Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах

Методом інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Громик, А.П., Конет, І.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18598
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах / А.П. Громик, І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 54-65. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-18598
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-185982011-04-06T12:03:38Z Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах Громик, А.П. Конет, І.М. Методом інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах. The method of integral transformations builds the exact analytical solution of stationary task of heat conductivity for the semi limited cobbedhomogeneous space areas. 2009 Article Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах / А.П. Громик, І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 54-65. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18598 539.3 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Методом інтегральних перетворень побудовано точні аналітичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах.
format	Article
author	Громик, А.П. Конет, І.М.
spellingShingle	Громик, А.П. Конет, І.М. Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Громик, А.П. Конет, І.М.
author_sort	Громик, А.П.
title	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах
title_short	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах
title_full	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах
title_fullStr	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах
title_full_unstemmed	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах
title_sort	інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18598
citation_txt	Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах / А.П. Громик, І.М. Конет // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 54-65. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gromikap íntegralʹnízobražennârozvâzkívstacíonarnihzadačteploprovídnostívnapívobmeženihkuskovoodnorídnihprostorovihseredoviŝah AT konetím íntegralʹnízobražennârozvâzkívstacíonarnihzadačteploprovídnostívnapívobmeženihkuskovoodnorídnihprostorovihseredoviŝah
first_indexed	2025-07-02T19:34:18Z
last_indexed	2025-07-02T19:34:18Z
_version_	1836564987473035264
fulltext	Математичне та комп’ютерне моделювання 54 УДК 539.3 А. П. Громик, викладач, І. М. Конет, д-р фіз.-мат. наук Подільський державний аграрно-технічний університет, м. Кам’янець-Подільський, **Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієн- ка, м. Кам’янець-Подільський ІНТЕГРАЛЬНІ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ СТАЦІОНАРНИХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В НАПІВОБМЕЖЕНИХ КУСКОВО-ОДНОРІДНИХ ПРОСТОРОВИХ СЕРЕДОВИЩАХ Методом інтегральних перетворень побудовано точні ана- літичні розв’язки стаціонарних задач теплопровідності в напі- вобмежених кусково-однорідних просторових середовищах. Ключові слова: диференціальне рівняння Пуассона, інте- гральні перетворення, фундаментальні розв’язки. Вступ. Стаціонарні крайові задачі феноменологічної теорії теплоп- ровідності для кусково-однорідних (багатошарових) середовищ станов- лять значний теоретичний та практичний інтерес на сучасному етапі розвитку науково-технічного прогресу [5, 7, 14, 15, 19]. Питанням побу- дови методом інтегральних перетворень точних аналітичних розв’язків згаданих задач у декартовій, сферичній та циліндричній системах коор- динат присвячені монографії [8—10, 12]. Стаціонарні температурні поля в необмежених двоскладових і тришарових просторових середовищах побудовано у працях [2—4, 11]. У цій статті ми пропонуємо інтегральні зображення точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково- однорідних за декартовою координатою просторових середовищах. Постановка задачі. Задача про структуру стаціонарного темпе- ратурного поля в ортотропному напівобмеженому ( 1)n + -шаровому просторовому середовищі математично зводиться до побудови обме- женого на множині {3 2( , , ) ( , ) ; ; ;x y z x y a b c dΩ = ∈ Ω = × } 1 1 1 0 1 1 1 ( ; ); 0; n n n j j j n j j z I I l l l l + + + − + = = ∈ = ≡ ≥ = ∞∪ ∪ розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь Пуассона [6, 17] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ); ; 1, 1xj yj zj j j j j ja a a T T f x y z z I j n x y z χ  ∂ ∂ ∂ + + − = − ∈ = +  ∂ ∂ ∂  (1) © А. П. Громик, І. М. Конет, 2009 Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2 55 з крайовими умовами 0 0 0 1 11 11 1 0( ) ( , ), 0; 0,1, p n p z l z T T g x y p z z α β + = =∞ ∂∂ + = = = ∂ ∂ (2) умовами неідеального теплового контакту [1] 1 1 1 [( 1) ] 0, ( ) 0, 1, k k k k k z l k k k k z l R T T z T T k n z z ν ν + = + + =  ∂ + − = ∂  ∂ ∂ − = = ∂ ∂ (3) та відповідними крайовими умовами на межі області 2Ω , де , , 0xj yj zja a a ≥ — коефіцієнти температуропровідності у напрямках координатних осей ( ), , 1, 1 ;x y z j n= + 2 0jχ ≥ — коефіцієнти дисипа- ції теплової енергії; { }1 2 1( , , ) ( , , ), ( , , ),..., ( , , )nf x y z f x y z f x y z f x y z+= — інтенсивність теплових джерел; 0 0 11 11,α β — деякі дійсні сталі; ( )0 ,g x y — задана обмежена неперервна функція в області 2;Ω 0kR ≥ — коефіцієнти термоопору; 1, 0k kν ν + ≥ — коефіцієнти теп- лопровідності; ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1, , , , , , , ,..., , ,nT x y z T x y z T x y z T x y z+= — шукана температура. Основні результати. 1. 2 ( ; ) ( ; )Ω = −∞ +∞ × −∞ +∞ . У цьому ви- падку вважаємо, що на межі області 2Ω виконуються крайові умови 0; 0,1; 1, 1 k j k x T k j n x =±∞ ∂ = = = + ∂ (4) щодо змінної x та крайові умови 0; 0,1; 1, 1 k j k y T k j n y =±∞ ∂ = = = + ∂ (5) щодо змінної y . Припустимо, що розв’язок задачі (1)—(5) існує і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче інтег- ральних перетворень [13, 16, 12]. До задачі (1)—(5) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі щодо змінної x [13, 16]: ( ) ( ) ( ),i x xF g x g x e dx gσ σ +∞ − −∞ = ≡   ∫ % (6) Математичне та комп’ютерне моделювання 56 ( ) ( ) ( )1 1 , 2 i x xF g g e d g xσσ σ σ π +∞ − −∞ = ≡   ∫% % (7) ( ) ( ) 2 2 2 2 .x x d gF F g x g dx σ σ σ   = − ≡ −       % (8) Інтегральний оператор xF за правилом (6) внаслідок тотожності (8) крайовій задачі (1)—(5) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині { }3 ( , ) ( ; ); ny z y z I +′Ω = ∈ −∞ +∞ ∈ розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ; ; 1, 1yj zj j xj j j j ja a T a T f y z z I j n y z σ χ σ  ∂ ∂ + − + = − ∈ = +  ∂ ∂  %% % (9) з крайовими умовами 0 0 0 1 11 11 1 0 ( , ), 0; 0,1, p n p z l z T T g y p z z α β σ + = =+∞ ∂∂ + = = = ∂ ∂  % % % (10) 0; 0,1; 1, 1 k j k y T k j n y =±∞ ∂ = = = + ∂ % (11) та умовами спряження 1 1 1 1 0, 0, 1, . k k k k k z l k k k k z l R T T z T T k n z z ν ν + = + + =   ∂  + − =   ∂     ∂ ∂ − = =  ∂ ∂  % % % % (12) До задачі (9)—(12) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі щодо змінної y [13, 16]: ( ) ( ) ( ),isy yF g y g y e dy g s +∞ − −∞ = ≡   ∫ % (13) ( ) ( ) ( )1 1 , 2 isy yF g s g s e ds g y π +∞ − −∞ = ≡   ∫% % (14) ( ) ( ) 2 2 2 2 .y y d gF s F g y s g s dy   = − ≡ −       % (15) Інтегральний оператор Fy за правилом (13) внаслідок тотожності (15) крайовій задачі (9)—(12) ставить у відповідність задачу побудови Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2 57 обмеженого на множині nI + розв’язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) , , ;zj xj yj j j j j da a a s T s z f s z z I dz σ χ σ σ   − + + = − ∈    %% %% (16) з крайовими умовами 0 0 0 1 11 11 1 0 ( , ), 0; 0,1 p n p z l z d Td T g s p dz dz α β σ + = =+∞  + = = =    %%% %% % (17) та умовами спряження 1 1 1 1 0, 0, 1, . k k k k k z l k k k k z l dR T T dz dT dT k n dz dz ν ν + = + + =    + − =        − = =    % %% % % %% % (18) До задачі (16)—(18) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій півосі 0 0z l≥ ≥ з n точками спряження [12]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ,n l F g z g z V z z dz gβ σ β +∞ + = ≡   ∫ % , (19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 0 2 ,n nF g g V z d g zβ β β β β π +∞ − + = Ω ≡   ∫% % , (20) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 , 1 12 2 1 2 2 2 2 1 , j j n n j j j n n j ln j j j j l d g d gF a z l l z a z l dz dz d ga V z dz g dz θ θ θ β σ β β − + − + = =   − − + − ≡     ≡ = − − ∑ ∑ ∫ % ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 0 21 1 1 0 11 110 111 , , . j j ln j j j jz l l a dgV l g k g z V z dz dz σ β α β β σ α − + ==  − + −    ∑ ∫ (21) У рівностях (19)—(21) беруть участь величини і функції: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 , , , ; n k k k n n k V z V z z l l z V z z lβ β θ θ β θ− + = = − − + −∑ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 ; n k k k n n k z z l l z z lσ σ θ θ σ θ− + = = − − + −∑ Математичне та комп’ютерне моделювання 58 ( ) ( ) ( )2 2 1, , ; 1, ; n m j n m j m V z c q G z m nβ β β+ = = =∏ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 1 2 1 1 1, cos sin ;n n n n nV z q z q zβ ω β β ω β β+ + += − 1 1 1 1 12 2 12 2 1; ; ; n j n n n k n n nj k j k n n c a c a ac a c a σ σ σ+ + + += = = =∏ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 1,2 1,1, cos sin ; 1, ;k k k k kG z q z q z k nβ ω β β ω β β− −= − = ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 22 1 2 2 2 2 2; 1, 1; ; 1, 1;j j j j jq a k j n b k j nβ β β β−= + = + = + = + ( ) ( ) ( ) ( )01 02 01 1 0 11 1 0 02 1 0 11 1 0; ;q l q l q l q lω ν ω ν= − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2 1 1,1 11 2; ; ;j j jm j j j j j j j j j jm mq l q l q l q lω β ω β ψ ω β ψ− + − += − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 22 1 12 111 21; ;kj kjk km km jm k k k k k k k k k k k kq l q l q l q l q l q lψ ν ν ν ν+ + += − ( ) ( ) ( )1 sin cos ; , 1, 2; 1, ;k k k ij s m ij s s m ij s mq l q q l q l i j k nν α β= − + = = ( ) ( ) ( )2 cos sin ; 1, 1; 1, 1;k k k ij s m ij s s m ij s mq l q q l q l s n m nν α β= + = + = + 11 11 12 12 21 21 22 1 22; 1; 0; 1; ; 0; ; 0;k k k k k k k k k k kRα β α β α ν β α ν β+= = = = = = = = 2 1 1 2 0; , 1, 2; 1, ;k k k k jk j j j jc i j k nα β α β= − ≠ = = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 ; . ( ) ( )n n n n n nb βω β ω β ω β β β ω β+ = + Ω =       Запишемо систему диференціальних рівнянь (16) у матричній формі ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 12 , , , , , , , , , , ........... ........................................... , , ,n n n da q s T s z dz f s z da q s T s z f s z dz da q s T s z dz σ σ σ σ σ σ σ σ+ + +    −          −    = −         −       %% %% % %% % %% ( )1 .... , ,nf s zσ+                %% , (22) де ( )2 2 2 2 2 2 2 2, ; ; 1, 1.j xj yj j j zjq s a a s a a j nσ σ χ= + + ≡ = + Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2 59 Інтегральний оператор ,nF + , який діє за правилом (19), зобрази- мо у вигляді операторної матриці-рядка [ ] ( ) ( ) ( ) 1 0 1 , 1 1 1 1... ... , ... ... , ... , n n n ll n n n n n l l l F V z dz V z dz V z dzβ σ β σ β σ − +∞ + + +    =    ∫ ∫ ∫ (23) і застосуємо за правилом множення матриць до системи (22). Внаслі- док тотожності (21) одержуємо алгебраїчне рівняння ( )( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 , , , , , n n j j j j j j k q s T s f sβ σ σ β σ β + + = = + + = −∑ ∑ %% %% %% ( ) ( ) ( ) 12 0 1 1 11 1 0 0, , ,a V l g sσ α β σ − − %% (24) де ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , , , , 1, 1; , , , , , , 1, 1. j j j j l j j j j l l j j j j l T s T s z V z dz j n f s f s z V z dz j n σ β σ β σ σ β σ β σ − − = = + = = + ∫ ∫ %% %% % %% %% % Припустимо, не зменшуючи загальності, що { }2 2 2 2 1 2 1 1max , ,..., ,nq q q q+ = і покладемо всюди 2 2 2 1 ( 1, 1).i ik q q i n= − = + Рівняння (24) набуває вигляду ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 1 , ,x ya a s T sβ σ χ σ β+ + + = %%% ( ) ( ) ( ) ( ) 12 0 1 1 11 1 0 0, , , , ,f s a V l g sσ β σ α β σ − = − %%% %% (25) де ( ) ( ) 1 1 , , , , n j j T s T sσ β σ β + = = ∑ % %% %% % , ( ) ( ) 1 1 , , , , n j j f s f sσ β σ β + = = ∑ % %% %% % . Із рівняння (25) знаходимо функцію ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 1 , ,, , , , x y x y a g s V lf s T s a a s a a s σ σ βσ β σ β β σ χ α σ χ = − + + + + + %%% %%%%% . (26) Оскільки суперпозиція операторів ,nF + та 1 ,nF− + є одиничним оператором, то оператор 1 ,nF− + зобразимо у вигляді операторної мат- риці-стовпця Математичне та комп’ютерне моделювання 60 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 21 , 0 1 0 2 ... , 2 ... , ... ........................................ 2 ... , n n n n n V z d V z d F V z d β β β π β β β π β β β π +∞ +∞ − + +∞ +   Ω       Ω =         Ω    ∫ ∫ ∫ . (27) За правилом множення матриць застосуємо операторну матри- цю-стовпець (27) до матриці-елемента ( )[ , , ]jT sσ β %%% , де функція ( ), ,jT sσ β %%% визначена формулою (26). Одержуємо єдиний обмежений розв’язок задачі (16)—(18): ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 10 , , ,2, , j j n x y f s V z T s z d a a s σ β β σ β β π β σ χ +∞ = Ω − + + +∫ %%%%% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 0 0 0 2 2 2 2 2 0 11 1 1 1 , , ,2 ; 1, 1.j n x y a V l g s V z d j n a a s σ β σ β β β π α β σ χ +∞ − Ω = + + + + ∫ %% (28) Застосувавши послідовно до функцій ( ), ,jT s zσ%% , визначених формулами (28), обернені оператори 1 yF − та 1 xF− , одержуємо функції ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , , , , , , , , k k ln j jk k k k l T x y z E x y z f d d dξ η ζ ξ η ζ σ ξ η ζ − +∞ +∞+ = −∞ −∞ = +∑ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )0, , , , , ; 1, 1,jW x y z g d d j nξ η ξ η ξ η +∞ +∞ −∞ −∞ + = +∫ ∫ (29) які описують структуру стаціонарного температурного поля в розглянутому середовищі. У формулах (29) беруть участь компоненти: фундаментальної матриці розв’язків ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 1 1 10 0 0 , ,2, , , , , cos cos ; , 1, 1 j k jk x y n V z V E x y z a a s x y s d dsd j k n β ζ β ξ η ζ π β σ χ β ξ σ η σ β +∞ +∞ +∞ = × + + + ×Ω − − = + ∫ ∫ ∫ Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2 61 та аплікатної матриці Гріна ( ) ( ) ( ) 12 0 1 1 11 1 0, , , , , , , , ,j jW x y z a E x y z lξ η σ α ξ η − = − еліптичної крайової задачі (1)—(5). З використанням властивостей фундаментальних функцій ( ), , , , ,jkE x y zξ η ζ і функцій Гріна ( ), , , ,jW x y zξ η безпосередньо перевіряється, що функції ( ), ,jT x y z , визначені формулами (29), за- довольняють рівняння (1), крайові умови (2), (4), (5) та умови спря- ження (3) в сенсі теорії узагальнених функцій [18]. Зазначимо, що якщо функції ( ), ,jf x y z задовольняють умови спряження (3) і вихідні дані задачі мають необхідну гладкість [20], то розв’язок (29) буде також класичним розв’язком задачі (1)—(5). Зауваження 1. У випадку 2 2 2 2 0xj yj zj ja a a a= = ≡ ≥ формули (29) визначають структуру стаціонарного температурного поля в ізотроп- ному напівобмеженому ( 1)n + -шаровому просторовому середовищі. Зауваження 2. Якщо деякі з коефіцієнтів термоопору kR дорів- нюють нулю, то безпосередньо з формул (29) одержуємо структуру стаціонарного температурного поля у випадку здійснення на відпові- дних площинах kz l= ідеального теплового контакту. Зауваження 3. При 0( 1, )kR k n= = безпосередньо з формул (29) одержуємо структуру стаціонарного температурного поля у випадку здійснення на всіх площинах kz l= ідеального теплового контакту. Зауваження 4. Параметри 0 0 11 11,α β дають можливість виділяти із формул (29) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхні 0z l= крайової умови 1-го роду ( ( ) ( )0 0 0 11 11 0 11 00, 1, , ,g x y T x yα β α= = = , ( )0 ,T x y — температура середовища на поверхні 0z l= ), 2-го роду ( )0 0 11 111, 0α β= − = та 3-го роду ( 0 11 1,α = − 0 11 1 0,hβ ≡ > h — коефіці- єнт теплообміну через поверхню 0z l= ). Зауваження 5. Аналіз розв’язку (29) в залежності від аналітич- ного виразу функцій ( , , ) ( 1, 1),jf x y z j n= + 0 ( , )g x y проводиться безпосередньо. 2. 2 ( ; ) (0; )Ω = −∞ +∞ × +∞ . У цьому випадку вважаємо, що на межі області 2Ω виконуються крайові умови (4) щодо змінної x та крайові умови Математичне та комп’ютерне моделювання 62 0 ( , ); 0; 0,1; 1, 1 k j j j ky y T h T g x z k j n y y= =+∞ ∂ ∂ − + = = = = + ∂ ∂  (30) щодо змінної y , де 0h ≥ — коефіцієнт теплообміну через поверхню 0;y = ( ; ) ( , ), ( , )c c j j jg x z hT x z T x z= — температура середовища на поверхні 0.y = Припустимо, що розв’язок задачі (1)—(4), (30) існує і задані й шукані функції задовольняють умови застосовності залучених нижче інтегральних перетворень [13, 16, 12]. До задачі (1)—(4), (30) застосуємо інтегральне перетворення Фур’є на декартовій осі щодо змінної .x Інтегральний оператор xF за правилом (6) внаслідок тотожності (8) крайовій задачі (1)—(4), (30) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині { }3 ( , ) (0; ); ny z y z I +′Ω = ∈ +∞ ∈ розв’язку сепаратної системи диферен- ціальних рівнянь (9) з крайовими умовами (10), крайовими умовами 0 ( , ), 0; 0,1; 1, 1 k j j j k y y T h T g z k j n y y σ = =+∞ ∂ ∂ − + = = = = + ∂ ∂  % % % (31) та умовами спряження (12). До задачі (9), (10), (31), (12) застосуємо інтегральне перетворен- ня Фур’є на декартовій півосі щодо змінної y [13]: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,y yF g y g y K y s dy g s +∞ + = ≡   ∫ % , (32) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 ,y yF g s g s K y s ds g y +∞ − + = ≡   ∫% % , (33) ( ) ( ) 2 2 2 0 0,y y y d g dgF s g s K s hg dydy+ =     = − + − +       % , (34) де ядро перетворення ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sin2,y s sy h sy K y s s hπ + = + . Інтегральний оператор yF+ за правилом (32) внаслідок тотож- ності (34) крайовій задачі (9), (10), (31), (12) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на множині nI + розв’язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2 63 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , ;zj xj yj j j j j da a a s T s z F s z z I dz σ χ σ σ   − + + = − ∈    % %% % (35) з крайовими умовами (17) та умовами спряження (18), де ( ) ( ) ( ) ( )2, , , , 0, , ; 1, 1.j j yj y jF s z f s z a K s g z j nσ σ σ= + = +%% %% % З точністю до позначень крайова задача на спряження (35), (17), (18) збігається із задачею (16)—(18). Побудований методом інтегра- льного перетворення Фур’є на декартовій півосі 0z l≥ ≥ з n точка- ми спряження єдиний обмежений розв’язок задачі (35), (17), (18) від- повідно до формул (28) визначають функції ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 1 10 , , ,2, , j j n x y F s V z T s z d a a s σ β β σ β β π β σ χ +∞ = Ω − + + +∫ %%%%% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 1 0 0 2 2 2 2 2 0 11 1 1 1 , , ,2 ; 1, 1.j n x y a g s V z V l d j n a a s σ σ β β β β π α β σ χ +∞ − Ω = + + + + ∫ %% (36) Застосувавши послідовно до функцій ( ), ,jT s zσ%% , визначених формулами (36), обернені оператори 1 yF − + та 1 xF− , одержуємо функції ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , k k ln j jk k k k l j T x y z E x y z f d d d W x y z g d d ξ η ζ ξ η ζ σ ξ η ζ ξ η ξ η ξ η − +∞ +∞+ = −∞ +∞ +∞ −∞ = + + + ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 2 1 , , , , , ; 1, 1, k k ln yj yjk k k k l a W x y z g d d j nξ ζ ξ ζ σ ξ ζ − +∞+ = −∞ + = +∑ ∫ ∫ (37) які описують структуру стаціонарного температурного поля в розг- лянутому середовищі. У формулах (37) беруть участь компоненти: фундаментальної матриці розв’язків ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 10 0 0 , ,2, , , , , cos , , ; , 1, 1, j k jk x y n y y V z V E x y z a a s x K y s K s d dsd j k n β ζ β ξ η ζ π β σ χ β ξ σ η σ β +∞ +∞ +∞ = × + + + ×Ω − = + ∫ ∫ ∫ аплікатної матриці Гріна ( ) ( ) ( ) 12 0 1 1 11 1 0, , , , , , , , ,j jW x y z a E x y z lξ η σ α ξ η − = − та ординатної матриці Гріна Математичне та комп’ютерне моделювання 64 ( ) ( ), , , , , , ,0, ,yjk jkW x y z E x y zξ ζ ξ ζ= еліптичної крайової задачі (1)—(4), (30). З використанням властивостей фундаментальних функцій ( ), , , , ,jkE x y zξ η ζ і функцій Гріна ( ), , , ,jW x y zξ η , ( ), , , ,yjkW x y zξ ζ безпосередньо перевіряється, що функції ( ), ,jT x y z , визначені фор- мулами (37), задовольняють рівняння (1), крайові умови (2), (4), (30) та умови спряження (3) в сенсі теорії узагальнених функцій [18]. Зауважимо, що якщо функції ( ) ( ), , , ,j jf x y z g x z задовольняють умови спряження (3) і вихідні дані задачі мають необхідну гладкість [20], то розв’язок (37) буде також класичним розв’язком задачі (1)— (4), (30). Зазначимо, що: 1) зауваження 1—4 поширюються на випадок роз- глянутої температурної задачі; 2) параметр h дає можливість виділяти із формул (37) розв’язки крайових задач у випадках задання на поверхні 0y = крайових умов 1-го роду ( )h → ∞ та 2-го роду ( )0h → ; 3) аналіз розв’язку (37) в залежності від аналітичного виразу функцій ( , , ), ( , ), ( 1, 1)j jf x y z g x z j n= + та 0 ( , )g x y проводиться безпосередньо. Висновки. При найбільш загальних припущеннях у межах фе- номенологічної теорії теплопровідності побудовано інтегральні зо- браження точних аналітичних розв’язків стаціонарних задач в напів- обмежених кусково-однорідних просторових середовищах. Одержані розв’язки носять алгоритмічний характер, неперервно залежать від параметрів та вихідних даних задачі й можуть бути використані як в теоретичних дослідженнях еліптичних крайових задач, так і в прак- тиці інженерних розрахунків задач теплофізики з використанням су- часної комп’ютерної техніки. Список використаних джерел: 1. Боли Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. — М : Мир, 1964. — 517 с. 2. Громик А. П., Стаціонарні задачі теплопровідності в необмежених дво- складових просторових областях / А. П. Громик, І. М. Конет // Крайові задачі для диференціальних рівнянь : зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2006. — Вип. 13. — С. 52—65. 3. Громик А. П. Крайові задачі теплопровідності в необмежених двоскладо- вих просторових областях / А. П. Громик, І. М. Конет // Крайові задачі для диференціальних рівнянь : зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2006. — Вип. 14. — С. 36—50. 4. Громик А. П. Стаціонарні задачі теплопровідності в необмежених триша- рових просторових середовищах / А. П. Громик, І. М. Конет // Крайові за- дачі для диференціальних рівнянь : зб. наук. пр. — Чернівці : Прут, 2009. — Вип. 18. — С. 54—67. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2 65 5. Дейнека В. С. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения / В. С. Дейнека, И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий. — К. : Наук. думка, 1998. — 614 с. 6. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер — М. : Наука, 1964. — 448 с. 7. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неод- нородного тела / Ю. М. Коляно — К. : Наук. думка, 1992. — 280 с. 8. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в ортотроп- них сферичних областях / І. М. Конет. — К. : Ін-т математики НАН Укра- їни, 1998. — 209 с. 9. Конет І. М. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля в циліндрич- но-кругових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2001. — 312 с. 10. Конет І. М. Температурні поля в кусково-однорідних циліндричних обла- стях / І. М. Конет, М. П. Ленюк. — Чернівці : Прут, 2004. — 276 с. 11. Конет І. М. Крайові задачі теплопровідності в необмежених тришарових просторових областях / І. М. Конет, М. П. Ленюк // Крайові задачі для диференціальних рівнянь : зб. наук. пр., — Чернівці : Прут, 2006. — Вип.14. — С.84—96. 12. Ленюк М. П. Температурні поля в плоских кусково-однорідних ортотро- пних областях / М. П. Ленюк. — К. : Ін-т математики НАН України, 1997. — 188 с. 13. Ленюк М. П. Интегральные преобразования з разделенными переменны- ми (Фурье, Ханкеля) / М. П. Ленюк. — К., 1983. — 60 с. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.4). 14. Подстригач Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Под- стригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. — М. : Наука, 1984. — 368 с. 15. Сергиенко И. В. Математическое моделирование и исследование процес- сов в неоднородных средах / И. В. Сергиенко, В. В. Скопецкий, В. С. Дейнека. — К. : Наук. думка, 1991. — 432 с. 16. Снеддон И. Преобразования Фурье / И. Снеддон. — М. : Из-во иностр. лит., 1956. — 668 с. 17. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1972. — 735 с. 18. Шварц Л. Математические методы для физических наук / Л. Шварц. — М. : Мир, 1965. — 408 с. 19. Шилин Г. Ф. Инженерные алгоритмы решения стационарных задач теп- лопроводности в составных телах / Г. Ф. Шилин. — Иркутск : Изд-во ИГУ, 1983. — 115 с. 20. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов. — М. : Наука, 1965. — 328 с. The method of integral transformations builds the exact analytical solu- tion of stationary task of heat conductivity for the semi limited cobbed- homogeneous space areas. Key words: differential equalization Puassona, integral transforma- tions, fundamental solutions. Отримано: 05.07.2009

Інтегральні зображення розв’язків стаціонарних задач теплопровідності в напівобмежених кусково-однорідних просторових середовищах

Репозитарії

Схожі ресурси