2025-02-22T21:10:41-05:00 DEBUG: VuFindSearch\Backend\Solr\Connector: Query fl=%2A&wt=json&json.nl=arrarr&q=id%3A%22irk-123456789-190456%22&qt=morelikethis&rows=5

2025-02-22T21:10:41-05:00 DEBUG: VuFindSearch\Backend\Solr\Connector: => GET http://localhost:8983/solr/biblio/select?fl=%2A&wt=json&json.nl=arrarr&q=id%3A%22irk-123456789-190456%22&qt=morelikethis&rows=5

2025-02-22T21:10:41-05:00 DEBUG: VuFindSearch\Backend\Solr\Connector: <= 200 OK

2025-02-22T21:10:41-05:00 DEBUG: Deserialized SOLR response

Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах

Розглянуто питання оптимізації та керованості систем, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних з коефіцієнтами та правими частинами, які належать різним функціональним просторам. До таких моделей зводяться, зокрема, задачі фармакокінетики. Досліджено модель, що описується загал...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Main Authors:	Клюшин, Д.А., Ляшко, С.І., Ляшко, Н.І., Бондар, О.С., Тимошенко, А.А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190456
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!

id	irk-123456789-190456
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1904562024-07-19T01:20:33Z Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах Клюшин, Д.А. Ляшко, С.І. Ляшко, Н.І. Бондар, О.С. Тимошенко, А.А. Системний аналіз Розглянуто питання оптимізації та керованості систем, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних з коефіцієнтами та правими частинами, які належать різним функціональним просторам. До таких моделей зводяться, зокрема, задачі фармакокінетики. Досліджено модель, що описується загальним диференціальним рівнянням з нульовими початковими та граничними умовами. За припущення, що коефіцієнти рівняння є додатними в області, здійснено моделювання концентрованих джерел з використанням дельта-функції Дірака. Виконано пошук допустимого керування, що забезпечує мінімізацію функціоналу якості. На основі простору вимірних інтегровних з квадратом функцій уведено поповнення гладких у досліджуваній області функцій за нормою та побудовано спряжену задачу. Для спряженої задачі введено негативні простори та досліджено узагальнений розв'язок поставлених задач. Рассмотрены вопросы оптимизации и управляемости систем, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, с коэффициентами и правыми частями, принадлежащими разным функциональным пространствам. К таким моделям сводятся, в частности, задачи фармакокинетики. Исследована модель, которая описывается общим дифференциальным уравнением с нулевыми начальными и граничными условиями. В предположении, что коэффициенты уравнения являются положительными в области, выполнено моделирование сосредоточенных источников с использованием дельта-функции Дирака. Выполнен поиск допустимого управления, которое обеспечивает минимизацию функционала качества. На основе пространства измеримых интегрируемых с квадратом функций введено пополнение гладких в исследуемой области функций по норме, а также построена сопряженная задача. Для сопряженной задачи введены негативные пространства и исследовано обобщенное решение поставленных задач. Optimization and controllability problems for systems described by partial differential equations, where coefficients and the right-hand side belong to different functional spaces, are considered. In particular, pharmacokinetic problems lead to such models. A model described by a general differential equation with zero initial and boundary conditions is analyzed. Coefficients are assumed positive in the area, concentrated sources are modeled by the Dirac delta function. The search of feasible control that minimizes the quality functional is performed. Based on the space of measurable and square integrable functions, adjunction for functions smooth in the research area according to the norm and conjugate problem are constructed. Negative spaces are introduced for the conjugate problem and generalized solution of the problems is investigated. 2020 Article Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах / Д.А. Клюшин, С.І. Ляшко, Н.І. Ляшко, О.С. Бондар, А.А. Тимошенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 86–94. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190456 517.9, 519.6 uk Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Клюшин, Д.А. Ляшко, С.І. Ляшко, Н.І. Бондар, О.С. Тимошенко, А.А. Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах Кибернетика и системный анализ
description	Розглянуто питання оптимізації та керованості систем, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних з коефіцієнтами та правими частинами, які належать різним функціональним просторам. До таких моделей зводяться, зокрема, задачі фармакокінетики. Досліджено модель, що описується загальним диференціальним рівнянням з нульовими початковими та граничними умовами. За припущення, що коефіцієнти рівняння є додатними в області, здійснено моделювання концентрованих джерел з використанням дельта-функції Дірака. Виконано пошук допустимого керування, що забезпечує мінімізацію функціоналу якості. На основі простору вимірних інтегровних з квадратом функцій уведено поповнення гладких у досліджуваній області функцій за нормою та побудовано спряжену задачу. Для спряженої задачі введено негативні простори та досліджено узагальнений розв'язок поставлених задач.
format	Article
author	Клюшин, Д.А. Ляшко, С.І. Ляшко, Н.І. Бондар, О.С. Тимошенко, А.А.
author_facet	Клюшин, Д.А. Ляшко, С.І. Ляшко, Н.І. Бондар, О.С. Тимошенко, А.А.
author_sort	Клюшин, Д.А.
title	Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах
title_short	Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах
title_full	Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах
title_fullStr	Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах
title_full_unstemmed	Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах
title_sort	узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190456
citation_txt	Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах / Д.А. Клюшин, С.І. Ляшко, Н.І. Ляшко, О.С. Бондар, А.А. Тимошенко // Кибернетика и системный анализ. — 2020. — Т. 56, № 5. — С. 86–94. — Бібліогр.: 26 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT klûšinda uzagalʹnenaoptimízacíâprocesívperenesennâlíkívupuhlinah AT lâškosí uzagalʹnenaoptimízacíâprocesívperenesennâlíkívupuhlinah AT lâškoní uzagalʹnenaoptimízacíâprocesívperenesennâlíkívupuhlinah AT bondaros uzagalʹnenaoptimízacíâprocesívperenesennâlíkívupuhlinah AT timošenkoaa uzagalʹnenaoptimízacíâprocesívperenesennâlíkívupuhlinah
first_indexed	2023-10-18T23:13:00Z
last_indexed	2024-07-19T04:00:44Z
_version_	1804978508460457984
fulltext	ÓÄÊ 517.9, 519.6 Ä.À. ÊËÞØÈÍ, Ñ.². ËßØÊÎ, Í.². ËßØÊÎ, Î.Ñ. ÁÎÍÄÀÐ, À.À. ÒÈÌÎØÅÍÊÎ ÓÇÀÃÀËÜÍÅÍÀ ÎÏÒÈÌ²ÇÀÖ²ß ÏÐÎÖÅÑ²Â ÏÅÐÅÍÅÑÅÍÍß Ë²Ê²Â Ó ÏÓÕËÈÍÀÕ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿ îïòèì³çàö³¿ òà êåðîâàíîñò³ ñèñòåì, ùî îïèñó- þòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèìè ð³âíÿííÿìè â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ç êîåô³ö³ºíòàìè òà ïðàâèìè ÷àñòèíàìè, ÿê³ íàëåæàòü ð³çíèì ôóíêö³îíàëüíèì ïðîñòîðàì. Äî òàêèõ ìîäåëåé çâîäÿòüñÿ, çîêðåìà, çàäà÷³ ôàðìàêîê³íåòèêè. Äîñë³äæåíî ìîäåëü, ùî îïèñóºòüñÿ çàãàëüíèì äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì ç íóëüîâèìè ïî÷àòêîâèìè òà ãðàíè÷íèìè óìîâàìè. Çà ïðèïóùåííÿ, ùî êîåô³ö³ºíòè ð³âíÿííÿ º äîäàòíèìè â îáëàñò³, çä³éñíåíî ìîäåëþâàííÿ êîíöåíòðîâàíèõ äæåðåë ç âèêîðèñòàííÿì äåëüòà-ôóíêö³¿ Ä³ðàêà. Âèêîíàíî ïîøóê äîïóñòè- ìîãî êåðóâàííÿ, ùî çàáåçïå÷óº ì³í³ì³çàö³þ ôóíêö³îíàëó ÿêîñò³. Íà îñíîâ³ ïðîñòîðó âèì³ðíèõ ³íòåãðîâíèõ ç êâàäðàòîì ôóíêö³é óâåäåíî ïîïîâíåííÿ ãëàäêèõ ó äîñë³äæóâàí³é îáëàñò³ ôóíêö³é çà íîðìîþ òà ïîáóäîâàíî ñïðÿæå- íó çàäà÷ó. Äëÿ ñïðÿæåíî¿ çàäà÷³ ââåäåíî íåãàòèâí³ ïðîñòîðè òà äîñë³äæåíî óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê ïîñòàâëåíèõ çàäà÷. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: îïòèì³çàö³ÿ, êåðîâàí³ñòü, ð³âíÿííÿ â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ. ÂÑÒÓÏ Ï³ä ÷àñ äîñë³äæåííÿ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé òðàíñïîðòóâàííÿ ë³êàðñüêèõ ðå÷î- âèí ó ðàêîâèõ ïóõëèíàõ âèíèêàº ïîòðåáà ó ðîçâ’ÿçàíí³ çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ òà êåðîâàíîñò³ ñèñòåì, ùî îïèñóþòüñÿ äèôåðåíö³àëüíèìè ð³âíÿííÿìè â ÷àñ- òèííèõ ïîõ³äíèõ, äå êîåô³ö³ºíòè òà ïðàâ³ ÷àñòèíè íàëåæàòü ð³çíèì ôóíêö³îíàëü- íèì ïðîñòîðàì. Çîêðåìà, òàê³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ôàðìàêîê³íåòèêè, òðàíñïîðòó- âàííÿ òà ðîçïîä³ëó öèòîñòàòèê³â óñåðåäèí³ ïóõëèí âèâ÷åíî ó ðîáîòàõ [1–6] òà áà- ãàòüîõ ³íøèõ. Óäîñêîíàëåííÿ ìåòîä³â ïðîãíîçóâàííÿ ðîçïîä³ëó ë³ê³â ó ïóõëèíàõ çóìîâèëî ïîòðåáó â îïòèìàëüíîìó êåðóâàíí³ äæåðåëàìè ë³ê³â äëÿ ì³í³ì³çàö³¿ ù³ëüíîñò³ ðàêîâèõ êë³òèí ³ ïîá³÷íèõ åôåêò³â. Ó ðîáîò³ [7] ðîçðîáëåíî ìîäåëü îïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ êîíöåíòðàö³ºþ ë³ê³â òà ù³ëüí³ñòþ ðàêîâèõ êë³òèí. ¯¿ ìå- òîþ áóëà ì³í³ì³çàö³ÿ ù³ëüíîñò³ ðàêîâèõ êë³òèí ³ ïîì’ÿêøåííÿ ïîá³÷íèõ åôåêò³â â³ä ë³ê³â. Ó ðîáîòàõ [8–10] öþ ìîäåëü áóëî ðîçøèðåíî íà âèïàäîê êåðóâàííÿ òî÷êîâèìè äæåðåëàìè, ³ìïëàíòîâàíèìè â ïóõëèíó ³ êåðîâàíèìè äåëü- òà-ôóíêö³ÿìè Ä³ðàêà. Âèâ÷åííÿ òàêèõ ñèñòåì äîö³ëüíî çä³éñíþâàòè ó ìåæàõ òåîð³¿ îñíàùåíèõ ïðîñòîð³â Ã³ëüáåðòà òà àïð³îðíèõ îö³íîê ó íåãàòèâíèõ íîðìàõ. Çàäà÷³ îïòèì³çàö³¿ ìîäåëåé ïàðàáîë³÷íîãî òèïó ³ç çîñåðåäæåíèìè äæåðåëàìè äîñë³äæåíî â ðîáîòàõ [11–14]. Òåîð³þ, ùî ëåæèòü â îñíîâ³ öèõ äîñë³äæåíü, âè- êëàäåíî â [15–19]. Áëèçüê³ çà òåìîþ äîñë³äæåííÿ âèêîíàíî À.Î. ×èêð³ºì ³ç ñï³âàâòîðàìè [20], Î.Ì. Õ³ì³÷åì ³ç ñï³âàâòîðàìè [21], À.Â. Ãëàäêèì [22] òà Â.Ì. Áóëàâàöüêèì [23]. Ìåòà ö³º¿ ðîáîòè — ðîçðîáèòè ìåòîä óçàãàëüíåíî¿ îïòèì³çàö³¿ ïðîöåñ³â ïàðà- áîë³÷íîãî òèïó, ùî âèíèêàþòü ó çàäà÷àõ ïåðåíåñåííÿ ë³ê³â ó á³îëîã³÷íèõ òêàíèíàõ [24]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü, ùî îïèñóºòüñÿ ïàðàáîë³÷íèì äèôåðåíö³àëüíèì ð³âíÿííÿì â îáëàñò³ Q T L� �{ }[ , ] [ , ]0 0 : Lu u t x A u x B u x Cu f� � � � � � � � � � � � � , (1) u t\| � �0 0 , u A u x Bux x L \| � � � � � � � �0 0 . (2) 86 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 © Ä.À. Êëþøèí, Ñ.². Ëÿøêî, Í.². Ëÿøêî, Î.Ñ. Áîíäàð, À.À. Òèìîøåíêî, 2020 Íåõàé A x t( , ) ³ B x t( , ) — íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿, ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì � � � B x A ³ A � 0 , à C x t( , ) — íåïåðåðâíà ôóíêö³ÿ òàêà, ùî � � � B x C. ²ìïóëüñí³ äæåðåëà ìîäåëþþòüñÿ äåëüòà-ôóíêö³ÿìè Ä³ðàêà [10] f t x h t t h xi i i n ( , ; ) ( ) ( )� � � � � 1 . Êåðóâàííÿì h º ìîìåíòè ä³¿ íà ñèñòåìó t t t N� ( )1 � òà ³íòåíñèâíîñò³ ö³º¿ ä³ ¿ � � �� ( )1 � N , ùî íàëåæàòü ìíîæèí³ äîïóñòèìèõ êåðóâàíü U R T L LN N� �[ , ] [ , ]0 0 2 ç ïðîñòîðó êåðóâàíü H R LN N� � 2 . Çíàéäåìî ì³í³ìóì ôóíêö³îíàëà J h u t x h h U( ) ( ( , ; )),� �� , (3) äå u t x h( , ; ) — ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2). Óâåäåìî òàê³ ïîçíà÷åííÿ: L Q2 ( ) — ïðîñò³ð âèì³ðíèõ ³íòåãðîâíèõ ç êâàäðà- òîì â îáëàñò³ Q ôóíêö³é, \|\| \|\|� L2 , ( , )� � — â³äïîâ³äíî íîðìà ³ ñêàëÿðíèé äîáóòîê ó íüîìó, W Qãð ( ) — ïîïîâíåííÿ ãëàäêèõ â Q ôóíêö³é, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (2), çà íîðìîþ \|\| \|\| / u u t u x u dQW Q ãð � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 2 2 1 2 . (4) Òàêîæ ðîçãëÿíåìî ñïðÿæåíó äî (1), (2) çàäà÷ó L t x A x B x B C gx * ( )� � � � �� , (5) � \| t T� � 0 ; � � �\| \|x x LA x B� �� 0 0 . (6) ÐÅÇÓËÜÒÀÒÈ ÄÎÑË²ÄÆÅÍÜ Ïîçíà÷èìî W Q ãð� ( ) ïîïîâíåííÿ çà íîðìîþ (4) ãëàäêèõ â îáëàñò³ Q ôóíêö³é, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (6). Ïðè öüîìó W Qãð � ( ), W Q ãð� � ( ) — â³äïîâ³äíi íåãà- òèâí³ ïðîñòîðè, ïîáóäîâàí³ çà W Q W Qãð ãð ( ), ( )� òà L Q2 ( ) â³äïîâ³äíî. Ó çàäà÷àõ ³ìïóëüñíî¿ îïòèì³çàö³¿ ïðàâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿíü (1), (5) íàëåæàòü â³äïîâ³äíèì íåãàòèâíèì ïðîñòîðàì. Îòæå, ïîòð³áíî ââåñòè ïîíÿòòÿ óçàãàëüíåíèõ ðîçâ’ÿçê³â öèõ ð³âíÿíü. Îçíà÷åííÿ 1. Íåõàé ³ñíóº ïîñë³äîâí³ñòü ãëàäêèõ â îáëàñò³ Q ôóíêö³é u t x W Qi ( , ) ( )� ãð ( ( , ) ( ))� i t x W Q� �ãð òàêèõ, ùî \|\| \|\| , \|\| \|\|u u Lu fi W i i W i � � � � �� ãð ãð 0 0 , (\| \| \| \|� �i W i � �� ãð 0 , \|\| \|\| )L gi W i � � � ��ãð 0 . Òîä³ u t x( , ) º óçàãàëüíåíèì ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ (1), (2), à �( , )t x — çàäà÷³ (5), (6) â³äïîâ³äíî. Îçíà÷åííÿ 2. Íåõàé ³ñíóº ïîñë³äîâí³ñòü ãëàäêèõ â îáëàñò³ Q ôóíêö³é u t x W Qi ( , ) ( )� ãð , ( ( , ) ( )), , , ..� i t x W Q i� ��ãð 1 2 . , òàêèõ, ùî \|\| \|\| , \|\| \|\|u u Lu fi L i i W i � � � � �� 2 0 0 ãð , ( \|\| \|\| , \|\| \|\| )� � �i L i i W i L g� � � � �� 2 0 0 ãð . ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 87 Òîä³ u t x( , ) º óçàãàëüíåíèì ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ (1), (2), à �( , )t x — çàäà÷³ (5), (6) â³äïîâ³äíî. Ñïðàâäæóþòüñÿ òàê³ òâåðäæåííÿ. Òåîðåìà 1. Äëÿ äîâ³ëüíî¿ ôóíêö³¿ f t x L Q g t x L Q( , ) ( ), ( ( , ) ( ))� �2 2 ³ñíóº ºäè- íèé óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê (1), (2) ( (5), (6) â³äïîâ³äíî) ó ðîçóì³íí³ îçíà÷åííÿ 1. Òåîðåìà 2. Äëÿ äîâ³ëüíî¿ ôóíêö³¿ f t x W Q( , ) ( )� � � ãð ( ( , ) ( ))ðg t x W Qã� � ³ñíóº ºäèíèé óçàãàëüíåíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2) ((5), (6) â³äïîâ³äíî) ó ðîçóì³íí³ îçíà÷åííÿ 2. Äîâåäåííÿ öèõ òåîðåì ´ðóíòóºòüñÿ íà òàê³é ëåì³. Ëåìà 1. Äëÿ äîâ³ëüíèõ ôóíêö³é u t x W Q t x W Q( , ) ( ), ( , ) ( )� � �ãð ãð � ñïðàâä- æóþòüñÿ àïð³îðí³ îö³íêè \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\|u C Lu C uL W W2 1 2� � � � ãð ãð , (7) \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\|� � �L W W C L C 2 1 2� �� ãð ãð , (8) äå C C1 2, — äîäàòí³ êîíñòàíòè. Äîâåäåííÿ íåð³âíîñòåé (7), (8) çä³éñíþþòü àíàëîã³÷íî äî [10] ñïî÷àòêó äëÿ ãëàäêèõ â îáëàñò³ Q ôóíêö³é u t x t x( , ), ( , )� , ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè (2) òà (5) â³äïîâ³äíî. Äàë³ ç âèêîðèñòàííÿì ãðàíè÷íîãî ïåðåõîäó îòðèìóþòü ñïðàâåä- ëèâ³ñòü òâåðäæåíü äëÿ äîâ³ëüíèõ ôóíêö³é ç W Qãð ( ) òà W Q ãð� ( ) . Ï³ä ÷àñ äîâåäåí- íÿ çàñòîñîâóþòü îïåðàö³þ ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè, ôîðìóëó Îñòðîãðàäñüêî- ãî–Ãàóñà, êðàéîâ³ óìîâè (2), (5) òà íåð³âí³ñòü Êîø³–Áóíÿêîâñüêîãî. Äëÿ äîâåäåííÿ ïåðøî¿ íåð³âíîñò³ â (7) óâåäåìî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêö³é u t x W Q( , ) ( )� ãð äîïîì³æíèé ³íòåãðàëüíèé îïåðàòîð � � ��( , ) ( , )t x e u x dN T t � � � � . (9) Òîä³ ñïðàâäæóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ u t x e t x t Nt( , ) ( , ) � � � � � . Îö³íèìî îêðåìî êîæåí äîäàíîê ó âèðàç³ ( , )� Lu , äå ( , )� � — ñêàëÿðíèé äî- áóòîê â L Q2 ( ) . Ðîçãëÿíåìî � � , � � � � � � � � � � � � � � � � �� u t e t dQNt Q 2 . (10) Òóò âèêîðèñòàíî îïåðàö³þ ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè òà ïî÷àòêîâ³ óìîâè äëÿ ôóíêö³é u t x( , ) ³ �( , )t x . Ðîçãëÿíåìî � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� , x A u x x A u x dQ x A e Q Nt Q x t dQ� � � �� 2� . (11) Ïðî³íòåãðóºìî äðóãèé äîäàíîê ó ñï³ââ³äíîøåíí³ (11) ÷àñòèíàìè. Îòðèìàºìî � � � � � � � � � � � ��, x A u x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� x A u x dQ t x A e x Q Nt Q � � � dQ x t A e x dQNt Q � � � � � � � � � �� 2� � � � � � � � � � � � �� e A N A x dQNt t Q ( ) � 2 . (12) 88 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 ²ç ñï³ââ³äíîøåííÿ (12), âðàõîâóþ÷è ãðàíè÷í³ óìîâè äëÿ ôóíêö³¿ �( , )t x , ìàºìî � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� , ( x A u x x A u x dQ e A Q Nt t 1 2 N A x dQ Q � � � � � � � � �� ) � 2 (13) Ðîçãëÿíåìî òðåò³é äîäàíîê ó âèðàç³ ( , )� Lu � � � � �, ( )B u x x B u dQ x B e t dQ BNt x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �e t dQNt QQQ � � �� . (14) Ïðî³íòåãðóºìî òðåò³é äîäàíîê ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ (14) çà ÷àñòèíàìè. Âðàõîâó- þ÷è ãðàíè÷í³ óìîâè äëÿ ôóíêö³¿ �( , )t x , îòðèìàºìî � � �� Q x Nt Nt xt x Q B e t dQ e B N B dQ 1 2 2( ) . (15) Ï³äñòàâëÿþ÷è ñï³ââ³äíîøåííÿ (15) ó (14), îäåðæèìî íåð³âí³ñòü � � � � , ( )B u x x Bu dQ B e x t dQ e Q Nt Nt� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 1 2 ( ) .B N B dQxt x QQ � �� 2 (16) Òàê ñàìî ïðî³íòåãðóºìî îñòàíí³é äîäàíîê ó ( , )� Lu ( , ) ( )� � � � � Cu C e t dQ t C e dQ t CNt Nt QQ � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 e dQNt Q � �� (17) � � � � � �� e C N C dQ e C N C dQNt t Q Nt t Q ( ) ( )� �2 21 2 . Ó ðåçóëüòàò³ äîäàâàííÿ ñï³ââ³äíîøåíü (10), (13), (16) òà (17), îòðèìàºìî íåð³âí³ñòü ( , )� � � Lu x A u x B u dQ e t Q Nt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 2 1 2 ( )A N A x t Q � � � � � � � � � � � � � � �� B x t B N B C NC dQxt x t � � � 1 2 2( ) . (18) Ïåðøèé äîäàíîê ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ ó (18) äîð³âíþº íóëþ âíàñë³äîê âèêîíàí- íÿ ãðàíè÷íèõ óìîâ äëÿ ôóíêö³¿ �( , )t x . Çàñòîñóºìî êðèòåð³é Ñ³ëüâåñòðà äîäàòíî¿ âèçíà÷åíîñò³ êâàäðàòè÷íèõ ôîðì ³ îòðèìàºìî ñïðàâåäëèâ³ñòü íåð³âíîñò³ ( , ) \|\| \|\| ,� � � �Lu W �ãð 2 0 . (19) Ç íåð³âíîñò³ (19), âðàõîâóþ÷è ³íòåãðàëüíó íåð³âí³ñòü Êîø³–Áóíÿêîâñüêîãî ³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ �( , )t x òà u t x( , ) , îòðèìàºìî ïåðøó íåð³âí³ñòü ó (7). Äîâåäåìî ñïðàâåäëèâ³ñòü ïåðøî¿ íåð³âíîñò³ ó (8). Óâåäåìî äîïîì³æíó ôóíêö³þ u t x( , ) ó òàêèé ñïîñ³á: u t x e x dN t ( , ) ( , )� �� 0 , äå �( , )t x — ãëàäêà ôóíêö³ÿ ç W Q ãð� 1 ( ) . Òîä³ º ñïðàâåäëèâèì ñï³ââ³äíîøåííÿ ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 89 �( , )t x e u t Nt� � � � � . Ðîçãëÿíåìî îêðåìî êîæåí äîäàíîê ó âèðàç³ ( , ) ( )u L u t x A x B x B C dQx Q � � � � �� . (20) Ó ðåçóëüòàò³ ³íòåãðóâàííÿ ÷àñòèíàìè ïåðøîãî äîäàíêó ç óðàõóâàííÿì ïî÷àò- êîâèõ óìîâ ìàºìî u t e u t dQNt Q , � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 . (21) Ïðî³íòåãðóºìî ÷àñòèíàìè äðóãèé äîäàíîê ñïðàâà â (20). Îòðèìàºìî u x A x x u A x dQ e A u x Nt, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2u x t dQ QQ � �� . Âðàõîâóþ÷è ïî÷àòêîâ³ óìîâè äëÿ ôóíêö³¿ u t x( , ) , ìàºìî u x A x x u A x dQ e ANt Q t, ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 1 2 N A u x dQ Q � � � � � � � � �� ) 2 . (22) Àíàëîã³÷íî äîñë³äèìî òðåò³é äîäàíîê ó (20). u B x x u B dQ e B u t u x dQ eNt Nt Q , ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� B u u t dQx QQ � � � � � � � � � � � � � � � � � �� x u B dQ e B u x u t dQ t e B u Q Nt Nt x( ) ( )� 2 dQ QQ �� e B u u t dQ e B N B u dQNt x Q Nt xt x Q ( ) 2 . (23) Âðàõîâóþ÷è ãðàíè÷í³ óìîâè äëÿ ôóíêö³¿ u t x( , ) ç (23), ìàºìî u B x x u B dQ Q , ( ) � � � � � � � � � � � � �� e B u x u t dQNt Q � � � � � � � � � � � � � � �� 1 2 2e B N B u dQNt Q xt x( ) . (24) Äîñë³äèìî îñòàíí³é äîäàíîê ó ïðàâ³é ÷àñòèí³ (20). ( , ( ) ) ( )u B C e u B C u t dQx Nt x Q � � � � � � � � � �� t u B C e u dQ e B C u u t dQx Nt Nt x QQ [ ( ) ] ( ) (25) � � � � � � � �� e B C N B C u dQ e B C N B C uNt xt t x Nt xt t x[ ( )] [ ( )]2 1 2 2dQ QQ �� . 90 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 Ó ðåçóëüòàò³ äîäàâàííÿ ñï³ââ³äíîøåíü (21), (22), (24), (25) îòðèìàºìî íåð³âí³ñòü ( , ) [ ( )]u L x u A B dQ e u t B u t u x Nt� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 2 � � � � � � �� x QQ 1 2 1 2 2 2( ) ( ) ]� � � � � � � � � � � � � � � � � � A N A u x C NC u dQt t . (26) Ç (26), âðàõîâóþ÷è ãðàíè÷í³ óìîâè äëÿ ôóíêö³¿ u t x( , ) ³ êðèòåð³é Ñ³ëüâåñòðà, îòðèìóºìî íåð³âí³ñòü ( , ) \|\| \|\| ,u L u W � � � ãð 1 2 0 , (27) çâ³äêè âèïëèâàº âèêîíàííÿ ïåðøî¿ íåð³âíîñò³ ó (8). Îñòàòî÷íî ñïðàâåäëèâ³ñòü òâåðäæåííÿ ëåìè 1 äëÿ áóäü-ÿêèõ ôóíêö³é u t x W Q( , ) ( )� ãð 1 , �� W Q ãð 1 ( ) ï³äòâåðäæóþòü ³ç çàñòîñóâàííÿì îïåðàö³¿ ãðàíè÷íî- ãî ïåðåõîäó. Òåîðåìà 3. Íåõàé ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü âèçíà÷àºòüñÿ ñèñòåìîþ (1), (2) ç êðè- òåð³ºì ÿêîñò³ (3) ³ âèêîíóþòüñÿ òàê³ óìîâè. 1. Ìíîæèíà îáìåæåííÿ êåðóâàíü U º ñëàáêî êîìïàêòíîþ â ðåôëåêñèâíîìó áàíàõîâîìó ïðîñòîð³ H . 2. Êðèòåð³é ÿêîñò³ �( ): ( )� �L Q R2 1 º ñëàáêî íàï³âíåïåðåâíèì çíèçó òà îá- ìåæåíèì çíèçó. Òîä³ ó ìíîæèí³ U ³ñíóº îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ h t * ( , )� � . Äîâåäåííÿ. Íåõàé { }hk , h Uk � , k �1 2, , .. . , — ïîñë³äîâí³ñòü êåðóâàííÿ òàêà, ùî J h J hk k h Ug ( ) ( ) �� inf . (28) ²ç ñëàáêî¿ êîìïàêòíîñò³ ìíîæèíè U âèïëèâàº, ùî ç íå¿ ìîæíà âèëó÷èòè ñëàáêî çá³æíó äî äåÿêîãî êåðóâàííÿ h U� ïîñë³äîâí³ñòü, ÿêó ìè çíîâó ïîçíà÷è- ìî { }hk , k �1 2, , ... Ö³é ïîñë³äîâíîñò³ â³äïîâ³äàº ïîñë³äîâí³ñòü ïðàâèõ ÷àñòèí ð³âíÿííÿ (1) f t x f t x h t t xk k i k i n i k( , ) ( , ; ) ( ) ( )� � � � � � � � 1 . (29) Âèêîðèñòîâóþ÷è íåð³âí³ñòü Øâàðöà, ëåãêî äîâåñòè, ùî ïîñë³äîâí³ñòü f t x W Q kk ( , ) ( ), , , ..� � � � ãð 1 1 2 . , ³ ñëàáêî çá³ãàºòüñÿ äî f t x f t x h* ( , ) ( , ; )� . Ç îö³íîê (7), (8) âèïëèâàº ñïðàâåäëèâ³ñòü íåð³âíîñò³ \|\| \|\| \|\| \|\|u C fL W2 � � � ãð . (30) ²ç ñï³ââ³äíîøåííÿ (30) âèïëèâàº îáìåæåí³ñòü ïîñë³äîâíîñò³ ðîçâ’ÿçê³â u t x u t x hk k( , ) ( , ; )� , k �1 2, ,..., çàäà÷³ (1), (2) ç ïðàâèìè ÷àñòèíàìè f t xk ( , ) . Ç òå- îðåìè Åáåðëåéíà–Øìóëüÿíà [25] âèïëèâàº, ùî ç ö³º¿ ïîñë³äîâíîñò³ ìîæíà âèëó- ÷èòè ñëàáêî çá³æíó äî äåÿêîãî u t x L Q ( , ) ( )� 2 ï³äïîñë³äîâí³ñòü. Ïîçíà÷èìî ¿¿ çíîâó u t xk ( , ) , k �1 2, , ... Âðàõîâóþ÷è, ùî f t xk ( , ) ñëàáêî çá³ãàºòüñÿ äî f t x* ( , ) ó W Q ãð� �1 ( ) , ïåðåéäåìî äî ãðàíèö³ äëÿ k �� ó ð³âíîñò³ ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 91 ( , ) ,L u fk k� �� , (31) äå �( , )t x — äîâ³ëüíà ôóíêö³ÿ ç W Q ãð ( ) � 1 , à � �, — á³ë³í³éíà ôîðìà, ïîáóäî- âàíà çà ïðîñòîðàìè W Q ãð ( ) � 1 ³ W Q ãð ( ) � �1 ÿê ðîçøèðåííÿ ñêàëÿðíîãî äîáóòêó â L Q2 ( ) . Îòðèìàºìî ñï³ââ³äíîøåííÿ ( , ) , , ( ) * ð* L u f W Q ã � � �� 1 . (32) Çàóâàæèìî, ùî ÷åðåç ºäèí³ñòü óçàãàëüíåíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1), (2) (òåîðå- ìà 2) âñÿ ïîñë³äîâí³ñòü { }uk , k �1 2, , .. . , ñëàáêî çá³ãàºòüñÿ â L Q2 ( ) äî u u t x h* ( , ; )� , ùî º ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ (1), (2) ç ïðàâîþ ÷àñòèíîþ f t t xi i n i * ( ) ( )� � � � � � 1 . Âíàñë³äîê óìîâè 2 òåîðåìè 3 ìàºìî J h J h k k( ) lim ( ) � � �� inf h Ug J h( ), ùî ³ äîâîäèòü öþ òåîðåìó. Îñê³ëüêè êðèòåð³é ÿêîñò³ J h( ) íå º îïóêëèì, îïòèìàëüíå êåðóâàííÿ ìîæå áóòè íå ºäèíèì. Íåõàé êðèòåð³é ÿêîñò³ J h( ) ìàº âèãëÿä J h u t x h z dQg Q ( ) [ ( , ; ) ]� �� 2 , z L Qg � 2 ( ) . (33) Òîä³ ç íàâåäåíèõ âèùå ðåçóëüòàò³â âèïëèâàº ñïðàâåäëèâ³ñòü íàñòóïíîãî òâåðäæåííÿ. Òåîðåìà 4. Ãðàä³ºíò êðèòåð³þ ÿêîñò³ (6) ìàº âèãëÿä grad { }( ) , ( , )h t dx t x t t L i n i i n� � � ! " # $# % & # '# � � � �� 10 1 1 � � � � � � � � � , (34) äå �( , ) ( )t x W Q� �ãð — ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (5), (6) ç ïðàâîþ ÷àñòèíîþ g t x u t x h z t xg( , ) [ ( , ; ) ( , )]� �2 . Â³äì³òèìî, ùî ãëàäêîñò³ ðîçâ’ÿçê³â çàäà÷³ (5), (6) ìîæå íå âèñòà÷èòè äëÿ ïðàêòè÷íîãî âèçíà÷åííÿ ãðàä³ºíòà (34). Ó öüîìó âèïàäêó ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ îäíèì ç ìåòîä³â ðåãóëÿðèçàö³¿ çàäà÷³ (1), (2) [26]. Àíàëîã³÷íî äîñë³äæóþòü çàäà÷ó òî÷êîâîãî êåðóâàííÿ ñèñòåìîþ (1), (2), äå ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ (1) ìàº âèãëÿä f t x h x x h ti i i n ( , ; ) ( ) ( )� � � � � 1 . ÂÈÑÍÎÂÊÈ Äîâåäåíî ºäèí³ñòü óçàãàëüíåíîãî ðîçâ’ÿçêó â ðîçóì³íí³ éîãî îçíà÷åííÿ, à òà- êîæ àïð³îðí³ îö³íêè äëÿ íåãàòèâíèõ ïðîñòîð³â äëÿ ôóíêö³é, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâè ïðÿìî¿ òà ñïðÿæåíî¿ çàäà÷. Ó äîâåäåíí³ âèêîðèñòàíî äîïîì³æíèé ³íòåã- ðàëüíèé îïåðàòîð òà êðèòåð³é Ñ³ëüâåñòðà. Íàâåäåíî óìîâè ³ñíóâàííÿ îïòè- ìàëüíîãî êåðóâàííÿ òà âèâåäåíî ãðàä³ºíò êðèòåð³þ ÿêîñò³. 92 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Baxter L.T., Jain R.K. Transport of fluid and macromolecules in tumors. I. Role of interstitial pressure and convection. Microvasc. Res. 1989. Vol. 37, Iss. 1. P. 77–104. 2. Baxter L.T., Jain R.K. Transport of fluid and macromolecules in tumors. II. Role of heterogeneous perfusion and lymphatics. Microvasc. Res. 1990. Vol. 40, Iss. 2. P. 246–263. 3. Baxter L.T., Jain R.K. Transport of fluid and macromolecules in tumors. III. Role of binding and metabolism. Microvasc. Res. 1991. Vol. 41, Iss. 1. P. 5–23. 4. Lankelma J., Luque R.F., Dekker H., Schinkel W., Pinedo H.M. A mathematical model of drug transport in human breast cancer. Microvasc. Res. 2000. Vol. 59, Iss. 1. P. 149–161. 5. Ward J.P., King J.R. Mathematical modelling of drug transport in tumor multicell spheroids and monolayer cultures. Math. Biosciences. 2003. Vol. 181, Iss. 2. P. 177–207. 6. Tzafriri A.R., Lerner E.I., Flashner-Barak M., Hinchcliffe M., Ratner E., Parnas H. Mathematical modeling and optimization of drug delivery from intratumorally injected microspheres. Clinical Cancer Research. 2005. Vol. 11. P. 826–834. 7. Chakrabarty S.P., Hanson F.B. Optimal control of drug delivery to brain tumors for a distributed parameters model. Proc. American Control Conference (ACC). (8-10 June 2005, Portland, Oregon, USA). Portland, USA, 2005. Vol. 2. P. 973–978. http://doi.org/10.1109/ACC.2005.1470086. 8. Klyushin D.A., Lyashko N.I., Onopchuk Y.N. Mathematical modeling and optimization of intratumor drug transport. Cybernetics and Systems Analysis. 2007. Vol. 43, N. 6. P 886–892. 9. Karabin L.D., Klyushin D.A. Two-phase Stefan problem for optimal control of targeted drug delivery to malignant tumors. Journal of Coupled Systems and Multiscale Dynamics. 2014. Vol. 2, N. 2. P. 45–51. 10. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Onotskyi V.V., Lyashko N.I. Optimal Control of Drug Delivery from Microneedle Systems. Cybernetics and Systems Analysis. 2018. Vol. 54, N 3. P 357–365. 11. Lyashko S.I., Klyushin D.A., Nomirovsky D.A., Semenov V.V. Identification of age-structured contamination sources in ground water. In: Optimal control of age-structured populations in economy, demography, and the environment. Boucekkline R., Hritonenko N., Yatsenko Y. (Eds.). London; New York: Routledge, 2013. P. 277–292. 12. Lyashko S.I. Man’kovskii A.A. Controllability of impulse parabolic systems. Automation and Remote Control. 1991. Vol. 52, N 9. P. 1233–1238. 13. Lyashko S.I., Man’kovskii A.A. Simultaneous optimization of impulse and intensities in control problems for parabolic equations. Cybernetics and Systems Analysis. 1983. Vol. 19, N 5. P. 687–690. 14. Nakonechnyi A.G., Lyashko S.I. Minimax estimation theory for solutions of abstract parabolic equations. Cybernetics and Systems Analysis. 1995. Vol. 31, N 4. P. 626–630. 15. Lyashko S.I., Semenov V.V. Controllability of linear distributed systems in classes of generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis. 2001. Vol. 37, N 1. P. 13–32. 16. Lyashko S.I., Nomirovskii D.A., Sergienko T.I. Trajectory and final controllability in hyperbolic and pseudohyperbolic systems with generalized actions. Cybernetics and Systems Analysis. 2001. Vol. 37, N 5. P. 756–763. 17. Lyashko S.I. Numerical solution of pseudoparabolic equations. Cybernetics and Systems Analysis. 1995. Vol. 31, N 5. P. 718–722. 18. Lyashko S.I. The approximate solution of a pseudoparabolic equation. U.S.S.R. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1991. Vol. 31, N 12. P. 107–111. 19. Lyashko S.I., Red’ko S.E. Approximate solution of a problem of the dynamics of a viscous stratified fluid. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1987. Vol. 27, N 3. P. 49–56. 20. Vlasenko L.A., Rutkas A.G., Semenets V.V., Chikrii A.A. On the optimal impulse control in descriptor systems. Journal of Automation and Information Sciences. 2019. Vol. 51, Iss. 5. P. 1–15. 21. Petryk M.R., Khimich A., Petryk M.M., Fraissard J. Experimental and computer simulation studies of dehydration on microporous adsorbent of natural gas used as motor fuel. Fuel. 2019. Vol. 239. P 1324–1330. 22. Gladkii A.V. Optimization of wave processes in inhomogeneous media. Cybernetics and Systems Analysis. 2003. Vol. 39, N 5. P. 728–736. 23. Bulavatskiy V.M., Skopetsky V.V. Mathematical modeling of dynamics of some distributed time-space consolidation processes. Journal of Automation and Information Sciences. 2009. Vol. 41, Iss. 9. P. 14–25. 24. Miller G.E. Fundamentals of biomedical transport processes. Synthesis Lectures on Biomedical Engineering. 2010. Vol. 5, N 1. P. 1–75. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5 93 25. Èîñèäà Ê. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ìîñêâà: Ìèð, 1967. 624 ñ. 26. Lyashko S.I. Differentiability of regularized performance criterion for pulse-point control of pseudo-parabolic systems. Cybernetics and Systems Analysis. 1988. Vol. 24, N 3. P. 349–352. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 08.10.2019 Ä.À. Êëþøèí, Ñ.È. Ëÿøêî, Í.È. Ëÿøêî, Å.Ñ. Áîíäàðü, À.À. Òèìîøåíêî ÎÁÎÁÙ¨ÍÍÀß ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ ÏÅÐÅÍÎÑÀ ËÅÊÀÐÑÒÂ Â ÎÏÓÕÎËßÕ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû âîïðîñû îïòèìèçàöèè è óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ñ êîýôôèöèåíòàìè è ïðàâûìè ÷àñòÿìè, ïðèíàäëåæàùèìè ðàçíûì ôóíêöèî- íàëüíûì ïðîñòðàíñòâàì. Ê òàêèì ìîäåëÿì ñâîäÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, çàäà÷è ôàðìàêîêèíåòèêè. Èññëåäîâàíà ìîäåëü, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ îáùèì äèôôå- ðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿ- ìè. Â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëü- íûìè â îáëàñòè, âûïîëíåíî ìîäåëèðîâàíèå ñîñðåäîòî÷åííûõ èñòî÷íèêîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì äåëüòà-ôóíêöèè Äèðàêà. Âûïîëíåí ïîèñê äîïóñòèìîãî óïðàâëåíèÿ, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ìèíèìèçàöèþ ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà. Íà îñíîâå ïðîñòðàíñòâà èçìåðèìûõ èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì ôóíêöèé ââåäå- íî ïîïîëíåíèå ãëàäêèõ â èññëåäóåìîé îáëàñòè ôóíêöèé ïî íîðìå, à òàêæå ïîñòðîåíà ñîïðÿæåííàÿ çàäà÷à. Äëÿ ñîïðÿæåííîé çàäà÷è ââåäåíû íåãàòèâíûå ïðîñòðàíñòâà è èññëåäîâàíî îáîáùåííîå ðåøåíèå ïîñòàâëåííûõ çàäà÷. Êëþ÷åâûå ñëîâà: îïòèìèçàöèÿ, óïðàâëÿåìîñòü, óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðî- èçâîäíûõ. D.A. Klyushin, S.I. Lyashko, N.I. Lyashko. O.S. Bondar, A.A. Tymoshenko GENERALIZED OPTIMIZATION OF DRUG TRANSPORT IN TUMORS Abstract. Optimization and controllability problems for systems described by partial differential equations, where coefficients and the right-hand side belong to different functional spaces, are considered. In particular, pharmacokinetic problems lead to such models. A model described by a general differential equation with zero initial and boundary conditions is analyzed. Coefficients are assumed positive in the area, concentrated sources are modeled by the Dirac delta function. The search of feasible control that minimizes the quality functional is performed. Based on the space of measurable and square integrable functions, adjunction for functions smooth in the research area according to åðó norm and conjugate problem are constructed. Negative spaces are introduced for the conjugate problem and generalized solution of the problems is investigated. Keywords: optimization, controllability, partial differential equations. Êëþøèí Äìèòðî Àíàòîë³éîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: dokmed5@gmail.com. Ëÿøêî Ñåðã³é ²âàíîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðà¿íè, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð, çàâ³äóâà÷ êàôåäðè Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: lyashko.serg@gmail.com. Ëÿøêî Íàòàë³ÿ ²âàí³âíà, êàíäèäàò òåõí. íàóê, íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: lyashko.serg@gmail.com. Áîíäàð Îëåíà Ñåðã³¿âíà, àñï³ðàíòêà Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: lyashko.serg@gmail.com. Òèìîøåíêî Àíäð³é Àíàòîë³éîâè÷, àñï³ðàíò Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: inna-andry@ukr.net. 94 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2020, òîì 56, ¹ 5

Узагальнена оптимізація процесів перенесення ліків у пухлинах

Similar Items