Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения
Розглянуто питання побудови областей стійкості лінійних цифрових систем в просторі двох параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння. Запропоновано алгоритм знаходження точок границі області стійкості шляхом перебору тільки одного параметра, без перевірки на стійкіст...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206876 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 40-49. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-206876 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2068762025-09-27T00:04:05Z Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения Побудова області стійкості лінійних цифрових систем в площині двох параметрів, які нелінійно впливають на коефіцієнти характеристичного рівняння Construction of stability domain of discrete linear systems in space of two parameters nonlinearly influencing coefficients of a secular equation Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. Проблемы динамики управляемых систем Розглянуто питання побудови областей стійкості лінійних цифрових систем в просторі двох параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння. Запропоновано алгоритм знаходження точок границі області стійкості шляхом перебору тільки одного параметра, без перевірки на стійкість чи нестійкість системи в цих точках. Коректність результату гарантується застосуванням методу D-розбиття. The problems of construction of stability domains of linear discrete systems in space of two parameters nonlinearly entering coefficients of a secular equation. The algorithm of determination of boundary points of stability domain by exaustive search of only one parameter without control of system stability in these points is proposed. Correctness of results is guaranteed by using of D-partition methods. 2006 Article Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 40-49. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206876 62.501.52 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто питання побудови областей стійкості лінійних цифрових систем в просторі двох параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристичного рівняння. Запропоновано алгоритм знаходження точок границі області стійкості шляхом перебору тільки одного параметра, без перевірки на стійкість чи нестійкість системи в цих точках. Коректність результату гарантується застосуванням методу D-розбиття. |
| format |
Article |
| author |
Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. |
| author_facet |
Мовчан, Л.Т. Мовчан, С.Л. |
| author_sort |
Мовчан, Л.Т. |
| title |
Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения |
| title_short |
Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения |
| title_full |
Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения |
| title_fullStr |
Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения |
| title_full_unstemmed |
Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения |
| title_sort |
построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206876 |
| citation_txt |
Построение области устойчивости линейных цифровых систем в плоскости двух параметров, которые нелинейно влияют на коэффициенты характеристического уравнения / Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 40-49. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT movčanlt postroenieoblastiustojčivostilinejnyhcifrovyhsistemvploskostidvuhparametrovkotoryenelinejnovliâûtnakoéfficientyharakterističeskogouravneniâ AT movčansl postroenieoblastiustojčivostilinejnyhcifrovyhsistemvploskostidvuhparametrovkotoryenelinejnovliâûtnakoéfficientyharakterističeskogouravneniâ AT movčanlt pobudovaoblastístíjkostílíníjnihcifrovihsistemvploŝinídvohparametrívâkínelíníjnovplivaûtʹnakoefícíêntiharakterističnogorívnânnâ AT movčansl pobudovaoblastístíjkostílíníjnihcifrovihsistemvploŝinídvohparametrívâkínelíníjnovplivaûtʹnakoefícíêntiharakterističnogorívnânnâ AT movčanlt constructionofstabilitydomainofdiscretelinearsystemsinspaceoftwoparametersnonlinearlyinfluencingcoefficientsofasecularequation AT movčansl constructionofstabilitydomainofdiscretelinearsystemsinspaceoftwoparametersnonlinearlyinfluencingcoefficientsofasecularequation |
| first_indexed |
2025-09-27T01:11:38Z |
| last_indexed |
2025-09-28T01:08:11Z |
| _version_ |
1844467928853905408 |
| fulltext |
© Л.Т. МОВЧАН, С.Л. МОВЧАН, 2006
40 ISSN 0572-2691
УДК 62.501.52
Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан
ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ
В ПЛОСКОСТИ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ, КОТОРЫЕ
НЕЛИНЕЙНО ВЛИЯЮТ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Введение. Определение области устойчивости линейных дискретных си-
стем в пространстве параметров, в наиболее общем случае, осуществляется с
помощью метода дискретного D-разбиения [1, 2]. Нахождение области таким
способом может оказаться затруднительным, если система имеет высокий поря-
док и параметры, в пространстве которых определяются границы области устой-
чивости (ГОУ), входят нелинейно. Тогда используют численные методы, реализо-
ванные на ЭВМ [3–6]. Очевидно, что численный метод перебора параметров, бу-
дучи наиболее общим, неэкономичен с точки зрения машинной реализации при
повышении точности определения ГОУ и не гарантирует корректности результа-
та, что обусловлено сложной нелинейной зависимостью коэффициентов характе-
ристического уравнения от параметров системы [3]. Тогда эффективным будет
определение области устойчивости цифровых систем в пространстве параметров,
которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения, с
помощью ЭВМ, применяя известные методы, адаптированные к новым условиям.
В настоящей работе развивается предложенный в [7] подход к построению
областей устойчивости (ОУ) в плоскости двух параметров для случая нелиней-
ной зависимости коэффициентов характеристического уравнения от обоих па-
раметров.
В [7] для получения необходимой области за основу берется метод дискрет-
ного D-разбиения, который позволяет определить области, отвечающие заданно-
му числу корней характеристического уравнения внутри единичной окружности,
в случае, когда параметры системы входят в коэффициенты характеристического
полинома линейно. Далее, ставится задача построения ОУ в плоскости парамет-
ров линейной дискретной системы, характеристическое уравнение которой в об-
щем случае имеет вид
,0...)( 01
1
1 =++++= −
− azazazazD n
n
n
n (1)
где коэффициенты вещественные и нелинейно зависят от параметров объекта
управления. Для построения ОУ на плоскости двух параметров, один из которых
нелинейно, а другой линейно входит в коэффициенты уравнения (1), использова-
но уравнение границы D-разбиения по одному параметру:
,0))()(())()(()()()( 2121 =ω+ω−ω+ω=ω−ω=ω jLLjHHkjLjkHjD (2)
где k — параметр, который линейно входит в коэффициенты и, как правило, явля-
ется коэффициентом корректирующего звена или коэффициентом передачи объ-
екта управления, )( ωjkH — слагаемые характеристического уравнения, которые
содержат k в качестве множителя, записанные в виде произведения, а )( ωjL со-
держит остальные слагаемые.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 41
В [7] получены и дополнены аналитические выражения и алгоритм расчета
множества значений линейного параметра k для соответствующего множества
предварительно заданных значений некоторого нелинейно входящего параметра v
),( maxmin ν<ν<ν которые в совокупности с расчетными значениями парамет-
ра k определяют точки точной ГОУ в плоскости параметров k и v. Особенность
подхода заключается в том, что вычисление значений параметров k и построение
ГОУ осуществляется без построения кривых D-разбиения, с использованием ре-
шения уравнений, которые определяют эти кривые.
Постановка задачи. Ставится задача построения области устойчивости ли-
нейной дискретной системы в плоскости двух параметров v и µ, которые нели-
нейно входят в коэффициенты характеристического уравнения.
При решении данной задачи используются следующие аналитические выра-
жения [7]:
,
)(cos2
)(cos
1
0 10
2
0 0
∑ ∑∑
∑ ∑
−
= +==
= =
ω−+
ω−
= r
i
n
ij
ji
r
i
i
r
i
n
j
ji
ijbcc
ijbc
k (3)
,0)cos...coscos(sin 12
2
1
1 =+ω++ω+ωω −
−
− BBBB r
r
r
r (4)
где ic — коэффициенты полинома ),( ωjL jb — коэффициенты полинома
),( ωjH rB — алгебраические комбинации ic и .jb
Для построения области устойчивости линейной дискретной системы в плос-
кости двух параметров v и µ, которые нелинейно входят в коэффициенты харак-
теристического уравнения, ставим следующую задачу (рис. 1): для конкретного
значения параметра v ГОУ, который меняется с шагом ν∆ в границах
maxmin0 ν≤ν≤ν=ν , необходимо определить такое значение µ, при котором
значение k, определенное для данных v и µ по формулам (3), (4), удовлетворяло
бы условию
,given kkk ∆≤− (5)
где givenk — предварительно выбранное значение параметра k (обычно соответ-
ствует номинальному значению), k∆ — значение, определяющее точность по-
строения ОУ.
0 v1 vmin vmax …
kgiven
k
v
µmax
µmax
µmin
µmin
Рис. 1
42 ISSN 0572-2691
Решение поставленной задачи. Определение ГОУ в плоскости параметров v
и µ для заданного значения givenk начинаем с определения начального значе-
ния 0µ ГОУ при .min0 ν=ν
Для следующего значения ν∆+ν=ν 0 ГОУ путем перебора параметра µ со
сменным шагом µ∆ в направлении, определяемом характером изменения пара-
метра k при изменении параметра µ, определяем такое значение µ, при котором
имеет место неравенство (5).
Для определения характера изменения параметра k на границе ОС при измене-
нии параметра µ, используя (3) и (4), вычисляем значения линейно входящего па-
раметра k при значениях нелинейных параметров, равных µ∆+µν 00 , и ,0 ν∆+ν
,0µ и сравниваем результат с заданным значением .givenk Если одновременно
выполняется неравенство ,),( given00 kk >µν∆+ν что отвечает увеличению значе-
ния параметра k на ГОУ при увеличении значения параметра v и фиксированном µ,
и неравенство ,),( given00 kk >µ∆+µν что отвечает увеличению значения пара-
метра k при увеличении значения параметра µ и фиксированном v, то это означает,
что для фиксированного значения параметра k увеличению значения v отвечает
уменьшение значения µ (рис. 2, а). Итак, следующее значение k при увеличении v
на шаг ν∆ )( 0 ν∆+ν=ν и kkk ∆>−µν∆+ν given00 ),( определяем из (3) и (4),
меняя µ, в соответствии со сказанным выше, следующим образом: .0 µ∆−µ=µ
В случае если given00 ),( kk >µ∆−µν∆+ν и ,),( given00 kkk ∆>−µ∆−µν∆+ν
алгоритм изменения µ не меняется, т.е. следующее значение µ∆−µ=µ 20 и т.д.,
пока не будет иметь место неравенство kknk ∆≤−µ∆−µν∆+ν given00 ),( или
given00 ),( kk <µ∆−µν∆+ν при .),( given00 kkk ∆>−µ∆−µν∆+ν В первом
случае перебор значений параметра µ прекращается и значения ,0 µ∆−µ=µ n
ν∆+ν=ν 0 определяет точку границы области устойчивости в плоскости нели-
нейно входящих параметров ).,( µν Во втором случае шаг изменения парамет-
ра µ уменьшается вдвое ,2/µ∆=µ∆ а алгоритм изменения меняет вид на
.2/0 µ∆+µ∆−µ=µ n Если же ,)2/,( given00 kknk ∆≤−µ∆+µ∆−µν∆+ν пере-
бор значений параметра прекращается и параметры 2/0 µ∆+µ∆−µ=µ n и
ν∆+ν=ν 0 определяют точку ГОУ. При условии, что +µ∆−µν∆+ν nk 00 ,(
given)2/ k>µ∆+ или given00 )2/,( knk <µ∆+µ∆−µν∆+ν при ,( 0 ν∆+νk
kkn ∆>−µ∆+µ∆−µ given0 )2/ перебор µ продолжаем. При этом шаг µ∆ каж-
дый раз уменьшается вдвое, а знак перед значением шага определяется, как
описано выше, соотношением между k и :givenk если ,givenkk > то перед µ∆
ставим минус, а при givenkk < — плюс. Перебор значений µ прекращается, если
.given kkk ∆≤−
Аналогично, если одновременно верны неравенство ,),( given00 kk <µν∆+ν
что соответствует уменьшению значения параметра k на ГОУ при увеличении
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 43
значения параметра v и фиксированном µ, и неравенство ,),( given00 kk <µ∆+µν
что отвечает уменьшению значения параметра k при увеличении значения пара-
метра µ и фиксированном v, то для фиксированного значения параметра k увели-
чению значения v соответствует уменьшение значения µ (рис. 2, б). Итак, следу-
ющее значение k при увеличении v с шагом ν∆ )( 0 ν∆+ν=ν определяется из (3)
и (4), принимая .0 µ∆−µ=µ
Если одновременно верны неравенство ,),( given00 kk <µν∆+ν что соответ-
ствует уменьшению значения параметра k на ГОУ при увеличении значения
параметра v и фиксированном µ, и неравенство ,),( given00 kk >µ∆+µν что соот-
ветствует увеличению значения параметра k при увеличении параметра µ и фик-
сированном v, то для фиксированного значения параметра k увеличению значе-
ния v соответствует увеличение значения µ (рис. 2, в). Значит, следующее значе-
ние k при увеличении v на шаг ν∆ )( 0 ν∆+ν=ν определяется из (3) и (4)
изменением µ следующим образом: µ∆+µ=µ 0 . Аналогично, если одновременно
верны неравенство ,),( given00 kk >µν∆+ν что соответствует увеличению значе-
ния параметра k при увеличении значения параметра v и фиксированном µ,
и ,),( given00 kk <µ∆+µν что соответствует уменьшению значения параметра k
при увеличении значения параметра µ и фиксированном v, то для фиксированного
значения параметра k увеличению значения v соответствует увеличение значения
µ (рис. 2, г). Итак, следующее значение k при увеличении v с шагом ν∆
)( 0 ν∆+ν=ν определяем из (3) и (4) , принимая µ∆+µ=µ 0 .
Для случаев на рис. 2, б–г алгоритм определения граничного значения пара-
метра µ аналогичен случаю на рис. 2, а. Выбор знака шага µ∆ определяется ха-
рактером изменения параметра k и меняется на противоположный одновременно с
уменьшением вдвое шага параметра µ в случае изменения знака разницы текуще-
го значения параметра k и заданного ,givenk т.е. знака разницы .givenkk − Пере-
бор прекращается, когда ,given kkk ∆≤− что отвечает условию нахождения точ-
ки на ГОУ (с ошибкой )k∆ при найденном значении µ при ν∆+ν=ν 0 и
.givenkk =
Аналогично определяем значения параметров µ при kkk ∆≤− given для
всех заданных значений параметра ),( max0 ν≤ν≤νν который меняется с вы-
бранным шагом .ν∆ При этом для каждого следующего значения параметра
ν∆+ν=ν 0 начальное значение шага изменения µ∆ параметра выбираем равным
конечному значению шага µ∆ для предыдущего значения параметра v, что значи-
тельно уменьшает время определения точек границы области устойчивости. Ре-
зультатом таких расчетов есть набор значений µ совместно с соответствующими
им значениями v, которые определяют точки ГОУ в плоскости параметров ],[ µv
при фиксированных остальных параметрах системы. Чем меньше шаг изменения
ν∆ параметра v, тем меньше расчетов в цикле определения соответствующего па-
раметра µ, но больше количество самих циклов определения данного параметра.
Блок-схема алгоритма определения точек ГОУ в плоскости параметров ],[ µv
представлена на рис. 3.
44 ISSN 0572-2691
),( 00 µν∆+νk
),( 00 µ∆+µνk
givenk
0ν ν∆+ν0
µ∆+µ0
0µ
ν
k
а
k
givenk
),( 00 µ∆+µνk
),( 00 µν∆+νk
0ν ν∆+ν0 ν
µ∆+µ0
0µ
б
0ν ν∆+ν0 ν
µ∆+µ0
0µ
k
givenk
),( 00 µ∆+µνk
),( 00 µν∆+νk
в
0ν ν∆+ν0 ν
µ∆+µ0
0µ
k
givenk
),( 00 µ∆+µνk
),( 00 µν∆+νk
г
Рис. 2
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 45
Начало
Построение области устойчивости
в плоскости параметров [T, ξP]
Ввод начальных
значений параметров
maxmin ...,, vvv =
Вычисление
),(,),( µ∆+µ∆+µ vvkvk
Да
Характер изменения µ и k при увеличении v:
Z=1 — увеличение µ; Z=– 1 — уменьшение µ;
N=1 — увеличение k; N=– 1 — уменьшение k
Определение значений коэффициентов
характеристического уравнения
Нахождение значений }{ iω=ω путем решения уравнения
0)coscos)cos(sin 12
2
1
1 =+ω++ω+ωω −
−
− BBBB r
r
r
r
)(ω=Uk
µ∆⋅+µ=µ Z
[vj, µ j]= [v, µ]
kkk ∆≤− given
kkvvk ∆≤−µ∆+ given),(
Да
[vj, µ j]= [v, µ]
Изменение знака
givenkk − 2/µ∆=µ∆
Да
kkk ∆+> given Да
N=1
Да
nZ 2/µ∆+µ=µ
N=1
Да
µ∆+µ=µ Zn nZ 2/µ∆+µ=µ
µ∆+µ=µ Zn
Рис. 3
Пример. Для иллюстрации возможности практического использования пред-
ложенного подхода, как и в работе [7], рассмотрим построение границы области
устойчивости системы стабилизации по углу тангажа самолета, когда заданы зна-
чения параметров для конкретного 34-го режима полета [5].
46 ISSN 0572-2691
Для сравнительного анализа построим границу области устойчивости иссле-
дуемой системы методом перебора точек в плоскости параметров цифровой си-
стемы [3]. Суть метода заключается в том, что вокруг любой известной точки на
границе устойчивости по эллипсу вращается вектор ,sincos ϕ+ϕ= jMRKRR
конец которого устанавливает новые значения кривой ГОУ в плоскости двух
параметров. Определение устойчивости или неустойчивости системы в точках
перебора проводится вычислением корней характеристического многочлена
∑
=
=
N
n
n
n zazf
0
)( при заданном максимально допустимом отклонении модулей этих
корней .1 ε≤−iz
Передаточная функция замкнутой дискретной системы стабилизации самоле-
та по углу тангажа имеет вид
,
)()()()(
)()(
)(
2101
2
24301
2
2
3
3
2101
2
2
kzkczczckzkdzdzdzd
kzkczczc
zW
−+++−+++
−++
= (6)
где
,0 NDMCNMTBNMAc −−+−=
,)12()12()()(1 DNCMBTMNAMNNMc +++++−++=
,1),1(,
,,)2()2()(
321
02
=++−=++=
−=+−+−+++−=
dMNdNMMNd
NMdDNCMTBAIMNc
(7)
,
)(
)(,),(
222 ba
da
a
C
ab
dBbdadab
ba
A
−
−α
=
α
=−−
α
=
,,,
)(
)(
2
bTaT eMeN
ba
bd
b
D −− ==
−
−α
=
Т — период дискретизации (квантования). Коэффициенты α, a, b, d определяются
аэродинамическими параметрами самолета:
.)1(
2
2
2
,)1(
2
2
2
,,
2
2
11
2
2
2
11
2
1
2
1
ωµ+−
ω
ω
µ+ωξ+
ω
ω
µ+ωξ=
ωµ+−
ω
ω
µ+ωξ−
ω
ω
µ+ωξ=
ω=ω
ω
=α
ω
ωω
ω
ωω
ω
pzv
p
pz
vpp
p
pz
vpp
pzv
p
pz
vpp
p
pz
vpp
pp
p
z
k
kk
b
k
kk
a
d
k
(8)
Аэродинамические параметры самолета F-101B, которые нелинейно входят в
коэффициенты передаточной функции для 34-го режима, равны [5]:
;684,0=ωzn ;48,6=αn ;046,12=sn ;480,0=αz ;0666,0=δz
;61,2=ω p ;25,0=ξ p ;44,01 =ω p .39,0=µν
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 47
Только параметры корректирующего звена входят линейно в характеристи-
ческое уравнение, а все аэродинамические параметры самолета и период дискре-
тизации Т согласно (7), (8) входят в коэффициенты передаточной функции (6) не-
линейно.
Для определения границы области устойчивости в плоскости двух нелинейно
входящих параметров Т и pξ используем алгоритм, блок-схема которого пред-
ставлена на рис. 3. Параметр Т изменяем от 1,0min =T до 0,2max =T с шагом
01,0=∆T и для каждого из этих значений Т определяем соответствующие значе-
ния параметра Pξ при условии, что .001,09586,1 11given11 =∆≤−=− kkkk В ре-
зультате получаем ГОУ в плоскости параметров Т и Pξ при 9586,1given11 == kk
и номинальных значениях других параметров (рис. 4, граница 1). На этом же ри-
сунке показана ГОУ (рис. 4, граница 2), полученная методом перебора [3], со
следующими начальными параметрами: начальный угол ;00
=ϕ дискретность
изменения угла поворота ;1=ϕ∆ дискретность изменения параметра ,2,0=∆R
максимально допустимое отклонение корня характеристического уравнения =ε
;01,01 =−= iz заданные значения параметров ,9586,1given =k ,5,0=M .2=K
T
ξP
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
•
1
2
B′ B A A′
Рис. 4
Определим значения корней характеристического уравнения в следующих
точках: A, где ,3028,0=T ;0000,1=ξP B, где ,6434,1=T ;0000,1=ξP ,A′ где
,2750,0=T ;0000,1=ξP ,B′ где ,6491,1=T 0000,1=ξP плоскости параметров
PT ξ, (рис. 4). В результате получим:
;8716,0;0000,1;0000,1;0800,0: 4321 ==== zzzzA
;4182,0;0684,0;2618,0;9998,0: 4321 ==== zzzzB
;8831,0;0096,1;0096,1;0940,0: 4321 ====′ zzzzA
.4177,0;0685,0;2597,0;0129,1: 4321 ====′ zzzzB
48 ISSN 0572-2691
Значения корней характеристического уравнения в точках A, B, ,A′ B′ дают
основания сделать выводы, что точки A и B расположены практически на границе
реальной области устойчивости, а точки A′ и B′ — за ее границей. При построе-
нии ГОУ предложенным методом 1883 раза было просчитано значение
параметра 1k и найдено 240 точек ГОУ, на что затрачено 12 с. При определении
точек ГОУ методом перебора просчитано значение корней характеристического
уравнения 3104 раза, определено 250 точек ГОУ, на что затрачено 564 с.
Результаты анализа значений корней характеристического уравнения пока-
зывают, что точки ГОУ, полученной методом перебора (см. рис. 4), имеют бóль-
шие отклонения от точек реальной ГОУ, чем точки границы, полученной предло-
женным методом. При этом незначительные отклонения максимальных значений
корней maxz от граничных 1=z могут вызывать значительные изменения па-
раметров, т.е. искажать ОУ. Так в точке A′ отклонение maxz на 0,96 % привело
к отклонению 1k на 9,18 %.
Для получения более точной ГОУ методом перебора необходимо изменить
максимально допустимое отклонение корней характеристического уравнения
,1−=ε iz что значительно увеличивает расчетное время, или оптимально за-
дать входные параметры, что затруднительно в связи с неопределенностью выбо-
ра начальных условий, которые, как правило, зависят от предварительно неиз-
вестной конфигурации области устойчивости.
Заключение. Очевидно, что данный подход, в отличие от известных методов
перебора, дает возможность определить границу области устойчивости в плоско-
сти параметров, нелинейно входящих в коэффициенты характеристичного урав-
нения, путем перебора только одного параметра, все значения которого отвечают
точкам ГОУ. Поэтому отсутствует необходимость проверки устойчивости или не-
устойчивости системы на каждом шаге перебора, что значительно уменьшает
время определения значений нелинейно входящего параметра на границе устой-
чивости. Кроме того, точность полученной ГОУ определяется отклонением рас-
четных значений линейно входящего параметра от заданного, для которого опре-
деляем область устойчивости, что позволяет получить границу этой области с
наименьшими отклонениями от реальной области устойчивости. Предложенный
подход разрешает определить область устойчивости линейной дискретной систе-
мы в пространстве любых параметров нелинейно входящих в характеристическое
уравнение.
Л.Т. Мовчан, С.Л. Мовчан
ПОБУДОВА ОБЛАСТІ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ
ЦИФРОВИХ СИСТЕМ В ПЛОЩИНІ
ДВОХ ПАРАМЕТРІВ, ЯКІ НЕЛІНІЙНО
ВПЛИВАЮТЬ НА КОЕФІЦІЄНТИ
ХАРАКТЕРИСТИЧНОГО РІВНЯННЯ
Розглянуто питання побудови областей стійкості лінійних цифрових систем в
просторі двох параметрів, які нелінійно входять в коефіцієнти характеристич-
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 49
ного рівняння. Запропоновано алгоритм знаходження точок границі області
стійкості шляхом перебору тільки одного параметра, без перевірки на стійкість
чи нестійкість системи в цих точках. Коректність результату гарантується за-
стосуванням методу D-розбиття.
L.Т. Movchan, S.L. Movchan
CONSTRUCTION OF STABILITY DOMAIN
OF DISCRETE LINEAR SYSTEMS IN SPACE
OF TWO PARAMETERS NONLINEARLY
INFLUENCING COEFFICIENTS
OF A SECULAR EQUATION
The problems of construction of stability domains of linear discrete systems in space
of two parameters nonlinearly entering coefficients of a secular equation. The algo-
rithm of determination of boundary points of stability domain by exaustive search of
only one parameter without control of system stability in these points is proposed.
Correctness of results is guaranteed by using of D-partition methods.
1. Неймарк Ю.Н. Устойчивость линеаризованных систем. — Л. : ЛКВВИЛ, 1949. — 140 c.
2. Петров Н.П., Поляк В.Т. Робастное D-разбиение // Автоматика и телемеханика. — 1991. —
№ 5. — С. 41–53.
3. Гостев В.Н., Стеклов В.К. Системы автоматического управления с цифровым регулято-
ром. — Киев : Радіоаматор, 1998. — 704 с.
4. Дидук Г.А. Машинные методы исследования автоматических систем. — Л. : Энергия,
1983. — 242 c.
5. Топчеев Ю.И., Потемкин В.Г., Иваненко В.Г. Системы стабилизации. — М. : Машиностро-
ение, 1974. — 248 с.
6. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. — М. :
Там же, 1989. — 751 с.
7. Мовчан С.Л. Построение области устойчивости линейных цифровых систем в пространстве
параметров, которые нелинейно входят в коэффициенты характеристического уравнения //
Проблемы управления и информатики. — 2004. — № 1. — С. 37–47.
Получено 26.01.2006
|