Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³

Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых Эдвардса над простым полем с j-инвариантом, равным 66³, и с другими значениями j-инвариантов. Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Лежандра и Эдвардса....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Бессалов, А.В., Ковальчук, Л.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2019
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Кібернетика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181028
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66 / А.В. Бессалов, Л.В. Ковальчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 35-46. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-181028
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1810282021-10-30T01:26:06Z Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³ Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В. Кібернетика Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых Эдвардса над простым полем с j-инвариантом, равным 66³, и с другими значениями j-инвариантов. Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Лежандра и Эдвардса. Cформульовано і доведено теореми про умови існування суперсінгулярних кривих Едвардса над простим полем з j-інваріантом, який дорівнює 66³, і з іншими значеннями j-інваріантів. Наведено узагальнення отриманих раніше результатів, що використовує ізоморфізм кривих у формах Лежандра і Едвардса. Theorems on the existence conditions for Edwards super singular curves over a simple field with an j-invariant equal to 66³ and with other values of the invariants were formulated and proved. A generalization of the previously obtained results using the isomorphism of curves in the Legendre and Edwards forms is given. 2019 Article Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66 / А.В. Бессалов, Л.В. Ковальчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 35-46. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181028 621.391.15 : 519.7 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Кібернетика Кібернетика
spellingShingle	Кібернетика Кібернетика Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³ Кибернетика и системный анализ
description	Cформулированы и доказаны теоремы об условиях существования суперсингулярных кривых Эдвардса над простым полем с j-инвариантом, равным 66³, и с другими значениями j-инвариантов. Приведено обобщение полученных ранее результатов, использующее изоморфизм кривых в формах Лежандра и Эдвардса.
format	Article
author	Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В.
author_facet	Бессалов, А.В. Ковальчук, Л.В.
author_sort	Бессалов, А.В.
title	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³
title_short	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³
title_full	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³
title_fullStr	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³
title_full_unstemmed	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³
title_sort	суперсингулярные скрученные кривые эдвардса над простым полем. іi. суперсингулярные скрученные кривые эдвардса с j-инвариантом, равным 66³
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181028
citation_txt	Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66 / А.В. Бессалов, Л.В. Ковальчук // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 35-46. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT bessalovav supersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsanadprostympolemíisupersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsasjinvariantomravnym663 AT kovalʹčuklv supersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsanadprostympolemíisupersingulârnyeskručennyekrivyeédvardsasjinvariantomravnym663
first_indexed	2025-07-15T21:33:02Z
last_indexed	2025-07-15T21:33:02Z
_version_	1837750223102803968
fulltext	ÓÄÊ 621.391.15 : 519.7 À.Â. ÁÅÑÑÀËÎÂ, Ë.Â. ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ ÍÀÄ ÏÐÎÑÒÛÌ ÏÎËÅÌ1. ²I. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ Ñ j-ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÎÌ, ÐÀÂÍÛÌ 663 Àííîòàöèÿ. Côîðìóëèðîâàíû è äîêàçàíû òåîðåìû îá óñëîâèÿõ ñóùåñò- âîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì ñ j-èí- âàðèàíòîì, ðàâíûì 663, è ñ äðóãèìè çíà÷åíèÿìè j-èíâàðèàíòîâ. Ïðè- âåäåíî îáîáùåíèå ïîëó÷åííûõ ðàíåå ðåçóëüòàòîâ, èñïîëüçóþùåå èçîìîð- ôèçì êðèâûõ â ôîðìàõ Ëåæàíäðà è Ýäâàðäñà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñóïåðñèíãóëÿðíàÿ êðèâàÿ, ïîëíàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà, ñêðó÷åí- íàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà, êâàäðàòè÷íàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà, ïàðà êâàäðàòè÷íîãî êðó- ÷åíèÿ, ïîðÿäîê òî÷êè, ñèìâîë Ëåæàíäðà, êâàäðàòè÷íûé âû÷åò, êâàäðàòè÷íûé íåâû÷åò. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå â ôîðìå Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì íàèáîëåå ïåð- ñïåêòèâíû äëÿ ñîâðåìåííûõ êðèïòîñèñòåì [1]. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü îïåðàöèè ýêñïîíåíöèðîâàíèÿ òî÷êè òàêîé êðèâîé â ñðåäíåì áîëåå ÷åì â 1,5 ðàçà âûøå, ÷åì äëÿ êðèâîé â ôîðìå Âåéåðøòðàññà [2]. Ïðîãðàììèðîâàíèå àðèôìåòèêè ýòèõ êðèâûõ ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ â ñâÿçè ñ íàëè÷èåì íåéòðàëüíîãî ýëå- ìåíòà ãðóïïû êàê àôôèííîé òî÷êè êðèâîé Î = (1,0). Óíèâåðñàëüíîñòü çàêîíà ñëîæåíèÿ òî÷åê äåëàåò èõ áîëåå áåçîïàñíûìè ê àòàêàì áîêîâîãî êàíàëà [3]. Ñóïåðñèíãóëÿðíûå ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå, èíòåðåñ ê êîòîðûì îñëàá â 90-å ãîäû â ñâÿçè ñ óÿçâèìîñòüþ ê MOV-àòàêå èçîìîðôèçìà [4], â íà÷àëå íûíåøíåãî ñòîëåòèÿ ñòàëè îñíîâîé êðèïòîãðàôèè íà ñïàðèâàíèè òî÷åê ýëëèïòè÷åñêîé êðè- âîé [5]. Êðîìå òîãî, èçîãåíèè òàêèõ êðèâûõ ìîãóò áûòü ïåðñïåêòèâíû äëÿ çàäà÷ ïîñòêâàíòîâîé êðèïòîãðàôèè [6–8]. Òåõíîëîãè÷åñêèå ïðåèìóùåñòâà êðèâûõ â ôîðìå Ýäâàðäñà äåëàþò àêòóàëüíîé çàäà÷ó èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ñóïåðñèíãó- ëÿðíûõ êðèâûõ ýòîãî òèïà. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå äàí àíàëèç ñâîéñòâ äâóõ êëàññîâ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðè- âûõ â îáîáùåííîé ôîðìå Ýäâàðäñà [2] íàä ïðîñòûì ïîëåì — êâàäðàòè÷íûõ è ñêðó÷åííûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà. Â ðàçä. 1 ââîäÿòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëå- íèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íîâîé êëàññèôèêàöèåé êðèâûõ Ýäâàðäñà [2]. Â ðàçä. 2 äàí àíàëèç óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ j-èíâàðè- àíòîì, ðàâíûì 663 . Â ðàçä. 3 äàíî îáîáùåíèå íåêîòîðûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ ñó- ïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ äðóãèìè j-èíâàðèàíòàìè íà îñíîâå èõ èçî- ìîðôèçìà ñ êðèâûìè â ôîðìå Ëåæàíäðà [5]. 1. ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ Â ÎÁÎÁÙÅÍÍÎÉ ÔÎÐÌÅ. ÎÁÇÎÐ ÈÇÂÅÑÒÍÛÕ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÎÂ Èñïîëüçóåì îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è ñâîéñòâà êðèâûõ, ïðèâåäåííûå â [1]. Â ðàáîòå [9] ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà (twisted Edwards curves) îïðåäåëå- íû êàê îáîáùåíèå êðèâûõ Ýäâàðäñà x y dx y2 2 2 21� � � [3] ïóòåì ââîäà íîâîãî ïàðàìåòðà a â óðàâíåíèå êðèâîé: Ea d, : ax y dx y2 2 2 21� � � , a d Fp, � , d �1, a d� , p � 2 . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 35 1Ïðîäîëæåíèå. Íà÷àëî â ¹ 3, 2019. © À.Â. Áåññàëîâ, Ë.Â. Êîâàëü÷óê, 2019 Â ðàáîòå [10] ïðåäëîæåíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè êîîðäèíàòû õ è ó â ôîðìå êðè- âîé Ýäâàðäñà â öåëÿõ ñîõðàíåíèÿ ãîðèçîíòàëüíîé ñèììåòðèè îáðàòíûõ òî÷åê è îïðåäåëèòü êðèâóþ â îáîáùåííîé ôîðìå Ýäâàðäñà, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Ea d, : x ay dx y2 2 2 21� � � , a d Fp, � , d �1 , d d a( )� � 0 , p � 2 . (1) Òîãäà ìîäèôèöèðîâàííûé óíèâåðñàëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ òî÷åê èìååò âèä ( , ) ( , ) ,x y x y x x ay y dx x y y x y x y d 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 � � � � � � x x y y1 2 1 2 � � � �� . (2) Ïðè ñîâïàäåíèè äâóõ òî÷åê ïîëó÷èì èç (2) çàêîí óäâîåíèÿ òî÷åê 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( , ) ,x y x ay dx y x y dx y � � � � � � � � �� . (3) Îïðåäåëÿÿ òî÷êó � � �P x y( , ), îáðàòíóþ ê òî÷êå P x y� ( , ) , ïîëó÷àåì ñîãëàñ- íî çàêîíó (2) êîîðäèíàòû íåéòðàëüíîãî ýëåìåíòà ãðóïïû ( , ) ( , )x y x y� � � � �O ( , )1 0 . Ñîãëàñíî êëàññèôèêàöèè êðèâûõ â ôîðìå (1), îáîñíîâàííîé â ðàáîòàõ [2, 10–12], ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ èìååò ïàðàìåòðû a è d , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè íåâû- ÷åòàìè: a p d p � � � �� 1, òîãäà êàê ïðè a �1 îïðåäåëåíû ïîëíûå êðèâûå Ýäâàðäñà ñ ïàðàìåòðîì d , ÿâëÿþùèìñÿ êâàäðàòè÷íûì íåâû÷åòîì: d p � � � �� 1, è êâàäðàòè÷íûå êðèâûå Ýäâàðäñà, äëÿ êîòîðûõ d p � � � �� 1. Äëÿ êðèâîé E , çàäàííîé óðàâíåíèåì Y X AX B2 3� � � (4) â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå Âåéåðøòðàññà ñ j-èíâàðèàíòîì [5, 13] j E A A B ( ) � � 12 4 4 27 3 3 3 2 , õàðàêòåðíûìè ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ j E( ) � 0 ïðè A � 0 è j E( ) �123 ïðè B � 0 . Ýòè çíà÷åíèÿ j-èíâàðèàíòà ÷àñòî (ïðè âûïîëíåíèè èçâåñòíûõ óñëîâèé äëÿ ìî- äóëÿ p) ïîðîæäàþò ñóïåðñèíãóëÿðíóþ êðèâóþ. Â [1] áûëè èçó÷åíû ñóïåðñèí- ãóëÿðíûå êðèâûå ñ òàêèìè æå çíà÷åíèÿìè j-èíâàðèàíòà. Èçîìîðôèçì êðèâûõ â ôîðìàõ (1) è (4) äîñòèãàåòñÿ ëèøü ïðèáëèæåííî äëÿ ÷åòâåðòè âñåõ êðèâûõ â ôîðìå Âåéåðøòðàññà. Ïîðÿäîê òàêèõ êðèâûõ ñîñòàâëÿåò N E � 0 4( )mod . Íàèáîëåå óäîáíîé ôîðìîé èõ ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ EC D, â ôîðìå Ìîíòãîìåðè [9]: D u Cu u� 2 3 2� � � , C a d a d � � � 2 , D a d � � 4 , a C D � �2 , d C D � �2 , C 2 4� . (5) Òàê êàê êðèâûå (1) è (5) èçîìîðôíû (E Ea d C D, ,~ ) [2, 9], óñëîâèÿ ñóùåñòâî- âàíèÿ òàêèõ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ êðèâîé (1) j-èíâàðèàíò èìååò âèä [14] j a d a d ad ad a d ( , ) ( ) ( ) � � � � 16 142 2 4 , ad a d( )� � 0 . (6) Òàê êàê j-èíâàðèàíò ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå äëÿ âñåõ èçîìîðôíûõ êðèâûõ è ïàð êâàäðàòè÷íîãî êðó÷åíèÿ [5], îí ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì ïðè ïîèñêå ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ. Êàê îòìå÷àëîñü â [1], äëÿ ýòèõ öåëåé ïàðàìåòð a â (6) 36 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íûì, ò.å. ìîæíî ïðèíÿòü a �1 è ðàññìàòðèâàòü ñâîéñòâà ëèøü ïîëíûõ è êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà. Â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü j-èíâàðèàíò j d( , )1 . Îäíèì èç ñâîéñòâ j-èíâàðèàíòà ÿâëÿåòñÿ j d j d( , ) ( , )1 1 1� � . Ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà îïðåäåëåíà â ðàáîòå [2] êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé êðèâîé (1) Ea d, : x ay dx y2 2 2 21� � � , d Fp� * , d d a( )� � 0 , a p d p � � � �� 1. Äëÿ àíàëèçà óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ýòîãî êëàññà äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè òàêîé àíàëèç â êëàññå êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà E d1, : x y dx y2 2 2 21� � � , d Fp� * , d d( )� �1 0 , d p � � � �� 1. (7) 2. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ Ñ j-ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÎÌ j d( , )1 663� Ïðîàíàëèçèðóåì ñâîéñòâà êâàäðàòè÷íîé êðèâîé Ýäâàðäñà (7). Êàê îòìå÷àëîñü, ïîñëåäóþùèé ïåðåõîä ê ñêðó÷åííîé êðèâîé ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ åå ïàðà- ìåòðîâ ( , )1 d íà êâàäðàòè÷íûé íåâû÷åò: ( , ) ( , )1 d c cd� , c p � � � � � ��1 . Ïðè x y d , , ,� � �0 1 1 ðàçäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7) êðèâîé E d1, íà x y2 2, : 1 1 1 2 2 2 2y x x y d� � � , îòêóäà ïîëó÷àåì y d x � � � � � � 2 2 1 1 1 , x y d , , ,� � �0 1 1 . (8) Åñëè (8) ïåðåïèñàòü â âèäå y d x x � � � � � � � 2 2 2 1 1 , òî ïîëó÷èì îñîáûå òî÷êè êðèâîé E d1, : D d 1 2 1 , ;� � � � � � �� — îñîáûå òî÷êè âòîðîãî ïîðÿäêà; F d 1 2 1 , ;� � � � � � �� — îñîáûå òî÷êè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà, ïðè- ÷åì F F1 2� � . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî êðèâàÿ ñîäåðæèò è äðóãèå (íåîñîáûå) òî÷êè ìàëûõ ïîðÿäêîâ: íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ãðóïïû O, òî÷êó âòîðîãî ïîðÿäêà D0 è äâå òî÷êè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà �F0 . Áóäåì îòûñêèâàòü òàêèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà d, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå (7) çàäàåò ñóïåðñèíãóëÿðíóþ êðèâóþ. Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèè (8) ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ u x� �1, � � �y 1 è ïåðåïèøåì ýòî óðàâíåíèå êàê � 2 2 1 1 1 � � � � d u . (9) Íåîáõîäèìî íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ d , ïðè êîòîðûõ êîëè÷åñòâî ïàð ( , )x y , ÿâëÿ- þùèõñÿ ðåøåíèÿìè (8), áûëî áû ðàâíî p�1. Åñëè èñêëþ÷èòü èç ýòîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé òî÷êè ìàëûõ ïîðÿäêîâ (îñîáûå è íåîñîáûå), ò.å. òî÷êè, ó êîòîðûõ îäíà èç êîîðäèíàò ðàâíà íóëþ èëè �, òî îñòàíåòñÿ p p� � � �1 8 7 òî÷åê. Èíûìè ñëîâàìè, êðèâàÿ E d1, áóäåò ñóïåðñèíãóëÿðíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, åñëè êîëè÷åñòâî ïàð ( , )u � , ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè (9), äëÿ êîòîðûõ u d, , , ,� � � � �0 1 , ðàâíî p� 7. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 37 Äëÿ ôîðìóëèðîâêè è äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà íåîáõîäèìî ââåñ- òè ðÿä îáîçíà÷åíèé è äîêàçàòü íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæíî íàçâàòü ñòàíäàðòíûìè: Q x Z y Zp p p� � � �{ * \| : x y p� 2 ( )mod } — ìíîæåñòâî ïðèâåäåííûõ êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p; � � � �Q x x Qp p{ }\| ; Q Z Qp p p� \ — ìíîæåñòâî ïðèâåäåííûõ êâàäðàòè÷íûõ íå- âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà: U x x p � � � �� 2 1 2 3 1 2 \| , , ..., ; (10) S U Q p� � (11) — ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç U , ÿâëÿþùèõñÿ êâàäðàòè÷íûìè âû÷åòàìè; S U Q p� � (12) — ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ èç U , ÿâëÿþùèõñÿ êâàäðàòè÷íûìè íåâû÷åòàìè; � � � �S x x S{ }\| . (13) Çàìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè p � 3 4( )mod âûïîëíåíî ðàâåíñòâî Q Qp p� � , ïî- ñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå � �1 Q p . Ïîýòîìó äëÿ òàêèõ çíà÷åíèé p âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå � � ��S S . Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî â îáîçíà÷åíèÿõ (10)–(12) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî U x x Z p� � � �{ { }}2 1 1\| \* , ò.å. \| \| \| \|U Q p p� � � � 1 3 2 , è ïðè ýòîì U S S� � è S S� ��, (14) ïîñêîëüêó Q Qp p� ��. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîé òåîðåìû íåîáõîäèìû ñëåäóþùèå ëåììû. Ëåììà 1. Ïóñòü p � 3 4( )mod . Òîãäà \| \| \| \|S S p � � �3 4 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (10) è (11) êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà S ðàâíî êîëè÷åñòâó êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ ñðåäè ýëåìåíòîâ âèäà x 2 1� . Çàäà÷à íà- õîæäåíèÿ êîëè÷åñòâà òàêèõ êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ ðåøàëàñü â ëåììå 2 ðàáî- òû [15] è çàòåì îáîáùåíà è ðåøåíà â ðàáîòå [16], â êîòîðîé \| \|S rr� 1 — êîëè÷å- ñòâî ïàð âèäà ( , )a a Q Qp p� � �1 . Òîãäà ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2 èç [16] è ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî 1�Q p , � �1 Q p , ïîëó÷àåì rr p p p 1 3 1 1 4 � � � � � � �� p 4 1 4 � �p 3 4 , îòêóäà \| \|S p � �3 4 . Â ñèëó ðàâåíñòâà \| \|U p � �3 2 è ñ ó÷åòîì (14) ïîëó÷àåì \| \| \| \| \| \|S U S p � � � �3 4 . Ëåììà 1 äîêàçàíà. Ëåììà 2. Ïóñòü p — ïðîñòîå. Òîãäà: 1) äëÿ ëþáîãî u Z p� * èìååì u S u S� � ��1 ; 2) äëÿ ëþáîãî u Z p� * èìååì u S u S�� 1 . 38 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Âíà÷àëå äîêàæåì èìïëèêàöèþ u S u S� � ��1 äëÿ ëþ- áîãî u Z p� * . Ïóñòü u S� . Ñîãëàñíî (10) è (11) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå x p � �� 2 3 1 2 , , ..., , ÷òî u x� �2 1. (15) Ñëåäóåò äîêàçàòü, ÷òî � �y 2 3 1 2 , , ..., p�� : u y� � �1 2 1. Â óðàâíåíèè (15) ðàçäåëèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íà u2 : u x u u x u u u u u � � � � � � � � � � � � �1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � u u u ux u x u ( )1 1 1 1 2 2 2 2 . (16) Ïîñêîëüêó u S� , òî ñîãëàñíî (10) èìååì u Q p� ; ñëåäîâàòåëüíî, � � �z Z u zp * : 2 . Òîãäà (16) ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê u x z x z � � � � � � � � �1 2 2 2 1 1. Ïðè ýòîì x z �1, òàê êàê u� �1 0 . Ïîëàãàÿ y x z � , ïîëó÷àåì (15), ÷òî è òðåáîâà- ëîñü äîêàçàòü. Îáðàòíàÿ èìïëèêàöèÿ äîêàçûâàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì óæå äîêàçàííîé èìïëè- êàöèè. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî u Z p� * âûïîëíåíî óñëîâèå u S� �1 . Òîãäà íà îñíîâà- íèè äîêàçàííîãî èìååì ( )u S� � �1 1 , ò.å. u S� . Ïåðâîå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. 2. Ïóñòü u S�� . Òîãäà ñîãëàñíî (13) � �u S . Èç ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ëåì- ìû 2 ñëåäóåò, ÷òî ( )� ��u S1 , ò.å. � ��u S1 , îòêóäà u S� ��1 . Ëåììà 2 äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü p � 7 8( )mod . Òîãäà: 1) ìíîæåñòâî S ñîñòîèò èç ýëåìåíòà 1 è ïàð ýëåìåíòîâ âèäà ( , )a a �1 äëÿ íå- êîòîðûõ a Q p� \ { }1 , ïðè÷åì ÷èñëî òàêèõ ïàð ðàâíî p� 7 8 ; 2) ìíîæåñòâî �S ñîñòîèò èç ýëåìåíòà �1 è ïàð ýëåìåíòîâ âèäà ( , )a a �1 äëÿ íåêîòîðûõ a Q p� �\ { }1 , ïðè÷åì ÷èñëî òàêèõ ïàð ðàâíî p� 7 8 . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Çàìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè p � 7 8( )mod âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2�Q p . Ïîýòîìó êîãäà x ïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ âèäà 2 3 1 2 , , ..., p� , òî âûðàæåíèå x 2 ïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ èç Q p \ { }1 ; â ÷àñòíîñòè, � �x x: 2 2 . Òîãäà � � �x x: 2 1 1 , ïðè÷åì 1�Q p , ñëåäîâàòåëüíî 1�S . Äàëåå, èç êîíãðóýíöèè p � 7 8( )mod ñëåäóåò êîíãðóýíöèÿ p � 3 4( )mod ; ñëå- äîâàòåëüíî, � �1 Q p , à çíà÷èò � �1 S . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõ òàêèõ a S� , ÷òî a �1 , âûïîëíåíî óñëîâèå a a� �1 , à çíà÷èò, ïàðû âèäà ( , )a a �1 ïðè a �1ñîñòîÿò èç ðàçíûõ ýëåìåíòîâ. Ñîãëàñíî ï. 1 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 39 ëåììû 2 ìíîæåñòâî S ïîìèìî ýëåìåíòà 1 ñîäåðæèò ïàðû âèäà ( , )a a �1 . Òîãäà êîëè÷åñòâî òàêèõ ïàð ðàâíî \| \|S p p� � � � � �1 2 3 4 1 2 7 8 ; ï. 1 ñëåäñòâèÿ 1 äîêàçàí. 2. Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî ï. 1 1�S , òî � ��1 S . Äàëåå äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíÿ- åòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ï. 1 ñëåäñòâèÿ 1 ñ èñïîëüçîâàíèåì ï. 2 ëåììû 2. Ñëåäñòâèå 1 ïîëíîñòüþ äîêàçàíî. Ëåììà 3. Ïóñòü p � 3 4( )mod . Òîãäà äëÿ ëþáîãî a Z p� * ñïðàâåäëèâî óñëîâèå a S a S� � ��1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå: ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå u Z p� , äëÿ êîòîðîãî u S� è u S� �1 . Òîãäà ñîãëàñíî (12) � � � �x Z u xp : 2 1 ; � � � ��z Z u zp : 1 2 1. Îòñþäà x u u u z2 1 21 1� � � � ��( ) è u x z x z� � � �2 1 2 1 2( ) ( ) . Îäíàêî òîãäà u Q p� , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ (12) ìíîæåñòâà S , êàê ñîñòîÿùåãî èç êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ. Ëåììà 3 äîêàçàíà. Ëåììà 4. Ïóñòü p � 3 4( )mod . Òîãäà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: èç ëþáîé ïàðû âèäà ( , )u u�1 , ãäå u Q� �\ { }1 , â òî÷íîñòè îäèí ýëåìåíò (ëèáî u, ëèáî u�1) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî èç ëþáîé ïàðû âèäà ( , )u u�1 , ãäå u Q� �\ { }1 , íå áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Îñòàëîñü ïî- êàçàòü, ÷òî èç êàæäîé òàêîé ïàðû ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ýëåìåíò ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Ïî îïðåäåëåíèþ (12) ìíîæåñòâî S ñîäåðæèò òîëüêî êâàäðàòè÷íûå íåâû÷åòû è íå ñîäåðæèò ýëåìåíòà �1. Äàëåå, ñîãëàñíî ëåììå 1 èìååì \| \|S p � �3 4 , â òî âðåìÿ êàê âñå ìíîæåñòâî êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ Q p ñîñòîèò èç p�1 2 ýëåìåíòîâ. Ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèò ýëåìåíò �1 (ïîñêîëüêó p � 3 4( )mod ) è íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïàðû ýëåìåíòîâ âèäà ( , )a a �1 , ãäå a a� �1 è a a Q p, \� � �1 1{ } . Î÷åâèäíî, ÷òî ÷èñëî òàêèõ ïàð ñîñòàâëÿåò p p � � � � 1 2 1 2 3 4 . Ñîãëàñíî ëåììå 3 èç êàæäîé òàêîé ïàðû â ìíîæåñòâå S ìîæåò íàõîäèòüñÿ íå áîëåå îäíîãî ýëåìåíòà. Ïóñòü t — êîëè÷åñòâî ïàð, ýëåìåíòû êîòîðûõ (ïî îäíîìó èç ïàðû) ïðèíàäëå- æàò ìíîæåñòâó S . Ïîñêîëüêó äðóãèå ýëåìåíòû â ýòîì ìíîæåñòâå îòñóòñòâóþò, òî t S p � � � \| \| 3 4 , ò.å. ýòî êîëè÷åñòâî ðàâíî êîëè÷åñòâó âñåõ âîçìîæíûõ òàêèõ ïàð. Ñëåäîâàòåëüíî, èç êàæäîé ïàðû âèäà ( , )a a �1 , ãäå a a� �1 è a a Q p, \� � �1 1{ }, â ìíîæåñòâî S ïîïàäàåò â òî÷íîñòè îäèí ýëåìåíò, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ëåììà 4 äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü p � 3 4( )mod . Òîãäà äëÿ ëþáîãî u S� \ { }1 â òî÷íîñòè îäèí ýëåìåíò èç ïàðû ( , )� � �u u 1 áóäåò ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó S . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (13) ìíîæåñòâî S ñîñòîèò èç êâàäðàòè÷íûõ âû÷å- òîâ. Äàëåå, ïîñêîëüêó p � 3 4( )mod è � �1 Q p , òî èç u S� ñëåäóåò �u ,� �u 1�Q p . Êðîìå òîãî, ïðè u S� \ { }1 âûïîëíåíû óñëîâèÿ � � �u 1, � � ��u 1 1. Òîãäà 40 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 � � � �u u 1 è ñîãëàñíî ëåììå 4 â òî÷íîñòè îäèí ýëåìåíò èç ïàðû �u ,� �u 1 áóäåò ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó S . Ñëåäñòâèå 2 äîêàçàíî. Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü p � 7 8( )mod . Òîãäà \| \|� � � � S S p 7 8 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1 ïðåäñòàâèì ìíîæåñòâî �S â âèäå � � � � � �� S a a a al l { } { } { }1 1 1 1 1, ,� äëÿ íåêîòîðûõ a Qi p� , i l�1, , ãäå l p � � 7 8 . Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2 èç êàæäîé ïàðû a ai i, �1 â òî÷íîñòè îäèí ýëåìåíò ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Êðîìå òîãî, � �1 S , òàê êàê � �1 U , ò.å. òî÷íî p� 7 8 ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà �S ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó S . Ñëåäñòâèå 3 ïîëíîñòüþ äîêàçàíî. Òåîðåìà 1. Ïðè p � 7 8( )mod êâàäðàòè÷íûå êðèâûå Ýäâàðäñà íàä Fp ñ ïàðà- ìåòðàìè a �1 è d � �2 1, à òàêæå ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà ñ ïàðàìåòðàìè a � �1 è d � � �2 1 ÿâëÿþòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûìè. Äëÿ ýòèõ çíà÷åíèé a è d âûïîë- íåíî óñëîâèå j a d( , ) � 663 . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ñðàâíåíèÿ p � 7 8( )mod íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñðàâ- íåíèå p � 3 4( )mod , òàê êàê ðåäóêöèÿ âûðàæåíèÿ 8 7k � , k Z� , ïî ìîäóëþ 4 äàåò âûðàæåíèå 4 3k � , k Z� . Ñëåäîâàòåëüíî, p�1 äåëèòñÿ íà 4 è óñëîâèå p � 7 8( )mod íå ïðîòèâîðå÷èò ñóùåñòâîâàíèþ ñóïåðñèíãóëÿðíîé êðèâîé Ýäâàðäñà íàä Fp . Ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ êðèâóþ Ýäâàðäñà ñ îäíèì ïàðàìåòðîì d � 2 , ïðè÷åì ïðè p � 7 8( )mod ñïðàâåäëèâî 2 1 p � � � �� [13]. Åñëè êðèâàÿ ñóïåðñèíãóëÿð- íàÿ, òî ñóïåðñèíãóëÿðíûìè áóäóò èçîìîðôíàÿ åé êðèâàÿ ñ ïàðàìåòðîì d � �2 1 è åå ïàðà êâàäðàòè÷íîãî êðó÷åíèÿ — ñêðó÷åííàÿ êðèâàÿ Ýäâàðäñà ñ ïàðàìåòðàìè a � �1 è d � � �2 1. Ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïðè d � 2 ïîðÿäîê êðèâîé (8) èìååò âèä N pE � �1 è, ñëåäîâàòåëüíî, êðèâàÿ ÿâëÿ- åòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, äîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ðåøåíèé (9), ó êîòîðûõ êîîðäèíàòû íå ðàâíû íóëþ èëè �, ðàâíî p� 7 . Ïðè d � 2 óðàâíåíèå (9) ïðèìåò âèä � 2 2 1 1 1 � � � �( )u , (17) ãäå ñ ó÷åòîì èñêëþ÷åíèÿ îñîáûõ è íåîñîáûõ òî÷åê ìàëûõ ïîðÿäêîâ u, , , ,� � � � �0 1 2 . Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (17) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà U , äëÿ êîòî- ðîãî ñîãëàñíî (14) âûïîëíåíû óñëîâèÿ U S S� � è S S� ��. Äàëåå ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: êîãäà çíà÷åíèå ëåâîé ÷àñòè (17) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S è êîãäà îíî ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó S . Äëÿ íåêîòîðîé ïàðû ( , )u � , ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì (17), îáîçíà÷èì a U� � �� 2 1 . Òîãäà u a2 11� � � � , íî ïðè ýòîì u U2 1� � . Ïîýòîìó äëÿ ïîèñêà êîëè÷åñòâà ðåøåíèé (17) äîñòàòî÷íî íàéòè êîëè÷åñòâî òàêèõ ýëåìåíòîâ a U� , ÷òîáû ïðè ýòîì âûïîëíÿëîñü óñëîâèå � ��a U1 . Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. Ñëó÷àé 1. Ïóñòü a S� . Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ýêâèâàëåíòíîñòè: a U a U a S a U� � � � � � � �� 1 1 1( ) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 41 �� ( ) ( )1 1 1 1 2 1a S a U a S U a S S , ãäå ðàâíîñèëüíîñòü � ( )1 âûïîëíåíà ââèäó ï. 2 ñëåäñòâèÿ 1, à ðàâíîñèëüíîñòü � ( )2 âûïîëíåíà âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî � � ��S S , ïîñêîëüêó ïðè p � 3 4( )mod âûïîëíåíî óñëîâèå � �1 Q p . Äàëåå, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3 èìååì \| \|S S p � � � 7 8 , ò.å. ñóùåñòâóåò òî÷íî p� 7 8 òàêèõ çíà÷åíèé a S� , ÷òî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå � ��a U1 . Ñëó÷àé 2. Ïóñòü a S� . Òîãäà âñëåäñòâèå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ � �1 Q p òàêæå âûïîëíåíî óñëîâèå � �a Q p , à çíà÷èò, è � ��a Q p 1 . Åñëè ïðè ýòîì òàêæå âûïîë- íåíî óñëîâèå � ��a U1 , òî òàêæå âûïîëíåíî è óñëîâèå � ��a S1 . Òîãäà, îáîçíà- ÷èâ � ��a b1 è ñîîòâåòñòâåííî a b� � �1, ïîëó÷èì óñëîâèÿ èç ñëó÷àÿ 1, ò.å. ïðè a S� òàêæå ñóùåñòâóåò òî÷íî p� 7 8 òàêèõ çíà÷åíèé a , ÷òî � ��a U1 . Ñëåäîâàòåëüíî, âñåãî ñóùåñòâóåò p p p� � � � �7 8 7 8 7 4 òàêèõ çíà÷åíèé a U� , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî óñëîâèå � ��a U1 . Äëÿ êàæäîãî òàêîãî çíà÷åíèÿ a U� ñó- ùåñòâóåò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ: u a� � �1 è � � � � ��a 1 1 , ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿ- åòñÿ óñëîâèå (9). Ñëåäîâàòåëüíî, âñåãî ñóùåñòâóåò 4 7 4 7 � � � p p òàêèõ ïàð ( , )u � , ÿâ- ëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè (9), ïðè ýòîì u, , , ,� � � � �0 1 2 . Òîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïàðû ( , )x y áóäóò ðåøåíèÿìè (8) ïðè d � 2 . Äîáàâëÿÿ ê ìíîæåñòâó ðåøåíèé âîñåìü òî÷åê ìàëûõ ïîðÿäêîâ, ïîëó÷àåì p p� � � �7 8 1 ïàð, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (8) ïðè d � 2 , ïîýòîìó êâàäðàòè÷íàÿ êðèâàÿ E1 2, ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãó- ëÿðíîé. Êàê áûëî çàìå÷åíî ðàíåå, ïðè ýòîì òàêæå ñóïåðñèíãóëÿðíûìè áóäóò êâàä- ðàòè÷íàÿ êðèâàÿ E 1 2 1, � è ñêðó÷åííûå êðèâûå E� �1 2, è E � � �1 2 1, . Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. Ïðèìåð 1. Ïðîâåðèòü, ÷òî êðèâàÿ E1 2, : x y x y2 2 2 21 2� � � íàä ïîëåì F23 ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé. Íàéòè åå òî÷êè. Ïîñêîëüêó 23 2 8 7� � , òî ñîãëàñíî òåîðåìå 1 êðèâàÿ äîëæíà áûòü ñóïåðñèí- ãóëÿðíîé. Çàïèøåì óðàâíåíèå êðèâîé â ôîðìå (9): y x � � � � � � 2 2 1 1 1 è âûäåëèì âîñåìü òî÷åê ìàëûõ ïîðÿäêîâ: O � ( , )1 0 , D0 1 0� �( , ) , � � �F0 0 1( , ) , D1 2 14, ( , )� � � , F1 2 14, ( , )� � � . (18) Ïîñòðîèì ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, êîòîðûå ïðèíèìàåò ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8): U y y F� � � ��{ { }}2 231 1\| \* , è ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, êîòîðûå ïðèíèìàåò ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8): � � � � � � � � � � � � � � U x x F1 2 23 1 1 1\| \* { } . Äëÿ óäîáñòâà ýëåìåíòû ìíîæåñòâ U è � �U 1 âíåñåì â òàáë. 1. Çàìåòèì, ÷òî òðåòüÿ è ÷åòâåðòàÿ ñòðîêè òàáëèöû ñîäåðæàò ìíîæåñòâà U è � �U 1 ñîîòâåòñòâåí- íî. Ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ìíîæåñòâ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ: U U� � ��( ) , , ,1 2 3 11 15{ } , è ýòî îòðàæåíî â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1: 23 7 4 4 � � . 42 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Äëÿ êàæäîãî a U U� � � �( )1 ïîëó÷àåì ïî äâà çíà÷åíèÿ x F� �23 1* \ { } òàêèõ, ÷òî � � � � 1 12x a , è ïî äâà çíà÷åíèÿ y F� �23 1* \ { } òàêèõ, ÷òî y a� � �2 1 . Ïîýòîìó êàæäîìó çíà÷åíèþ a U U� � � �( )1 ñîîòâåòñòâóåò ÷åòûðå òî÷êè êðèâîé E1 2, . Â òàáë. 2 ïðèâåäåíû ýòè çíà÷åíèÿ. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì 16 òî÷åê êðèâîé: ( , )� �5 10 ; ( , )� �4 12 ; ( , )� �7 5 ; ( , )� �2 6 . (19) Ìíîæåñòâà (18) è (19) ñîäåðæàò âñå 24 òî÷êè êðèâîé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñó- ïåðñèíãóëÿðíîé ñ ïîðÿäêîì p�1. Ïðè d � �2 1 j-èíâàðèàíò (6) êâàäðàòè÷íîé ñóïåðñèíãóëÿðíîé êðèâîé Ýäâàð- äñà ðàâåí j( , )1 2 2 3 11 663 3 3 3� � . Òàêîå æå çíà÷åíèå èìååò j-èíâàðèàíò ñêðó- ÷åííîé ñóïåðñèíãóëÿðíîé êðèâîé Ýäâàðäñà j( , )� � �1 2 663 . Ïðè x y, ,� 0 1 óðàâíåíèÿ êðèâîé (8) ïðè d � �2 1 äëÿ ïàðû èçîìîðôíûõ êâàä- ðàòè÷íûõ êðèâûõ èìåþò âèä E y x d1 2 2 1 1 1 , : � � � � � � ; E y x d1 2 1 2 1 1 2 1 , :� � � � � � � , x p � � 2 3 1 2 , , ..., . (20) Òàê êàê ýëåìåíò �1 — êâàäðàòè÷íûé íåâû÷åò, à 2 — âû÷åò, òî â ñîîòâåò- ñòâèè ñ ëåììîé 1 ñðåäè çíà÷åíèé, êîòîðûå ïðèíèìàþò ïðàâûå ÷àñòè óðàâíå- íèé (20), èìååòñÿ òî÷íî p�3 2 êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ è ñòîëüêî æå êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ. Òàêîå æå ñîîòíîøåíèå ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ ëåâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (20). Èç äîêàçàííîé òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî ïðè p � 7 8( )mod ðîâíî ïîëîâèíà âñåõ êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ, èìåþùèõñÿ ñðåäè çíà÷åíèé ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ýòèõ óðàâíåíèé, ñîâïàäàþò. Òàêîå æå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äëÿ ïîëíîé ñóïåðñèíãóëÿðíîé êðèâîé ñ ïàðàìåòðîì d � �1 è j-èíâàðèàíòîì j( , )1 1 123� � äâà óðàâíåíèÿ äëÿ ïàðû êâàäðàòè÷íîãî êðó- ÷åíèÿ âûðîæäàþòñÿ â îäíî: E y x d1 2 2 1 1 2 1 , :� � � � � � , x p � � 2 3 1 2 , , ..., , ñîâïàäàþùåå ñ (8) ïîñëå çàìåíû 2 2 1� � . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 43 Ò à á ë è ö à 1 Çíà÷åíèÿ x �1 è y �1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 � 8 � 9 � 10 � 11 Çíà÷åíèÿ y �2 4 9 16 2 13 3 18 12 8 6 Çíà÷åíèÿ y � �2 1 3 8 15 1 12 2 17 11 7 5 Çíà÷åíèÿ � �� 1 12 x 15 20 3 22 21 11 19 2 13 9 Ò à á ë è ö à 2 Çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò òî÷åê êðèâîé E1 2, , ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàìåòpó a a � 2 a � 3 a � 11 a � 15 Çíà÷åíèÿ x , ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ � � � � 1 12 x a ± 5 ± 4 ± 7 ± 2 Çíà÷åíèÿ y, ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ y a� � �2 1 ± 10 ± 12 ± 5 ± 6 3. ÑÓÏÅÐÑÈÍÃÓËßÐÍÛÅ ÑÊÐÓ×ÅÍÍÛÅ ÊÐÈÂÛÅ ÝÄÂÀÐÄÑÀ Ñ ÄÐÓÃÈÌÈ ÇÍÀ×ÅÍÈßÌÈ j-ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÀ Â ðàáîòå [5] îïðåäåëåíû âñå ñóïåðñèíãóëÿðíûå êðèâûå â êëàññå êðèâûõ â ôîðìå Ëåæàíäðà ñ îäíèì ïàðàìåòðîì � : E � : y x x x2 1� � �( )( )� , � � 0 1, (21) è j-èíâàðèàíòîì j( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � 2 1 1 8 2 3 2 2 , (22) à òàêæå äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñì. [5, òåîðåìà 4.34]). Ïóñòü p — íå÷åòíîå ïðîñòîå ÷èñëî. Îïðåäåëèì ïîëèíîì H z i z p i i p ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � ! 1 2 0 1 2 . (23) Òîãäà ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ (21) ñ ��Fp ÿâëÿåòñÿ ñóïåðñèíãóëÿðíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà H ( )� � 0 . Åñëè ��Q p è ñóùåñòâóåò òàêîå e Fp� , ÷òî � � e2 , òî êðèâàÿ (21) ïîñëå çàìå- íû x e u� , y e D 3 3 2� � ñâîäèòñÿ ê ôîðìå Ìîíòãîìåðè (5): D u e e u u� 2 3 2 21 � � � � . (24) Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû � � � � � 1 2 1 1 2e e d d ïðè u2 â óðàâíåíèè (24) è óðàâ- íåíèè (5), ïîëó÷àåì d e e � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 2 2 � � . (25) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èçîìîðôèçì ìåæäó êðèâûìè â ôîðìå Ëåæàíäðà (21) è Ýäâàðäñà (1) äîñòèãàåòñÿ ëèøü äëÿ êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà (7) ïðè � � e2 . Ñîãëàñíî ïðèìåðó 4.14 èç [5] ïðè p � 23 ôàêòîðèçàöèÿ ïîëèíîìà (23) 11-é ñòåïåíè èìååò âèä H z z z z z z z( ) ( )( )( )( )( )( )� � � � � � � �3 8 21 11 13 16 � � � � � �( )( )( )( )z z z z z2 12 1 12 . (26) Çäåñü ïåðâûå øåñòü ñîìíîæèòåëåé ñîäåðæàò ïàðû âçàèìíî-îáðàòíûõ êîðíåé � � � � 1 1 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � �� " �" � � " �" , ( ) , , �1 3� , ïîðîæäàþùèõ èçîìîðôíûå ñóïåðñèíãó- ëÿðíûå êðèâûå ñ îäèíàêîâûì çíà÷åíèåì j-èíâàðèàíòà (22), ðàâíûì j( ) mod3 66 23 193� � . Îíè çàïèñàíû â ïåðâîé ñòðîêå òàáë. 3. Âî âòîðîé ñòðîêå òàáëèöû ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà d èçîìîðôíûõ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà, âû÷èñëåííûõ ñîãëàñíî ôîðìóëå (25), ãäå 3 7� � , 13 6� � . Êîðíè ïîëèíîìà H z( ), ÿâëÿþùèåñÿ êâàäðàòè÷íûìè íåâû÷å- òàìè, èñêëþ÷àþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà. Â ðåçóëü- òàòå â òàáë. 3 îñòàëèñü äâå ïàðû ïàðàìåòðîâ d � � �{ }2 131 1, . Ñëåäóþùèå òðè êîðíÿ ïîëèíîìà (26) ïîðîæäàþò ñóïåðñèíãóëÿðíûå êðèâûå â ôîðìå Ëåæàíäðà ñ j-èíâàðèàíòîì (22), ðàâíûì j( )2 12 23 33� �mod . Êâàäðàòè÷- íûì âû÷åòàì � � �2 1 ñîãëàñíî (25) ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðû d � �3 1 èçîìîð- ôíûõ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà. Òîò æå ðåçóëüòàò ïî- ëó÷àåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (12) èç ðàáîòû [1] äëÿ êðèâûõ ñ j d( , )1 123� . 44 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 Èòàê, ïðè p � 23 èìååì øåñòü ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ ïàðàìåòðàìè d �{ }2 12 13 16 3 8, , , , , ñî çíà÷åíèÿìè j-èíâàðèàíòîâ j d( , ) ,1 66 123 3� { }. Èõ êâàäðàòè÷íîå êðó÷åíèå îáðàçóåò øåñòü ñóïåðñèíãóëÿð- íûõ ñêðó÷åííûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ ïàðàìåòðàìè a � �1 è �d . Äðóãèõ ñóïåðñèí- ãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà â ýòèõ êëàññàõ íàä ïðîñòûì ïîëåì ïðè p � 23 íå ñó- ùåñòâóåò. Â ðàçëîæåíèè (26) ïîëèíîìà H z( ) ïîñëåäíèé ñîìíîæèòåëü èìååò äâà êîðíÿ â ðàñøèðåíèè Fp2 , â êîòîðîì ñîãëàñíî (22) âîçíèêàþò ñóïåðñèíãóëÿðíûå ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà ñ íóëåâûì j-èíâàðèàíòîì. Íàä ïðîñòûì ïîëåì â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 1 èç [1] è ôàêòîðèçàöèåé H z( ) (26) â äàííîì ïðè- ìåðå èõ íå ñóùåñòâóåò. Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 4.34 èç [5], ÷èñëî ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî ìîäóëþ ð. Íàïðèìåð, ïðè p � 47 èìååòñÿ 10 ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êâàäðàòè÷íûõ êðèâûõ (9) ñ ïàðàìåòðàìè d � � � � � �{ }2 7 4 9 171 1 1 1 1, , , , , èç êîòîðûõ òîëüêî ïåðâûå òðè ïàðû çíà÷åíèé îïðåäåëåíû òåîðåìîé 2 èç [1] è òåîðåìîé 1 íàñòî- ÿùåé ñòàòüè. Ýòè òåîðåìû ïîçâîëÿþò ëåãêî íàéòè ñóïåðñèíãóëÿðíûå ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ p, òîãäà êàê â îáëàñòè êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ïîèñê äðóãèõ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 4.34 èç [5] è ôîðìóëû (26) íàñòîÿùåé ñòàòüè ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåðåàëèçóåìûì. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ñòàòüå îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñóïåðñèíãóëÿðíûõ ñêðó- ÷åííûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì ñ j-èíâàðèàíòîì, ðàâíûì 663 . Òàêæå ïîñòðîåíû ñóïåðñèíãóëÿðíûå ñêðó÷åííûå êðèâûå ñ äðóãèìè çíà÷åíèÿìè j-èíâàðè- àíòà è îáîáùåíû íåêîòîðûå ïîëó÷åííûå ðàíåå ðåçóëüòàòû, èñïîëüçóþùèå èçîìîð- ôèçì êðèâûõ â ôîðìàõ Ëåæàíäðà è Ýäâàðäñà. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ñó- ïåðñèíãóëÿðíûõ êðèâûõ Ýäâàðäñà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Áåññàëîâ À.Â., Êîâàëü÷óê Ë.Â. Ñóïåðñèíãóëÿðíûå ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì. I. Ñóïåðñèíãóëÿðíûå ñêðó÷åííûå êðèâûå Ýäâàðäñà ñ j-èíâàðèàíòàìè, ðàâíûìè íóëþ è 123. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 3. Ñ. 3–10. 2. Áåññàëîâ À.Â. Ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå â ôîðìå Ýäâàðäñà è êðèïòîãðàôèÿ. Êèåâ: ÊÏÈ èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî. Èçä-âî Ïîëiòåõíiêà, 2017. 272 ñ. 3. Bernstein D.J., Lange T. Faster addition and doubling on elliptic curves. In: Advances in Cryptology—ASIACRYPT’2007 (Proc. 13th Int. Conf. on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Kuching, Malaysia. December 2–6, 2007). Lect. Notes Comp. Sci. Vol. 4833. Berlin: Springer, 2007. P. 29–50. 4. Menezes A.J, Okamoto T., Vanstone S.A. Reducing elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field. IEEE Transactions on Information Theory. 1993. Vol. 39, Iss. 5. P. 1639–1646. 5. Washington L.C. Elliptic curvres. Number theory and cryptography. Second Edition. CRC Press, 2008. 513 p. 6. De Feo L., Jao D., Pl�u t J. Towards quantum-resistant cryptosystems from supersingular elliptic curve isogenies. J. Mathematical Cryptology. 2014. Vol. 8, N 3. P. 209–247. 7. Unruh D. Non-interactive zero-knowledge proofs in the quantum random oracle model. Berlin; Heidelberg: Springer, 2015. P. 755–784. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 45 Ò à á ë è ö à 3 Êîðíè ïîëèíîìà �1 �1 1� 1 1� � 1 1 1� � � � � 1 11� � � 1 1 1 1� � � � � � � Çíà÷åíèå êîðíÿ � 3 8 21 11 13 16 Ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå ïàðàìàòðà d 12 2 – – 13 16 8. Yoo Y., Azarderakhsh R., Jalali A., Jao D., Soukharev V. A post-quantum digital signature scheme based on supersingular isogenies. Cryptology ePrint Archive, Report 2017/186, 2017. URL: http://eprint.iacr.org/2017/186. 18 p. 9. Bernstein D.J., Birkner P., Joye M., Lange T., Peters Ch. Twisted Edwards curves. IST Programme under Contract IST–2002–507932 ECRYPT and in Part by the National Science Foundation under Grant ITR–0716498, 2008. Ð. 1–17. 10. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. Âçàèìîñâÿçü ñåìåéñòâ òî÷åê áîëüøèõ ïîðÿäêîâ êðèâîé Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. 2015. Ò. 51, âûï 4. C. 92–98. 11. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. Êëàññèôèêàöèÿ êðèâûõ â ôîðìå Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì. Ïðèêëàäíàÿ ðàäèîýëåêòðîíèêà. 2015. Ò. 14, ¹ 4. Ñ. 197–203. 12. Áåññàëîâ À.Â., Öûãàíêîâà Î.Â. ×èñëî êðèâûõ â îáîáùåííîé ôîðìå Ýäâàðäñà ñ ìèíèìàëüíûì ÷åòíûì êîôàêòîðîì ïîðÿäêà êðèâîé. Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. 2017. Ò. 53, âûï. 1. Ñ. 101–111. 13. Áåññàëîâ À.Â., Òåëèæåíêî À.Á. Êðèïòîñèñòåìû íà ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ. Êèåâ: ²ÂÖ «Ïîë³òåõí³êà», 2004. 224 ñ. 14. Morain F. Edwards curves and CM curves. ArXiv 0904/2243v1 [Math.NT] Apr.15, 2009. 15 p. 15. Áåññàëîâ À.Â., Êîâàëü÷óê Ë.Â. Òî÷íîå ÷èñëî ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå, èçîìîðôíûõ êðèâûì Ýäâàðäñà íàä ïðîñòûì ïîëåì. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2015. Ò. 51, ¹ 2. Ñ. 3–12. 16. Áåñïàëîâ Î. Óçàãàëüíåííÿ ëåìè Ãàóññà ïðî õàðàêòåðè ïàð åëåìåíò³â ïðîñòîãî ñê³í÷åííîãî ïîëÿ. Çá. íàóê. ïðàöü ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè òà Êàì’ÿ- íåöü-Ïîäîëüñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ ²âàíà Îã³ºíêà. 2017. Âèï. 15. Ñ. 26–31. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 15.05.2018 À.Â. Áåññàëîâ, Ë.Â. Êîâàëü÷óê ÑÓÏÅÐÑ²ÍÃÓËßÐÍI ÑÊÐÓ×ÅÍI ÊÐÈÂ² ÅÄÂÀÐÄÑA ÍÀÄ ÏÐÎÑÒÈÌ ÏÎËÅÌ. ²I. ÑÓÏÅÐÑ²ÍÃÓËßÐÍI ÑÊÐÓ×ÅÍI ÊÐÈÂ² ÅÄÂÀÐÄÑÀ Ç j-²ÍÂÀÐ²ÀÍÒÎÌ, ßÊÈÉ ÄÎÐ²ÂÍÞª 663 Àíîòàö³ÿ. Côîðìóëüîâàíî ³ äîâåäåíî òåîðåìè ïðî óìîâè ³ñíóâàííÿ ñó- ïåðñ³íãóëÿðíèõ êðèâèõ Åäâàðäñà íàä ïðîñòèì ïîëåì ç j-³íâàð³àíòîì, ÿêèé äîð³âíþº 663, ³ ç ³íøèìè çíà÷åííÿìè j-³íâàð³àíò³â. Íàâåäåíî óçàãàëüíåííÿ îòðèìàíèõ ðàí³øå ðåçóëüòàò³â, ùî âèêîðèñòîâóº ³çîìîðô³çì êðèâèõ ó ôîð- ìàõ Ëåæàíäðà ³ Åäâàðäñà. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ñóïåðñ³íãóëÿðíà êðèâà, ïîâíà êðèâà Åäâàðäñà, ñêðó÷åíà êðè- âà Åäâàðäñà, êâàäðàòè÷íà êðèâà Åäâàðäñà, ïàðà êâàäðàòè÷íîãî êðó÷åííÿ, ïî- ðÿäîê òî÷êè, ñèìâîë Ëåæàíäðà, êâàäðàòè÷íèé ëèøîê, êâàäðàòè÷íèé íåëèøîê. A.V. Bessalov, L.V. Kovalchuk SUPERSINGULAR TWISTED EDWARDS CURVES OVER A SIMPLE FIELD. ²I. SUPERSINGULAR TWISTED EDWARDS CURVES WITH AN j-INVARIANT EQUAL TO 663 Abstract. Theorems on the existence conditions for Edwards super singular curves over a simple field with an j-invariant equal to 663 and with other values of the j-invariants were formulated and proved. A generalization of the previously obtained results using the isomorphism of curves in the Legendre and Edwards forms is given. Keywords: supersingular curve, complete Edwards curve, twisted Edwards curve, quadratic Edwards curve, torsion pair, point order, Legendre symbol, quadratic residue, quadratic non-deduction. Áåññàëîâ Àíàòîëèé Âëàäèìèðîâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Áîðèñà Ãðèí÷åíêî; ïðîôåññîð êàôåäðû Ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÍÒÓÓ «ÊÏÈ èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», e-mail: bessalov@ukr.net. Êîâàëü÷óê Ëþäìèëà Âàñèëüåâíà, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, ïðîôåññîð êàôåäðû Ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÍÒÓÓ «ÊÏÈ èìåíè Èãîðÿ Ñèêîðñêîãî», Êèåâ, e-mail: lusi.kovalchuk@gmail.com. 46 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5

Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса над простым полем. ІI. Суперсингулярные скрученные кривые Эдвардса с j-инвариантом, равным 66³

Institution

Ähnliche Einträge