Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами

Запропоновано математичну модель динамічного міжгалузевого балансу з лагами. Проведено дослідження моделі динаміки такого балансу. Наведено алгоритм розрахунку магістральних значень керувань та відповідних траєкторій, лівих траєкторій, відповідних їм лівих керувань і точки переключень керувань....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Бойчук, М.В., Шмурыгина, Н.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2006
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Экономические и управленческие системы
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206940
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами / М.В. Бойчук, Н.М. Шмурыгина // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 116-127. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206940
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2069402025-09-27T00:18:35Z Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами Динамічна модель міжгалузевого балансу з лагами Dynamic model of intersector balance with lags Бойчук, М.В. Шмурыгина, Н.М. Экономические и управленческие системы Запропоновано математичну модель динамічного міжгалузевого балансу з лагами. Проведено дослідження моделі динаміки такого балансу. Наведено алгоритм розрахунку магістральних значень керувань та відповідних траєкторій, лівих траєкторій, відповідних їм лівих керувань і точки переключень керувань. A mathematical model of dynamic intersector balance with lags is offered. The model of this balance dynamics is investigated. The algorithm of computing main values of controls and corresponding trajectories, left trajectories and their corresponding controls as well as switching points of controls are presented. 2006 Article Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами / М.В. Бойчук, Н.М. Шмурыгина // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 116-127. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206940 519.863:338.3 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы
spellingShingle	Экономические и управленческие системы Экономические и управленческие системы Бойчук, М.В. Шмурыгина, Н.М. Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано математичну модель динамічного міжгалузевого балансу з лагами. Проведено дослідження моделі динаміки такого балансу. Наведено алгоритм розрахунку магістральних значень керувань та відповідних траєкторій, лівих траєкторій, відповідних їм лівих керувань і точки переключень керувань.
format	Article
author	Бойчук, М.В. Шмурыгина, Н.М.
author_facet	Бойчук, М.В. Шмурыгина, Н.М.
author_sort	Бойчук, М.В.
title	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами
title_short	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами
title_full	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами
title_fullStr	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами
title_full_unstemmed	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами
title_sort	динамическая модель межотраслевого баланса с лагами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Экономические и управленческие системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206940
citation_txt	Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами / М.В. Бойчук, Н.М. Шмурыгина // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 6. — С. 116-127. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT bojčukmv dinamičeskaâmodelʹmežotraslevogobalansaslagami AT šmuryginanm dinamičeskaâmodelʹmežotraslevogobalansaslagami AT bojčukmv dinamíčnamodelʹmížgaluzevogobalansuzlagami AT šmuryginanm dinamíčnamodelʹmížgaluzevogobalansuzlagami AT bojčukmv dynamicmodelofintersectorbalancewithlags AT šmuryginanm dynamicmodelofintersectorbalancewithlags
first_indexed	2025-09-27T01:18:11Z
last_indexed	2025-09-28T01:14:15Z
_version_	1844468311023157248
fulltext	© М.В. БОЙЧУК, Н.М. ШМУРЫГИНА, 2006 116 ISSN 0572-2691 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УДК 519.863:338.3 М.В. Бойчук, Н.М. Шмурыгина ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА С ЛАГАМИ Постановка задачи. Загрязнение окружающей среды — побочный продукт каждой нормальной экономической деятельности. Оно связано с определенными процессами производства и потребления. Например, загрязнение воды в озерах и реках зависит от объемов производства во всех отраслях, а количество грязной воды в каждом случае определяется технологическими характеристиками отрасли. Зависимость между объемами производства и степенью загрязнения окружа- ющей среды в условиях рыночной экономики может быть основательно проана- лизирована с использованием модели межотраслевого баланса «затраты–выпуск». Такой анализ описывает и объясняет уровень производства в каждой отрасли народного хозяйства через связь с соответствующими уровнями во всех других отраслях. Модель «затраты–выпуск» в своем сложном динамическом варианте дает возможность объяснить пространственное распределение произ- водства и потребления разных товаров, а также их возрастание или снижение в динамике, с учетом влияния на окружающую среду. Кроме того, можно получить конкретные ответы на некоторые реальные фундаментальные вопросы, что необ- ходимо для практического решения проблем, вызванных нежелательным влияни- ем современной технологии и неконтролируемым экономическим ростом. Если при моделировании экономического объекта изменения технологиче- ских процессов не учитываются, то модель имеет статический характер в том по- нимании, что исследуемое состояние объекта не связывается с предысторией его развития. Предмет анализа в данной статье — изучение производственного процесса, в котором фактор времени имеет принципиальное значение. Рассмотрим динами- ческую модель производства как взаимодействие потоков продукции и капитало- вложений, прежде всего модель прироста основных производственных фондов, необходимых для обеспечения выпуска конечной продукции. При этом решается задача отыскания не только зависимости переменных от времени, но и их взаимо- связи во времени. Специфическим признаком экономических межотраслевых динамических моделей служит описание соотношений «затраты–выпуск» в форме матриц меж- отраслевого баланса, где каждый вид продукции представлен только одним про- изводственным способом и каждым способом выпускается лишь один продукт. Место динамических межотраслевых моделей среди других моделей эконо- мической динамики определяется тремя моментами. Во-первых, они представля- ют собой детализированные аналоги моделей воспроизведения общественного продукта и национального дохода. Во-вторых, эти модели — обобщение статиче- ских межотраслевых моделей. В-третьих, они служат теоретико-методической ос- новой прикладных динамических моделей с матрицами межотраслевого баланса. Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 117 В динамической модели межотраслевого баланса допускается мгновенность преобразования производственного накопления (капитальных вложений) в при- рост производства продукции. Естественное усовершенствование модели — вклю- чение инвестиционных лагов. Авторами исследована динамика модели межотраслевого баланса с лагами, определены возможные сценарии ее развития и возрастания, предложен алгоритм вычисления момента переключения управлений. Итак, задача состоит в том, чтобы существующими методами системного анализа исследовать процесс и определить возможные и оптимальные траектории возрастания динамической модели межотраслевого баланса с лагами с целью ее использования в задачах прогнозирования, планирования и управления. Анализ основных исследований и публикаций, посвященных решению поставленной задачи. Предложенная В. Леонтьевым в начале 50-х годов дина- мическая межотраслевая модель стала классическим примером использования си- стем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического ро- ста. Модель Леонтьева получила широкое признание, и уже накоплен значитель- ный опыт практического использования этой модели и ее модификаций на национальном и региональном уровнях. В частности, в [1] проведены исследова- ния и численное моделирование статической модели межотраслевого баланса без лагов. Это дало возможность: 1) предложить механизм для определения магистральных траекторий и соот- ветствующих им управлений; 2) исследовать предельные траектории и управление. В [2] приведено построение динамической модели межотраслевого баланса без лагов. Кроме того, схема «затраты–выпуск» лежит в основе таких известных моде- лей, как модели Айреса–Низи, Дейли, Айзарда, Уиллена и других. Среди современных исследований в области математического моделирования эколого-экономических систем отметим работы М.В. Михалевича, А.А. Петрова, И.Г. Поспелова, Е.В. Рюминой, И.Н. Ляшенко, В.С. Григоркива и др., в которых обоснована необходимость оценивания эколого-экономического взаимодействия на основе моделей, которые в совокупности описывают систему экологических и экономических процессов. Цель и методика проведения исследований. Основная цель данной рабо- ты — дальнейшая разработка методологических аспектов анализа развития эко- номики, динамической модели межотраслевого баланса с лагами. Теоретическую и методологическую основу исследования составляют фун- даментальные положения и принципы экономической теории, методы оптимиза- ции, экономико-математическое моделирование, теории неотрицательных матриц и дифференциальных уравнений. Согласно работе [2], движение капитала ),0( tK которое определяется уравнением ,0),()()( −−= ttKtItK с инвестиционным лагом  при экспоненциальном распределении заменяется си- стемой дифференциальных уравнений с распределенным лагом ),()()( tKtVtK −= .0),()()( −= ttVtItV Здесь ,/)()( dttdKtK  V — введенные инвестиции, I — вводимые в действие ин- вестиции,  — норма амортизации капитала,  — норма амортизации инвестиций. 118 ISSN 0572-2691 Используем этот подход для динамического межотраслевого баланса с лагами. Тогда динамическая модель межотраслевого баланса с лагами приобретает вид , 1 kj n j kjk YXaX +=  = , 1 k n j jkjk CIqY +=  = , 1 j n j kjk XbI  = = ,kkkk KVK −= ,kkkkk VIV −= },...,,1{ nk ,)0( 0kk KK = ,)0( 0kk VV = ,)0( 00 kk XX = ,0kX },...,,1{ nk (1) , 1 NL n k k  = ),,,(0 kkkk LKtFX  ,0kI ,0kV ,0kK min kk CC  , },...,,1{ nk где X — (n × 1)-вектор-столбец валового выпуска продукции; )( kjaA = — (n × n)- матрица материальных затрат продукции k на выпуск единицы продукции j; Y — (n × 1)-вектор-столбец конечной продукции; )( kjqQ = — (n × n)-матрица чи- стых капиталовложений; )( kjbB = — (n × n)-матрица коэффициентов капитало- емкости прироста производства; I — (n × 1)-вектор-столбец вводимых в действие инвестиций; V — (n × 1)-вектор-столбец введенных инвестиций; C — (n × 1)-век- тор-столбец непроизводственного потребления; K — (n × 1)-вектор-столбец ос- новных производственных фондов; L — (n × 1)-вектор-столбец трудовых ресур- сов;  — (n × 1)-вектор-столбец норм амортизации капиталов;  — (n × 1)-вектор- столбец норм амортизации инвестиций. Первые три равенства представления (1) описывают динамический межот- раслевой баланс, четвертое и пятое уравнения — движение капитала и движение инвестиций. В третьей строке задаются начальные состояния капитала, введенных инвестиций и выпуска продукции. Неравенства в четвертой строке определяют ограниченность на суммарную рабочую силу секторов, валовую продукцию ,kX инвестиции ,kI ,kV непроизводственное потребление kC и капитал .kK Функ- ции kF — производственные функции каждой отрасли с определенными свой- ствами [3]. Задача состоит в том, чтобы найти такой процесс ),(),(),(),({ tVtKtYtX= },0),(),( ttCtI который бы удовлетворял условиям (1) и был оптимальным в смысле функционала ,max),()( 0 M t dtCtgeR   − →=  (2) где M — множество процессов, допускающих выполнение условий (1);  — нор- ма дисконтирования. На функцию полезности g налагаются такие требования: g дважды непре- рывно дифференцирована по С и непрерывна по ;0t монотонно возрастает по С; вогнута по С; ,lim 0 =   → C g C .0lim =   → C g C С точки зрения теории оптимального управления фазовой траекторией в за- даче (1), (2) служит состояние капиталов ),...,,( 1 nKKK = а управление имеет со- держательный смысл распределения инвестиций и рабочей силы между отрасля- Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 119 ми, конечного выпуска продукции между инвестициями и потреблением, загру- женности отраслей и рабочей силы, а также экспорта и импорта в допустимых квотах. Решение задачи (1), (2) позволяет наглядно представить качественную струк- туру построенного оптимального плана. Матрица структуры капиталовложений Q неотрицательная, причем 0kjq ,sk  }....,,1{ nj Отрасли с номерами sk  такие, что для каждого sk  су- ществует хотя бы одно j, при котором ,0kjq называются фондообразующими. Количество s фондообразующих отраслей существенно меньше общего количе- ства отраслей n. Так, для нескольких десятков отраслей могут быть лишь две фондообразующие отрасли: машиностроение и строительство. Это обстоятель- ство имеет важное значение, поскольку для алгоритма построения оптимального плана важно не число n, а число s. Для каждой отрасли j обнаруживается фондо- образующая отрасль k такая, что ,0kjq причем 1 1 = = n k kjq }....,,1{ nj Результаты исследований. I. Условия оптимальности процесса экономического развития. В задаче (1), (2) в роли состояния выступает вектор капитала );...,,( 1 nKKK = другие переменные CLIVYX ,,,,, — компоненты вектора управления. Подставив второе и третье уравнения системы (1) в первое, получаем , 1 )1( 1 k n j jkj n j jkjk CXrXaX ++=  ==  },...,,1{ nk (3) где матрица .QBR = В соответствии с достаточными условиями оптимальности [2, с. 382–385] необходимо оптимизировать две функции: .),,(minlim max, ),,( ),( ),,( )( ),,( ),,,,( 0, 1 1 1 1 VKt t VKt CtgeVXb V VKt VK K VKt VCXKtR VKt t n k kk n j jkjk k kkk n k k  →   ++         −   + ++−   = → − = = =      (4) Неизвестную функцию  ищем в виде  = += n k kkkk VtKtVKt 1 )2()1( ),)()((),,( где , )1( k  )2( k — кусочно-дифференцированные функции при ,0t которые необходимо определить. Тогда (4) приобретает вид +                 +−++−=   = = n k n j jkjkkkkkkkk XbVVKVCXKtR 1 1 )2()1( ][),,,,(  120 ISSN 0572-2691 =+++  = − n k kkkk t VKCtge 1 )2()1( )(),(  ++−+−=  = n k kkkkkkkkk VK 1 )1()2()2()1()1( ))()((  .max),( 11 )2( →++ − ==  CtgeXb t j n j kj n k kk  Учитывая межотраслевые связи модели (1), при помощи метода множителей Лагранжа заменим задачу о максимуме R на максимум функции ++−+−=  = ))()((),,,,,( ~ )1()2()2()1( 1 )1( kkkkkkkk n k k VKVXXCKtR    = = − +++ n k j n j kjkk t XbCtge 1 1 )2( ),(  ,max 1 111 M n k n k k n j jkjk n j jkjkk LNXrCXaX →         −+         −−−+  = ===  (5) ,0)(minlim )1( 0 = → kk Kt Kt k }...,,1{0)(minlim )2( 0 nkVt kk Vt k = → (6) на множестве M всех LVKCXX ,,,,,  модели (1). Здесь ),0(),0(  tt k }...,,1{ nk — соответствующие множители Лагранжа, представляющие собой кусочно-непрерывные функции. Условие (6) — обобщение для достаточных условий оптимальности на случай бесконечного промежутка времени. Введем обозначения: ,),(),( 1  = − −= n k kk t CCtgeCtG , 1  = −= n j jjkkk ah , 1 )2( 1 1  == −= n j jjkjj n j jkk rb , )2()1()2(2 kkkkk −+=  (7) , )1()1( kkkkP +−=  .),,,( kkkkkk LXhKPLXKtR −+−= Тогда .),(),,,( ~ 1 2 1 1 1 NCtGVXLXKtRR n k kk n k kkk n k ++++=  ===  В новых обозначениях задача (5) приобретает вид ,max),,,( 0,0 ),,,(0   → kk kk LK LKtFX k LXKtR ,max),( min kk CC CtG  → (8) ,0max 1 0 =  kk X X  .,0max 2 0 tkVkk V =  (9) Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 121 Поиск оптимального режима экономического развития сводится к максими- зации функций ),,,( LXKtRk и ),( CtG и подбору таких множителей ),( )1( t k  ),(),(),( )2( ttt kk  чтобы этот процесс при M оказался допустимым. Множители  ,,, )2()1( kkk имеют смысл дисконтированных к начальному моменту внутренних цен. Текущие цены обозначены соответственно ,)()( )1()1( t kk ett = ,)()( )2()2( t kk ett = ,)()( t kk ett = .)()( tett = Функция R ~ отражает суммарную прибыль, образованную производственной прибылью отраслей ),,,( LXKtRk и коммерческой прибылью ).,( CtG Дополни- тельное слагаемое N представляет собой оплату рабочей силы. Режим развития экономики, определенный (8), (9), считаем оптимальным при данных ценах. Он обеспечивает максимум всех видов прибыли в каждый момент времени. При этом существует полная независимость всех видов прибыли: произ- водственной в каждой отдельной отрасли и коммерческой. Цены = ),,,( )2()1( назовем допустимыми. Оптимальный при данных ценах план  может не удовлетворять условиям связи модели (1) (первая строка), т.е. может быть несбалансированным. Поэтому для выполнения доста- точных условий оптимальности подбор цен должен дополнительно обеспечить сбалансированность оптимального при данных ценах плана . II. Свойства допустимых цен и оптимальных режимов развития эко- номики. Изучим свойства допустимых цен = ),,,( )2()1( и соответствую- щих им оптимальных планов. 1. В соответствии с (8) потребление )0( tC обеспечивает максимум ком- мерческой прибыли ).,( CtG С учетом свойств функции ),( Ctg необходимое условие существования этого максимума заключается в неотрицательности век- тора )(t при каждом .0t Если функция полезности линейна, , 1  = = n k kkCg то внутренние текущие цены не ниже внешних: }....,,1{, nkkk  Если ,min kk CC  то текущая цена данного продукта равняется предельной полезности =k ./),( kCCtg = Если ,/),( kk CCtg  то .min kk CC = В частности, если , 1  = = n k kkCg то min kk CC  возможно только при таком ,lk = при котором .1max =   =   k k kl l (10) Отрасль l единственная. Это значит, что для региона оптимально в смысле рассматриваемого критерия монопродуктовое производство, когда все усилия со- средоточены на выпуске одного избыточного продукта l-й отрасли, а остальные импортируются. Такая линейная зависимость характерна только для относительно маленького региона, в котором выпуск kC не влияет на международные цены. 2. Согласно (8), оптимальный продукт отрасли ,kX капитал kK и рабочая сила kL должны обеспечить максимум прибыли .kR А это возможно при выпол- нении условия 122 ISSN 0572-2691        =   = .0если,определеноне ,0если,0 ,0если),,,( k k kkkk k h h hLKtF X (11) Обозначим .),,(max ~ ),,(0 kkkkkkkk LKtFX k LKPLKtFhRR kkkk −−==  (12) Учитывая линейную однородность производственных функций ,kF можно запи- сать ,),(~~ kkkk LktrR = где kkk LKk /= — фондовооруженность, =),(~ kk ktr −−= kkkkk kPktfh ),( — производственная прибыль отрасли с единицы труда. Поскольку 0kL k и t, получаем необходимые и достаточные условия макси- мума kR ~ по kK и kL в виде .,),(~max)ˆ,(~ tkktrktr kk k kk = (13) Для существования такого kk̂ необходимо, чтобы ,0kP 0 k, t. Если 0kh и ,0),( kk ktf ,0kP ,0 то существует .0ˆ kk 3. Вектор )...,,( 1 nhhH = выражается через вектор )...,,( 1 n= матричной формулой .)( T −= AEH (14) Будем считать, что матрица )( TAE − — продуктивная и неразложимая [1]. 4. Из (11) в соответствии с (13) следует полная загруженность отраслей при оптимальном режиме: ),,,( kkkk LKtFX = },...,,1{ nk .0t В связи с ограниченностью суммарной рабочей силы ),()( 1 tNtL n k k = = .0t (15) 5. Используя (12) и (13), получаем , ),,( =   k kkk k L LKtF h k k kkk k P K LKtF h =   ),,( ., tk (16) Это означает, что чистая предельная прибыль с единицы труда одинакова для всех отраслей и должна совпадать с ценой работы, а с единицы фондов — с ценой их износа. Если , / / ),( kk kk kk KF LF kt   = ,/ ~ = kk PP то ,1),( ~ = kkk ktP т.е. оптимальная фондовооруженность зависит только от от- ношения цены износа фондов к цене труда . ~ kP Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 123 В частности, для производственной функции Кобба–Дугласа =  t kk keaF kk kk LK   )()( справедливо ,),( k k k kk kkt   = .) ~ ( 1−   = k k k k Pk (17) Обозначив ,/ ~ = kk hh ,/ ~ = kk из (14) получаем , ~ )( ~ 1T HAE −−= , ),,(~ 1−           = k kkk k L LKtF h },...,,1{ nk (18) т.е. относительные цены всех отраслей зависят от относительных цен износа фондов. 6. Максимумы (9) по kk VX , )1( определены при условиях −=  = jj n j jkk b )2( 1 1 ,0 1 − = jjk n j r .0 )2()1()2(2 −+= kkkkk  Тогда         =− − =   == == ;0если,0 ,0если,0 1 )2( 1 1 )2( 1)1( jjk n j jj n j jk jjk n j jj n j jk k rb rb X      =−+ −+ = .0если,0 ,0если,0 )2()1()2( )2()1()2( kkkk kkkk kV   Назовем k-ю отрасль развиваемой в момент времени t, если ,0)( )1( tX k  ,0)( tVk и неразвиваемой, если ,0)( )1( =tX k  .0)( =tVk Если все отрасли разви- ваемые, то , 1 )( 1 TT1T)2(   =  = − QRB .)2()2()1( −=  (19) Следовательно, что цены фондов всех n отраслей зависят от цен фондообразую- щих продуктов ,j }....,,1{ sj Цены износа с учетом (7) и фондовооруженности отраслей kk в этом случае также зависят от цен фондов и труда: }....,,1{},...,,1{, ),)( ~ ( 1~ 1 sjnk qP j j jjkkjkk n j jk k k    = ++−  =  =   (20) Если известны цены фондообразующих продуктов ),(tk ,sk  цена труда ),(t ,0t то из (20) находим цены износа , ~ kP },...,,1{ nk а из (17) — маги- стральные фондовооруженности ),0(mag tkk из (18) — цены нефондообразую- щих продуктов ,k .sk  124 ISSN 0572-2691 Таким образом, цены всех продуктов и фондов ),(),(),( )1()2( ttt kkk  ,0t а также магистральные фондовооруженности )0(mag tkk зависят от цены труда )(t и цен фондообразующих продуктов ,k }....,,1{ sk 7. В соответствии с (6) ,)()(lim )1( 0 = → tKt kk t ,)()(lim )2( 0 = → tVt kk t }....,,1{ nk III. Уравнения оптимального сбалансированного плана. Можно говорить о конкретных особенностях оптимальной траектории только при достаточно конкретных предположениях о явной зависимости входных пере- менных от времени. Будем ориентироваться на случай постоянных и не завися- щих явно от времени матриц ,,, BQA производственных функций kF и функции полезности g, принимая во внимание, что выявленные для данного случая осо- бенности сохраняются и при отклонениях в умеренных пределах от этих предпо- ложений. Зададим ,0 t kk e −= };...,,1{ nk ,0 te −= где 00 , k — константы, которые надо определить. Тогда , ~ 0 0   = k k jkkkk n j jk k k qP +++  =  = ~ ))(( 1~ 2 1 и система (18) при }...,,1{ sk представляет собой нелинейную систему уравне- ний с s неизвестными , ~ k }....,,1{ sk Обозначим ее решение . ~ Тогда , ~ kP * kk соответствуют решению равенства (17). Значения переменных , ~ j },...,,1{ nsj + вычисляем по формуле (18). Таким образом, найдена некоторая допустимая система цен ,,,, )2()1(  определенная с точностью константы ,0 которой отвечает постоянный вектор оптимальной фондовооруженности k. Следовательно, ,const=kK const=kV со- ответствуют четвертому и пятому уравнениям системы (1): ,kkk KV = .1 1 kj n j kjk VXbI ==  =  Учитывая, что ,kkk LkK = из (3) и (15) получаем ,)()( 11 kjjj n j kjjjj n j kj CLkqLkfAE +=−  == },...,,1{ nk (21) . 1 NL n j j = = (22) Дальнейший расчет оптимального сбалансированного плана зависит от ана- литических свойств функции полезности .)(Cg 1. Пусть .)( 1 k n k kCCg  = = Найдем ** ~ /max ~ / kk k ll = и зададим . ~ / * ll = Это значит, что ll = и ,* kk  ,lk  т.е. ,min* kk CC = ;lk  при lk = значе- ние lC не определено. Подставляя эти значения в (21), (22), получаем систему из Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 125 n+1 линейных уравнений относительно n+1 неизвестных ., lk CL Считаем, что существует решение данной системы: ,0* kL .min* ll CC  При неразложимости матрицы )( AE − это решение существует. Полученное решение ,* kk ,* kC ,* kL ,* kkk LkK = , kkk KV = ,** kk VI = 1 )( IBX −= представляет собой искомый план. 2. Пусть )(cg — нелинейная функция с описанными выше свойствами. Зада- дим некоторое .0 Тогда t kk e −= 0 ~ и потребление const.)( 0 =C Следова- тельно, ).())()(()( 0 1 1 0 −−= − =  iikikkk n i ikk CkqkfAEL Значение 0 подбирается таким образом, чтобы удовлетворялось усло- вие (22). Если при этом ,0kL то полученное решение представляет собой ис- комый план. Искомый оптимальный режим минимизирует отклонение от стационарного режима. При →t показатели оптимального плана сходятся к стационарным. Если входные показатели зависят от времени, то стационарный режим отсут- ствует, но существует некоторый его аналог, который представляет собой уравно- вешенное развитие, обусловленное экзогенным изменением входной информации. Отметим, что такие показатели стационарного режима, как цены и фондово- оруженности отраслей ,kk не зависят от выбора функции полезности ),(Cg что совпадает с трудовой теорией стоимости. IV. Граничные условия и соответствующие им участки оптимального режима. Левые краевые траектории можно найти из таких задач Коши:     = −= };...,,1{,)0( , 0 nkKK KVK kk kkkk      = −= }....,,1{,)0( , 0 nkVV VIV kk kkkkk  Решив их, получаем ,)( 0 t k k k k k k ke V K V tK −          −+  = ,)()( 0 t kkkk keIVItV − −+= }....,,1{ nk Пересечение соответствующих компонент левой краевой траектории с соот- ветствующими компонентами магистрали дает точку переключения . Ее можно определить из такой задачи математического программирования: ,min  , 1 1 )( 0 * mag 0 0 * mag k k kkk I e eV e eKK k k k k  − − − −  − − − − ,0 где         = ,, ,, mag0mag mag 0 mag0mag * mag kkk k k kkk k KKI K K KKI I     + − = .),1( ,),1( mag0mag mag0mag * mag kkkk kkkk k KKK KKK K Поскольку каждая компонента левой краевой траектории )(tKk при следовании t к бесконечности приближается снизу при mag0 kk KK  или сверху mag0 kk KK  126 ISSN 0572-2691 к соответствующей компоненте магистрали magkK и не пересекает ее, то суще- ствуют введенные достаточно малые положительные величины k такие, что левая краевая траектория пересекает )1(mag kkK − при mag0 kk KK  или )1(mag kkK + при .mag0 kk KK  После отыскания точки переключения  можно найти компоненту левого управления по формуле . 1 )1(/)( 00 * mag − −−− − −−− = k kkk e eVeeKK I kkkk kl Опишем алгоритм последовательности решения задачи. 1) находим стационарный режим ;, **  2) определяем левую краевую траекторию; 3) находим левый момент переключения управлений; 4) вычисляем левое управление; V. Пример числового исследования динамической модели межотрасле- вого баланса с лагами. Проведено численное моделирование динамической модели межотраслевого баланса с лагами при таких данных: ,3=n ,07,01 = ,06,02 = ;05,03 = ,08,01 = ,07,02 = ;09,03 = ,11 = ,5,12 = ;23 = ;05,0= ;1=s ;50=N ,)()(10),( 2/1 1 2/1 1111 LKLKF = ,)()(12),( 3/2 2 3/1 2222 LKLKF = =),( 333 LKF ,)()(15 4/3 3 4/1 3 LK= , 54,006,092,0 226,003,002,0 096,05,0403,0           =A , 4,08,006,0 3,009,008,0 005,004,003,0           =B ; 000 000 111           =Q ,720 =K ;2530 =K ,210 =V ,120 =V ;130 =V ,8min1 =C ,10min2 =C .12min3 =C В результате расчета получен оптимальный план: ● цены износа ,531,0 ~ 1 =P ,513,0 ~ 2 =P ;424,0 ~ 3 =P ● цены продуктов ,733,2 ~ 1 = ,637,1 ~ 2 = ;58,1 ~ 3 = ● избыточная отрасль ;3=l ● начальная цена труда ;266,10 = ● начальные цены продуктов ,461,310 = ,072,220 = ;230 = ● трудовые ресурсы ,61,121 =L ,053,92 =L ;337,283 =L ● непроизводственное потребление ,81 =C ,102 =C ;528,183 =C ● капитал ,748,231 =K ,684,82 =K ;3,223 =K ● валовой выпуск продукции ,046,1731 =X ,154,1072 =X ;347,4003 =X ● конечная продукция ,298,111 =Y ,102 =Y ;528,183 =Y ● введенные инвестиции ,662,11 =V ,521,02 =V ;115,13 =V ● вводимые инвестиции ,662,11 =I ,521,02 =I ;115,13 =I ● прирост валовой продукции ,057,521 =X ,191,42 =X ;03 =X Проблемы управления и информатики, 2006, № 6 127 ● левый момент переключения ;68,4= ● левое управление по инвестициям ,555,11 =lI ,02,02 =lI ;00035,03 =lI ● лаги .34,2lag = Экономическое обоснование полученных результатов такое: сначала на вре- меннóм промежутке )68,4;0( первая отрасль производства вкладывает 86,058 % капитала на потребление и 13,942 % — на накопление относительно конечной продукции; вторая и третья отрасли весь свой капитал вкладывают на потребле- ние, накопления капитала нет. Начиная с момента переключения 68,4= разви- тие всех отраслей идет по магистральному режиму. Выводы. Результаты данного исследования содействуют не только усовер- шенствованию и развитию общей теории моделирования, но и расширяют эконо- мико-математический аппарат исследования экономических и управленческих за- дач. Данная модель позволяет повысить эффективность и достоверность прогно- зирования и принятия управленческих решений. М.В. Бойчук, Н.М. Шмуригіна ДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ З ЛАГАМИ Запропоновано математичну модель динамічного міжгалузевого балансу з ла- гами. Проведено дослідження моделі динаміки такого балансу. Наведено алго- ритм розрахунку магістральних значень керувань та відповідних траєкторій, лі- вих траєкторій, відповідних їм лівих керувань і точки переключень керувань. М.В. Boychuk, N.M. Shmurygina DYNAMIC MODEL OF INTERSECTOR BALANCE WITH LAGS A mathematical model of dynamic intersector balance with lags is offered. The mod- el of this balance dynamics is investigated. The algorithm of computing main values of controls and corresponding trajectories, left trajectories and their corresponding controls as well as switching points of controls are presented. 1. Пономаренко О.І., Перестюк М.О., Бурим В.М. Основи математичної економіки. — К. : Ін- формтехніка, 1995. — 320 с. 2. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. — М. : Знание, 1990. — 430 с. 3. Колемаев В.А. Математическая экономика. — М. : ЮНИТИ, 1998. — 240 с. Получено 15.06.2009 После доработки 14.09.2006

Динамическая модель межотраслевого баланса с лагами

Репозитарії

Схожі ресурси