Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати

Запропоновано метод компенсації параметричних збурень у системі з лінійноквадратичним регулятором, оснований на наближеному перерахуванні оптимізаційної задачі, що не потребує нового розв’язання рівняння Лур’є–Ріккаті. Для компенсації параметричних збурень об’єкта керування пропонується використову...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Буков, В.Н., Сельвесюк, Н.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206759
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати / В.Н. Буков, Н.И. Сельвесюк // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 116-125. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206759
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2067592025-09-25T00:00:24Z Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати Компенсація збурень у лінійній оптимальній системі на основі параметризації рівняння Лур’є–Ріккаті Compensation of Perturbations in Linear Optimal Systems Based on Parametrizing the Lurie–Riccati Equation Буков, В.Н. Сельвесюк, Н.И. Запропоновано метод компенсації параметричних збурень у системі з лінійноквадратичним регулятором, оснований на наближеному перерахуванні оптимізаційної задачі, що не потребує нового розв’язання рівняння Лур’є–Ріккаті. Для компенсації параметричних збурень об’єкта керування пропонується використовувати додатковий зворотний зв’язок за станом — компенсаційні регулятори. На основі результатів параметризації матричного алгебраїчного рівняння Лур’є–Ріккаті визначено всю множину збурень, що компенсуються, і відповідну йому множину компенсаційних регуляторів. The method of compensation of parametrical perturbations in control system with the linearquadratic regulator, based on the approximate recalculation of the optimal problem, not demanding the new solution of Lourie–Riccati equation is offered. For compensation of parametrical perturbations of controlled object it is offered to use an additional state feedback termed the compensating controller. On the basis of results of parametrization of matrix algebraic Lourie–Riccati equation the whole set of compensated perturbations and the corresponding set of compensating controller is determined. 2006 Article Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати / В.Н. Буков, Н.И. Сельвесюк // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 116-125. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206759 517.938 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Запропоновано метод компенсації параметричних збурень у системі з лінійноквадратичним регулятором, оснований на наближеному перерахуванні оптимізаційної задачі, що не потребує нового розв’язання рівняння Лур’є–Ріккаті. Для компенсації параметричних збурень об’єкта керування пропонується використовувати додатковий зворотний зв’язок за станом — компенсаційні регулятори. На основі результатів параметризації матричного алгебраїчного рівняння Лур’є–Ріккаті визначено всю множину збурень, що компенсуються, і відповідну йому множину компенсаційних регуляторів.
format	Article
author	Буков, В.Н. Сельвесюк, Н.И.
spellingShingle	Буков, В.Н. Сельвесюк, Н.И. Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати Проблемы управления и информатики
author_facet	Буков, В.Н. Сельвесюк, Н.И.
author_sort	Буков, В.Н.
title	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати
title_short	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати
title_full	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати
title_fullStr	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати
title_full_unstemmed	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати
title_sort	компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения лурье–риккати
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2006
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206759
citation_txt	Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати / В.Н. Буков, Н.И. Сельвесюк // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 1-2. — С. 116-125. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bukovvn kompensaciâvozmuŝenijvlinejnojoptimalʹnojsistemenaosnoveparametrizaciiuravneniâlurʹerikkati AT selʹvesûkni kompensaciâvozmuŝenijvlinejnojoptimalʹnojsistemenaosnoveparametrizaciiuravneniâlurʹerikkati AT bukovvn kompensacíâzburenʹulíníjníjoptimalʹníjsistemínaosnovíparametrizacíírívnânnâlurêríkkatí AT selʹvesûkni kompensacíâzburenʹulíníjníjoptimalʹníjsistemínaosnovíparametrizacíírívnânnâlurêríkkatí AT bukovvn compensationofperturbationsinlinearoptimalsystemsbasedonparametrizingtheluriericcatiequation AT selʹvesûkni compensationofperturbationsinlinearoptimalsystemsbasedonparametrizingtheluriericcatiequation
first_indexed	2025-09-26T01:13:18Z
last_indexed	2025-09-26T01:13:18Z
_version_	1844287057335156736
fulltext	© В.Н. БУКОВ, Н.И. СЕЛЬВЕСЮК, 2006 116 ISSN 0572-2691 УДК 517.938 В.Н. Буков, Н.И. Сельвесюк КОМПЕНСАЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЯ ЛУРЬЕ–РИККАТИ Введение. Синтез линейно-квадратичных регуляторов (ЛКР) относится к классическим задачам теории оптимального управления [1–3]. Основные нере- шенные проблемы в этой области, по мнению авторов работы [4], — синтез ЛКР по выходу и синтез робастных ЛКР. В ключе последней проблемы важная роль отводится задаче компенсации параметрических возмущений в системе с ЛКР. Традиционно при известном изменении параметров модели объекта определение нового оптимального управления требует повторения всего объема операций син- теза. Вследствие этого могут возникать вычислительные проблемы при создании, например, так называемых адаптивных оптимальных систем управления [5]. Для стационарных систем в установившемся режиме эта проблема сводится, прежде всего, к решению (в темпе, превышающем темп переходных процессов системы) матричного алгебраического уравнения Лурье–Риккати. Частичное решение данной проблемы дает существующая теория возмуще- ний уравнения Лурье–Риккати [6, 7]. Однако ее методы позволяют определить лишь достаточно узкую область допустимых изменений параметров и, кроме то- го, требуют больших вычислительных затрат. Здесь предлагается альтернативный путь решения проблемы — непосредственный пересчет известных вариаций ис- ходных параметров задачи в вариации синтезируемого управления минуя явное решение уравнения Лурье–Риккати. Данный подход основывается на новых ре- зультатах в области параметризации этого уравнения [8]. 1. Постановка задачи. Рассматривается линейный стационарный объект .,,),()(,)(),()()( 00 msn yuxtCxtyxtxtButAxtx ℜ∈ℜ∈ℜ∈==+= (1) Здесь )(tx — вектор состояния объекта, 0x — его начальное состояние, )(ty — вектор управляемого выхода объекта, )(tu — вектор управления, A, B, C — по- стоянные вещественные матрицы. Утверждается [1, 2], что если пара ),( BA управляема, а пара ),( CA наблю- даема, то существует статический оптимальный закон управления ),()( optopt txKtu −= (2) который минимизирует квадратичный функционал ,)( 2 1 0 TT dtRuuDyyJ t ∫ ∞ += ,0T ≥= DD ,0T >= RR (3) и делает замкнутую систему (1), (2) асимптотически устойчивой. При этом опти- мальный коэффициент усиления PBRK T1 opt −= (4) Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 117 определяется единственным положительно-определенным решением 0T >= PP матричного алгебраического уравнения Лурье–Риккати ,T QPGPPAPA −=−+ ,T1BBRG −= .T CDCQ = (5) Ключевой момент синтеза регулятора (2) в вычислительном плане — реше- ние уравнения (5). Очевидно, что при любых изменениях числовых матриц объек- та (1), например представленных в аддитивном виде ,AAA ∆+=  ,BBB ∆+=  (6) в общем случае требуется решать новое уравнение ,0, TT1T >=−=−+ − PPQPBRBPPAAP  (7) и вычислять новый оптимальный коэффициент .T1 opt PBRK  −= (8) Для уменьшения вычислительных затрат предлагается использовать вместо этого обратную связь с передаточной матрицей ,comp T1 KPBRK += −  (9) которая в общем случае не совпадает с матрицей (8). Задача дополнительного компенсационного регулятора )()( compcomp txKtu −= состоит в том, чтобы для системы «объект управления — компенсационная обратная связь» обеспечить неизменность решения P уравнения Лурье–Риккати ,0,)()( TT compcomp >=−=−−+− PPQPGPPKBAKBAP  (10) которое заменяет уравнение (5). Надо подчеркнуть, что такая постановка задачи сводит линейно-квадратич- ную оптимизацию к некоторому приближению. Вместе с тем более простое в вы- числительном отношении управление на основе (9) может давать приемлемое для практики приближенное решение. 2. Методическая основа решения. При решении задачи использован аппа- рат канонизации матриц и результаты параметризации уравнения Лурье–Риккати. Канонизация [9] произвольной матрицы A размера nm× и ранга r ставит ей в со- ответствие в общем случае неединственную пятерку матриц, включающую левый LA и правый RA делители нуля максимального ранга, левый LA~ и правый RA~ канонизаторы, а также сводный канонизатор ,~A т.е. ).,~,~,~,( )()( R rnn R rnmn L mr L mrmnm AAAAAA −×××××−× → Данные матрицы удовлетворяют равенствам ,~,~~~, 00 0 ]~[ ~ )()()( )( AAAAAAA I AAA A A LR rnrmrrm rnrrRR L L ==         =         −×−×− −× (11) из которых следуют их свойства. 118 ISSN 0572-2691 В работе также используется повторная канонизация делителей нуля макси- мального ранга, для которой справедливы утверждения ).0,0,)(,)(,~(),~,)(,)(,0,0( LRLRLRRRLRLL AAAAAAAAAA →→ (12) Здесь конструкция RLA )( означает правый делитель единицы левого делителя нуля максимального ранга для матрицы A. Метод канонизации матриц использован для получения аналитического ре- шения различных матричных алгебраических уравнений [9–11]. Формулы реше- ния используемых в работе уравнений сведены в таблицу, где ϕ , λ , ρ — произ- вольные матрицы подходящих размеров, ,Tµ−=µ Tη−=η — произвольные ко- сосимметрические матрицы подходящих размеров, π — произвольная матрица, не изменяющая ранг произведения. Фигурными скобками обозначаются множества, а нижними индексами при фигурных скобках — порождающие их параметры. Таблица Вид уравнения Условие разрешимости Формульное представление Название Формула Левостороннее BAX = 0=BA L ϕ+=ϕ RABAX ~}{ Левостороннее ко- сосимметрическое BAX = TXX −= ,0=BA L TT ABBA −= TTTTT )(~~~~}{ RR AAAABAABBAX µ++−=µ Правостороннее BXC = 0=RCB LCCBX λ+=λ ~}{ Для делителя нуля 0=BX L Разрешимо всегда πρ=πρ ])([}{ T , LRL BBX Обертывающее симметрическое T TT , QQ QAXAX = =+ ,0)~( T =LL AQA 0)( T =LL AQA ϕ+      η+=ϕη RAAAAQAX TT , ~ 2 1~}{ Параметризация уравнения Лурье–Риккати (5) определяет все множество матриц уравнения ,}{,}{, 2 1 2 1}{ 1 ,, ϑ=σ=η−ϑ−σ= ϑσ − ηϑσ QGPPPA (13) при которых его решение остается неизменным [8]. Здесь σ и ϑ — произвольные неотрицательно-определенные симметрические, а η — произвольная кососиммет- рическая матрицы, вместе удовлетворяющие условию .0)( 2 1det 1 ≠      η+σ+ϑ− PPP (14) Таким образом, при определенной согласованности параметрических возму- щений модели объекта (1) синтез нового оптимального управления может не тре- боваться. Вместо него возможно использование компенсации параметрических возмущений и синтеза приближенного оптимального управления по формуле (9), который требует незначительного объема вычислений. Необходимо отметить, что во всех случаях текущие значения параметров объекта управления должны быть известны. 3. Компенсация параметрических возмущений. Пусть объект (1) подверга- ется возмущениям вида (6). Результаты синтеза компенсационных регуляторов представлены следующими теоремами. Теорема 1. Задача компенсации возмущений матрицы собственной динами- ки A объекта (1) для реализации приближенного оптимального управления с функционалом (3) разрешима при помощи компенсационной обратной связи Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 119 )()( compcomp txKtu AA −= в том и только в том случае, если для возмущенной матрицы A  выполняется условие 0)()( T1T1T1 =+−+ −−− LL BPQPBPBRPAAPPB  (15) или возмущенная матрица A  принадлежит множеству ,~)( 2 1)(}{ TT11T ,, ρ+ϑ+      µ+−= −− ρϑµ RRLLL BBPBBPBQPPBA  (16) где LRLL BBB )(= — приведенный левый делитель нуля, µ — произвольная ко- сосимметрическая матрица размера .nn× Все множество соответствующих ком- пенсационных регуляторов представляется формулой ,}{ 2 1 2 1~}{ 1T1 ,comp ϕ+      η++−= κ −− ϕκ R A BPQPPBBRABK  (17) где η — кососимметрическая матрица из множества −+−=η −−− κ T11 2 1T1 ))()((}{ LL n BQPPAPBI  ,)~(~ 2 1 T111 RRL BBBBQPPPAB κ+      +− −−− (18) удовлетворяющая условию ,0)( 2 1det 1T1 ≠      η++ −− PQPPBBR (19) κ — произвольная кососимметрическая матрица размера ;rankrank BB × ϕ , ρ и ϑ — произвольные матрицы подходящих размеров. Доказательство теоремы приведено в Приложении. Теорема 2. Задача компенсации возмущений матрицы эффективности управ- ления B объекта (1) для реализации приближенного оптимального управления с функционалом (3) разрешима при помощи компенсационной обратной связи )()( compcomp txKtu BB −= в том и только в том случае, если для возмущенной матрицы B  выполняется условие 0T1 =− BBRB L (20) или возмущенная матрица B  принадлежит множеству ,])([}{ TT1T1 , ϕκ= −− ϕκ LRL BBRBBRB  (21) где κ — произвольная матрица размера ),rank()rank( BnBn −×− ϕ – произволь- ная матрица подходящего размера, при которой ранг произведения равен рангу первого сомножителя. Все множество соответствующих компенсационных регу- ляторов определяется формулой ,)()( 2 1}{ T1T1~ comp π+−= −− π R B BPBRBBBRBK  (22) где π — произвольная матрица размера .)rank( nBn ×− 120 ISSN 0572-2691 Доказательство теоремы приведено в Приложении. В распространенном частном случае отсутствия у матрицы B правых делите- лей нуля формула (22) уступает место формуле ,])([}{ T , ϕκ=ϕκ LBBB  (23) имеющей более простую структуру. 4. Обобщение результатов. Рассмотрим множества возмущенных матриц объекта }{ nnA RA ×∈=Ε  и }.{ mnB RB ×∈=Ε  Основываясь на полученных выше результатах, разделим данные множества на три группы (подмножества). К первой группе относятся подмножества параметризации (13): . },,,0 , 2 1 2 1:{ p T1 1T1 p ∅=Ε Λ∈η∈≥ η−−=∈=Ε ×− −−× B nmn nnA RBBRB PQPPBRBARA   (24) Здесь nΛ — множество кососимметрических матриц размера .nn× Для подмно- жеств (24) компенсационный регулятор не требуется, а оптимальный ЛКР, обес- печивающий минимум функционалу (3), определяется формулой ,T1 opt PBRK −= (25) т.е. не требует пересчета уравнения Лурье–Риккати. Пустое множество B pΕ озна- чает, что возможно только согласованное изменение матрицы B. Вторую группу составляют компенсируемые подмножества: }.0:{ },,0 ,0)()(:{ T1 c T1 T1T1T1 c =∈=Ε ∈≥ =+−+∈=Ε −× ×− −−−× BBRBRB RBBRB BPQPBRBPPAAPPBRA LmnB mn LLnnA    (26) Для подмножеств (26) необходимы компенсационные регуляторы, определяемые формулами (17) и (22) соответственно. Общий коэффициент передачи в обратной связи, приближенно реализующий оптимальное управление в смысле функциона- ла (3), определяется формулой (9) и также не требует пересчета уравнения Лурье– Риккати. Необходимо подчеркнуть, что вычислительные затраты на реализацию компенсационного регулятора в основном определяются операцией канонизации номинальных матриц объекта, осуществляемой на подготовительном этапе синте- за один раз. Нетрудно показать, что компенсируемые подмножества шире под- множеств параметризации, т.е. справедливы утверждения ,cp AA Ε⊂Ε .cp BB Ε⊂Ε Третья группа — подмножества некомпенсируемых возмущений: }.:{,}:{ c B ncn BmnAnnA BRBARA Ε∉∈=ΕΕ∉∈=Ε ××  (27) Для подмножеств (27) оптимальный коэффициент передачи, доставляющий ми- нимум функционалу (3), определяется формулой (8), в которой используется но- вое решение P  уравнения Лурье–Риккати (7). Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 121 5. Числовой пример. Пусть матрицы объекта (1) и функционала (3) имеют значения .,, 10 01 00 , 100 000 100 32 IQIRBA ==         =         = Рассмотрим возмущения только матрицы A. По формуле (П.1), приведенной в Приложении, определим подмножество параметризации. В данном случае про- извольная кососимметрическая матрица η имеет структуру , 0 0 0 32 31 21           η−η− ηη− ηη =η а трехпараметрическое множество параметризации описывается формулой . 10 132 5 3 302 3 10 1 10 3 }{ 232 3131 212               η+ηη+ η−ηη−η η−−η−η−− =ηA  Выполним необходимые промежуточные вычисления:         =   ==== 000 000 001 ,100 010~~,1~,]001[ LLRL BBBBB , . 0 0 1 )(         =RLB Тогда все компенсируемое подмножество возмущенных матриц ,A  парамет- ризованное матрицами ],[ 21 ϑϑ=ϑ         ρρρ ρρρ =ρ 654 321 ,       κ− κ =κ 0 0 с произвольными элементами, определяется формулой . 3 5 1 5 2 }{ 654 321 212 ,,               ρρρ ρρρ ϑ+−ϑϑ+− =ρϑµA  Полученные результаты подтверждают высказанное ранее утверждение о том, что компенсируемое подмножество содержит в себе подмножество парамет- ризации. Все множество соответствующих компенсационных регуляторов определяет- ся формулой (17), которая здесь принимает следующий вид: . 5 7 5 42 32 }{ 62542 31211 ,,comp         −ρ+ϑκ−ρ−ρ+ϑ κ+ρ+ϑρκ+ρ+ϑ =κρϑAK Исследуем различные управления для рассматриваемого объекта с точки зрения обеспечения минимума функционала (3). Пусть возмущенная матрица ди- намики имеет вид . 00 000 100 6         ρ =A  122 ISSN 0572-2691 Рассмотрим три варианта синтеза регуляторов. Графики зависимостей значе- ния функционала (3) при начальных условиях ]111[0 =x от вариаций элемента 6ρ возмущенной матрицы A  для каждого варианта представлены на рисунке. −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 6 7 8 9 10 11 12 13 J 2 ρ6 3 2 1 Первый вариант (кривая 1) — оптимальный регулятор, синтезируемый для каждого значения возмущенной матрицы A  заново по формулам (7), (8). Второй (кривая 2) — приближенный оптимальный регулятор, синтезируемый по форму- ле (9), где . 100 000 06 compcomp =κ       −ρ == AKK Третий (кривая 3) — регулятор, синтезированный изначально по формулам (3), (4) для номинальной матрицы A. Кривая 1 соответствует минимальному значению функционала (3) для каж- дого значения возмущенной матрицы .A  Из рисунка следует, что приближенный синтез оптимального управления по формуле (9) дает удовлетворительные ре- зультаты в достаточно широком диапазоне изменения возмущенного параметра (кривая 2), в то время как отсутствие компенсации приводит к большим расхож- дениям в значении функционала (кривая 3). Приложение Доказательство теоремы 1. В случае возмущения только матрицы A объекта управления, согласно следствию 1 из [8], при фиксированных значениях матриц G и Q множество параметризации принимает вид PQPGPA η−−= − η 1 2 1 2 1}{ (П.1) и для его элементов решение уравнения (5) и значение оптимального управления (4) остаются неизменными. Из (П.1) с учетом (10) получаем равенство , 2 1 2 1 1 comp PQPGPBKA A η−−=− − Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 123 которое в форме левостороннего уравнения относительно матрицы передачи ком- пенсационного регулятора АKcomp принимает вид . 2 1 2 1 1 comp PQPGPABK A η++−= − (П.2) В соответствии с таблицей его условие разрешимости описывается выражением ,0 2 1 2 1 1 =      η++− − PQPGPAB L  (П.3) которое рассмотрим в качестве уравнения       −−=η −−− 111 2 1 2 1 PAQPPGBB LL  (П.4) для кососимметрической матрицы η с учетом обратимости матрицы P. Согласно таблице уравнение (П.4) имеет кососимметрическое решение, если и только если выполняются два условия разрешимости. Первое из них ,0 2 1 2 1 111 =      −− −−− PAQPPGBB LLL  с учетом свойств (12) повторных делителей нуля, выполняется всегда. Второе же условие принимает вид равенства .0)()( T1T1 =+−+ −− LL BPQPGPPAAPPB  (П.5) При выполнении равенства (П.5) решение уравнения (П.4) для кососиммет- рической матрицы η, согласно таблице, с использованием обозначения приве- денного левого делителя нуля L B принимает вид множества (18), вынесенного в формулировку теоремы. В случае выбора кососимметрической матрицы η из множества (18) решение уравнения (П.2) в соответствии с таблицей записывается формулой (17), вынесен- ной в формулировку теоремы. Теперь определим множество всех компенсируемых матриц A  собственной динамики объекта. Для этого перепишем (П.5) в виде равенства ,)()()( T11TT1T1 LLLLLL BQPPBBAPBBPAB −−−− −=+  (П.6) которое можно рассматривать как обертывающее симметрическое уравнение ,TT sss QAXXA =+ (П.7) где использованы обозначения ,L s BA = ,)( TT1 LBAPX −= .)( T11 LL s BQPPBQ −−−= (П.8) Условия разрешимости уравнения (П.7), согласно таблице, с учетом (П.8) и свойств (12) повторных делителей нуля выполняются всегда. В соответствии с таблицей формулу решения уравнения (П.7) ,~ 2 1~}{ TT , ϑ+      µ+=ϑµ R ssssss AAAAQAX учитывая (П.8) и обратимость матрицы P, можно записать как правостороннее матричное уравнение ϑ+µ+−= −− PBBBPBQPPBPBA LLLLL TT11TT )()( 2 1)(  (П.9) 124 ISSN 0572-2691 для возмущенной матрицы .TA  Здесь μ — произвольная кососимметрическая матрица, ϑ — произвольная матрица. Поскольку по определению матрица LB содержит только линейно независимые строки, то с учетом ее транспонирования уравнение (П.9) разрешимо всегда. Все множество решений, согласно таблице, записывается формулой +µ+−= −− ρϑµ TT11 ,, T )()( 2 1}{ LLLL BBPBQPPBPA  ,)~())(( TTT RRL BBBPB ρ+ϑ+ (П.10) где ρ — произвольная матрица подходящего размера. Окончательно все множество компенсируемых матриц собственной динами- ки объекта управления определяется формулой (16), вынесенной в формулировку теоремы. Теорема доказана. Доказательство теоремы 2. Анализ формул параметризации (13) показывает, что при фиксированной матрице Q любое возмущение матрицы B, удовлетворя- ющее условию неотрицательной определенности ,0T1 ≥− BRB  может быть ком- пенсировано одновременным изменением матрицы собственной динамики по формуле , 2 1 2 1 1T1 PQPPBRBA η−−= −−  (П.11) где η — произвольная кососимметрическая матрица. Для выделения только компенсирующего изменения матрицы A вычтем (П.1) из (П.11). В результате получаем формулу для эквивалентного приращения мат- рицы собственной динамики объекта ,)( 2 1 T1T1 PBBRBRBAB −− −=∆  (П.12) подлежащего компенсации обратной связью в соответствии с равенством (7). Со- ответствующие подстановки позволяют получить уравнение для компенсацион- ной обратной связи .)( 2 1 T1T1 comp PBRBBBRKB B  −− −= (П.13) Условие разрешимости этого левостороннего уравнения с учетом обратимо- сти матрицы P записывается в виде равенства (20), вынесенного в формулировку теоремы. В свою очередь, (20) можно рассматривать как левостороннее уравнение относительно матрицы ,B  записанное в терминах ее левого делителя нуля макси- мального ранга. Согласно таблице, это уравнение всегда разрешимо, и его реше- ние с точностью до комбинирования столбцов записывается формулой (21), выне- сенной в формулировку теоремы. При выполнении условия (20) решение левостороннего уравнения (П.13) отно- сительно матрицы передачи компенсационного регулятора BKcomp в соответствии с таблицей записывается формулой (22), вынесенной в формулировку теоремы. Теорема доказана. Проблемы управления и информатики, 2006, № 1–2 125 В.М. Буков, М.І. Сельвесюк КОМПЕНСАЦІЯ ЗБУРЕНЬ У ЛІНІЙНІЙ ОПТИМАЛЬНІЙ СИСТЕМІ НА ОСНОВІ ПАРАМЕТРИЗАЦІЇ РІВНЯННЯ ЛУР’Є–РІККАТІ Запропоновано метод компенсації параметричних збурень у системі з лінійно- квадратичним регулятором, оснований на наближеному перерахуванні оптимі- заційної задачі, що не потребує нового розв’язання рівняння Лур’є–Ріккаті. Для компенсації параметричних збурень об’єкта керування пропонується викорис- товувати додатковий зворотний зв’язок за станом — компенсаційні регулятори. На основі результатів параметризації матричного алгебраїчного рівняння Лур’є–Ріккаті визначено всю множину збурень, що компенсуються, і відповід- ну йому множину компенсаційних регуляторів. V.N. Bukov, N.I. Selvesyuk COMPENSATION OF PERTURBATIONS OF LINEAR OPTIMAL SYSTEM ON THE BASIS OF PARAMETRIZATION OF LOURIE–RICCATI EQUATION The method of compensation of parametrical perturbations in control system with the linear-quadratic regulator, based on the approximate recalculation of the optimal problem, not demanding the new solution of Lourie–Riccati equation is offered. For compensation of parametrical perturbations of controlled object it is offered to use an additional state feedback termed the compensating controller. On the basis of results of parametrization of matrix algebraic Lourie–Riccati equation the whole set of com- pensated perturbations and the corresponding set of compensating controller is de- termined. 1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое кон- струирование. — М. : Наука, 1973. — 650 с. 2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ. — М. : Мир, 1977. — 650 с. 3. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М. : Наука, 1975. — 322 с. 4. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Возможные подходы к решению трудных задач линейной тео- рии управления // Пленарные докл. III Междун. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’04. — М. : ИПУ РАН, 2004. — С. 23–63. 5. Буков В.Н. Адаптивные оптимальные системы управления полетом. — М. : Наука, 1977. — 230 с. 6. The Riccati equation / Ed. by S. Bittanti, A.J. Laub, J.C. Willems. — Berlin : Springer-Verlag, 1991. — 338 p. 7. Sun J.-G. Perturbation theory for algebraic Riccati equations // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 1998. — 19. — P. 39–65. 8. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Сельвесюк Н.И. Параметризация уравнения Лурье–Риккати // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2005. — № 4. — С. 80–87. 9. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В. Основы технологии вложения систем // Пленар- ные докл. III Междун. конф. «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO’04. — М. : ИПУ РАН, 2004. — С. 92–112. 10. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Косьянчук В.В., Зыбин Е.Ю. Решение линейных матричных уравнений методом канонизации // Вестн. Киевск. нац. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. — 2002. — Вып. 1. — С. 19–28. 11. Буков В.Н., Рябченко В.Н., Сельвесюк Н.И. Решение специальных матричных уравнений методом канонизации // Там же. — 2004. — Вып. 3. — С. 18–26. Получено 30.09.2005

Компенсация возмущений в линейной оптимальной системе на основе параметризации уравнения Лурье–Риккати

Institution

Ähnliche Einträge