Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре

З точки зору теорії випадкових атракторів досліджується якісна поведінка розв’язків еволюційного включення, збуреного стохастичним cadlagпроцесом. Доведено, що всі його інтегральні розв’язки породжують багатозначну випадкову динамічну систему, для якої у фазовому просторі існує випадковий атрактор....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Иоване, Ж., Капустян, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Экономические и управленческие системы
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206884
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре / Ж. Иоване, А.В. Капустян // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 122-134. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206884
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2068842025-09-27T00:04:31Z Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре Випадкова динаміка стохастично збуреного еволюційного включення та проблема розподілу влади в ієрархічній структурі Random dynamics of stochastically perturbed evolution inclusion and problem of distribution of power in hierarchical structure Иоване, Ж. Капустян, А.В. Экономические и управленческие системы З точки зору теорії випадкових атракторів досліджується якісна поведінка розв’язків еволюційного включення, збуреного стохастичним cadlagпроцесом. Доведено, що всі його інтегральні розв’язки породжують багатозначну випадкову динамічну систему, для якої у фазовому просторі існує випадковий атрактор. Для прикладу розглянуто задачу розподілу влади в складних мілітаристичних структурах. From the point of view of random attractors theory we investigate qualitative behavior of solution of evolution inclusion, which is perturbed by stochastic «cadlag» process. We prove that all its integral solutions generate multivalued random dynamical system, which has a random attractor in the phase space. As an example we consider the problem of distribution of power in complex military structures. 2006 Article Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре / Ж. Иоване, А.В. Капустян // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 122-134. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206884 517.9 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Иоване, Ж. Капустян, А.В. Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре Проблемы управления и информатики
description	З точки зору теорії випадкових атракторів досліджується якісна поведінка розв’язків еволюційного включення, збуреного стохастичним cadlagпроцесом. Доведено, що всі його інтегральні розв’язки породжують багатозначну випадкову динамічну систему, для якої у фазовому просторі існує випадковий атрактор. Для прикладу розглянуто задачу розподілу влади в складних мілітаристичних структурах.
format	Article
author	Иоване, Ж. Капустян, А.В.
author_facet	Иоване, Ж. Капустян, А.В.
author_sort	Иоване, Ж.
title	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре
title_short	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре
title_full	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре
title_fullStr	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре
title_full_unstemmed	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре
title_sort	случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206884
citation_txt	Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре / Ж. Иоване, А.В. Капустян // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 4. — С. 122-134. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT iovanež slučajnaâdinamikastohastičeskivozmuŝennogoévolûcionnogovklûčeniâiproblemaraspredeleniâvlastivierarhičeskojstrukture AT kapustânav slučajnaâdinamikastohastičeskivozmuŝennogoévolûcionnogovklûčeniâiproblemaraspredeleniâvlastivierarhičeskojstrukture AT iovanež vipadkovadinamíkastohastičnozburenogoevolûcíjnogovklûčennâtaproblemarozpodíluvladivíêrarhíčníjstrukturí AT kapustânav vipadkovadinamíkastohastičnozburenogoevolûcíjnogovklûčennâtaproblemarozpodíluvladivíêrarhíčníjstrukturí AT iovanež randomdynamicsofstochasticallyperturbedevolutioninclusionandproblemofdistributionofpowerinhierarchicalstructure AT kapustânav randomdynamicsofstochasticallyperturbedevolutioninclusionandproblemofdistributionofpowerinhierarchicalstructure
first_indexed	2025-09-27T01:12:26Z
last_indexed	2025-09-28T01:08:58Z
_version_	1844467978157948928
fulltext	© Ж. ИОВАНЕ, А.В. КАПУСТЯН, 2006 122 ISSN 0572-2691 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 517.9 Ж. Иоване, А.В. Капустян СЛУЧАЙНАЯ ДИНАМИКА СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО ВКЛЮЧЕНИЯ И ПРОБЛЕМА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАСТИ В ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ Введение. При исследовании глобально разрешимых эволюционных систем, описывающих реальные физические, экономические и социальные процессы, од- на из наиболее интересных задач состоит в описании предельных режимов систе- мы, на которые она выходит с течением времени. В бесконечномерных системах удобным инструментом для решения этой за- дачи служит теория минимальных притягивающих множеств — глобальных ат- тракторов, которая дает ответ на вопрос об асимптотическом поведении при больших временах для широкого класса эволюционных систем. Данная теория в ее классическом варианте всесторонне изучена в работах О.А. Ладыженской, Дж. Хейла, М.И. Вишика, Р. Темама и других. В [1–4] показано, что теория глобальных аттракторов допускает обобщение на случай многозначных динамических систем, которые описывают поведение эволюционных глобально разрешимых систем без единственности решения зада- чи Коши. В случае, когда на систему действуют внешние факторы случайного характе- ра, возникает ряд дополнительных трудностей, связанных с неавтономностью та- ких систем и неограниченностью траекторий. Удобным аппаратом для их иссле- дования служит теория случайных динамических систем [5]. В рамках этой тео- рии в работе [6] предложена концепция случайного аттрактора как измеримого инвариантного множества, которое притягивает траектории в обратном времени. Соответствующее обобщение на многозначный случай получено в [7, 8]. В данной работе теория случайных аттракторов многозначных случайных динамических систем применяется к эволюционному включению с нелипшицевой правой частью, возмущенному стохастическим cadlag-процессом [5]. Полученные абстрактные результаты используются при исследовании про- блемы распределения власти в сложных милитаристических структурах. Постановка задачи. Пусть H — действительное сепарабельное гильберто- во пространство; ,),( ⋅⋅ ⋅ — скалярное произведение и норма в H; H:ϕ ],( ∞+∞− — собственная, выпуклая, полунепрерывная снизу функция, HHD 2)(: ⊂ϕ∂ϕ∂ — ее субдифференциал. Рассмотрим задачу ,)(0 ,),()()()( 0 Hyy tygyFy dt dy ∈= ωξ++ϕ∂−∈ (1) Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 123 где ,2: HHF  HHg : — заданные отображения, ),( ωξ t — разрывный стохастический процесс с cadlag-траекториями, т.е. каждая траектория ),( ωξ t с вероятностью 1 непрерывна справа и имеет конечную левую границу. Из канонического представления таких процессов [5] следует, что ,:),( RRt Ω×ωξ=ξ где Ω — метрическое пространство Скорохода с борелев- ской σ-алгеброй Φ, группой сдвига )()( tt +⋅ω=⋅ωθ и θ t-инвариантной мерой P, .)}()(lim),(:)(lim:)({)( tstsRtRRRD tsts ω=ω−ω=ω∃∈∀⋅ω==Ω +→−→  Тогда ,)()(),( ωθπ=ω=ωξ ttt где ,: RΩπ (0))( π=ωπ — канонический изме- римый стационарный стохастический процесс с cadlag-траекториями. Из [5] следует, что }:{ ΩΩθ t — метрическая динамическая система, т.е. отображение ωθω tt ),( измеримо, ,0 ω=ωθ ,ωθθ=ωθ + stst .PPt =θ Известно, что каждая функция )()( ⋅∈⋅ω D измерима, ограничена на ограни- ченных интервалах, не имеет точек разрыва 2-го рода и имеет не более счетного числа точек разрыва 1-го рода. Кроме того, если 0ω→ωk в )(RD , то )()( 0 ttk ω→ω для п.в. ],[ bat ∈ ,],[ Rba ⊂∀ ,)(sup)(sup 0 ],[],[ tBAt bat k bat ω+≤ω ∈∈ где константы 0, ≥BA не зависят от k. Тогда, согласно теореме Лебега, 0ω→ωk в 1.),( ≥∀qbaLq Основная задача работы — показать, что решения (1) порождают многознач- ную случайную динамическую систему, для которой существует случайный ат- трактор в фазовом пространстве. Элементы теории многозначных случайных динамических систем (МСДС). Пусть ),( ⋅X — сепарабельное банахово пространство с борелевской σ-алгеброй ,)(Xσ )(XC — множество всех непустых замкнутых подмножеств X, )(Xβ — множество всех непустых ограниченных подмножеств X, )(XCv — множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств X. Для XBA ⊂, положим ,sup aA Aa∈ = ,infsup),(dist baBA BbAa −= ∈∈ =δ )(AO },<),(dist{ δ∈= AxXx },{ rxXxBr ≤∈= A — замыкание A в X. Пусть (Ω, Φ, P) — вероятностное пространство, Rtt ∈ΩΩθ }:{  — метриче- ская динамическая система, Φ — пополнение Φ по мере P. Многозначное отображение )(: XCF Ω называется измеримым, если для любого открытого множества XO ⊂ множество })({ ∅≠∩ωΩ∈ω OF принад- лежит Φ. Следующие утверждения эквивалентны [9]: 1) F измеримо; 2) ))(,(dist ωω Fx измеримо ;Xx ∈∀ 3) существуют измеримые функции ∞ =ω 1)}({ nnf такие, что .)()( 1= ω=ω ∞ n n fF  Кроме того, известно, что если F измеримо, то )(ωω F — Φ-измеримо и если ),(XG σ×Φ∈ то множество }),({ GxXx ∈ω∈∃Ω∈ω принадлежит .Φ 124 ISSN 0572-2691 Определение 1. Многозначное отображение )(: XCXRG ×Ω×+ называ- ется МСДС, если 1) Xx ∈∀ отображение xtGt ),(),( ωω  измеримо; 2) ,=),(0 xxG ω xsGtGxstG s ),(),(),( ωωθ⊂ω+ .,, XxRst ∈∀∈∀ + Измеримое отображение )(: XCF Ω называют измеримым множе- ством .)(ωF Определение 2. Измеримое множество )(ωA называется случайным аттрак- тором МСДС G, если для P-п.в. :Ω∈ω 1. +∈∀ωω⊂ωθ RtAtGA t )(),()( (полуинвариантность); 2. ,0,))(,),((dist ∞+→→ωωθ− tABtG t )(XB β∈∀ (притяжение); 3. )(ωA — компакт в X. Чтобы доказать существование случайного аттрактора, введем некоторые важные ограничения на МСДС G: (G1) 0>r∀ отображение rBtGt ),(),( ωω  измеримо; (G2) .<}>),(sup){,(0>)(0> εωθε=∃∀ε=∃ε∀ − ≥ RBtGrTTrRR rt Tt Легко видеть, что если МСДС G удовлетворяет условию (G1), то (G2) корректно определено, т.е. 0>r∀ 0>T∀ отображение rtTt BtG ),(sup ωθω −≥  Φ -измеримо. Следующий результат дает способ проверки условия (G1) в приложениях. Лемма 1. Пусть Ω — метрическое пространство с борелевской σ-алгеброй Φ и )(: XCXRG ×Ω×+ удовлетворяет следующему условию: если XBtGyy BtGyttr rn rnnnnn в),( ;),(,в0,>0,> 000 00 ω∈→ ω∈Ωω→ω→∀ по некоторой подпоследовательности, то G удовлетворяет ограничению (G1). Доказательство. Согласно [9], достаточно проверить, что )(XCС ∈∀ и 0>r∀ .)(}),(),{( Φ×σ∈∅≠∩ωω= +RCBtGtL r Для любого 1≥k рассмотрим .),(,1),(       ∅≠∩ω≥ω= CBtG k ttL rk Если ,),( knn Lt ∈ω ,),(),( 00 ω→ω tt nn то rnnn BtGy ),( ω∈∃ такое, что ./1),(dist nCyn ≤ Согласно условию леммы, по некоторой подпоследовательно- сти .),( 000 rn BtGyy ω∈→ Поэтому Cy ∈0 и множества kL замкнуты. Следо- вательно, Φ×σ∈ + )(RLk и      ∅≠∩Ω× ∅∩ ≥ ≥ .если},{0 ,=если, = 1 1 CBL CBL L rk k rk k   Отсюда следует, что ,)( Φ×σ∈ +RL и лемма доказана. Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 125 Следующий результат о существовании случайного аттрактора доказан в [8]. Лемма 2. Пусть для всех Ω∈ω∈ + ,Rt отображение xtGx ),( ω полуне- прерывно сверху и имеет компактные значения, МСДС G удовлетворяет (G1), (G2) и 0>0,>, rtΩ∈ω∀ множество rBtG ),( ω — компакт в X. Тогда МСДС G имеет случайный аттрактор ).(ωA Кроме того, с вероятностью 1 он единственен, минимален среди всех замкнутых притягивающих множеств и максимален среди всех компактных, измеримых, полуинвариантных множеств. Многозначная случайная динамическая система, образованная задачей (1). Предположим, что HHF 2:  и HHg : удовлетворяют условиям: (F1) )(: HCHF v — полунепрерывно сверху, HHg : — непрерывно; (F2) 0, ≥∃ DC Hv ∈∀ ;)( vDCvg +≤ (F3) 0, 11 ≥∃ DC Hv ∈∀ ;)( 11 vDCvF +≤ (F4) 0>R∀ множество })(,{= RuRuHuM R ≤ϕ≤∈ — компакт в H; (F5) 0>0,> Mδ∃ такие, что )()(),( uFuyDu +ϕ∂−∈∀ϕ∂∈∀ выполняется .),( 2 Muuy +δ−≤ Для )(=),( tt ωωξ определим .)()()(=),( tygyFytF ω+ω Тогда HF ×ω : ),(HCv )(:),( HCHtF v⋅ω — полунепрерывно сверху ,Rt ∈∀ ),( yF ⋅ω имеет измеримый селектор Hy ∈∀ и ,)()(),( ytDtCytF +≤ω где ),(tC 0)( ≥tD и ограничены на ][0, T .0>∀T При этом для )(ϕ= DX известно [11], что 0>0 TXy ∀∈∀ существует по крайней мере одно интегральное реше- ние (1), т.е. непрерывная функция ,][0,:),(=)( 0 XTyyy ω⋅⋅ 0(0) yy = такая, что ))(,()(),;(0,1 ττ∈τ∈∃ ωωω yFfXTLf для п.в. )(0, T∈τ и ,)( ϕ∂∈∀ Du )(uv ϕ∂−∈∀ st ≥∀ .))(,)((2)()( 22 τ−τ+τ+−≤− ω∫ duyvfusyuty t s Кроме того, при выполнении условий (F1)–(F4) каждое интегральное реше- ние (1) — это строгое решение (1), т.е. )(⋅y абсолютно непрерывна на )(0, T и .(0) ,)(0,нап.в.)())(()( 0yy Ttfty dt tdy = +ϕ−∂∈ ω (2) Решение (2) обозначим )()()( 0 ⋅=⋅ ωfyIy и множество всех решений (1) на ],[0, T стартующих из точки ,0y — ).];[0,()( 0 XTCyT ⊂Ψ Тогда, согласно [11], )( 0yTΨ — компакт в )];[0,( XTC и отображение )( 00 yy TΨ полунепрерывно сверху. Определим многозначное отображение 000 ),(),({),( yyytyytG ω⋅ω=ω — решение (1)}. (3) Теорема 1. Пусть выполнены условия (F1)–(F5) и (G1) и процесс )(=),( tt ωωξ для некоторого 0>η удовлетворяет условиям: 126 ISSN 0572-2691 (P1) ;1><)(1sup10> 0 ε−         η− δ ω≥∃ε∀ ∫ −≥ D dpp t T tTt (P2) .1><)(sup10> 2 0 0 ε−         ω≥∃ε∀ η −≥ ∫ KdsesPK sD tt Тогда семья отображений },2:{ XXRG ×Ω×+ определенных формулой (3), порождает МСДС, для которой существует случайный аттрактор в фазовом про- странстве X. Замечание 1. Отметим, что условие (G1) будет использоваться только для корректности (G2). Выполнение условия (G1) проверено в Примере. Доказательство. Проверим выполнение условий определения 1. Пусть .),( 0ystGy ω+∈ Тогда ,),( 0ystyy ω+= где )()(),( 00 ⋅=ω⋅ ωfyIyy — реше- ние (1). Тогда 00 ),(),( ysGysy ω∈ω и ,)( ϕ∂∈∀ Du ,)(uv ϕ∂−∈∀ 0≥≥∀ qp .)),(,)((2),(),( 0 2 0 2 0 τ−ωτ+τ+−ω+≤−ω+ ω + + ∫ duyyvfuysqyuyspy sp sq Для фиксированного s положим .),(:),( 0yspypz s ω+=ωθ Тогда ,),( ωθ= stzy 0),()(0, ysyz s ω=ωθ и 0≥≥∀ qp ,)),(,)((2),(),( 22 τ−ωθτ++τ+−ωθ≤−ωθ ω∫ duzvsfuqzupz s p q ss где )()),(()),(()( 00 sysygysyFsf +τωω+τ+ω+τ∈+τω для п.в. τ. Отсюда сле- дует, что )()),(()),(()(:)( τωθωθτ+ωθτ∈τω=+τ θω ssss zgzFfsf и ),( ωθ⋅ sz — решение (2) с начальным условием 0),( ysy ω и правой частью .)(⋅ωθs f Таким об- разом, ∈ωθ= ),( stzy .),(),( 0ysGtG s ωωθ∈ Теперь докажем некоторые общие свойства решений (1). Пусть ∈ny ,),( 0 n nn ytG ω∈ где 0,>0ttn → 0ω→ωn в Ω, 00 yyn → слабо в H; .> 0tT Тогда ,),()( 0 n nnnnnn ytytyy ω== )(⋅ny — решение задачи ,(0) ,)(0,нап.в.)())(()( 0 n n nn n yy Ttfty dt tdy = +ϕ−∂∈ (4) где )())(())(())(,()( ttygtyFtytFtf nnnnnn ω+=∈ ω для п.в. )(0, Tt ∈ . Таким об- разом, ,)())(()()( ttygtztf nnnn ω+= ))(()( tyFtz nn ∈ п.в. на .)(0, T Поскольку ,);(0,2 HTLfn ∈ на основании результатов работы [12] получаем, что ][0, Tt ∈∀ ,)()( 0 20 dssfCyty n t n n ∫++≤ (5) ,)())(( 2 0 20 0         ++≤ϕ ∫∫ dssfCydssy n t n n t (6) Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 127 ;))(()( 2 1))(( 0 2 0 dssydssfstyt n t n t n ϕ+≤ϕ ∫∫ (7) константа 02 ≥C зависит только от функции ϕ. С учетом того, что +≤ 1)( Ctfn )),(()()(1 tDyCttyD nnn +ω++ из (5)–(7) находим )())(()()( TCtyttfty nnn ≤ϕ++ ,][0, Tt ∈∀ (8) где константа 0)( ≥TC не зависит от n. Из (8) и (F4) следует, что последовательность 1)}(={ ≥nnnn tyy предкомпакт- на в H. Поэтому по некоторой подпоследовательности yyn → в H. В частности, ,Ω∈ω∀ ,0>t 0>r множество rBtG ),( ω — компакт в H. Для проверки других условий определения 1 и леммы 2 достаточно считать, что 00 yyn → сильно в H. Из (8) и [11] по некоторой подпоследовательности ffn → слабо в ,);(0,2 HTL )()( ⋅→⋅ yyn в )];([0, XTC и .)()()( 0 ⋅=⋅ fyIy В частности, ,)()(= 0tytyy nnn → и для включения 0000 ),()( ytGty ω∈ следует проверить включение )())(())(())(,()( 00 ttygtyFtytFtf ω+=∈ ω для п.в. .)(0, Tt ∈ Поскольку ,)())(()()( ttygtztf nnnn ω+= )())(()())(( 0 ttygttyg nn ω→ω для п.в. ,)(0, Tt ∈ ,))(()( tyFtz nn ∈ zzn → слабо в ),;(0,2 HTL то += )()( tztf )())(( 0 ttyg ω+ и остается доказать включение ))(()( tyFtz ∈ для п.в. .)(0, Tt ∈ Так как ))(()( tyFtz nn ∈ и ,)()( tytyn → из (F1) получаем: 0>ε∀ :N∃ Nn ≥∀ справедливо .)))((()( tyFOtzn ε∈ Поскольку множество )))((( tyFOε выпукло, то ))).((()(co tyFOtzn Nn ε ≥ ⊂ Согласно [11], ),(co)( tztz n Nn≥ ∈  поэтому ))).((()( tyFOtz ε∈ Следовательно, ))(()( tyFtz ∈ и, значит, 0000 ),()( ytGty ω∈ . Как следствие, ,0>t∀ Ω∈ω отоб- ражение xtGx ),( ω полунепрерывно сверху и имеет компактные значения. Кроме того, повторяя доказательство леммы 1 (с заменой rB на x) находим, что Xx ∈∀ отображение xtGt ),(),( ωω  измеримо. Докажем условие (G2). Вследствие того, что )(),()( 0 ϕ∂∈ω= Dytyty для п. в. ,0>t выполняются неравенства ,2)()()(2)()(2)( ,)),(()()()( 2 1 222 22 MtytDtCtyty dt d yygtMtyty dt d +ωγ++ω≤δ+ ω++δ−≤ γ (9) где 0>γ произвольно и будет выбрано позже, ./= 2 γγ CC Тогда ,2)()())()(2(2)( 22 MtCtytDty dt d +ω≤ωγ+−δ+ γ и из леммы Гронуолла следует 128 ISSN 0572-2691 + ∫ ≤ δ−ωγ+ dppD t eyty )2)()2( 2 0 2 0)( .))((2 )2)()2( 0 dsesCM dppDt t s δ−ωγ+ γ ∫ ω++ ∫ (10) Из (F4) и (8) получаем, что 0>r∀ 0>> 21 TT∀ Ω∈ω∀ ],[)( 21 TTt ∈ω∃ rBy ∈ω∃ )(0 такое, что .)()),((),(sup 0)( ],[ 21 ωωθω=ωθ ω−− ∈ ytyBtG trt TTt Поскольку отображение rt TTt BtG ),(sup ],[ 21 ωθω − ∈  Φ -измеримо, то отображе- ние )()),((sup 0)( ],[ 21 ωωθωω ω− ∈ yty t TTt  также Φ -измеримо. Зафиксируем ,0>ε 1≥N и рассмотрим множество .}>)()),(({}>),(sup{ 22 0)( 22 ],[ RytyRBtGL trt NTTt N ωωθωω=ωθω= ω−− +∈ Из оценки (10) находим: + ∫ ω     ⊂ ωγ+         γ+δ−ω ω ω− )()(2)2(/2)( )( 1 2 0 )( tDDdpp tN terL .>))((2 2 )(2)2(/2)(1 0 )( 0 )(     ω+ ∫ + γ γ+         γ+δ−ω ω− ω−∫ RdssCMe sDDdpp s t t Определим множество .1 )( )()(2)2/(2 )( 1 2 1 0 )(     ≥ ω∫ ω     = ωγ+        γ+δ− ω ω− tDDdp t p erA t Следовательно, .1ln )()(2 1 2 2)( )( 1 2 0 )( 1           ωγ+ ≥ γ+ δ −ω ω ω     ⊂ ∫ ω− rtDD dpp t A t Выберем 0>γ из неравенства 2 > 2 2 η − δ γ+ δ DD и )(rTT = из неравенства . 2 >1ln )(2 1 2 η −      γ+ rTD Тогда ⊂    η − γ+ δ −ω ω ω     ⊂ ∫ ω− 2 > 2 2)( )( 1 0 )( 1 D dpp t A t .>)(1sup 2 > 2 2)(1sup 00     η− δ −ωω     ⊂    η − γ+ δ −ωω     ⊂ ∫∫ −≥−≥ D dpp tD dpp t tTttTt Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 129 Из (P1) получаем, что )(11 ε=∃ TT Ω⊂∃ 2A 4 <)( 2 εAP такие, что 2\ AΩ∈ω∀ вы- полняется неравенство .)(1sup 0 1 η−≤ δ −ω∫ −≥ D dpp t tTt Таким образом, ≥ε=∃ ),(22 rTT :)(1 rTT +≥ .],[)(4/<)( 221 NTTtAP +∈ω∀ε Отсюда следует, что ⊂     −ω+ ω∫ ω     ∪⊂ γ γ+      γ+ δ + ω− ∫ 1>))((2 )( 2 )(2 2 21 0 )( 1 0 RdssCM p eAL sD D dp s t N s + ω∫ ω+ω     ∪∪⊂ γ+        γ+ δ + γ − ∫ ds p esCMAA sD D dp s T s )(2 2 21 0 21 )( ))((2 0 1 =     −ω++ η γ −− ∫ 1>))((2 22 0 2 RdsesCM sD NT ,>)()( 2 2 0 21 2    − ω+ωω     ∪∪= η −− ε ∫ B ARdsesfAA sD NT где константы ,0>, BA Rf Ωε : измерима, P — п.в. конечная функция. Сле- довательно, )(= 11 ε∃ RR Ω⊂∃ εA такие, что 3A∈ω∀ справедливо 1>)( Rf ωε и .4/<)( 3 εAP Из (P2) выводим, что )(= ε∃ KK такое, что 0>t∀ .4/<>)( 2 0 ε     ωω     η∫ KdsesP sD t Выбрав )(= εRR из неравенства ,>)(/)( 1 2 KRBAR ε−− получаем 0>ε∀ )(ε=∃ RR 0>r∀ ),(= rTT ε∃ 1≥∀N .<}>),(sup{)( 22 ],[ εωθω= − +∈ RBtGLP rt NTTt N Поскольку ,1+⊂ NN LL то для }>),(sup{== 22 1 RBtGLL rt Tt N N ωθω − ≥ ∞ =  вы- полняется ,<)( εLP что и доказывает теорему. Следствие. Если ,0=D т.е. Hv ∈∀ справедливо ,)( Cvg ≤ то утверждение теоремы 1 остается верным в случае, когда вместо (P1), (P2) выполняется следу- ющее условие: (P3) )2(0, δ∈γ∃ .1><)(sup10> 2 0 0 ε−     ω     ≥∃ε∀ γ −≥ ∫ KdsesPK s tt Доказательство. Достаточно проверить условие (G2). Если ,0=D то вместо (9) можем записать 130 ISSN 0572-2691 . 2 )( 2)()( 22 22 γ−δ ω +≤γ+ tC Mtyty dt d Тогда после простых преобразований получаем ,>)( 2 2 22 0 )( 2 )(2     ω γ−δ + γ +ω     ⊂ γ ω− ωγ− ∫ RdpepCMerL p t tN где .],[)( NTTt +∈ω Поэтому 0>ε∀ :)(=)(= ε∃∃ RRrTT     ωω     ⊂ γ −− ∫ KdpepL p NT N >)( 2 0 ,1≥∀N откуда, используя (P3), выводим (G2). Пример. Рассмотрим задачу распределения власти в сложной милитаристи- ческой структуре [10]. В современных условиях ведения боевых действий все ча- ще возникает ситуация, когда как единое целое вынуждены действовать не только различные виды войск, но и воинские подразделения разных стран (например, со- временные антитеррористические коалиции). Тогда одна из главных проблем за- ключается в согласованности действий внутри милитаристической структуры, что, в свою очередь, в значительной мере зависит от правильного распределения властных полномочий и их адекватности текущей ситуации, зависящей от множе- ства случайных факторов и обстоятельств. Перейдем к описанию модели. Пусть милитаристическая структура состоит из 1+N звена сосредоточения власти, которые обозначим .0, Ni ∈ Самое выше- стоящее звено имеет номер 0, самое нижестоящее — номер N. Предположим, что структура строго упорядочена в том смысле, что приказы могут передаваться только от звена i к звену .1+i Такое упорядочение в разнородных больших ми- литаристических структурах — весьма нетривиальная задача (например, в анти- террористической коалиции, состоящей из воинских подразделений несколь- ких стран, существует тривиальная проблема согласованности воинских званий и т.д.). Поэтому предполагаем, что звенья структуры упорядочены при помощи некоторого количественного критерия, учитывающего количество основных ре- сурсов, находящихся в ведении данного звена (основной и вспомогательный ря- довой состав, вооружение, коммуникации, размер и важность контролируемой территории), а также степень политического влияния. Наша основная задача со- стоит в исследовании функции ,),( tip которая характеризует уровень власти, фактически достигаемой звеном i в момент времени t. Так как милитаристическая структура во время боевых действий функционирует в более общей системе (рядовой состав вооруженных сил, местное население и т. д.), то всегда существу- ет реакция данной системы на действия милитаристической структуры, а также и на текущее распределение власти внутри структуры. Эта реакция не может быть измерена точно, но вполне может быть оценена, что приводит к ее описанию че- рез некоторое многозначное отображение )).,(( tipff = Тогда перераспределе- ние властных полномочий внутри рассматриваемой структуры происходит сле- дующим образом. Пусть звено i отдает приказ звену .1+i Вместе с приказом под- чиненное звено получает некоторую часть властных полномочий дополнительно к тем, которыми обладает. С другой стороны, звено i теряет часть своих полномо- чий, перекладывая ответственность за некоторые процессы на звено .1+i Теперь Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 131 определим поток власти ),( tiq как количество властных полномочий, получен- ных за единицу времени звеном 1+i от звена i. Следовательно, поток власти ),( tiq можно определить довольно общим выражением ,)),()1,((),( tiptiptiq −+κ= где константа 0>κ отвечает за механизм передачи приказов через бюрократиче- ский аппарат милитаристической структуры (для простоты будем считать ).1=κ Исходя из допущения, что скорость изменения уровня власти звена i опреде- ляется потоком власти, реакцией системы и случайными факторами, не завися- щими от милитаристической структуры, получаем следующее включение: ,))(()),(()),()1,((),(),( 2 ttt WWittipfttiqtiqtipttip −σ+∆+∆−−∈−∆+ ∆+ (11) где значение )(iσ зависит лишь от места звена в иерархии и определяет величину влияния случайных обстоятельств на изменение уровня власти. Будем считать, что cлучайные обстоятельства имеют характер «белого шума», т.е. tW — стан- дартный двусторонний винеровский процесс. Предполагая, что звено 0 не получает никаких приказов, а звено N не отдает никаких приказов, получаем .0)1,()1,( =+=− tNqtq (12) В начальный момент времени существует начальный уровень власти ,)(0 ip т.е. .0),(0),( 0 Niipip ≤≤= (13) В реально функционирующих военных коалициях количество звеньев очень велико, и для качественного исследования задачи (11)–(13) удобнее перейти к не- прерывной модели, где ][0, lx ∈ вместо .0, Ni ∈ Тогда из (11)–(13) получаем следующую задачу Неймана относительно функции :),( txpp = .)(,0)( ,0 ,)(0,),(0),(,)()( 0 0 xpxp x p x p ltxdWxdtpfdtpdp lxx t = = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∞+×∈σ++∆∈ == (14) Покажем, что при некоторых условиях задача (14) представляет собой част- ный случай задачи (1), т.е. порождает МСДС, для которой существует случайный аттрактор. Положим .)(0,2 lLH = Известно, что в этом случае ,ϕ∂−=∆ где ],(: ∞+−∞ϕ H — собственная, выпуклая, полунепрерывная снизу функция с )(0,)( 1 lHD =ϕ и, следовательно, фазовое пространство X совпадает с H, == HX ,)(0,2 lL= a в силу компактности вложения ),(0)(0, 21 lLlH ⊂ выполняется условие (F4). Теорема 2. Если 0)((0)),,(02 =σ′=σ′∈σ llH и функция RRf 2:  удо- влетворяет условиям: 132 ISSN 0572-2691 1) uDCyDC ufy +≤≥∃ ∈ )( sup:0, ;Ru ∈∀ 2) )(: RCRf v полунепрерывна сверху; 3) ,0≥∃M Muyu +δ−≤δ 2:0> Ru ∈∀ ,)(ufy ∈∀ то задача (14) порождает МСДС, для которой существует случайный аттрактор в фазовом пространстве H. Замечание 2. На случайный процесс типа (P1), (P2) не налагаются никакие дополнительные условия, связывающие свойства случайного процесса с парамет- рами детерминированной задачи. Это существенно, потому что в реальной ситуа- ции внешние случайные факторы действительно не зависят от свойств милитари- стической структуры. Доказательство. Чтобы перейти к задаче (1), определим отображение HHF 2:  в виде .)}(0,п.в.для))(()({)( lxxpfxHpF ∈∈ξ∈ξ= Тогда задача (14) эквивалентна задаче .(0) ,)))(())((()( 0 Hpp dWdttpFtptdp t ∈= σ++ϕ∂−∈ (15) На основании [9] находим, что отображение F удовлетворяет (F1), (F3). Кроме того, lMudxMxudxxudxxuxxuuy lll +δ−≤+δ−+′−≤ξ+∆ ∫∫∫ 22 0 2 00 ))(())(()())()((=),( )( ϕ∂∈∀ Du ,)()( uFuy +ϕ∂−∈∀ так что F удовлетворяет условию (F5). Далее, из канонического представления стандартного двустороннего вине- ровского процесса RWt Ω: следует RRtWt Ω×ω=ω :)()( , где ∈⋅ω=Ω )({ 0}(0))( =ω∈ RC — метрическое пространство с равномерной сходимостью на компактах из R, с борелевской σ-алгеброй Φ и винеровской мерой P. Кроме того, семья отображений )()())(( ttt ω−+⋅ω=⋅ωθ порождает метрическую динамиче- скую систему .}:{ ΩΩθ t После замены переменных ,)()()( ttptv η−= )()( tt σω=η формально выво- дим из (15) ,=(0) ,)()()( 0 Hpv vFv dt dv ∈ ηϕ∂−η++ϕ∂−∈ (16) где Ω∈ω∀ отображение )())((),( ηϕ∂−η+=ω tvFvtF удовлетворяет условиям (F1)–(F4). Таким образом, существует глобальное сильное решение для всех ,0 Hp ∈ .Ω∈ω Следовательно, корректное определение отображения ×+RG : HH 2×Ω× имеет вид 00 ),()()()({),( pvvttvptG ω⋅=⋅η+=ω — решение (16)}. (17) Проблемы управления и информатики, 2006, № 4 133 Это отображение называется стохастическим потоком, соответствующим зада- че (14). Аналогично доказательству теоремы 1 доказывается, что отображе- ние (17) удовлетворяет полугрупповому свойству из определения 1. Условие (G2) выводится из следствия 1. Тогда для применения леммы 2 и доказательства суще- ствования случайного аттрактора у МСДС (17) остается проверить условие (G1). Пусть ,),( 0 n nnn ptGp ω∈ где 0,>0ttn → 0ω→ωn в Ω, 00 ppn → слабо в H. Зафиксируем .> 0tT Тогда ,)(),()()( 0 nn n nnnnnnnn tptvttvp σω+ω=η+= )(⋅nv — решение задачи ,=(0) ,)(0,нап.в.)())((= )( 0 n n nn n pv Ttftv dt tdv +ϕ∂− (18) где )()())()((=))(,()( tttvFtytFtf nnnnnn ωσϕ∂−η+∈ ω для п.в. .)(0, Tt ∈ В силу того, что ,= ϕ∂−∆ стандартным образом получаем, что последовательность }{ nv ограничена в )),1,0(;,0( 12 HTL последовательность       dt dvn ограничена в ).)),0((;,0( 12 ∗lHTL Тогда из теоремы о компактности следует, что существует функция )];,0[( HTCv ∈ такая, что по подпоследовательности vvn → в ),;,0(2 HTL )()( tvtvn → в H для п.в. )(0, Tt ∈ и слабо в H равномерно на ].,0[ T Так как по некоторой подпоследовательности ffn → слабо в );(0,2 HTL , то выводим, что ,)( ϕ∂∈∀ Du )(uv ϕ∂−∈∀ st ≥∀ и для п.в. 0>s .))(,)((2)()( 22 τ−τ+τ+−≤− ∫ duvvfusvutv t s Поскольку ),];,0([ HTCv ∈ то это неравенство верно .0≥∀s Включение ))(,()( 0 ττ∈τ ω vFf для п.в. ),0( T∈τ доказывается аналогично теореме 1, поэтому функция )(⋅v — решение (16) и →η+ )()(= nnnnn ttvp 00000 ),()()( ptGttv ω∈η+→ в H, что и доказывает свойство (G1). Теорема доказана. Ж. Іоване, О.В. Капустян ВИПАДКОВА ДИНАМІКА СТОХАСТИЧНО ЗБУРЕНОГО ЕВОЛЮЦІЙНОГО ВКЛЮЧЕННЯ ТА ПРОБЛЕМА РОЗПОДІЛУ ВЛАДИ В ІЄРАРХІЧНІЙ СТРУКТУРІ З точки зору теорії випадкових атракторів досліджується якісна поведінка розв’язків еволюційного включення, збуреного стохастичним cadlag-процесом. Доведено, що всі його інтегральні розв’язки породжують багатозначну випад- кову динамічну систему, для якої у фазовому просторі існує випадковий атрак- тор. Для прикладу розглянуто задачу розподілу влади в складних мілітаристич- них структурах. 134 ISSN 0572-2691 G. Іоvane, A.V. Kapustyan RANDOM DYNAMICS OF STOCHASTICALLY PERTURBED EVOLUTION INCLUSION AND PROBLEM OF DISTRIBUTION OF POWER IN HIERARCHICAL STRUCTURE From the point of view of random attractors theory we investigate qualitative behav- ior of solution of evolution inclusion, which is perturbed by stochastic «cadlag» pro- cess. We prove that all its integral solutions generate multi-valued random dynamical system, which has a random attractor in the phase space. As an example we consider the problem of distribution of power in complex military structures. 1. Мельник В.С. Многозначная динамика нелинейных бесконечномерных систем // Препр. 94-17 Ин-та кибернетики НАН Украины. — 1994. — 40 с. 2. Ball J.M. Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier– Stokes equations // J. Nonlinear Sci. — 1997. — 7, N 5. — P. 475–502. 3. Melnik V.S., Valero J. On attractors of multi-valued semiflows and differential inclusions // Set- Valued Analysis. — 1998. — 6, N 1. — P. 83–111. 4. Капустян А.В. Глобальные аттракторы многозначных полупотоков, порожденные некото- рыми эволюционными уравнениями // Нелинейные граничные задачи. — 2001. — № 11. — С. 65–70. 5. Arnold L. Random dynamical systems. — Berlin : Springer, 1998. — 350 р. 6. Crauel H., Flandoli F. Attractors for random dynamical systems // Prob. Theory Related Fields. — 1994. — 100. — Р. 234–250. 7. Caraballo T., Langa J.A., Valero J. Global attractors for multi-valued random dynamical sys- tems // Nonlinear Analysis. — 2002. — 48. — Р. 35–67. 8. Капустян О.В., Валеро Х., Перегуда О.В. Випадковий атрактор для рівняння реакції дифу- зії, збуреного стохастичним «cadlag» процесом // Теорія ймовірностей і математична стати- стика. — 2005. — 73. — С. 52–63. 9. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. — Berlin : Birkhauser, 1990. — 420 р. 10. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. — М. : Физматлит, 2002. —– 312 с. 11. Толстоногов А.А., Уманский Я.И. О решениях эволюционных включений // Сибирский ма- тематический журнал. — 1992. — 33, № 4. — С. 163–174. 12. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. — Bucuresti : Edit. Acad., 1976. — 365 р. Получено 18.04.2006 Статья представлена к публикации членом редколлегии В.С. Мельником.

Случайная динамика стохастически возмущенного эволюционного включения и проблема распределения власти в иерархической структуре

Institution

Ähnliche Einträge