Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления
Запропоновано інтелектуальну стратегію застосування методу автоматичного дослідження складного конуса включень для суттєво нелінійних гібридних динамічних систем керування зі змішаними обмеженнями загального виду. Цільове призначення методу — верифікація складності конуса направлень. Розроблено інте...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206971 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления / С.В. Павлова // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 30-39. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-206971 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2069712025-09-28T00:00:37Z Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления Інтелектуальний метод комп’ютерної побудови межі оболонки конуса включень нелінійної динамічної системи керування Intellectual method of computer construction of a border of an inclusions cone casing of a nonlinear dynamic control system Павлова, С.В. Проблемы динамики управляемых систем Запропоновано інтелектуальну стратегію застосування методу автоматичного дослідження складного конуса включень для суттєво нелінійних гібридних динамічних систем керування зі змішаними обмеженнями загального виду. Цільове призначення методу — верифікація складності конуса направлень. Розроблено інтелектуальний метод у класі задач комп’ютерної геометрії, заснований на дуальній стратегії комп’ютерного саморозпізнавання геометричного тіла конуса системи m-ї вимірності. Дуальний підхід використовує два оператори. Перший розв’язує задачу організації сцени досліджень і включає компоненти: пошук точок масиву, що належать конусу включень і містяться в пам’яті комп’ютера; центрування масиву; його масштабування; фіксацію сцени; побудову зв’язаного ε-розшарування масиву даних і наступну безперервну пошарову активізацію масиву. Другий оператор — безпосередньо автоматичний програмний динамічний дослідницький самонастроювальний модульробот, що досліджує і будує оболонки багатозв’язних конусів включень за їх дискретними відгуками. Intellectual strategy for a automatic research method of a complex inclusions cone for essentially nonlinear hybrid dynamic control systems with combined constraints of a general type is offered. A special purpose designation of the method is verification of direction cone complexity. The intellectual method based on dual computer selfrecognition strategy of a geometrical body of a directions cone of m-dimensional system. Dual approach uses two operators. The first operator («virtual organizer») solves an organization problem of a research stage and includes components: search of arrays belonging to the inclusions cone and contained in a computer memory; array centering; its scaling; the stage stabilization; construction of the connected ε-layers of data array and subsequent continuous layerby-layer «illumination» (activation) of array. The second operator («virtual explorer») represents directly automatic program dynamic research selfadapting «modulerobot» investigating and building casing of multicoherent inclusions cones according to their discrete responses. 2007 Article Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления / С.В. Павлова // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 30-39. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206971 62.50 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Павлова, С.В. Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления Проблемы управления и информатики |
| description |
Запропоновано інтелектуальну стратегію застосування методу автоматичного дослідження складного конуса включень для суттєво нелінійних гібридних динамічних систем керування зі змішаними обмеженнями загального виду. Цільове призначення методу — верифікація складності конуса направлень. Розроблено інтелектуальний метод у класі задач комп’ютерної геометрії, заснований на дуальній стратегії комп’ютерного саморозпізнавання геометричного тіла конуса системи m-ї вимірності. Дуальний підхід використовує два оператори. Перший розв’язує задачу організації сцени досліджень і включає компоненти: пошук точок масиву, що належать конусу включень і містяться в пам’яті комп’ютера; центрування масиву; його масштабування; фіксацію сцени; побудову зв’язаного ε-розшарування масиву даних і наступну безперервну пошарову активізацію масиву. Другий оператор — безпосередньо автоматичний програмний динамічний дослідницький самонастроювальний модульробот, що досліджує і будує оболонки багатозв’язних конусів включень за їх дискретними відгуками. |
| format |
Article |
| author |
Павлова, С.В. |
| author_facet |
Павлова, С.В. |
| author_sort |
Павлова, С.В. |
| title |
Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления |
| title_short |
Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления |
| title_full |
Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления |
| title_fullStr |
Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления |
| title_full_unstemmed |
Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления |
| title_sort |
интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206971 |
| citation_txt |
Интеллектуальный метод компьютерного построения границы оболочки конуса включений нелинейной динамической системы управления / С.В. Павлова // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — С. 30-39. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT pavlovasv intellektualʹnyjmetodkompʹûternogopostroeniâgranicyoboločkikonusavklûčenijnelinejnojdinamičeskojsistemyupravleniâ AT pavlovasv íntelektualʹnijmetodkompûternoípobudovimežíobolonkikonusavklûčenʹnelíníjnoídinamíčnoísistemikeruvannâ AT pavlovasv intellectualmethodofcomputerconstructionofaborderofaninclusionsconecasingofanonlineardynamiccontrolsystem |
| first_indexed |
2025-09-28T01:15:57Z |
| last_indexed |
2025-09-29T01:07:52Z |
| _version_ |
1844558505955033088 |
| fulltext |
© С.В. ПАВЛОВА, 2007
30 ISSN 0572-2691
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 62.50
С.В. Павлова
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ МЕТОД
КОМПЬЮТЕРНОГО ПОСТРОЕНИЯ ГРАНИЦЫ
ОБОЛОЧКИ КОНУСА ВКЛЮЧЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Потребность в эффективных и надежных алгоритмах управления сложными
динамическими системами возрастает с каждым днем.
Реальные объекты и процессы управления, как правило, сложны сами по
себе (структурно и функционально), многомерны, характеризуются существен-
ными взаимосвязями своих компонентов между собой и с компонентами внеш-
ней среды.
Обзор литературы, посвященной исследованиям сложных управляемых си-
стем, показывает, что в данном классе систем наиболее бурно и эффективно раз-
вивается теория управления и наблюдения посредством сложных систем
в условиях неопределенности со смешанными разнородными ограничениями [1–
6]. Характерная особенность этой теории — использование вместо гипотезы о
стохастической природе всех неопределенных величин и процессов лишь апри-
орного предположения об их выпукло-множественных оценках [2–6]. Это поз-
волило создать [2–11] единую системную базу исследования сложных систем,
объединив методы робастной устойчивости, идентификации, оценивания, синтеза
управления с такими методологическими положениями теории позиционных игр,
как принципы гарантированного результата [12] и динамики множества позиций,
представляемых в форме дифференциальных и разностных включений [7, 13–15].
Для большого класса динамических процессов, особенность которых состоит в
том, что их смешанные ограничения представляют собой замкнутые выпуклые
множества, а сами системы, порождающие эти процессы, обладают свойствами
линейного отображения данных выпуклых множеств на дифференциальные (или
разностные) включения, созданы регулярные методы анализа систем и синтеза
управления [2–11]. При этом в них эффективно используется аппроксимация дан-
ных множеств другими, более удобными для использования. Наибольшее распро-
странение среди таких аппроксимаций получил метод эллипсоидов [3–6].
Однако при исследовании класса задач синтеза управления в условиях не-
определенности для существенно нелинейных систем в случае смешанных огра-
ничений использование гипотезы выпуклости может быть необоснованным по
многим причинам. Среди них, в первую очередь, следует выделить возможную
фактическую невыпуклость и несвязность хотя бы одного из множеств неопре-
деленностей: либо состояний управляющих и возмущающих параметров, либо
состояний помех поведению и наблюдению, либо начальных фазовых состояний
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 31
системы (при исследовании потока состояния). Во вторую очередь — это само
свойство существенно нелинейного отображения данных исходных множеств не-
определенностей на множество дифференциальных или разностных включений.
Эти отображения могут порождать в общем случае невыпуклые, односвязные,
многосвязные и даже несвязные множества, причем и в том случае, когда прооб-
разы данной системы выпуклы. В этом случае предположение о выпуклости обо-
лочки («овыпукливание») сложного по своей структуре множества в чисто техни-
ческом смысле может сказаться на результатах проводимых исследований и на
результативности синтезированного управления [8–11]. Допустимость выпуклых
аппроксимаций в каждом конкретном случае может быть оценена лишь с исполь-
зованием фактического построения образа множества дифференциального (или
разностного) включения над его прообразом (который по факту может быть как
выпуклым односвязным, так и невыпуклым, и даже невыпуклым с пустотами).
Детализируя проблему анализа и синтеза сложных управляемых систем, сле-
дует отметить, что особенно остро стоит проблема создания методов и алгорит-
мов высококачественного управления сложными динамическими нелинейными
процессами. Для них синтез алгоритмов управления по необходимости неразрыв-
но связан с задачей анализа состояний векторного поля объекта управления, зада-
ваемого дифференциальным включением.
Построение и анализ топологических образов конуса управляемых состоя-
ний сложного нелинейного объекта — новое направление современной теории
управления. Поэтому в литературе отсутствует широкое освещение этой про-
блемы [1, 16]. В [17–21] предложен аналитико-компьютерный метод построения
топологических образов векторного конуса сложного нелинейного динамического
объекта. Анализировать и получать такие динамические образы возможно с при-
менением компьютерной техники и специально разработанного программно-алго-
ритмического обеспечения.
Используемая в данном исследовании при построении и анализе [17–21] об-
разов векторного конуса объекта математическая модель динамического процесса
(см. систему уравнений (2) в [2]) существенно нелинейна и сложна для исследо-
ваний. Установлено, что их конусы имеют сложную топологию с вариативной не-
линейной внутренней структурой. В этих образах наблюдаются сгущения и раз-
режения, они имеют сложную неоднородную структуру, содержат существенно
невыпуклые фазовые компоненты (рис. 1).
Цель статьи заключается в разработке методов компьютерной геометрии для
построения границы множественного образа конуса дифференциального включе-
ния системы управления по наблюдаемому конечному набору (множеству)
неупорядоченных точек. В отсутствие таковой невозможна верификации данной
системы по признаку ее принадлежности или непринадлежности к классу систем
с разрешаемым анализом и синтезом управлений на основе регулярных методов
выпуклого анализа.
Предполагается, что наблюдаемое множество точек достаточно полное и
хранится в памяти компьютера.
В случае, если топологический образ m-связный, возникает проблема опреде-
ления как внешней, так и внутренних границ оболочек конуса. При этом общее ко-
личество границ оболочек соответствует уровню связности исследуемых структур.
Компьютерная геометрия понимается нами как проблема распознавания гео-
метрических образов — точек, линий, поверхностей, гиперповерхностей, слоений,
тел разной конфигурации, рельефа и свойств, закрепления их в памяти компьюте-
ра и «легкого» использования при необходимости.
32 ISSN 0572-2691
Рис. 1
В соответствии с сегодняшним представлением об интеллектуальных систе-
мах данную задачу в англоязычной научной литературе относят к классу задач так
называемого «геометрического мышления» [22–25].
Для нелинейных многомерных систем, математическая модель которых
представима в форме дифференциального включения
,,),,,( UuXxuxt
td
dx
где UuXx , — евклидовы пространства, ),,( uxt — нелинейные вектор-
функции, x — параметры состояния, u — параметры управления, отображение
),( xtU g→ в компьютерном представлении образует в памяти массив данных,
не имеющий геометрического смысла.
Причина этого — неоднородности, неравномерности, «скрученности», «вы-
вороченности» массива данных и даже хаотичности, образующиеся при отобра-
жении первично упорядоченных слоений U в .
Рассмотрим решение задачи автоматического выделения в памяти компьюте-
ра массива как целостного геометрического тела из первичного неупорядочен-
ного массива.
Для самовосприятия компьютером массива как геометрического тела
предлагается использовать дуальную стратегию компьютерного самораспознава-
ния, содержащую, с одной стороны, первый компонент (virtual organizer) — стра-
тегию организации сцены F (рис. 2), а с другой стороны — второй компонент
(virtual explorer), представляющий собой автоматический программный динами-
ческий исследовательский виртуальный модуль-робот.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 33
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
Рис. 2
Стратегия организации сцены F включает в себя поиск массива, центровку,
ориентировку, масштабирование сегмента A памяти компьютера, фиксацию сце-
ны в сегменте A (с тем, чтобы выполнялось ),F связанное -расслоение и
последующую непрерывную послойную i-активизацию массива .: → U
34 ISSN 0572-2691
Поведение автоматического программного динамического исследовательско-
го виртуального модуля-робота программируется на сцене A путем выполнения
следующих действий:
— задание начальных геометрических свойств модуля (в общем случае для
многомерного конуса в качестве модуля задается n-мерный прямоугольник, про-
порциональный размерам конуса);
— случайный выбор слоя )0(i принятый в качестве начального, и точки
старта ),0()( ffi → где — дополнение в сегменте сцены в слое ;i
— движение модуля virtual explorer по равномерной траектории ),),0(( ffG
нацеленной на произвольную точку gf (задаваемую по случайному закону
распределения f ) до контакта cf с массивом : cc ff = (рис. 3);
— исследование -свойства точки контакта cf с на принадлежность топо-
логическому образу конуса включения (в общем случае используется n-мерная
сфера, образуемая сканированием пространства вокруг точки контакта cf моду-
лем-роботом);
— сообщение о координатах точки контакта cf и ее свойствах в геометриче-
ское пространство A компьютера;
— движение модуля virtual explorer по контуру -тела в слое (случайный
закон выбора направления обхода в локальной системе координат «внешнего
наблюдателя», т.е. в системе координат модуля virtual explorer) до точки замыка-
ния контура в точке )()0( kff = с непрерывной передачей данных о своем дви-
жении в сегмент A (рис. 4);
— переход на соседний связанный слой (выбираемый по случайному закону
выбора направления перехода);
— построение внутрислойного (микро)цикла функционирования (происходит
изменение геометрических свойств модуля-робота в зависимости от плотно-
сти/размытости топологического образа);
— повторение движения от слоя к слою до образования (макро)цикла, когда
начальный и последний слои совпадают (рис. 5);
— многократное повторение исследования и суммирование всех геометриче-
ски наблюдаемых данных в единый массив A и получение из него сглаженного
массива MA (рис. 6).
P2
P1
P2
P1
Рис. 3 Рис. 4
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 35
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
P2
P1
Рис. 5
36 ISSN 0572-2691
P2
P1
P2
P1
P2
P1
Рис. 6
На рис. 2–6 приведены двумерные топологические образы конуса включений
как наиболее наглядные при иллюстрации работы данного интеллектуального ме-
тода построения границы для оболочки конуса включения. На рис. 7 показан
пример работы интеллектуального метода построения границы для оболочки ко-
нуса включения в трехмерном случае.
Для размерностей 3n границу оболочки конуса можно показать на
экране компьютера только в виде проекций в двумерном или трехмерном про-
странстве, информация же о полной оболочке конуса и его границах хранится в
памяти компьютера.
Приведенные в статье образы (рис. 2–6) односвязные. Для многосвязных
(m-связных) топологических образов необходимо построение не только внешней
границы оболочки, но и 1−m их внутренних границ.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 37
Рис. 7
В этом случае необходимо задавать выбор слоя )0(i и точки старта → )( if
)0(f→ внутри образа и исследовать данную точку пространства на принадлеж-
ность множеству точек образа. Для многосвязного образа последовательно скани-
руется все пространство внутри построенной внешней границы оболочки конуса.
В случае, если найдена «дыра» или пустóта, включается в работу virtual explorer.
Таким образом, построение внутренних границ оболочек конуса происходит ана-
логично построению внешней границы оболочки за исключением выбора началь-
ной точки старта virtual explorer. Построение границ оболочек для конусов разной
связности показано на рис. 8 (а — ;2=m б — ).5=m
P2
P1
P2
P1
а б
Рис. 8
При компьютерной геометризации эффективно используются топологиче-
ские понятия адаптивной -точки и адаптивного -фильтра с учетом того, что
pr — допустимый уровень грубости геометризации образа , определяе-
мый системным подходом в данных исследованиях.
Выводы. Для нелинейных динамических систем предлагается интеллекту-
альный компьютерный метод анализа топологических образов конусов управляе-
мых состояний и автоматическое компьютерное построение границ оболочек
данных образов.
38 ISSN 0572-2691
Предлагаемая стратегия компьютерного самораспознавания носит дуальный
характер и состоит из стратегии организации сцены в виде, удобном для даль-
нейшего компьютерного анализа, и собственно стратегии автоматического анали-
за и построения границы оболочки образа.
Анализ границы оболочки образа методом «virtual explorer» допускает выде-
ление на нем естественным образом критических зон, образованных множеством
критических точек [26].
Проиллюстрирован результат работы предложенного интеллектуального
компьютерного метода построения оболочки образа и его границы для разных
вариантов топологических конусов на примере систем балансового типа нелиней-
ных динамических систем [18].
С.В. Павлова
ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИЙ МЕТОД КОМП’ЮТЕРНОЇ
ПОБУДОВИ МЕЖІ ОБОЛОНКИ КОНУСА
ВКЛЮЧЕНЬ НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІЧНОЇ
СИСТЕМИ КЕРУВАННЯ
Запропоновано інтелектуальну стратегію застосування методу автоматичного
дослідження складного конуса включень для суттєво нелінійних гібридних ди-
намічних систем керування зі змішаними обмеженнями загального виду. Ці-
льове призначення методу — верифікація складності конуса направлень. Роз-
роблено інтелектуальний метод у класі задач комп’ютерної геометрії, заснова-
ний на дуальній стратегії комп’ютерного саморозпізнавання геометричного
тіла конуса системи m-ї вимірності. Дуальний підхід використовує два опера-
тори. Перший розв’язує задачу організації сцени досліджень і включає компо-
ненти: пошук точок масиву, що належать конусу включень і містяться в пам’яті
комп’ютера; центрування масиву; його масштабування; фіксацію сцени; побу-
дову зв’язаного -розшарування масиву даних і наступну безперервну пошаро-
ву активізацію масиву. Другий оператор — безпосередньо автоматичний про-
грамний динамічний дослідницький самонастроювальний модуль-робот, що
досліджує і будує оболонки багатозв’язних конусів включень за їх дискретними
відгуками.
S.V. Pavlova
INTELLECTUAL METHOD OF COMPUTER
CONSTRUCTION OF A BORDER
OF AN INCLUSIONS CONE CASING
OF A NONLINEAR DYNAMIC CONTROL SYSTEM
Intellectual strategy for a automatic research method of a complex inclusions cone
for essentially nonlinear hybrid dynamic control systems with combined constraints
of a general type is offered. A special purpose designation of the method is verifica-
tion of direction cone complexity. The intellectual method based on dual computer
self-recognition strategy of a geometrical body of a directions cone of m-dimensional
system. Dual approach uses two operators. The first operator («virtual organizer»)
solves an organization problem of a research stage and includes components: search
of arrays belonging to the inclusions cone and contained in a computer memory;
array centering; its scaling; the stage stabilization; construction of the connected
-layers of data array and subsequent continuous layer-by-layer «illumination» (acti-
vation) of array. The second operator («virtual explorer») represents directly auto-
matic program dynamic research self-adapting «module-robot» investigating and
building casing of multicoherent inclusions cones according to their discrete respons-
es.
Проблемы управления и информатики, 2007, № 2 39
1. Horacek P. Digital or multimedia/DVD // 16th IFAC World Congress Final Report. September
2005. — Imprint: Elsevier Science. 27 June 2006. — 30 р.
2. Krotov V.F., Kurzhanski A.B. National achievements in control theory (The aerospace
perspective). — http://aca 2004.aanet.ru/004.pdf.
3. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в
задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 с.
4. Bounding approaches to systems identification / Ed. by M. Milanese, J. Norton, P. Lehanier. —
New York : Plenum Press, 1996. — 234 p.
5. Chernousko F.L., Shmatkov A.V. New results of optimal ellipsoidal estimation for uncertain
dynamic systems // Pr. of 15th World Congress IFAC. Barcelona, Spain, 2002. — 6 p.
6. Kurzhanski A.B., Varaiya P. Ellipsoidal techniques for hybrid dynamics: the reachability problem /
Ed. by W.P. Dayawansa, A. Lindquist, Y. Lhon // New direction and applications in control
theory, lecture notes in control and information sciences. Springer, 2005. Vol. 321. — 193 p. —
http://paleale.eecs.berkeley.edu.~varaiya/papers ps.dir/hybridreach.pdf.
7. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. — М. : Наука, 1970. — 420 с.
8. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Метод динамического программирования в задачах синтеза
управлений при разнотипных и двойных ограничениях // Тр. международной конферен-
ции «Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)». Минск,
16–20 мая 2005 г. — С. 1–15.
9. Daryin A.N., Kurzhanski A.B. Nonlinear control synthesis under double constraints // Pr. of 16th
World Congress IFAC. Prague, Czech, 2005. — 6 p.
10. Куржанский А.Б., Фурасов В.Д. Идентификация нелинейных процессов. Гарантированные
оценки // Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 6. — С. 70–87.
11. Куржанский А.Б., Фурасов В.Д. Идентификация билинейных систем. Гарантированные
псевдоэллипсоидальные оценки // Там же. — 2000. — № 6. — С. 41–53.
12. Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М. : Мир, 1967. — 480 с.
13. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М. : Наука,
1985. — 300 c.
14. Красовский Н.Н., Суботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. — М. : Наука,
1974. — 456 с.
15. Павлов В.В., Уланов Г.М. Инвариантность и дифференциальные игры // ДАН СССР. — 199,
№ 4. — 1971. — С. 783–784 (Invariance and differential games // Translated American
Mathematical Society Soviet Math. Dokl. — 1971. — 12, N 4. — P. 1189–1191).
16. Материалы 11-й международной конференции по автоматическому управлению «Автома-
тика-2004». Математические проблемы управления, оптимизации и теории игр. Киев, 2004.
Т. 4. — 122 с.
17. Павлова С.В. Модель конусів руху літального апарату // Вісник НАУ. — 2003. — № 3–4. —
С. 89–92.
18. Павлов В.В., Павлова С.В. Понятие «фаза дифференциального конуса включений» нелиней-
ных динамических процессов // Кибернетика и вычисл. техника. — 2003. — Вып. 140. —
С. 3–11.
19. Павлов В.В., Павлова С.В. Фазовый анализ векторных полей динамических систем балан-
сового типа // Там же. — 2003. — Вып. 141. — С. 58–69.
20. Павлова С.В. Свойство слоения прообразов векторных полей динамически управляемых
глобальных систем // Там же. — 2004. — Вып. 144. — С. 72–82.
21. Павлова С.В. Геометрическая оценка «развитости» структур балансового типа // Там же. —
2004. — Вып. 145. — С. 88–94.
22. Geometric reasoning / Ed. by D. Kapur, J.L. Mundy. — Cambridge, Massachusetts : The MIT
Press Massachusetts institute of technology, 1989. — 512 p.
23. Аммерал Л. Принципы программирования в машинной графике / Пер. с англ. — М. : Сол
Систем, 1992. — 224 с.
24. Аммерал Л. Машинная графика на персональных компьютерах / Пер. с англ. — М. : Сол
Систем, 1992. — 232 с.
25. Аммерал Л. Интерактивная трехмерная машинная графика / Пер. с англ. — М. : Сол Си-
стем, 1992. — 317 с.
26. Копылова С.В. Возможность повышения качества управления нелинейным динамическим
объектом с ростками катастроф // Кибернетика и вычисл. техника. — 1997. — Вып. 112. —
С. 63–68.
Получено 21.11.2006
После доработки 29.01.2007
http://paleale.eecs.berkeley/
|