Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях

Розглянуто нові задачі оптимального керування термонапруженим станом тіла при заданих напругах на його границі. Для цієї розподіленої системи з багатозначним оберненим оператором стану побудовано математичні моделі, що однозначно визначають стан тіла. Доведено існування єдиних оптимальних керувань с...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206874
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 5-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206874
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2068742025-09-26T00:13:59Z Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях Оптимальне керування термонапруженим станом тіла при заданих напругах Optimal control of a thermally stressed state for a body under specified stresses Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто нові задачі оптимального керування термонапруженим станом тіла при заданих напругах на його границі. Для цієї розподіленої системи з багатозначним оберненим оператором стану побудовано математичні моделі, що однозначно визначають стан тіла. Доведено існування єдиних оптимальних керувань системи з різними квадратичними функціоналами вартості. The paper considers new problems concerned with optimal control of a thermally stressed state for a body with specified stresses on its boundaries. For such a distributed system with a multivalue inverse state operator, mathematical models are constructed that uniquely specify a body state. The paper proves existence of unique optimal controls for a system with different quadratic cost functionals. 2006 Article Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 5-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206874 519.6 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях Проблемы управления и информатики
description	Розглянуто нові задачі оптимального керування термонапруженим станом тіла при заданих напругах на його границі. Для цієї розподіленої системи з багатозначним оберненим оператором стану побудовано математичні моделі, що однозначно визначають стан тіла. Доведено існування єдиних оптимальних керувань системи з різними квадратичними функціоналами вартості.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях
title_short	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях
title_full	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях
title_fullStr	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях
title_full_unstemmed	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях
title_sort	оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206874
citation_txt	Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 5-30. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv optimalʹnoeupravlenietermonaprâžennymsostoâniemtelaprizadannyhnaprâženiâh AT dejnekavs optimalʹnoeupravlenietermonaprâžennymsostoâniemtelaprizadannyhnaprâženiâh AT sergienkoiv optimalʹnekeruvannâtermonapruženimstanomtílaprizadanihnaprugah AT dejnekavs optimalʹnekeruvannâtermonapruženimstanomtílaprizadanihnaprugah AT sergienkoiv optimalcontrolofathermallystressedstateforabodyunderspecifiedstresses AT dejnekavs optimalcontrolofathermallystressedstateforabodyunderspecifiedstresses
first_indexed	2025-09-26T01:21:38Z
last_indexed	2025-09-27T01:11:27Z
_version_	1844377537385332736
fulltext	© И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2006 Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 519.6 И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕРМОНАПРЯЖЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ ТЕЛА ПРИ ЗАДАННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 1. Задача о термонапряженном состоянии составного тела. Предположим, что в ограниченной связной строго липшицевой области 3R∈Ω определена си- стема [1, 2] уравнений термоупругого равновесия ,3,1),( );(3 1 == ∂ θσ∂ − ∑ = ixf x y i k k ik (1) где ),,,( 321 xxxx = ),();( 0 3 1, lmlmiklm ml ikikki cy ε−ε=θσ=σ=σ ∑ = ikσ — компонен- ты тензора напряжений; компоненты )(ylmlm ε=ε тензора деформаций определя- ются при помощи выражений , 2 1)(       ∂ ∂ + ∂ ∂ =ε l m m l lm x y x y y ,))(),(),(( T 321 xyxyxyy = )(xyi — проекция вектора смещений у на і-ю ось декартовой системы координат; 0 lmε — компоненты тензора деформаций, вызванных изменением 0TT −=θ тем- пературы Т от начального состояния .0T Когда материал упруго- и теплоизотроп- ный, то полагают [1, 2] ,00 lmlmlm l δαθ=δ=ε α — коэффициент теплового расши- рения, lmδ — символ Кронекера, iklmc — упругие постоянные материала обла- сти Ω, удовлетворяющие условиям ,limklmikiklm ccc == .0const, 3 1, 0 2 0 3 1,,, ∑∑ == >=αεα≥εε ki iklmikiklm mlki c (1′) На области Ω изменение температуры θ удовлетворяет уравнению , 3 1, f x k x j ij iji =        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑ = (2) где ),(xkk jiij = .0const, 3 1 0 2 0 3 1, ∑∑ == >=αξα≥ξξ i ijiij ji k (2′) 6 ISSN 0572-2691 На границе Γ области Ω заданы краевые условия ,3,1),(),cos();( 3 1 ==θσ∑ = ixgxny i k kik (3) ;ϕ=θ (4) здесь n — орт внешней нормали (внешняя нормаль) к Γ. Легко видеть, что если T),( θ= yY — классическое решение краевой задачи (1)–(4), то T)0,(сY + — также классическое решение этой задачи (с — произ- вольная постоянная). Если Y — классическое решение краевой задачи (1)–(4), то Y — также пред- ставляет собой решение краевой задачи, заданной уравнением (2), краевым усло- вием (4) и системами равенств ,3,1),;( )(3 1 =θ′= ∂ σ′∂ − ∑ = ixf х y i k k ik (5) ,3,1),;(),cos()( 3 1 =θ′=σ′∑ = ixgxny i k kik (6) где .),cos()();( ,)();( 3 1 0 3 1, 3 1 3 1, 0 ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ε+=θ′ ∂ ε∂ −=θ′ k klmiklm ml ii k ml k lm iklmii xncxgxg х cxfxf (6′) Известно, что если при фиксированном θ = θ(х) (θ — единственное решение задачи (2), (4)) у = у(х) — решение краевой задачи (5), (6), то оно неединственное и для его существования необходимо, чтобы функции ,}{ 3 1=′=′ iiff 3 1}{ =′=′ iigg удовлетворяли ограничениям ,0,0 =Γ′×+′×=Γ′+′ ∫∫∫∫ ΓΩΓΩ dgrdxfrdgdxf (7) где r = r(х) — радиус-вектор точки ,Ω∈х а знак «×» обозначает векторное про- изведение векторов. Следуя [3, 4], единственное решение у = у(х) задачи (5), (6) при фиксированном θ выделим при помощи ограничений .0,0 =×= ∫∫ ΩΩ dxуrdxу (8) Обозначим ,0,0:0         =×=∈= ∫∫ ΩΩ dxvrdxvVvV },3,1),(:))(),(),(({ 1 2321 =Ω∈== iWvxvxvxvvV i где )(1 2 ΩW — пространство функций Соболева, определенных на области Ω. Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 7 Пусть ),( θ= yY — классическое решение краевой задачи (1)–(4) (краевой задачи (2), (4)–(6)). Тогда 0 T 21 ),( Hzzz ∈=∀ оно удовлетворяет тождествам ),;(),( 11 zlzya θ= (9) ),(),( 2020 zlza =θ (10) где },0:)()({, 1 20000 =Ω∈=ΘΘ×= ΓvWхvVH .),()(,),(),();( ,),(,)()(),( 220)(211 3 1, 2 201 3 1,,, 1 2 zfzlzgzfzl dx x z x kzadxzyczya L ji ij ijiklmiklm mlki =′+′=θ ∂ ∂ ∂ θ∂ =θεε= Γ Ω =Ω = ∫ ∑∫ ∑ (10′) Определение 1. Обобщенным решением краевой задачи (1)–(4) называет- ся вектор-функция ,HY ∈ которая 0Hz∈∀ удовлетворяет системе тождеств (9), (10), где ,0 Θ×=VH }.:)()({ 1 2 ϕ=Ω∈=Θ ΓvWxv Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Краевая задача (1)–(4) имеет единственное обобщенное решение Y в непустом множестве Н. Доказательство. На основании леммы Лакса–Мильграма [5] легко устано- вить существование решения Θ∈θ задачи (10) — обобщенного решения краевой задачи (2), (4). На основании полученного решения θ, используя выражения (6′), определим функции gf ′′, — правые части равенств (5) и (6) соответственно. Тем самым мы определяем [3, 4, 6–9] единственное решение );( хyу θ= задачи (9) — единствен- ное обобщенное решение краевой задачи (5), (6), (8), или, что то же самое — зада- чи (1), (3), (8), где θ — единственное обобщенное решение краевой задачи (2), (4). Теорема доказана. 2. Управление массовыми силами с наблюдением за смещениями по всему телу. Пусть задано пространство управлений — гильбертово простран- ство U и отображение ),;( VB ′∈ UL где V ′ — пространство, двойственное к гильбертовому пространству состояний .0V Примем ,))(( 3 2 Ω= LU ,uBu ≡ где ).()()())(( 222 3 2 Ω×Ω×Ω=Ω LLLL Определим для каждого управления U∈u состояние )();,( uyuxy =θ= си- стемы, где )(uy — первая компонента обобщенного решения HyY ∈θ= ),( кра- евой задачи, заданной системой уравнений ,,3,1, );(3 1 Ω∈=+= ∂ θσ∂ − ∑ = xiuf x y ii k k ik (11) равенствами (2)–(4) и ограничениями (8). Зададим наблюдение ),()( uyCuZ = (12) где HHL ),;( 0VC ∈ — некоторое гильбертово пространство. Примем .))((),()( 3 2 Ω== LuyuyC H 8 ISSN 0572-2691 Поставим в соответствие каждому управлению U∈u значение функционала стоимости ,),()()( 2 UH N uuzuyCuJ g +−= (13) где T 321 ),,( gggg zzzz = — известный элемент пространства H, .,0const,),(),;( 0 2 0 UNUULN UU ∈∀>=νν≥∈ uuuu Будем считать, что ,uau =N где ,)(0 10 ∞<≤≤< axaa );(Ω∈Ca ,0a const.1 =a Определение 2. Обобщенным решением краевой задачи (11), (2)–(4), (8) при каждом управлении U∈u называется вектор-функция ,HY ∈ которая 0Hz ∈∀ удовлетворяет тождествам ),;,(),( 11 zulzya θ= (14) ),(),( 2020 zlza =θ (15) где билинейные формы ),(),,( 0 ⋅⋅⋅⋅ aa и функционал )(0 ⋅l определены соответ- ствующими выражениями (10′), а также ∫ ∑ Ω = εδθα++=θ .)(),();,( 1 3 1,,, 11 dxzczиfzul iklmiklm mlki Теорема 2. Каждому управлению U∈u соответствует единственное состоя- ние — функция ,)( 0Vuyy ∈= обеспечивающая на 0V минимум функционала );,(2),()Ф( vulvvav θ−= (16) и представляющая собой единственное в 0V решение задачи в слабой постановке: найти элемент ,0Vy∈ удовлетворяющий тождеству ,);,(),( 0Vvvulvya ∈∀θ= (17) где θ — единственная функция из Θ, обеспечивающая на Θ минимум функционала )(2),()(Ф 000 wlwwaw −= (18) и представляющая собой единственное в Θ решение задачи в слабой постановке: найти элемент ,Θ∈θ удовлетворяющий тождеству .)(),( 000 Θ∈∀=θ wwlwa (19) Справедливость теоремы устанавливается на основании леммы Лакса− Мильграма [5] после поочередного рассмотрения в соответствии с [10–12] задачи (2), (4), а затем задачи (11), (3), (8). Замечание 1. Для существования решения )(uyy = эквивалентных задач (16), (17) при фиксированных и, θ выполнение необходимых условий ,0,0 =Γ′×+′′×=Γ′+′′ ∫∫∫∫ ΓΩΓΩ dgrdxfrdgdxf ,uff +′=′′ (20) существования классического решения краевой задачи (11), (3), (8), что служит аналогом условий (7) краевой задачи (1), (3), (8), не требуется. Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 9 Пусть )(),( uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из 0V эквивалентных задач (16), (17) при функции ),(xuu = равной соответственно ,, uu ′′′ при фиксированном един- ственном решении θ эквивалентных задач (18), (19). На основании [8, 13] получаем ,~~)~~,~~(~~~~ 2 0 2 0 yyuuyyyyayyyy V ′′−′′′−′≤′′−′′′−′≤′′−′α′≤′′−′α′ т.е. ,1~~ 0 uuyy ′′−′ α′ ≤′′−′ (21) где ,0const0 >=α′ ,),( 2/1ϕϕ=ϕ . 2/1 3 1 3 1, 2 2                             ∂ ϕ∂ +ϕ=ϕ ∫ ∑ ∑ Ω = = dx xi ji j i iV Неравенство (21) обеспечивает непрерывность на U линейного функциона- ла L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π представления 2)0()(2),()( yzuLuuuJ g −+−π= (22) функционала стоимости ),,()()( 2 uuazuyuJ g +−= (23) где ),,())0()(),0()((),( vuayvyyuyvu +−−=π )).0()(),0(()( yvyyzvL g −−= С учетом (21) на основании [14, гл. 1, теорема 1.1] доказана справедливость такого утверждения. Теорема 3. Пусть состояние )();,( uyuxy =θ= системы определяется как единственное решение эквивалентных задач (16), (17), где θ — единственное ре- шение эквивалентных задач (18), (19). Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества ,∂U для которого ).(inf)( vJuJ v ∂∈ = U (24) Пусть состояние )(uyy = системы определяется как решение задачи: найти элемент ,))(( 31 2 Ω=∈ WVy который Vw∈∀ удовлетворяет при каждом U∈u тождеству ),;,(),( 11 wulwya θ= (25) или задачи: найти элемент ,Vy∈ обеспечивающий на V при каждом U∈u наименьшее значение функционала ),;,(2),()( 111 wulwwaw θ−=Φ (26) где θ — решение эквивалентных задач (18), (19), ,),(),(1 ∫∫∫∫ ΩΩΩΩ ×⋅×+⋅+= dxwrdxzrdxwdxzwzawza ),;,();,(1 wulwul θ=θ (25′) ϕ⋅ψ — евклидово скалярное произведение трехмерных векторов с вещественны- ми элементами. 10 ISSN 0572-2691 Теорема 4. При каждом фиксированном U∈u задачи (25), (26) эквивалент- ны и имеют единственное решение .)( Vuyy ∈= Справедливость теоремы устанавливается на основании леммы Лакса−Миль- грама [5] с учетом неравенства [8] ,)( 2 ,10 22 2 3 1, Ω ΩΩΩ = ≥         ×+         +ε ∫∫∫ ∑ vcdxvrdxvdxvik ki (26′) где ∑ = = 3 1 22 i iaa ,3Ra∈∀ ,0const0 >=c , 2/13 1 2 ,,         = ∑ = ΩΩ l klk vv ,)( 2 \|\| 2 , ∫∑ Ω α ≤α Ω = dxvDv l k kl .,,3,1 3 1321 \|\| 321 ∑ = ααα α α α=α ∂∂∂ ∂ == l l xxx Dl Теорема 5. Если для U∈u выполняются ограничения (20), то задачи (25), (17) эквивалентны. Пусть )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из V эквивалентных задач (25), (26) при функции ),(xuu = равной соответственно ., uu ′′′ На основании (25), соглас- но [11], получаем .~~)~~,~~(~~ 1 2 0 yyuuyyyyayy ′′−′′′−′≤′′−′′′−′≤′′−′α′ Таким образом, установлена непрерывность на U линейного функционала L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π представления (22) функционала стоимости (23). Сле- довательно, доказано утверждение. Теорема 6. Пусть состояние системы при каждом управлении и определяется как решение эквивалентных задач (25), (26), где θ — единственное решение экви- валентных задач (18), (19). Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества ,∂U для которого справедливо выражение вида (24) с функционалом стоимости (23). Предположим, что ∂∈Uu — оптимальное управление состоянием, опреде- ляемым задачей (18), (26) с функционалом стоимости (23). Тогда справедливо не- равенство .0),())()(,)(( ∂∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy g (27) Для управления U∈v сопряженное состояние VVvp =∈ ∗)( зададим как решение задачи: найти элемент ,Vp∈ удовлетворяющей тождеству ,);(),( 11 Vwwylwpa ∈∀′= (28) или задачи: найти элемент ,Vp∈ обеспечивающий на V наименьшее значение функционала ),;(2),()( 111 wylwwaw ′−=Φ′ (29) где билинейная форма ),(1 ⋅⋅a определена выражением (25′), Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 11 ).,();(1 wzywyl g−=′ (30) Лемма 1. При каждом фиксированном 3 2 ))(( Ω∈ Ly задачи (28), (29) эквива- лентны. Их решение ))(()( vypypp == существует и единственно в V. Оптимальное управление ∂∈Uu рассматриваемой оптимизационной задачи определяется тождествами (25), (28) и неравенством (27). В тождестве (28) примем ).()( uyvyw −= Учитывая (25), (28), находим )),()(,)(())()(),((1 uyvyzuyuyvyupa g −−=− или )),()(,)(())(),(())(),(( 11 uyvyzuyuyupavyupa g −−=− т.е. ).,())()(,)(( puvuyvyzuy g −=−− С учетом полученного равенства необходимое условие оптимальности управ- ления и (27) преобразуется к виду .0),( ∂∈∀≥−+ Uvuvuap (31) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu рассматриваемой оптимиза- ционной задачи определяется тождествами (19), (25), (28) и неравенством (31). При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (31) следует .,0 Ω∈=+ xuap (32) Следовательно, в случае отсутствия ограничений посредством (32) можно исключить управление и из тождества (25) или функционала (26) (путем исклю- чения и из функционала )).;,(1 wul θ На основании (19), (25), (28), (32) получаем задачу: найти вектор-функ- цию ,),,( VVpy ×Θ×∈θ которая VVzzzz ×Θ×∈=∀ 0321 ),,( удовлетворяет тождествам ),;,/(),( 111 zaplzya θ−= ),(),( 2020 zlza =θ (33) ).;(),( 3131 zylzpa ′= Решив задачу (33), оптимальное управление u находим при помощи вы- ражения .,/ Ω∈−= xapu (34) 3. Распределенное управление температурным состоянием с наблюдени- ем за смещениями по всему телу. Пусть для каждого управления )(2 Ω=∈ Lu U термоупругое состояние тела определяется равенствами (1), (3), (4), уравнением теплопроводности Ω∈+=        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑ = xuf x k xji j ij i , 3 1, , (35) 12 ISSN 0572-2691 и ограничениями (8). Определение 3. Обобщенным решением краевой задачи (1), (3), (4), (8), (35) при каждом фиксированном U∈u называется вектор-функция ∈θ= ),(yY ,0 Θ×∈V удовлетворяющая 00 Θ×∈∀ Vz тождествам ),;)((),( 11 zиlzya θ= (36) ),;(),( 2020 zulza =θ (37) где билинейные формы ),(),,( 0 ⋅⋅⋅⋅ aa и соответствующие множества определены в п. 1, ,)(),());(( 1 3 1,,, 11 ∫ ∑ Ω = εδθα+=θ dxzczfzиl iklmiklm mlki ).,(),();( 2220 zuzfzul += Теорема 7. Каждому управлению U∈u соответствует единственное состоя- ние — функция ,)( 0Vuyy ∈= доставляющая на 0V минимум функционалу );)((2),()Ф( vиlvvav θ−= (38) и представляющая собой единственное в 0V решение задачи в слабой постановке: найти элемент ,0Vy∈ удовлетворяющий тождеству (36), где θ — единственная функция из Θ, обеспечивающая на Θ минимум функционала );(2),()(Ф 000 wulwwaw −= (39) и представляющая собой единственное в Θ решение задачи в слабой постановке: найти элемент ,Θ∈θ удовлетворяющий тождеству (37). Справедливость теоремы устанавливается, согласно [6−10], на основании леммы Лакса–Мильграма [5] после поочередного рассмотрения задачи (35), (4), а затем — задачи (1), (3), (8). Пусть )(),( uu ′′θ=θ ′′′θ=θ′ — решения эквивалентных задач (37), (39) при функции ),(xuu = равной соответственно ., uu ′′′ Тогда на основании (37), с уче- том условия эллиптичности (2′) и неравенства Фридрихса, получаем ,),(0 2 0 θ ′′−θ′′′−′≤θ ′′−θ′θ ′′−θ′≤θ ′′−θ′α′ uua где .0const0 >=α′ Следовательно, .1 0 uu ′′−′ α′ ≤θ ′′−θ′ (40) Обозначим )(),( uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из 0V эквивалентных задач (36), (38) при функции ),(xuu = равной соответственно U.∈′′′ uu , Тогда на осно- вании (36) с учетом результатов работ [3, 4] и неравенства Коши−Буняковского находим Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 13 =′′−′θ ′′−θ′=′′−′′′−′≤′′−′α′≤′′−′α′ );(),(2 0 2 0 yylyyyyayyyy V ,)()( 0 3 1,,, Viklmiklm mlki yycdxyyc ′′−′⋅θ ′′−θ′′≤′′−′εθ ′′−θ′δα= ∫ ∑ Ω = т.е. .0 θ ′′−θ′′≤′′−′ cyy (41) Используя (40), из (41) получаем .1 uucyy ′′−′≤′′−′ Это неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала )(⋅L и билинейной формы ),( ⋅⋅π представления (22) функционала стоимости (23), соответствующего рассматриваемой оптимизационной задаче. На основании [14, гл. 1, теорема 1.1] доказано следующее утверждение. Теорема 8. Пусть состояние системы определяется как единственное реше- ние эквивалентных задач (36), (38), где θ — единственное для каждого фиксиро- ванного u∈U решение эквивалентных задач (37), (39). Тогда существует един- ственное оптимальное управление u выпуклого замкнутого в U множества ∂U с функционалом стоимости вида (23), заданным применительно к рассматриваемой оптимизационной задаче. Для управления U∈v сопряженное состояние 000),( Θ×=∈θ= ∗∗∗ VHpY определяем как обобщенное решение краевой задачи, заданной равенствами ,3,1,,)( )(3 1 =Ω∈−= ∂ σ∂ − ∑ = ixzvy x p gii k k ik ,,0),cos()( 3 1 Γ∈=σ∑ = xxnp k kik ,,0)( 3 1,,, 3 1, Ω∈=εδα−        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑∑ == ∗ xpc x k x iklmiklm mlkiji j ij i (42) ,,0 Γ∈=θ x ,0,0 =×= ∫∫ ΩΩ dxрrdxр где .)()( 3 1,,, pcp lmiklm mlki ik ε=σ ∑ = Определение 4. Обобщенным решением краевой задачи (42) называется век- тор-функция ,),( ∗∗∗ ∈θ= HpY удовлетворяющая тождествам ,),(),( 0111 Vzzzyzpa g ∈∀−= (43) .0)(),( 022 3 1,,, 2 * 0 Θ∈∀=εδα−θ ∫ ∑ Ω = zdxzpcza iklmiklm mlki (44) 14 ISSN 0572-2691 Справедливо утверждение. Теорема 9. Краевая задача (42) имеет единственное обобщенное решение ,),( ∗∗∗ ∈θ= HpY где 0Vp∈ определяется как единственный элемент, обеспечи- вающий на 0V минимум функционала ),(2),()(Ф wzywwaw g−−=′ (45) и представляющий собой единственное в 0V решение задачи (43), состоящей в отыскании функции ,0Vp∈ удовлетворяющей тождеству (43), а элемент ∗θ век- тор-функции ∗Y определяется как единственная функция, обеспечивающая на 0Θ минимум функционала ∫ ∑ Ω = εδα−=Φ′ dxwpcwwaw iklmiklm mlki )(2),()( 3 1,,, 00 и представляющая собой единственное в 0Θ решение задачи в слабой постанов- ке: найти элемент ,0Θ∈θ∗ удовлетворяющий тождеству (44), где функция р предварительно определена как решение эквивалентных задач (43), (45). Следовательно, выполнение тождеств (36), (37), (43), (44) и неравенства ∂∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy g 0),())()(,)(( (46) является необходимым и достаточным условием существования оптимального управления ∂∈Uu рассматриваемой оптимизационной задачи. Выбирая в (44) вместо 2z разность ),()( uv θ−θ с учетом симметрии били- нейной формы ),(0 ⋅⋅a и тождества (37) из (44) находим ,0)())()(()),()(( 3 1,,, 0 =εθ−θδα−θθ−θ ∫ ∑ Ω = ∗ dxpuvcuva iklmiklm mlki или .0),()())()(( 3 1,,, =θ−+εθ−θδα− ∫ ∑ Ω ∗ = uvdxpuvc iklmiklm mlki (47) Просуммируем попарно левые и правые части равенств (43), (47) и примем ).()(1 uyvyz −= С учетом симметрии билинейной формы ),( ⋅⋅a и равенства (36) получаем −−=−− )),()(())()(,)(( puyvyauyvyzuy g ,),()())()(( 3 1,,, ∫ ∑ Ω ∗ = θ−+εθ−θδα− uvdxpuvc iklmiklm mlki т.е. .),())()(,)(( ∂ ∗ ∈∀−θ=−− Uvuvuyvyzuy g (48) Учитывая полученное равенство, неравенство (46) (необходимое условие оп- тимальности управления u) преобразуем к виду Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 15 .0),( ∂ ∗ ∈∀≥−+θ Uvuvua (49) Таким образом, выполнение соотношений (36), (37), (43), (44) и неравен- ства (49) — необходимое и достаточное условие существования оптимального управления .∂∈Uu При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (49) следует .,0 Ω∈=+θ∗ xua (50) Итак, в случае отсутствия ограничений посредством (50) можно исключить управление )(xuu = из (37). На основании (36), (37), (43), (44), (50) получаем за- дачу: найти вектор-функцию ,),( ∗∗ ×∈ HHYY удовлетворяющую системе тож- деств ,);(),( 0Vvvlvya ∈∀θ= ,),(),( ,);/(),( 0111 000 Vzzzyzpa wwalwa g ∈∀−= Θ∈∀θ−=θ ∗ (51) .0)(),( 022 3 1,,, 20 Θ∈∀=εαδ−θ ∑∫ =Ω ∗ zdxzpcza iklmiklm mlki Решив задачу (51), оптимальное управление u находим при помощи вы- ражения .,/ Ω∈θ−= ∗ хau (52) Если векторное решение ),;,( ∗θθ py задачи (51) достаточно гладкое на ,Ω а именно все его составляющие непрерывны, непрерывно дифференцируемы на Ω и имеют непрерывные ограниченные все вторые частные производные на Ω, то этой задаче соответствует эквивалентная дифференциальная задача отыскания вектор-функции ),,,,( ∗θθ py удовлетворяющей равенствам ,,3,1, );(3 1 Ω∈== ∂ θσ∂ − ∑ = xif x y i k k ik ,,/ 3 1, Ω∈θ−=        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∗ = ∑ xaf x k x j ij iji ,,3,1, )(3 1 Ω∈=−= ∂ σ∂ − ∑ = xizy x p igi k k ik ,,3,1),(),cos();( ,,0)( 3 1 3 1,,, 3 1, Γ∈==θσ Ω∈=εδα−        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑ ∑∑ = = ∗ = xixgxnу xpc x k x i k kik iklmiklm mlkij ij iji (53) 16 ISSN 0572-2691 ,, Γ∈ϕ=θ x ,0,0 =×= ∫∫ ΩΩ dxyrdxy ,0,0 =×= ∫∫ ΩΩ dxрrрdx где .)()(),)(();( 3 1,,, 3 1,,, pcpycy lmiklm mlki iklmlmiklm mlki ik ε=σαθδ−ε=θσ ∑∑ == Решив задачу (53), оптимальное управление находим при помощи выраже- ния (52). Определим билинейную форму 1 1 :),( RVVa →×⋅⋅ соответствующим выра- жением (25′) и линейный функционал 1 1 :);( RVl →⋅θ — выражением .)(),();( 3 1,,, 1 dxwcwfwl iklmiklm mlki εδθα+=θ ∫ ∑ Ω = Рассмотрим следующие задачи. Первая задача состоит в отыскании функции ,Vy∈ которая Vw∈∀ удовле- творяет тождеству .);(),( 11 wlwya θ= (54) Вторая задача состоит в отыскании функции ,Vy∈ доставляющей на V ми- нимум функционалу ),;(2),()( 111 wlvvav θ−=Φ (55) где θ = θ (и) — единственное решение эквивалентных задач (37), (39) при каждом фиксированном U.∈u . С учетом неравенства (26′), согласно [9], на основании леммы Лакса–Мильг- рама легко показать эквивалентность задач (54), (55) и существование их един- ственного решения Vy∈ при каждом фиксированном .Θ∈θ Справедливо утверждение. Теорема 10. При выполнении ограничений (7) для каждого фиксированного Θ∈θ задачи (9), (54) эквивалентны и имеют единственное решение .)( Vуy ∈θ= Пусть )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из V эквивалентных задач (54), (55), где )(~),(~ uu ′′θ=θ ′′=θ′θ=θ′=θ — решения эквивалентных задач (37), (39) при функции и, равной соответственно ., uu ′′′ С учетом неравенства (26′) из (54) получаем =′′−′′′−′≤′′−′α′≤′′−′α′ )~~,~~(~~~~ 1 2 0 2 0 yyyyayyyy V ,~~)~~()( 0 3 1,,, Viklmiklm mlki yycdxyyc ′′−′⋅θ ′′−θ′′≤′′−′εθ ′′−θ′δα= ∫ ∑ Ω = (56) т.е. Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 17 .0const,~~ 00 >=′θ ′′−θ′′≤′′−′ ccyy (57) На основании (37) ,~~)~~,~~(~~~~ 0 2 0 2 0 θ ′′−θ′′′−′≤θ ′′−θ′θ ′′−θ′≤θ ′′−θ′α′≤θ ′′−θ′α′ Θ ииa т.е. .0const,1~~ 0 0 >=α′′′−′ α′ ≤θ ′′−θ′ ии (58) Учитывая (58), из (57) получаем .~~ 1 uucyy ′′−′≤′′−′ (59) Это неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала )(⋅L и билинейной формы ),( ⋅⋅π представления вида (22) функцио- нала стоимости (23), соответствующего рассматриваемой оптимизационной зада- че. С учетом (59) на основании [14, гл. 1, теорема 1.1] доказана справедливость утверждения. Теорема 11. Пусть состояние системы ),( θ= yY при каждом управлении u определяется как единственное решение задачи (54), (37). Тогда существует един- ственный элемент u выпуклого замкнутого в U множества ,∂U для которого справедливо выражение (24) с функционалом стоимости вида (23), соответству- ющего рассматриваемой оптимизационной задаче. Предположим, что ∂∈Uu — оптимальное управление состоянием ),(uyy = определяемым эквивалентными задачами (54), (55), где функция )(uθ=θ предва- рительно определена как единственное решение эквивалентных задач (37), (39). Тогда справедливо неравенство .0),())()(,)(( ∂∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy g (60) Следовательно, выполнение тождеств (37), (54) и неравенства (60) — необ- ходимое и достаточное условие того, чтобы ∂∈Uu было оптимальным управле- нием рассматриваемой оптимизационной задачи. Для управления U∈v сопряженное состояние 0),( Θ×=∈θ= ∗∗∗ VHpY определим как решение задачи: найти вектор-функцию ∗∗ ∈ HY =∀z ,),( 21 ∗∈= Hzz удовлетворяющую системе тождеств ,),(),( 111 zzyzpa g−= (61) .0)(),( 2 3 1,,, 20 =εδα−θ ∫ ∑ Ω = dxzpcza iklmiklm mlki (62) Теорема 12. Задача (61), (62) при каждом фиксированном Vy∈ имеет един- ственное решение .),( ∗∗∗ ∈θ= HpY Доказательство. При каждом фиксированном Vy∈ в силу неравенства (26′) задача (61) имеет единственное решение .Vр∈ На основании леммы Лакса– 18 ISSN 0572-2691 Мильграма легко показать, что при каждом Vр∈ задача (62) имеет единственное решение .0Θ∈θ∗ Теорема доказана. Выбирая в (62) вместо 2z разность )()( uv θ−θ и учитывая симметрию били- нейной формы ),(0 ⋅⋅a и тождества (37), из (62) получаем ,0)())()(()),()(( 3 1,,, 0 =εθ−θδα−θθ−θ ∫ ∑ Ω = ∗ dxpuvcuva iklmiklm mlki или .0),()())()(( 3 1,,, =θ−+εθ−θδα− ∫ ∑ Ω ∗ = uvdxpuvc iklmiklm mlki (63) Просуммируем попарно левые и правые части равенств (61), (63) и примем ).()(1 uyvyz −= С учетом симметрии билинейной формы ),(1 ⋅⋅a и тождества (61) запишем −−=−− ))()(,())()(,)(( 1 uyvypauyvyzuy g ∫ ∑ Ω ∗ = θ−+εθ−θδα− ),,()())()(( 3 1,,, uvdxpuvc iklmiklm mlki т.е. ).,())()(,)(( ∗θ−=−− uvuyvyzuy g (64) Учитывая полученное равенство, необходимое условие оптимальности уп- равления u (60) преобразуем к виду .0),( ∂ ∗ ∈∀≥−+θ Uvuvua (65) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождествами (37), (54), (61), (62) и неравенством (65). При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (65) следует .,0 Ω∈=+θ∗ xua (66) Итак, в случае отсутствия ограничений, учитывая (66), можно исключить управление )(xuu = из (37). На основании (37), (54), (61), (62) получаем задачу: найти вектор-функцию ,),( ∗∗ ×∈ HHYY удовлетворяющую системе тождеств ,);(),( 11 Vvvlvya ∈∀θ= ,),(),( ,);/(),( 1111 000 Vzzzyzpa wwalwa g ∈∀−= Θ∈∀θ−=θ ∗ (67) .0)(),( 022 3 1,,, 20 Θ∈∀=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zdxzpcza iklmiklm mlki Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 19 Решив задачу (67), оптимальное управление u находим при помощи выра- жения (52). 4. Распределенное управление температурным состоянием с комплекс- ным наблюдением. Пусть для каждого управления )()( 2 Ω=∈= Lхиu U термо- упругое состояние тела определяется равенствами (1), (3), (4), (35) и ограни- чениями (8). Обобщенная задача, соответствующая краевой задаче (1), (3), (4), (35), (8), имеет вид (36), (37) или (38), (39). Для каждого управления U∈u функ- ционал стоимости определяется уравнением ),,()()( 2 uuazuYuJ g +−= H (68) где ,)()()( 222 21 ggg zuzuуzuY −θ+−=− H ×Ω∈= 3 221 ))((),( Lzzz ggg )(2 Ω×L — известная вектор-функция. В силу теоремы 7 ))()),((()( ииyиY θθ= — единственное решение задачи (36), (37) или, что то же самое, задачи (38), (39) при каждом фиксированном .u U∈ Пусть )(),())()),(((),( uYYuYuuyYyY ′′=′′′=′θ′θ=θ′′=′ — обобщенные реше- ния краевой задачи (1), (3), (4), (35), (8) (решения задачи (36), (37)) при функции ),(xuu = равной соответственно ., uu ′′′ Тогда на основании (36), (37) получаем ., 21 ииссyy ′′−′′≤θ ′′−θ′θ ′′−θ′′≤′′−′ (67′) Следовательно, ,22 3 222 uucyyYY ′′−′≤θ ′′−θ′+′′−′=′′−′ т.е. .3 ииcYY ′′−′≤′′−′ Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функ- ционала L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π представления 2)0()(2),()( YzuLuuuJ g −+−π= (68′) функционала стоимости (68), где ,),())0()(),0()((),( vuaYvYYuYvu +−−=π H ,))0()(),0(()( HYvYYzvL g −−= ,),(),(),(),(),( )(22 3 1 )(11)(22))((11 2223 2 Ω = ΩΩΩ ψϕ+ψϕ=ψϕ+ψϕ=ψϕ ∑ L i LiiLLH .)(,,))((,);,,(),,,( 222 3 21113121111312111 Ω∈ψϕΩ∈ψϕψψψ=ψϕϕϕ=ϕ LL На основании [14, гл. 1, теорема 1.1] доказана справедливость следующего утверждения. 20 ISSN 0572-2691 Теорема 13. Пусть состояние ))()),((()( ииyиYY θθ== системы определяет- ся как единственное обобщенное решение краевой задачи (1), (3), (4), (35), (8) при фиксированном управлении u из U. Тогда существует единственный элемент u вы- пуклого замкнутого в U множества ,∂U для которого выполняется равенство (24) с функционалом стоимости (68). В этом случае необходимое условие оптимальности управления и принимает вид ,0),())()(,)(( ∂∈∀≥−+−− UH vuvuauYvYzuY g (69) или .0),())()(,)(())()(,)(( 21 ∂∈∀≥−+θ−θ−θ+−− Uvuvuauvzuuyvyzuy gg (70) Сопряженное состояние 000),( Θ×==∈θ= ∗∗∗ VHHpY для каждого уп- равления U∈v определяем как обобщенное решение краевой задачи, заданной следующими равенствами: ,,3,1,)( )(3 1 Ω∈=−= ∂ σ∂ − ∑ = xizvy x p gii k k ik ,,)()( 4 3 1,,, 3 1, Ω∈−θ=εδα−        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑∑ == ∗ xzvpc x k x giklmiklm mlkiji j ij i ,,0),cos()( 3 1 Γ∈=σ∑ = xxnp k kik (71) ,,0 Γ∈=θ x ,0,0 =×= ∫∫ ΩΩ dxрrdxр где ),()( 3 1,,, pcp lmiklm mlki ik ε=σ ∑ = ),,,,(),( 432121 ggggggg zzzzzzz == =1gz ),,,( 321 ggg zzz= . 42 qzz = Определение 5. Обобщенным решением краевой задачи (71) называется век- тор-функция ,),( ∗∗∗ ∈θ= HpY удовлетворяющая тождествам ,),(),( 0111 1 Vzzzyzpa g ∈∀−= (72) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki (73) Справедливо утверждение. Теорема 14. При каждом фиксированном HуY ∈θ= ),( краевая задача (71) имеет единственное обобщенное решение ,),( ∗∗∗ ∈θ= HpY элемент 0Θ∈θ∗ которого определяется как единственное решение задачи (73), где вектор-функция 0Vp∈ предварительно определена как единственное решение задачи (72). Замечание 2. Решение ∗θ задачи (72) — единственный элемент простран- ства ,0Θ обеспечивающий на 0Θ наименьшее значение функционала Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 21 ),,(2)(2),()( 2 3 1,,, 00 wzdxwpcwwaw giklmiklm mlki −θ−εδα−=Φ ∫ ∑ Ω = (74) где р — единственный элемент, обеспечивающий на 0V наименьшее значение функционала .),(2),()(Ф 1 wzywwaw g−−=′ (75) Выбирая в (73) вместо 2z разность ),()( uv θ−θ с учетом симметрии били- нейной формы ),(0 ⋅⋅a из (73) получаем )),()(,)(( ))()()(()),()(( 4 3 1,,, 0 uvzu dxuvpcuva g iklmiklm mlki θ−θ−θ= =θ−θεδα−θθ−θ ∫ ∑ Ω = ∗ или )).()(,)(())()()((),( 4 3 1,,, uvzudxuvpcuv giklmiklm mlki θ−θ−θ=θ−θεδα−θ− ∫ ∑ Ω = ∗ (76) Сложим попарно левые и правые части тождеств (72), (76) и примем =1z ).()( uyvy −= С учетом (36) находим −−=θ−θ−θ+−− )),()(())()(,)(())()(,)(( 21 puyvyauvzuuyvyzuy gg ∫ ∑ Ω ∗∗ = θ−=θ−+εθ−θδα− ),,(),()())()(( 3 1,,, uvuvdxpuvc iklmiklm mlki т.е. ).,())()(,)(( ∗θ−=−− uvuYvYzuY g (76′) В соответствии с полученным равенством необходимое условие оптимально- сти управления u (69) преобразуем к виду .0),( ∂ ∗ ∈∀≥−+θ Uvuvua (77) Таким образом, выполнение тождеств (36), (37), (72), (73) и неравенства (77) — необходимое и достаточное условие существования оптимального управления ∂∈Uu рассматриваемой оптимизационной задачи. При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (77) следует равенство .,0 Ω∈=+θ∗ xua (78) На основании (78) можно исключить управление u из тождества (37). В ре- зультате получаем задачу: найти вектор-функцию ),,( ∗YY удовлетворяющую тождествам ,);(),( 0111 Vzzlzya ∈∀θ= 22 ISSN 0572-2691 ,),(),( ,);/(),( 0111 022020 1 Vzzzyzpa zzalza g ∈∀−= Θ∈∀θ−=θ ∗ (79) .),()(),( 022 3 1,,, 220 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza g mlki iklmiklm Решив задачу (79), оптимальное управление u определяем при помощи вы- ражения (52). Пусть составляющая у состояния ),( θ= yY системы определяется как реше- ние задачи: найти элемент ,)( Vиуy ∈= удовлетворяющий тождеству ),;(),( 11 wlwya θ= (80) или задачи: найти элемент ,Vy∈ обеспечивающий на V наименьшее значение функционала ),;(2),()( 111 wlwwaw θ−=Φ (81) где θ — решение эквивалентных задач (37), (39); билинейная форма ),(1 ⋅⋅a опре- делена выражением (25′), ).,();(1 wfwl ′=θ Пусть )(),())()),(((),( uYYuYuuyYyY ′′=′′′=′θ′θ=θ′′=′ — решения задачи (37), (80) при функции ),(xuu = равной соответственно ., uu ′′′ Тогда на основа- нии (80), (37) получаем неравенства вида (67′). Следовательно, .3 ииcYY ′′−′≤′′−′ Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функ- ционала L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π представления (68′) функционала стои- мости (68). На основании [14, гл. 1, теорема 1.1] доказано такое утверждение. Теорема 15. Пусть состояние ))()),((()( ииyиYY θθ== системы определяет- ся как решение задачи (37), (80). Тогда существует единственный элемент u вы- пуклого замкнутого в U множества ,∂U для которого справедливо выражение ви- да (24) с функционалом стоимости (68). В этом случае необходимое условие оптимальности управления u принимает вид (70). Сопряженное состояние 0),( Θ×=∈θ= ∗∗∗ VHpY для каждого управления U∈v определяем как решение задачи: найти вектор-функцию ),,( ∗θp удовле- творяющую системе тождеств ,),(),( 1111 1 Vzzzyzpa g ∈∀−= (82) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki (83) Справедливо утверждение. Лемма 2. Задача (82), (83) при фиксированных у, θ имеет единственное ре- шение ,∗∗ ∈HY где элемент ∗θ — единственное решение задачи (83) с учетом Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 23 того, что элемент р первоначально получен как единственное решение зада- чи (82). Полагая в (83) вместо 2z разность )()( uv θ−θ и учитывая симметрию били- нейной формы ),,(0 ⋅⋅a из (83) получаем равенство (76). Сложив попарно левые и правые части тождеств (82), (76) и приняв ),()(1 uyvyz −= на основании (80) приходим к равенству вида (76′). Согласно (76′) необходимое условие оптималь- ности управления u (70) преобразуется к виду (77). Таким образом, выполнение тождеств (80), (37), (82), (83) и неравенства (77) — необходимое и достаточное условие существования оптимального управления ∂∈Uu рассматриваемой оптимизационной задачи. При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (77) следует равенство вида (78). На основании (78) можно исключить управление u из тождества (37). В результате получаем задачу: найти вектор-функцию ,),( ∗∗ ×∈ HHYY удовле- творяющую тождествам ,);(),( 11111 Vzzlzya ∈∀θ= ,),(),( ,);/(),( 1111 022020 1 Vzzzyzpa zzalza g ∈∀−= Θ∈∀θ−=θ ∗ (84) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki Решив задачу (84), оптимальное управление u определяем при помощи вы- ражения (52). 5. Комплексное управление термоупругим состоянием тела с комплекс- ным наблюдением. Пусть для каждого управления ×Ω=∈= 3 221 ))((),( Lииu U )(2 Ω×L термоупругое состояние тела определяется системой дифференциальных уравнений ,,3,1, );(3 1 Ω∈=+= ∂ θσ∂ − ∑ = xiиf x y ii k k ik (85) ,,4 3 1, Ω∈+=        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑ = xuf x k xji j ij i (86) и краевыми условиями (3), (4), где ),,,( 3211 иииu = .),(, 2142 ииuиu == Един- ственное решение у задачи (85), (3) выделяем с учетом ограничений (8). Обобщенная задача, соответствующая краевой задаче (85), (86), (3), (4), (8) состоит в отыскании вектор-функции ),())(),(( иYииyY =θ= удовлетворяющей системе тождеств ,);(),( 01111 Vzzиlzya ∈∀= (87) ,);(),( 0222020 Θ∈∀=θ zzulza (88) где билинейные формы ),(),,( 0 ⋅⋅⋅⋅ aa определены соответствующими выражения- ми (10′), ).,(),();(),,(),();( 242201111 zuzfzulzuzfzul +=+′= 24 ISSN 0572-2691 Справедливо утверждение. Лемма 3. Задача (87), (88) имеет единственное решение =∈θ= HуY ),( ,0 Θ×= V где составляющая у определяется как единственный элемент ,0V удо- влетворяющий тождеству (87) при фиксированном ,1и а функция θ вектора f ′ (вторая составляющая решения Y ) первоначально определена как единственное решение задачи (88) при заданном .2и Каждому управлению U∈u поставим в соответствие значение функционала стоимости ,),()()( 2 UH N uuzuYuJ g +−= (89) где ,)()()( 222 21 ggg zuzuyzuY −θ+−=− H ),,(),(),( 2211 uuauuauu +=UN )())((),( 2 3 221 Ω×Ω∈= LLzzz ggg — известная вектор-функция, ),(Ω∈Ca ≤< 00 a ,1aa ≤≤ .const, 10 =aa Пусть )(),(),( uYuYyY ′′′′′=θ′′=′ — единственные решения задачи (87), (88) при функции ,U∈u равной соответственно ., uu ′′′ На основании (87) получаем ≤′′−′′′−′+′′−′θ ′′−θ′′≤′′−′′′−′= =′′−′′′−′≤′′−′α′≤′′−′α′ VV V yyииyycyyииl yyyyayyyy 111 2 0 2 0 );( ),( ,)(2 Vyyuuc ′′−′′′−′+θ ′′−θ′′≤ т.е. .)(1 ииcyy ′′−′+θ ′′−θ′≤′′−′ (90) Учитывая (88), находим .2222 ииcииc ′′−′≤′′−′≤θ ′′−θ′ (91) На основании (90), (91) .3 ииcYY ′′−′≤′′−′ (92) Функционал стоимости (89) можно представить в виде ,)0()(2),()( 2YzuLuuuJ g −+−π= (93) где ,))0()(),0(()( ,),())0()(),0()((),( H UH YvYYzvL vuaYvYYuYvu g −−= +−−=π ),,(),,(),(),( 212211 ϕϕ=ϕψϕ+ψϕ=ψϕ H .)())((,),,( 2 3 221 Ω×Ω∈ψϕψψ=ψ LL Неравенство (92) обеспечивает непрерывность на U билинейной формы ),( ⋅⋅π и линейного функционала )(⋅L представления (93) функционала стоимости (89). Справедливо утверждение. Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 25 Теорема 16. Пусть состояние ),( θ= yY системы определяется как един- ственное решение задачи (87), (88) при каждом управлении .U∈u Тогда суще- ствует единственный элемент u выпуклого замкнутого в U множества ,∂U для ко- торого выполняется выражение (24) с функционалом стоимости (89). В этом случае необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu при- нимает вид ∂∈∀≥−+−− UUH vuvuauYvYzuY g 0),())()(,)(( , или .0),())()(,)(())()(,)(( 21 ∂∈∀≥−+θ−θ−θ+−− UU vuvuauvzuuyvyzuy gg (94) Сопряженное состояние 000),( Θ×==∈θ= ∗∗∗ VHHpY для управления U∈v определим как обобщенное решение краевой задачи, заданной равенствами ,,3,1,)( )(3 1 Ω∈=−= ∂ σ∂ − ∑ = xizvy x p gii k k ik ,,)()( 4 3 1,,, 3 1, Ω∈−θ=εδα−        ∂ θ∂ ∂ ∂ − ∑∑ == ∗ xzvpc x k x giklmiklm mlkiji j ij i ,,0),cos()( 3 1 Γ∈=σ∑ = xxnp k kik ,3,1=i (95) ,,0 Γ∈=θ x ,0,0 =×= ∫∫ ΩΩ dxрrdxр где .)()( 3 1,,, pcp lmiklm mlki ik ε=σ ∑ = Определение 6. Обобщенным решением краевой задачи (95) называется век- тор-функция ,),( ∗∗∗ ∈θ= HpY удовлетворяющая тождествам ,),(),( 0111 1 Vzzzyzpa g ∈∀−= (96) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki (97) Справедливо утверждение. Лемма 4. При каждом фиксированном HуY ∈θ= ),( краевая задача (95) имеет единственное обобщенное решение ,),( ∗∗∗ ∈θ= HpY  где р определяется как единственный элемент, обеспечивающий на 0V минимум функционала ,),(2),()(Ф 1 wzywwaw g−−= (98) 26 ISSN 0572-2691 и представляет собой единственное в 0V решение задачи (96), которая состоит в отыскании функции ,0Vp∈ удовлетворяющей тождеству (96). Элемент 0Θ∈θ∗ вектор-функции ∗Y определяется как единственная функция, обеспечивающая на Θ0 минимум функционала ,),(2)(2),()( 4 3 1,,, 00 wzdxwpcwwaw giklmiklm mlki −θ−εδα−=Φ ∫ ∑ Ω = и представляет собой единственное в 0Θ решение задачи (97): найти элемент ,0Θ∈θ∗ который 02 Θ∈∀z удовлетворяет тождеству (97), где функция р перво- начально определена как единственное решение эквивалентных задач (96), (98). Выбирая в (97) вместо 2z разность ),()( uv θ−θ с учетом симметрии били- нейной формы ),(0 ⋅⋅a и тождества (88) находим )),()(,)(( ))()()(()),()(( 4 3 1,,, 0 uvzu dxuvpcuva g iklmiklm mlki θ−θ−θ= =θ−θεδα−θθ−θ ∫ ∑ Ω = ∗ или =θ−θεδα−θ− ∫ ∑ Ω = ∗ dxuvpcuv iklmiklm mlki ))()()((),( 3 1,,, 22 .))()(,)(( 4 uvzu g θ−θ−θ= (99) Сложим попарно левые и правые части тождеств (96), (99) и примем =1z ).()( uyvy −= Согласно (87) получаем =θ−θ−θ+−− ))()(,)(())()(,)(( 41 uvzuuyvyzuy gg ∫ ∑ Ω = +εθ−θδα−−= dxpuvcpuyvya iklmiklm mlki )())()(()),()(( 3 1,,, ),,(),(),( 221122 ∗∗ θ−+−=θ−+ uvрuvuv т.е. ).,())()(,)(( ∗−=−− YuvuYvYzuY g С учетом этого равенства необходимое условие оптимальности управления u (94) преобразуем к виду .0),( ∂ ∗ ∈∀≥−+ UU vuvuaY (100) Таким образом, выполнение тождеств (87), (88), (96), (97) и неравен- ства (100) — необходимое и достаточное условие существования оптимального управления ∂∈Uu рассматриваемой оптимизационной задачи. При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (100) следуют равенства ,,01 Ω∈=+ xuaр (101) .,02 Ω∈=+θ∗ xua (102) Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 27 Следовательно, при отсутствии ограничений, используя равенства (101), (102), можно исключить составляющие 21, ии управления и соответственно из (87), (88). На основании (87), (88), (96), (97), (101), (102) получаем задачу: найти вектор-функцию ,),( ∗∗ ×∈ HHYY удовлетворяющую системе тождеств ,);/(),( 0111 Vzzaрlzya ∈∀−= ,),(),( ,);/(),( 0111 022020 1 Vzzzyzpa zzalza g ∈∀−= Θ∈∀θ−=θ ∗ (103) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki Решив задачу (103), получаем решение .),( ∗YY Составляющие 21, ии опти- мального управления u находим при помощи выражений .,/,/ 21 Ω∈θ−== ∗ хauapu (104) Пусть вместо (87) определено тождество ,);,(),( 111 Vwwulwya ∈∀θ= (105) где .),()(),();,( 1 3 1,,, 11 wudxwcwfwul iklmiklm mlki +εδαθ+=θ ∫ ∑ Ω = Замечание 3. Если функции ,f ′ g ′ удовлетворяют условиям ,0)(,0)( 11 =Γ′×++′×=Γ′++′ ∫∫∫∫ ΓΩΓΩ dgrdxиfrdgdxиf где ,}{ 3 1=′=′ iiff 3 1}{ =′=′ iigg , и функции ii gf ′′, определяются при помощи соот- ветствующих выражений (6′), то задачи (87), (105) при фиксированных θ, 1u эк- вивалентны. Для каждого управления )())(( 2 3 2 Ω×Ω=∈ LLu U состояние системы Y = Θ×=∈θ= VHу ),( определим как единственное решение задачи (105), (88), а функционал стоимости зададим в виде (89). Лемма 5. Для каждого управления U∈u существует единственное состоя- ние — единственное решение НyY ∈θ= ),( задачи (105), (88). Пусть )(),(),( uYYuYyY ′′=′′′=θ′′=′ — решения из Н задачи (105), (88) при управлении ),(xuu = равном соответственно ., uu ′′′ Тогда ,, 21 иисyyиис ′′−′′≤′′−′′′−′′≤θ ′′−θ′ т.е. .1 ииcYY ′′−′≤′′−′ Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U билинейной фор- мы ),( ⋅⋅π и линейного функционала L(⋅) представления (93) функционала стоимо- сти (89). На основании [14, гл. 1, теорема 1.1] доказано следующее утверждение. 28 ISSN 0572-2691 Теорема 17. Пусть состояние ),( θ= yY системы определяется как един- ственное решение задачи (105), (88). Тогда существует единственный элемент u выпуклого замкнутого в U множества ,∂U для которого выполняется равенство (24) с функционалом стоимости (89). Сопряженное состояние 0),( Θ×=∈θ= ∗∗∗ VHpY для управления U∈v определяем как единственное решение задачи: найти вектор-функцию =∗Y ,),( ∗∗ ∈θ= Hp удовлетворяющую системе тождеств ,),(),( 1111 1 Vzzzyzpa g ∈∀−= (106) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki (107) Лемма 6. При каждом фиксированном ),( θ= уY задача (106), (107) имеет единственное решение .),( ∗∗∗ ∈θ= HpY Полагая в (107) вместо 2z разность )()( uv θ−θ и учитывая симметрию били- нейной формы ),,(0 ⋅⋅a из (107) согласно (88) получаем )),()(,)(( ))()()(()),()(( 4 3 1,,, 0 uvzu dxuvpcuva g iklmiklm mlki θ−θ−θ= =θ−θεδα−θθ−θ ∫ ∑ Ω = ∗ или =θ−θεδα−θ− ∫ ∑ Ω = ∗ dxuvpcuv iklmiklm mlki ))()()((),( 3 1,,, 22 .))()(,)(( 4 uvzu g θ−θ−θ= (108) Сложив попарно левые и правые части тождеств (106), (108) и приняв ),()(1 uyvyz −= c учетом (105) находим =θ−θ−θ+−− ))()(,)(())()(,)(( 21 uvzuuyvyzuy gg ,),(),(),( )())()(()),()(( 221122 3 1,,, 1 ∗∗ Ω = θ−+−=θ−+ +εθ−θδα−−= ∫ ∑ uvрuvuv dxpuvcpuyvya iklmiklm mlki т.е. .),())()(,)(( ∗−=−− YuvuYvYzuY g На основании полученного равенства необходимое условие оптимальности управления u (94) преобразуем к виду (100). Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождествами (88), (105), (106), (107) и неравенством (100). При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (100) следуют равенства (101), (102). Следовательно, при отсут- ствии ограничений используя равенство (101), (102) можно исключить сос- тавляющие ,1и 2и управления u соответственно из (105), (88). На основании (88), Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 29 (105)–(107) получаем задачу: найти вектор-функцию ,),( ∗∗ ×∈ HHYY удовле- творяющую системе тождеств ,);/,(),( 11 Vwwaplwya ∈∀−θ= ,),(),( ,);/(),( 1111 022020 1 Vzzzyzpa zzalza g ∈∀−= Θ∈∀θ−=θ ∗ (109) .),()(),( 0222 3 1,,, 20 2 Θ∈∀−θ=εδα−θ ∫ ∑ Ω = ∗ zzzdxzpcza giklmiklm mlki Решив задачу (109), получаем решение ).,( ∗YY Составляющие 21, ии опти- мального управления u находим при помощи выражений (104). І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ТЕРМОНАПРУЖЕНИМ СТАНОМ ТІЛА ПРИ ЗАДАНИХ НАПРУГАХ Розглянуто нові задачі оптимального керування термонапруженим станом тіла при заданих напругах на його границі. Для цієї розподіленої системи з багато- значним оберненим оператором стану побудовано математичні моделі, що од- нозначно визначають стан тіла. Доведено існування єдиних оптимальних керу- вань системи з різними квадратичними функціоналами вартості. I.V. Sergienko, V.S. Deineka OPTIMAL CONTROL OF A THERMALLY STRESSED STATE FOR A BODY UNDER SPECIFIED STRESSES The paper considers new problems concerned with optimal control of a thermally stressed state for a body with specified stresses on its boundaries. For such a distrib- uted system with a multivalue inverse state operator, mathematical models are con- structed that uniquely specify a body state. The paper proves existence of unique op- timal controls for a system with different quadratic cost functionals. 1. Коваленко А.Д. Термоупругость. — Киев : Вища шк., 1975. — 216 с. 2. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М. : Мир, 1987. — 544 с. 3. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. — М.; Л. : Гостехтеориздат, 1952. — 216 с. 4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М. : Наука, 1970. — 510 с. 5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М. : Мир, 1980. — 512 с. 6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. — Киев : Наук. думка, 2001. — 606 с. 7. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Оптимальное управление термонапряженным состоянием со- ставного тела // Проблемы управления и информатики. — 2004. — № 3. — С. 33–52. 8. Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационные постановки статической задачи теории упруго- сти при заданных внешних силах // Укр. матем. журн. — 1991. — 43, № 2. — С. 158–161. 30 ISSN 0572-2691 9. Галба Є.Ф. Зважена псевдоінверсія і умовно коректні еліптичні крайові задачі в матема- тичному моделюванні : Теорія, математичні моделі, обчислювальні методи. — Автореф. дис. … д-ра фіз.-мат. наук. — К. : Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2001. — 34 с. 10. Сергиенко И.B., Дейнека В.С. Комплексное оптимальное управление термонапряженным состоянием составного тела // Кибернетика и системный анализ. — 2004. — № 3. — С. 43–61. 11. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с. 12. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. — N. Y. : Kluwer Akademic Publishers, 2005. — 400 p. 13. Дейнека В.С. Оптимальное управление эллиптическими многокомпонентными распреде- ленными системами. — Киев : Наук. думка, 2005. — 364 с. 14. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М. : Мир, 1972. — 414 с. Получено 28.04.2006

Оптимальное управление термонапряженным состоянием тела при заданных напряжениях

Репозитарії

Схожі ресурси