Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I
Решена задача сближения управляемых объектов на основе метода разрешающих функций. Предложены достаточные условия окончания игры за конечное гарантированное время в случае, когда условие Понтрягина не выполняется. Введены верхние и нижние разрешающие функции разных типов. На их основе разработаны дв...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2019
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181038 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 143-155. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-181038 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1810382021-10-30T01:26:17Z Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I Раппопорт, И.С. Системний аналіз Решена задача сближения управляемых объектов на основе метода разрешающих функций. Предложены достаточные условия окончания игры за конечное гарантированное время в случае, когда условие Понтрягина не выполняется. Введены верхние и нижние разрешающие функции разных типов. На их основе разработаны две схемы метода разрешающих функций, обеспечивающих завершение дифференциальной игры в классе квазистратегий и контруправлений. Розв’язано задачу зближення керованих об’єктів на основі методу розв’язувальних функцій. Запропоновано достатні умови закінчення гри за скінченний гарантований час у випадку, коли умова Понтрягіна не виконується. Введено верхні і нижні розв’язувальні функції різних типів. На їхній основі розроблено дві схеми методу розв’язувальних функцій, що забезпечують завершення диференціальної гри в класі квазістратегій і контркерувань. The problem of approach of control objects is solved on the basis of the method of resolving functions. Sufficient conditions for game ending in a final guaranteed time are proposed in the case when the Pontryagin condition is not satisfied. The upper and lower resolving functions of different types are introduced and used to develop two schemes of the method of resolving functions that ensure the completion of the differential game in the class of quasi-strategies and counter-controls. 2019 Article Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 143-155. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181038 517.977 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системний аналіз Системний аналіз |
| spellingShingle |
Системний аналіз Системний аналіз Раппопорт, И.С. Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I Кибернетика и системный анализ |
| description |
Решена задача сближения управляемых объектов на основе метода разрешающих функций. Предложены достаточные условия окончания игры за конечное гарантированное время в случае, когда условие Понтрягина не выполняется. Введены верхние и нижние разрешающие функции разных типов. На их основе разработаны две схемы метода разрешающих функций, обеспечивающих завершение дифференциальной игры в классе квазистратегий и контруправлений. |
| format |
Article |
| author |
Раппопорт, И.С. |
| author_facet |
Раппопорт, И.С. |
| author_sort |
Раппопорт, И.С. |
| title |
Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I |
| title_short |
Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I |
| title_full |
Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I |
| title_fullStr |
Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I |
| title_full_unstemmed |
Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. I |
| title_sort |
достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики. i |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2019 |
| topic_facet |
Системний аналіз |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/181038 |
| citation_txt |
Достаточные условия сближения управляемых объектов в игровых задачах динамики / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2019. — Т. 55, № 5. — С. 143-155. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT rappoportis dostatočnyeusloviâsbliženiâupravlâemyhobʺektovvigrovyhzadačahdinamikii |
| first_indexed |
2025-07-15T21:33:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T21:33:57Z |
| _version_ |
1837750275670016000 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
ÄÎÑÒÀÒÎ×ÍÛÅ ÓÑËÎÂÈß ÑÁËÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ
ÎÁÚÅÊÒΠ ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÄÈÍÀÌÈÊÈ. I
Àííîòàöèÿ. Ðåøåíà çàäà÷à ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ íà îñíîâå ìå-
òîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Ïðåäëîæåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ
èãðû çà êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå Ïîíòðÿãè-
íà íå âûïîëíÿåòñÿ. Ââåäåíû âåðõíèå è íèæíèå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè ðàç-
íûõ òèïîâ. Íà èõ îñíîâå ðàçðàáîòàíû äâå ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé, îáåñïå÷èâàþùèõ çàâåðøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû â êëàññå
êâàçèñòðàòåãèé è êîíòðóïðàâëåíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êâàçèëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà, ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå, èçìåðèìûé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîïè÷åñêàÿ ñòðàòåãèÿ, ðàçðåøàþ-
ùàÿ ôóíêöèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîáëåìû ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåê-
òîâ â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè íà îñíîâå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [1].
Äàííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííóþ òåõíèêó ìíî-
ãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è èõ ñåëåêòîðîâ â îáîñíîâàíèÿõ èãðîâûõ êîíñòðóê-
öèé è ïîëó÷àòü ñîäåðæàòåëüíûå ðåçóëüòàòû.  ëþáûõ ôîðìàõ ìåòîäà ðàçðåøà-
þùèõ ôóíêöèé ãëàâíûì ÿâëÿåòñÿ íàêîïèòåëüíûé ïðèíöèï, êîòîðûé ïðèìåíÿåò-
ñÿ â òåêóùåì ñóììèðîâàíèè ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè äëÿ îöåíêè êà÷åñòâà èãðû
ïåðâîãî èãðîêà âïëîòü äî äîñòèæåíèÿ íåêîòîðîãî ïîðîãîâîãî çíà÷åíèÿ.
 îòëè÷èå îò îñíîâíîé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â ñòàòüå èññëå-
äóåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå èìååò ìåñòà. Ñëåäóÿ ìåòîäèêå ðàáî-
òû [2], âìåñòî ñåëåêòîðà Ïîíòðÿãèíà, êîòîðîãî íå ñóùåñòâóåò, ðàññìàòðèâàåòñÿ
íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ñäâèãà è ñ åå ïîìîùüþ ââîäÿòñÿ ñïåöèàëüíûå ìíîãîçíà÷íûå
îòîáðàæåíèÿ, ïîðîæäàþùèå âåðõíèå è íèæíèå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè äâóõ òè-
ïîâ. Íà îñíîâå ýòèõ ôóíêöèé ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè çà-
äà÷è ñáëèæåíèÿ çà íåêîòîðîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ.
Äàííàÿ ðàáîòà ïðîäîëæàåò èññëåäîâàíèÿ [1, 2] è ïðèìûêàåò ê ïóáëèêàöèÿì [3–22].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ, ýâîëþöèÿ êîòîðîãî îïèñûâàåò-
ñÿ ðàâåíñòâîì
z t g t t u d
t
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � �� � � � � � �
0
, t � 0. (1)
Çäåñü z t R n( ) � , ôóíêöèÿ g t( ), g R R n: � � , èçìåðèìà ïî Ëåáåãó [8] è îãðàíè-
÷åíà ïðè t 0, ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � , t � �� 0, èçìåðèìà ïî t, à òàêæå
ñóììèðóåìà ïî � äëÿ êàæäîãî t R� � . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé
� �( , )u , �: U V R n
� , íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ íà ïðÿìîì
ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V ; m, l, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )� , u R U: � � , è � �( ), � : ,R V� � ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìû-
ìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 143
© È.Ñ. Ðàïïîïîðò, 2019
Êðîìå ïðîöåññà (1) çàäàíî òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M * , èìåþùåå öèëèí-
äðè÷åñêèé âèä
M M M* � �0 , (2)
ãäå M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç R n , à M — êîìïàêò èç îðòîãîíàëü-
íîãî äîïîëíåíèÿ L ê ïîäïðîñòðàíñòâó M 0 â R n .
Öåëè ïåðâîãî ( )u è âòîðîãî ( )� èãðîêîâ ïðîòèâîïîëîæíû. Ïåðâûé (ïðå-
ñëåäîâàòåëü) ïûòàåòñÿ âûâåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåññà (1) íà òåðìèíàëüíîå
ìíîæåñòâî (2) çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à äðóãîé (óáåãàþùèé) — ìàêñèìàëüíî îòòÿ-
íóòü ìîìåíò ïîïàäàíèÿ òðàåêòîðèè íà ìíîæåñòâî M * èëè èçáåæàòü âñòðå÷è.
Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà, è åñëè èãðà (1), (2) ïðîäîëæàåòñÿ íà èíòåð-
âàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà â ìîìåíò t âûáåðåì íà îñíîâå èíôîðìà-
öèè î g T( ) è � t ( )� , ò.å. â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
u t u g T t( ) ( ( ), ( ))� �� , t T�[ , ]0 , u t U( ) � , (3)
ãäå � �t s s t( ) ( ): [ , ]� � �{ }0 — ïðåäûñòîðèÿ óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà ê ìî-
ìåíòó t, èëè â âèäå êîíòðóïðàâëåíèÿ
u t u g T( ) ( ( ), ( ))� �� , t T�[ , ]0 , u t U( ) � . (4)
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, g t e zAt( ) � 0 , � ( , ) ( )t eA t� �� � , z z( )0 0� , à eAt — ìàò-
ðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà, òî ïîëàãàåì, ÷òî óïðàâëåíèå u t u z t( ) ( , ( ))� �0 � ðåàëèçóåò
êâàçèñòðàòåãèþ [6], à êîíòðóïðàâëåíèå [3] u t u z( ) ( , ( ))� �0 � ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíè-
åì ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè Õàéåêà [7].
Îáîçíà÷èì � îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ èç R n â L. Ïîëîæèâ
� � � �( , ) ( , ):U u u U� �{ }, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t t U
0
( , , ) ( , ) ( , )� � � � � �� � , W t W t
V
0 0( , ) ( , , )� � �
�
�
�
�
íà ìíîæåñòâàõ
V è
ñîîòâåòñòâåííî, ãäå
� { }( , ):t t� �0 � � � � . Áóäåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t0 ( , , )� � èìååò çàìêíóòûå çíà-
÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå
V .
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t0 ( , )� ïðèíèìàåò íå-
ïóñòûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå
.
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé î ìàòðè÷íîé ôóíêöèè � ( , )t � çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè
ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � � �� ( , ) ( , )t u áóäåò L B� -èçìåðè-
ìîé ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V è íåïðåðûâíîé ïî u U� . Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè òåîðåìû
î ïðÿìîì îáðàçå [8] ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
W t0 ( , , )� � èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî
( , ) [ , ]� � �
0 t V . Òîãäà â ñèëó ëåììû 5 [1] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t0 ( , )� —
èçìåðèìîå ïî �, � �[ , ]0 t , çàìêíóòîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå.
Èç óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è òåîðåìû îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] âûòå-
êàåò, ÷òî ïðè ëþáîì t 0 ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ñåëåêòîð Ïîíòðÿ-
ãèíà � �0 ( , )t òàêîé, ÷òî � � �0 0( , ) ( , )t W t� , ( , )t � �
. Ââåäåì ôóíêöèþ
� � � � � � �0 0 0
0
( ) ( , ( ), ( , )) ( ) ( , )t t g t t g t t d
t
� � � � � .
 ñèëó ïðåäïîëîæåíèé ñåëåêòîð Ïîíòðÿãèíà � �0 ( , )t — ñóììèðóåìàÿ ïî �,
� �[ , ]0 t , ôóíêöèÿ ïðè ëþáîì t 0.
144 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
P { }( ( ), ( , )) : ( , ( ), ( , ))g t M t g t t� � � � � � � �� � �0 00 0 . (5)
Åñëè âêëþ÷åíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (5) íå âûïîëíÿåòñÿ íè äëÿ
êàêèõ t � 0, òî ïîëîæèì P( ( ), ( , ))g � � � ��� 0 .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåëåêòîðà Ïîíòðÿãèíà � 0 ( , )� �
ìíîæåñòâî P( ( ), ( , ))g � � �� 0 íå ïóñòî è P P0 0� � � �( ( ), ( , ))g � . Òîãäà èãðà ìîæåò
áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò P0 ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]0 P . Îïðåäåëèì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì äëÿ � �[ , ]0 0P , � �V ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U u0 0 0 0 0( , ) : ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � �� � � �{ P P }� .
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) îòîáðàæåíèå U 0 ( , )� � L B� -èçìåðè-
ìî [1] ïðè � �V , � �[ , ]0 P . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåê-
òîðà [8] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U 0 ( , )� � ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñå-
ëåêòîð u0 ( , )� � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [1].
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ðàâíûì u u0 0( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]0 P .
Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì
� � � � � � � � �z g u( ) ( , ( ), ( , )) ( ( , ) ( ( ), ( ))P P P P P0 0 0 0 0 0� � � �� � � �( , ))P
P
0
0
0
d� . (6)
Òîãäà, ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì, èç ñîîòíîøåíèå (6)
ñëåäóåò
� � � � �z g M g M( ) ( , ( ), ( , )) ( , ( ), ( , ))P P P P P P P0 0 0 0 0 0 0� � � � � � ,
ïîýòîìó z M( ) *P0 � .
Ïóñòü � �( , )t , � :
� L,
� { }( , ) :t t� �0 � � � � , — íåêîòîðàÿ, ïî÷òè âñþäó
îãðàíè÷åííàÿ èçìåðèìàÿ ïî t è ñóììèðóåìàÿ ïî �, � �[ , ]0 T , äëÿ êàæäîãî t 0
ôóíêöèÿ, êîòîðóþ íàçîâåì ôóíêöèåé ñäâèãà. Ââåäåì ôóíêöèþ
� � � � � � �( ) ( , ( ), ( , )) ( ) ( , )t t g t t g t t d
t
� � � � �
0
.
 ñèëó ïðåäïîëîæåíèé ñåëåêòîð � �( , )t ÿâëÿåòñÿ ñóììèðóåìîé ïî �, � �[ , ]0 t ,
ôóíêöèåé ïðè ëþáîì t 0.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , ) :[ ( , ) ( , ) ( , )] [ ( )]t t U t M t� � � � � � � � � � �� � � � � ��{ }0 � . (7)
Óñëîâèå 1. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ФA ( , , )t � � ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷å-
íèÿ íà ìíîæåñòâå
V .
Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî, ñëåäóÿ ðàáîòå [1], ââåäåì âåðõíþþ è íèæ-
íþþ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè ïåðâîãî òèïà
� � � � � � �* ( , , ) : ( , , )t t� �sup { }A ,
� � � � � � �
*
( , , ) : ( , , )t t� �inf { }A , � �[ , ]0 t , � �V .
Ìîæíî ïîêàçàòü [1], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (7) çàìêíóòîçíà÷íî,
L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]0 t , � �V , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðå-
øàþùèå ôóíêöèè L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]0 t , � �V .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 145
Ïóñòü V t( , )0 — ñîâîêóïíîñòü èçìåðèìûõ ôóíêöèé � �( ), � �[ , ]0 t , ñî çíà÷åíè-
ÿìè èç V . Ïîñêîëüêó ïðè ôèêñèðîâàííîì t ôóíêöèè � � �* ( , , )t è � � �
*
( , , )t
L B� -èçìåðèìû ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]0 t , � �V , îíè ñóïåðïîçèöèîííî èç-
ìåðèìû [1], ò.å. � � � �* ( , , ( ))t è � � � �
*
( , , ( ))t èçìåðèìû ïî �, � �[ , ]0 t , ïðè ëþáîé
èçìåðèìîé ôóíêöèè �( ) ( , )� �V t0 .
Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî óñëîâèå 1.
Ðàññìîòðèì ïðè � �V , � �[ , ]0 t , t 0, êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U t u t t M t
* *
( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , , )[ ( )� � � � � � � � � � � �� � � � �{ � ]}. (8)
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) è íèæíåé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè
� � �
*
( , , )t êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (8) L B� -èçìåðèìî [1] ïðè � �V ,
� �[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t t U t
* *
( , , ) ( , ) ( ( , ), ) ( , )� � � � � � � � � �� �� , W t W t
V
* *
( , ) ( , , )� � �
�
�
�
� (9)
íà ìíîæåñòâàõ
V è
ñîîòâåòñòâåííî, ãäå
� { }( , ) :t t� �0 � � � � .
Óñëîâèå 2. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t
*
( , )� ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷å-
íèÿ íà ìíîæåñòâå
.
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé î ìàòðè÷íîé ôóíêöèè � ( , )t � çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè
ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � � �� ( , ) ( , )t u áóäåò L B� -èçìåðè-
ìîé ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V è íåïðåðûâíîé ïî u U�
*
( , )� � . Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè òåî-
ðåìû î ïðÿìîì îáðàçå [8] ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå W t
*
( , , )� � èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî
( , ) [ , ]� � �
0 t V . Òîãäà â ñèëó ëåììû 5 [1] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t
*
( , )� —
èçìåðèìîå ïî �, � �[ , ]0 t , çàìêíóòîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
P
*
( ( ), ( , ))g � � � ��
= inft M t g t t t
V t
� � � �
� �
0 0
0
: ( , ( ), ( , )), ( , , (
( ) ( , )
*
� � � � � �
�
))
0
1
t
d� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� . (10)
Åñëè âêëþ÷åíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (10) íå âûïîëíÿåòñÿ íè äëÿ
êàêèõ t � 0, òî ïîëîæèì P
*
( ( ), ( , ))g � � � ��� .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ 1, 2, ìíîæåñòâî M âûïóêëî, äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè ñäâèãà
� ( , )� � ìíîæåñòâî P
*
( ( ), ( , ))g � � �� íå ïóñòî è P P
* *
( ( ), ( , ))� � � �g � . Òîãäà èãðà ìî-
æåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò P
*
ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]
*
0 P . Èç óñëîâèÿ 2 è òåîðåìû îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] âû-
òåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ñåëåêòîð � �
* *
( , )P òàêîé, ÷òî
� � �
* * * *
( , ) ( , )P P�W , � �[ , ]
*
0 P . Ïîýòîìó äëÿ � �[ , ]
*
0 P èìååì � �
*
P( , )
*
�
� �� � � � �
* * *
( , , ( ))[ ( )]P PM . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå
� � � � � � � � �
�* *
( ) ( ),
* * *
( , ) inf ( , , ( ))[ ( )]
*
P P P
P
d M d
V
� �
� � 0
00
PP
**
�� ,
êîòîðîå c ó÷åòîì ñâîéñòâ îïîðíûõ ôóíêöèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
146 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
� � � � � �
�* *
( ) ( ),
* *
( , ) , inf ( , ,
*
*
P P
P
P
d C
V
0
0
�
�
�
�
�
�
!
!
�
� �
( ))[ ( )] ,
*
*
� � � M d�
�
�
�
�
�
!
!
�� P
P
0
� � �
� � �inf ( , , ( )) ( ( ), ) (
( ) ( ),
* * *
*
*
�
� � � � � �
V
d C M C
0
0
P
P
P P M � � ( ), )
*
P .
Çäåñü ó÷òåíû óñëîâèÿ ñîîòíîøåíèÿ (10) è ñâîéñòâà îïîðíûõ ôóíêöèé
C X( , ) [9]. Òàêèì îáðàçîì, èìååì
� � � �
* * *
( , ) ( )
*
P P
P
d M� ��
0
. (11)
Ðàññìîòðèì ïðè � �V , � �[ , ]
*
0 P êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå
U u U u
* * * * *
( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}� � � � � � � � � �� � � �{ P P P� . (12)
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U
*
( , )� � L B� -èçìåðèìî [1] ïðè � �V , � �[ , ]*0 P . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èç-
ìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U
*
( , )� � ñîäåðæèò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u
*
( , )� � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìå-
ðèìîé ôóíêöèåé [1].
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà u u
* *
( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]
*
0 P . Ñ ó÷åòîì
ôîðìóëû (1) ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � �z u d( ) ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))
* * * * *
*
P P P P
P
� � �� �
0
. (13)
Òîãäà èç ñîîòíîøåíèé (11)–(13) âûòåêàåò âêëþ÷åíèå
� � �z M( ) ( ) ( )
* * *
P P P� � � � M
è, ñëåäîâàòåëüíî, z M( )
*
*P � , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
ÊÂÀÇÈÑÒÐÀÒÅÃÈß ÑÁËÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÎÁÚÅÊÒÎÂ
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T g( ( ), ( , ))� � � ��
= inf inft t d
V t
t
V
� �
� � � ��0 1
0
0
0
: ( , , ( )) ,
( ) ( , )
*
( ) (� �
� � � � �
, )
* ( , , ( ))
t
t
t d� � � � �
0
1� �
�
�
�
��
�
�
�
��
. (14)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 èìååì � � �* ( , , )t " �� äëÿ � �[ , ]0 t , � �V , òî çíà÷åíèå
ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (14) åñòåñòâåííî
ïîëîæèòü ðàâíûì �� è t T g� � � �( ( ), ( , ))� , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâî äðóãîå
íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ äàííîãî ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà
íåðàâåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (14) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t 0, ïîëîæèì
T g( ( ), ( , ))� � � ��� .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ 1, 2, ìíîæåñòâî M âûïóêëî, äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà � ( , )� �
ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � �� íå ïóñòî è T T g� � � �( ( ), ( , ))� . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü
çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]0 T .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� # è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t T d T
t
V t T
( ) ( , , ( )) ( , , ( )*
( ) ( , )
*
� � �� � �
1
0
� � � � � � � � �
�
inf )d
t
T
�� , t T�[ , ]0 .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 147
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T d
V T
T
( ) ( , , ( ))
( ) ( , )
*
0 1 0
0
0
� �
� � �inf
�
� � � � � ,
h T T d t
T
V T
( ) ( , , ( )) ( , , (*
( ) ( , )
*� � � �� � �
1 1
0
0
� � � � � � � �
�
inf � �))
0
0
T
d� � .
Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìå-
íè t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0. Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
çàâèñèò
îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ): [ , ]
*
� � �{ }0 .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )
*
0 t , [ , ]
*
t T íàçîâåì «àêòèâíûì» è «ïàññèâíûì»
ñîîòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà êàæäîì èç íèõ.
Íà «àêòèâíîì» ïðîìåæóòêå � �[ , )
*
0 t ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå
U u U T u T* ( , ) : ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � �� � � �{ �
� �� � � �* ( , , )[ ( )]T M T }, � �[ , ).
*
0 t (15)
Èç ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèÿ A ( , , )T � � ñëåäóåò, ÷òî ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæå-
íèÿ U * ( , )� � èìåþò íåïóñòûå îáðàçû. Â ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1)
è âåðõíåé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè � � �* ( , , )T êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U * ( , )� � ïðè � �V , � �[ , )
*
0 t L B� -èçìåðèìî [1]. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìå-
ðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] â êàæäîì èç íèõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èç-
ìåðèìûé ñåëåêòîð u* ( , )� � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé
ôóíêöèåé [1]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà «àêòèâíîì» ïðîìåæóòêå
ðàâíûì u u* *( ) ( , ( ))� � � �� .
Ðàññìîòðèì «ïàññèâíûé» ïðîìåæóòîê [ , ]
*
t T . Èç óñëîâèÿ 2 è òåîðåìû îá èç-
ìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð � �
*
( , )T òàêîé, ÷òî � � �
* *
( , ) ( , )T W T� , � �[ , ]*t T . Ïîýòîìó äëÿ
� �[ , ]
*
t T èìååì � � � � � � �
* *
( , ) ( , , ( ))[ ( )]T T M T� � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî
âêëþ÷åíèå
� � � � � � � � �
�* ( ) ( , )
*
( , ) ( , , ( ))[ ( )]
*
*
T d T M T d
V t T
t
T
� �
� �
inf ��
t
T
*
. (16)
Íà «ïàññèâíîì» ïðîìåæóòêå [ , ]
*
t T ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U T u T T
* *
( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � � � �� � � �{ }� . (17)
Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ U
*
( , )� � èìåþò íåïóñòûå îáðàçû. Â ñèëó
ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå U
*
( , )� � ïðè
� �V , � �[ , ]
*
t T L B� -èçìåðèìî [1]. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå
ñåëåêòîðà [8] ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u
*
( , )� � , êîòî-
ðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé [1]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå
ïåðâîãî èãðîêà íà «ïàññèâíîì» ïðîìåæóòêå ðàâíûì u u
* *
( ) ( , ( ))� � � �� .
Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (1), ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � �z T T T u T d
t
( ) ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))*
*
� � � �� �
0
� �� ( ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))*
*
� � � � � � � � �� T u T d
t
T
. (18)
148 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
Èç (15)–(18) ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ
� � � � � � � � � � �z T T T M T d T d
t t
( ) ( ) ( , , ( ))[ ( )] ( , )*
*
* *
� � � ��
0 0
� $
$ � � �� � �
� � � � � � � �
�
( ) ( , , ( ))[ ( )]*
( ) ( , )
*
*
*
T T M T d
t
V t T
0
inf ( , , ( ))[ ( )]
*
T M T d
t
T
� � � � �� ��
� � �
� �
� � � � � � � � � �
�
( ) ( , , ( )) ( , , ( ))*
( ) ( , )
*
*
T T d T d
V t T
1 inf �
t
Tt
*
*
��
%
&
'
'
(
)
*
*
�
0
� �� � �
� � � � � � � � �
�
*
( ) ( , )
*
( , , ( )) ( , , ( ))
*
*
T Md T Md
t
V t T
0
inf � ��
t
T
*
� �� � �
� � � � � � � � � �
�
*
( ) ( , )
*
( , , ( )) ( , , ( ))
*
*
T d T d
t
V t T
t0
inf
*
T
M M�
%
&
'
'
(
)
*
*
� .
Çäåñü ó÷òåíî ðàâåíñòâî h t( )
*
� 0, à ïåðåõîä ïðè èíòåãðèðîâàíèè ìíîãîçíà÷íûõ
îòîáðàæåíèé ñ ìíîæåñòâîì M ìîæíî ïîäòâåðäèòü èñïîëüçîâàíèåì àïïàðàòà
îïîðíûõ ôóíêöèé [9].
Äëÿ ñëó÷àÿ � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 2.
ÑÒÐÎÁÎÑÊÎÏÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÐÀÒÅÃÈß ÑÁËÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÎÁÚÅÊÒÎÂ
Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî óñëîâèå 1.
Ðàññìîòðèì ïðè � �V , � �[ , ]0 t , t 0, êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå
U u U t u t t M t* *( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , , )[ ( )� � � � � � � � � � � �� � � � �{ � ]}. (19)
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) è âåðõíåé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè
� � �* ( , , )t êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå (19) L B� -èçìåðèìî [1] ïðè � �V ,
� �[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t t U t* *( , , ) ( , ) ( ( , ), ) ( , )� � � � � � � � � �� �� , W t W t
V
* *( , ) ( , , )� � �
�
�
�
� (20)
íà ìíîæåñòâàõ
V è
ñîîòâåòñòâåííî, ãäå
= { }( , ) :t t� �0 � � � � .
Óñëîâèå 3. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t* ( , )� ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷å-
íèÿ íà ìíîæåñòâå
.
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèé î ìàòðè÷íîé ôóíêöèè � ( , )t � çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè
ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 âåêòîð-ôóíêöèÿ � � � �� ( , ) ( , )t u áóäåò L B� -èçìåðè-
ìîé ïî ( , ) [ , ]� � �
0 t V è íåïðåðûâíîé ïî u U� * ( , )� � . Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè òåî-
ðåìû î ïðÿìîì îáðàçå [8] ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t 0 ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå W t* ( , , )� � èìååò çàìêíóòûå çíà÷åíèÿ è ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìûì ïî
( , ) [ , ]� � �
0 t V . Òîãäà â ñèëó ëåììû 5 [1] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t* ( , )� áó-
äåò èçìåðèìûì ïî �, � �[ , ]0 t , çàìêíóòîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ 1–3, ìíîæåñòâî M âûïóêëî, äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà � ( , )� �
ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � �� íå ïóñòî è T T g� � � �( ( ), ( , ))� . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü
çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 149
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]0 T .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� # è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ
h t T d
V t
t
V t
( ) ( , , ( ))
( ) ( , )
*
( ) (
� � �
� � � ��1
0
0
inf inf
� �
� � � � �
, )
*
( , , ( ))
T
t
T
T d� � � � �� , t T�[ , ]0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ T èìååì
h T d
V T
T
( ) ( , , ( ))
( ) ( , )
*
0 1 0
0
0
� �
� � �inf
�
� � � � � , h T t d
V T
T
( ) ( , , ( ))
( ) ( , )
*� � �
� � �1 0
0
0
inf
�
� � � � � .
Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìå-
íè t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0. Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
íå çàâè-
ñèò îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ): [ , ]
*
� � �{ }0 .
Ðàññìîòðèì «àêòèâíûé» ïðîìåæóòîê [ , )*0 t . Èç óñëîâèÿ 3 è òåîðåìû îá èç-
ìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð � �* ( , )T òàêîé, ÷òî � � �* *( , ) ( , )T W T� , � �[ , )
*
0 t . Ïîýòîìó äëÿ
� �[ , )
*
0 t èìååì � � � � � � �* *( , ) ( , , ( ))[ ( )]T T M T� � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî
âêëþ÷åíèå
� � � � � � � � �
�
*
( ) ( , )
*( , ) ( , , ( ))[ ( )]
*
*
T d T M T d
V t
t
� �
� �
inf
0
0
��
0
t
*
. (21)
Ðàññìîòðèì «ïàññèâíûé» ïðîìåæóòîê [ , ]
*
t T . Èç óñëîâèÿ 2 è òåîðåìû îá èç-
ìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð � �
( , )T òàêîé, ÷òî � � �
* *
( , ) ( , )T W T� , � �[ , ]
*
t T . Ïîýòîìó äëÿ
� �[ , ]
*
t T èìååì � � � � � � �
* *
( , ) ( , , ( ))[ ( )]T T M T� � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî
âêëþ÷åíèå
� � � � � � � � �
�
*
( ) ( , )
*
( , ) ( , , ( ))[ ( )]
*
*
T d T M T d
V t T
t
T
� �
� �
inf ��
t
T
*
. (22)
Îáîçíà÷èì
~( , )
( , ), [ , ),
( , ), [ , ].
*
*
* *
� �
� � �
� � �
T
T t
T t T
�
�
�
�
�
�
0
Òîãäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà h t( )
*
� 0 è ñîîòíîøåíèé (21), (22) èìååì
~( , ) ( , ) ( , )*
*
*
*
� � � � � � � � �T d T d T d
t
TtT
� � ����
00
� � �
� � ��inf inf
� �
� � � � � �
( ) ( , )
*
( )
*
*
( , , ( ))[ ( )]
V t
t
T M T d
0
0
�
� ��
V t T
t
T
T M T d
( , )
*
*
*
( , , ( ))[ ( )]� � � � � �
� �
� � � ��inf inf
� �
� � � � �
( ) ( , )
*
( ) ( , )
*
*
*
( , , ( ))
V t
t
V t T
T d
0
0
� � � � �
*
( , , ( ))
*
T d M
t
T
�
%
&
'
'
(
)
*
*
�
� �
� � � ��inf inf
� �
� � � � �
( ) ( , )
*
( ) ( , )
*
*
*
( , , ( ))
V t
t
V t T
T d
0
0
� � � � � � � �
*
( , , ( )) ( ) ( )
*
T d T d M T
t
T
�
%
&
'
'
(
)
*
*
� � .
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
0
0
� � � �M T T d
T
� � � �( ) ~ ( , ) . (23)
150 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
Ðàññìîòðèì ïðè � �V , � �[ , ]0 T êîìïàêòíîçíà÷íîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
~
( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) ~ ( , )U u U T u T T� � � � � � � � � �� � � � �{ }� 0 . (24)
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
~
( , )U � � L B� -èçìåðèìî [1] ïðè � �V , � �[ , ]0 T . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìå-
ðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
~
( , )U � � ñîäåðæèò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ~( , )u � � , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìå-
ðèìîé ôóíêöèåé [1].
Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ~( ) ~ ( , ( ))u u� � � �� , � �[ , ]0 T . Ïðèíèìàÿ
âî âíèìàíèå ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � � �z T T T d T u T
T
( ) ( ) ~ ( , ) ( ( , ) (~ ( ), ( )) ( ,� � � ��
0
� � � � �) ~ ( , )) .�� T d
T
0
(25)
Òîãäà èç ñîîòíîøåíèé (23)–(25) âûòåêàåò
� � � � � � � � �z T T T d M T T d M
T T
( ) ( ) ~ ( , ) ( ) ~ ( , )� � � � � �� �
0 0
è, ñëåäîâàòåëüíî, z T M( ) *� . Äëÿ ñëó÷àÿ � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � äîñòàòî÷íî
ïðèìåíèòü òåîðåìó 2.
Ïîëîæèì � � � � � �
�
*
( ) [ , ]
* ( , , ( ))�
� � �inf
V t
t
t d
0
0
, � � � � � �
�
*
( ) [ , ]
* ( , , ( ))�
� � �inf
V t
t
t d
0
0
,
ãäå V t[ , ]0 — ìíîæåñòâî ñåëåêòîðîâ êîìïàêòà V íà ïðîìåæóòêå [ , ]0 t .
Ëåììà 1 [21]. Ôóíêöèè inf
�
� � �
�V
t* ( , , ) è inf
�
� � �
�V
t
*
( , , ) èçìåðèìû ïî �,
� �[ , ]0 t , è èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
� � � � �
�
* * ( , , )�
�� inf
V
t
t d
0
, � � � � �
�
* *
( , , )�
�� inf
V
t
t d
0
. (26)
Óñëîâèå 4. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t0 ( , , )� � ïðèíèìàåò âûïóêëûå çíà-
÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå
V .
Òåîðåìà 5. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íû óñëîâèÿ 1, 4, ìíîæåñòâî M âûïóêëî, äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà � ( , )� �
ìíîæåñòâî T g( ( ), ( , ))� � �� íå ïóñòî è T T g� � � �( ( ), ( , ))� . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü
çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]0 T .
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé � �( , ( ), ( , ))T g T T M� # .  ñèëó ëåììû 1 ââåäåì
êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t t d t d
V
t
V
t
T
( ) ( , , ) ( , , )*
*
� � �
� �� �1
0
inf inf
� �
� � � � � � � �, t T�[ , ]0 .
Ïî îïðåäåëåíèþ T ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (26) ëåììû 1 èìååì
h t d T
V
T
V T
( ) ( , , ) ( ,
*
( ) ( , )
*
0 1 1
0
0
� � � �
� � �� inf inf
� �
� � � � � �, ( ))� � �
0
0
T
d� ,
h T t d t
V
T
V T
( ) ( , , ) ( ,*
( ) ( , )
*� � � �
� � ��1 1
0
0
inf inf
� �
� � � � � �, ( ))� � �
0
0
T
d� � .
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 151
Ïîýòîìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè h t( ) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìå-
íè t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0. Îòìåòèì, ÷òî ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
íå çàâè-
ñèò îò ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà � �t s s t
*
( ) ( ) : [ , ]
*
� � �{ }0 .
Ðàññìîòðèì ïðè � �V êîìïàêòíîçíà÷íûå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
U u U T u T* ( , ) : ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � �� � � �{ �
� �
�
inf }
�
� � � �
V
T M T* ( , , )[ ( )] , � �[ , )
*
0 t , (27)
U u U T u T
*
( , ) : ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � �� � � �{ �
� �
�
inf }
�
� � � �
V
T M T
*
( , , )[ ( )] , � �[ , ]
*
t T . (28)
 ñèëó óñëîâèÿ 4 è ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1) êîìïàêòíîçíà÷íûå îòî-
áðàæåíèÿ U * ( , )� � , � �[ , )
*
0 t , è U
*
( , )� � , � �[ , ]
*
t T , èìåþò íåïóñòûå îáðàçû è
L B� -èçìåðèìû [1]. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [8]
â êàæäîì èç íèõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû ïî îäíîìó L B� -èçìåðèìîìó ñåëåêòîðó
u* ( , )� � , � �[ , )
*
0 t , è u
*
( , )� � , � �[ , ]
*
t T , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èç-
ìåðèìûìè ôóíêöèÿìè [1]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà «àêòèâíîì»
ïðîìåæóòêå ðàâíûì u u* *( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , )
*
0 t , à íà «ïàññèâíîì» — ðàâíûì
u u
* *
( ) ( , ( ))� � � �� , [ , ]*t T .
Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (1) ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ ïîëó÷àåì
� � � � � � � � � � �z T T T u T d
t
( ) ( ) ( ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))*
*
� � � �� �
0
� �� ( ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))
*
*
� � � � � � � � �� T u T d
t
T
. (29)
Èç ñîîòíîøåíèé (27)–(29) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
� � � � � � � �
� �
z T T T M T d
V
t
V
( ) ( ) ( , , )[ ( )] (*
*
*
� � � �
� �� inf inf
0
T M T d
t
T
, , )[ ( )]
*
� � � �� ��
� � �
� �� �� � � � � � � � �
� �
( ) ( , , ) ( , , )*
*
*
*
T T d T d
V
t
V
t
T
1
0
inf inf
%
&
'
'
(
)
*
*
�
� � �
� �� �inf inf
� �
� � � � � � � �
V
t
V
t
T
T Md T Md*
*
( , , ) ( , , )
*
*
0
� �
%
&
'
'
(
)
� �� �inf inf
� �
� � � � � � � �
V
t
V
t
T
T d T d*
*
( , , ) ( , , )
*
*0
*
*
�M M .
Çäåñü ó÷òåíî ðàâåíñòâî h t( )
*
� 0, à ïåðåõîä ïðè èíòåãðèðîâàíèè ìíîãîçíà÷íûõ
îòîáðàæåíèé ñ ìíîæåñòâîì M ìîæíî ïîäòâåðäèòü ïðèìåíåíèåì àïïàðàòà
îïîðíûõ ôóíêöèé [9].
Äëÿ ñëó÷àÿ � �( , ( ), ( , ))T g T T M� � ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà
âñåì ïðîìåæóòêå [ , ]0 T ðàâíûì u u
* *
( ) ( , ( ))� � � �� . Òîãäà â ñèëó ñîîòíîøå-
íèÿ (28) ïîëó÷èì
( ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( , , )
* *
� � � � � � � � � � � �
�
� T u T d T
T
V
� �� �
0
inf [ ( )]M T d
T
�� � �
0
.
152 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì
� � � � � � � �
�
z T T T d M T M M T M
V
T
( ) ( ) ( , , ) [ ( )] ( )
*
� � � $ � � �
�� inf
0
.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , ) ( , , )t t
V
� � �
�
�
�
� , ( , )t � �
.
Óñëîâèå 5. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A( t, )� ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷å-
íèÿ íà ìíîæåñòâå
.
Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî îòîáðàæåíèå A( t, )� ïîðîæäàåò âåðõíþþ è
íèæíþþ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè âòîðîãî òèïà
� � � � �* ( , ) : ( , )t t� �sup{ }A , � � � � �
*
( , ) inf : ( , )t t� �{ }A , � �[ , ]0 T , � �V .
Ìîæíî ïîêàçàòü [1], ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A( t, )� çàìêíóòîçíà÷íî,
èçìåðèìî ïî �, à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè èçìåðèìû ïî ïåðå-
ìåííîé � ïðè ôèêñèðîâàííîì t.
Ëåììà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíåíî
óñëîâèå 5 è ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A( t , , )� � íà ìíîæåñòâå
V êîìïàêòíîçíà÷íî.
Òîãäà èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà
inf
�
� � � � �
�
�
V
t t
* *
( , , ) ( , ), ( , )t � �
, (30)
inf
�
� � � � �
�
�
V
t t* *( , , ) ( , ), ( , )t � �
. (31)
Ïðè ýòîì åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 4, òî â ñîîòíîøåíèÿõ (30) è (31) èìååò
ìåñòî ðàâåíñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå
V ñïðàâåäëèâî
âêëþ÷åíèå A( A(t t, , ) ,� � ��+ . Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî � �V èìååì
� � � � �* *( , , ) ( , )t t� , � � � � �
* *
( , , ) ( , )t t� , ( , )t � �
,
îòêóäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé (30), (31).
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 4, òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A( t, , )� � ïðèíè-
ìàåò âûïóêëûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå
V è A( t t t, , ) [ ( , , ), ( , , )]
*
*� � � � � � � �� .
Ïîýòîìó � � � � � � � � �
�
*
* *( , , ) ( , , ) ( , , )t t t
V
� �
�
inf , ( , )t � �
, � �V , è ñïðàâåäëèâî
óñëîâèå 2. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì inf
�
� � � � �
�
�
V
t t
*
, , ) ( , , )( A , inf
�
� � �
�
�
V
t* ( , , )
�A ( , , )t � � ïðè âñåõ ( , , )t V� � �
. Òàêèì îáðàçîì, inf
�
� � � �
�
�
V
t t
*
( , , ) ( , )A ,
inf
�
� � � �
�
�
V
t t* ( , , ) ( , )A , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî â ñîîòíîøåíèÿõ (30) è (31) èìååò
ìåñòî ðàâåíñòâî.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
,( ( ), ( , )) : ( , ) , ( , )*
*g t t t d t d
t t
� � � � � � �� � � � � �
�
� � �0 1 1
0 0
�
��
�
�
�
��
.
(32)
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 153
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 � �* ( , )t " �� äëÿ � �[ , ]0 t , � �V , òî çíà÷åíèå ñîîò-
âåòñòâóþùåãî èíòåãðàëà â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ñîîòíîøåíèÿ (32) åñòåñòâåííî
ïîëîæèòü ðàâíûì �� è t g t� � �,( ( ), ( , ))� , åñëè äëÿ ýòîãî t ñïðàâåäëèâî äðóãîå
íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ äàííîãî ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå, êîãäà íåðà-
âåíñòâà â ñîîòíîøåíèè (32) íå âûïîëíÿþòñÿ ïðè âñåõ t 0, ïîëîæèì
,( ( ), ( , ))g � � � ��� .
Òåîðåìà 6. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) âûïîëíå-
íî óñëîâèå 5, ìíîæåñòâî M âûïóêëî, äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ñäâèãà � ( , )� �
ìíîæåñòâî ,( ( ), ( , ))g � � �� íå ïóñòî è , ,� � � �( ( ), ( , ))g � . Òîãäà T g( ( ), ( , ))� � � +�
+ � � �,( ( ), ( , ))g � è èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò , ñ èñïîëüçîâàíèåì
óïðàâëåíèÿ âèäà (4). Åñëè ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî óñëîâèå 4, òî T g( ( ), ( , ))� � � ��
� � � �,( ( ), ( , ))g � .
Äîêàçàòåëüñòâî ñ ó÷åòîì ëåììû 2 ìîæíî ïðîâåñòè ïî ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà
òåîðåìû 5, çàìåíèâ óñëîâèå 4 óñëîâèåì 5, à ôóíêöèè inf
�
� � �
�V
t* ( , , ) è
inf
�
� � �
�V
t
*
( , , ) — ôóíêöèÿìè � �* ( , )t è � �
*
( , )t ñîîòâåòñòâåííî.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå ðàññìîòðåíà ïðîáëåìà ñáëèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ â èãðîâûõ
çàäà÷àõ äèíàìèêè. Ñôîðìóëèðîâàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû çà
êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà íå âû-
ïîëíÿåòñÿ. Ââåäåíû âåðõíèå è íèæíèå ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè ðàçíûõ òèïîâ è
íà èõ îñíîâå ïðåäëîæåíû äâå ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, îáåñïå-
÷èâàþùèõ çàâåðøåíèå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà â êëàññå êâàçèñòðà-
òåãèé è êîíòðóïðàâëåíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. ×èêðèé À.À., Ðàïïîïîðò È.Ñ. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿå-
ìûõ ïðîöåññîâ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2012. Ò. 48, ¹ 5. Ñ. 40–64.
2. ×èêðèé À.À. Âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ðàçðåøàþùèå ôóíêöèè â èãðîâûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè.
Òð. ÈÌÌ ÓðÎ ÐÀÍ. 2017. Ò. 23, ¹ 1. Ñ. 293–305.
3. Êðàñîâñêèé Í.Í., Ñóááîòèí À.È. Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. Ìîñêâà: Íàóêà,
1974. 455 ñ.
4. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. Ìîñêâà: Íàóêà, 1988. Ò. 2. 576 ñ.
5. Íèêîëüñêèé Ì.Ñ. Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ.
Ìîñêâà: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. 65 ñ.
6. Ñóááîòèí À.È., ×åíöîâ À.Ã. Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. Ìîñêâà: Íàóêà,
1981. 288 ñ.
7. Hajek O. Pursuit games. New York: Academic Press, 1975. Vol. 12. 266 p.
8. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1990. 461 p.
9. Ðîêàôåëëàð Ð. Âûïóêëûé àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1973. 470 ñ.
10. Èîôôå À.Ä., Òèõîìèðîâ Â.Ì. Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ìîñêâà: Íàóêà, 1974. 480 ñ.
11. Chikrii A. A. An analytical method in dynamic pursuit games. Proceedings of the Steklov Institute of
Mathematics. 2010. Vol. 271. P. 69–85.
12. Chikrii A. A. Multivalued mappings and their selections in game control problems. Journal of
Automation and Information Sciences. 1995. Vol. 27, N 1. P. 27–38.
13. Pittsyk M.V., Chikrii A.A. On group pursuit problem. Journal of Applied Mathematics and
Mechanics. 1982. Vol. 46, N 5. P. 584–589.
154 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5
14. Chikrii A.A., Dzyubenko K.G. Bilinear Markov processes of searching for moving targets. Journal
of Automation and Information Sciences. 2001. Vol. 33, N 5–8. P. 62–74.
15. Chikrii A. A., Eidelman S. D. Game problems for fractional quasilinear systems. Journal Computers
and Mathematics with Applications. New York: Pergamon, 2002. Vol. 44. P. 835–851.
16. Chikrii A. A. Game dynamic problems for systems with fractional derivatives. Springer Optimization
and Its Applications. 2008. Vol. 17. P. 349–387.
17. Ïèëèïåíêî Þ.Â., ×èêðèé À.À. Êîëåáàòåëüíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. Ïðèêë.
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. 1993. Ò. 57, ¹ 3. Ñ. 3–14.
18. Chikrii A.A. Quasilinear controlled processes under conflict. Journal of Mathematical Sciences.
1996. Vol. 80, N 3. P. 1489–1518.
19. ×èêðèé À.À., Ýéäåëüìàí Ñ.Ä. Èãðîâûå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñèñòåì ñ äðîá-
íûìè ïðîèçâîäíûìè Ðèìàíà–Ëèóâèëëÿ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2001. ¹ 6.
Ñ. 66–99.
20. Chikrii A.A. Optimization of game interaction of fractional-order controlled systems. Optimization
Methods and Software. 2008. Vol. 23, N 1. P. 39–72.
21. Ðàïïîïîðò È.Ñ. Î ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè â ìåòîäå ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äëÿ èãðîâûõ
çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2016.
Ò. 52, ¹ 4. Ñ. 90–102.
22. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. Dordrecht; Boston; London: Springer Science and
Business Media, 2013. 424 p.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 28.03.2019
É.Ñ. Ðàïïîïîðò
ÄÎÑÒÀÒͲ ÓÌÎÂÈ ÇÁËÈÆÅÍÍß ÊÅÐÎÂÀÍÈÕ ÎÁ’ªÊÒ²Â
 ²ÃÐÎÂÈÕ ÇÀÄÀ×ÀÕ ÄÈÍÀ̲ÊÈ. I
Àíîòàö³ÿ. Ðîçâ'ÿçàíî çàäà÷ó çáëèæåííÿ êåðîâàíèõ îá’ºêò³â íà îñíîâ³ ìåòîäó
ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é. Çàïðîïîíîâàíî äîñòàòí³ óìîâè çàê³í÷åííÿ ãðè çà
ñê³í÷åííèé ãàðàíòîâàíèé ÷àñ ó âèïàäêó, êîëè óìîâà Ïîíòðÿã³íà íå âèêîíóºòüñÿ.
Ââåäåíî âåðõí³ ³ íèæí³ ðîçâ’ÿçóâàëüí³ ôóíêö³¿ ð³çíèõ òèï³â. Íà ¿õí³é îñíîâ³
ðîçðîáëåíî äâ³ ñõåìè ìåòîäó ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é, ùî çàáåçïå÷óþòü çàâåð-
øåííÿ äèôåðåíö³àëüíî¿ ãðè â êëàñ³ êâàç³ñòðàòåã³é ³ êîíòðêåðóâàíü.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êâàç³ë³í³éíà äèôåðåíö³àëüíà ãðà, áàãàòîçíà÷íå â³äîáðàæåí-
íÿ, âèì³ðíèé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîï³÷íà ñòðàòåã³ÿ, ðîçâ’ÿçóâàëüíà ôóíêö³ÿ.
I.S. Rappoport
SUFFICIENT APPROACHING CONDITIONS FOR CONTROLLED OBJECTS
IN THE GAME DYNAMIC PROBLEMS. I
Abstract. The problem of approach of control objects is solved on the basis of
the method of resolving functions. Sufficient conditions for game ending in a
final guaranteed time are proposed in the case when the Pontryagin condition is
not satisfied. The upper and lower resolving functions of different types are
introduced and used to develop two schemes of the method of resolving
functions that ensure the completion of the differential game in the class of
quasi-strategies and counter-controls.
Keywords: quasilinear differential game, multivalued mapping, measurable
selector, stroboscopic strategy, resolving function.
Ðàïïîïîðò Èîñèô Ñèìîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà
ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, e-mail: jeffrappoport@gmail.com.
ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2019, òîì 55, ¹ 5 155
|