Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке
Розв’язано задачу обробки вимірів з динамічними перешкодами спостереження. Отриманий метод інваріантний до кусочнонеперервних перешкод детермінованої структури з невідомими параметрами. Метод не вимагає розширення простору стану і забезпечує підвищення оперативності розв’язку задачі оцінювання. Нав...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206935 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке / Ю.Г. Булычев, А.В. Елисеев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 71-83. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-206935 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2069352025-09-27T00:00:31Z Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке Модифікований метод найменших квадратів в узагальнено-інваріантній постановці Modified least-square method in the generalized-invariant statement Булычев, Ю.Г. Елисеев, А.В. Методы обработки и защиты информации Розв’язано задачу обробки вимірів з динамічними перешкодами спостереження. Отриманий метод інваріантний до кусочнонеперервних перешкод детермінованої структури з невідомими параметрами. Метод не вимагає розширення простору стану і забезпечує підвищення оперативності розв’язку задачі оцінювання. Наведено ілюстративний приклад, що підтверджує ефективність методу. A problem of processing measurement containing dynamic observation interferences is solved. The method obtained has the property of invariance to the piecewise-continuous interferences of the deterministic structure with unknown parameters. This method does not require the broadening of the state space and provides the increase of the operative speed in solving the estimation problem. An illustrative example is given to verify the efficiency of the method. 2006 Article Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке / Ю.Г. Булычев, А.В. Елисеев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 71-83. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206935 621.391 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методы обработки и защиты информации Методы обработки и защиты информации |
| spellingShingle |
Методы обработки и защиты информации Методы обработки и защиты информации Булычев, Ю.Г. Елисеев, А.В. Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке Проблемы управления и информатики |
| description |
Розв’язано задачу обробки вимірів з динамічними перешкодами спостереження. Отриманий метод інваріантний до кусочнонеперервних перешкод детермінованої структури з невідомими параметрами. Метод не вимагає розширення простору стану і забезпечує підвищення оперативності розв’язку задачі оцінювання. Наведено ілюстративний приклад, що підтверджує ефективність методу. |
| format |
Article |
| author |
Булычев, Ю.Г. Елисеев, А.В. |
| author_facet |
Булычев, Ю.Г. Елисеев, А.В. |
| author_sort |
Булычев, Ю.Г. |
| title |
Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке |
| title_short |
Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке |
| title_full |
Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке |
| title_fullStr |
Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке |
| title_full_unstemmed |
Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке |
| title_sort |
модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Методы обработки и защиты информации |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206935 |
| citation_txt |
Модифицированный метод наименьших квадратов в обобщенно-инвариантной постановке / Ю.Г. Булычев, А.В. Елисеев // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 71-83. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT bulyčevûg modificirovannyjmetodnaimenʹšihkvadratovvobobŝennoinvariantnojpostanovke AT eliseevav modificirovannyjmetodnaimenʹšihkvadratovvobobŝennoinvariantnojpostanovke AT bulyčevûg modifíkovanijmetodnajmenšihkvadratívvuzagalʹnenoínvaríantníjpostanovcí AT eliseevav modifíkovanijmetodnajmenšihkvadratívvuzagalʹnenoínvaríantníjpostanovcí AT bulyčevûg modifiedleastsquaremethodinthegeneralizedinvariantstatement AT eliseevav modifiedleastsquaremethodinthegeneralizedinvariantstatement |
| first_indexed |
2025-09-27T01:17:42Z |
| last_indexed |
2025-09-28T01:13:47Z |
| _version_ |
1844468281195364352 |
| fulltext |
© Ю.Г. БУЛЫЧЕВ, А.В. ЕЛИСЕЕВ, 2006
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 71
УДК 621.391
Ю.Г. Булычев, А.В. Елисеев
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
В ОБОБЩЕННО-ИНВАРИАНТНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Введение
Эффективность управления объектами различного рода во многом зависит от
точности и оперативности определения вектора состояния. В случаях, когда извест-
на динамическая модель объекта, на практике часто прибегают к алгоритмам опти-
мальной и квазиоптимальной фильтрации [1, 2]. При отсутствии моделей динамики
или их низкой степени адекватности для решения задач оценивания и идентифика-
ции используются алгоритмы на основе метода наименьших квадратов (МНК) [3].
Данные алгоритмы эффективны, когда в канале измерения имеется только
флуктуационная ошибка, однако реальные измерения могут сопровождаться и дру-
гими типами ошибок, например динамическими с известной структурой их матема-
тической модели и неизвестными параметрами (сингулярные ошибки) [3–7]. Бо-
лее сложной является задача оценивания при наличии в измерениях ошибок, по-
добных описанным выше, но со случайной сменой структур, принадлежащих
некоторому априорно заданному множеству.
Примером источника возникновения таких ошибок служит измерительный
комплекс полигона, содержащий разнородные измерители параметров движения с
различными тактико-техническими характеристиками. Другой пример — борто-
вой навигационный комплекс (БНК) летательного аппарата (ЛА), построенный на
основе комплексирования разнородных измерителей. В этом случае БНК пред-
ставляет собой сложный объект, структура которого может меняться в зависимо-
сти от помех и режимов полета ЛА [8, 9], что изменяет структуру сингулярной
помехи. Погрешности подобного рода возникают и при работе аппаратуры потре-
бителей спутниковой навигационной системы в случае перехода от оптимального
созвездия навигационных космических аппаратов к неоптимальному [1].
В работах [3–6] рассмотрены алгоритмы обработки измерений, содержащих
сингулярные ошибки, однако отметим, что применение в этом случае расширен-
ного МНК [3, 6] значительно увеличивает размерность задачи пропорционально
количеству структур помехи и вызывает эффект «размазывания» точности. При-
менение алгоритмов, описанных в [4–5], целесообразно тогда, когда структура
помехи не меняется в течение сеанса измерения.
Таким образом, задача синтеза метода обработки измерений, содержащих
динамические помехи наблюдения с известной структурой, но неизвестными па-
раметрами, остается актуальной. Примером помех такого рода выступают кусоч-
но-непрерывные помехи, описываемые на интервалах непрерывности произволь-
ными обобщенными многочленами со случайными коэффициентами. Именно
развитию метода обработки измерений, содержащих указанные помехи, и посвя-
щена данная работа.
1. Постановка задачи
Пусть на отрезке ],[ 0 Tt наблюдается скалярная смесь y
l Wty )()( полезного
сигнала ,)( xWtx кусочно-непрерывной помехи h
l Wth )()(
(соответствующей
l-му неизвестному варианту построения, ),1 Dl и флуктуационного шума
:)( Wt
,,1,,0,)()( DlNnhxy n
l
nn
l
n =++= (1)
72 ISSN 0572-2691
где ),(,),(),( )()()()(
nn
ll
nnnn
ll
n thhtxxtyy ==== ,],[ 1
0 RTttn ,TtN =
WWWW hxy ,,, — линейные подпространства одного и того же линейного про-
странства W.
Сигнал )(tx задается в конечно-аналитическом виде
,)()()( TT AtqtqAtx == (2)
где T],1,[ xj MjaA == — вектор неизвестных коэффициентов, ),([)( tqtq j=
T],1 xMj = — вектор линейно независимых функций (базис сигнала).
Помеха )()( th l имеет на отрезке ],[ 0 Tt конечное число фиксированных то-
чек разрыва первого рода и на i-м интервале непрерывности ),[ **
1 ii tt − описывает-
ся следующим образом:
,)]([)(][)(
)(T)()(T)()( iiiii lllll
BttBth == ,,1 Ll ,,1 Gli ,0
*
0 tt = ,* Ttt NL ==
где T)()(
],1),([)(
i
ii
h
l
p
l
Mptt == — li-й базис помехи, принадлежащий возмож-
ному множеству базисов ,)}({ 1
)( G
g
g t = т.е. ,)}({)( 1
)()( G
g
gl
tti
= =
)( ilB
T)(
],1,[
i
i
h
l
p Mpb == — вектор неизвестных коэффициентов, .,1 Gli
На всем отрезке наблюдения ],[ 0 Tt помеха )()( th l
задается выражением
,)]([)]()([)(
1
)(T)(**
1
)(
=
− −−−=
L
i
ll
ii
l ii btttttth ],,[ 0 Ttt (3)
где )(,1 GLDDl = — номер варианта построения кусочно-непрерывной по-
мехи )()( th l
, соответствующей L интервалам непрерывности и G возможным ба-
зисам, 1)( =− t при ;t 0)( =− t при .t
Полагается, что точки разрыва
*
it известны заранее или определяются с по-
мощью критериев и процедур оптимального обнаружения.
Флуктуационный шум )(t характеризуется в точках
N
nnt 0}{ = нулевым мате-
матическим ожиданием и соответствующей корреляционной матрицей K (где
.)],0,[ TNnn ==
Введем над сигналом xWtx )( ]),[( 0 Ttt линейный ограниченный опера-
тор →
M
x RWZ : такой, что ,],1,[],1)},({[)}({ TT
==== MrMrtxtxZ rr
где ,1Rr т.е. рассматривается линейный оператор со значениями в веще-
ственном пространстве .
M
R Поставим задачу оптимального (в среднеквадрати-
ческом смысле) оценивания значений данного оператора на основе выборки
.}{ 0
)( N
n
l
ny = Другими словами, требуется найти оптимальный линейный ограничен-
ный оператор →+ MN RRZ 1
*
: такой, что его значения },,,{
)()(
1
)(
0
* l
N
ll
yyyZ
близки к значениям )}({ txZ исходного оператора .: →
M
x RWZ При этом по-
требуем, чтобы оператор }{
*
Z был инвариантен к помехе типа (3), т.е.
,]0[},,,{ 1
)()(
1
)(
0
*
= M
l
N
ll
hhhZ ,,1 Dl где 1]0[ M — нулевой вектор-столбец
размерности .1M
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 73
2. Решение задачи
Для дальнейшего изложения введем обозначения
,.
)(
)(
1
)(
0
)(
=
l
N
l
l
l
y
y
y
Y
,.
)(
)(
)(
.
T
1
T
0
T
1
0
=
=
NN tqA
tqA
tqA
x
x
x
X
,.
)(
)(
1
)(
0
)(
=
l
N
l
l
l
h
h
h
H
,.
1
0
=
N
а также набор матриц, соответствующих всем возможным вариантам построения
помехи:
,
][]0[]0[
]0[][]0[
]0[]0[][
)(
)(
)(
)(
21
222
2
12
12111
1
=
h
LhL
L
hLhL
Lhhh
Lhhh
MN
MN
d
MNMN
MNMN
d
MN
MNMNMN
d
dQ
(4)
где
,
1
ih
L
i
h MM
=
=
],,1,1,0),([
)()(
i
ii
hiij
d
p
d
MpNjt =−== ,}{ 0
N
nnij tt =
,**
1 iiji ttt − ,,1 Li ,*
10 −= ii tt ,*
10 −= LL tt ,*
1, Tttt NLNL L
===− ,1+= NN
.],1,[,1 T)()(
1
i
ii
h
d
p
d
i
L
i
MpbBNN ==+=
=
С учетом данных обозначений вместо (1) воспользуемся векторным пред-
ставлением
,)()( ++= ll HXY ,,1 Dl .,,, 1)()( + Nll RHXY (5)
Сформируем теперь набор линейных операторов ,}{
)()( dd PZ
= зависящих
от параметра ,,1 Dd таких что
,:,}{ 1)()()()()( →= +
MNdldld RRZYPYZ (6)
где ],0,,1,[
)()(
NnMrPP
d
rn
d
===
— матрица неизвестных коэффициентов,
,],1,[}{ T)()()(
== MrYZ d
r
ld .1)( Rd
r
Формула (6) задает D оценок }{ )()( ld YZ значений )}({ txZ исходного опера-
тора ,}{Z при этом в силу линейности задачи корреляционные матрицы этих
оценок находятся по правилу [3]
.,1,][ T)()()(
DdPKPK
ddd
==
(7)
74 ISSN 0572-2691
При выборе матриц
)(d
P потребуем выполнения следующих условий:
1) минимизации следа 2)(
1
)(
][)(tr
d
r
M
r
d
K
=
=
(где 2)(
][
d
r — диагональные
члены матрицы );
)(d
K
2) несмещенности оценок значений оператора :}{Z
,]0[)}({}{ 1
)(
=− M
d txZXZ ;,1 Dd = (8)
3) инвариантности оператора }{)( dZ к помехе :)(dH
,]0[}{ 1
)()(
= M
dd HZ .,1 Dd = (9)
Если принять во внимание, что ,QAX = где ],,1,,0),([ xnj MjNntqQ ===
то с учетом (2), (6) и (8) имеем
.})({)}({}{
)()(T)( QAPXPAtqZtxZXZ
ddd
==== (10)
Непосредственно из (10) вытекает условие несмещенности оценки (эквива-
лентное (8))
,]0[)}({
)(T
xMM
d
QPtqZ
=− (11)
где
xMMxjr MjMrtqtqZ
=== ]0[],,1,,1)},({[)}({ T — нулевая матрица
размерности .xMM
Аналогично, замечая, что ,)()()( ddd BH = получаем
.]0[}{}{ 1
)()()()()()()()(
=== M
dddddddd BPBZHZ (12)
Непосредственно из (9) и (12) вытекает условие инвариантности
.]0[)()(
=
hMM
dd
P (13)
В дальнейшем полагаем, что системы уравнений (11), (13) совместны, а рас-
ширенная матрица ][ )(dQ имеет ранг .1++
NMM hx
Задача нахождения матрицы
)(d
P
решается методом условной оптимизации
Лагранжа, при этом ищется минимум следа матрицы (7) с учетом ограничений
(11) и (13).
Несложный анализ показывает, что сформулированная задача распадается на
M подзадач вида
=
=−
=
,1
)(T)(
,1
)(T
)(T)(2)(
]0[][
]0[)}({
,][min][min
)()(
hr
xr
rrd
r
rd
r
M
dd
M
d
r
dd
P
d
P
P
PQtq
PKP
,,1 Mr (14)
где
T)()(
],0,[ NnPP
dd
rnr
==
— r-й столбец матрицы ,][ T)(d
P
= )}({ tqr
,],1,[],1)},({[ TT
xrjxjr MjMjtq ==== ,1Rrj .,1 Mr
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 75
С учетом (14) условная оптимизация сводится к нахождению минимума
функции
,)][)}({(][][][
),,(
)(T)(T)(T)(T)()(T)(
)()()(
d
r
d
rr
d
r
dd
r
dd
r
d
r
d
r
d
QPtqPPKP
PF
r
r
−++=
=
где T)()( ],1,[
== h
d
rp
d
r Mp и T)()( ],1,[ x
d
rj
d
r Mj == — векторные множите-
ли Лагранжа.
Опуская несложные, но достаточно громоздкие выкладки, получаем решение
)},({)( 1)(T)()(
tqQP rQ
d
Q
dd
r
= −
(15)
где ,][][ T)(1)()(
1
)( ddd
N
d
E −= −
+
1+NE — единичная матрица размерно-
сти ),1()1( ++ NN ,][ )(1T)()( ddd
K = −
,1QKQ
−
= .)(1)( dd
K = −
Соответственно для матрицы
)(d
P
линейного оператора }{)( dZ с уче-
том (15) имеем
,)}]({)(([ T1)(T)()(
tqZQP Q
d
Q
dd −
= (16)
где ,,1)},({[],1)},({[)}]({[)}({ TT
xjrr MjtqMrtqtqZtqZ ===== ].,1 = Mr
Для решения вопроса оценки структуры помехи (т.е. определения оптималь-
ного номера Dd ,1* = структуры реализации помехи в уравнении наблюде-
ния (1)) введем два дополнительных линейных оператора: }{XZ и }.{HZ
Первый оператор XtxZX →)(: ставит в соответствие непрерывному
процессу ),(tx заданному на отрезке ],,[ 0 Tt его дискретный аналог ,[ nxX =
.],0 TNn =
В данном случае
,)}({ T QtqZ X = (17)
тогда непосредственно из (16) с учетом (17) получаем набор промежуточных оце-
нок вектора X:
,}{ )()()()(),( ld
X
ld
X
ld YPYZX == ,,1 Dl ,,1 Dd = (18)
где ,}{
)()( d
X
d
X PZ =
)(d
XP — матрица вида
.])([ TT1)(T)()(
QQP Q
d
Q
dd
X
−
= (19)
Очевидно, что при ld оценки ),( ldX смещенные, так как XYM l }{ )(
и, следовательно, .}{ ),( XXM ld И только при ld = указанные оценки несме-
щенные ),}{( ),( XXM ll = поскольку .]0[ 1)1(
)()(
+= N
ld
X HP
Второй оператор )()()(
)(: ddd
H HthZ → ставит в соответствие процессу ),()( th d
заданному на отрезке ],,[ 0 Tt его дискретный аналог .],0,[ T)()( NnhH d
n
d ==
76 ISSN 0572-2691
По аналогии с (17)–(19) можно получить набор оценок помехи ,)(lH содер-
жащейся в уравнении наблюдения (5):
,}{ )()()()(),( ld
H
ld
H
ld YPYZH == ,,1 Dl ,,1 Dd = (20)
где
.}][)]([[ TT)(1)(T)()()( dd
Q
dd
Q
d
HP = −
(21)
В формулах (20) и (21) приняты обозначения
,][ T1
1 QE QQNQ
−
+ −= ,1T QKQQ
−
= ,)(1)( dd
K = −
.1QKQ
−
=
В этом случае выполняется условие ,]0[ 1)1(
)(
+= N
d
H XP ,,1 Dd = т.е. опера-
тор
)()(
}{
d
H
d
H PZ = инвариантен к сигналу X.
Очевидно, что при ld = оценка ),( llH помехи )(lH также несмещенная,
а при ld имеется смещение.
Для решения вопроса о выборе оптимальной оценки Dd ,1
*
номера l, т.е.
номера варианта помехи )(lH в уравнении наблюдения (5), сформируем набор
невязок
,),(),(),(),()(),( ++=−−= dldldldlldl HXHXYY (22)
где ., ),()(),(),(),( dlldldldl HHHXXX −=−=
Оценка
*
d номера l структуры помехи, действующей на интервале ],[ 0 Tt ,
находится на основе критерия вида
.][minarg ),(1T),(
,1
* dldl
Dd
YKYd = −
(23)
Если
*
d совпадет с l, то минимальная дисперсия скалярной оценки }{ )(l
r Y
),1( Mr равна
)},({)()][)}(({][ 1)(
θ
T)(
θ
1T)(
θ
TT2)(
tqQQtq rQ
ll
Q
l
Qr
l
r
= −−
(24)
где .][
)(
θ
T)(
θ
T)(
θ Q
ll
Q
l
Q K =
Соответственно для векторной оценки }{ )(lYZ минимальный след матри-
цы
)(l
K
находится с учетом (24) по следующему правилу:
.][)(tr 2)(
1
)( l
M
r
l
r
K
=
=
(25)
3. Алгоритм вычислений
Таким образом, с учетом (21)–(25) алгоритм идентификации номера варианта
построения помехи )()( th l
и оценивания значения оператора )}({ txZ сводится
к cледующему.
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 77
1. По формуле (19) строится семейство дополнительных операторов }{
)( d
XZ
вида .}{ 1
)( D
d
d
XP =
2. По формуле (18) находится набор промежуточных оценок .}{ 1
),( D
d
ldX =
3. По формуле (21) строится семейство дополнительных операторов }{
)( d
HZ
вида .}{ 1
)( D
d
d
HP =
4. По формуле (20) находится набор промежуточных оценок .}{ 1
),( D
d
ldH =
5. По формуле (22) строится семейство невязок .}{ 1
),( D
d
ldY =
6. По формуле (23) выбирается оптимальный номер Dd ,1
*
варианта по-
строения кусочно-непрерывной помехи в модели (14).
7. По формулам (15) и (16), принимая ,
*
dd = строится искомый оптимальный
оператор
( ) ( ).}{
**
dd PZ =
8. По формуле (6) для
*
dd = находится искомая оптимальная оценка линей-
ного оператора )}.({ txZ
9. По формулам (24) и (25) находим минимальные дисперсии и след корреля-
ционной матрицы ошибок оценивания.
Рассмотрим частный случай, когда ,1=L ,1=D ,0)()1( th ].,[ 0 Ttt Тогда
с учетом (18) оценка )1(1T11T)1,1( )( YKQQKQQX −
−−
= совпадает с классической
МНК — оценкой для случая, когда в наблюдениях, помимо сигнала ),(tx присут-
ствует только флуктуационный шум ).(t
4. Сравнительная оценка вычислительной эффективности
Полагаем, что вычислительный комплекс, реализующий разработанный ме-
тод оценивания, состоит из )1(
~
D однотипных ЭВМ (процессоров). При этом
DD 2
~
)1( (D — количество возможных структур помехи), т.е. имеется )1(
~
D ка-
налов обработки данных.
В качестве показателя вычислительной эффективности метода удобно ис-
пользовать время, затрачиваемое на получение искомой оценки. Оно будет опре-
деляться как быстродействием ЭВМ, так и общим числом операций, необходи-
мых при реализации метода (19)–(25). Более точная его оценка требует знания си-
стемы команд той конкретной ЭВМ, на которой выполнен вычислительный
комплекс. Кроме того, число операций зависит от способа программирования ме-
тода. Так, при программировании на языках высокого уровня программа получа-
ется длиннее оптимальной в 2–5 раз, а при программировании на языке Ассем-
блер — в 1,2–1,5 раза [10]. При этом под оптимальной понимается программа в
кодах системы команд конкретной машины.
Однако известно [9], что при сравнении различных способов организации
вычислительного процесса достаточно хорошим приближением для времени вы-
числений может служить требуемое число операций умножения и сложения. Сле-
дует отметить, что операции умножения выполняются медленнее, чем операции
сложения, примерно в 8–10 раз в случае использования для их реализации аппа-
ратных методов, и в 100–150 раз медленнее при использовании программных ме-
тодов [10].
78 ISSN 0572-2691
Таким образом, в качестве показателя вычислительной эффективности при-
мем число операций умножения и сложения, выполняемых в одном канале обра-
ботки данных.
Рассмотрим частный случай, когда === XtxtxtxZtxZ N )}(,),(),({)}({ 10
*
,],0),([ TNntx n == т.е. сигналу )(tx операторы }{Z и }{
*
Z ставят в соответствие
его дискретный аналог X.
Исходя из анализа формул (19)–(25) и принимая во внимание основные пра-
вила матричной алгебры, определим число операций умножения и сложения, вы-
полняемых в одном канале:
— общее число операций умножения в одном канале
;)(2)132( 332223)(
)1( xhxhxh MMMMNMMNNO +++++++=
(26)
— общее число операций сложения в одном канале
,)1322
2()32(
32322
223)(
)1(
xxhhxhx
hxh
MMMMMMM
MNMMNNO
+−+−−−−+
++++=
+
(27)
где ,1+= NN а подстрочный индекс (1) соответствует разработанному методу.
Проведем сравнительный анализ эффективности разработанного метода
с расширенным МНК (РМНК), часто используемым при обработке измерений
с систематическими погрешностями.
Алгоритм оценивания с применением РМНК (для которого вводится под-
строчный индекс (2)) имеет следующий вид.
Шаг 1. Вычисление набора промежуточных оценок D
d
ld
X 1
),(
)2(
}{ = с использо-
ванием формулы
,)())(( )(1T)(
)2(
1)(
)2(
1T)(
)2(
)(
)2(
)1,(
)2(
lddddd
YKQQKQQX −
−−
= ,,1 Dl (28)
где
,
][]0[]0[][
]0[][]0[][
]0[]0[][][
)()(
)()2(
)()1(
)(
)2(
21
222
2
122
12111
1
1
MN
MN
l
MNMNMN
L
MNMN
l
MNMN
MNMNMN
l
MN
d
LhL
L
hLhLxL
Lhhhx
Lhhhx
Q
Q
Q
Q
=
=
,,1 Dd = ],,1,,0),([ 1
)(
xiijk
i MkNjtqQ === −
,}{ 0
N
nnij tt = ,**
1 iiji ttt − .+= hx MMM
Шаг 2. Вычисление набора невязок D
d
ld
Y 1
),(
)2(
}{ = по формуле =
),(
)2(
ld
Y
.
),(
)2(
)( ldl XY −=
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 79
Шаг 3. Вычисление множеств показателей невязки D
d
ld
J 1
),(
)2(
}{ = по формуле
.)(
),(
)2(
1T),(
)2(
),(
)2(
ldldld
JKJJ = −
Шаг 4. Определение оценки *
)2(d номера l структуры помехи, действующей
в канале измерения .minarg
),(
)2(
,1
*
)2(
ld
Dd
Jd =
Шаг 5. Вычисление искомой оценки
)(
)2(
*
)2(d
X вектора X, принимая .*
)2(dd =
Для параллельной реализации данного алгоритма потребуется )2(
~
D каналов
обработки. Принимая ,xh MMM +=
на основе анализа (28) определим число
вычислительных операций в одном канале при определении :
)(
)2(
*
)2(d
X
— общее число операций умножения в одном канале
;2)13( 3223)(
)2(
MMNMNNO ++++=
(29)
— общее число операций сложения в одном канале
.)132(3 32223)(
)2(
MMMMNMNNO +−−−++=
+
(30)
Из соотношений (26), (27), (29), (30) видно, что объем вычислений пропорци-
онален кубу размерности задачи ).)(,,,( 33333
xhhx MMMMMN +=
Из этого
следует, что для практики и теории оценивания вообще и РМНК, в частности, ак-
туальна проблема разработки методов и алгоритмов, уменьшающих размерность
задачи.
Для сравнения вычислительной эффективности разработанного метода и
РМНК введем показатель относительного выигрыша
./
)(
)1(
)(
)2(
)( = OOW (31)
График зависимости )(W от размерности задачи )(
+ hx MM представлен
на рисунке (кривая 1: ,3=xM кривая 2: ,4=xM кривая 3: ,5=xM кривая 4:
6=xM ), откуда следует, что разработанный метод сокращает вычислительные
затраты до 1,47 раза по отношению к РМНК.
2 4 6
hM
1,2
1,3
1,4
1,5
)(W
1
2
3
4
80 ISSN 0572-2691
Сокращение вычислительных затрат позволит повысить оперативность фор-
мирования искомых оценок, что является актуальной задачей в практике поли-
гонных испытаний и применения по целевому назначению ЛА различных типов.
5. Пример
Пусть полезный сигнал (2) имеет вид
const)( 1 == atx ],,[ 0 Ttt ,10 =t ,4=T (32)
т.е. в формуле (2) ],[,1 1aAM x == 1)(1 tq ].,[ 0 Ttt
Полагаем, что 2=G и при построении всех допустимых вариантов помехи
)()( th d (где ,,1 Dd = )4=D возможны следующие базисы: ],[)1( t= ].[ 2)2( t=
Полагая на основе априорной информации об условиях измерения, что 2=L
(т.е. помеха имеет два интервала непрерывности), получаем четыре возможных
варианта построения помехи:
1) :)1( =d ],[
)1( 1 t= ];[
)1( 2 t= 2) :)2( =d ],[
)2( 1 t= ];[ 2)2( 2 t=
3) :)3( =d ],[ 2)3( 1 t= ];[
)3( 2 t= 4) :)4( =d ],[ 2)4( 1 t= ].[ 2)4( 2 t=
Таким образом, ],[,1
)(
1
)(
21
ii dd
hh bBMM === = )(],[)(
)(
1
)(
1
)(
tt iii ddd
},,{ 2tt ,4,1=d ,2,1=i }.2,1{=id
Пусть реально наблюдается процесс (1), соответствующий первому варианту
построения помехи :)1( =l
,)1(
1
)1(
nnn hay ++= ,,0 Nn = ,3=N
причем
=
}.3,2{,
},1,0{,
)1(
1
)1(
1
)1(
2
1
ntb
ntb
h
n
n
n (33)
Шум n полагался стационарным нормальным процессом ),0( 2N с нулевым
математическим ожиданием, некоррелированными отсчетами и дисперсией .2
Для простоты все величины полагаем безразмерными.
Пусть требуется найти оператор →
M
x RWZ : такой, что ,[)}({ rtxZ =
.],1 T AMr ==
В данном примере ],[,1 1aAM == поэтому ,][)}({ 11 atxZ == .1)}({ 1 =tqZ
С учетом введенных ранее обозначений, а также моделей сигнала и поме-
хи (32), (33) имеем
,.
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
0
)1(
=
y
y
y
y
Y ,.
1
1
1
1
=
a
a
a
a
X ,.
)1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
0
)1(
=
h
h
h
h
H ,.
3
2
1
0
= .
)1(
1
)1(
1
)1(
)1(
2
1
2
1
=
=
b
b
B
B
B
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 81
Матрицы типа (4) в данном примере принимают вид
,
0
0
0
0
3
2
1
0
)1(
=
t
t
t
t
,
0
0
0
0
2
3
2
2
1
0
)2(
=
t
t
t
t
,
0
0
0
0
3
2
2
1
2
0
)3(
=
t
t
t
t
,
0
0
0
0
2
3
2
2
2
1
2
0
)4(
=
t
t
t
t
при этом ,2
2
1
==
=
ih
i
h MM ,010
*
0 ttt == ,111 tt = ,2
*
1 tt = ,2
*
120 ttt ==
,3
*
221 Tttt === ,21 =N ,22 =N .41
2
1
=+=
=
NNi
i
В этом случае матрицы
)(d
P
(16) линейных операторов }{)( dZ имеют вид
,])([ T1)(T)()( −
= Q
d
Q
dd
QP ,4,1=d
а соответствующие им оценки определяются как
,ˆ )1()()( YPa
dd
= ,4,1=d (34)
где d — номер возможного варианта структуры помехи.
Для определения оптимальной оценки *d номера варианта структуры поме-
хи, действующей в канале измерения, выполняется следующий алгоритм.
1. По формуле (18) определяется набор промежуточных оценок сигна-
ла ,}{ 1
)1,( D
d
dX = :4=D
,
039,10
039,10
039,10
039,10
)1,1(
=X ,
008,13
008,13
008,13
008,13
)1,2(
=X ,
773,8
773,8
773,8
773,8
)1,3(
=X .
490,10
490,10
490,10
490,10
)1,4(
=X
2. По формуле (20) находится набор промежуточных оценок помехи
,}{ 1
)1,( D
d
dH = :4=D
,
133,16
085,12
007,4
004,2
)1,1(
−
−
=H ,
867,13
800,7
569,7
785,3
)1,2(
−
−
=H ,
532,17
149,13
742,2
685,0
)1,3(
−
−
=H .
856,16
481,9
762,4
191,1
)1,4(
−
−
=H
3. С помощью (22) определяется показатель невязки вида
,][ )1,(1T)1,()1,( ddd YKYJ = −
,4,1=d
при этом ,017,0)1,1( =J ,528,4)1,2( =J ,149,0)1,3( =J .48,8)1,4( =J
4. На основе критерия (23) устанавливается оценка номера *d структуры по-
мехи, действующей в канале измерения .1minarg )1,(
4,1
* ==
d
d
Jd
82 ISSN 0572-2691
Таким образом, принимая в (34) номер структуры равным ,1* == dd опре-
деляем оценку 039,10ˆ1 =a искомого коэффициента 1a с относительной погреш-
ностью .%4,0ˆ1 =a
Для сравнения определим оценку )MHK(1â на основе классического МНК:
.586,15)(ˆ )1(1T11T
)MHK(1 == −
−−
YKQQKQa
Здесь относительная погрешность .%56,0ˆ )MHK(1 =a Показатель вычисли-
тельной эффективности (31) при этом равен .35,1)( =W
Рассмотренный пример подтверждает эффективность разработанного метода
оценивания в условиях динамических помех наблюдения.
Заключение
Основное преимущество развиваемого в статье подхода состоит в том, что,
в отличие от классического МНК, он не требует расширения пространства состо-
яний, поскольку обладает свойством внутренней инвариантности к кусочно-
непрерывным помехам заданного класса. Кроме того, позволяет существенно
расширить класс решаемых задач оценивания: помимо традиционной задачи
сглаживания появляется возможность решать задачи оценивания значений линей-
ных функционалов и операторов, например, оценивание значений производных
различных порядков в точках отрезка наблюдения, вычисление определенных ин-
тегралов и т.д.
Возможность перебора всех вариантов построения кусочно-непрерывной по-
мехи и выбора оптимального из них позволит на практике повысить устойчивость
и точность результатов оценивания при проведении измерений на базе совокуп-
ности как однородных, так и разнородных датчиков при различных режимах их
переключения.
Ю.Г. Буличов, О.В. Єлисєєв
МОДИФІКОВАНИЙ МЕТОД
НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
В УЗАГАЛЬНЕНО-ІНВАРІАНТНІЙ ПОСТАНОВЦІ
Розв’язано задачу обробки вимірів з динамічними перешкодами спостережен-
ня. Отриманий метод інваріантний до кусочно-неперервних перешкод детермі-
нованої структури з невідомими параметрами. Метод не вимагає розширення
простору стану і забезпечує підвищення оперативності розв’язку задачі оціню-
вання. Наведено ілюстративний приклад, що підтверджує ефективність методу.
Yu.G. Bulychev, A.V. Yeliseev
MODIFIED LEAST-SQUARE
METHOD IN THE GENERALIZED-
INVARIANT STATEMENT
A problem of processing measurement containing dynamic observation interferences
is solved. The method obtained has the property of invariance to the piecewise-
Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 83
continuous interferences of the deterministic structure with unknown parameters.
This method does not require the broadening of the state space and provides the in-
crease of the operative speed in solving the estimation problem. An illustrative ex-
ample is given to verify the efficiency of the method.
1. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС / Под ред.
В.Н. Харисова, А.И. Петрова, В.А. Болдина. — М. : ИПРЖР, 1999. — 560 c.
2. Булычев Ю.Г., Елисеев А.В. Проблемы жесткости уравнений приближенной нелинейной
фильтрации // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 1. — С. 35–45.
3. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. — М. : Сов. ра-
дио, 1978. — 384 с.
4. Леонов В.А., Поплавский Б.К. Метод линейных преобразований идентификации динамиче-
ских систем // Техн. кибернетика. — 1990. — № 2. — С. 63–69.
5. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Автокомпенсационный метод обработки результатов измерений
при наличии погрешностей регулярной структуры // Автометрия. — 2003. — 39, № 1. —
С. 69–72.
6. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Оптимальное оценивание параметров нормальной регрессии
для случая расширенной модели наблюдений // Проблемы передачи информации. —
1993. — 29, вып. 3. — С. 31–41.
7. Булычев Ю.Г., Манин А.П. Математические аспекты определения движения летательных
аппаратов. — М. : Машиностроение, 2000. — 256 c.
8. Лысенко Л.Н., Нгуен Танг Кыонг. Теоретические и прикладные аспекты мультиструктур-
ных схем рекуррентной обработки информации в навигационных системах летательных
аппаратов // Изв. АН ТСУ. — 1997. — № 6. — С. 38–48.
9. Казаков И.В. Стохастические системы со случайной сменой структуры // Техн. кибернети-
ка. — 1989. — № 1. — С. 58–78.
10. Гришин Ю.П., Казаринов Ю.М. Динамические системы, устойчивые к отказам. — М. : Ра-
дио и связь, 1985. — 176 с.
Получено 14.07.2006
|