К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы
Одержано апрiорнi оцiнки зверху асимптотичного значення критичного тиску для строго опуклої оболонки неканонiчної форми за двома її параметрами.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18661 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 57-61. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-18661 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-186612011-04-07T12:04:26Z К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы Бабенко, В.И. Механіка Одержано апрiорнi оцiнки зверху асимптотичного значення критичного тиску для строго опуклої оболонки неканонiчної форми за двома її параметрами. Summary an a priori upper bound of the asymptotic value of critical pressure for a strictly convex shell with non-canonical shape by its two parameters is obtained. 2009 Article К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 57-61. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18661 539.3 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Бабенко, В.И. К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| description |
Одержано апрiорнi оцiнки зверху асимптотичного значення критичного тиску для строго опуклої оболонки неканонiчної форми за двома її параметрами. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.И. |
| author_facet |
Бабенко, В.И. |
| author_sort |
Бабенко, В.И. |
| title |
К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_short |
К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_full |
К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_fullStr |
К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_full_unstemmed |
К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_sort |
к оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/18661 |
| citation_txt |
К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2009. — № 9. — С. 57-61. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovi kocenkekritičeskogodavleniâdlâstrogovypuklojoboločkinekanoničeskojformy |
| first_indexed |
2025-07-02T19:36:40Z |
| last_indexed |
2025-07-02T19:36:40Z |
| _version_ |
1836565135897919488 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2009
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2009
В.И. Бабенко
К оценке критического давления для строго выпуклой
оболочки неканонической формы
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Одержано апрiорнi оцiнки зверху асимптотичного значення критичного тиску для
строго опуклої оболонки неканонiчної форми за двома її параметрами.
В данной работе ставится задача о получении априорных оценок критических нагрузок для
оболочек неканонической формы, а именно, рассматривается вопрос о получении оценки
сверху асимптотики критической нагрузки для близкого к безмоментному напряженно-де-
формированного равновесного состояния достаточно тонкой, строго выпуклой, непологой,
односвязной оболочки, находящейся под действием равномерного внешнего давления P .
Относительно формы срединной поверхности F оболочки предполагается, что она имеет
непрерывные нормальные кривизны и строго положительную гауссову кривизну K. Мате-
риал оболочки — линейно упругий, однородный, изотропный. Предполагается также, что
оболочка либо замкнутая, либо жестко закреплена вдоль плоского края ∂F .
1. Исходя из уравнений нелинейной теории оболочек Кирхгофа–Лява, в [1] асимптоти-
ческими методами показано, что в начальной стадии потеря устойчивости рассматриваемо-
го здесь напряженно-деформированного равновесного состояния оболочки происходит вне
некоторой окрестности ее края при критической нагрузке, асимптотическое значение P∗
которой в случае равномерного внешнего давления P можно представить в виде
P∗ = E min
(F )
K
1 +
√
1 + 4K(T 12T 21 − T 11T 22)
, (1)
где E = 2Eδ2/
√
3(1 − ν2); минимум берется по всем внутренним точкам поверхности F ; E —
модуль Юнга, а ν — коэффициент Пуассона материала оболочки; δ — ее толщина; Tαβ —
определяемые по линейной, безмоментной теории оболочек компоненты усилий, вызывае-
мых в оболочке действием внешнего давления P в докритическом равновесном состоянии.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 57
Формула (1) была получена также в [2] из вариационного принципа “B” геометрической
теории устойчивости оболочек без каких-либо предположений о форме потери устойчи-
вости. Если же принять дополнительное предположение о том, что потеря устойчивости
сопровождается образованием малой вмятины конечных размеров, то из вариационного
принципа “B” для асимптотики критического давления получается [3] известная формула
А.В. Погорелова
P∗∗ = E min
(F )
K. (2)
Так как при получении этой формулы из вариационного принципа “B” накладывались до-
полнительные ограничения на искомую форму потери устойчивости, то
P∗ 6 P∗∗. (3)
Далее, в работе [4] получены оценки для гауссовой кривизны K строго выпуклой по-
верхности F по некоторым ее параметрам. Всего было рассмотрено три варианта задания
этих параметров и доказаны соответственно три теоремы. Полученные в [4] результаты
можно объединить в виде
minK 6 K0, (4)
где минимум берется по всем точкам поверхности F ; K0 ≡ const — гауссова кривизна вере-
тенообразной поверхности F0, параметры которой определяются заданными параметрами
поверхности F .
Из формул (1)–(4) получаем искомую оценку сверху для асимптотики критического
давления для строго выпуклой оболочки
P∗ 6 EK0. (5)
2. Веретенообразная поверхность вращения F0 выпукла, симметрична относительно сво-
ей экваториальной плоскости и имеет непрерывные нормальные кривизны всюду, кроме
двух точек P0, Q0 — точек пересечения со своей осью вращения, где она имеет вершины
(конические точки). Во всех остальных точках ее гауссова кривизна K0 постоянна. Длина
отрезка P0Q0 равна диаметру поверхности F0, т. е. наибольшему расстоянию между любыми
двумя ее точками. Обозначим через R0 радиус экватора поверхности F0
(
R0 6 1/
√
K0
)
.
При R0 = 1/
√
K0 поверхность F0 — сфера радиуса R0. Введем декартову систему коор-
динат (x, y, z), где координатная ось z — ось вращения поверхности F0, а координатная
плоскость (x, y) — ее экваториальная плоскость. Тогда уравнение меридиана y = 0 поверх-
ности F0 в параметрической форме можно записать в виде
x = R0 cos σ; z =
σ
∫
0
√
1
K0
− R2
0 sin2 σdσ; |σ| 6
π
2
,
где σ = l
√
K0; l — длина дуги меридиального сечения. Если поверхность F0 разрезать по
меридиану, то полученная поверхность допускает геометрическое изгибание в кусок сферы
радиуса 1/
√
K0, заключенный между двумя ее меридианами [5, 6].
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Рис. 1
Далее рассмотрим исследованные в [4] три варианта задания ограничений на форму
строго выпуклой поверхности (в нашем случае — срединной поверхности F оболочки) и для
каждого варианта найдем поверхность F0. То есть вычислим гауссову кривизну K0 и радиус
экватора R0, которые полностью определяют поверхность F0.
3. Пусть срединная поверхность F замкнутой оболочки ограничивает строго выпуклое
тело, диаметр и объем которого не меньше соответственно D и V , где V 6 πD3/6 — нера-
венство Бибербаха для выпуклых тел [5].
В этом случае, согласно теореме 1 из [4], искомая веретенообразная поверхность F0
ограничивает тело, диаметр и объем которого равны, соответственно, D и V . Ее гауссова
кривизна K0 в (4) и радиус экватора R0 определяются из уравнений
D = 2
π/2
∫
0
√
1
K0
− R2
0 sin2 σdσ, (6)
V = 2πR2
0
π/2
∫
0
cos2 σ
√
1
K0
− R2
0 sin2 σdσ. (7)
Если V = πD3/6, то F0 — сфера радиуса D/2. Если V → 0, то R0 → 0, а K0 → π2/D2.
При промежуточных значениях V гауссова кривизна K0 < π2/D2 — неравенство Бонне [5].
Более точные значения K0 для заданных значений D и V находим численно, решая сис-
тему уравнений (6), (7). Полученные численные результаты представлены на рис. 1 зави-
симостями безразмерных параметров гауссовой кривизны K0(D/2)2 (кривая 1 ) и радиуса
экватора 2R0/D (кривая 2 ) от величины безразмерного параметра объема v = 6V/(πD3),
характеризующего в некотором смысле отклонение формы рассматриваемой оболочки от
сферической. Заметим, что кривая 1 для гауссовой кривизны (с точностью до 4,5%) хорошо
воспроизводится параболой, пересекающей ее в трех точках: v = 0, v = 0,5 и v = 1.
4. Пусть теперь срединная поверхность F замкнутой оболочки ограничивает строго
выпуклое тело L, диаметр которого не меньше D, а P и Q — точки на F , расстояние между
которыми равно диаметру тела L. Пусть максимальная площадь сечений тела L плоскостя-
ми, ортогональными отрезку PQ, не меньше S, где S 6 πD2/4. Тогда из теоремы 2 [4] следу-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 59
Рис. 2
ет, что искомая веретенообразная поверхность F0 имеет диаметр D, а радиус экватора R0 =
=
√
S/π. Ее гауссову кривизну K0 находим из уравнения (6). Результаты численного счета
представлены на рис. 2, где кривая 1 — зависимость безразмерного параметра гауссовой
кривизны K0(D/2)2 от параметра радиуса экватора R0 = 2
√
S/π/D. Там же кривой 2 пока-
зана зависимость от R0 параметра v = 6V/(πD3) объема V (7) тела, ограниченного поверх-
ностью F0. Отметим, что кривые рис. 2 можно построить непосредственно по данным рис. 1.
5. Далее рассмотрим односвязную оболочку с высотой H, жестко закрепленную вдоль
плоского края, ограничивающего область с площадью s. Пусть среди всех веретенообразных
поверхностей вращения F ′, содержащих осесимметричный сегмент высотой H и радиусом
основания r =
√
s/π, поверхность F ′′ имеет наибольшую гауссову кривизну, которую обо-
значим через K0. Содержащийся в F ′′ сегмент высотой H и радиусом основания r обозначим
через F0. Найденные таким образом сегмент F0 и гауссова кривизна K0 будут искомыми,
т. е. будут в данном случае фигурировать в оценке (4), а значит и в (5). При H 6 r F0 —
сферический сегмент Fs радиусом кривизны R = (r2 + H2)/(2H) и K0 = 1/R2. При H > r
F0 — отличный от Fs (так как K0 > 1/R2) сегмент веретенообразной поверхности F ′′, со-
держащий ее экватор, т. е. F0 — выпуклый колпак [4]. Его гауссова кривизна
K0 = max
R′
K ′(R′). (8)
Здесь K ′(R′) — решение уравнения H =
π/2
∫
−ϕ
√
1
K ′
− (R′)2 sin2 σdσ, где ϕ = arccos(r/R′).
Результаты вычислений показаны на рис. 3 зависимостями от параметра r/H безразмер-
ных величин, дающих представление о близости F0 к сферическому сегменту Fs радиуса
кривизны R. Кривая 1 описывает изменение параметра гауссовой кривизны K0R
2 сегмен-
та F0, а кривая 2 — параметра радиуса его экватора R0/R (R0 — значение R′, при котором
достигается максимум в (8)). Интересно отметить, что при r/H > 0,45 сегмент F0 доста-
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №9
Рис. 3
точно близок к сферическому Fs: отклонение от 1 параметра кривизны не превышает 5%,
а параметра радиуса экватора — 10%.
6. В заключение заметим, что в рассмотренных выше случаях неравенство (4) будет ра-
венством либо близким к нему, если срединная поверхность оболочки совпадает с веретено-
образной поверхностью F0 (что имеет место, когда F0 — сфера или ее сегмент), либо близка
к F0 [4]. Для таких форм оболочек будет максимальной (при заданных параметрах оболоч-
ки) асимптотика критического давления P∗∗, определяемая геометрическим методом [3].
1. Бабенко В.И. Потеря устойчивости непологих строго выпуклых анизотропных оболочек // Изв. АН
СССР. Механика тв. тела. – 1977. – № 2. – С. 95–103.
2. Бабенко В.И. Геометрическое исследование неустойчивости безмоментных оболочек // Укр. геомет-
рич. сб. – Харьков: Изд-во Харьков. ун-та, 1972. – Вып. 12. – С. 12–22.
3. Бабенко В.И. К геометрической теории потери устойчивости жестко закрепленных строго выпуклых
оболочек при внешнем давлении // Докл. АН Украины. – 1993. – № 7. – С. 46–49.
4. Бабенко В.И. К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей // Доп. НАН України. –
2009. – № 3. – С. 7–11.
5. Бляшке В. Круг и шар. – Москва: Наука, 1967. – 232 с.
6. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 420 с.
Поступило в редакцию 19.01.2009Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
V. I. Babenko
On the estimation of the critical pressure for a strictly convex shell with
non-canonical shape
Summary an a priori upper bound of the asymptotic value of critical pressure for a strictly convex
shell with non-canonical shape by its two parameters is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №9 61
|