Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом

Отримано критерій досяжності супремума опуклим напівнеперервним знизу функціоналом на компактній опуклій підмножині локально опуклого простору. Охарактеризовано опуклі функціонали, що досягають супремума на довільній опуклій замкненій та обмеженій підмножині рефлексивного банахового простору....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Ляшко, С.И., Семенов, В.В., Кацев, М.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206756
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом / С.И. Ляшко, В.В. Семенов, М.В. Кацев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 81-87. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206756
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2067562025-09-25T00:01:40Z Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом Зауваження щодо досяжності супремума опуклим функціоналом Some Remarks Concerning the Attainment of Suprema by Convex Functionals Ляшко, С.И. Семенов, В.В. Кацев, М.В. Отримано критерій досяжності супремума опуклим напівнеперервним знизу функціоналом на компактній опуклій підмножині локально опуклого простору. Охарактеризовано опуклі функціонали, що досягають супремума на довільній опуклій замкненій та обмеженій підмножині рефлексивного банахового простору. The criterion of supremum attainment by convex lower semicontinuous functional on compact convex subset of locally convex space is obtained. The convex functionals attaining supremum on uncertain convex closed and bounded subset of reflexive Banach space are described. 2006 Article Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом / С.И. Ляшко, В.В. Семенов, М.В. Кацев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 81-87. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206756 519.8 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Отримано критерій досяжності супремума опуклим напівнеперервним знизу функціоналом на компактній опуклій підмножині локально опуклого простору. Охарактеризовано опуклі функціонали, що досягають супремума на довільній опуклій замкненій та обмеженій підмножині рефлексивного банахового простору.
format	Article
author	Ляшко, С.И. Семенов, В.В. Кацев, М.В.
spellingShingle	Ляшко, С.И. Семенов, В.В. Кацев, М.В. Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом Проблемы управления и информатики
author_facet	Ляшко, С.И. Семенов, В.В. Кацев, М.В.
author_sort	Ляшко, С.И.
title	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом
title_short	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом
title_full	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом
title_fullStr	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом
title_full_unstemmed	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом
title_sort	замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2006
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206756
citation_txt	Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом / С.И. Ляшко, В.В. Семенов, М.В. Кацев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 81-87. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT lâškosi zamečaniâodostižimostisupremumavypuklymfunkcionalom AT semenovvv zamečaniâodostižimostisupremumavypuklymfunkcionalom AT kacevmv zamečaniâodostižimostisupremumavypuklymfunkcionalom AT lâškosi zauvažennâŝododosâžnostísupremumaopuklimfunkcíonalom AT semenovvv zauvažennâŝododosâžnostísupremumaopuklimfunkcíonalom AT kacevmv zauvažennâŝododosâžnostísupremumaopuklimfunkcíonalom AT lâškosi someremarksconcerningtheattainmentofsupremabyconvexfunctionals AT semenovvv someremarksconcerningtheattainmentofsupremabyconvexfunctionals AT kacevmv someremarksconcerningtheattainmentofsupremabyconvexfunctionals
first_indexed	2025-09-26T01:13:01Z
last_indexed	2025-09-26T01:13:01Z
_version_	1844287039776751616
fulltext	© С.И. ЛЯШКО, В.В. СЕМЕНОВ, М.В. КАЦЕВ, 2006 Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 81 УДК 519.8 С.И. Ляшко, В.В. Семенов, М.В. Кацев ЗАМЕЧАНИЯ О ДОСТИЖИМОСТИ СУПРЕМУМА ВЫПУКЛЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ∗ Введение В предлагаемой публикации обсуждается разрешимость бесконечномерных задач выпуклой максимизации. Используются стандартные понятия и обозначе- ния выпуклого анализа. Известно, что в рефлексивном банаховом пространстве полунепрерывный снизу выпуклый функционал достигает минимума на произвольном ограничен- ном замкнутом и выпуклом множестве [1, 2]. Однако в бесконечномерном гиль- бертовом пространстве существуют ограниченные замкнутые и выпуклые множе- ства, не имеющие элемента с максимальной нормой, а также неограниченные сверху на замкнутом шаре выпуклые непрерывные функционалы. Вторая известная специалистам нетривиальность задачи выпуклой максими- зации состоит в возможном наличии локальных максимумов, не являющихся гло- бальными, что усложняет вид необходимых и достаточных условий максимума. Данный круг вопросов исчерпывающе изучен А.С. Стрекаловским [3]. Мы даем простое описание класса выпуклых функционалов, достигающих супремума на произвольном ограниченном замкнутом выпуклом подмножестве рефлексивного банахова пространства. Также доказаны вариант принципа макси- мума Бауэра [4, c. 335] без требования полунепрерывности сверху выпуклого функционала и расширение одной леммы Линденштраусса [5] о достижимости супремума полунепрерывным снизу выпуклым функционалом на компактном выпуклом подмножестве локально выпуклого пространства. В цитируемой работе сформулирован критерий достижимости линейным непрерывным оператором своей нормы на замкнутом единичном шаре. Именно этот критерий мы расширя- ем. Идея последнего утверждения позволяет доказать утверждение о линейной регуляризуемости задач выпуклой максимизации, т.е. пусть →Ef : ∇ }{ ∞+ — собственный выпуклый σ(E, E)-полунепрерывный снизу функционал, удовле- творяющий условию Липшица на σ(E, E )-компактном выпуклом множестве .)(dom fX ⊆ Тогда можно утверждать, что для произвольного 0>ε существует такой ** Ex ∈ с ,* * ε<Ex что задача X xf sup* →+ разрешима и xf + до- стигает супремума на X в крайней точке множества X. В последующей публикации мы приведем полное доказательство этого факта. Данное утверждение является обобщением результата Линденштраусса [6, с. 130] о сильной плотности множества линейных непрерывных операторов, вторые со- пряженные которых достигают своей нормы на единичном замкнутом шаре бана- хова пространства. Отметим, что аналогичное утверждение для задачи минимиза- ции (в данном случае, естественно, множество X не предполагается σ(E, E)-ком- пактным, а только замкнутым выпуклым и ограниченным) легко получить из теоремы Бишопа–Фелпса [6, с. 9] и известно как теорема Брондстеда–Рокафел- лара [7, 8]. ∗ Работа поддержана Государственным фондом фундаментальных исследований Министерства обра- зования и науки Украины. 82 ISSN 0572-2691 Результаты Будем рассматривать только пространства над полем действительных чисел. Теорема 1 и ее доказательство — результат осмысления примеров ограниченных замкнутых и выпуклых подмножеств гильбертова пространства, не имеющих элементов с максимальной нормой. Теорема 1. Пусть E — произвольное линейное нормированное пространство, →Ef : ∇ }{ ∞+ — собственный полунепрерывный снизу выпуклый функцио- нал. Если функционал )(dom ff не является секвенциально непрерывным в топо- логии σ(E, E), то существует ограниченное замкнутое и выпуклое множество ,)(dom fX ⊆ на котором функционал f не достигает своего супремума. Доказательство. Пусть )(dom fx ∈ — точка, в которой функционал f не является секвенциально непрерывным в топологии σ(E, E* ), т.е. существуют та- кое число 0>ε и последовательность ,)(dom fxn∈ что xx nn ∞→ → слабо в E, ∈∀n ⊆ .)()(: ε≥− xfxf n Не ограничивая общности, можем считать, что .0)( =∗xf Отметим суще- ствование такого номера ∈n ⊆, что :nn ≥∀ .)( ε≥nxf Действительно, иначе имеется такая подпоследовательность ,)( knx что ,)( ε−< knxf и, соответственно, ,)(lim ε−≤ ∞→ n n xf что противоречит полунепрерывности снизу функционала f. Для произвольного номера nn ≥ существует такая точка ,)(dom]}1,0[,)1(:{],[ * fxxyXyxxy nnn ⊆∈λλ−+λ=∈=∈ что ,)( εα= nnyf где (αn) — последовательность действительных чисел из ин- тервала (0, 1), монотонно сходящаяся к 1. Ясно, что xy nn ∞→ → слабо в E. Положим }:{conv nnyX n ≥= — замкнутое выпуклое и ограниченное множество. Из выпуклости и полунепрерывности f следует, что ,})(:{ ε≤∈⊆ xfXxX т.е. .)(dom fX ⊆ Покажем от противного, что функционал f не достигает супремума на мно- жестве X. Пусть существует :Xx ∈ .)(sup)( xfxf Xx∈ = В частности, ,)()(:* εα=≥≥∀ nnyfxfnn откуда .sup)( * ε=εα≥ ≥ n nn xf (1) Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 83 Рассмотрим такую последовательность ),( pz что },:{conv nnyz np ≥∈ xz pp ∞→ → сильно в E. Полунепрерывность функционала f и выполнение (1) влечет )(lim)( p p zfxf ∞→ ≤ и .)(lim p p zf ∞→ ≤ε Если мы покажем, что xz pp ∞→ → слабо в E, то получим xx = и абсурд- ное неравенство .0)()(0)( * ==≤ε<= xfxfxf Для произвольного ∈p ⊆ вектор pz имеет вид , * ,∑ ∞ = λ= nn nnpp yz где ],1,0[, ∈λ np 1 * , =λ∑ ∞ =nn np и 0, =λ np при фиксированном p, начиная с некоторого n. Докажем, что 0: , * →λ≥∀ npnn при .∞→p Принимая во внимание вы- пуклость функционала f, nm ≥∀ можем записать неравенство =λ≤        λ= ∑∑ ∞ = ∞ = * )()( ,, nn nnp nn nnpp yfyfzf =ελ+εαλ≤εαλ= ∑∑ ∞ ≠ = ∞ = mn nn npmmp nn nnp , ,,, ** .))1(1()1( ,,, * ελ−α+=ε        λ−α+λ= ∑ ∞ = mpm nn mpmnp Перейдем к нижнему пределу по p, фиксируя номер :nm ≥ .)lim)1(1())1(1(lim)(lim ,, ελ−α+=ελ−α+≤ ∞→∞→∞→ mppmmpm p p p zf Отсюда 0lim , ≤λ ∞→ mp p и, учитывая неотрицательность ,,mpλ получаем .0lim , =λ ∞→ mp p (2) Возьмем функционал El ∈ и обозначим .,sup 〉〈= ∈ xlC Xx Таким образом, .,,, ** nnCylCxl n ≥∀≤〉〈≤〉〈 Из слабой сходимости последовательности )( ny к x следует, что 0>ε′∀ :nn ≥′∃ . 2 , * nnxyl n ′≥∀ ε′ <〉−〈 84 ISSN 0572-2691 Имеем ∈∀p ⊆: . 22 ,, *** , * , * , ε′ ≤ ε′         λ<〉−〈λ≤〉−〈λ ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = nn npn nn np nn nnp xylxyl Учитывая (2), заключаем, что ∈′∃p ⊆: ., 4 0 * , nnnpp nCnp ′<≤′≥∀ ′ ε′ <λ≤ Следовательно, :pp ′≥∀ ≤〉−〈λ=〉−〈 ∑ ∞ = * * , * ,, nn nnpp xylxzl . 2 2 2 ,, 1 * , * 1 , ** ε′< ε′ + ′ ε′ <〉−〈λ+〉−〈λ≤ ∑∑∑ −′ = ∞ ′= −′ = C nC xylxyl n nn n nn npn n nn np Тем самым доказано, что xz pp ∞→ → слабо в E. ■ Из теоремы 1 непосредственно получаем утверждение. Следствие. Пусть E — рефлексивное банахово пространство, →Ef : →∇ }{ ∞+ — собственный полунепрерывный снизу выпуклый функционал. Тог- да следующие условия равносильны: 1) функционал f достигает супремума на произвольном ограниченном за- мкнутом выпуклом множестве );(dom fX ⊆ 2) функционал )(dom ff секвенциально непрерывен в топологии σ(E, E). Доказательство. Импликация 1)⇒2) следует из доказанной теоремы 1. Об- ратное утверждение — классический результат, вытекающий из теорем Вейер- штрасса, Мазура и рефлексивности пространства E. ■ Утверждение теоремы 2 известно, однако приводится в литературе, как пра- вило, для полунепрерывных сверху выпуклых функционалов. Мы снимаем требо- вание полунепрерывности сверху и получаем результат, используя глубокую тео- рему Шоке–Бишопа–де Лю [9]. Теорема 2. Пусть X — компактное выпуклое подмножество локально вы- пуклого пространства E и полунепрерывный снизу выпуклый функционал →Ef : ∇ }{ ∞+ ))(dom( fX ⊆ достигает супремума на X в точке .Xx ∈′ Тогда существует )(ex Xx ∈′′ (здесь )(ex X — множество крайних точек множества X), что ).(sup)()( xfxfxf Xx∈ =′=′′ Доказательство. Доказываем от противного. Пусть для всех )(ex Xx∈ ).(sup)()( xfxfxf Xx∈ =′< Рассмотрим ∈∀n ⊆ множество Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 85 .1)(sup)(:         −≤∈= ∈ n xfyfXyF Xx n По условию nF — замкнутые подмножества X. Следовательно, множество  ∞ = =′=∈= 1 )\()}()(:{ n nFXxfxfXxF является бэровским подмножеством X и .F)(ex ∅=X По теореме Шоке–Бишопа–де Лю существует вероятностная мера µ на X, ко- торая принимает нулевое значение на бэровских подмножествах X, которые не пересекаются со множеством ,)(ex X и представляет точку ,Xx ∈′ т.е. .)(,,: **** ∫ µ〉〈=〉′〈∈∀ X xdxxxxEx Естественно, что 0)})()(:({)( =′=∈µ=µ xfxfXxF (3) и ∫ µ=′ X xdxgxg )()()( для произвольного непрерывного аффинного функциона- ла →Eg : ∇. Из полунепрерывности снизу и выпуклости функционала f следует, что ,sup α ∈α = gf A где Ag ∈αα}{ — некоторое непустое множество непрерывных на E аффинных функционалов. Следовательно, ,)()()()()(: xgxdxgxdxfA XX ′=µ≥µ∈α∀ αα∫∫ и, соответственно, .)()()()( ∫∫ µ′≥µ XX xdxfxdxf Таким образом, ,0)())()((∫ =µ′− X xdxfxf поскольку .)()(: xfxfXx ′≤∈∀ Откуда )()( xfxf ′= .)(modµ Итак, ,1)})()(:({ =′=∈µ xfxfXx что противоре- чит условию (3). ■ Лемма. Пусть X — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства E, →Ef : ∇ }{ ∞+ — полунепрерывный снизу выпуклый функ- ционал )),(dom( fX ⊆ )( nε — бесконечно малая последовательность положи- тельных чисел. Функционал f достигает супремума на множестве X тогда и только тогда, когда выполнены условия: существуют такие последовательности точек Xxn ∈ и непрерывных аффин- ных функционалов →φ En : ∇, что ∈∀n ⊆ nf φ≥: на X, (4) .)(sup)(: n Xx kn xfxkn ε−≥φ≤∀ ∈ (5) 86 ISSN 0572-2691 Доказательство. Пусть выполняется условие леммы. Рассмотрим Xx ∈′ — предельную точку последовательности )( nx и такую подсеть ,)( knx что .xx kn ′→ Из непрерывности функционалов nφ и условия (5) следует, что ∈∀n ⊆ .)(sup)(: n Xx n xfx ε−≥′φ ∈ Учитывая (4), получим ∈∀n ⊆ ,)(sup)(: n Xx xfxf ε−≥′ ∈ т.е. .)(sup)( xfxf Xx∈ =′ Наоборот, пусть функционал f достигает супремума на множестве X в точке .Xx ∈′ Возьмем для простоты ∈∀n ⊆ .xxn ′= Поскольку ,sup φ= Φ∈φ f где Φ — не- которое непустое множество непрерывных на E аффинных функционалов, то су- ществуют такие ,Φ∈φn что ∈∀n ⊆ .)()(: nn xfx ε−′≥′φ ■ Заключение Таким образом, получено простое описание класса собственных полунепре- рывных снизу выпуклых функционалов, достигающих супремума на произволь- ном ограниченном замкнутом выпуклом подмножестве рефлексивного банахово- го пространства и доказаны некоторые вспомогательные для доказательства линейной регуляризуемости липшицевых задач выпуклой максимизации утвер- ждения. Отметим, что теорема 1 и следствие анонсированы в [10]. С.І. Ляшко, В.В. Семенов, М.В. Кацев ЗАУВАЖЕННЯ ЩОДО ДОСЯЖНОСТІ СУПРЕМУМА ОПУКЛИМ ФУНКЦІОНАЛОМ Отримано критерій досяжності супремума опуклим напівнеперервним знизу функціоналом на компактній опуклій підмножині локально опуклого просто- ру. Охарактеризовано опуклі функціонали, що досягають супремума на довіль- ній опуклій замкненій та обмеженій підмножині рефлексивного банахового простору. S.I. Lyashko, V.V. Semenov, M.V. Katsev SOME REMARKS CONCERNING SUPREMUM ATTAINMENT BY CONVEX FUNCTIONAL The criterion of supremum attainment by convex lower semicontinuous functional on compact convex subset of locally convex space is obtained. The convex functionals attaining supremum on uncertain convex closed and bounded subset of reflexive Ba- nach space are described. 1. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. — М. : Наука, 1972. — 416 с. 2. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. — М. : Мир, 1979. — 399 с. 3. Стрекаловский А.С. Элементы невыпуклой оптимизации. — Новосибирск : Наука, 2003. — 355 с. 4. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — М. : Мир, 1982. — 512 с. 5. Lindenstrauss J. On operators which attain their norm // Israel J. Math. — 1963. — 3. — P. 139–148. 6. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. — Киев : Выща шк., 1980. — 215 с. Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 87 7. Brondsted A., Rockafellar R.T. On the subdifferentiability of convex functions // Proc. AMS. — 1965. — 16. — P. 605–611. 8. Stegall Ch. Optimization of functions on certain subsets of Banach spaces // Math. Ann. — 1978. — 236. — P. 171–176. 9. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. — М. : Мир, 1968. — 112 с. 10. Семенов В.В. О разрешимости задачи выпуклой максимизации // Intern. Conf. «Problems of De- cision Making under Uncertainties (PDMU-2005)». — Berdyansk. Ukraine, 2005. — P. 216–217. Получено 27.12.2005 Введение Результаты Заключение

Замечания о достижимости супремума выпуклым функционалом

Institution

Ähnliche Einträge