Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса
Построена математическая модель, описывающая в первом приближении динамику неизотермического процесса консолидации пористых сред насыщенных бикомпонентными растворами. Поставлена соответствующая предложенной модели нелинейная краевая задача и разработана методика ее приближенного решения....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18612 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса / В.М. Булавацкий, В.В. Скопецкий // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 28-36. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18612 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186122011-04-07T12:04:14Z Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В. Построена математическая модель, описывающая в первом приближении динамику неизотермического процесса консолидации пористых сред насыщенных бикомпонентными растворами. Поставлена соответствующая предложенной модели нелинейная краевая задача и разработана методика ее приближенного решения. The mathematical model describing as a first approximation dynamics of nonisothermal process of consolidation saturated bicomponents solutions porous medium is constructed. The nonlinear boundary-value problem, appropriate to offered model, is formulated and the technique of its approximate solution is developed. 2010 Article Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса / В.М. Булавацкий, В.В. Скопецкий // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 28-36. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. XXXX-0059 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18612 517.954:532.546 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построена математическая модель, описывающая в первом приближении динамику неизотермического процесса консолидации пористых сред насыщенных бикомпонентными растворами. Поставлена соответствующая предложенной модели нелинейная краевая задача и разработана методика ее приближенного решения. |
| format |
Article |
| author |
Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В. |
| spellingShingle |
Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В. Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| author_facet |
Булавацкий, В.М. Скопецкий, В.В. |
| author_sort |
Булавацкий, В.М. |
| title |
Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса |
| title_short |
Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса |
| title_full |
Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса |
| title_fullStr |
Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса |
| title_sort |
математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18612 |
| citation_txt |
Математическое моделирование динамики одного неизотермического консолидационного процесса / В.М. Булавацкий, В.В. Скопецкий // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2010. — Вип. 3. — С. 28-36. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| work_keys_str_mv |
AT bulavackijvm matematičeskoemodelirovaniedinamikiodnogoneizotermičeskogokonsolidacionnogoprocessa AT skopeckijvv matematičeskoemodelirovaniedinamikiodnogoneizotermičeskogokonsolidacionnogoprocessa |
| first_indexed |
2025-07-02T19:34:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:34:54Z |
| _version_ |
1836565025622327296 |
| fulltext |
Математичне та комп’ютерне моделювання
28 © В. М. Булавацкий, В. В. Скопецкий, 2010
УДК 517.954:532.546
В. М. Булавацкий, д-р техн. наук,
В. В. Скопецкий, д-р физ.-мат. наук, чл.-кор. НАН Украины
Институт кибернетики им. В. М. Глушкова НАН Украины, г. Киев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ОДНОГО НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО
КОНСОЛИДАЦИОННОГО ПРОЦЕССА
Построена математическая модель, описывающая в первом при-
ближении динамику неизотермического процесса консолидации по-
ристых сред насыщенных бикомпонентными растворами. Поставле-
на соответствующая предложенной модели нелинейная краевая за-
дача и разработана методика ее приближенного решения.
Ключевые слова: математическое моделирование, порис-
тые среды, консолидация, массоперенос, нелинейные краевые за-
дачи, приближенные решения.
Введение. Математическое моделирование консолидационных
процессов в деформируемых насыщенных пористых средах является
одним из актуальных направлений геогидродинамики, причем ука-
занное моделирование развивается преимущественно в предположе-
нии насыщенности пористых массивов чистой водой [1, 2]. Однако, в
настоящее время ведутся комплексные исследования в области мате-
матического моделирования динамики указанных процессов в усло-
виях насыщенности массивов солевыми растворами, учета релакса-
ционных свойств как жидкости, так и грунтового скелета, учета не-
изотермичности условий протекания процессов и др. [3−8].
Некоторые математические модели консолидации деформируемых
пористых сред при фильтрации однокомпонентных солевых растворов в
неизотермических условиях рассмотрены, в частности, в [9]. В настоя-
щей работе построена новая математическая модель, описывающая в
первом приближении динамику неизотермического процесса консоли-
дации деформируемых пористых сред насыщенных бикомпонентными
растворами, поставлена соответствующая предложенной модели нели-
нейная краевая задача о фильтрационном уплотнении пористого массива
конечной мощности, расположенного на проницаемом основании и раз-
работана методика ее приближенного решения.
Построение математической модели процесса. Постановка
краевой задачи. В случае неизотермической одномерной фильтра-
ционной консолидации деформируемой пористой среды насыщенной
бикомпонентным раствором будем исходить из следующего обобще-
ния закона Дарси:
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
29
( )1 1 2 2x
H Tu k C C
x x x
ν ν μ∂ ∂ ∂
= − + + +
∂ ∂ ∂
, (1)
где xu – скорость фильтрации, k – коэффициент фильтрации, H – избы-
точный напор,
i
C – концентрация i-го компонента смеси в подвижной фазе
( 1, 2)i = , iν – коэффициент химического осмоса для i-го компонента
( 1, 2)i = , T – температура жидкой фазы, μ − коэффициент термоосмоса.
Предположим, что в неизотермических условиях деформирования
насыщенной пористой среды величина теплового расширения жидкой
фазы пропорциональна tT ′ с коэффициентом термического расширения
Tβ . Тогда уравнение неразрывности жидкой фазы с учетом линейного
закона уплотнения и теплового расширения запишется в виде
x
T
u k H T
x C t tυ
β σ
∂ ∂ ∂
+ =
∂ ∂ ∂
, (2)
где Cυ – коэффициент консолидации [1, 2], σ – среднее значение
пористости среды. Подставляя в (2) соотношение (1), получаем урав-
нение для определения избыточного напора ( , )H x t в виде
( )
2 2
1 1 2 22 2 T
H H TC C C T
t tx xυ κ κ θ α∂ ∂ ∂ ∂
= − + + +
∂ ∂∂ ∂
, (3)
где i
i
C
k
υν
κ = ( 1, 2)i = ,
C
k
υμ
θ = , T
T
C
k
υσβ
α = . (4)
Поскольку в неизотермических условиях имеет место явление термо-
диффузии, то удельные потоки растворимых веществ для каждого из
компонентов имеют вид
i
i x i i T
C Tq u C D D
x x
∂ ∂
= − −
∂ ∂
( 1, 2)i = , (5)
где iD − коэффициент диффузии i-го компонента, TD – коэффици-
ент термодиффузии. Тогда из уравнения закона сохранения массы
для каждого компонента, пренебрегая термическим расширением,
получаем уравнения конвективной диффузии растворимых веществ
при фильтрации бикомпонентного порового раствора в виде
2 2
2 2
i i i
i x T
C C C TD u D
t xx x
σ
∂ ∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂∂ ∂
( 1, 2)i = . (6)
Термическое состояние среды будем моделировать уравнением
2
2T x
T T TC C u
t xx ρλ ρ∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂∂
, (7)
Математичне та комп’ютерне моделювання
30
где TC – объемная теплоемкость среды, ρ – плотность порового
раствора, Cρ – удельная теплоемкость порового раствора, λ – коэф-
фициент теплопроводности [10].
Таким образом, искомая математическая модель, описывающая
в первом приближении динамику неизотермического процесса
фильтрационной консолидации насыщенной бикомпонентным рас-
твором деформируемой пористой среды, базируется на нелинейной
системе дифференциальных уравнений (3), (6), (7), где величина ско-
рости xu определяется согласно соотношения (1).
Соответствующая рассматриваемой математической модели
краевая задача о консолидации в неизотермических условиях насы-
щенного бикомпонентным раствором пористого массива конечной
мощности l , расположенного, например, на проницаемом основании
и находящегося под действием мгновенно приложенной к его по-
верхности постоянной нагрузки заданной интенсивности, сводится к
решению в области (0, ) (0, )l × +∞ системы уравнений (3), (6), (7) при
следующих краевых условиях:
(0, ) 0H t = , ( , ) 0H l t = , 0( ,0)H x H= , (8)
(0)(0, )i iC t C= ,
( , )
0iC l t
x
∂
=
∂
, ( ,0) 0iC x = , ( 1, 2)i = . (9)
(0)(0, )T t T= , ( , ) 0T l t
x
∂
=
∂
, 0( ,0)T x T= , (10)
где (0) (0)
0 0, , , ( 1, 2)iH T T C i = – заданные величины.
Введем безразмерные переменные и параметры соотношениями
xx
l
′ = , 2
C t
t
l
υ′ = ,
0
HH
H
′ = , (0)
TT
T
′ = , (0) ( 1, 2)i
i
i
C
C i
C
′ = = ,
0
0 (0)
T
T
T
′ = ,
(0)
0
( 1, 2)i i
i
C
i
C Hυ
κ
κ ′ = = ,
(0)
0
T
C Hυ
θθ ′ = ,
(0)
0
T
T
T
H
α
α′ = ,
( 1, 2)i
i
D
D i
Cυ
′ = = ,
(0)
0
( 1, 2)i i
i
C
i
H
ν
ν ′ = = ,
(0)
1
1
T
Cυ
μ
μ ′ = , (11)
(0)
(0) ( 1, 2)T
i
i
D T
r i
C Cυ
′ = = ,
TC Cυ
λλ′ = , 0
1
T
C kH
u
C C
ρ
υ
ρ
′ = ,
(0)
1
T
C T
C C
ρ
υ
ρ μ
γ ′ = ,
(0)
( 1, 2)i i
i
T
C C
i
C C
ρ
υ
ρ ν
δ ′ = = , 0 .
kH
u
Cυ
′ =
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
31
Тогда в переменных (11) рассматриваемая краевая задача запишется
в виде (знак “штрих” над безразмерными величинами опущен)
2 2
2 2 T
H H G T
t tx x
α∂ ∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂∂ ∂
, (12)
2 2
1 22 2( , , , )i i i
i i
C C C TD U C C H T r
t xx x
σ
∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂∂ ∂
( 1, 2)i = , (13)
2
1 22 ( , , , )T T TV C C H T
t xx
λ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂∂
, (14)
(0, ) 0H t = , (1, ) 0H t = , ( ,0) 1H x = , (15)
(0, ) 1iC t = ,
(1, )
0iC t
x
∂
=
∂
, ( ,0) 0iC x = , ( 1, 2)i = , (16)
(0, ) 1T t = , (1, ) 0T t
x
∂
=
∂
, 0( ,0)T x T= , (17)
где 1 2 1 1 2 2( , , )G C C T C C Tκ κ θ= + + , (18)
( )1 2 1 1 2 2 1( , , , )U C C H T uH C C T
x
ν ν μ∂
= − − −
∂
, (19)
( )1 2 1 1 1 2 2 1( , , , )V C C H T u H C C T
x
δ δ γ∂
= − − −
∂
. (20)
Методика получения приближенного решения краевой зада-
чи. Ниже кратко излагается методика построения приближенного
решения краевой задачи (12)–(17).
Введем в рассмотрение следующие пространства допустимых
функций: 1
,0 1 2 1 1{ ( ) (0, 1) | (0) 0, (1) 0},hV s x W s s= ∈ = =
1
,0 2{ ( ) (0, 1) | (0) 0}CV s x W s= ∈ = ,
1 1
,1 1 2 2 1 1{ ( , ) (0, 1), , (0, 1) | (0, ) 0, (1, ) 0}h
f f
V f x t L L f t f t
t x
∂ ∂
= ∈ ∈ = =
∂ ∂
,
2 2
,1 2 2 2 2{ ( , ) (0, 1), , (0, 1) | (0, ) 1}C
f f
V f x t L L f t
t x
∂ ∂
= ∈ ∈ =
∂ ∂
,
где 1
2 (0, 1)W – пространство Соболева [14].
Вариационную формулировку рассматриваемой краевой задачи
запишем в виде
( )1
1 1 1 1 2 1
( )
, ( ) , , ( ) , , , 0T
ds xH H Ts x s x C C T s
t x dx t
α ω∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
, (21)
( ) ( )1 1( , 0), ( ) 1, ( )H x s x s x= , (22)
Математичне та комп’ютерне моделювання
32
( )1 1 2
2 1 2 1 2 2
( )
, ( ) , , , , , 0
C C ds x
s x D C C H T s
t x dx
σ ω
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, (23)
( )1 2( , 0), ( ) 0C x s x = , (24)
( )32 2
3 2 3 1 2 3
( )
, ( ) , , , , , 0
ds xC C
s x D C C H T s
t x dx
σ ω
∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, (25)
( )2 3( , 0), ( ) 0C x s x = , (26)
( )4
4 4 1 2 4
( )
, ( ) , , , , , 0
ds xT Ts x C C H T s
t x dx
λ ω∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, (27)
( ) ( )4 0 4( , 0), ( ) , ( )T x s x T s x= , (28)
где ( ) 1
1 1 2 1
( ), , , , ds xGC C T s
x dx
ω ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
,
( ) 2 1
2 1 2 2 1 2
( ), , , , , , ( )ds x CTC C H T s r U s x
x dx x
ω
∂∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
( ) 3 2
3 1 2 2 2 3
( )
, , , , , , ( )
ds x CTC C H T s r U s x
x dx x
ω
∂∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( )4 1 2 4 4, , , , , ( )TC C H T s V s x
x
ω ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠
, ( )
1
0
, ( ) ( )x x dxϕ ψ ϕ ψ= ∫ ,
,1( , ) hH x t V∈ , 1 2 ,1( , ), ( , ), ( , ) CC x t C x t T x t V∈ , 1 ,0( ) hs x V∈ ,
2 3 4 ,0( ), ( ), ( ) Cs x s x s x V∈ .
Обобщенным решением краевой задачи (12)-(17) назовем вектор-фун-
кцию ( )1 2( , ), ( , ), ( , ), ( , )H x t C x t C x t T x t , которая 1 ,0( ) hs x V∀ ∈ и 2 ( ),s x∀
3 4 ,0( ), ( ) Cs x s x V∈ удовлетворяет интегральным соотношениям (21)-(27).
Приближенное обобщенное решение рассматриваемой краевой
задачи будем искать в виде
1 (1)
1
1
( , ) ( ) ( ) ( , )
n
i i
i
H x t a t N x W x t
=
= +∑ , (29)
2 (2)
1 2
1
( , ) ( ) ( ) ( , )
n
i i
i
C x t b t N x W x t
=
= +∑ , (30)
3 (3)
2 3
1
( , ) ( ) ( ) ( , )
n
i i
i
C x t q t N x W x t
=
= +∑ , (31)
4 (4)
4
1
( , ) ( ) ( ) ( , )
n
i i
i
T x t p t N x W x t
=
= +∑ , (32)
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
33
где { } 1(1)
1
( )
n
i i
N x
=
– базис 1n -мерного подпространства ,0 ,0h hM V⊂ ;
{ } 2(2)
1
( )
n
i i
N x
=
, { } 3(3)
1
( )
n
i i
N x
=
, { } 4(4)
1
( )
n
i i
N x
=
– базисные вектор-функции
конечномерного подпространства ,0 ,0C CM V⊂ ; ( , ) ( 1,4)iW x t i = –
известные функции, удовлетворяющие условиям 1 1(0, ) (1, ) 0,W t W t= =
(0, ) 1 ( 2, 4)kW t k= = .
Из (21)-(28), с учетом соотношений (29)-(32), получаем задачу
Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов 1( ) ( 1, ),ia t i n=
2( ) ( 1, )ib t i n= , 3( ) ( 1, )iq t i n= , 4( ) ( 1, )ip t i n= вида
1 2 1
( ) ( )( ) ( , , ) 0T
dA t dP tM L A t M F B Q P
dt dt
α⋅ + ⋅ − ⋅ + = , (33)
(0) (0)
1 1M A F⋅ = , (34)
23 1
( ) ( , , ) ( ) ( , , , ) 0d B tM L A Q P B t F A B Q P
dt
σ ⋅ + ⋅ + = , (35)
(0) (0)
23M B F⋅ = , (36)
34 2
( ) ( , , ) ( ) ( , , , ) 0dQ tM L A B P Q t F A B Q P
dt
σ ⋅ + ⋅ + = , (37)
(0) (0)
34M Q F⋅ = , (38)
5 3 4
( ) ( , , ) ( ) ( , , , ) 0dP tM L A B Q P t F A B Q P
dt
⋅ + ⋅ + = , (39)
(0)(0)
45M P F⋅ = , (40)
где обозначено:
1 21 2 1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( ) ) , ( ) ( ( ), ( ), ..., ( ) ) ,T T
n nA t a t a t a t B t b t b t b t= =
3 41 2 1 2( ) ( ( ), ( ), ..., ( ) ) , ( ) ( ( ), ( ), ..., ( ) )T T
n nQ t q t q t q t P t p t p t p t= = ,
1 2
(0) (0)
1 2 1 2( (0), (0), ..., (0) ) , ( (0), (0), ..., (0) ) ,T T
n nA a a a B b b b= =
3 4
(0) (0)
1 2 1 2( (0), (0), ..., (0) ) , ( (0), (0), ..., (0) )T T
n nQ q q q P p p p= = ,
11 , 1,( )ji j i nM m == , 4
1
1,
2 1,
( )i n
ji j n
M m =
=
= ,
23 , 1,( )ji j i nM m == ,
34 , 1,( )ji j i nM m == ,
45 , 1,( )ji j i nM m == ,
1, 1,( )ji j i nL l == ,
21 , 1,( , , ) ( )ji j i nL A Q P l == ,
Математичне та комп’ютерне моделювання
34
32 , 1,( , , ) ( )ji j i nL A B P l == ,
4
*
3 , 1,( , , ) ( )ji j i nL A B Q l == ,
( )1
(1) (1) (1)
1 1 2, , ,
T
nF f f f= , ( )2
(2) (2) (2)
2 1 2, , ,
T
nF f f f= ,
( )3
(3) (3) (3)
3 1 2, , ,
T
nF f f f= , ( )4
(4) (4) (4)
4 1 2, , ,
T
nF f f f= ,
( )1
(0) (1) (1) (1)
1 1 2, , ,
T
nF f f f= , ( )2
(0) (2) (2) (2)
2 1 2, , ,
T
nF f f f= ,
( )3
(0) (3) (3) (3)
3 1 2, , ,
T
nF f f f= , ( )4
(0) (4) (4) (4)
4 1 2, , ,
T
nF f f f= ,
( )(1) (1),ji j im N N= , ( )(1) (4),ji j im N N= , ( )(2) (2),ji j im N N= ,
( )(3) (3),ji j im N N= , ( )(4) (4),ji j im N N= ,
(1) (1)
,j i
ji
dN dN
l
dx dx
⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
( )
(2) (2) (2)
(2)
1 2 2 1, , ( )j i i
ji j
dN dN dN
l D uH C T N x
dx dx x dx
ν μ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎜ ⎟= + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( )
(3) (3) (3)
(3)
2 1 1 1, , ( )j i i
ji j
dN dN dN
l D uH C T N x
dx dx x dx
ν μ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂⎜ ⎟= + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( )
(4) (4) (4)
* (4) (4)
1 1 1 1 2 2, ( ) , ( ) ,j i i
ji i j
dN dN dNHl u N x u H C C N x
dx dx t x dx
λ δ δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )(1) (1) (1)
1 4, , , ( )j j T jf f B Q P W W N x
t
α∂⎛ ⎞≡ = − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
( )
(1)
1 1 1 2 2 , jdN
W C C T
x dx
κ κ θ
⎛ ⎞∂⎜ ⎟+ − − −
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
,
( ) ( )
(2)
(2) (2)
1 2 1, , , , j
j j
dN
f f A B Q P D W r T
x dx
⎛ ⎞∂⎜ ⎟≡ = + +
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
( )
2
(2)2 1 2
1 2 2 1 , ( )j
W C W
uH C T N x
t x x x
σ ν ν μ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( ) ( )
(3)
(3) (3)
2 3 2, , , , j
j j
dN
f f A B Q P D W r T
x dx
⎛ ⎞∂⎜ ⎟≡ = + +
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 3
35
( )
2
(3)3 32
2 1 1 1 , ( )j
W WC
uH C T N x
t x x x
σ ν ν μ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
,
( )
(4)
(4) (4) 4 4, , , , j
j j
dNW W
f f A B Q P
x dx t
λ
⎛ ⎞∂ ⎛ ∂⎛⎜ ⎟≡ = + +⎜⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝⎝⎝ ⎠
( )
2
(4)4 1
1 1 2 2 1 1 1 4 , ( )j
W T HC C u H u W N x
x x x t
δ δ γ
⎞⎛ ⎞ ⎞∂ ∂∂ ∂ ⎟+ + − + −⎜ ⎟ ⎟ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎠⎝ ⎠ ⎠
,
( )
1
(1) (1)
1
0
1 ( ,0) ( )j jf W x N x dx= −∫ , ( )(2) (2)
2 ( ,0), ( )j jf W x N x= − ,
( )(3) (3)
3 ( ,0), ( )j jf W x N x= − , ( )( )(4) (4)
0 4 ( ,0) , ( )j jf T W x N x= − − .
Вводя в рассмотрение сеточную область jt jτ= (τ – шаг сетки
по временной переменной), приближенное решение задачи Коши
(33)-(40) можно получить, например, с помощью следующего вари-
анта линеаризованной неявной разностной схемы вида:
5 3 4( ) ( , , ) ( ) ( , , , ) 0tM P t L A B Q P t F A B Q P⋅ + ⋅ + = , (41)
(0)(0)
5 4M P F⋅ = , (42)
4 2 3( ) ( , , ) ( ) ( , , , ) 0tM Q t L A B P Q t F A B Q Pσ ⋅ + ⋅ + = , (43)
(0) (0)
4 3M Q F⋅ = , (44)
3 1 2( ) ( , , ) ( ) ( , , , ) 0tM B t L A Q P B t F A B Q Pσ ⋅ + ⋅ + = , (45)
(0) (0)
3 2M B F⋅ = , (46)
1 2 1( ) ( ) ( ) ( , , ) 0t T tM A t L A t M P t F B Q Pα⋅ + ⋅ − ⋅ + = , (47)
(0)(0)
1 1M A F⋅ = , (48)
где введены стандартные [12] обозначения и стрелки над векторами
опущены. Таким образом, для получения приближенного решения рас-
сматриваемой задачи на данном временном слое, необходимо вычис-
лить значения вектор-функций ( ), ( ), ( ), ( )P t Q t B t A t согласно (41)-(48).
Заключение. Полученные в работе результаты позволяют более
полно, чем в рамках известных математических моделей, охарактери-
зовать динамику формирования полей избыточных напоров и кон-
центраций при консолидации пористых сред с учетом как неизотер-
мичности процесса, так и насыщенности среды бикомпонентными
растворами. Результаты работы могут быть полезными при разработ-
ке инженерных решений, например, в гидростроительстве.
Математичне та комп’ютерне моделювання
36
Список использованной литературы:
1. Ширинкулов Т. Ш. Ползучесть и консолидация грунтов / Т. Ш. Ширин-
кулов, Ю. К. Зарецкий. − Ташкент : Фан, 1986. − 390 с.
2. Иванов П. Л. Грунты и основания гидротехнических сооружений /
П. Л. Иванов. – М. : Высшая школа, 1991. – 447 с.
3. Бомба А. Я. Нелінійні математичні моделі процесів геогідродинаміки /
А. Я. Бомба, В. М. Булавацький, В. В. Скопецький. – К. : Наук. думка,
2007. – 292 с.
4. Власюк А. П. Математичне моделювання консолідації ґрунтів в процесі
фільтрації сольових розчинів / А. П. Власюк, П. М. Мартинюк. – Рів-
не : Вид-во УДУВГП, 2004. – 211 с.
5. Булавацкий В. М. Системный подход к проблеме математического моде-
лирования процесса фильтрационной консолидации / В. М. Булавацкий,
В. В. Скопецкий // Кибернетика и системный анализ. – 2006. – № 6. –
С. 71–79.
6. Булавацкий В. М. Математическое моделирование процесса фильтраци-
онной консолидации с учетом релаксационных явлений / В. М. Булавац-
кий, В. В. Скопецкий // Проблемы управления и информатики. – 2006. –
№ 3. – С. 48–56.
7. Булавацкий В. М. Математическое моделирование динамики некоторых
распределенных пространственно-временных консолидационных процес-
сов / В. М. Булавацкий, В. В. Скопецкий // Проблемы управления и ин-
форматики. – 2009. – № 5. – С. 77–87.
8. Булавацкий В. М. Математическое моделирование динамики консолидаци-
онного процесса насыщенной бинарным солевым раствором пористой среды
/ В. М. Булавацкий // Компьютерная математика. – 2008. – № 2. – С. 3–12.
9. Власюк А. П. Математичне моделювання консолідації ґрунтів при фільт-
рації сольових розчинів в неізотермічних умовах / А. П. Власюк,
П. М. Мартинюк. – Рівне : Вид-во НУВГП, 2008. – 416 с.
10. Ляшко И. И. Численное решение задач тепло- и массопереноса в порис-
тых средах / И. И. Ляшко, Л. И. Демченко, Г. Е. Мистецкий. – К. : Наук.
думка, 1991. – 264 с.
11. Марчук Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г. И. Марчук,
В. И. Агошков. – М. : Наука, 1981. – 416 с.
12. Samarskii A. A. Computational Heat Transfer. Vol. 2 / A. A. Samarskii,
P. N. Vabishchevich. – New York : Wiley, 1995. – 422 p.
The mathematical model describing as a first approximation dynamics of
nonisothermal process of consolidation saturated bicomponents solutions po-
rous medium is constructed. The nonlinear boundary-value problem, appro-
priate to offered model, is formulated and the technique of its approximate so-
lution is developed.
Key words: the mathematical modelling, porous medium, consolidation,
mass-transfer, nonlinear boundary value problem, approximate solutions.
Отримано: 5.06.2010
|