Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією

Описано безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в анізотропному середовищі. Для розв’язування крайової задачі застосовано комбінацію методу подвійного заміщення з використанням анізотропних радіальних базисних функцій з методом фундаментальних розв’язків. Ме...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2021
Main Authors:	Протектор, Д.О., Колодяжний, В.М., Лісін, Д.О., Лісіна, О.Ю.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Series:	Кібернетика та системний аналіз
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190709
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією / Д.О. Протектор, В.М. Колодяжний, Д.О. Лісін, О.Ю. Лісіна // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 152–163. — Бібліогр.: 27 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-190709
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1907092023-06-20T15:25:37Z Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією Протектор, Д.О. Колодяжний, В.М. Лісін, Д.О. Лісіна, О.Ю. Системний аналіз Описано безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в анізотропному середовищі. Для розв’язування крайової задачі застосовано комбінацію методу подвійного заміщення з використанням анізотропних радіальних базисних функцій з методом фундаментальних розв’язків. Метод фундаментальних розв’язків дає змогу отримати однорідний розв’язок, а метод подвійного заміщення з використанням анізотропних радіальних базисних функцій — частинний розв’язок крайової задачі. Наведено результати чисельних розв’язків двох тестових задач, отриманих з використанням розробленого методу, а також обчислено середню відносну, середню абсолютну та максимальну похибки. Рассмотрен бессеточный метод решения трехмерных нестационарных задач теплопроводности в анизотропной среде. Для решения краевой задачи применяется комбинация метода двойного замещения с использованием анизотропных радиальных базисных функций с методом фундаментальных решений. Метод фундаментальных решений позволяет получить однородное решение, а метод двойного замещения с использованием анизотропных радиальных базисных функций — частное решение краевой задачи. Приводятся результаты численных решений двух тестовых задач, полученных с использованием разработанного метода, а также вычисляются средняя относительная, средняя абсолютная и максимальная погрешности. The article deals with a meshless method for solving three-dimensional nonstationary heat conduction problems in anisotropic materials. A combination of dual reciprocity method using anisotropic radial basis function and method of fundamental solutions is used to solve the boundary-value problem. The method of fundamental solutions is used for obtain the homogenous part of the solution; the dual reciprocity method with the use of anisotropic radial basis functions allows obtaining a partial solution. The article shows the results of numerical solutions of two benchmark problems obtained by the developed numerical method; average relative, average absolute, and maximum errors are calculated. 2021 Article Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією / Д.О. Протектор, В.М. Колодяжний, Д.О. Лісін, О.Ю. Лісіна // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 152–163. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1019-5262 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190709 519.6 uk Кібернетика та системний аналіз Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Протектор, Д.О. Колодяжний, В.М. Лісін, Д.О. Лісіна, О.Ю. Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією Кібернетика та системний аналіз
description	Описано безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в анізотропному середовищі. Для розв’язування крайової задачі застосовано комбінацію методу подвійного заміщення з використанням анізотропних радіальних базисних функцій з методом фундаментальних розв’язків. Метод фундаментальних розв’язків дає змогу отримати однорідний розв’язок, а метод подвійного заміщення з використанням анізотропних радіальних базисних функцій — частинний розв’язок крайової задачі. Наведено результати чисельних розв’язків двох тестових задач, отриманих з використанням розробленого методу, а також обчислено середню відносну, середню абсолютну та максимальну похибки.
format	Article
author	Протектор, Д.О. Колодяжний, В.М. Лісін, Д.О. Лісіна, О.Ю.
author_facet	Протектор, Д.О. Колодяжний, В.М. Лісін, Д.О. Лісіна, О.Ю.
author_sort	Протектор, Д.О.
title	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією
title_short	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією
title_full	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією
title_fullStr	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією
title_full_unstemmed	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією
title_sort	безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Системний аналіз
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/190709
citation_txt	Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією / Д.О. Протектор, В.М. Колодяжний, Д.О. Лісін, О.Ю. Лісіна // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 3. — С. 152–163. — Бібліогр.: 27 назв. — укр.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT protektordo bezsítkovijmetodrozvâzuvannâtrivimírnihnestacíonarnihzadačteploprovídnostívmateríalahzanízotropíêû AT kolodâžnijvm bezsítkovijmetodrozvâzuvannâtrivimírnihnestacíonarnihzadačteploprovídnostívmateríalahzanízotropíêû AT lísíndo bezsítkovijmetodrozvâzuvannâtrivimírnihnestacíonarnihzadačteploprovídnostívmateríalahzanízotropíêû AT lísínaoû bezsítkovijmetodrozvâzuvannâtrivimírnihnestacíonarnihzadačteploprovídnostívmateríalahzanízotropíêû
first_indexed	2025-07-16T13:46:02Z
last_indexed	2025-07-16T13:46:02Z
_version_	1837811433710026752
fulltext	ÓÄÊ 519.6 Ä.Î. ÏÐÎÒÅÊÒÎÐ, Â.Ì. ÊÎËÎÄßÆÍÈÉ, Ä.Î. Ë²Ñ²Í, Î.Þ. Ë²Ñ²ÍÀ ÁÅÇÑ²ÒÊÎÂÈÉ ÌÅÒÎÄ ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀÍÍß ÒÐÈÂÈÌ²ÐÍÈÕ ÍÅÑÒÀÖ²ÎÍÀÐÍÈÕ ÇÀÄÀ× ÒÅÏËÎÏÐÎÂ²ÄÍÎÑÒ² Â ÌÀÒÅÐ²ÀËÀÕ Ç ÀÍ²ÇÎÒÐÎÏ²ªÞ Àíîòàö³ÿ. Îïèñàíî áåçñ³òêîâèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ òðèâèì³ðíèõ íåñòàö³î- íàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³. Äëÿ ðîçâ’ÿçó- âàííÿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ çàñòîñîâàíî êîìá³íàö³þ ìåòîäó ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ ç âèêîðèñòàííÿì àí³çîòðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é ç ìåòîäîì ôóí- äàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â. Ìåòîä ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â äàº çìîãó îò- ðèìàòè îäíîð³äíèé ðîçâ’ÿçîê, à ìåòîä ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ ç âèêîðèñòàí- íÿì àí³çîòðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é — ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê êðà- éîâî¿ çàäà÷³. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â äâîõ òåñòîâèõ çàäà÷, îòðèìàíèõ ç âèêîðèñòàííÿì ðîçðîáëåíîãî ìåòîäó, à òàêîæ îá÷èñëåíî ñåðåä- íþ â³äíîñíó, ñåðåäíþ àáñîëþòíó òà ìàêñèìàëüíó ïîõèáêè. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: áåçñ³òêîâèé ìåòîä, êðàéîâ³ çàäà÷³, àí³çîòðîïí³ ìàòåð³àëè, ìå- òîä ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ, ìåòîä ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â, àí³çîòðîïí³ ðàä³àëüí³ áàçèñí³ ôóíêö³¿. ÑÒÀÍ ÏÐÎÁËÅÌÈ Äîñë³äæåííÿ ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì, çîêðåìà ïðîáëåì òåïëîîáì³íó â ñêëàäíèõ òðèâèì³ðíèõ îáëàñòÿõ, ïîòðåáóº ðîçðîáëåííÿ íîâèõ ï³äõîä³â äî îá÷èñëþâàëü- íèõ ìåòîä³â íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ. Îäèí ç òàêèõ ï³äõîä³â íàâåäåíî ó ðî- áîò³ ².Â. Ñåðã³ºíêà ³ Â.Ñ. Äåéíåêè [1], äå ðîçãëÿíóòî âèêîðèñòàííÿ ïñåâäîîáåð- íåíèõ ìàòðèöü äëÿ ³äåíòèô³êàö³¿ äåÿêèõ ïàðàìåòð³â îáåðíåíèõ çàäà÷ íå- ñòàö³îíàðíî¿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ áàãàòîêîìïîíåíòíèõ ò³ë çà ñê³í÷åííó ê³ëüê³ñòü àðèôìåòè÷íèõ ä³é. Îäíèì ç ïåðñïåêòèâíèõ ï³äõîä³â º âèêîðèñòàííÿ áåçñ³òêîâèõ ìåòîä³â ðîçâ’ÿ- çóâàííÿ êðàéîâèõ çàäà÷, ùî áàçóþòüñÿ íà çàñòîñóâàíí³ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é. Íà â³äì³íó â³ä ìåòîäó ñê³í÷åííèõ åëåìåíò³â [2] ó áåçñ³òêîâèõ ìåòîäàõ îáëàñòü âèçíà÷åííÿ ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ º íàáîðîì ð³âíîì³ðíî àáî äîâ³ëüíî ðîçïîä³ëåíèõ âóçë³â, äî ÿêèõ «ïðèâ’ÿçóþòüñÿ» áàçèñí³ ôóíêö³¿. Àëãîðèòìè, ùî ðåàë³çóþòü áåçñ³òêîâ³ ñõåìè, íå ìàòèìóòü ïîòðåáè ó ïðèâ’ÿçö³ äî ³íòåðïîëÿö³éíî¿ ñ³òêè íà â³äì³íó â³ä ñ³òêîâèõ ìåòîä³â ³ òîìó ëåãêî ³íòåãðóþòüñÿ â ñèñòåìè àâòî- ìàòèçîâàíîãî ïðîºêòóâàííÿ. Ìîíàãàí, Ã³íãîëüä [3] ³ Ëþñ³ [4] â 1977 ð. çàïðîïîíóâàëè âèêîðèñòîâóâàòè ïåð- øèé áåçñ³òêîâèé ìåòîä Ëàãðàíæà äëÿ ìîäåëþâàííÿ çàäà÷ àñòðîô³çèêè ï³ä íàçâîþ ìåòîäó çãëàäæåíèõ ã³äðîäèíàì³÷íèõ ÷àñòèíîê (smoothed particle hydrodynamics method — SPH). Â³í ´ðóíòóºòüñÿ íà çàì³í³ ð³äèíè íàáîðîì ðóõîìèõ ÷àñòèíîê ³ ïåðå- òâîðåíí³ îñíîâíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè â ³íòåãðàëè ç ôóíêö³ºþ ÿäðà [5]. Ó 1992 ð. Íàéðîëåñ ³ Òóçîò [6] ðîçðîáèëè ìåòîä äèôóçíîãî åëåìåíòà (diffuse element method — DEM). Ó 1994 ð. Áåëè÷êî òà ³íø³ [7] ðîçðîáèëè áåçåëåìåíòíèé ìåòîä Ãàëüîðê³íà (element-free Galerkin method — EFGM), ÿêèé ÿâëÿº ñîáîþ ðîçøèðåíó âåðñ³þ DEM. Ó 1995 ð. Ëþ çàïðîïîíóâàâ ìåòîä ðåïðîäóêîâà- íèõ ÿäåðíèõ ÷àñòèíîê (reproducing kernel particle method — RKPM) [8], ÿêèé áàçóºòüñÿ íà ìåòîä³ çãëàäæåíèõ ã³äðîäèíàì³÷íèõ ÷àñòèíîê. Ó 1996 ð. Îíàò òà ³íø³ [9, 10] ðîç- ðîáèëè ìåòîä ñê³í÷åííèõ òî÷îê (finite point method — FPM), ÿêèé ñïî÷àòêó âèêî- ðèñòîâóâàëè äëÿ ìîäåëþâàííÿ çàäà÷ òå÷³¿ ð³äèíè, à çãîäîì ñòàëè çàñòîñîâóâàòè äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ìåõàí³êè, çîêðåìà çàäà÷ äåôîðìàö³¿ ïðóæíî¿ ïëàñòèíè. 152 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 © Ä.Î. Ïðîòåêòîð, Â.Ì. Êîëîäÿæíèé, Ä.Î. Ë³ñ³í, Î.Þ. Ë³ñ³íà, 2021 Ó 1990 ð. Êàíçà âïåðøå çàñòîñóâàâ ðàä³àëüí³ áàçèñí³ ôóíêö³¿ (ÐÁÔ) äëÿ ðîçâ’ÿ- çóâàííÿ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè. Â³í çàïðîïîíóâàâ áåçñ³òêîâó ñõåìó, îñíîâàíó íà êîìá³íàö³¿ ìåòîäó êîëîêàö³¿ òà ìóëüòèêâàäðàòè÷íèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é [11, 12]. Ë³ òà ³íø³ [13] ó 2003 ð. çàïðîïîíóâàëè àëü- òåðíàòèâíèé áåçñ³òêîâèé ï³äõ³ä, ÿêèé �ðóíòóºòüñÿ íà çàñòîñóâàíí³ ðàä³àëüíèõ áàçèñ- íèõ ôóíêö³é. Öÿ ñõåìà íàçâàíà ëîêàëüíîþ ìóëüòèêâàäðàòè÷íîþ àïðîêñèìàö³ºþ (local multiquadric approximation — LMQA). Ðàä³àëüí³ áàçèñí³ ôóíêö³¿ òàêîæ âèêî- ðèñòîâóâàëè ó ìåòîä³ ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ (dual reciprocity method — DRM) [14], ìåòîä³ ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â (method of fundamental solutions — MFS) [15] ³ ìåòîä³ ãðàíè÷íîãî âóçëà (boundary knot method — BKM) [16]. Ðîñòàìÿí ³ Øèõðåçà³ [17] ÿê ðàä³àëüí³ áàçèñí³ ôóíêö³¿ çàñòîñóâàëè òåïëîâ³ ïîë³íîìè (heat polynomials) äëÿ ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ îáåðíåíî¿ çàäà÷³ òåï- ëîïðîâ³äíîñò³. Âàí òà ³íø³ [18] ðîçðîáèëè áåçñ³òêîâèé ï³äõ³ä, ùî �ðóíòóºòüñÿ íà êîìá³íàö³¿ ìåòîäó êîëîêàö³¿ â³ðòóàëüíèõ ãðàíèöü (virtual boundary collocation method — VBCM) òà ìåòîäó àíàëîãîâîãî ð³âíÿííÿ (analog equation method — AEM) ó ïîºäíàíí³ ç ðàä³àëüíèìè áàçèñíèìè ôóíêö³ÿìè, ÿêèì ïîñëó- ãîâóâàëèñü äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ íåñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ó ôóíêö³îíàëüíî-ãðàä³ºíòíèõ ìàòåð³àëàõ. Ñÿî òà ³íø³ [19] çàïðîïîíóâàëè íîâèé áåçñ³òêîâèé ìåòîä ãðàíè÷íîãî òèïó äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ äâîâèì³ðíèõ ñòàö³îíàðíèõ çà- äà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â êîìïîçèòíèõ ìàòåð³àëàõ, ÿêèé ïîºäíóº ìåòîä ôóíäàìåí- òàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â òà ìåòîä êîëîêàö³¿ Òðåôôöà (collocation Trefftz method — CTM). Äëÿ ìîäåëþâàííÿ áàãàòîøàðîâèõ êîìïîçèòíèõ ìàòåð³àë³â ó öüîìó ï³äõîä³ âèêîðèñòàíî ìåòîä äåêîìïîçèö³¿ îáëàñò³ (domain decomposition method — DDM). Äëÿ ìîäåëþâàííÿ ÿâèù òåïëîïåðåíîñó â ñèñòåìàõ òâåðäèõ ÷àñòèíîê Êàðàäæàí- íàê³ñ òà ³íø³ [20] çàñòîñóâàëè íîâèé ï³äõ³ä, îñíîâàíèé íà âèêîðèñòàíí³ îïåðàòîðà îáì³íó ñèëîþ ÷àñòèíîê ç ïîïðàâêîþ íà äèñêðåòèçàö³þ (the discretization-corrected particle strength exchange operator — DC PSE) òà áåçñ³òêîâîãî ëîêàëüíîãî ìåòîäó Ïåòðîâà–Ãàëüîðê³íà (meshless local Petrov–Galerkin method — MLPG). Ïåðåâàãà áåçñ³òêîâèõ ìåòîä³â ïîëÿãàº ó ñïðîùåí³ ïðîöåäóð ìîäåëþâàííÿ òà ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ ñêëàäíèõ çàäà÷ ç óðàõóâàííÿì îñîáëèâîñòåé ãåîìåòð³¿ îáëàñò³ òà íåîäíîð³äíîñò³ ìàòåð³àë³â. Â³äîìî, ùî òåïëîô³çè÷í³ õàðàêòåðèñòèêè áàãàòüîõ òâåðäèõ ò³ë âèçíà÷àþòüñÿ àí³çîòðîï³ºþ. Ó ö³é ñèòóàö³¿ êîåô³ö³ºíò òåï- ëîïðîâ³äíîñò³ ïðåäñòàâèìî ó âèãëÿä³ ñèìåòðè÷íîãî òåíçîðà äðóãîãî ðàíãó: k k k k k k k k k k xx xy xz yx yy yz zx zy zz � � � � � � � � � � � , (1) äå k k k k k kxy yx xz zx yz zy� � �, , . ²ñíóº áåçë³÷ ïðèðîäíèõ ³ ñèíòåòè÷íèõ ìàòåð³àë³â, ó ÿêèõ òåïëîïðîâ³äí³ñòü çì³íþºòüñÿ çàëåæíî â³ä íàïðÿìêó. Íàïðèêëàä, äî àí³çîòðîïíèõ ìàòåð³àë³â íàëåæàòü êðèñòàëè, äåðåâî, îñàäîâ³ ïîðîäè, ìåòàëè, ÿê³ çàçíàëè ïîòóæíîãî õîëîäíîãî ïðåñó- âàííÿ, ëàì³íîâàí³ ëèñòè, êàáåë³, òåïëîçàõèñí³ ìàòåð³àëè äëÿ êîñì³÷íèõ àïàðàò³â, êîìïîçèòí³ ìàòåð³àëè òîùî. Äåðåâèíà ìàº ð³çíó òåïëîïðîâ³äí³ñòü óçäîâæ ³ âïîïåðåê âîëîêîí. Ó ëàì³íîâàíèõ ëèñòàõ òåïëîïðîâ³äí³ñòü íå îäíàêîâà óçäîâæ ³ âïîïåðåê ëàì³íóâàííÿ. Îñòàíí³ì ÷àñîì àí³çîòðîïí³ ìàòåð³àëè çàñòîñîâóþòü ó ð³çíèõ ãàëóçÿõ íàóêè ³ òåõí³êè, òîìó àêòóàëüíèì º ðîçðîáëåííÿ ñó÷àñíèõ ìåòîä³â ÷èñåëüíîãî ðîç- â’ÿçàííÿ êðàéîâèõ çàäà÷ â àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³. Çàõ³ð-óä-Ä³í òà ³íø³ [21] çàïðîïîíóâàëè áåçñ³òêîâó ñõåìó, îñíîâàíó íà âèêî- ðèñòàíí³ ìóëüòèêâàäðàòè÷íèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ äâî- âèì³ðíèõ ñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â àí³çîòðîïíèõ ³ íåîäíîð³äíèõ ñåðå- ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 153 äîâèùàõ ç íåëîêàëüíèìè áàãàòîòî÷êîâèìè ãðàíè÷íèìè óìîâàìè. ²íøèé áåçñ³òêîâèé ï³äõ³ä äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ íåñòàö³îíàðíî¿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â àí³çîòðîïíèõ íå- îäíîð³äíèõ ñåðåäîâèùàõ çàïðîïîíóâàëè Ãóàíü òà ³íø³ [22, 23]. Ï³äõ³ä áàçóºòüñÿ íà êîìá³íàö³¿ ìåòîäó êðèõêèõ òî÷îê (fragile points method — FPM), ÿêèé âèêîðèñòîâó- þòü äëÿ ïðîñòîðîâî¿ äèñêðåòèçàö³¿ òà ëîêàëüíî¿ âàð³àö³éíî¿ ³òåðàö³éíî¿ ñõåìè (local variational iteration scheme — LVI), ÿêó çàñòîñîâóþòü äëÿ äèñêðåòèçàö³¿ çà ÷àñîì. Ìåòà öüîãî äîñë³äæåííÿ — ïîäàëüøèé ðîçâèòîê áåçñ³òêîâîãî ìåòîäó ðîç- â’ÿçàííÿ òðèâèì³ðíèõ íåñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³. Ìåòîä �ðóíòóºòüñÿ íà êîìá³íàö³¿ ìåòîäó ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ (ç âèêîðèñòàííÿì àí³çîòðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é) ç ìåòîäîì ôóíäà- ìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â. ²ÒÅÐÀÖ²ÉÍÀ ÑÕÅÌÀ Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ íåñòàö³îíàðíî¿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ó äîâ³ëüí³é çàìêíå- í³é îáëàñò³ R 3 , ùî îáìåæåíà � , ìàº âèãëÿä [24] �c u t k u gp � � � �div grad( ) , (2) äå � �� ( , , )x y z — ù³ëüí³ñòü, c c x y zp p� ( , , ) — ïèòîìà òåïëîºìí³ñòü çà ïîñò³éíîãî òèñêó, u u x y z t� ( , , , ) — òåìïåðàòóðà, g g x y z t� ( , , , ) — âíóòð³øíº äæåðåëî òåïëà. Ó ïîêîîðäèíàòíîìó çàïèñ³ ð³âíÿííÿ (2) îòðèìàº òàêèé âèãëÿä: �c u t x k u x k u y k u z p xx xy xz � � � � � � � � � � � � � � � �� y k u x k u y k u z z k u x kyx yy yz zx zy � � � � � � � �� u y k u z gzz . (3) Íåõàé � � � � i i 1 3 òà � �� i j äëÿ i j� . Êðàéîâ³ óìîâè äëÿ òàêî¿ çà- äà÷³ ìîæíà âèçíà÷èòè çà äîïîìîãîþ áóäü-ÿêî¿ êîìá³íàö³¿ òàêîãî òèïó: òåìïåðàòóðíå ïîëå: u x y z t u x y z t x y z( , , , ) ( , , , ), ( , , )� �� 1 , ( , , , ) ( , , , ), ( , , )òåïëîâèé ïîò³ê: � � � �� u x y z t q x y z t x y z � 2 , ( , , , ) ( ( , , , ) ( , , ,òåïëîîáì³í: � � � � � � u x y z t h u x y z t u x y z � t x y z)), ( , , ) ,�� 3 (4) äå � � � � � � � � � � � � � �� u k u x k u y k u z n x k u xx xy xz yx � cos ( , ) � � � � � � � � � �� x k u y k u z n yyy yz cos ( , ) � � � � � � � � � � � �� k u x k u y k u z n zzx zy zz cos ( , ) , n — çîâí³øí³é âåêòîð íîðìàë³, h — êîå- ô³ö³ºíò òåïëîîáì³íó, u x y z t� ( , , , ) — òåìïåðàòóðà íàâêîëèøíüîãî ñåðåäîâèùà. Ïî÷àòêîâ³ óìîâè çàäàìî ó âèãëÿä³ u x y z u x y z x y z( , , , ) ( , , ), ( , , )0 0� � . Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (3) òàê: �c u t k x u x k u x k x u y k u x y p xx xx xy xy � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 � � � � � � � � � � k x u z k u x z xz xz 2 154 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k y u x k u x y k y u y k u y k y yx yx yy yy yz 2 2 2 � � � � � � � u z k u y z yz 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k z u x k u x z k z u y k u y z kzx zx zy zy zz 2 2 z u z k u z gzz � � � � � � 2 2 . (5) Äëÿ îäíîð³äíîãî ñåðåäîâèùà, êîëè òåïëîô³çè÷í³ õàðàêòåðèñòèêè ïîñò³éí³, àí³çîòðîïíå ð³âíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ (5) ç óðàõóâàííÿì ñèìåòðè÷íîñò³ òåíçîðà òåïëîïðîâ³äíîñò³ k ñïðîùóºòüñÿ äî âèãëÿäó �c u t k u x k u y k u z p xx yy zz � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 2 2 2 k u x y k u x z k u y z gxy xz yz . (6) Íåõàé L k u k u x k u y k u z k u x y kxx yy zz xy x( ) � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 2 2 z yz u x z k u y z � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 , òîä³ ð³âíÿííÿ (6) çàïèøåìî ó âèãëÿä³ �c u t L k u gp � � � �( ) . (7) Äèôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ (7) ìîæíà çâåñòè äî ïîñë³äîâ- íîñò³ íåîäíîð³äíèõ ìîäèô³êîâàíèõ ð³âíÿíü Ãåëüìãîëüöà äëÿ àí³çîòðîïíîãî îä- íîð³äíîãî ñåðåäîâèùà. Çàñòîñîâóþ÷è �-ñõåìó ìåòîäó ñê³í÷åííèõ ð³çíèöü äëÿ äèñêðåòèçàö³¿ çà ÷àñîì [25], îòðèìàºìî � � �c u u t L k u g L k u gp n n n n n n� � � � � � � � � 1 1 11 � ( ( ) ) ( )( ( ) ), (8) äå �t — êðîê çà ÷àñîì, u u x y z n tn � ( , , , )� , g g x y z n tn � ( , , , )� , � �, 0 1� � , — âàãîâèé êîåô³ö³ºíò. Ïîçíà÷èìî çì³íåíó òåìïåðàòóðó � � � n n nu u� � � �1 1. (9) Çàñòîñóºìî ñï³ââ³äíîøåííÿ (9) ³ çàïèøåìî ð³âíÿííÿ (8) ó âèãëÿä³ L k c t u g gn n p n n n( )� � � � � � � � � � � � �� 2 1 11 2� , (10) äå � � � 2 � c t p � . Íà êîæíîìó ÷àñîâîìó êðîö³ áóäåìî ðîçâ’ÿçóâàòè êðàéîâó çàäà÷ó ç äèôåðåí- ö³àëüíèì ð³âíÿííÿì Ãåëüìãîëüöà, çàñòîñîâóþ÷è êîìá³íàö³þ ìåòîäó ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ [14] ç âèêîðèñòàííÿì àí³çîòðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é ç ìå- òîäîì ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â [15]. Çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â îòðèìàºìî îäíîð³äíèé ðîçâ’ÿçîê, à çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ ç âèêîðèñòàííÿì àí³çîòðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é — ÷àñ- òèííèé ðîçâ’ÿçîê. Ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ (10) ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿä³ ñóìè îäíîð³äíîãî ðîç- â’ÿçêó � h n òà ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó � p n : � � �n h n p n� � . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 155 Ð³âíÿííÿ äëÿ îòðèìàííÿ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó ìàº âèãëÿä L k c t u g gp n p n p n n n( )� � � � � � � � � � � � �� 2 1 11 2� . Äëÿ ïîáóäîâè ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó � p n íå ïîòð³áíî çàäîâîëüíÿòè ãðàíè÷í³ óìîâè, éîãî ìîæíà çíàéòè, âèêîðèñòîâóþ÷è ìåòîä ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ. Ñèñòåìó äëÿ îòðèìàííÿ îäíîð³äíîãî ðîçâ’ÿçêó � h n ïðåäñòàâèìî ó òàêîìó âèãëÿä³: L k x y z x y z x y z x y z h n h n h n ( ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) � � � � � � �2 0 � � �� u x y z x y z x y z x y z q x p n h n ( , , ) ( , , ), ( , , ) , ( , , ) ( � � � 1 , , ) ( , , ) , ( , , ) ,y z x y z x y z h p n h n h n � � � �� 2 � � � � � � � �( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( ,x y z x y z h x y z hu x y z x p n p n � � � y z, ) .�� 3 Íåõàé F x y z c t u g gn p n n n( , , ) � � � � �� 2� 1 11 . Íàáëèæåíèé ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ L k x y z x y z F x y zp n p n n( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )� � �� 2 íà ÷àñîâîìó êðîö³ n ìîæíà ñêîíñòðóþâàòè çà äîïîìîãîþ àí³çîòðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é � �k kx y z r( , , ) ( )� , äå rk — ãåîäåçè÷íà â³äñòàíü, ÿêó âèçíà÷àþòü ó òàêèé ñïîñ³á: r k x x k y y k z z k k x x k xx k yy k zz k xy yx2 2 2 2� � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )( k ky y)( )� � � � � � � � � �( )( )( ) ( )( )( )k k x x z z k k y y z zxz zx k k yz zy k k , k k k k k k k k k k xx xy xz yx yy yz zx zy zz � � � � � � � � � 1 — îáåðíåíèé òåíçîð òåïëîïðîâ³äíîñò³. Ó âèïàäêó ³çîòðîï- íîãî ñåðåäîâèùà ãåîäåçè÷íîþ â³äñòàííþ áóäå åâêë³äîâà. Ôóíêö³þ F x y zn ( , , ) àïðîêñèìóºìî òàê: F x y z F x y z x y zn n k n k k N ( , , ) � ( , , ) ( , , )! � � � " 1 , (11) äå N — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü âóçë³â êîëîêàö³¿, � k n — íåâ³äîì³ êîåô³ö³ºíòè, ÿê³ ï³äëÿãàþòü âèçíà÷åííþ, à ôóíêö³¿ "k x y z( , , ) — ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ "k k kx y z L k x y z x y z( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )� �� 2 . Îòæå, (11) ÿâëÿº ñîáîþ ñèñòåìó ç N ë³í³éíèõ ð³âíÿíü â³äíîñíî íåâ³äîìèõ � k n . Òîä³ ÷àñòèííèé ðîçâ’ÿçîê � p n — öå ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ áàçèñíèõ ôóíêö³é: � � �p n k n k k N x y z� � ( , , ) 1 . 156 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Äëÿ îòðèìàííÿ îäíîð³äíîãî ðîçâ’ÿçêó âèêîðèñòàºìî ìåòîä ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîç- â’ÿçê³â. Íà n-ó ÷àñîâîìó êðîö³ îäíîð³äíèé ðîçâ’ÿçîê � h n àïðîêñèìóºìî ôîðìóëîþ � h n i n i i i i M u x x y y z z� � � �# � ( , , ) 1 , äå M — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü âóçë³â äæåðåë íà ô³êòèâí³é ïîâåðõí³ � � , ùî îõîïëþº îá- ëàñòü (ðèñ. 1); i n — íåâ³äîì³ êîåô³ö³- ºíòè, ÿê³ ï³äëÿãàþòü âèçíà÷åííþ; u x x y y z z r ei i i i ri# �� ( , , ) 1 4 � — ôóíäà- ìåíòàëüíèé ðîçâ’ÿçîê ìîäèô³êîâàíîãî îïå- ðàòîðà Ãåëüìãîëüöà L k( ) � �2 ; ri — ãåîäå- çè÷íà â³äñòàíü ì³æ âóçëàìè ( , , )x y z �� ³ ( , , ) �x y zi i i �� . Ïîòð³áíî âèçíà÷èòè îïòèìàëüíå ðîçì³ùåííÿ ô³êòèâíî¿ ïîâåðõí³. Âîíà ìîæå áóòè ñôåðîþ, öåíòð ÿêî¿ çá³ãàºòüñÿ ç ãåîìåòðè÷íèì öåíòðîì îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ ðîçâ’ÿçêó. Ç³ çá³ëüøåííÿì ðàä³óñó ñôåðè ï³äâèùóºòüñÿ òî÷í³ñòü îäåðæàíîãî ðîç- â’ÿçêó, àëå ïîã³ðøóºòüñÿ îáóìîâëåí³ñòü ñèñòåìè ë³í³éíèõ ð³âíÿíü ³ íàâïàêè. Íà ïðàêòèö³, ÿê êîìïðîì³ñ, çíà÷åííÿ ðàä³óñà ô³êòèâíî¿ ïîâåðõí³ çàçâè÷àé âèáèðà- þòü òàêèì, ùî äîð³âíþº ï’ÿòè ðîçì³ðàì îáëàñò³ ðîçâ’ÿçêó. Ó âóçëàõ, ð³âíîì³ðíî ðîçòàøîâàíèõ íà ô³êòèâí³é ïîâåðõí³, ðîçì³ùóþòü áà- çèñí³ ôóíêö³¿, ÿê³ ÿâëÿþòü ñîáîþ ôóíäàìåíòàëüí³ ðîçâ’ÿçêè îäíîð³äíîãî ìî- äèô³êîâàíîãî ð³âíÿííÿ Ãåëüìãîëüöà. Ë³í³éíà êîìá³íàö³ÿ ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîçâ’ÿçê³â u x x y y z zi i i # � � �( , , ) çà âèçíà÷åííÿì çàäîâîëüíÿº ìîäèô³êîâàíîìó ð³âíÿííþ Ãåëüìãîëüöà â óñ³õ âóçëàõ îáëàñò³ ðîçâ’ÿçêó. Êîåô³ö³ºíòè i n îáèðàþòü òàê, ùîá çàäîâîëüíèòè êðàéîâèì óìîâàì (4) â îáðàíèõ âóçëàõ íà ãðàíèö³ îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ ðîçâ’ÿçêó: � � � � � � � � � � � � � � � � � � �# � i n j i j i j i i M ju x x y y z z u x( , , ) ( , 1 y z x y z j K u x x y y j j p n j j j i n i M j i j , ) ( , , ), , ( , � � � � � � � # � 1 1 1 i j i j j j p n j j j z z q x y z x y z K j K , ) ( , , ) ( , , ) , � � � � � � � � � � � � � 1 21 , ( , , ) ( � � i n i M j i j i j i p n j h u x x y y z z x � # � � � � � � � � � � � � � � � 1 , , ) ( , , ) ( , , ), , y z h x y z hu x y z K j K j j p n j j j j j j � � � � � � �� 2 1 (12) äå {( , , )x y zj j j j K } � �� 1 1 1 , { }( , , )x y zj j j j K K � � � � 1 2 1 2 , { }( , , )x y zj j j j K K � � �� 2 1 3 , { }( , , ) �x y zi i i i M � �� 1 . Ï³ñëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü (12) â³äíîñíî êîå- ô³ö³ºíò³â i n çàãàëüíèé ðîçâ’ÿçîê � n îòðèìóºìî çà ôîðìóëîþ ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 157 Ðèñ. 1. Ðîçòàøóâàííÿ âóçë³â íà ô³êòèâí³é ïîâåðõí³ � � � � � � � n p n h n k n k k N i n i i ix y z u x x y y z z� � � � � � � � # ( , , ) ( , , ) 1 i M � 1 . Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü (12) ìîæíà ñêîðèñòà- òèñÿ ìåòîäàìè, çàïðîïîíîâàíèìè â ðîáîò³ [26]. ×ÈÑÅËÜÍ² ÐÅÇÓËÜÒÀÒÈ Ïðî³ëþñòðóºìî çàñòîñóâàííÿ ïîáóäîâàíî¿ áåçñ³òêîâî¿ ñõåìè íà ïðèêëàä³ äâîõ òåñòîâèõ çàäà÷ òà ïðîâåäåìî îö³íþâàííÿ òî÷íîñò³ îòðèìàíèõ ðîçâ’ÿçê³â. Çàäà÷à 1. Ðîçãëÿíåìî òðèâèì³ðíó íåñòàö³îíàðíó êðàéîâó çàäà÷ó òåïëî- ïðîâ³äíîñò³ íà îäèíè÷í³é îáëàñò³ ó ôîðì³ êóáà � $ $[ , ] [ , ] [ , ]0 1 0 1 0 1 (ðèñ. 2). Ïîñòàíîâêà çàäà÷³. Íåñòàö³îíàðíå ð³âíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ìàº âèãëÿä �c u t k u gp � � � �div grad( ) , (20) äå � �1, cp �1, � �1, t �[ , ]0 1 , �t � 0.01, N — ê³ëüê³ñòü ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â. Êîìïîíåíòè òåíçîðà òåïëîïðîâ³ä- íîñò³ çàäàíî òàê: k � � � � � � � � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Âíóòð³øíº äæåðåëî òåïëà: g x y z t( , , , ) � 5 , ( , , )x y z � . Êðàéîâ³ óìîâè: u x y z t( , , , ) � 0, ( , , )x y z �� . Ïî÷àòêîâ³ óìîâè: u x y z( , , , )0 0� , ( , , )x y z � . Áàçèñíîþ ôóíêö³ºþ äëÿ àïðîêñèìàö³¿ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó âèçíà÷åíî àí³çîòðîïíó ìóëüòèêâàäðàòè÷íó ðàä³àëüíó áàçèñíó ôóíêö³þ � �( ) ( )r r� �1 2 ç ïàðàìåòðîì ôîðìè � �1. Íà ðèñ. 3 íàâåäåíî â³çóàë³çàö³þ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó ö³º¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ äëÿ t �1. Äëÿ îòðèìàííÿ îö³íêè òî÷íîñò³ àïðîêñèìàö³¿ âèêîðèñòîâóºìî ñåðåäíþ â³äíîñíó ïîõèáêó rerr ( )u , ñåðåäíþ àáñîëþòíó ïîõèáêó aerr ( )u ³ ìàêñèìàëüíó ïîõèáêó merr ( )u , ÿê³ îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè rerr ( ) ( ~ ) ( ) u L u u u j L j j jj L � � � � 1 1 2 2 1 , aerr ( ) ( ~ )u L u uj j j L � � � 1 2 1 , merr ( ) max \| ~ \|u u u j j j� � , äå u j òà ~u j — â³äïîâ³äíî àíàë³òè÷í³ òà ÷èñåëüí³ ðîçâ’ÿçêè ó âóçëàõ ( , , )x y zj j j � , à L — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â. 158 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Ðèñ. 2. Îáëàñòü ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ Z Y X Àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê äëÿ ö³º¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ ìàº âèãëÿä u x y z t u t m l x n l ym n k( , , , ) ( )sin sin, ,� � � �� 1 2 �� sin k l z knm 3111 , (13) äå u t l l l c g t m m n k t p l l l , , ( ) ( , , , )sin� % % % % 0 1 2 3 0 0 0 8 1 2 3 � � � l n l k l d d d 1 2 3 � � � � � � �� sin sin � � � � � $ $ � �exp ( ( )), ,A t dm n k � � ; A a m l a n l a k l m n k xx yy zz, , � � � �� 1 2 2 2 3 �� 2 ; a k c xx xx p� , a k c yy yy p � � , a k c zz zz p � � ; { }li i�1 3 — ãåîìåòðè÷í³ ðîçì³ðè êóáà; g t( , , , )� � — âíóòð³øíº äæåðåëî òåïëà. Òî÷í³ñòü ï³äñóìîâóâàííÿ ïîòð³éíîãî ðÿäó Ôóð’º â ð³âíÿíí³ (13) äëÿ êîæíîãî êîåô³ö³ºíòà m, n, k îáìåæåíî 100 ³òåðàö³ÿìè. Ïðè÷èíà âèáîðó òàêî¿ òî÷íîñò³ ï³äñóìîâóâàííÿ ïîòð³éíîãî ðÿäó Ôóð’º ïîëÿãàº ó òîìó, ùî ó ðàç³ ï³äñóìîâóâàí- íÿ òàêî¿ ê³ëüêîñò³ ÷ëåí³â ðÿäó äîñÿãàºòüñÿ òî÷í³ñòü ìàøèííîãî îá÷èñëåííÿ, à ï³ä ÷àñ îáðàõóíêó á³ëüøî¿ ê³ëüêîñò³ ÷ëåí³â ðÿäó íàêîïè÷óºòüñÿ çíà÷íà ïîõèáêà îêðóãëþâàííÿ. Ó òàáë. 1 íàâåäåíî ïîõèáêè íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ 1 äëÿ t �1 â³äíîñíî àíàë³òè÷íîãî ðîçâ’ÿçêó (13) äëÿ ð³çíî¿ ê³ëüêîñò³ ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â N . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 159 Ðèñ. 3. Â³çóàë³çàö³ÿ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ 1 Y Z ZZ X Y X X Y Ò à á ë è ö ÿ 1. Ïîõèáêè ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ 1 Ê³ëüê³ñòü ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â N Ñåðåäíÿ â³äíîñíà ïîõèáêà rerr ( )u Ñåðåäíÿ àáñîëþòíà ïîõèáêà aerr ( )u Ìàêñèìàëüíà ïîõèáêà merr ( )u 27 9.252489e–01 2.600300e–01 1.351155 125 2.191730e–02 2.146430e–02 4.680613e–02 216 9.835198e–03 1.361558e–02 2.588780e–02 1331 1.178247e–04 4.652063e–04 2.073421e–03 Íà ðèñ. 4 íàâåäåíî ãðàô³ê çà- ëåæíîñò³ ñåðåäí³õ â³äíîñíèõ ïîõè- áîê rerr ( )u â³ä ê³ëüêîñò³ ³íòåðïî- ëÿö³éíèõ âóçë³â N äëÿ çàäà÷³ 1. Çàäà÷à 2. Ðîçãëÿíåìî çàäà- ÷ó 1 ç ³íøèìè êîìïîíåíòàìè òåí- çîðà òåïëîïðîâ³äíîñò³ k � � � � � � � � 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1. . Áàçèñíîþ ôóíêö³ºþ äëÿ àïðîê- ñèìàö³¿ ÷àñòèííîãî ðîçâ’ÿçêó âèçíà÷åíî àí³çîòðîïíó ìóëüòè- êâàäðàòè÷íó ðàä³àëüíó áàçèñíó ôóíêö³þ � �( ) ( )r r� �1 2 ç ïàðà- ìåòðîì ôîðìè � �1. Íà ðèñ. 5 íàâåäåíî â³çóàë³çàö³þ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ äëÿ t �1. Àíàë³òè÷íèé ðîçâ’ÿçîê äëÿ ö³º¿ êðàéîâî¿ çàäà÷³ çàäà- þòü ð³âíÿííÿì (13). Ó òàáë. 2 íàâåäåíî ïîõèáêè íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó çà- äà÷³ 2 äëÿ t �1 â³äíîñíî àíàë³òè÷íîãî ðîçâ’ÿçêó (13) äëÿ ð³çíî¿ ê³ëüêîñò³ ³íòåð- ïîëÿö³éíèõ âóçë³â N . 160 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 Ðèñ. 4. Ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ñåðåäí³õ â³äíîñíèõ ïîõèáîê rerr ( )u â³ä ê³ëüêîñò³ ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â N äëÿ çàäà÷³ 1 N re rr ( ) u Ðèñ. 5. Â³çóàë³çàö³ÿ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ 2 Y X X YX Z Z ZY Ò à á ë è ö ÿ 2. Ïîõèáêè ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ 2 Ê³ëüê³ñòü ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â N Ñåðåäíÿ â³äíîñíà ïîõèáêà rerr ( )u Ñåðåäíÿ àáñîëþòíà ïîõèáêà aerr ( )u Ìàêñèìàëüíà ïîõèáêà merr ( )u 27 1.859792e–01 6.837013e–02 3.552616e–01 125 1.483728e–02 2.059828e–02 5.096209e–02 216 6.734991e–03 1.340875e–02 2.806351e–02 1331 1.095657e–03 6.326208e–03 3.034338e–02 Íà ðèñ. 6 íàâåäåíî ãðàô³ê çà- ëåæíîñò³ ñåðåäí³õ â³äíîñíèõ ïîõè- áîê rerr ( )u â³ä ê³ëüêîñò³ ³íòåðïî- ëÿö³éíèõ âóçë³â N äëÿ çàäà÷³ 2. Îòæå, â äîñë³äæåííÿõ ïðåäñòàâ- ëåíî áåçñ³òêîâèé ìåòîä ðîçâ’ÿçàííÿ òðèâèì³ðíèõ íåñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³ òà éîãî ïåðåâàãè. Çàïðî- ïîíîâàíà áåçñ³òêîâà ñõåìà �ðóí- òóºòüñÿ íà ìåòîä³ ïîäâ³éíîãî çàì³ùåííÿ ç âèêîðèñòàííÿì àí³çî- òðîïíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíê- ö³é òà ìåòîä³ ôóíäàìåíòàëüíèõ ðîç- â’ÿçê³â. Ó ïðîöåñ³ ðîçâ’ÿçàííÿ òåñòî- âèõ çàäà÷ îòðèìàíî àíàë³òè÷í³ ðîçâ’ÿçêè. ×èñåëüí³ ðîçâ’ÿçêè òåñòîâèõ çàäà÷ ó ðàç³ âèêîðèñòàííÿ ðîçðîáëåíîãî ìåòîäó ïîð³âíþâàëèñü ñ àíàë³òè÷íèìè, áóëè ïî- ðàõîâàí³ ñåðåäíÿ â³äíîñíà, ñåðåäíÿ àáñîëþòíà òà ìàêñèìàëüíà ïîõèáêè. ×èñëîâ³ ðåçóëüòàòè ï³äòâåðäæóþòü, ùî ç âèêîðèñòàííÿì ðîçðîáëåíîãî áåçñ³òêîâîãî ìå- òîäó ìîæíà îòðèìàòè âèñîêîòî÷í³ ðîçâ’ÿçêè òðèâèì³ðíèõ íåñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ â àí³çîòðîïíîìó ñåðåäîâèù³ âæå íà íåâåëèê³é ê³ëüêîñò³ âóçë³â. Íîâ³ ïåðñïåêòèâè äëÿ ïðàêòè÷íî¿ ðåàë³çàö³¿ áåçñ³òêîâèõ ìåòîä³â â³äêðèâà- þòüñÿ ç âèêîðèñòàííÿì àòîìàðíèõ ôóíêö³é ÿê áàçèñíèõ [27]. Òåìîþ ìàéáóòíüî- ãî äîñë³äæåííÿ àâòîð³â º ïîáóäîâà àòîìàðíî¿ ðàä³àëüíî¿ áàçèñíî¿ ôóíêö³¿ òðüîõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ äëÿ äèôåðåíö³àëüíîãî îïåðàòîðà Ãåëüìãîëüöà ç óðàõóâàí- íÿì àí³çîòðîï³¿ òà ¿¿ ïîäàëüøå âèêîðèñòàííÿ äëÿ ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ òðè- âèì³ðíèõ íåñòàö³îíàðíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ñåðãèåíêî È.Â., Äåéíåêà Â.Ñ. ×èñëåííîå ðåøåíèå íåêîòîðûõ îáðàòíûõ çàäà÷ íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè ñ èñïîëüçîâàíèåì ïñåâäîîáðàòíûõ ìàòðèö. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2012. ¹ 5. Ñ. 49–70. 2. Âàðåíþê Í.À., Ãàëáà Å.Ô., Ñåðãèåíêî È.Â. Âàðèàöèîííûå ïîñòàíîâêè è äèñêðåòèçàöèÿ êðàå- âîé çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè ïðè çàäàííûõ íà ãðàíèöå îáëàñòè íàïðÿæåíèÿõ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2020. Ò. 56, ¹ 6. Ñ. 46–60. 3. Gingold R.A., Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics: Theory and application to non-spherical stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1977. Vol. 181, N 3. P. 375–389. https://doi.org/10.1093/mnras/181.3.375. 4. Lucy B.L. A numerical approach to testing the fission hypothesis. Astronomical Journal. 1977. Vol. 82, N 12. P. 1013–1024. https://doi.org/10.1086/112164. 5. Liu G.R. Mesh free methods: Moving beyond the finite element method. CRC Press, 2003. 6. Nayroles B., Touzot G., Villon P. Generalizing the finite element method: Diffuse approximation and diffuse elements. Computational Mechanics. 1992. Vol. 10. P. 307–318. https://doi.org/10.1007/ BF00364252. 7. Belytschko T., Lu Y.Y., Gu L. Element-free Galerkin methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1994. Vol. 37, N 2. P. 229–256. https://doi.org/10.1002/nme.1620370205. 8. Liu W.K., Jun S., Li S., Jonathan A., Belytschko T. Reproducing kernel particle methods for structural dynamics. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. Vol. 38, N 10. P. 1655–1679. https://doi.org/10.1002/nme.1620381005. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 161 Ðèñ. 6. Ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ñåðåäí³õ â³äíîñíèõ ïîõè- áîê rerr ( )u â³ä ê³ëüêîñò³ ³íòåðïîëÿö³éíèõ âóçë³â N äëÿ çàäà÷³ 2 N re rr ( ) u 9. Onate E., Idelsohn S., Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Sacco C. A stabilized finite point method for analysis of fluid mechanics problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. Vol. 139. P. 315–346. https://doi.org/10.1016/S0045-7825(96)01088-2. 10. Onate E., Idelsohn S., Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. A finite point method in computational mechanics. Application to convective transport and fluid flow. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1996. Vol. 39, N 22. P. 3839–3866. https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19961130) 39:22<3839::AID-NME27>3.0.CO;2-R. 11. Kansa E.J. Multiquadrics — a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics — I surface approximations and partial derivative estimates. Computers & Mathematics with Applications. 1990. Vol. 19. P. 127–145. https://doi.org/10.1016/0898-1221(90)90270-T. 12. Kansa E.J. Multiquadrics — A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics — II solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Computers & Mathematics with Applications. 1990. Vol. 19. P. 147–161. https://doi.org/ 10.1016/0898-1221(90)90271-K. 13. Lee C.K., Liu X., Fan S.C. Local multiquadric approximation for solving boundary value problems. Computational Mechanics. 2003. Vol. 30. P. 396–409. https://doi.org/10.1007/s00466-003-0416-5. 14. Ingber M.S., Chen C.S., Tanski J.A. A mesh free approach using radial basis functions and parallel domain decomposition for solving three-dimensional diffusion equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004. Vol. 60, N 13. P. 2183–2201. https://doi.org/10.1002/ nme.1043. 15. Bogomolny A. Fundamental solutions method for elliptic boundary value problems. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1985. Vol. 22, N 4. P. 644–669. https://doi.org/10.2307/2157574. 16. Hon Y.C., Chen W. Boundary knot method for 2D and 3D Helmholtz and convection–diffusion problems under complicated geometry. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2003. Vol. 56, N 13. P. 1931–1948. https://doi.org/10.1002/nme.642. 17. Rostamian M., Shahrezae A. Application of meshless methods for solving an inverse heat conduction problem. European Journal of Pure and Applied Mathematics. 2016. Vol. 9, N 1. P. 64–83. 18. Wang H., Qin Q-H., Kang Y-L. A meshless model for transient heat conduction in functionally graded materials. Computational Mechanics. 2006. Vol. 38. P. 51–60. https://doi.org/10.1007/ s00466-005-0720-3. 19. Xiao J.-E., Ku C.-Y., Huang W.-P., Su Y., Tsai Y.-H. A novel hybrid boundary-type meshless method for solving heat conduction problems in layered materials. Applied Sciences. 2018. Vol. 8, N 10. P. 1–24. https://doi.org/10.3390/app8101887. 20. Karagiannakis N.P., Bali N., Skouras E.D., Burganos V.N. An efficient meshless numerical method for heat conduction studies in particle aggregates. Applied Sciences. 2020. Vol. 10, N 3. P. 1–19. https://doi.org/10.3390/app10030739. 21. Zaheer-ud-Din, Ahsan M., Ahmad M., Khan W., Mahmoud E.E., Abdel-Aty A.-H. Meshless analysis of nonlocal boundary value problems in anisotropic and inhomogeneous media. Mathematics. 2020. Vol. 8, N 11. P. 1–19. https://doi.org/10.3390/math8112045. 22. Guan Y., Grujicic R., Wang X., Dong L., Atluri S.N. A new meshless “fragile points method” and a local variational iteration method for general transient heat conduction in anisotropic nonhomogeneous media. Part I: Theory and implementation. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. An International Journal of Computation and Methodology. 2020. Vol. 78, N. 2. P. 71–85. https://doi.org/10.1080/10407790.2020.1747278. 23. Guan Y., Grujicic R., Wang X., Dong L., Atluri S.N. A new meshless “fragile points method” and a local variational iteration method for general transient heat conduction in anisotropic nonhomogeneous media. Part II: Validation and discussion. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. An International Journal of Computation and Methodology. 2020. Vol. 78, N 2. P. 86–109. https://doi.org/10.1080/10407790.2020.1747283. 24. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. 2nd edition. London: Oxford University Press, 1959. 510 p. 25. Langtangen H.P. Introduction to computing with finite difference methods. University of Oslo, 2014. 97 p. 26. Ñåðãèåíêî È.Â., Õèìè÷ À.Í., ßêîâëåâ Ì.Ô. Ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ äîñòîâåðíûõ ðåøåíèé ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2011. ¹ 1. Ñ. 68–80. 162 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 27. Êîëîäÿæíûé Â.Ì., Ðâà÷åâ Â.À. Àòîìàðíûå ðàäèàëüíî áàçèñíûå ôóíêöèè â ÷èñëåííûõ àëãî- ðèòìàõ ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2008. Ò. 44, ¹ 4. Ñ. 165–178. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 11.07.2020 Ä.Î. Ïðîòåêòîð, Â.Ì. Êîëîäÿæíûé, Ä.À. Ëèñèí, Î.Þ. Ëèñèíà ÁÅÑÑÅÒÎ×ÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÒÐÅÕÌÅÐÍÛÕ ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ Â ÌÀÒÅÐÈÀËÀÕ Ñ ÀÍÈÇÎÒÐÎÏÈÅÉ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåí áåññåòî÷íûé ìåòîä ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ íåñòàöèî- íàðíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè â àíèçîòðîïíîé ñðåäå. Äëÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ êîìáèíàöèÿ ìåòîäà äâîéíîãî çàìåùåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíè- åì àíèçîòðîïíûõ ðàäèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ñ ìåòîäîì ôóíäàìåíòàëü- íûõ ðåøåíèé. Ìåòîä ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îäíî- ðîäíîå ðåøåíèå, à ìåòîä äâîéíîãî çàìåùåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì àíèçîòðîï- íûõ ðàäèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé — ÷àñòíîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðåøåíèé äâóõ òåñòîâûõ çàäà÷, ïîëó÷åí- íûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçðàáîòàííîãî ìåòîäà, à òàêæå âû÷èñëÿþòñÿ ñðåäíÿÿ îòíîñèòåëüíàÿ, ñðåäíÿÿ àáñîëþòíàÿ è ìàêñèìàëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: áåññåòî÷íûé ìåòîä, êðàåâûå çàäà÷è, àíèçîòðîïíûå ìàòå- ðèàëû, ìåòîä äâîéíîãî çàìåùåíèÿ, ìåòîä ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé, àíè- çîòðîïíûå ðàäèàëüíûå áàçèñíûå ôóíêöèè. D.O. Protektor, V.M. Kolodyazhny, D.O. Lisin, O.Yu. Lisina A MESHLESS METHOD FOR SOLVING THREE-DIMENSIONAL NONSTATIONARY HEAT CONDUCTION PROBLEMS IN ANISOTROPIC MATERIALS Abstract. The article deals with a meshless method for solving three-dimensional nonstationary heat conduction problems in anisotropic materials. A combination of dual reciprocity method using anisotropic radial basis function and method of fundamental solutions is used to solve the boundary-value problem. The method of fundamental solutions is used for obtain the homogenous part of the solution; the dual reciprocity method with the use of anisotropic radial basis functions allows obtaining a partial solution. The article shows the results of numerical solutions of two benchmark problems obtained by the developed numerical method; average relative, average absolute, and maximum errors are calculated.Keywords: meshless method, boundary-value problems, anisotropic materials, dual reciprocity method, method of fundamental solution, anisotropic radial basis functions.. Keywords: meshless method, boundary-value problems, anisotropic materials, dual reciprocity method, method of fundamental solution, anisotropic radial basis functions. Ïðîòåêòîð Äåíèñ Îëåãîâè÷, àñï³ðàíò Õàðê³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Â.Í. Êàðàç³íà, e-mail: d.protector@karazin.ua. Êîëîäÿæíèé Âîëîäèìèð Ìàêñèìîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð êàôåäðè Õàðê³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî àâòîìîá³ëüíî-äîðîæíüîãî óí³âåðñèòåòó, e-mail: vladmax1949@ukr.net. Ë³ñ³í Äåíèñ Îëåêñàíäðîâè÷, êàíäèäàò òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Õàðê³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Â.Í. Êàðàç³íà, e-mail: d.lisin@karazin.ua. Ë³ñ³íà Îëüãà Þë³¿âíà, êàíäèäàòêà ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíòêà êàôåäðè Õàðê³âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Â.Í. Êàðà- ç³íà, e-mail: o.lisina@karazin.ua. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 3 163

Безсітковий метод розв’язування тривимірних нестаціонарних задач теплопровідності в матеріалах з анізотропією

Institution

Similar Items