Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE
В работе предложен метод моделирования решения трехмерной задачи теории упругости методом начальных функций в системе Maple. Разработан формальный подход построения решения задачи для свободно опертого трехмерного массива. Для реализации решения в системе, разработан специальный препроцессор и библи...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19219 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE / А.Г. Овский, В.А. Толок // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2008. — № 5. — С. 88-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-19219 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-192192011-04-23T12:04:04Z Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE Овский, А.Г. Толок, В.А. В работе предложен метод моделирования решения трехмерной задачи теории упругости методом начальных функций в системе Maple. Разработан формальный подход построения решения задачи для свободно опертого трехмерного массива. Для реализации решения в системе, разработан специальный препроцессор и библиотека процедур. У роботі запропонований метод моделювання розв’язку тривимірно задачі теорії пружності методом початкових функцій в системі Maple. Розроблено формальний підхід побудови розв’язку задачі для вільно опертого тривимірного масиву. Для реалізації розв’язку в системі розроблений спеціальний препроцесор і бібліотека процедур. The method of design in the system Maple of decision is in-process offered three-dimensional the task of theory of resiliency the initial functions. Are developed the special formal approach of construction of decision of task three-dimensional array. For realization of decision the special preprocessor and library of procedures is developed in the system. 2008 Article Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE / А.Г. Овский, В.А. Толок // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2008. — № 5. — С. 88-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1815-8277 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19219 519.876.5 ru Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе предложен метод моделирования решения трехмерной задачи теории упругости методом начальных функций в системе Maple. Разработан формальный подход построения решения задачи для свободно опертого трехмерного массива. Для реализации решения в системе, разработан специальный препроцессор и библиотека процедур. |
| format |
Article |
| author |
Овский, А.Г. Толок, В.А. |
| spellingShingle |
Овский, А.Г. Толок, В.А. Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| author_facet |
Овский, А.Г. Толок, В.А. |
| author_sort |
Овский, А.Г. |
| title |
Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE |
| title_short |
Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE |
| title_full |
Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE |
| title_fullStr |
Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE |
| title_full_unstemmed |
Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE |
| title_sort |
моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе maple |
| publisher |
Науково-технічний центр панорамних акустичних систем НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/19219 |
| citation_txt |
Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе MAPLE / А.Г. Овский, В.А. Толок // Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану): Зб. наук. пр. — Запоріжжя: НТЦ ПАС НАН України, 2008. — № 5. — С. 88-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану) |
| work_keys_str_mv |
AT ovskijag modelirovanieshemyrešeniâtrehmernojzadačiteoriiuprugostivsistememaple AT tolokva modelirovanieshemyrešeniâtrehmernojzadačiteoriiuprugostivsistememaple |
| first_indexed |
2025-07-02T20:06:43Z |
| last_indexed |
2025-07-02T20:06:43Z |
| _version_ |
1836567026431164416 |
| fulltext |
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
88
УДК 519.876.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В СИСТЕМЕ MAPLE
© А.Г. Овский, В.А. Толок, 2008
Запорожский национальный университет
У роботі запропонований метод моделювання розв’язку тривимірно задачі теорії пружності методом
початкових функцій в системі Maple. Розроблено формальний підхід побудови розв’язку задачі для вільно
опертого тривимірного масиву. Для реалізації розв’язку в системі розроблений спеціальний препроцесор і
бібліотека процедур.
В работе предложен метод моделирования решения трехмерной задачи теории упругости методом
начальных функций в системе Maple. Разработан формальный подход построения решения задачи для свободно
опертого трехмерного массива. Для реализации решения в системе, разработан специальный препроцессор и
библиотека процедур.
The method of design in the system Maple of decision is in-process offered three-dimensional the task of
theory of resiliency the initial functions. Are developed the special formal approach of construction of decision of task
three-dimensional array. For realization of decision the special preprocessor and library of procedures is developed in
the system.
СИСТЕМА MAPLE, ПРЕПРОЦЕССОР, ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА, АБСОЛЮТНЫЕ
ПОГРЕШНОСТИ, ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ
В настоящей работе показана возможность применения системы компьютерной
алгебры Maple для математического моделирования решений трехмерных задач теории
упругости. С помощью упрощающей символики В.З. Власова реализуется построение
математической модели трехмерной задачи теории упругости. Предлагаемая работа является
продолжением работы [5]. Результаты решения задачи об изгибе трехмерного массива
сравниваются с классической теорией изгиба тонких пластин. Подробным образом в
графической интерпретации выводятся абсолютные погрешности для решения по методу
начальных функций в сравнении с классической теорией. Предлагаемая математическая
модель может применяться также для анализа напряжено-деформированного состояния
других тел.
Рассмотрим свободно защемленный по контуру основания трехмерный массив,
находящийся под действием нагрузки постоянной интенсивности Q. Его размеры: длина (ось
х) – S, ширина (по оси y)- R, толщина (ось z) – H. Вид массива, рис. 1.
Исходя из формулировки задачи для рассматриваемого метода [2], выбираем
следующую систему координат см. рис. 1.
Выделим в теле две плоскости: начальную z=0 и параллельную ей z=H. Задаем на
начальной плоскости функции U0, V0, W0, X0 ,Y0 ,Z0, которые зависят от переменных x, y [2].
Функции X0 ,Y0 ,Z0 равны нулю, так как за начальную плоскость выбирается свободный
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
89
нижний край массива. На верхнюю плоскость массива действует в направлении, обратном
оси z, равномерно распределенная нагрузка Q.
Рис. 1 - Описание задачи
Далее согласно работе [5] разрешается общая задача о равновесии твердого
изотропного тела, испытывающего малые деформации в прямоугольной системе координат
x, y, z. Используем результат этой работы для перемещений и напряжений.
Задаем начальные функции ),(),,(),,( 000 yxWyxVyxU в виде двойных
тригонометрических рядов [8]:
0
1 1
0
1 1
0
1 1
( , ) sin cos ,
( , ) cos sin ,
( , ) sin sin .
nm
n m
nm
n m
nm
n m
n m
U x y A x y
S R
n m
V x y B x y
S R
n m
W x y C x y
S R
π π
π π
π π
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
=
=
=
∑∑
∑∑
∑∑
(1)
После подстановки (1) в решение трехмерной задачи [5] осуществляя переход к
численным рядам для напряжений, получим:
.0
;0
000
000
===
≠≠≠
ZYX
WVU
y
x
0
R
S
H
.0
;
==
−=
YX
QZ
Q
z
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
90
2 2
1 1
sin cos
1 1 ( 1)
,
sin cos cos sin
1 ( 1) 1
1
n nm nm nm m
nm n m
nm
n m
n m nm n m nm n nm nm
nm n m nm n m
nm
n m nm
za ch z sh z b
A a x b y
X
za b ch z a b sh z za sh z
B a x b y C a x b y
za b ch z a
Y
γ γ γ ν
ν ν γ ν
γ ν γ γ γ
ν γ ν ν
γ ν
ν
∞ ∞
= =
− + + − − − −
=
− + − − − −
− +
−
=
∑∑
2 2
1 1
cos sin
( 1)
cos sin ,
1 ( 1) 1
sin cos
1
cos
1
n m nm
nm n m
nm
m nm n nm nm nm
nm n m
nm
n m
m nm nm
nm n m
n nm nm
nm
b sh z
A a x b y
zb ch z a sh z sh z
B a x b y
zb sh z
C a x b y
za sh z
A
Z
γ
ν γ
γ ν γ γ γ
ν γ ν ν
γ γ
ν
γ γ
ν
∞ ∞
= =
+ −
+ − + + − − − −
− −
−
−
=
∑∑
1 1 2
cos cos cos
1
,
sin sin
1 1
m nm nm
n m nm n m
n m
nm nm nm nm
nm n m
zb sh z
a x b y B a x b y
sh z z ch z
C a x b y
γ γ
ν
γ γ γ γ
ν ν
∞ ∞
= =
− +
−
+ − − −
∑∑
(2)
где
R
m
b
S
n
a mn
ππ == , - сокращенные обозначения;
nmA , nmB , nmC - коэффициенты двойных рядов (1), подлежащие определению;
22
mnnm ba +=γ - упрощающее обозначение суммы квадратов коэффициентов.
Исходя из граничных условий, для поставленной задачи будем иметь три уравнения
для напряжений, из которых выводятся коэффициенты nmnmnm CBA ,, . Составим их:
0,
0,
.
z H
z H
z H
X
Y
Z Q
=
=
=
=
=
= −
(3)
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
91
nmnm BA , равны нулю по условиям (3). Далее выполняем над Z из условий (3)
процедуру Галеркина, используя свойство фундаментальности и ортогональности системы
синусоидальных функций [3]. В результате для напряжения Z:
dydxy
R
p
x
S
l
QC
RSHchHHsh S R
nm
nmnmnmnm ππ
ν
γγ
ν
γγ
sinsin
411 0 0
2
∫ ∫−=
−
−
−
, (4)
где
R
p
b
S
l
a pl
ππ == , - сокращенные обозначения;
22
mnnm ba +=γ - упрощающее обозначение суммы квадратов коэффициентов.
Разрешив (4), находим коэффициент
HchHHshRSnm
nmQ
C
nmnmnmnm
nm γγγγ
ν
π
ππ
22
1)1(cos)1(cos4
−
−⋅−−−=
.
Подставив nmC в формулы для прогибов U, V, W в результате перехода от
операторно-символических рядов к численным получим:
1 1
2 2
1 1
(1 2 )1
2 ( 1) ( 1)
4 (cos 1) (cos 1) 1
cos sin ,
(1 2 )1
2 ( 1) ( 1)
4 (cos 1
n nm n nm
n m nm
n m
nm nm nm nm
m nm m nm
n m nm
a z ch z a sh z
U
Q m n
a x b y
m n S R sh H H ch H
b z ch z b sh z
V
Q m
γ ν γ
ν ν γ
π π ν
π γ γ γ γ
γ ν γ
ν ν γ
π
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
−= + × − −
− − −× − ⋅ −
−= + × − −
−× −
∑∑
∑∑
2 2
1 1
2 2
) (cos 1) 1
sin cos ,
2( 1)
4 (cos 1) (cos 1) 1
sin sin .
n m
nm nm nm nm
nm nm
nm
n m
n m
nm nm nm nm
n
a x b y
m n S R sh H H ch H
z sh z
W ch z
Q m n
a x b y
m n S R sh H H ch H
π ν
π γ γ γ γ
γ γγ
ν
π π ν
π γ γ γ γ
∞ ∞
= =
− −⋅ −
= − × −
− − −× − ⋅ −
∑∑
(5)
Выписываем формулы для напряжений [2] и подставляем в них коэффициент nmC :
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
92
2 2 2
1 1
2 2 2
1 1
1
(2 )
sin sin ,
1 ( 1)
(2 )
sin sin ,
1 ( 1)
(1 2 )1
2 ( 1) ( 1)
n nm m n nm
x n m
n m nm
m nm n m nm
y n m
n m nm
n nm n nm
xy m
m nm
z a ch z b a sh z
a x b y
z b ch z a b sh z
a x b y
a z ch z a sh z
b
γ ν γσ
ν ν γ
γ ν γσ
ν ν γ
γ ν γτ
ν ν γ
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞
=
+= − − − −
+= − − − −
−= + × − −
∑∑
∑∑
1
2 2
2 2
4 (cos 1) (cos 1) 1
cos cos
(1 2 )1
2 ( 1) ( 1)
4 (cos 1) (cos 1) 1
cos cos .
n
n m
nm nm nm nm
m nm m nm
n
nm
n m
nm nm nm nm
Q m n
a x b y
m n S R sh H H ch H
b z ch z b sh z
a
Q m n
a x b y
m n S R sh H H ch H
π π ν
π γ γ γ γ
γ ν γ
ν ν γ
π π ν
π γ γ γ γ
∞
=
− − −× − ⋅ + −
−+ + × − −
− − −× − ⋅ −
∑∑
(6)
Для нахождения u, v, w необходимо U, V, W разделить на модуль сдвига
2(1 )
E
G
ν
=
+
[1].
Выведем классическое решение для свободно опертой пластины. С ним будет
сопоставляться предложенный метод.
Классическое решение получается из (5) и (6) путем замены численных
zshzch nmnm γγ , на соответствующие им разложения Маклорена.
Задавая количество членов в разложениях, будем получать приближения точной
теории. Взяв один член в разложении, получим классическую теорию пластин с учетом
толщины H. Для прогиба W найдем:
4 3 4 3
1 1 2 2 2
2 4 3
1 1
4 (cos 1) (cos 1)( 1)
6 2
sin sin
2( 1)
12 (cos 1) (cos 1)( 1)
s
2( 1)
n m nm nm
nm nm
nm nm
nm n m
nm nm
nm
n m nm
Q m n
W
H H
nm SR H H
z sh z
ch z a x b y
z sh zQ m n
ch z
nm H SR
π π ν
γ γπ γ γ
γ γγ
ν
γ γπ π ν γ
π γ ν
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
− − − −= ×
+ − −
× − = −
− − −= − −
∑∑
∑∑ in sin .n ma x b y
(7)
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
93
Разность гиперболических косинуса и синуса в числителе тоже необходимо
разложить по предложенному способу, но перед разложением необходимо выделить в
знаменателе коэффициент классической теории D [9]. Для этого результат W нужно
разделить на коэффициент сдвига G. Результат имеет следующий вид:
2 4 3
1 1
2
2 4 3
1 1
12 (cos 1) (cos 1)( 1)
sin sin
2( 1)
24 (cos 1) (cos 1)(1 )
sin sin
2( 1)
8 (cos 1)
nm nm
nm n m
n m nm
nm nm
nm n m
n m nm
z sh zQ m n
w ch z a x b y
nm H SRG
z sh zQ m n
ch z a x b y
nm H E SR
Q m
γ γπ π ν γ
π γ ν
γ γπ π ν γ
π γ ν
π
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
− − −= − = −
− − −= − − = −
−= −
∑∑
∑∑
2 4
1 1
(cos 1)
sin sin .
2( 1)
nm nm
nm n m
n m nm
z sh zn
ch z a x b y
nm D SR
γ γπ γ
π γ ν
∞ ∞
= =
− − −
∑∑
(8)
Здесь
)1(3 2
3
ν−
= HE
D - поскольку задача ставится при z, которое меняется от 0 до H.
Теперь, задав один член в разложениях zshzch nmnm γγ , по Маклорену в числителе, получим
обычную классическую теорию пластин [6]:
.sinsin
)1(cos)1(cos8
1 1
42
ybxa
SRDnm
nmQ
w mn
n m nm
∑∑
∞
=
∞
=
−−−=
γπ
ππ
(9)
Все вышеизложенные выкладки автоматизированы и запрограммированы в Maple. Их
осуществляет созданный авторами препроцессор. ЭВМ работает лишь с дискретным
набором данных, бесконечные ряды численных решений (5), (6), (8) приходится
ограничивать до определенного числа [7]. Таким образом, чтобы дать графическую
интерпретацию выведенного решения, было взято по двадцать членов в двойных суммах
рядов. Разработанная программа показывает разницу между точной и приближенной
теориями в зависимости от безразмерного параметра H/R.
В процессе моделирования рассматриваемой выше задачи для заданных числовых
характеристик безразмерного параметра длины S/R=5/2, безразмерного параметра ширины
r=1, толщины H/R=0,5/2=0,25, были получены результаты в точках максимального различия
между теориями. Эти результаты для перемещений u, w и напряжений yx σσ , и
соответствующих напряжениям моментов сравнивались с приближенными теориями. При
росте безразмерного параметра толщины существенно влияют на величины перемещений и
напряжений, неучтенные в классической теории члены высших порядков в разложениях
Маклорена.
Всё это демонстрируют графики абсолютных погрешностей приближенных
(k=1,2,3,4,5) теорий в сравнении с точной теорией в зависимости от параметра h/R. Для
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
94
перемещения U в точке 0, R/2 и 0,5 H/R и прогиба W в точке S/2, R/2 и 0,5 H/R, параметр h/R
меняется от 0,0001 до 0,5. В данных точках разность между значениями перемещений для
точной и классической теорий максимальна, рис. 2.
а)
б)
Рис. 2 - Абсолютные погрешности для: а) перемещения u; б) прогиба w в %:
индекс v – точная теория; индекс k – приближения (при k=1 – классика)
Для напряжения Z в точке 0, R/2 и 0,5 H/R на рис. 3 показаны абсолютные
погрешности в зависимости от параметра толщины.
1
2
5
4
3
1
2
3
4
5
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
95
Рис. 3 - Абсолютные погрешности для Z в %:
индекс v – точная теория; индекс k – приближения (при k = 1 – классика)
Графики для абсолютных погрешностей напряжения Z в % при k=1 и k=2, k=3 и k=5
совпадают.
Аналогичным образом анализируются моменты Mx и My. Mx в точке S/5, R/2 и 0,5 H,
My – точка S/2, R/2 и0,5 H. Графики изображены на рис. 4.
Рис. 4 а) - Абсолютные погрешности для момента xM в %
(индекс v – точная теория; индекс k – приближения)
1
2
3
4
5
1, 2
4
3, 5
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
96
Рис. 4 б) - Абсолютные погрешности для момента yM в %
(индекс v – точная теория; индекс k – приближения)
На графиках были предоставлены результаты сравнения классической и точной
теорий. Все результаты получены в разработанной программе благодаря использованию
графических средств системы Maple.
В работе был предложен метод решения трехмерной задачи. Все результаты были
проверены и сопоставлены с классическим решением.
Рассмотренный выше метод можно применять для решения более сложных задач, где
анализируется напряженно-деформированное состояние тел, путем введения в разработку
новых методик. Путем усложнения граничных и начальных условий можно ставить и решать
более сложные задачи для пластин, плит и т.д.
Весь процесс моделирования был реализован в Maple – новой системе
программирования аналитических операций. Создав препроцессор и библиотеку, авторы
смогли приспособить систему для решения сложных аналитических проблем, возникающих
при решении поставленной задачи.
Литература
1. Амензаде Ю.А. Теория упругости (3-е издание). - М.: Высшая школа, 1976. – 272 с.
1
3
5
2
Гідроакустичний журнал (Проблеми, методи та засоби досліджень Світового океану), 2008 (№ 5)
97
2. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки плиты и оболочки на упругом основании. – М.: ФИЗМАТГИЗ,
1960. – 491 с.
3. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Талаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2002. – с.
4. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. – М.: СОЛОН-Пресс, 2006. – 720
с.: ил.
5. Толок В.А., Шапар В.В. Операторно-символьные ряды Власова В.З. в решении задач теории
упругости в системе Maple // Гідроакустичний журнал. – 2006. - № 3. – с. 66-74.
6. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. – 508 с.
7. Матросов А.В. Maple6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.: БХВ-Петербург,
2002. – 528 с.: ил.
8. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. – 933 с.
9. Треффц Е. Математическая теория упругости. - Л.-М.: Гос. тех.-теор. издат., 1934. – 166 c.
|