅÐÑÒÞÊ, È.Ñ. ÃÂÎÇÄÅÖÊÀß
ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ ÍÀ ÃÅÊÑÀÃÎÍÀËÜÍÎÉ ÐÅØÅÒÊÅ
ÄËß ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÈÌÌÓÍÎÑÅÍÑÎÐÎÂ
Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåíà ìîäåëü èììóíîñåíñîðà, îñíîâàííàÿ íà ñèñòåìå
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì íà ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêå.
Ïðèâåäåí ðåçóëüòàò — óñëîâèÿ ëîêàëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé ñòîéêîñòè ýíäå-
ìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ. Ïðèìåíåí ìåòîä ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà, ñî÷åòàþ-
ùèé îáùèé ïîäõîä ê èõ ïîñòðîåíèþ äëÿ ìîäåëåé õèùíèê–æåðòâà c èñïîëü-
çîâàíèåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì íà ãåêñàãîíàëüíîé
ðåøåòêå. ×èñëåííûì ïðèìåðîì ïîêàçàíî èõ âëèÿíèå íà óñòîé÷èâîñòü âåëè-
÷èíû çàïàçäûâàíèÿ, à èìåííî ïåðåõîä îò óñòîé÷èâîãî ôîêóñà ÷åðåç áèôóð-
êàöèþ Õîïôà ê ïðåäåëüíîìó öèêëó.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: áèîñåíñîð, èììóíîñåíñîð, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
íà ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêå, äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì,
àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü, ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ïîñëåäíèå äâà äåñÿòèëåòèÿ ïîâûøàåòñÿ èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèÿì â îáëàñòè
áèîñåíñîðîâ. Ýòî ñâÿçàíî, ïðåæäå âñåãî, ñ èõ ñïåöèôè÷íîñòüþ è âûñîêîé ÷óâ-
ñòâèòåëüíîñòüþ, êîòîðàÿ äîñòèãàåòñÿ âñëåäñòâèå èñïîëüçîâàíèÿ áèîëîãè÷åñêèõ
ìîëåêóë è ñèñòåì.
Áèîñåíñîðû — ýòî àíàëèòè÷åñêèå ïðèáîðû, ñîäåðæàùèå áèîëîãè÷åñêèé ÷ó-
âñòâèòåëüíûé ýëåìåíò (ôåðìåíò, àíòèòåëî, ÄÍÊ, êëåòî÷íûå îðãàíåëëû, êëåòêè),
êîòîðûé ñîåäèíåí ñ ïðåîáðàçîâàòåëåì (ýëåêòðîõèìè÷åñêèì, îïòè÷åñêèì, êàëîðè-
ìåòðè÷åñêèì, àêóñòè÷åñêèì).
Ñ ïîìîùüþ áèîñåíñîðîâ äîñòèãàåòñÿ âûñîêàÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòü, ñåëåêòèâ-
íîñòü, òî÷íîñòü, îíè ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü áûñòðûå è ïðîñòûå èçìåðåíèÿ [1].
Áèîñåíñîðû ýôôåêòèâíû è øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â îáîðîííîé è ïèùåâîé ïðî-
ìûøëåííîñòÿõ, â ñôåðå çàùèòû îêðóæàþùåé ñðåäû, íî ÷àùå âñåãî — â ìåäèöè-
íå [2] êàê èíñòðóìåíò äëÿ äèàãíîñòèêè, ðàííåãî âûÿâëåíèÿ âåùåñòâ, âûçûâàþ-
ùèõ ñåðäå÷íûå çàáîëåâàíèÿ, äëÿ áûñòðîãî îáíàðóæåíèÿ âèðóñà ïàïèëëîìû ÷åëî-
âåêà è äð. Ïîýòîìó áèîñåíñîðû èíòåíñèâíî èññëåäóþòñÿ, ÷òî ñòèìóëèðóåò
èíòåðåñ ê íèì ó÷åíûõ [3–5].
Ñåìåéñòâî áèîñåíñîðîâ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû. Ïåðâàÿ — ñëîé ðå-
öåïòîðîâ (ýíçèì, ïðîòåèí, ïîðôåðèí, àíòèãåí èëè àíòèòåëî) ê áèîëîãè÷åñêîìó
ìàòåðèàëó, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â åãî ïîñòðîåíèè; âòîðàÿ — ñëîé ïðîâîäíèêà,
ãäå áèîëîãè÷åñêèé ýôôåêò ïðåâðàùàåòñÿ â èçìåðèòåëüíûé ñèãíàë (ýëåêòðîõèìè-
÷åñêèé, èìïåäàíñíûé, àìïåðîìåòðè÷åñêèé, îïòè÷åñêèé è äð.).
Ñðåäè áîëüøîãî ñåìåéñòâà áèîñåíñîðîâ òèïè÷íûìè ÿâëÿþòñÿ èììóíîñåíñî-
ðû, ñîäåðæàùèå ñëîé ÷óâñòâèòåëüíîãî è ñåëåêòèâíîãî ðåöåïòîðîâ, à òàêæå èì-
ìîáèëèçèðîâàííûé áèîëîãè÷åñêèé ýëåìåíò, íàïðèìåð àíòèòåëî, àíòèãåí èëè
õàïòåí — èììóíîëîãè÷åñêèå ðåöåïòîðû äëÿ èññëåäóåìûõ ìîëåêóë.  èììóíñîðå
(èììóíîñåíñîðå) ïðîèñõîäèò ðåàêöèÿ, îñíîâàííàÿ íà âçàèìîäåéñòâèè ìåæäó àí-
òèòåëîì è àíòèãåíîì èëè ìàëåíüêèìè ìîëåêóëàìè õàïòåíàìè. Àíòèòåëà ÷àñòî
íàçûâàþò èììóíîãëîáóëèíàìè, ïîòîìó ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ïðîòåèíàìè,
ñâÿçàííûìè ñ èììóííîé ñèñòåìîé.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 119
© Â.Ï. Ìàðöåíþê, À.Ñ. Ñâåðñòþê, È.Ñ. Ãâîçäåöêàÿ, 2019
Èììóíîãëîáóëèíû èñïîëüçóþòñÿ èììóííîé ñèñòåìîé äëÿ èäåíòèôèêàöèè è
íåéòðàëèçàöèè èíîðîäíûõ îáúåêòîâ. Îíè èìåþò ñâîéñòâà ñâÿçûâàíèÿ àíòèãåíîâ.
Àíòèòåëà è àíòèãåíû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ â ñëîå ðåöåïòîðà â áèîñåíñîðàõ.
 ÷àñòíîñòè, âî âðåìÿ ïðîöåññà èììîáèëèçàöèè àíòèãåíîâ ñâîéñòâà àíòèòåë èñ-
ïîëüçóþòñÿ â êîíñòðóêöèè ñëîÿ ðåöåïòîðà, â êîòîðîì àíòèòåëà âûïîëíÿþò ôóíê-
öèþ àíàëèòîâ [6].
Ìîëåêóëû, ïðèíèìàþùèå ó÷àñòèå â äåòåêöèè, îáåñïå÷èâàþò ñâÿçûâàíèå àíòè-
òåë ñ àíòèãåíàìè, îáðàçóÿ ñëîæíûå êîíñòðóêöèè. Ïðè ýòîì ìåæäó àíòèãåíàìè è àí-
òèòåëàìè îáðàçóþòñÿ î÷åíü ñèëüíûå ñâÿçè ñ êîíñòàíòîé Kñ � �� �10 1012 14 [7] .
Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èì-
ìóíîñåíñîðà â êëàññå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì íà ãåêñà-
ãîíàëüíîé ðåøåòêå è ïîëó÷åíèå óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè åå ýíäåìè÷åñêîãî
ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
1. ÐÅØÅÒ×ÀÒÀß ÌÎÄÅËÜ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß ÀÍÒÈÃÅÍ–ÀÍÒÈÒÅËÎ
ÄËß ÃÅÊÑÀÃÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÌÀÑÑÈÂÀ ÁÈÎÏÈÊÑÅËÅÉ
Ðàññìîòðèì ìîäåëü áèîñåíñîðà íà îñíîâå ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêè. Ïðè ýòîì
äëÿ íóìåðàöèè áèîïèêñåëåé ( , , )i j k , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0, èñïîëüçóåòñÿ
êóáè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò [8].
Ïóñòü V ti j k, , ( ) — êîíöåíòðà-
öèÿ àíòèãåíîâ, F ti j k, , ( ) — êîíöåí-
òðàöèÿ àíòèòåë â áèîïèêñåëå
( , , )i j k , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0.
Ìîäåëü îñíîâàíà íà ñëåäóþ-
ùèõ áèîëîãè÷åñêèõ ïðåäïîëîæå-
íèÿõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî áèîïèêñå-
ëÿ ( , , )i j k :
— èìååòñÿ íåêîòîðàÿ êîí-
ñòàíòà ðîæäàåìîñòè � � 0 äëÿ ïî-
ïóëÿöèè àíòèãåíîâ;
— àíòèãåíû íåéòðàëèçèðó-
þòñÿ àíòèòåëàìè ñ íåêîòîðîé âå-
ðîÿòíîñòíîé ñêîðîñòüþ � � 0;
— ïîïóëÿöèÿ àíòèãåíîâ ñòðå-
ìèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó íàñû-
ùåíèÿ ñî ñêîðîñòüþ �� � 0;
— èìååòñÿ íåêîòîðàÿ äèôôóçèÿ àíòèãåíîâ øåñòè ñîñåäíèõ ïèêñåëåé:
( , , )i j k� �1 1 , ( , , )i j k� �1 1 , ( , , )i j k� �1 1 , ( , , )i j k� �1 1 , ( , , )i j k� �1 1 , ( , , )i j k� �1 1
(ðèñ. 1), ñî ñêîðîñòüþ äèôôóçèè D��2 , ãäå D � 0, à � � 0 — ðàññòîÿíèå ìåæäó
ïèêñåëÿìè. Ãåêñàãîíàëüíàÿ ðåøåòêà, ñâÿçûâàþùàÿ ýòè ïèêñåëè, èìååò òàêèå
êóáè÷åñêèå êîîðäèíàòû (ñì. ðèñ. 1):
1, 3, 5, 8, 9, 11 —
D
V ti j k
�2 , , ( )
�
�
�
�� ; 2 —
D
V ti j k
�2 1 1� �
�
�
�
��, , ( ) ;
4 —
D
V ti j k
�2 1 1� �
�
�
�
��, , ( ) ; 6 —
D
V ti j k
�2 1 1, , ( )� �
�
�
�
�� ;
7 —
D
V ti j k
�2 1 1� �
�
�
�
��, , ( ) ; 10 —
D
V ti j k
�2 1 1� �
�
�
�
��, , ( ) ; 12 —
D
V ti j k
�2 1 1, , ( )� �
�
�
�
�� ;
120 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
(i, j � 1, k � 1) (i � 1, j, k � 1)
(i � 1, j � 1, k) (i, j, k) (i � 1, j � 1, k)
(i � 1, j, k � 1) (i, j � 1, k � 1)
1
2
3
4
6
5
7
8
10
9
12
11
Ðèñ. 1. Ãåêñàãîíàëüíàÿ ðåøåòêà, ñâÿçûâàþùàÿ øåñòü
ñîñåäíèõ ïèêñåëåé â ìîäåëè
— èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ ñìåðòíîñòè àíòèòåë � f � 0;
— â ðåçóëüòàòå èììóííîãî îòâåòà óâåëè÷èâàåòñÿ ïëîòíîñòü àíòèòåë ñ âåðî-
ÿòíîñòíîé ñêîðîñòüþ �� ;
— ïîïóëÿöèÿ àíòèòåë ñòðåìèòñÿ ê íåêîòîðîìó óðîâíþ íàñûùåíèÿ ñî ñêî-
ðîñòüþ � f � 0;
— èììóííûé îòâåò ïðèõîäèò ñ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé çàäåðæêîé âî âðåìå-
íè �� 0.
Èñõîäÿ èç ýòîãî, ðàññìîòðèì ïðîñòóþ êîíñòðóêöèþ ìîäåëè àíòèãåí–àíòèòåëî ñ
çàïàçäûâàíèåì äëÿ ãåêñàãîíàëüíîãî ìàññèâà áèîïèêñåëåé, îñíîâàííóþ íà èçâåñòíîé
ìîäåëè Ìàð÷óêà [9–11] è èñïîëüçóþùóþ ïðîñòðàíñòâåííûé îïåðàòîð �S [12]:
dV t
dt
F t V t V
i j k
i j k i j k i j k
, ,
, , , , , ,
( )
( ( ) ( )) (� � � � �� � � � �� t S Vi j k) �
, ,� { },
(1)
dF t
dt
V t F t F
i j k
f i j k f i j k i j k
, ,
, , , , , ,
( )
( ( ) ( ))� � � � �� �� � � ( )t .
Ìîäåëü (1) çàäàíà íà÷àëüíûìè ôóíêöèÿìè:
V t V t F t F t ti j k i j k i j k i j k, , , , , , , ,
( ) ( ) , ( ) ( ) , [�
�
� �0 00 0 �, )0 ,
(2)
V Fi j k i j k, , , ,( ), ( )0 0 0� .
Äëÿ ãåêñàãîíàëüíîãî ìàññèâà èñïîëüçóåòñÿ òàêàÿ äèñêðåòíàÿ äèôôóçèÿ äëÿ
ïðîñòðàíñòâåííîãî îïåðàòîðà:
� [, , , , , , , ,S V D V V V Vi j k i j k i j k i j k{ } � � � ��
� � � � � �� 2
1 1 1 1 1 1 i j k i j kV� � � �� �1 1 1 1, , , ,
� � � � � � � � �� �V nV i j k N N i j ki j k i j k, , , , ], , , , ,1 1 6 1 1 0. (3)
Êàæäûé ïèêñåëü ïîäâåðãàåòñÿ âëèÿíèþ àíòèãåíîâ èç øåñòè ñîñåäíèõ ïèêñå-
ëåé, ðàçäåëåííûõ ðàâíûìè ðàññòîÿíèÿìè � .
Èñïîëüçóåì ãðàíè÷íîå óñëîâèå Vi j k, , � 0 äëÿ ïèêñåëåé ( , , )i j k òàêèõ, ÷òî
i N N j N N k N N� � � � � � � �{ } { } { }, , , è i j k� � � 0.
Îïðåäåëèì ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî C ñèñòåìû (1)–(3) êàê áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé �:[ , ] ( )� � � �0 2 6 1R N N ñ íîðìîé | | sup | ( ) |
[ , ]
�
�
�
� �t
t
0
.
Ïóñòü
C V F C Vi j k i j k i j k N N
i j k
i j k� ��
� � �
� � �{ { } ( , ) :, , , , , , , , , ,
0
, ( , , , , ), ,F i j k N N i j ki j k � � � � � 0
ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè è îãðàíè÷åííûìè íà [ , ]� � 0 ,
Vi j k, , ( )0 0� , Fi j k, , ( )0 0� }.
Ñîãëàñíî áèîëîãè÷åñêîìó îáîñíîâàíèþ ñèñòåìû (1)–(3) íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
ðåøåíèé óäîâëåòâîðÿþò { }( , )
, , , , , , , ,
V F C
i j k i j k i j k N N
i j k
0 0
0
��
� � �
�� .
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèîíàë â ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû (1) íåïðåðûâíûé
è óäîâëåòâîðÿåò ëîêàëüíîìó óñëîâèþ Ëèïøèöà îòíîñèòåëüíî
{ }( ( ), ( )), , , , , , , ,
V t F ti j k i j k i j k N N
i j k
��
� � �0
â ïðîñòðàíñòâå C . Òàêèì îáðàçîì, èç òåîðèè
ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîíå÷íûì çàïàçäûâàíèåì [13]
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 121
ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � �
��
� � �
�{ }( , )
, , , , , , , ,
V F C
i j k i j k i j k N N
i j k
0 0
0
ñèñòåìà (1) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå { }( ( ), ( )), , , , , , , ,
V t F ti j k i j k i j k N N
i j k
��
� � �0
, óäîâëåòâîðÿþùåå íà-
÷àëüíîìó óñëîâèþ (2). Òàêæå ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êîãäà � �C , òî ðåøåíèå ïî-
ëîæèòåëüíîå, ò.å., V ti j k, , ( , ) � 0, F ti j k, , ( , ) � 0, i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0, íà
èíòåðâàëå ñóùåñòâîâàíèÿ.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (1) ïîêàçàëè, ÷òî êà÷åñòâåííîå ïîâå-
äåíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ãëàâíûì îáðàçîì âðåìåíåì èììóííîãî îòâåòà �
(èëè âðåìåíåì çàïàçäûâàíèÿ) è ñêîðîñòüþ äèôôóçèè D��2 .
2. ÇÀÄÀ×À ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ Â ÈÌÌÓÍÎÑÅÍÑÎÐÀÕ
2.1. Ïîñòîÿííûå ñîñòîÿíèÿ. Ïîñòîÿííûå ñîñòîÿíèÿ ìîäåëè (1) íàõîäÿòñÿ íà
ïåðåñå÷åíèè íîëüêëèí dV t dti j k, , ( ) / � 0 è dF t dti j k, , ( ) / � 0, i j k N N, , ,� � ,
i j k� � � 0 .
Ïîñòîÿííûå ñîñòîÿíèÿ, ñâîáîäíûå îò àíòèãåíîâ. Åñëè V ti j k, , ( ) � 0, òî
ðàâíîâåñèå, ñâîáîäíîå îò àíòèãåíîâ, èìååò ìåñòî â òî÷êå
i j k, ,
( , )0 0 0� èëè
� �
i j k f f, ,
( , / )0 0� � , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 . Ïîñëåäíåå ðåøåíèå íå èìååò
áèîëîãè÷åñêîãî ñìûñëà è íå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ íà-
÷àëüíûõ óñëîâèé (2).
Ðàññìàòðèâàÿ ýíäåìè÷åñêîå ïîñòîÿííîå ñîñòîÿíèå
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� ,
i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 , äëÿ (1), ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
( ) �
, , , , , , , ,� � �� � � �� � � �F V V S Vi j k i j k i j k i j k�
{ } 0,
( ), , , , , ,� � � �� � �� �� �f i j k f i j k i j kV F F 0 , (4)
i j k N N i j k, , , ,� � � � � 0 .
Îïðåäåëèòü ( , ), , , ,V Fi j k i j k
� � ïî ôîðìóëå (4) ìîæíî â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ðå-
øåò÷àòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî Vi j k, ,
� , èñïîëüçîâàâ âçàèìîñâÿçü
F
V
i j k
f i j k
f
, ,
, ,�
�
�
� �� ��
�
.
Òàêèì îáðàçîì, ðàçëè÷àþòñÿ äâà ñëó÷àÿ.
Èäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå äëÿ âñåõ ïèêñåëåé. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå (4) V Vi j k, ,
� �� , F Fi j k, ,
� �� , i j k N N, , ,� � , �
, ,S Vi j k{ }� � 0.
Òîãäà
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 , ìîæíî âû÷èñëèòü êàê
V
f f
f
� �
�
�
�� ��
� � ���
2
, F
f
f
� �
� �
�
� � ���
� � ��
�
�
2
(5)
ïðè óñëîâèè, ÷òî � � �� �� f � � 0.
Íåèäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå äëÿ ïèêñåëåé.  îáùåì ñëó÷àå
èìååì ýíäåìè÷åñêîå ïîñòîÿííîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò (5). ×èñëåííî
ïîêàçàíî, ÷òî îíî ïîÿâëÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå äèôôóçèè ìåæäó ïèêñåëÿìè D / �2 .
Åñëè äèôôóçèÿ íå ïðîèñõîäèò, ò.å. D � 0, òî ñóùåñòâóåò òîëüêî èäåíòè÷íîå
ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå äëÿ ïèêñåëåé âíóòðåííåãî ñëîÿ.  ñëó÷àå íàëè÷èÿ äèô-
122 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
ôóçèè, ò.å. D � 0, íåèäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñòðåìèòñÿ ê èäåíòè÷íî-
ìó (5) âî âíóòðåííèõ ïèêñåëÿõ, ÷òî ìîæíî íàáëþäàòü ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðî-
âàíèè. Ýòî õîðîøî âèäíî ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà ïèêñåëåé.
2.2. Áàçîâûå ÷èñëà ðåïðîäóêöèè. Ââåäåì ïîíÿòèå áàçîâîãî ÷èñëà ðåïðî-
äóêöèè äëÿ êîëîíèè àíòèãåíà, êîòîðàÿ ðàñïîëàãàåòñÿ â ïèêñåëå ( , , )i j k .
Ïðè ðàññìîòðåíèè ýïèäåìè÷åñêèõ ìîäåëåé áàçîâîå ÷èñëî ðåïðîäóêöèè R0
îïðåäåëÿåòñÿ êàê îæèäàåìîå êîëè÷åñòâî ïîâòîðíûõ ñëó÷àåâ èíôèöèðîâàíèÿ â ïîë-
íîñòüþ óÿçâèìîé ïîïóëÿöèè. Îòìåòèì, ÷òî R0 ÿâëÿåòñÿ áåçðàçìåðíûì ÷èñëîì. Êîã-
äà ýòî îïðåäåëåíèå ïðèìåíÿåòñÿ ê ïèêñåëþ, îïèñàííîìó óðàâíåíèåì (1), ïîëó÷àåòñÿ
áàçîâîå ÷èñëî ðåïðîäóêöèè R T c di j k i j k i j k i j k0, , , , , , , , ,� , ãäå Ti j k, , — âåðîÿòíîñòü
ñâÿçûâàíèÿ àíòèãåíà àíòèòåëîì, ci j k, , — ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü êîíòàêòèðîâàíèÿ ìåæäó
àíòèãåíàìè è àíòèòåëàìè, di j k, , — äëèòåëüíîñòü ñâÿçûâàíèÿ àíòèãåíà àíòèòåëîì äî
ìîìåíòà äåàêòèâàöèè. Ê ñîæàëåíèþ, ðåøåò÷àòàÿ ñèñòåìà (1) íå âêëþ÷àåò âñåõ ïàðà-
ìåòðîâ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü áàçîâûå ÷èñëà ðåïðîäóêöèè â ÿâíîì âèäå. Ïî-
ýòîìó âíà÷àëå ðàññìîòðèì ïèêñåëü ( , , )i j k� � � áåç äèôôóçèè, ò.å. �
, ,
S V
i j k
{ }� � � � 0 .
 ýòîì ñëó÷àå èìååì òàêèå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ (1):
�
�i j k
V
� � �
� �
�
�
�
��, ,
( , ): ,0 0 0 0
�
,
i j k
V F� � �
� � ��
, ,
( , ) .
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïîäõîäîì, ïðåäëîæåííûì â [14, 15], äëÿ ìîäåëè ñ çàïàçäû-
âàíèåì ââîäèòñÿ áàçîâîå ÷èñëî ðåïðîäóêöèè äëÿ ïèêñåëÿ áåç äèôôóçèè, êîòîðîå
çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
R
V
V V
i j k
f
f f
0
0 2
, , ,
:
( )
( )
� � � � � �
�
�� �
�
�
� �� � �
� �� ��
�
�
�
.
Åãî áèîëîãè÷åñêèé ñìûñë ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî ñðåäíåå ÷èñëî ñâÿçûâàíèé
àíòèãåíîâ è àíòèòåë, ïðîâåäåííûõ âçðîñëûì àíòèòåëîì, êîãäà îíî ââîäèëîñü
â ñðåäó ñ àíòèãåíàìè, ïîïóëÿöèÿ êîòîðûõ íàõîäèëàñü íà ïðåäåëå íàñûùåíèÿ.
 ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé òåîðèåé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå R i j k0 1, , ,� � � �
äîñòàòî÷íîå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýíäåìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Åñòåñò-
âåííî, ìîæíî ðàñøèðèòü ýòî îïðåäåëåíèå áàçîâîãî ÷èñëà ðåïðîäóêöèè äëÿ îá-
ùåãî ñëó÷àÿ ðåøåò÷àñòîé ñèñòåìû (1), ò.å. êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôôóçèÿ. Òîã-
äà ðåøåòêà áàçîâûõ ÷èñåë ðåïðîäóêöèè R i j k0, , , , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0, îïðå-
äåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
R
V
V
i j k N N i j ki j k
i j k
i j k
0
0
0, , ,
, ,
, ,
: , , , , ,� � � � � �
�
,
ãäå V
i j k, ,
0 , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0, — íåèäåíòè÷íûå ïîñòîÿííûå ñîñòîÿíèÿ,
êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû
( ) � , , , , ,
, , , , , ,
� �� � � � � � �
�
V V S V i j k N N i j
i j k i j k i j k
0 0 0 0{ } k � 0 .
Ýíäåìè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 ,
íàõîäÿòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì (4). Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ R i j k0 1, , , � ,
i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0, äîñòàòî÷íûå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýíäåìè÷åñêîãî ñîñòîÿ-
íèÿ
i j k, ,
� è áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ôîðìóëèðîâêå óñëîâèé åãî ëîêàëüíîé àñèì-
ïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè [16].
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 123
2.3. Ëîêàëüíàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü. Ðàññìîòðèì ëîêàëüíóþ
àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ïîëîæèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 .
Ëèíåàðèçèðóÿ ñèñòåìó (1) â ýòîé òî÷êå
i j k, ,
� , ïîëó÷àåì äëÿ � i j k t, , ( ) �
� � �V t Vi j k i j k, , , ,( ) è f t F t Fi j k i j k i j k, , , , , ,( ) ( )� � � òàêèå ñîîòíîøåíèÿ:
d t
dt
S V
V
k i j k D n
i j k i j k
i j k
� , , , ,
*
, ,
*
( ) �
( , , )� � �
�
�
{ }
�2
�
�
�
� � �
�
�
�
� � � �
�
i j k i j k i j k
i j k i j k
t V t
V f
, , , , , ,
, , , ,
( ) ( )
(
�
t S i j k t i j k N N i j k
df t
dt
i j k
� � � � � � �
�
�) �� ( , , , ), , , , , ,
( ), ,
0
�� � � �F t F f ti j k f i j k i j k
*
, , , , , ,( ) ( ).� �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
Çäåñü �� ( , , , ) � ( ) ( ), , , ,S i j k t S t D ti j k i j k� � �{ }� �6 2� . Çàìåòèì, ÷òî ëîêàëüíàÿ ðàâíî-
ìåðíàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ýíäåìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 , ñèñòåìû (4) âûòåêàåò èç íó-
ëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû.
Òåîðåìà 1. Ïðåäïîëîæèì ñëåäóþùåå:
— áàçîâûå ÷èñëà ðåïðîäóêöèè óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
R i j k0 1, , , � , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0 ;
— èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà
�
�
1
0
1
1
2�
�
�
�
�
� �
��
� � �
�
max ( ( , , )
, , , , , ,i j k N N
i j k
i j kV
K i j k 6 1( ), , , ,� � �� �� � � �
�
V Vi j k i j k
� � �� �2 1 1� � � � � �
� �
V K i j k V K i j k Vi j k i j k i j, , , , , ,( , , ) ( , , ) ( k i j kV� �� � �) ), ,
2 1� � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �1
2 02 2
��
�� � �� � �
F
F F
i j k
i j k i j k f
, ,
, , , ,( ( ) ( ) ) ,
�
�
�2
0
1
1
�
�
�
�
���
� � �
�
�max ( (
, , , , , ,
, ,
i j k N N
i j k
i j k
i j k
V
V K i, , ) ( ) ( ), , , ,j k V Vi j k i j k� � � � � �� � �� �
�
2 22
� � � ��
�
� �� �
��
� �� � �V
F
F Fi j k
i j k
f i j k i j k f, ,
, ,
, , , ,) ( ( )
1
2 2 )
�
�
�
�
� 0 .
Çäåñü K i j k
S V
V
D V
i j k
i j k
i j k1
26( , , ) :
�
, ,
, ,
, ,� � �
�
�
� �{ }
� �
�
. Òîãäà ïîëîæèòåëüíîå ñîñòîÿ-
íèå ðàâíîâåñèÿ
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0, ñèñòåìû (1)
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì.
124 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî áûçîâûõ ÷èñåë ðåïðîäóê-
öèè ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ýíäåìè÷åñêîãî ïîñòîÿííîãî ñîñòîÿíèÿ
i j k i j k i j kV F, ,
*
, ,
*
, ,
*( , )� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0.
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äëÿ ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
d
dt
t V s ds Vi j k i j k i j k i j k
t
t
t
� � � �
��
, , , , , , , ,( ) ( )� �� �
��
��
t
i j kf s ds�
�
�
�
�
�
�
�
�
�, , ( )
� � � ��K i j k t V f t S i j k ti j k i j k i j k1 ( , , ) ( ) ( ) �� ( , , ,, , , , , ,� � ) ,
d
dt
f t F s ds Fi j k i j k
t
t
i j k, , , , , ,( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��� � ��
�
i j k i j k f i j k i j kt F f t, , , , , , , ,( ) ( )� ��� � .
Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà
W t t V s ds Vi j k i j k i j k i j k i j, , , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )1 1 � � ��� � � �
� , , , ( )k
t
t
i j k
t
t
f s ds�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2
.
Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ W ti j k, , , , ( )1 1 âäîëü ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû, èìååì
dW t
dt
t V s
i j k
i j k i j k
t
t
i j k
, , , ,
, , , ,
*
, ,
( )
( ) (
1 1
2� �
�
�� � �
�
�
) ( ), , , ,ds V f s dsi j k
t
t
i j k�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
� � � ��[ ( , , ) ( ) ( ) �� ( , , ,, , , , , ,K i j k t V f t S i j ki j k i j k i j k1 � � t)].
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî 2 2 2ab a b � , ïîëó÷àåì
dW t
dt
K i j k t V
i j k
i j k i j k i
, , , ,
, , , ,
( )
( , , ) ( )
1 1
1
22 2 � � �� � � , , , ,( ) ( )j k i j kt f t �
� ��
�
�2 21� � � �
�
�
V K i j k s t ds Vi j k
t
t
i j k i j k i, , , , , ,( , , ) ( ) ( ) , , , , , ,( , , ) ( ) ( )j k
t
t
i j k i j kK i j k f s t ds�
�
� �1
�
�
� ��
�
�2 22 2� � � �
�
�
( ) ( ) ( ) (, , , , , , , ,V s f t ds Vi j k
t
t
i j k i j k i j k
t
t
i j k i j kf s f t ds�
�
� �) ( ) ( ), , , ,
2
�
� � �
�
�2 2� � �
�
i j k i j k
t
t
i j ks S i j t V s S, , , , , ,( ) �� , , ( ) ��{ } {
�
i j k t ds, , , } �
� ��
�
�2 2 1�
�
V f s S i j k t ds K i j ki j k
t
t
i j k, , , , ( ) �� , , , ( , , ){ } �
i j k
t
, ,
( )2 �
� �� �2 1� � � ��V t f t V K i j ki j k i j k i j k i j k i, , , , , , , ,( ) ( ) ( , , )
� , , , ,
( ) ( )
j k
t
t
i j k
t s ds2 2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�� ��
�
V K i j k t f s dsi j k i j k
t
t
i j k, , , , , ,( , , ) ( ) ( )1
2 2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�� � � �
�
�
( ) ( ) ( ), , , , , ,V f t s dsi j k i j k
t
t
i j k
2 2 2�
�
�
�
�
�
�
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 125
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
2 2 2 2( ) ( ) ( ), , , , , ,
V f t f s dsi j k i j k
t
t
i j k
� � ��
i j k
t S i j k t
, ,
( ) ��
�
, , ,2 { }
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
�
�
V S i j k t s dsi j k
t
t
i j k, , , ,
��
�
, , , ( ){ } 2 � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
V S i j k t f s dsi j k
t
t
i j k, , , ,
��
�
, , , ( ){ } 2 .
Çäåñü
��
�
, , , : [ ( ) ( ), , , ,S i j k t D t ti j k i j k i{ } � � ��
� � �� 2
1
2
1
2
1� � � , , , , , ,( ) ( ) ( )j k i j k i j kt t t2
1
2
1
2� � �� �� �
� �� i j k t, , ( )]1
2 .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ W t W t W ti j k i j k i j k, , , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )1 1 1 1 2� � , ãäå
W t V K i j k Vi j k i j k i j k, , , , , , , ,( ) ( ( , , ) ( )1 2 1
2� � �� �� � � �
� � �
V d dsi j k
t
t
i j k
t
t
, , , ,
) ( )�
��
�� �
��
� � �2
� � �� � �
�
�( ( , , ) ( ) ), , , , , , ,
� � �
�
V K i j k V V fi j k i j k i j k
t
t
i1
2 2
j k
t
t
d ds
,
( )2
�
�
�
� � . (6)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
dW t
dt
K i j k V K i j k
i j k
i j k
, , ,
, ,
( )
( ( , , ) ( , , )
1
1 12 2 � � ��� � �
�
V K i j ki j k, ,
* ( , , )1 ��
� � � �� � �� � � � � � � �
� �
( ) ), , , , , , , , ,V V Vi j k i j k i j k i j k i j
2 21 2 , , ,( ) ( )k i j kt f t �
� � � �� � �( ( ) ( ), , , , , , , ,� � � � � � � �V K V V Vi j k i j k i j k i j1
2 2 22
� k i j k
f� ��)
, ,
2
� � � �� � �( ) ��
�
, , ,, , , , , ,1 � � � � � �
�
V V V S i j k ti j k i j k i j k { }.
(7)
Èñõîäÿ èç âèäà âòîðîãî óðàâíåíèÿ ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû, îïðåäåëÿåì
W t f t F s dsi j k i j k i j k
t
t
i j k, , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )2 1 � �
�
�
�
��� �
��
�
�
�
�
�
�
2
.
Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ W ti j k, , , , ( )2 1 , ïîëó÷àåì
dW t
dt
f t F s
i j k
i j k i j k
t
t
i j k
, , , ,
, , , , , ,
( )
( ) (
2 1
2� � �
�
��� �
�
) [ ( ) ( )], , , , , , , ,
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ��� � �F t F f ti j k i j k f i j k i j k
� �� �2 2 22�� � �F f t F f ti j k i j k i j k f i j k i j k, , , , , , , , , ,
( ) ( ) (�� � �
�
F s t dsi j k
t
t
i j k i j k, , , , , ,) ( ) ( )�
�
� �2
� �
�
�2 22�� � � ��
�
( ) ( ) ( ), , , , , , , ,F s f t ds Fi j k f
t
t
i j k i j k i j k i j k i j k f i j k i j kf t F f t� �� �� �, , , , , , , ,( ) ( )2 2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ) ( ) ( ), , , , , ,
�� �� �
�
F t s dsi j k i j k
t
t
i j k
2 2 2 � �
�
�
�
�
�
�
�
�
��� � � �
�
( ) ( ) ( ), , , , , ,
F f t s dsi j k f i j k
t
t
i j k
2 2 2 �
�
.
126 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Îïðåäåëèì W ti j k, , , , ( )2 2 êàê
W t F d dsi j k i j k
t
t
i j k
t
t
, , , , , , , ,
( ) ( ) ( )2 2
2 2� �
��
���� � � �
��
.
Ïóñòü W t W t W ti j k i j k i j k, , , , , , , , , , ,( ) ( ) ( )2 2 1 2 2� � . Òîãäà
dW t
dt
F t f t F
i j k
i j k i j k i j k f i
, , ,
, , , , , ,
( )
( ) ( ) (
2
2 2 ���� � � , , , , , ,
( ) ) ( )j k i j k f i j k
F f t� �� ��� � �2 2
� �� �( ( ) ( ) ) ( ), , , , , ,
2 2 2 2�� � �� � �F F ti j k i j k i j k
.
Ïîëîæèì
W t
V
W t
F
W t
i j k
i j k
i j k
i j k( ) ( ) ( )
, ,
, , ,
, ,
, , ,� �
�
�
�
� �
1 1
1 2
� ����
!
"
�
#��
$
i j k
N
, , 1
.
Òîãäà îêîí÷àòåëüíî èìååì
dW t
dt V
K i j k V K i
i j k
i j k
( )
( ( , , ) (
, ,
, ,
�
�
�
�
�
�
� �
�
�1
2 21 1
�
�
�
, , )
, , ,
j k
i j k N
i j k
N
��
� �
� � �
$
0
� � � � �� � �� � � � � � �V K i j k V Vi j k i j k i j k, , , , , ,( , , ) ( ) )1
2 1
1
� �
��
�� �
F
F
i j k
i j k
, ,
, ,( ( )
�
� �2 2
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�� � � �
�
�( ) ) ( ) (, , , ,
, ,
, ,F t
V
Vi j k f i j k
i j k
i j
2 2 1
k i j kK i j k V� �� �1
2( , , ) ( ), ,� � � �
�
� � � � �� �
�
�2
1
22 2� � � �
��
�( ) ) (, , , ,
, ,
, ,V V
F
Fi j k i j k
i j k
f i j k �� � �( ) ) ( ), , , ,
F f ti j k f i j k
� �
�
� �2 2
� � �
!
"
�
�
� �1
1
�
� � � �
V
V V S i j k t
i j k
i j k i j k
, ,
, , , ,( ) ��
�
, , ,
�
{ }
#�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� � �
�
1
2 11
2
�
�
V
K i j k k i j k D V
i j k
i j
, ,
,( ( , , ) ( , , ) (
� , , ,
, , ,
)k i j k
i j k N
i j k
N
V� �
��
� � �
� �$ � � �
0
� � �� �2 1 1� � � � � �
� �
V K i j k V K i j k Vi j k i j k i j, , , , , ,( , , ) ( , , ) ( k i j kV� �� � �) ), ,
2 1� � �
�
� �
�
�
��
� �1
2 2 2
��
�� � �� � � �
F
F Fk
i j k
i j k i j k f i
, ,
, , , , ,
( ( ) ( ) )
j k
t
,
( )2 �
�
�
�
�
�
� �
�
� �1
21
2
�
� � � � �
V
V K i j k V
i j k
i j k i j k
, ,
, , , ,( ( , , ) ( )
�
� � � �2 2( ) ), , , ,V Vi j k i j k
� �� �
� � �
�
�
�
��
� �1
2 2
��
� �� � �
F
F F f
i j k
f i j k i j k f i j k
, ,
, , , , , ,
( ( ) ) 2 0
!
"
�
#�
� .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 127
Ñëåäñòâèå 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû 1 âûïîëíåíû. Òîãäà ïîëî-
æèòåëüíîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ
i j k i j k i j kV F, ,
*
, ,
*
, ,
*( , )� , i j k N N, , ,� � ,
i j k� � � 0, ñèñòåìû (1) ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî-àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì äëÿ
� � �� min ,{ }1 2 ,
ãäå
�
�
1
0
1
1
2: max ( ( , , ) ( ,
, , , , , ,
� �
� �
� � �
�
i j k N N
i j k
i j kV
K i j k k i j k, ) )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
�
�
�
� �
�
�1
1
�
� �
V
k i j k V V K i j
i j k
i j k i j k
, ,
, ,
*
, ,( ( , , ) ( ) ( ,
�
, )( ) ( )), , , ,k V Vi j k i j k2 1� � � �
� �
� � � �� �
� � � �� � �F V K i j k V K i j ki j k i j k i j k, , , , , ,( , , ) ( , , )2 1 1� � � � �
� �
� �( ), ,Vi j k
� �2
� �
�
�
�
� ��
�
�1
1
2 2� �
��
�� � ��
�
V
F
F Fi j k
i j k
i j k i, ,
, ,
, , ,( ( ) ( j k f, ) ))� �
�
�
�
�
2 1� � ,
� �
��
�
2
0
2: max
, , , ,
, ,
, ,
,
/�
��
� � �
�
�
i j k N N
i j k
f i j k
i j k
i j
F
F
V ,
, , , ,( ( , , ) ( )
k
i j k i j kV K i j k V
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �� � � �1
2
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �2 2 2 2� � �� �( ) ) ( ) ., , , , , ,V V Fi j k i j k i j k f
Çàìå÷àíèå 1. Óñëîâèÿ ëîêàëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïîëîæè-
òåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
i j k i j k i j kV F, , , , , ,( , )� � �� , i j k N N, , ,� � , i j k� � � 0,
ñèñòåìû (1) çàâèñÿò îò ñêîðîñòè äèôôóçèè D è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïèêñåëÿìè � .
3. ×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ
Ðàññìîòðèì ìîäåëü (1)–(3) ïðè N � 4, � � �2 1ìèí , � �
%
2
ìë
ìèí ìêã
,
� f � �1 1min , �
�
�
0 8.
, �� �
%
0 5.
ìë
ìèí ìêã
, � f �
%
0 5.
ìë
ìèí ìêã
, n � 0.9, D � 0.2,
� � 0.3. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ðåàëèçîâàíî äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé çàïàç-
äûâàíèÿ �. Ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèé � ïî-
ëó÷àåì èçìåíåíèå êà÷åñòâåííîãî ïîâåäå-
íèÿ ïèêñåëåé èììóíîñåíñîðà. Õàðàêòåð
òàêèõ èçìåíåíèé ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü
ñ ïîìîùüþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû,
ïîëó÷åííîé ïðè èçìåíåíèÿõ âåëè÷èíû çà-
ïàçäûâàíèÿ (ðèñ. 2), ãäå òî÷êè ïðåäñòàâ-
ëÿþò çíà÷åíèÿ ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ
äëÿ ïîïóëÿöèè V0 0 0, , ïðè ðàçëè÷íûõ çíà-
÷åíèÿõ �.
Ñ ó÷åòîì çàäàííîãî íàáîðà çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ ïðîàíàëèçèðîâàíî äëèòåëüíîå
ïîâåäåíèå ñèñòåìû (1)–(3) ïðè � � 0.05,
� � 0.22. Ôàçîâûå äèàãðàììû ïîïóëÿöèé
128 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Ðèñ. 2. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà
V0 0 0, ,
�
àíòèãåíîâ îòíîñèòåëüíî àíòèòåë äëÿ ïèêñåëÿ (0, 0, 0) äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé � ïîêàçà-
íû íà ðèñ. 3 è 4. Íàïðèìåð, ïðè ��[0, 0.17) äëÿ âñåõ ïèêñåëåé òðàåêòîðèè ñîîò-
âåòñòâóþò óñòîé÷èâîìó ôîêóñó (ñì. ðèñ. 3). Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå èìåþò
ìåñòî óñëîâèÿ òåîðåìû 1 î ëîêàëüíîé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.
Ïðè çíà÷åíèÿõ �, áëèçêèõ 0.17 ìèí, âîçíèêàåò áèôóðêàöèÿ Õîïôà è âñå
äàëüíåéøèå òðàåêòîðèè ñîîòâåòñòâóþò óñòîé÷èâûì ãðàíè÷íûì öèêëàì ýëëèïñî-
èäàëüíîé ôîðìû äëÿ âñåõ ïèêñåëåé (ñì. ðèñ. 4). Äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ
âîçíèêíîâåíèÿ áèôóðêàöèè Õîïôà íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ
ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ ðåøåíèé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëèíåàðèçèðîâàí-
íîé ñèñòåìû äëÿ (1). Ïðè � � 0.22 ôàçîâûå äèàãðàììû (ñì. ðèñ. 4) ïîêàçûâàþò ðå-
øåíèå â âèäå ïðåäåëüíîãî öèêëà ñ äâóìÿ ëîêàëüíûìè ýêñòðåìóìàìè (îäèí ëî-
êàëüíûé ìàêñèìóì è îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì) â öèêëå.
Àíàëèç ñîîòâåòñòâóþùèõ èçîáðàæåíèé äèíàìè÷åñêèõ èçìåíåíèé â ïèêñåëÿõ
ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêè ïðè � � 0.05 è � � 0.22 ïîêàçàë, ÷òî ñîãëàñíî ïîëó÷åí-
íûì ðåçóëüòàòàì ïðè � � 0.05 â ïèêñåëÿõ âèäíî ñòðåìëåíèå ê óñòîé÷èâîìó ýíäå-
ìè÷åñêîìó ñîñòîÿíèþ, òîãäà êàê ïðè � � 0.22 íàáëþäàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå èçìå-
íåíèÿ. Ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè ñèñòåìû (1) èñïîëüçîâàí ïàêåò R.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 129
Ðèñ. 3. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû (1) ïðè � � 0.05.
( , , )0 1 1�
V0 1 1, , �
F
0
1
1
,
,
�
F
1
0
1
,
,
�
V1 0 1, , �
( , , )1 0 1�
( , , )0 1 1�
V0 1 1, ,�
F
�
1
0
1
,
,
V�1 0 1, ,
( , , )�1 0 1
F
0
1
1
,
,
�
( , , )0 0 0
V0 0 0, ,
F
0
0
0
,
,
F
�
1
1
0
,
,
V�1 1 0, ,
( , , )�1 1 0
F
1
1
0
,
,
�
V1 1 0, ,�
( , , )1 1 0�
� — íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå,
& — èäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå,
� — íåèäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíà ìîäåëü èììóíîñåíñîðà íà îñíîâå ñèñòåìû
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì íà ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêå.
Êà÷åñòâåííûå èññëåäîâàíèÿ «íåðåøåò÷àcòûõ» ìîäåëåé èììóííîãî îòâåòà ïðî-
âåäåíû â [17–21].
Ãëàâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿ ëîêàëüíîé àñèìïòîòè-
÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ýíäåìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ íà ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêå. Äëÿ ýòî-
ãî èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà è îáùèé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ
ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà äëÿ ìîäåëåé òèïà õèùíèê–æåðòâà, êîòîðûé ïðèìåíÿëñÿ
äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì íà ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêå.
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû (1) óêàçûâàåò íà èçìåíåíèå êà÷åñòâåííîãî
ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ �. Ïðè óâåëè÷åíèè çíà÷åíèé çàïàçäûâà-
íèÿ èìååì ïåðåõîä ôàçîâûõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû îò óñòîé÷èâîãî ôîêóñà ê ïðåäåëüíî-
ìó öèêëó, ÷òî ïîäòâåðæäåíî ÷èñëåííî ñ ïîìîùüþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Mosinska L., Fabisiak K., Paprocki K., Kowalska M., Popielarski P., Szybowicz M., Stasiak A. et al.
Diamond as a transducer material for the production of biosensors. Przemysl Chemiczny. 2013.
Vol. 92, N 6. P. 919–923.
130 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
Ðèñ. 4. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû (1) ïðè � � 0.22
( , , )0 1 1�
V0 1 1, , �
F
0
1
1
,
,
�
F
1
0
1
,
,
�
V1 0 1, , �
( , , )1 0 1�
( , , )0 1 1�
V0 1 1, ,�
F
�
1
0
1
,
,
V�1 0 1, ,
( , , )�1 0 1
F
0
1
1
,
,
�
( , , )0 0 0
V0 0 0, ,
F
0
0
0
,
,
F
�
1
1
0
,
,
V�1 1 0, ,
( , , )�1 1 0
F
1
1
0
,
,
�
V1 1 0, ,�
( , , )1 1 0�
� — íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå,
& — èäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå,
� — íåèäåíòè÷íîå ýíäåìè÷åñêîå ñîñòîÿíèå
2. Mehrotra P. Biosensors and their applications — a review. Journal of Oral Biology and Craniofacial
Research. 2016. Vol. 6, N 2. P. 153–159. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jobcr.2015.12.002.
3. K'los-Witkowska A. Enzyme-based fluorescent biosensors and their environmental, clinical and
industrial applications. Polish Journal of Environmental Studies. 2015. Vol. 24. P. 19– 25. DOI:
https://doi.org/10.15244/pjoes/28352.
4. Martsenyuk V.P., Klos-WitkowskaA., Sverstyuk A.S. Study of classification of immunosensors from
viewpoint of medical tasks. Medical Informatics and Engineering. 2018. N 1. P. 13–19. DOI: https://
dx.doi.org/10.11603/mie.1996-1960.2018.1.8887.
5. Ìàðöåíþê Â.Ï., Àíäðóùàê È.Å., Çèíüêî Ï.Í., Ñâåðñòþê À.Ñ. Îá èñïîëüçîâàíèè ðåøåò÷àñòûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ èììóíîñåíñîðà. Ìåæäó-
íàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». 2018. ¹ 3.
Ñ. 37–45.
6. Moina C., Ybarra G. Fundamentals and applications of immunosensors. In: Advances in
Immunoassay Technology. Chiu N. (Ed.). 2012. P. 65–80. DOI: https:// dx.doi.org/10.5772/1967.
7. K'los-Witkowska A. The phenomenon of fluorescence in immunosensors. Acta Biochimica Polonica.
2016. Vol. 63, N 2. P. 215–221. DOI: https://doi.org/10.18388/abp.2015_1231.
8. Hexagonal grids. URL: https://www.redblobgames.com/grids/hexagons/.
9. McCluskey C.C. Complete global stability for an SIR epidemic model with delay — distributed or
discrete. Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2010. Vol. 11, N 1. P. 55–59. DOI: https:
//doi.org/10.1016/j.nonrwa.2008.10.014.
10. Nakonechny A., Marzeniuk V. Uncertainties in medical processes control In: Lecture Notes in
Economics and Mathematical Systems. 2006. Vol. 581. P. 185–192. DOI: https://doi.org/10.1007/
3-540-35262-7_11.
11. Marzeniuk V. Taking into account delay in the problem of immune protection of organism.
Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2001. Vol. 2, N 4. P. 483–496 DOI: https://doi.org/
10.1016/S1468-1218(01)00005-0.
12. Prindle A., Samayoa P., Razinkov I., Danino T., Tsimring L.S., Hasty J. A sensing array of radically
coupled genetic “biopixels”. Nature. 2011. Vol. 481, N 7379. P. 39–44 DOI: https://doi.org/
10.1038/nature10722.
13. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations. In: Applied Mathematical
Series. New York : Springer Verlag, 2013. Vol. 99. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4342-7.
14. Forys( U. Marchuk’s model of immune system dynamics with application to tumour growth. Journal
of Theoretical Medicine. 2002. Vol. 4, N 1. P. 85–93. DOI: https://doi.org/10.1080/
10273660290052151.
15. McCluskey C.C. Global stability for an SIR epidemic model with delay and nonlinear incidence.
Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2010. Vol. 11, N 4. P. 3106–3109. DOI: https://
doi.org/10.1016/j.nonrwa.2009.11.005.
16. He X.-z. Stability and delays in a predator-prey system. Journal of Mathematical Analysis and
Applications. 1996. Vol. 198, N 2. P. 355–370. DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.1996.0087.
17. Martsenyuk V.P., Andrushchak I.Y., Gvozdetska I.S. Qualitative analysis of the antineoplastic
immunity system on the basis of a decision tree. Cybernetics and Systems Analysis. 2015. Vol. 51,
N 3. P. 461–470. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-015-9737-6.
18. Martsenyuk V.P., Gandzyuk N.M. Stability estimation method for compartmental models with delay.
Cybernetics and Systems Analysis. 2013. Vol. 49, N 1. P. 81–85. DOI: https://doi.org/10.1007/
s10559-013-9488-1.
19. Martsenyuk V.P., Andruschchak I.Ye., Gvozdetska I.S. Estimating the solutions in the model of
antitumor immunity with impulsive disturbance. Cybernetics and Systems Analysis. 2012. Vol. 48,
N 2. P. 200–204. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-012-9398-7.
20. Martsenyuk V.P., Gvozdetska I.S. On the existence and stability of periodic solutions in the absence
of immunity in an impulsive model based on gompertzian dynamics. Cybernetics and Systems
Analysis. 2012. Vol. 48, N 4. P. 586–591. DOI: https://doi.org/10.1007/s10559-012-9438-3.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4 131
21. Akimenko V., Anguelov R. Steady states and outbreaks of two-phase nonlinear age-structured model
of population dynamics with discrete time delay. Journal of Biological Dynamics. 2017. Vol 11,
N 1. P. 75–101. DOI: https://doi.org/10.1080/17513758.2016.1236988.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 25.12.2018
Â.Ï. Ìàðöåíþê, À.Ñ. Ñâåðñòþê, ².Ñ. Ãâîçäåöüêà
ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍß ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ ²Ç ÇÀϲÇÍÅÍÍßÌ
ÍÀ ÃÅÊÑÀÃÎÍÀËÜÍ²É ÐÅزÒÖ² ÄËß ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ²ÌÓÍÎÑÅÍÑÎвÂ
Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìîäåëü ³ìóíîñåíñîðà, ÿêà ´ðóíòóºòüñÿ íà ñèñòåì³
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì íà ãåêñàãîíàëüí³é ðåø³òö³. Íàâåäå-
íî ðåçóëüòàò — óìîâè ëîêàëüíî¿ àñèìïòîòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ åíäåì³÷íîãî ñòà-
íó. Âèêîðèñòàíî ìåòîä ôóíêö³îíàë³â Ëÿïóíîâà, ÿêèé ïîºäíóº çàãàëüíèé
ï³äõ³ä äî ïîáóäîâè ôóíêö³îíàë³â Ëÿïóíîâà ìîäåëåé õèæàê–æåðòâà ç âèêî-
ðèñòàííÿì äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì íà ãåêñàãîíàëüí³é
ðåø³òö³. ×èñåëüíèé ïðèêëàä ïîêàçàâ âïëèâ íà ñò³éê³ñòü âåëè÷èíè çàï³çíåí-
íÿ, à ñàìå, ïåðåõ³ä â³ä ñò³éêîãî ôîêóñà ÷åðåç á³ôóðêàö³þ Õîïôà äî ãðàíè÷-
íîãî öèêëó.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: á³îñåíñîð, ³ìóíîñåíñîð, äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ íà ãåêñà-
ãîíàëüí³é ðåø³òö³, äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ ³ç çàï³çíåííÿì, àñèìïòîòè÷íà
ñò³éê³ñòü, ôóíêö³îíàë Ëÿïóíîâà.
V. Martsenyuk, A. Sverstiuk, I.S. Gvozdetska
ÀPPLICATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TIME DELAY
ON A HEXAGONAL LATTICE FOR IMMUNOSENSOR MODELING
Abstract. A model of immunosensor is proposed, which is based on the system
of differential equations with time delay on a hexagonal lattice. The main result
is conditions of local asymptotic stability of endemic state. To this end, the
method of Lyapunov functionals is used. It combines the general approach to
construction of Lyapunov functionals for the predator-prey models and
differential equations with time delay on a hexagonal lattice. A numerical
example shows the influence of time delay on stability, namely, we have
transition from stable focus to the limit cycle through the Hopf bifurcation.
Keywords: biosensor, immunosensor, differential equations on a hexagonal
lattice, differential equations with delay, asymptotic stability, Lyapunov
functional.
Ìàðöåíþê Âàñèëèé Ïåòðîâè÷,
äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Óíèâåðñèòåòà â Áåëüñêî-Áÿëîé, Ïîëüøà,
e-mail: vmartsenyuk@ath.bielsko.pl.
Ñâåðñòþê Àíäðåé Ñòåïàíîâè÷,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Òåðíîïîëüñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ìåäèöèíñêîãî óíèâåðñèòåòà
èì. È.ß. Ãîðáà÷åâñêîãî, e-mail: sverstyuk@tdmu.edu.ua; sverstyuk@ukr.net.
Ãâîçäåöêàÿ Èðèíà Ñòåïàíîâíà,
êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû Òåðíîïîëüñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ìåäèöèíñêîãî óíèâåðñèòåòà
èì. È.ß. Ãîðáà÷åâñêîãî, e-mail: hvozdecka@tdmu.edu.ua.
132 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 4
|