Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием

Початкова задача термінального керування із запізненням і змінними, швидкість яких має порядок одиниці і порядок малого параметра в силу необхідної умови оптимальності зведена до збуреної крайової задачі з аргументами, що відхиляються. В умовах (пропозиціях) відомого загального розв’язку та умовно...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Желтиков, В.П., Эфендиев, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206987
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием / В.П. Желтиков, В.В. Эфендиев // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 3. — С. 84-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-206987
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2069872025-09-28T00:18:09Z Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием Метод усереднення крайових задач в керуванні повільними і швидкими змінними із запізненням The averaging method of boundary-value problems in control of fast and slow variables with delay Желтиков, В.П. Эфендиев, В.В. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Початкова задача термінального керування із запізненням і змінними, швидкість яких має порядок одиниці і порядок малого параметра в силу необхідної умови оптимальності зведена до збуреної крайової задачі з аргументами, що відхиляються. В умовах (пропозиціях) відомого загального розв’язку та умовного сталого (стійкого) розв’язку породжуючої системи будується асимптотичний розв’язок крайової задачі із застосуванням методу усереднення. Initial problem of terminal control with delay and variables with velocity orders of unity and small parameter in view of necessary optimality condition is reduced to perturbed boundaryvalue problem with deviating arguments. In proposals of known general solution and conditionally stable solution of generating system the asymptotic solution of boundaryvalue problem with application of averaging method is constructed 2007 Article Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием / В.П. Желтиков, В.В. Эфендиев // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 3. — С. 84-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206987 517.948.34 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Желтиков, В.П. Эфендиев, В.В. Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием Проблемы управления и информатики
description	Початкова задача термінального керування із запізненням і змінними, швидкість яких має порядок одиниці і порядок малого параметра в силу необхідної умови оптимальності зведена до збуреної крайової задачі з аргументами, що відхиляються. В умовах (пропозиціях) відомого загального розв’язку та умовного сталого (стійкого) розв’язку породжуючої системи будується асимптотичний розв’язок крайової задачі із застосуванням методу усереднення.
format	Article
author	Желтиков, В.П. Эфендиев, В.В.
author_facet	Желтиков, В.П. Эфендиев, В.В.
author_sort	Желтиков, В.П.
title	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_short	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_full	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_fullStr	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_full_unstemmed	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
title_sort	метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206987
citation_txt	Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием / В.П. Желтиков, В.В. Эфендиев // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 3. — С. 84-92. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT želtikovvp metodusredneniâkraevyhzadačvupravleniimedlennymiibystrymiperemennymiszapazdyvaniem AT éfendievvv metodusredneniâkraevyhzadačvupravleniimedlennymiibystrymiperemennymiszapazdyvaniem AT želtikovvp metoduserednennâkrajovihzadačvkeruvannípovílʹnimiíšvidkimizmínnimiízzapíznennâm AT éfendievvv metoduserednennâkrajovihzadačvkeruvannípovílʹnimiíšvidkimizmínnimiízzapíznennâm AT želtikovvp theaveragingmethodofboundaryvalueproblemsincontroloffastandslowvariableswithdelay AT éfendievvv theaveragingmethodofboundaryvalueproblemsincontroloffastandslowvariableswithdelay
first_indexed	2025-09-28T01:17:18Z
last_indexed	2025-09-29T01:09:26Z
_version_	1844558604490768384
fulltext	© В.П. ЖЕЛТИКОВ, В.В. ЭФЕНДИЕВ, 2007 84 ISSN 0572-2691 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 517.948.34 В.П. Желтиков, В.В. Эфендиев МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В УПРАВЛЕНИИ МЕДЛЕННЫМИ И БЫСТРЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Уравнения ),,,( yxtfx = );,,( yxty = (1), Of = и ,10  со- держат медленную переменную х и переменную y со скоростью порядка единицы. Если известно общее решение порождающей системы, то приходим к системе стандартного вида заменой переменных [1, 2], а при устойчивости решения вы- рожденного уравнения [3] для асимптотического решения исходной задачи полу- чим стандартную систему с медленной переменной х вдоль этого устойчивого решения. Так исходные уравнения оказываются асимптотически эквивалентны- ми уравнениям с медленными фазовыми переменными со скоростью порядка .1 Рассмотрим асимптотическое решение следующей задачи оптимального уравнения: ,),0(),(),( ),,),),((,(),,),),((,( 0 )0,[ zzttz uztptztyuztptztXx t == −=−= −  (1) ,min)),(()( Uu TzuJ  →= (2) где 0 — малый параметр; ],,0[ TIt  ,1−= LT 0L — const, , kx RGx  ,my RGy  множества ,xG yG открыты и ограничены; TTT ),( yxz  — n -мер- ный фазовый вектор, ;mkn += zRUtuu = ),( — кусочно-непрерывный справа вектор управления; U — компактное множество; вектор-функции X, Y — размерности ,k m соответственно равномерно ограничены в ,1 UGRG z  + ,yxz GGG  TTT ),( YXZ  — строго выпукла по u для каждого фиксированно- го вектора ),( zt [4]; ),(tp )(t — n -мерные функции, кусочно-непрерывные на I, ]0,[ 0− соответственно, const,)(0 = iii tp ,i const,=i ,,...,2,1 ni = причем либо ),(tpi )(tp j совпадают, либо отрезки ],,[ ii  ],[ ji  не пересека- ются, ,ji  ,1 i ;nj  },)({maxmax ],0[,,1 0 ttpi tni −= =  ,1)( tpi =− )),(( tptz )};),(({ −= tptz ii ).()( 2 zz GGz  Проблемы управления и информатики, 2007, № 3 85 Равномерная ограниченность и строгая выпуклость множества ),( ztS }:),,,({ UuuzztZ  для любых zGRzt  + 1),( определяет компактность мно- жества достижимости для системы (1) и, следовательно, существование реше- ния задачи (1), (2) [4], удовлетворяющее краевой задаче принципа максимума [5]. Когда в уравнениях (1) запаздывание )(tp постоянно, то краевая задача прин- ципа максимума зависит от постоянных запаздывания и опережения [5]. Из суще- ствования решения исходной задачи (1), (2) следует существование решения кра- евой задачи принципа максимума, так как она строится в силу необходимого условия оптимальности. Зависимость краевой задачи от явно определенных за- паздывания и опережения существенна для ее асимптотического решения [6]. По- кажем, что и в случае переменного запаздывания сопряженная система [5, с. 227] не содержит «блуждающих» между запаздыванием и опережением отклоняющихся аргументов, преобразовав эту систему к виду, когда зависимость от запаздывания и опережения выписана явно в предположении, что существуют решения )(= irt уравнений ....,,2,1),( nitpt i =−= Лемма. Краевая задача принципа максимума для системы управления (1), (2) зависит от отклоняющихся аргументов только запаздывающего и опережающе- го типа. Доказательство. Запишем задачу (1), (2) в виде )),(()(),()(),,)),((,( ]0,[ TzuJttzuztptztfz t ==−= −  где .)0(,)),),((,(),,)),((,((),)),((,( 0 TTT zuztptztYuztptztXuztptztf =−−=− Введем функцию )),,)),((,(,(),~)),((,( uztptztfzuztptztH −=− где z — со- пряженная переменная, .),(~ TTT zzz = Пусть )()()(),( tztztzztz += — траекто- рии системы, соответствующие уравнениям ).()()(),( tututvtu += Для произ- вольной непрерывно дифференцируемой вектор-функции ),(tz такой, что =)(Tz , ))(Ф( z Tz   = запишем равенство .)()()()()()( 00 dttztzdttztzTzTz TT  +=  Рассмотрим теперь приращение функционала =+   −=−= ))(()( ))(Ф( ))(()()()( 1 TzoTz z Tz TzzuJvJuI =+−−  ))(()()()()( 1 00 Tzodttztzdttztz TT   +−−−−−= TT dttutztptztHtvtztzztptzztHdttztz 00 ))](),(~),((,())(),(),()),((,([)()( −−−−=+  dttutztptztHdttztzTzo T v T )(),(~)),((,()()())(( 00 1  ),)z(( ))(),(~,,( )( ))(),(),()),((,( ))((00 to dts s tvtzstH dttz z tvtztztptztH tptzs TT + +   −  − − −=  86 ISSN 0572-2691 где ),)(( tzo  Hv определяются очевидным образом [5], )....,,( 1 nsss = Преобразуем выражение . ),~,,(),~,,( ))((01))((0 dts s vzstH dts s vzstH tptzs i T i n itptzs T −==−=    =    Здесь для слагаемого i сделаем замену переменной t на переменную ).(tpt i−= Так как 0 is на отрезке ],0),0([ ip− то получим такие пределы интегрирова- ния: )],(,0[ TpT i− причем .  = d d dr dt i Обозначим )),(()(  iii rp так что .)( iii  Поскольку ,1)( tpi то .)( Ttt i + Получим =   −=  dts s vzstH tptzs T ))((0 ),~,,( ,)( ))(()),((~)),()((),(( 1 )( 0 dttz dt dr z ttvttztttzttH i i n i TpT i iiii i   +++−+ =  = − (3) где ,))}()((, )),()((),()),()((,)),()(({ ))()(( 11111 tttz tttztztttztttz tttz Inn iiiiiiiii i +− +−+−+− +− ++−−   т.е. i-я компонента вектора ))()(( tttz i+− совпадает с i-й компонентой векто- ра z, разность )()( tt ji − для любых ],,1[, nji  либо равна нулю, либо со- храняет знак при .It Сопряженная система с учетом преобразования (3) принимает вид: ),),((),,(),),((~),,(~),),((,( ),),((),,(),),((~),,(~),),((,( ++−= ++−= ttututtztztptztYy ttututtztztptztXx   (4) , ),(( )( z Tz Tz   −= (5) где =++− )),((),,(),),((~),,(~),),((,( ttututtztztptztZi −−−  − −= ]),([(I )( )),(),,(~),),((,( TTpT tz tutztptztH i i , )( ))),((),),((~),),()((),(( dt dr tz ttuttztttzttH i i iiii  +++−+  )( — характеристическая функция множества M; +− ),)()(( tttz i },...,,1),),()(({ njtttz ijj =+− т.е. в (4) )(),(;),( TTT tztzYXZ = — n-векто- ры, ,nn  mkmkn ,,+= — новые размерности векторов x, y. Проблемы управления и информатики, 2007, № 3 87 Лемма доказана. Пусть согласно принципу максимума однозначная в силу строгой выпуклости множества ),( ztS функция u(t) представлена в виде )),,(~),),((,(),( −= tztptzttu где )~,,( zzt= предполагается кусочно-непрерывной по t. Подстановка этой функции в уравнения (1), (4) приводит к краевой задаче: )),,(~),),((,()),,(~),),((,( 11111111 −=−= tztptztYytztptztXx  (6) )),),((~),,(~),),((,( 11111 +−= ttztztptztXx )),),((~),,(~),),((,( 11111 +−= ttztztptztYy , )),((Ф ),(,),0(),(),( 1 1 1 0 1)0,[1 0 z Tz Tzzzttz t   −=== − (7) где .~~,),(~, ~~ 1 TTT 1 zzzzzZZ u == = Таким образом, задача (1), (2) сведена к краевой задаче (6), (7), зависящей со- гласно (3) от переменных запаздывания и опережения. Очевидно, что существует единственное решение задачи (6), (7), так как единственное решение имеет ис- ходная задача, которое с необходимостью удовлетворяет системе (6), (7). Это ре- шение определено на промежутке асимптотически большой длины: ,1−= LI система содержит медленные переменные .),(~ TT 1 T 11 xxx  Заметим, что краевая задача (6), (7) согласно цели работы исходна в этом ис- следовании. Породившая ее задача управления (1), (2) дает как одно из возмож- ных предположение о существовании единственного решения краевой задачи (6), (7), нетривиально зависящей от отклоняющихся аргументов, поэтому далее все условия вводятся в терминах краевой задачи как исходной. Для фиксированных функций ),(t )0,[ 0−t и ),(tu ,It  задача (1) ана- логична задаче Коши с начальным условием ,),0( 0zz = и для асимптотического решения задачи (6), (7) предполагаем, что известно общее решение порождающей для (6) системы: ,),~,~,(~~,const~~,0 22121 Ityxtyxx === (8) где 0)~/~(det,),(~,),(~ 2 TTTTT 1 T 11  yyyy для любых )~,~,( 22 yxt из не- которой окрестности решения (8), 2 ~y — произвольная постоянная размерно- сти .2m По методу вариации постоянных положим ).,(~~),,(~~ 2222 == tyytxx Относительно 2 ~z получим краевую задачу для системы стандартного вида с от- клоняющимися аргументами: )),,(~),),((,( 2222 −= tztptztXx )),),((~),,(~),),((,( 22222 +−= ttztztptztYy (9) )),),((~),,(~),),((,( 22222 +−= ttztztptztZz 88 ISSN 0572-2691 ,),(),(),( 222]0,[2 0 == − Tzttz t (10) где 2 TT 2 T 22 TT 2 T 22 ~ ,),(,),( XYXZYXZ  получим из TT 1 T 11 ),( ~ XXX = после подстановки (8) в (6),         −+− −1 2 22 222 ~ )~,~,(~ ))),((~),),((,( ~ y yxt ttztptztY    +−    )),(~),),((,( )~,~,(~ 222 2 22 tztptztX x yxt ;))),((~),,(~),),((,( )~,~,(~ 2222 2 22    +−   + ttztztptztX x yxt const),( 22 = t удовлетворяют соотношениям: ),()(),(,(),()( ]0,0[22 tttttt ytyxxx  − , )),(~,(,( ),( 2 2 2 =  − Txs x s TzTs (11) , )),,(( )),,(,),,(,( )),( ~ ,( 2 2222 2 =  − TZTs yx s sTx TyTxT где )0( означает .0z Краевой задаче (9), (10) поставим в соответствие следующую усредненную краевую задачу: ,)(,)0(),~( ~~ 333333 3 ===  LzzzZ d zd (12) где ,),( ~ TT 3 T 33 ZZZ  ,),(~ TT 3 T 33 zzz  333333 ,,,,, zzZZ — mk + -мерные векторы, ,,],,0[, 23 0 3 === zLt ,)~,~,,( ~1 lim)~( ~ 0 333233  → = s s dtzzztZ s zZ (13) ,),( ~ TT 2 T 22 ZZZ  предел (13) предполагается существующим. Относительно исходной задачи (1), (2) и усредненной краевой задачи (12) справедлива следующая теорема. Теорема 1. Пусть в некоторой открытой области },,0:),{( zz GzGztztQ  выполнены следующие условия: 1) функция )~,~,,( ~ 2222 zzztZ кусочно-непрерывна по t, дифференцируема по ,~ 2z их производные по 2 ~z удовлетворяют условию Липшица по 2 ~z и равномер- но по zGz 3 ~ существует предел (13); Проблемы управления и информатики, 2007, № 3 89 2) решение )~,(~ 0 33 zz  системы (12) с начальным условием = 0 3 0 33 ~)~,0(~ zzz zz GG  0 определено для ],0[ L и лежит вместе со своей -окрестностью в области ,zG причем ;0/)~,((det 0 3 0 33  zzLz 3) задача (12) имеет единственное решение ),(~ 3 z такое, что .int)0(~ 0 3 zGz  Тогда для любого 0 существует 0)(00 = такое, что при ],0( 0 для любого It имеет место неравенство .)(),(,)(),( 323 −− tztztztz (14) Доказательство. Следуя теореме 3 [6], наряду с задачей (9), (10) введем за- дачу с запаздыванием: =−= − ]0,[444424 0),(z,)),(~),,(z~),),((,( ~~ t ttzttptztZz ,),(),( 242 == Tzt (15) и задачу без отклоняющихся аргументов: .),(),0(),0()),,(~),,(~),,(,( ~~ 252555525 === TzztztztztZz (16) Очевидно, для любого )](,0[ TpTt − ,)( ~ ),(~)),((~ 2 )( 0 22 =−+   MdttZtzttz t (17) где .)( ~ max 2 tZM It = Задачу (9), (10) включим в семейство задач с вектор-пара- метром :),(  t =+−= − ]0,[666626 0),(:)),(),(z~,),(z~),),((,( ~~ t tzttttptztZz ,),(),( 262 == Tzt (18) где согласно (4), (17) 0),(  t при 0),(],),([ →− tTtpTt и при 0),(  t задачи (15) и (16) совпадают. Для достаточно малого 0 найдется постоянная 0C такая, что для любого ],0[ 0 получим: −+−−  )),(),(~),,(~),),((,( ~ ),(),( 66 0 6246 ttztztptztZtztz t CdttztzCtztztptztZ t +−−−  0 464442 ),(),(),(~),,(~),),((,( ~ и в силу неравенства Горнулла–Беллмана ,),(),( 46 − tztz где = C ,exp 0   t dtC через С здесь и далее переобозначаются появляющиеся в оценках константы. Аналогично для задач (15), (16) получим ,),(),( 54 − Ctztz от- куда в силу теоремы 1 [6] следует неравенство (14), причем для 2-периодических по t правых частей C.= Теорема 1 доказана. 90 ISSN 0572-2691 Из теоремы 1 следует, что ,)),(())(( 3 − TzLz (19) так как ).()( 2 zz GCz  Заметим, что исходными для краевых условий (10) являются соотношения (11), которые удобно представить в виде [4] .0)),(,,),(,( 2]0,[2 0 = − TzTtztR t (20) Очевидно, что неравенства (14) для краевой задачи (9), (20) и ее усредненной задачи следуют из теоремы 1 и теоремы 10.1 [1]. Сложность данного асимптотического решения краевой задачи (6), (7) свя- зана с предположением, что известно общее решение (8) порождающей систе- мы, с помощью которого уравнения (6) сводятся к системе стандартного вида (9). В [1, 2] замена (8) не проводится, но требуется, чтобы среднее правых ча- стей медленных переменных не зависело от дополнительных условий. В случае начальной задачи это достигается, например, когда решение вырожденного уравнения устойчиво [3]. Для независимости среднего от краевых условий есте- ственно предположить, что уравнения (6) при  = 0 имеют условно устойчивое решение [7]. Отметим, что задача (6), (7) заменой независимой переменной t= переходит в сингулярно возмущенную краевую задачу с малыми, порядка , от- клоняющимися аргументами [7, 8]. Следуя [7], положим, что система (6) при 0)(,0)(,0 = ttp обладает условно устойчивой точкой покоя ),~,( ~~,const~ 111 xtyx == (21) области влияния S которой принадлежат краевые условия (7). Пусть собственные значения )~,( 1xti матрицы )~,( ~~ 1 1 11 ~ ~ )~,( ~ xtyy Y xtA =   рав- номерно по xGxIt  1 ~, удовлетворяют условиям: ),...,,2,1(0)~,(Re 1 mixti = ),2...,,2,1(0)~,(Re 1 mixti = В силу леммы 4.2 и леммы 6.1 [7] найдется константа 0k такая, что при 0t равномерно по xGx ~1 ~  начальная точка )}~,0()0(,)0({ 11 0 1 xyyy == при- надлежит некоторому многообразию +S области влияния S и такая, что ),(exp)~,( ~ ))0(~,~,(~ 1111 tCxtyxty −− (22) а конечная точка         −== 1 1 111 )0,((Ф )T(),~,0()T( y Tz yxy принадлежит некото- рому многообразию −S области влияния S и такая, что )),((exp)~,( ~ ))(~,~,(~ 1111 TtCxtTyxty −− (23) где 0 — постоянная такая, что .~),2...,,1),~,(Re ~xi Gxmixt = Отсюда следует, что согласно пределу (13) Проблемы управления и информатики, 2007, № 3 91 ,)~,( ~ ,~,( ~1 lim)~( ~ 0 33233  = → s s dtxtxtX s xX (13) где ))~,( ~ ,~,( ~ 112 xtxtX  определяются очевидным образом из (6) при ).~,( ~~ 11 xty = Справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть в области  выполнены условия 2), 3) теоремы 1 и следу- ющие условия: 1) функции )~,~,,( ~ 1111 zzztZ кусочно-непрерывны по t, дифференцируемы по 1 ~z и их производные по 1 ~z удовлетворяют условию Липшица по ;~ 1z 2) порождающая для уравнений (6) система обладает условно устойчивой точкой покоя (21) и равномерно по xGx ~3 ~  существует предел (13). Тогда для любого  > 0 найдутся положительные 10, tt и 0 такие, что при ),0( 0 выполняются неравенства: , при )(~),(~ 3 Ittxtx − (24) ,][ при)(),( 03 T,tttyty − (25) ,]0[ при )(),( 13 t, ttyty − (26) где ));(~,( ~ )),( ),,((),(~ 3 TT 3 T 3 txttytyty = 10, tt — некоторые константы, причем ,0lim 0 = → t ,lim 1 Tt = → ,0/lim 0 0 = → Tt .0/)(lim 1 0 =− → TtT (27) Доказательство. Неравенство (24) обосновывается с учетом (13) аналогично неравенствам (14). Асимптотические оценки (25), (26) — следствие свойств (22), (23) условно устойчивого решения (21). При этом левый и правый пограничные слои не стягиваются в точку при ,0→ однако выполняются предельные равен- ства (27). Теорема 2 доказана. Из теоремы 2 следует, что ,)),(()),(( 3 − TzTz (28) так как )()(Ф 2 zz GCz  и левый пограничный слой для достаточно малого  сколь угодно мало влияет в (6) на ),( ty при 1−= LT в силу (25), (27). В окрестностях левой и правой граничных точек отрезка I оценок (25), (26) нет. Эти оценки равномерны по ,It когда ),(~ 3 ty совпадает с решением урав- нений для ),,(~ 1 ty если в (6), (7) положить ).(~),(~ 31 txtx = При этом асимптоти- ческое решение (6), (7) разделяет медленные и «быстрые» движения. Но в задаче для 1 ~y есть и запаздывание, и опережение, и ее, как правило, можно решить лишь приближенно. В частности, введение для ),(~ 1 ty левой и правой пограничных функций приводит к уравнениям с запаздыванием и уравнениям с опережением соответственно [7]. Алгоритмы с разделением движений применяются при решении практиче- ских задач. Например, в задаче реверсирования судового двигателя при миними- зации пути судна до его экстренной остановки [9] содержатся медленная пере- менная v (скорость судна), имеющая скорость порядка 0(1), переменная  (ско- 92 ISSN 0572-2691 рость вращения вала двигателя) и асимптотически большой промежуток време- ни I, за который скорость v должна измениться от единицы до нуля. Численное решение таких задач требует развития численно-аналитических алгоритмов [1, 8], в основе которых лежат, в частности, аналитические методы асимптотического решения исходных возмущенных задач управления. В.П. Жолтіков, В.В. Ефендієв МЕТОД УСЕРЕДНЕННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ В КЕРУВАННІ ПОВІЛЬНИМИ І ШВИДКИМИ ЗМІННИМИ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ Початкова задача термінального керування із запізненням і змінними, швид- кість яких має порядок одиниці і порядок малого параметра в силу необхідної умови оптимальності зведена до збуреної крайової задачі з аргументами, що відхиляються. В умовах (пропозиціях) відомого загального розв’язку та умов- ного сталого (стійкого) розв’язку породжуючої системи будується асимптотич- ний розв’язок крайової задачі із застосуванням методу усереднення. V.P. Zholtikov, V.V. Efendiev THE AVERAGING METHOD OF BOUNDARY-VALUE PROBLEMS IN CONTROL OF FAST AND SLOW VARIABLES WITH DELAY Initial problem of terminal control with delay and variables with velocity orders of unity and small parameter in view of necessary optimality condition is reduced to perturbed boundary-value problem with deviating arguments. In proposals of known general solution and conditionally stable solution of generating system the asymptot- ic solution of boundary-value problem with application of averaging method is con- structed 1. Плотников В.А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев : Либідь, 1992. — 188 с. 2. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений. — Таш- кент : ФАН, 1974. — 216 с. 3. Плотников В.А., Эфендиев В.В. Асимптотическое решение уравнений с медленными и быстрыми переменными. — Одесса, 1982. — 28 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 1560-82. 4. Плотников В.А., Зверкова А.Н. Усреднение краевых задач в терминальных задачах опти- мального управления // Диф. уравнения. — 1978. — № 8. — С. 1381–1387. 5. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. — Минск : Наука и техника, 1974. — 272 с. 6. Желтиков В.П., Эфендиев В.В. Усреднение краевых задач в управлении стандартной си- стемой с запаздыванием // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 4. — С. 548–553. 7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возму- щенных уравнений. — М. : Наука. — 1973. — 272 с. 8. Васильева А.Б., Дмитриев М.Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управ- ления // Мат. анализ. Итоги науки и техники. — 1982. — 20, № 4. — С. 3–77. 9. Небеснов В.И., Цымбал Б.И., Эфендиев В.В. К динамике реверсирования судового дизель- ного привода // Машиноведение. — 1969. — № 5. — С. 3–9. Получено 14.12.2006

Метод усреднения краевых задач в управлении медленными и быстрыми переменными с запаздыванием

Репозитарії

Схожі ресурси