Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности
Запропоновано нову структуру нечіткої регресійної моделі, за якої кожній точці факторного простору ставиться у відповідність нечітке число з параметричною функцією належності. Залежність параметрів цієї функції належності від факторів впливу описується чіткими регресійними моделями. Коефіцієнти рег...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Назва видання: | Проблемы управления и информатики |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206932 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности / С.Д. Штовба // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 38-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-206932 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2069322025-09-27T00:16:25Z Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности Нечітка ідентифікація на основі регресійних моделей параметричної функції належності Fuzzy identification based on regression models of parametrical membership function Штовба, С.Д. Адаптивное управление и методы идентификации Запропоновано нову структуру нечіткої регресійної моделі, за якої кожній точці факторного простору ставиться у відповідність нечітке число з параметричною функцією належності. Залежність параметрів цієї функції належності від факторів впливу описується чіткими регресійними моделями. Коефіцієнти регресії визначаються за нечіткою навчальною вибіркою. A new structure of fuzzy regression model is proposed. The model maps an input vector into output fuzzy number with parametrical membership function. Crisp regression models take into account a dependence of the membership function parameters upon the influence factors. The regression coefficients are calculated based on learning sample. 2006 Article Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности / С.Д. Штовба // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 38-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206932 568.012 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Адаптивное управление и методы идентификации Адаптивное управление и методы идентификации |
| spellingShingle |
Адаптивное управление и методы идентификации Адаптивное управление и методы идентификации Штовба, С.Д. Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано нову структуру нечіткої регресійної моделі, за якої кожній точці факторного простору ставиться у відповідність нечітке число з параметричною функцією належності. Залежність параметрів цієї функції належності від факторів впливу описується чіткими регресійними моделями. Коефіцієнти регресії визначаються за нечіткою навчальною вибіркою. |
| format |
Article |
| author |
Штовба, С.Д. |
| author_facet |
Штовба, С.Д. |
| author_sort |
Штовба, С.Д. |
| title |
Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности |
| title_short |
Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности |
| title_full |
Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности |
| title_fullStr |
Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности |
| title_full_unstemmed |
Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности |
| title_sort |
нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Адаптивное управление и методы идентификации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206932 |
| citation_txt |
Нечеткая идентификация на основе регрессионных моделей параметрической функции принадлежности / С.Д. Штовба // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 38-44. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT štovbasd nečetkaâidentifikaciânaosnoveregressionnyhmodelejparametričeskojfunkciiprinadležnosti AT štovbasd nečítkaídentifíkacíânaosnovíregresíjnihmodelejparametričnoífunkcíínaležností AT štovbasd fuzzyidentificationbasedonregressionmodelsofparametricalmembershipfunction |
| first_indexed |
2025-09-27T01:17:02Z |
| last_indexed |
2025-09-28T01:13:29Z |
| _version_ |
1844468262263324672 |
| fulltext |
© С.Д. ШТОВБА, 2006
38 ISSN 0572-2691
УДК 568.012
С.Д. Штовба
НЕЧЕТКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
НА ОСНОВЕ РЕГРЕССИОННЫХ
МОДЕЛЕЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Введение. Один из наиболее популярных методов обработки данных — ре-
грессионный анализ. Однако он не годится для прикладных задач идентификации,
в которых информация об исследуемой зависимости «входы–выход» содержит
нечеткие оценки типа «низкий», «средний», «очень высокий» и т.п. В настоящей
статье рассматривается задача построения нечеткой регрессионной модели по вы-
борке данных с четкими входами и нечетким выходом. Нечеткая регрессия впер-
вые описана в работе [1]. Она представляет собой некоторую нечеткую функцию,
связывающую входы и выход исследуемой зависимости. Параметры этой функ-
ции — коэффициенты регрессии — задаются нечеткими числами. Для текущего
входного вектора нечеткое значение на выходе регрессионной модели рассчиты-
вается по принципу обобщения Заде [2].
В работе [1] задача идентификации нечетких коэффициентов регрессионной
модели сведена к задаче линейного программирования. Она заключается в отыс-
кании таких параметров функций принадлежности, которые минимизируют сум-
марную размазанность нечетких коэффициентов. При этом для каждого набора
данных -сечение нечеткого выхода регрессионной модели должно включать
-сечение соответствующего нечеткого числа из обучающей выборки. Выполне-
ние этого условия необходимо обеспечить для всех -уровней выше наперед за-
данного порогового значения. Основной недостаток подхода [1] заключается в
высокой чувствительности коэффициентов регрессии к выбросам данных. Кроме
того, целевая функция в задаче нечеткой идентификации не интерпретируется как
некоторый показатель схожести желаемого и действительного поведения модели,
в отличие от обычного регрессионного анализа.
В статье [3] предложено подбирать нечеткие коэффициенты регрессии таким
образом, чтобы минимизировать расстояние между нечеткими числами — выхо-
дом модели и данными из обучающей выборки. Для этого применяют различные
метрики [3, 4]. Соответствующая задача оптимизации становится нелинейной, по-
этому для ее решения кроме градиентных методов используют и генетические ал-
горитмы [5].
В настоящей статье предлагается новая структура нечеткой регрессионной
модели. Вместо аппроксимации зависимости «входы–выход» функцией с нечет-
кими коэффициентами каждой точке факторного пространства ставится в соот-
ветствие нечеткое число с параметрической функцией принадлежности. Зависи-
мость параметров этой функции принадлежности от влияющих факторов описы-
вается четкими моделями при помощи обычного регрессионного анализа выборки
данных.
1. Новая структура нечеткой регрессионной модели. Рассматривается
отображение вектора )...,,,( 21 nxxxX = четких числовых значений влияющих
факторов в нечеткое значение y~ функции отклика:
,/)(~)...,,,( ~21 yyyxxx y
y
y
n =→
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 39
где )(~ yy — функция принадлежности нечеткого числа y~ на носителе ].,[ yy
Предположим, что на всем факторном пространстве искомое нечеткое
число y~ можно описать параметрической функцией принадлежности одного ти-
па. Обозначим эту функцию принадлежности ),,(mf Zy где Z — вектор парамет-
ров функции принадлежности. Зависимость ),( PXfZ = опишем системой ре-
грес-
сионных моделей с коэффициентами P, каждая из которых связывает влияющие
факторы с одним параметром функции принадлежности нечеткого числа .~y Та-
ким образом, )).,(,(mf),(mf PXfyZy =
Пусть, например, нечеткое число y~ задано гауссовой функцией принадлежности
,
2
)(
exp)(
2
2
−
−=
c
by
y (1)
где параметры функции принадлежности b и с — координата максимума и коэф-
фициент концентрации )).,(( cbZ = Тогда при использовании линейных регрес-
сионных моделей зависимость этих параметров от факторов )...,,,( 21 nxxxX =
записывается следующим образом:
,...
,...
22110
22110
nn
nn
xcxcxccc
xbxbxbbb
++++=
++++=
где Pcccbbb nn =)...,,,,...,,,( 1010 — коэффициенты регрессии.
2. Постановка задачи нечеткого регрессионного анализа. Нечеткую обу-
чающую выборку определим как M пар данных
),~,( rr yX ,,1 Mr = (2)
где )...,,,( 21 rnrrr xxxX = — входной вектор в r-й строке выборки, =ry~
yy
ry
y
y
/)(~= — соответствующий выход в виде нечеткого числа.
Сформулируем задачу нечеткого регрессионного анализа по нечеткой выбор-
ке (2) как поиск таких коэффициентов P, которые обеспечивают
,min)),(
~
,~(RMSE
1 2
1
→
=
rr
M
r
XPFy
M
(3)
где ),(
~
rXPF — нечеткое число с функцией принадлежности )),,(,(mf PXfy r
полученное для входного вектора rX по системе регрессионных моделей с коэф-
фициентами P; RMSE — расстояние между двумя нечеткими числами, соответ-
ствующими желаемому и действительному поведению модели в точке .rX
Расстояние между двумя нечеткими числами A
~
и B
~
с функциями принад-
лежности )(~ y
A
и )(~ y
B
на интервале ],[ yy определим так:
.
))()((
)
~
,
~
(RMSE
2~~
yy
ydyy
BA
y
y
BA
−
−
=
(4)
40 ISSN 0572-2691
Формула (4) позволяет рассчитать расстояние между произвольными нечет-
кими числами на непрерывном носителе. Если нечеткие числа заданы на дискрет-
ном носителе },...,,,{ 21 Kyyy то формула (4) преобразуется к виду
.
))()((
)
~
,
~
(RMSE
2~~
1
K
yy
BA
jBjA
K
j
−
=
=
(5)
Задача (3) может быть решена методами нелинейной оптимизации.
3. Тестовая задача. В [6] приведены данные 392 экспериментов о зависимо-
сти времени y разгона автомобиля до скорости 60 миль в час от количества ци-
линдров 1x и тяговооруженности автомобиля (отношения мощности к массе ав-
томобиля) .2x По этим данным сформируем нечеткие обучающую и тестовую
выборки следующим образом.
В экспериментальных данных влияющие факторы принимают такие значе-
ния: };8,6,5,4,3{1 x ].729,0;0206,0[2 x Для формирования нечетких выборок
округлим значения фактора 2x до тысячных. Тогда ;051,0;;022,0;021,0{2 x
}.073,0;054,0 Декартово произведение 21 xx состоит из 165335 = точек, из
них для 27 пар ),( 21 xx в экспериментальных данных существует не менее трех
различных значений выходной переменной y. Для этих 27 пар, используя идеи по-
тенциала точки из горной кластеризации [7], рассчитаем степени принадлежности
по распределению значений выходной переменной. Потенциал точки — это чис-
ло, показывающее, насколько плотно в ее окрестности расположены эксперимен-
тальные данные. Чем он выше, тем ближе точка к центру кластера. Потенциал
точки iy ),1( vi = рассчитывают так [7]:
),)(4(exppot 22
1
ji
v
j
i yy −−=
=
где 0 — коэффициент размазанности кластера; v — количество точек.
Перед использованием этой формулы спроецируем данные на единичный от-
резок. Степени принадлежности нечеткого множества y~ рассчитаем из потенциа-
лов следующим образом:
.
)pot(max
pot
)(
,1
~
j
vj
i
iy y
=
=
Затем найденные степени принадлежности аппроксимируем двухсторонней
гауссовой кривой:
=
,если),,,(gmf
,если),,,(gmf
)(
2
1
bycby
bycby
y
где gmf — гауссова функция принадлежности (1).
В обучающую выборку включим 20 пар данных, а в тестовую — 7. В табл. 1
приведена нечеткая обучающая выборка, а в табл. 2 — нечеткая тестовая выборка.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 41
Таблица 1
1x
2x
y~
b 1c
2c
4 0,024 21,8 4,52 4,19
4 0,031 17,4 1,53 1,56
4 0,032 16,5 2,44 2,45
4 0,033 16,5 2,55 2,71
4 0,034 15,7 2,08 2,79
4 0,036 14,7 2,35 3,16
4 0,043 14,1 3,57 3,51
6 0,028 17,6 2,68 2,77
6 0,031 16,2 1,61 1,59
6 0,032 16 1,18 1,12
6 0,035 15,4 0,31 3,06
6 0,037 15,5 2,11 2,35
6 0,043 13,5 0,8 0,84
8 0,032 13,8 0,76 2,68
8 0,034 13,8 1,76 1,59
8 0,035 14,5 1,48 1,28
8 0,036 12,8 1,49 1,53
8 0,037 13,1 0,92 0,88
8 0,043 11,6 2,42 2,38
8 0,046 11 3,9 3,79
Таблица 2
1x 2x
y~
b 1c
2c
4 0,028 15,3 3,42 6,93
4 0,035 15,1 3,13 3,6
4 0,037 15,3 3,35 3,89
6 0,029 16,7 1,38 1,60
6 0,034 15,9 1,14 0,86
8 0,033 14,6 1,76 1,79
8 0,044 11,2 2,26 3,23
4. Пример нечеткого регрессионного анализа. Для тестовой задачи по-
строим линейные регрессионные модели, которые свяжут факторы 1x и 2x с па-
раметрами гауссовой функции принадлежности нечеткого времени y~ разгона ав-
томобиля. В результате решения задачи (3) получаем такие модели:
.009,0237,0571,3
,48,228387,025,325
21
21
xxc
xxb
+−=
−−=
(6)
На тестовой выборке они обеспечивают невязку 0,2043.RMSE = Графики
функций принадлежности (рис. 1) свидетельствуют о приемлемом качестве иден-
тификации.
Для сравнения по этим же данным построим традиционную нечеткую ре-
грессионную модель вида
.~~~~
22110 xaxaay ++= (7)
Нечеткие коэффициенты 210
~,~,~ aaa опишем двухсторонней гауссовой функ-
цией принадлежности. Оптимальные по (3) нечеткие коэффициенты этой модели
изображены на рис. 2. С этими коэффициентами невязка модели (7) на нечеткой
тестовой выборке составляет 0,2974RMSE = (рис. 3), что хуже, чем в предыду-
щем случае.
42 ISSN 0572-2691
1
0
10 15 20
1
0
10 15 20
1
1
0
10 15 20
0
10 15 20
1
0
10 15 20
1
0
10 15 20
1
0
10 15 20
Желаемые нечеткие значения
Выход нечеткой модели
Рис. 1
1
0
– 80
2
~a
– 60 – 40 – 20 0 20
1
~a 0
~a
Рис. 2
1
0
10 15 20
Желаемые нечеткие значения
Выход нечеткой модели
1
0
10 15 20
1
0
10 15 20 10 15 20
1
0
1
0
10 15 20
1
0
10 15 20
1
0
10 15 20
Рис. 3
5. Быстрый нечеткий линейный регрессионный анализ. Предположим,
что нечеткие числа в обучающей выборке (2) заданы параметрическими функци-
ями принадлежности одинакового типа. Обозначим параметры этой функции
принадлежности ....,,, 21 kzzz Следовательно, обучающую выборку (2) можно за-
писать в виде
)),...,,,(),...,,,(( 2121 rkrrrnrr zzzxxx .,1 Mr = (8)
Предположим, что зависимость параметров функции принадлежности нечет-
кого числа y~ от влияющих факторов )...,,,( 21 nxxx описывается линейными мо-
делями
....
,...
,...
22110
2222121202
1212111101
nknkkkk
nn
nn
xaxaxaaz
xaxaxaaz
xaxaxaaz
++++=
++++=
++++=
Тогда отыскание коэффициентов этих моделей сводится к обычной процеду-
ре линейного регрессионного анализа, которую по выборке (8) следует выполнить
ровно k раз.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 43
В качестве примера приведем построенные по данным табл. 1 линейные ре-
грессионные зависимости параметров двухсторонней гауссовой функции принад-
лежности (3) от факторов 1x и :2x
.61,15239,0196,3
,973,25253,0629,2
,84,312603,029,67
212
211
21
xxc
xxc
xxb
+−=
+−=
−−=
Эти модели на нечеткой тестовой выборке (табл. 2) обеспечивают невязку
0,2183.RMSE =
6. Синтез нечетких множеств II типа по нечетким регрессионным моде-
лям. Если значения влияющих факторов заданы нечеткими числами, тогда при
постановке их в регрессионную модель типа (6) получаем параметры функции
принадлежности в виде нечетких чисел. Применяя принцип обобщения к анали-
тическим формулам функций принадлежности с нечеткими параметрами, получа-
ем нечеткие множества II типа. Например, пусть тяговооруженность автомобиля
описана нечетким числом с гауссовой функцией принадлежности (1) при пара-
метрах 003,0;03,0 == cb (рис. 4, а). Тогда для четырехцилиндрового автомобиля
)4( 1 =x по формулам (6) получаем такие нечеткие значения параметров гауссо-
вой функции принадлежности времени разгона автомобиля (рис. 4, б):
;)6233,2;6233,2()6233,2;6232,2()6234,2;6232,2(~
15,001,0 =c
.)92,16;92,16()73,17;12,16()39,18;45,15(
~
15,001,0 =b
Подставляя найденные нечеткие параметры в формулу (6) по -уровневому
принципу обобщения получаем значение времени разгона в виде нечеткого числа
II типа. На рис. 4, в оно изображено совокупностью -срезов степеней принад-
лежности.
1
0
0,5
0,02 0,03 0,04
2x
1
0
0,5
2,6231 2,6232 2,6234
4
2,6233
4
1
0
0,5
15 16 17 18 19
с
b
а б
1
0
0,6
0,8
0,4
0,2
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
y
1=
1,0=
3,0=
5,0=
7,0=
9,0=
в
Рис. 4
Выводы. Предложена новая структура нечеткой регрессионной модели, по
которой каждой точке факторного пространства ставится в соответствие нечеткое
число с параметрической функцией принадлежности. Зависимость параметров
этой функции принадлежности от влияющих факторов описывается четкими ре-
грессионными моделями. Коэффициенты регрессии определяются путем миними-
зации суммарного расстояния между нечеткими числами — результатами моде-
лирования и значением функции отклика в обучающей выборке.
44 ISSN 0572-2691
Предложенный подход упрощает процедуру регрессионного анализа выборок
данных с нечеткими значениями. При этом, как показывают компьютерные экспе-
рименты, точность аппроксимации не ухудшается. Кроме того, согласно предло-
женной модели функция отклика рассчитывается по четким числам без применения
принципа обобщения, что значительно сокращает вычислительную сложность по
сравнению с традиционной нечеткой регрессионной моделью. При подстановке в
предложенные регрессионные модели нечетких значений факторов функция от-
клика получается в виде нечеткого множества II типа.
Показано, что для нечетких обучающих выборок с выходными данными в
виде параметрических функций принадлежности одного типа задача синтеза не-
четкой модели «входы–выход» сводится к обычному многофакторному регресси-
онному анализу. Такой регрессионный анализ необходимо выполнять отдельно
для каждого параметра функции принадлежности. Функции принадлежности
обычно имеют 2–4 параметра, поэтому вычислительная сложность нечеткого ре-
грессионного анализа будет лишь в 2–4 раза выше, чем для четкого.
Описанные преимущества предложенной структуры нечеткой регрессионной
модели позволяют ей конкурировать с другими методами обработки нечетких вы-
борок данных в инженерии, медицине, политике, социологии, политологии, спор-
те и в других областях.
С.Д. Штовба
НЕЧІТКА ІДЕНТИФІКАЦІЯ
НА ОСНОВІ РЕГРЕСІЙНИХ МОДЕЛЕЙ
ПАРАМЕТРИЧНОЇ ФУНКЦІЇ НАЛЕЖНОСТІ
Запропоновано нову структуру нечіткої регресійної моделі, за якої кожній точці
факторного простору ставиться у відповідність нечітке число з параметричною
функцією належності. Залежність параметрів цієї функції належності від фак-
торів впливу описується чіткими регресійними моделями. Коефіцієнти регресії
визначаються за нечіткою навчальною вибіркою.
S.D. Shtovba
FUZZY IDENTIFICATION BASED
ON REGRESSION MODELS OF PARAMETRICAL
MEMBERSHIP FUNCTION
A new structure of fuzzy regression model is proposed. The model maps an input
vector into output fuzzy number with parametrical membership function. Crisp re-
gression models take into account a dependence of the membership function parame-
ters upon the influence factors. The regression coefficients are calculated based on
learning sample.
1. Tanaka H., Uejima S., Asai K. Linear regression analysis with fuzzy model // IEEE Trans. Sys-
tems Man Cybernet. — 1982. — 12, N 6. — P. 903–907.
2. Zadeh L. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — N 8. — P. 338–353.
3. Diamond P. Fuzzy least squares // Information Sci. — 1988. — 46, N 3. — P. 141–157.
4. Papadopoulos B., Sirpi M. Similarities and distances in fuzzy regression modeling // Soft Compu-
ting. — 2004. — 8, N 8. — P. 556–561.
5. Aliev R., Fazlollahi B., Vahidov R. Genetic algorithms-based fuzzy regression analysis // Ibid. —
2002. — 6, N 6. — P. 470–475.
6. MPG data base of UCI machine learning repository. — (http://www.ics.uci.edu/~mlearn/
MLRepository.html).
7. Yager R., Filev D. Essentials of fuzzy modeling and control. — New York : John Wiley & Sons,
1994. — 387 p.
Получено 28.07.2006
http://www.ics.uci.edu/~mlearn/%0bMLRepository.html
http://www.ics.uci.edu/~mlearn/%0bMLRepository.html
|