Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений
Розглянуто модифікації стандартних алгоритмів множинної ідентифікації систем, лінійних за параметрами, і відновлення вектора стану лінійних дискретних систем для такого підкласу обмежених збурень (перешкод), для швидкості зміни яких відома апріорна оцінка. Розглянуто узагальнення отриманих результа...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206877 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 50-57. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-206877 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2068772025-09-27T00:18:28Z Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений Гарантовані результати в задачах параметричної ідентифікації та оцінювання вектора стану (фільтрації) при обмежених перешкодах вимірювань, що повільно змінюються Guaranteed results in problems of parametric identification and estimation of vector of state (filtration) for slowly varying bounded noise of measurements7 Кунцевич, В.М. Адаптивное управление и методы идентификации Розглянуто модифікації стандартних алгоритмів множинної ідентифікації систем, лінійних за параметрами, і відновлення вектора стану лінійних дискретних систем для такого підкласу обмежених збурень (перешкод), для швидкості зміни яких відома апріорна оцінка. Розглянуто узагальнення отриманих результатів на ще один вужчий підклас обмежених збурень, для якого, зокрема, задано апріорну оцінку суми збурень, яку обчислюють на поточному інтервалі. Modifications of standard algorithms of setvalued identification of linear by parameters systems and recreation of state vector for linear discrete systems for the subclass of bounded disturbances (noise), for which its rate of change a priori estimate is known, are considered as well as generalization of obtained results for more narrow subclass of bounded disturbances, for which, moreover, its a priori estimate of calculated on the current interval sum of disturbances is given. 2006 Article Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 50-57. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206877 621.391 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Адаптивное управление и методы идентификации Адаптивное управление и методы идентификации |
| spellingShingle |
Адаптивное управление и методы идентификации Адаптивное управление и методы идентификации Кунцевич, В.М. Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений Проблемы управления и информатики |
| description |
Розглянуто модифікації стандартних алгоритмів множинної ідентифікації систем, лінійних за параметрами, і відновлення вектора стану лінійних дискретних систем для такого підкласу обмежених збурень (перешкод), для швидкості зміни яких відома апріорна оцінка. Розглянуто узагальнення отриманих результатів на ще один вужчий підклас обмежених збурень, для якого, зокрема, задано апріорну оцінку суми збурень, яку обчислюють на поточному інтервалі. |
| format |
Article |
| author |
Кунцевич, В.М. |
| author_facet |
Кунцевич, В.М. |
| author_sort |
Кунцевич, В.М. |
| title |
Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений |
| title_short |
Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений |
| title_full |
Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений |
| title_fullStr |
Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений |
| title_full_unstemmed |
Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений |
| title_sort |
гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Адаптивное управление и методы идентификации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206877 |
| citation_txt |
Гарантированные результаты в задачах параметрической идентификации и оценивания вектора состояния (фильтрации) при медленно изменяющихся ограниченных помехах измерений / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 50-57. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT kuncevičvm garantirovannyerezulʹtatyvzadačahparametričeskojidentifikaciiiocenivaniâvektorasostoâniâfilʹtraciiprimedlennoizmenâûŝihsâograničennyhpomehahizmerenij AT kuncevičvm garantovanírezulʹtativzadačahparametričnoíídentifíkacíítaocínûvannâvektorastanufílʹtracíípriobmeženihpereškodahvimírûvanʹŝopovílʹnozmínûûtʹsâ AT kuncevičvm guaranteedresultsinproblemsofparametricidentificationandestimationofvectorofstatefiltrationforslowlyvaryingboundednoiseofmeasurements7 |
| first_indexed |
2025-09-27T01:11:43Z |
| last_indexed |
2025-09-28T01:08:16Z |
| _version_ |
1844467934370463744 |
| fulltext |
© В.М. КУНЦЕВИЧ, 2006
50 ISSN 0572-2691
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 621.391
В.М. Кунцевич
ГАРАНТИРОВАННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В ЗАДАЧАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ И ОЦЕНИВАНИЯ
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ (ФИЛЬТРАЦИИ)
ПРИ МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ
ОГРАНИЧЕННЫХ ПОМЕХАХ ИЗМЕРЕНИЙ
Введение
В настоящее время имеется обширная литература, посвященная проблемам
получения гарантированных оценок векторов параметров и состояния при нали-
чии неконтролируемых ограниченных возмущений (помех), для которых заданы
их априорные множественные оценки. В работах [1, 2] рассматривались процеду-
ры получения уточненных гарантированных оценок для более узкого класса воз-
мущений, сужаемого за счет введения дополнительного ограничения.
Если для неконтролируемого возмущения nf задана его априорная оценка
const},:{ =∆≤=∈ fffn f (1)
то в [1, 2] дополнительно вводилась еще априорная оценка
,1
∆<σ≤∑
+
N
Nn
n
nf
N
.1>N (2)
Затем в [3] и в ряде других работ (см. библиографию, приведенную в [3])
процедуры построения гарантированных оценок для возмущений, удовлетворяю-
щих системе ограничений (1), (2), рассмотрены подробнее.
В настоящей работе описан класс ограниченных возмущений более узкий,
чем класс возмущений, удовлетворяющий лишь ограничению (1), а именно: кроме
ограничения (1) вводится дополнительное ограничение
.}:{1 ∆<δ≤∆∆=δ∈−=∆ + nnFnnn fffff (3)
Таким образом, будут рассмотрены ограниченные возмущения, скорость из-
менения которых также ограничена.
Введем вектор ).,( 1
T
+= nnn ffF В силу (1) он принадлежит множеству
,~ ffF ×= (4)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 51
но из (3) следует, что nF принадлежит также и множеству
}.)(:{ δ≤∆=ϕ∆=δ nnnF fFF (5)
Тогда окончательно из выражений (4) и (5) получим, что nF принадлежит
множеству (рис.1)
FF ~
Fδ= . (6)
f
∆
fn +1
∆ fN = δ
∆ fN = −δ
fn
F
f
−∆
−∆ ∆
F~
0
δ f
Рис. 1
1. Гарантированные оценки параметров
Рассмотрим класс объектов исследования без памяти, который описывается
уравнением
,,2,1,T =+= nfLUy nnn (7)
где m
nU R∈ — вектор управления (вектор «входа»), ny — скалярный «выход»
объекта, nf — неконтролируемое возмущение, удовлетворяющее ограничениям
(1) и (3), mL R∈ — вектор неизвестных, но постоянных параметров, для которого
задана априорная оценка
,0L∈L где 0L — выпуклое ограниченное множество. (8)
Опишем ниже такую процедуру определения последовательности гарантиро-
ванных оценок векторов параметров L (основанную на соответствующем приме-
нении результатов измерения «входов» и «выходов» объекта (7)), в которой ис-
пользуется вся априорная информация (1), (3) о свойствах неконтролируемых
возмущений.
На n-м шаге после измерения величин nU и ny для вектора L получаем его
текущую оценку
},:{~ T ∆≤−=∈ nnn yLULL L (9)
на (n + 1)-м шаге — аналогичную оценку
}.:{~
1
T
1 ∆≤−=∈ ++ nnn yLULL L (10)
52 ISSN 0572-2691
На (n + 1)-м шаге из (7) и (5) получаем оценку
}.:{ T
1 δ≤∆−∆=∈ + nnn yLULL L (11)
Тогда окончательно из непротиворечивых оценок (9)–(11) для вектора L име-
ем его текущую оценку
nnnnL LLLL ~~
111 +++ =∈ , (12)
что в совокупности с апостериорной оценкой
,1−∈ nL L (13)
имевшейся на (n − 1)-м шаге, дает результирующую апостериорную оценку
.111 −++ =∈ nnnL LLL (14)
Сделаем замечание об оценках (11), (14). Множество ,1+nL как и множе-
ства ,~
nL ,~
1+nL — гиперполосы, но в отличие от гиперполос nL~ и 1
~
+nL их
«толщина», равная nn U∆=ρ + /21 в том случае, когда nn UU ≥∆ или
1+≥∆ nn UU меньше толщины гиперполос nL~ и ,~
1+nL поскольку ,∆<δ
что и позволяет получить для вектора L его результирующую оценку ,1+nL луч-
шую, чем оценка
.~~ˆ
111 −++ =∈ nnnnL LLLL (15)
Рассмотрим теперь обобщение полученных результатов на тот же класс объ-
ектов исследования, но с нестационарными параметрами, которые описываются
уравнением
,T
nnnn fLUy += (16)
сохранив в силе ограничения (1), (3) на неконтролируемые возмущения .nf
Для последовательности векторов ,nL ,,2,1,0 =n сохранив для 0L его
оценку (8), введем дополнительное ограничение на скорость изменения векто-
ров nL во времени, приняв
}.:{1 rLLLLL nnnnn ≤∆∆=δ∈−=∆ ∞
∗
+ L (17)
Пусть на n-м шаге для nL имелась оценка
.nnL L∈ (18)
Тогда на основании (18) и (17) для вектора 1+nL получаем его прогнозную
оценку
.11
∗
++ δ+=∈ LLL nnnL
(19)
После измерения величин 1+nU и 1+ny из (16) и (1) будем иметь текущую
оценку этого вектора:
}.:{~
11
T
1111 ∆≤−=∈ ++++++ nnnnnn yLULL L (20)
Из (19) и (20) следует уточненная оценка вектора :1+nL
.~
1111 ++++ =∈ nnnnL LLL
(21)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 53
Повторяя аналогичные построения на (n + 2)-м шаге, получим прогнозную
оценку вектора 2+nL в виде
.)~( 11122
∗
++
∗
+++ δ+=δ+=∈ LLLLLL nnnnnL
(22)
Далее на основании измерения величин 2+nU и 2+ny следует оценка вектора :2+nL
},:{~
22
T
2222 ∆≤−=∈ ++++++ nnnnnn yLULL L (23)
что позволяет получить уточненную оценку
.~
2222 ++++ =∈ nnnnL LLL
(24)
Измеренные значения 21, ++ nn UU и 21, ++ nn yy определяют также и оценку
вектора 1+∆ nL в виде
}.:{~
11
T
1111 δ≤∆−∆∆∆=δ∈∆ ++++++ nnnnnn yLULL L (25)
На основании (17) прогнозная оценка этого вектора равна
.1
∗
+ δ∈∆ LnL (26)
Тогда из (25), (26) находим уточненную апостериорную оценку вектора
1+∆ nL в виде
.~
111
∗
+++ δδ=δ∈∆ LLL nnnL (27)
На основании оценок (21), (27) для вектора 2+nL получаем его апостериор-
ную оценку
).~()~( 11111112
∗
++++++++ δδ+=δ+∈∆+= LLLLLL
nnnnnnnn LLL (28)
Замечание. Поскольку апостериорная оценка ,~
1+δ nL определенная на осно-
вании априорной оценки разности возмущений ,121 +++ −=∆ nnn fff более точна,
чем априорная оценка
∗
δL вектора ,1+∆ nL то, следовательно, и окончательная
оценка (28) более точна, чем оценка (24).
2. Некоторые обобщения
Полученные выше результаты естественным образом обобщаются на класс
объектов с векторным «входом» и векторным «выходом», который описывается
уравнением
,,2,1,)( =+= nFUnHY nnn (29)
где ,m
nU R∈ как и выше, — «вход» объекта, k
nY R∈ — вектор «выхода»,
;mk ≤ k
nF R∈ — вектор неконтролируемых возмущений, удовлетворяющий си-
стеме ограничений
},const:{ =∆≤=∈ ∞nnn FFF F (30)
},:{1 ∆<δ≤∆∆=δ∈−=∆ ∞+ nnFnnn FFFFF (31)
54 ISSN 0572-2691
)(nH — матрица )( km× в общем случае переменных во времени параметров с
ограниченной скоростью их изменения, для i-х строк )(nHi которой заданы их
априорные оценки:
0)0( H∈iH — ограниченные выпуклые множества; ,,1 mi = (32)
).,0[},,1;)(:)({
)()1()(
∞∈=≤∆∆=
=δ∈−+=∆
∞
∗
nkirnHnH
nHnHnH
ii
iiii H
(33)
Из (29) для i-й компоненты )(nyi вектора )(nY на n-м шаге получаем
),()()( T nfUnHny inii += (34)
где )(nfi — i-я компонента вектора .nF
По измеренным значениям величин )(nyi и nU для i-й строки )(nHi опре-
деляем ее текущую оценку
}.)()(:)({)( T
, ∆≤−=∈ nynHUnHnH iininii H (35)
Аналогично для (n + 1)-го шага имеем текущую оценку строки )1( +nHi
в виде
}.)1()1(:)1({)( T
11, ∆≤+−++=∈ ++ nynHUnHnH iininii H (36)
По измеренным значениям ,nU 1+nU и )1(),( +nyny ii для )(nHi∆ получаем
текущую оценку
}.)()(:)({)( T
, δ≤∆−∆∆=δ∈∆ nynHUnHnH iininii H (37)
Дальнейшая процедура построения последовательности оценок строк ),(nHi
,,1 ki = с точностью до обозначений совпадает с описанной выше.
3. Гарантированные оценки вектора состояния динамических систем
Рассмотрим процедуру построения гарантированных оценок вектора состоя-
ния динамической системы, которая описывается разностным уравнением
,...,2,1,0,1 =+=+ nBuAXX nnn (38)
где m
nX R∈ — вектор состояния, nu — скалярное управление, А и В — соот-
ветственно матрица )( mm× и m-мерный вектор, которые без потери общности
примем канонической структуры
;0
0
T
mA
A
I
= .
1
0
0
=B (39)
Вектор nX измеряется при наличии медленно изменяющихся помех ,nZ
и результат измерения имеет вид
,nnn ZXY += (40)
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 55
где для векторов nZ заданы их априорные оценки
const},:{ =≤=∈ ∞ cZZZn Z (41)
}.:{1 csZZZZZ nnnnn <≤∆∆=δ∈−∈∆ ∞
∗
+ Z (42)
Пусть на n-м шаге для вектора nX имелась оценка
.nnX X∈ (43)
На основании (38) и (43) для вектора 1+nX получаем его гарантированную
прогнозную оценку
.11 nnnn uBAX +=∈ ++ XX
(44)
Из (43) и (44) для вектора nX∆ следует его прогнозная оценка
,~)( nnnnnnn uBAuBAX +=−+=δ=∆ XXXX
где
.~ IAA −= (45)
Сделаем замечание относительно операции вычитания множеств в (45). Если
},{conv
,1
i
n
Ni
n X
=
=X где i
nX — i-я вершина ,nX а N — число вершин, то под
nn XX −= будем понимать множество }.{conv
,1
i
n
Ni
n X−=
=
X
На (n + 1)-м шаге после измерения вектора 1+nY из (40), (41) имеем∗
.~
111 ZX +=∈ +++ nnn YX (46)
Из двух оценок (45), (46) получаем текущую оценку вектора :1+nX
).()(~
11111 nnnnnnn uBAYX ++==∈ +++++ XZXXX
(47)
На основании (47) и (38) получаем прогнозную оценку вектора 2+nX в виде
.1122 ++++ +=∈ nnnn uBAX XX
(48)
Для (n + 2)-го шага после измерения вектора 2+nY из (40) и (41) следует его
оценка
.~
222 ZX +=∈ +++ nnn YX (49)
Из двух непротиворечивых оценок (48), (49) вектора 2+nX имеем его уточ-
ненную оценку
.~
2222 ++++ =∈ nnnnX
XXX (50)
На (n + 2)-м шаге измеренные значения 1+nY и 2+nY позволяют на основании
(40) и (42) получить для вектора 1+∆ nX его оценку
.~
111
∗
+++ δ+∆=δ∈∆ ZX nnn YX (51)
∗ Так как множество Z симметрично относительно начала координат, то знак (−) в (46) заменен зна-
ком (+), поскольку это не влияет на конечный результат.
56 ISSN 0572-2691
Далее из (47) и (50) для вектора 121 +++ −=∆ nnn XXX имеем оценку
.1211 ++++ −=δ∈∆ nnnnX XXX (52)
Тогда окончательно из (51), (52) для 1+∆ nX следует его оценка
.~ˆ
1111 ++++ δδ=δ∈∆ nnnnX XXX (53)
Оценки (47) и (53) позволяют для вектора 112 +++ ∆+= nnn XXX получить
его оценку
.ˆ
1122 ++++ δ+=∈ nnnnX XXX (54)
Наличие в (53), а следовательно, и в окончательной оценке (54) вектора
2+nX оценки ,
∗
δZ диаметр которой по определению меньше диаметра оценки Z,
определяет бóльшую точность оценки (54), чем оценка (50).
Дальнейшее повышение точности гарантированных оценок векторов пара-
метров и (или) векторов состояния динамических систем может быть достигнуто
для еще более узкого класса ограниченных возмущений, чем возмущения, удо-
влетворяющие лишь ограничениям (1) и (3).
Так, наряду с ограничениями (1), (3) введем дополнительное ограничение (2).
Нетрудно убедиться, что ограничения (2) и (3) непротиворечивы и все три огра-
ничения (1)–(3) определяют непустое множество
),(~ NFF σδ= FF (55)
.1:)(
∆<σ≤σ=σ ∑
+
N
Nn
n
nFF f
N
N (56)
При N = 2 на рис. 2 построено множество ,F определяемое выражениями
(55), (56), диаметр которого по определению меньше диаметра множества F,
определяемого выражениями (5), (6).
f
∆
fn +1 ∆ fN = δ
∆ fN = −δ
fn
f
−∆
−∆ ∆
F~
0
F~
σf
f~σ
δf
Рис. 2
Очевидная трансформация описанных выше алгоритмов определения гаран-
тированных оценок параметров или векторов состояния позволяет учесть допол-
нительное ограничение (2), налагаемое на возмущения ,nf что в конечном счете
определяет бóльшую мощность результирующих гарантированных оценок.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 57
Заключение
В настоящей работе рассмотрены алгоритмы определения гарантированных
оценок векторов параметров и состояния динамических систем, использующие
операцию пересечения многогранников с гиперполосами, что в конечном счете
порождает последовательность оценок также в виде многогранников. Эти проце-
дуры можно реализовать, в частности, с помощью пакета Interval-Set Analysis
MATLAB Toolbox [4].
Естественно, что для уменьшения вычислительных затрат, требуемых для
выполнения операций пересечения многогранников с гиперполосами, могут ис-
пользоваться различные модификации аппроксимации многогранников много-
мерными эллипсоидами, подробно описанные в литературе.
В.М. Кунцевич
ГАРАНТОВАНІ РЕЗУЛЬТАТИ В ЗАДАЧАХ
ПАРАМЕТРИЧНОЇ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ТА
ОЦІНЮВАННЯ ВЕКТОРА СТАНУ (ФІЛЬТРАЦІЇ)
ПРИ ОБМЕЖЕНИХ ПЕРЕШКОДАХ ВИМІРЮВАНЬ,
ЩО ПОВІЛЬНО ЗМІНЮЮТЬСЯ
Розглянуто модифікації стандартних алгоритмів множинної ідентифікації сис-
тем, лінійних за параметрами, і відновлення вектора стану лінійних дискретних
систем для такого підкласу обмежених збурень (перешкод), для швидкості змі-
ни яких відома апріорна оцінка. Розглянуто узагальнення отриманих результа-
тів на ще один вужчий підклас обмежених збурень, для якого, зокрема, задано
апріорну оцінку суми збурень, яку обчислюють на поточному інтервалі.
V.M. Kuntsevich
GUARANTEED RESULTS IN PROBLEMS
OF PARAMETRIC IDENTIFICATION
AND ESTIMATION OF VECTOR OF STATE
(FILTRATION) FOR SLOWLY VARYING
BOUNDED NOISE OF MEASUREMENTS
Modifications of standard algorithms of set-valued identification of linear by parame-
ters systems and recreation of state vector for linear discrete systems for the subclass
of bounded disturbances (noise), for which its rate of change a priori estimate is
known, are considered as well as generalization of obtained results for more narrow
subclass of bounded disturbances, for which, moreover, its a priori estimate of calcu-
lated on the current interval sum of disturbances is given.
1. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игро-
вой подход. — Киев : Наук. думка, 1985. — 245 с.
2. Kuntsevich V.M., Lychak M.M. Guaranteed estimates, adaptation and robustness in control sys-
tems // Lecture Notes in Control and Inform. Sci. — Heigelberg : Springer-Verlag, 1992. —
169. — 209 р.
3. Лычак М.М. Элементы теории хаотичностей и ее применения // Проблемы управления и
информатики. — 2002. — № 5. — С. 52–63.
4. Зелык Я.И., Лычак М.М., Шевченко В.Н. Моделирование и идентификация объектов управ-
ления с применением Interval-Set Analysis Matlab Toolbox // Там же. — 2003. — № 2. —
С. 42–57.
Получено 15.05.2006
Введение
1. Гарантированные оценки параметров
2. Некоторые обобщения
3. Гарантированные оценки вектора состояния динамических систем
Заключение
|