Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами
На основі функцій Ляпунова у вигляді норми вектора стану отримано достатні умови (які можна конструктивно перевірити) робастної стійкості в області нелінійних нестаціонарних дискретних систем, для параметрів яких задані їх гарантовані множинні оцінки. Для строго монотонних нелінійних функцій перевір...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206995 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 5-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-206995 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-2069952025-09-28T00:03:04Z Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами Робастна стійкість і синтез дискретних систем керування нелінійними об’єктами Robust stability and synthesis of discrete control systems for nonlinear objects Кунцевич, В.М. Проблемы динамики управляемых систем На основі функцій Ляпунова у вигляді норми вектора стану отримано достатні умови (які можна конструктивно перевірити) робастної стійкості в області нелінійних нестаціонарних дискретних систем, для параметрів яких задані їх гарантовані множинні оцінки. Для строго монотонних нелінійних функцій перевірка цих достатніх умов зводиться до необхідності розв’язку комбінаторних задач упросторі станів. На основі отриманих достатніх умов робастної стійкості розв’язано задачі синтезу систем стабілізації нелінійних об’єктів керування. Оскільки стабілізуючі в області керування отримані з розв’язку мінімаксних задач, то вони не можуть гарантувати стійкість замкнутих систем в області при довільних множинних оцінках параметрів об’єкта керування. Тому заключним етапом розв’язку задач синтезу керування є перевірка виконання достатніх умов робастної стійкості в області при заданих множинних оцінках параметрів і області X . We obtain the sufficient verifiable conditions of the robust stability in a domain for nonlinear nonstationary discrete systems with uncertain set-valued parameters. This is done with the use of Lyapunov functions in the form of the norm of a state vector. For the class of strictly monotone nonlinear functions, verification of these sufficient conditions requires solution of combinatorial problems in the state space. The obtained sufficient stability conditions are used for synthesis of stabilizing control systems for nonlinear plants. Since the stabilizing controls in a domain are solutions to the minimax problems, these controls provide the stability of the closed-loop systems in the given domain with arbitrary set-valued estimates for uncertain plant parameters. In this framework, one necessarily has to make a final check of the stability conditions in the given domain and with the given set-valued parameter estimates. 2007 Article Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 5-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206995 621.391 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем |
| spellingShingle |
Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Кунцевич, В.М. Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами Проблемы управления и информатики |
| description |
На основі функцій Ляпунова у вигляді норми вектора стану отримано достатні умови (які можна конструктивно перевірити) робастної стійкості в області нелінійних нестаціонарних дискретних систем, для параметрів яких задані їх гарантовані множинні оцінки. Для строго монотонних нелінійних функцій перевірка цих достатніх умов зводиться до необхідності розв’язку комбінаторних задач упросторі станів. На основі отриманих достатніх умов робастної стійкості розв’язано задачі синтезу систем стабілізації нелінійних об’єктів керування. Оскільки стабілізуючі в області керування отримані з розв’язку мінімаксних задач, то вони не можуть гарантувати стійкість замкнутих систем в області при довільних множинних оцінках параметрів об’єкта керування. Тому заключним етапом розв’язку задач синтезу керування є перевірка виконання достатніх умов робастної стійкості в області при заданих множинних оцінках параметрів і області X . |
| format |
Article |
| author |
Кунцевич, В.М. |
| author_facet |
Кунцевич, В.М. |
| author_sort |
Кунцевич, В.М. |
| title |
Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами |
| title_short |
Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами |
| title_full |
Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами |
| title_fullStr |
Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами |
| title_full_unstemmed |
Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами |
| title_sort |
робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Проблемы динамики управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206995 |
| citation_txt |
Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелинейными объектами / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 5-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT kuncevičvm robastnaâustojčivostʹisintezdiskretnyhsistemupravleniânelinejnymiobʺektami AT kuncevičvm robastnastíjkístʹísintezdiskretnihsistemkeruvannânelíníjnimiobêktami AT kuncevičvm robuststabilityandsynthesisofdiscretecontrolsystemsfornonlinearobjects |
| first_indexed |
2025-09-28T01:18:00Z |
| last_indexed |
2025-09-29T01:10:23Z |
| _version_ |
1844558664569978880 |
| fulltext |
© В.М. КУНЦЕВИЧ, 2007
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 5
ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
УДК 621.391
В.М. Кунцевич
РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И СИНТЕЗ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ
Введение
Проблема анализа устойчивости нелинейных дискретных систем, несмотря
на более чем полувековую историю, связанную с именами Я.З. Цыпкина, В.А. Яку-
бовича, Б.Т. Поляка, Е. Джури, А. Халаная и ряда других авторов, которые внесли
весомый вклад в ее решение, сохраняет свою актуальность. Аппарат функций Ля-
пунова был и остается основным методом анализа устойчивости нелинейных дис-
кретных систем, и именно на его основе получены излагаемые ниже достаточные
условия устойчивости «в области» этого класса систем и решены некоторые зада-
чи синтеза систем управления нелинейными объектами.
Предметом рассмотрения настоящей работы будет класс нелинейных в об-
щем случае нестационарных систем
,,2,1,0;)];(,[ 01
===+ nXXnLXFX nn (1)
где m
nX R — вектор состояния, )(F — нелинейная m-мерная однозначная
вектор-функция, такая что )();;0[;0)](,0[ nLnnLF = — вектор в общем
случае переменных во времени параметров.
Везде ниже принимается, что вектор-функция )(F линейная по параметрам.
Рассмотрим получение достаточных условий асимптотической устойчивости в
целом системы (1) с помощью функции Ляпунова n в виде
,nn X= (2)
не фиксируя пока конкретную норму вектора.
В силу (1) ее первая разность равна
.)](,[1 nnnnn XnLXF −=−= + (3)
Достаточным условием асимптотической устойчивости системы (1) в целом
является выполнение неравенства
).;0[0})](,[{max −
nXnLXF nn
X m
R
(4)
В такой общей постановке эта задача не имеет конструктивного решения. Но
если принять во внимание, что в приложениях задача устойчивости в целом заме-
6 ISSN 0572-2691
няется задачей устойчивости в некоторой заданной области Х, то при этом вы-
полнение неравенства (4) заменяется требованием выполнения неравенства
).;0[0})](,[{max −
nXnLXF nn
X X
(5)
Как показано ниже, из неравенства (5) уже можно получить конструктивно
проверяемые достаточные условия асимптотической устойчивости в области Х.
1. Достаточные условия асимптотической устойчивости в области
Пусть для неравенства (5) множество Х задано в виде
const}.:{ == XXX (6)
Рассмотрим сначала тот класс вектор-функций ),(F для которого все ее эле-
менты )],(,[ nLXf ini где )(nLi — вектор в общем случае переменных во време-
ни параметров, строго монотонные функции Х в области Х. В этом случае, так как
nX — функция выпуклая, то ее максимум достигается на границе множе-
ства Х. При выборе нормы вектора в виде
in
mi
n xX
;1
max
=
= (7)
или
,
1
in
m
i
n xX
=
= (8)
где inx — i-й элемент вектора ,nX множество Х представим как
}.{conv
2;1
k
k
X
m=
=X (9)
Здесь kX — k-я вершина m-мерного куба со стороной, равной ,2 при норме
вектора (7) или k-я вершина m-мерного октаэдра при норме вектора (8).
При этом
==
=
k
k
X
XX
m2;1
maxmax
X
(10)
и неравенство (5) приобретает вид
).;0[)](,[max
2;1
=
nnLXF k
k m
(11)
Если вектор-функция )(nL не задана, то задача
);0[)](,[max
2;1
=
nnLXF k
k m
некорректная и поэтому конструктивного способа проверки выполнения неравен-
ства (11) не существует. Но если для последовательности переменного во времени
вектора параметров )(nL задана ее гарантированная множественная оценка
),;0[}{conv)(
;1
=
=
nLnL s
Ss
L (12)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 7
где sL — s-я вершина множества L, S — число его вершин, то в этом случае,
принимая во внимание линейную зависимость вектор-функции )(F от вектора
параметров, а также то, что )(F — функция выпуклая и, следовательно, ее
максимум достигается в одной из вершин sL множества L, то неравенство (11)
приобретает вид
.],[max
;1
2;1
=
=
s
k
Ss
k
LXF
m
(13)
Учитывая невысокую размерность этой комбинаторной задачи, ее решение
находим перебором всех Sm = 2 вариантов.
Рассмотрим теперь стационарный подкласс проанализированного класса си-
стем (1), для которого вектор параметров — числовой вектор ,
L точное значение
которого неизвестно, а для него задана лишь его множественная оценка
},{conv
;1
s
Ss
LL
=
=L (14)
где sL
— s-я вершина множества ,
L S — число его вершины. В этом случае до-
статочное условие робастной устойчивости в области с точностью до обозначений
совпадает с (13) и имеет вид
.],[max
;1
2;1
=
=
s
k
Ss
k
LXF
m
(15)
Кроме задачи анализа устойчивости стационарной системы (1) в заданной
области Х представляет интерес и решение задачи определения той области ,
~
X
для которой при заданном числовом векторе параметров
L частный случай нера-
венства (15) при 1=S выполняется. Определим эту область Х следующим обра-
зом. Сохраним в силе предположение о том, что функции ),(
LXf i строго моно-
тонные. Тогда, задавая требуемую (ожидаемую) область ),~(
~
X т.е. зафиксировав
величину ,~= проверяем выполнение неравенства (15) при этой величине . Ес-
ли при = ~ неравенство (15) не выполняется, то далее действуем по правилу де-
ления отрезка ]~;0[ пополам и повторяем процедуру проверки неравенства (15)
до определения с заданной точностью того значения ,
= при котором оно вы-
полняется.
Вернемся теперь к рассмотрению достаточных условий устойчивости того
класса систем (1), для которого строго монотонной зависимости функций )(if от
Х нет. При этом в общем случае максимум функции })](,[{)( XnLXF −=
не достигается на границе множества Х и эта оптимизационная задача уже не сво-
дится к комбинаторной задаче. Так же, как и выше, примем, что для последова-
тельности векторов )(nL задана ее гарантированная оценка (12). Тогда неравен-
ство (5) приобретает вид
.0}],[{max
;1
−
=
XLXF s
Ss
X X
(16)
8 ISSN 0572-2691
Для решения этой в общем случае смешанной оптимизационной задачи сле-
дует использовать стандартные приемы решения многоэкстремальных задач.
Отдельно рассмотрим часто встречающийся в приложениях частный случай
систем (1), для которого нелинейная вектор-функция )(F имеет вид
),()()](,[ nnn XXnAnLXF += (17)
где )(nA — матрица ),( mm для элементов которой заданы лишь их множе-
ственные оценки; )( nX — m-мерная вектор-функция, зависящая от более высо-
ких степеней компонент ),(nxi чем первые, и для функций ),( ni X для которых
имеются лишь их множественные оценки, заданные нелинейными неравенствами.
2. Достаточные условия робастной устойчивости
в области систем с линейной частью
Определим достаточное условие робастной устойчивости Х класса нелиней-
ных нестационарных систем, которые описываются разностным уравнением
),()(1 nnn XXnAX +=+ (18)
и примем, что для i-х строк )(T nAi матрицы )(nA заданы их множественные
оценки
,;1};{conv)(
)(
;1
miAnA
c
i
Cc
ii
i
==
=
A (19)
где
)(c
iA — с-я вершина множества ;iA iC — число его вершины.
Также будем считать, что для функций )(Xi таких, что ,0)0( =i ,;1 mi =
заданы лишь их множественные оценки
,;1);()()( miXdXXd iiiii = (20)
где id и id — заданные числа, )(Xi — известные в общем случае нелинейные
функции, такие что ;0)0( =i .;1 mi =
Примем, что функции )(Xi строго монотонные в области X. Тогда условие
асимптотической устойчивости класса систем (18)–(20), аналогичное неравен-
ству (13), имеет вид
,})(][{max T
2;1
;1
;1
;1
+
=
=
=
=
k
iip
kc
i
Cc
Kk
mi
XdXA
i
где .; 21 iiii dddd == (21)
Поскольку
kc
i
kc
i XAXA T)( и ,=kX то после элементарных
преобразований окончательно получаем
.1)(max
2;1
;1
;1
;1
+
=
=
=
=
k
i
ipc
i
Cc
Kk
mi
X
d
A
i
(22)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 9
В том частном случае, когда ,0)( = nX неравенство (22) вырождается в из-
вестное достаточное условие асимптотической устойчивости линейной нестацио-
нарной системы, сводящееся к требованию
).;0[1)( nnA (23)
Остановимся подробнее на том частном случае системы (18), часто встреча-
ющимся в приложениях, когда )(X — скалярная функция )(Xf такая, что
,0)0( =f а матрица линейной части системы )(nA — матрица Фробениуса
,
0
0
)(
T
mA
nA
I
=
и рассмотрим класс систем
,)()(1 BXfXnAX nnn +=+ где ).1,,0,0(T =B (24)
Примем, что для строки )(T nAm матрицы )(nA задана ее множественная
оценка
),;0[)(};{conv)(
;1
=
=
nAnA s
Ss
m A (25)
где sA — s-я вершина множества А; S — число его вершин.
Нетрудно убедиться в том, что для класса систем (24), (25), даже при сколь
угодно малых величинах )(nAm и ,)(Xf но даже и при ,0)( =Xf неравен-
ство (23) не может быть справедливым, так как ).;0[1)( = nnA Но из этого
не следует, что при определенных условиях рассматриваемая система не обладает
асимптотической устойчивостью в некоторой области Х. Этот парадокс анализа
устойчивости линейных дискретных систем с матрицей Фробениуса отмечался в
работах [1–4], а в [4–6] был предложен способ его разрешения.
Обобщим предложенный в [4–6] метод анализа устойчивости на рассматри-
ваемый класс нелинейных систем. Для этого, следуя Е.А. Барабашину [7], пред-
ставим функцию )(Xf в виде
,),()( T
nnn XLXXf = (26)
где
.;)()(;
11
T
1
m
jj
m
jnjj
m
jnjn LXxX
===
=== (27)
Здесь L — вектор неопределенных коэффициентов, подлежащих определе-
нию, и запишем систему (24) в квазилинейной форме
,]),(,[1 nnn XLnAXHX =+ где ).,()(][ T LXBnAH n+= (28)
При этом структура матрицы )(H имеет вид
),()()),(,(
0
0
)(
TTT LXnALnAXH
H
nmmnm +=
=
I
. (29)
10 ISSN 0572-2691
Соотношение (26) не определяет однозначно вектор-функцию ),( поэтому
примем функции )(Xj в виде );()( 1 = − fxX jj .;1 mj = Тогда из (26), (27) по-
лучим, что
.1
1
=
=
m
j
j (30)
Ниже ограничимся рассмотрением лишь такого класса функций ),(Xf для
которого .;1)0( mjj = Покажем теперь, что выполнение неравенства
1)()(],)(,[)(max
1
)(
+==
=
qXnaLnAXhH
m
j
njjmjmnmm
nA
X
m
n
A
X
(31)
является достаточным условием асимптотической устойчивости класса систем
(24), (25) в области Х. Для этого приведем сначала вспомогательное утверждение,
которое сформулируем в более общей форме, чем в [4–6].
Лемма. Для матрицы Н, равной произведению матриц Фробениуса ),( mm
),()()( 111 PHPHPH mm −=H
зависящих от векторов параметров ,;1; miPi = таких, что их m-е строки )(T
im PH
удовлетворяют неравенствам
,;11)()(
1
mkqPhPH imj
m
j
im ==
=
(32)
где )( imj Ph — элементы m-х строк матриц ),( iPH ее норма удовлетворяет нера-
венству
.1 qH (33)
Так как в качестве вектора параметров iP в матрицах )( iPH могут высту-
пать векторы состояния, дискретное время и тому подобное, то теперь на основа-
нии леммы сформулируем следующее утверждение.
Теорема. Для класса нелинейных нестационарных систем (24), (25) с матри-
цей Фробениуса ],),(,[ LnAXH mn определяемой выражением (29), норма m-й
строки )(mH которой удовлетворяет условию
,1)()()()(max)(
1
)(
+===
=
qXnahHL njjmjm
m
j
m
nA
X
m
n
A
X
(34)
выполнение этого неравенства является достаточным условием асимптотической
устойчивости данного класса систем в области Х, определяемой выражением (6).
Доказательство этой теоремы дано в [5, 6], но для удобства читателя приве-
дем его в Приложении.
Функция )(L в (34) определена лишь с точностью до вектора параметров L,
поэтому необходимо определить этот вектор.
Везде ниже под нормой векторов будем понимать норму, определяемую выражением, аналогич-
ным (7).
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 11
Рассмотрим сначала тот частный случай, когда вектор )(nAm — числовой век-
тор, точное значение которого задано, т.е. когда А — одноточечное множество, со-
держащее лишь вектор .mA
При этом отпадает необходимость решения задачи
максимизации по вектору ).(nAm
Свободой выбора L следовало бы воспользоваться для минимизации величи-
ны )(L и определить вектор L из решения задачи
,),(),(max)(min
1
~
==
=
jmj
m
j
m
XL
XhLXHL
XL
(35)
где );1,,1,1(};1:
~
{;
~ TT ==== + ELELLRLL +R — положительный ор-
тант пространства }.
~
{L Но эта задача не имеет аналитического решения, а его
отыскание требует использования численного метода, что связано с существен-
ными вычислительными трудностями, поэтому, поскольку
,),(max),(max
11
= =
m
j
mj
X
mj
m
jX
LXhLXh
n XX
то усилим неравенство (34) и вместо него потребуем, чтобы
.1),(max)(
1
=
=
qLXhL
m
j
mj
Xn X
(36)
И далее ограничимся определением лишь субоптимального вектора L из решения
задачи
.),(max)(min
1
~
=
=
LXhL mj
m
j XL XL
(37)
Определим аналитически или с помощью какой-либо из стандартных про-
грамм оптимизации величины
,;1)};()({max 1
~
mjXfxX jj
X
j === −
X
(38)
и примем, что .;10 mjj = Заметим, что если j — строго монотонные
функции, то ).(max)(max
2;1
~
k
j
k
j
X
j XX
m
==
=
X
Рассмотрим сначала случай, когда .;10 mjamj = Тогда
.;1,),(max
~
mjaXh jjmjjj
X
=+=
X
Перепишем теперь (38) в виде
==
+==
m
j
jjmjjj
m
j X
aXhL
11
~
)(),(max)(
X
(39)
12 ISSN 0572-2691
и введем обозначения
.;;
1
T
1
m
jjjj
m
j
mja
=
=
===
Тогда выражение (39) запишем так: .)( T += LL
Искомый вектор L определим теперь из решения задачи
}.)({min T
~
+=
LL
L L
(40)
Проанализируем возможные решения задачи линейного программирования (40).
В общем случае, когда , k минимум функции )(L достигается в одной из
вершин множества .
~
L При этом один из множителей ,1==
j а все остальные в
силу (30) равны нулю. Величина 1=
является сомножителем при наименьшей
величине .j В том частном случае, когда ,= k т.е., когда имеют место равен-
ства ,;1 mjj ==
тогда минимум функции )(L достигается на границе
множества .
~
L При этом выбор j в пределах суммы
=
=
m
j
j
1
1 произволен и не
влияет на окончательный результат. Эти особенности решения задачи (40) избав-
ляют от необходимости определения ее численного решения.
Решение задачи (40) обозначим как .
L Подставив его в (39), достаточное
условие устойчивости (34) окончательно запишем в виде
,1)()(
1
+=
=
qaL jjmj
m
j
где j
— j-й элемент вектора .
L (41)
С точностью до обозначений решается задача определения субоптимального
вектора L и для случая, когда .;10 ma jmj =
Нетрудно показать, что без изменений принципиального характера решается
задача определения субоптимального вектора
L и в том случае, когда не все ко-
эффициенты mja имеют один и тот же знак.
Вернемся теперь к рассмотрению того общего случая, когда для вектора па-
раметров )(nAm задана лишь его множественная оценка (25). При этом вместо
проверки выполнения неравенства (34) необходимо проверять выполнение нера-
венства
1),)(,(max)(
~
1
)(
~
=
=
qLnAXhL mnmj
m
j
nA
X
m
n
A
X
и субоптимальный вектор L
~
будем искать из решения задачи
.)()()(max)(
~
min
1
)(
~
+=
=
=
njjmjmj
m
j
nA
XL
XnahL
m
n
A
XL
(42)
Так как функция )(
~
L зависит только от суммы модулей элементов )(namj
вектора ),(nAm то решение задачи (42) сводится к решению задачи
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 13
,)()(max)(
~
min
1
)(
~
+
=
=
njjmj
m
j
na
XL
XnaL
mjmj
n
XL
(43)
где mj — проекция А на j-ю ось пространства параметров }.{ mA
3. Синтез робастных систем стабилизации со скалярным управлением
Пусть задан тот достаточно часто встречающийся в приложениях класс объ-
ектов с аддитивно входящим управлением, поведение которых в дискретные мо-
менты времени описывается разностным уравнением
)],(,,[1 nLuXX nnn =+ (44)
где m
nX R — вектор состояния, nu — скалярное управление, )(F — m-мерная
нелинейная вектор-функция, такая что 0)](,0[ =nLF );;0[ n )(nL — вектор
в общем случае переменных во времени параметров, для которого задана его га-
рантированная множественная оценка .)( LnL
Ниже примем, что вектор состояния nX измеряется полностью и без помех,
а цель управления — выбор такого ),( nn Xuu =
которое обеспечивает робастную
устойчивость замкнутой системе
)](),(,[1 nLXuXX nnn =+ (45)
в области Х, если это возможно, для заданной оценки параметра L, при условии,
что .0 XX
Для функции Ляпунова (2) в силу уравнения (44) найдем ее первую разность
.)](),(,[ nnnn XnLXuX −= (46)
Искомую вектор-функцию )( nXu найдем из условия минимизации первой
разности n [8], т.е. из решения задачи
.)](,,[min nLuX nn
un
(47)
Рассмотрим часто встречающийся в приложениях частный случай класса си-
стем (44)
),()()()(1 nCunBXXnAX nnnn ++=+ (48)
где nu — скалярное управление, а нелинейная вектор-функция )( имеет ли-
нейную в общем случае нестационарную часть, )(X — скалярная нелинейная
функция, такая что ,0)0( = матрица )(nA — матрица Фробениуса, а векторы
)(nB и )(nC имеют канонические структуры ;1;0;0)()(T nbnB = =)(T nC
.1;0;0)( nc=
Для строки )(T nAm и величин )(nb и )(nc заданы их гарантированные мно-
жественные оценки
};{conv)(
;1
s
Ss
m AnA
=
=A (49)
);;0[}:{)( = nbbbbnb b ).;0[}:{)( = nccccnc c (50)
14 ISSN 0572-2691
Без потери общности примем, что b и .0c
Если управление )( nn Xuu = выбрано так, что при этом справедливо нера-
венство
,0})]([)()]([)()]([{max −++
nnnnm
c
b
A
X
XncCXunbBXXnAA
m
n
c
b
A
X
(51)
то, как показано выше, его выполнение является достаточным условием робаст-
ной устойчивости класса систем (48)–(50) в области Х.
Так как в силу структурных особенностей матрицы )(nA и векторов ),(nB
)(nC только m-й элемент 1, +nmx вектора 1+nX зависит от управления ,nu то
управление, минимизирующее величину ,n будем искать из решения задачи
.)()()()(maxmin T
)(
nnnm
c
b
nA
Xu
uncXnbXnA
m
nn
++
c
b
A
X
(52)
В том предельном случае, когда множества А, b и c вырождаются в одното-
чечные множества, содержащие лишь величины
bAm , и ,
c решение задачи
nnnm
Xu
ucXbXA
nn
++
)(maxmin T
X
, (53)
тривиально и имеет вид
.)]([)( T1
nnmnn XbXAcXuu +−== −
(54)
Подставив (54) в (48), получим уравнение линейной стационарной системы
,1 nn XAX =+ (55)
где A — вырожденная нильпотентная матрица Фробениуса.
Несмотря на то, что ,1=A тем не менее, имеет место асимптотическая
устойчивость системы (55) и ее существование доказывается с помощью частного
случая приведенной теоремы.
Если учесть неизбежно присутствующее при решении реальных задач огра-
ничение на управление в виде
},:{ = uuu u
то управление (54) может быть реализовано лишь в области , определяемой как
.)]([:{
T1
+=
−
xbxAcx m
Если множество X, характеризуемое константой , таково что ,X то
наличие упомянутого ограничения на модуль управления никак не влияет на из-
ложенную выше процедуру синтеза. Если же множества X и пересекаются, то
управление (54) линеаризирует замкнутую систему и, следовательно, обеспечива-
ет ее асимптотическую устойчивость лишь в области .= XX
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 15
Положение дел существенно изменяется, если А, b и c — неодноточечные
множества. В общем случае минимаксные задачи не имеют аналитического реше-
ния, но задача (53) — счастливое исключение из этого правила. Точнее говоря,
для получения аналитического решения этой задачи необходимо предваритель-
но с помощью численной процедуры (см. [5]) решить вспомогательную задачу,
а именно: представить множество А в центрированной форме. Запишем множе-
ство А в форме
}.{conv;
;1
AAAA ss
Ss
−==+=
=
AAA (56)
Здесь
A — центр сферы минимального радиуса, описанной вокруг А.
В [9] описан алгоритм численного определения вектора .
A
Множества b, c также представим в центрированной форме
,;};{conv);(5,0; 21
2;1
bbbbbbbbbbb g
g
−=−==+=+=
=
bbb (57)
.;};{conv);(5,0; 21
2;1
cccccccbbcc y
y
−=−==+=+=
=
ccc (58)
Тогда задачу (53) перепишем в виде
.)()()()(maxmin T
nnnm
c
b
A
Xu
uccXbbXAA
m
nn
+++++
c
b
A
X
(59)
В [10, 4] приведено решение задачи, с точностью до обозначений совпадаю-
щей с задачей (59), и применительно к ней оно имеет вид
.)]([)( T1
nnmn XbXAcXuu +−== −
(60)
Поскольку это управление определено из решения минимаксной задачи, то
оно не может обеспечить синтезированной системе робастную устойчивость при
произвольных множествах cbA ,, и поэтому необходима проверка робастной
устойчивости полученной замкнутой системы управления.
Подставив полученное значение )( nXu в (48), получим уравнение замкнутой
системы
)(1 nn XFX =+ , (61)
где вектор-функция
m
inin XfXF
1
)()(
=
= имеет вид
.
))((
0
0
0
)(
T
n
n
m
n
Xcbb
X
Ac
XF
−
+
−
=
I
(62)
Для проверки выполнения приведенного выше условия робастной устойчи-
вости класса систем (61), (62), (56)–(58) в области Х m-й элемент )(mf вектор-
функции )( nXF
),()()( T
nnmm XcbbXAcf −+−=
(63)
16 ISSN 0572-2691
так же, как и выше, следуя Е.А. Барбашину [7], запишем в квазилинейной форме.
Для этого представим функцию )( nX в виде
,)
~
,()( T
nnn XLXX = где ,)(
~
)
~
,(
1
m
iniin XLX
=
= (64)
и примем, что
).()( 1 XxX ini = − (65)
Для элементов i
~
вектора параметров ,
~
L подлежащего определению, из
(64), (65) получаем
.1
~
1
=
=
m
i
i (66)
На основании (64) перепишем (65) в виде
.)]
~
,()([)( TT
nnmm XLXcbbAcf −+−=
(67)
Выше было показано, что выполнение неравенства
1)
~
,()(max −+−
qLXbcbAXc nn
c
b
A
Xn
c
b
A
X
(68)
— достаточное условие робастной устойчивости класса систем (61), (62), (56)–(58)
в области Х.
Сделанное выше замечание об учете ограничения на модуль управления и
как следствие этого — выполнение достаточного условия устойчивости (68) лишь
в области ,= XX остается в силе и в рассматриваемом случае.
Неравенство (68) определено лишь с точностью до вектора параметров L
~
разложения (64). Выше был описан способ его определения из условия минимиза-
ции левой части неравенства (68), поэтому здесь на этом останавливаться не будем.
Если )(X — строго монотонная функция в области Х, то проверка условия
(68) существенно упрощается. Действительно, приняв норму вектора Х в виде (8),
множество Х запишем в виде (9). Тогда, принимая во внимание, что X —
функция монотонная и что, следовательно, максимум функции )(X достигает-
ся на границе множества Х, неравенство (68) перепишем в виде
1)
~
,()(max
2;1
;1
;1
2;1
−+
=
=
=
=
qLXbcbAc k
rpsr
r
Sp
Ss
k m
. (69)
Учитывая невысокую размерность этой комбинаторной задачи, ее решение
находим перебором всех ее Sm24 = вариантов.
Если для функции )(X задана лишь ее оценка, определяемая нелинейными
ограничениями
),()()( XtXXt (70)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 17
где функция )(X такая, что ,0)0( = ,t t — заданные числа, то нетрудно пока-
зать, что наличие лишь оценки (70) для функции )(X не привносит ничего ка-
чественно нового в описанную выше процедуру синтеза управления и последую-
щую проверку выполнения достаточного условия робастной устойчивости.
4. Синтез робастных систем стабилизации многомерных
нелинейных объектов
Обобщим полученные выше результаты на класс многомерных нелинейных в
общем случае нестационарных объектов, математическая модель которого имеет
вид
,)()(1 nnnn BUXFXnAX ++=+ (71)
где ,nX как и выше, — m-мерный вектор состояния; nU — в общем случае
p-мерный вектор управления ),( mp )( nXF — m-мерная нелинейная вектор-
функция, такая что ,0)0( =F для которой задана лишь ее оценка
.;1);()()( miXtXfXt iiiii = (72)
Здесь )(Xi — заданные функции, такие что ;0)0( =i ;;1 mi = ,it it —
заданные числа, )(Xfi — і-й элемент вектора );(XF )(nA — матрица )( mm с
переменными во времени коэффициентами.
Примем, что для і-х строк )(T nAi матрицы )(nA заданы их множественные
оценки
,;1);;0[}{conv)(
;1
minAnA
i
ii
is
Ss
ii ==
=
A (73)
где
iisA — is -я вершина множества ,iA iS — число его вершин.
Рассмотрим сначала случай, когда ,mp = т.е. примем, что матрица B — диа-
гональная:
m
iiibB 1}{diag == и для ее элементов iib заданы лишь их оценки
;iiiiii bbb +=
где }.{conv
2;1
d
d
iiii bb
=
= b (74)
Так же, как и выше, для системы (73) введем функцию Ляпунова n в ви-
де (2) и вычислим в силу (73) ее первую разность
.)()(1 nnnnnnn XBUXFXnA −++=−= + (75)
Примем, что класс объектов (73)–(76) должен функционировать в области Х,
определяемой в виде (6). Тогда при выбранном управлении )( nn XUU = потребу-
ем выполнения достаточного условия робастной устойчивости в области Х в виде
неравенства
,0})()()()({max
)(
−+++
nnnn
B
T
nA
X
XXUBBXTXnA
ψ
B
T
A
X
(76)
где
.;};;1;:{
;;}{diag;)()(
2121
2111
mmiiiii
m
m
ii
m
inin
mitttt
tTXX
bbbBAAAA
Tψ
====
=== ==
(77)
18 ISSN 0572-2691
Элементы )( ni Xu вектора )( nXU определим из решения задач
.;1;)()()()(maxmin T
)(
T
minubbXtXnA iiiiiniini
b
t
A
Xnu
iiii
ii
ii
ni
=+++
b
A
X
(78)
В том предельном случае, когда множества ,iA i и iib вырождаются в одно-
точечные множества, содержащие лишь векторы iA
и величины );(5,0 iii ttt +=
,;1 mi = решения задач (78) тривиальны и имеют вид
.;1)];([)(
T1 miXtXAbXu niiniiini =+−= −
(79)
После подстановки (79) в (71) получим вырожденную линейную систему.
Если каждая компонента iu управления ограничена по модулю
величиной ,i то замечание о линеаризации замкнутой системы управления
(79) лишь в области
,
~
;1
i
mi
=
=
где ,;1;)]([:{
T1 mixtxAbx iiiiii =+=
−
в полной мере остается справед-
ливым и в случае с векторным управлением.
Рассмотрим теперь более общую задачу синтеза для случая, когда управле-
ние nU — вектор размерности mp и, следовательно, при этом матрица B пря-
моугольная. Для этого воспользуемся обобщением утверждения, приведенного
в [5, 7], но предварительно, как это было сделано выше, представим множествен-
ные оценки матриц A и B в центрированной форме.
Примем, что для каждой i-й T
iA матриц A и ℓ-й строки T
B матрицы B заданы
их оценки (73) и соответственно
.;1;}{conv
;1
mBB
c
Cc
==
=
B (80)
Здесь
c
B — Cℓ-я вершина множества ,B C — число его вершин.
Пусть iA
и
B — центры сфер минимальных радиусов, описанных вокруг
множеств iA и kB соответственно. Множества ,iA B представим в центриро-
ванной форме
};{conv;
;1
iisis
Ss
iiii AAAA
ii
i
−==+
=
AAA (81)
}.{conv;
;1
BBBB cc
Cc
−==+
=
BBB (82)
Множество T также запишем в центрированной форме
,;1;}{diag; 1 mitTT m
ii ==+= =
TT (83)
.;1)};(5,0:{;21 mitt iiiiim =−== T (84)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 19
Подставив (81)–(83) в (76), получим
.0})()()({maxmin −++++
nnnn
B
A
XU
XUBBXTXAA
nn
B
A
X
(85)
Сформулируем без доказательства обобщение утверждения, приведенного
в [5, 7], на случай векторного управления .nU
Утверждение. Решением минимаксной задачи в (85) есть управление ,nU
удовлетворяющее соотношению
),( nnn XTXAUB −−=
где .}diag{ 1
m
iitT ==
(86)
Доказательство справедливости утверждения строится по схеме от противного.
Для определения вектора nU
из соотношения (86) воспользуемся псевдооб-
ращением матрицы. Для этого сначала обе части выражения (86) умножим слева
на матрицу ,
T
B а затем — на матрицу ,)( 1T −
BB что окончательно дает
)].([)(
T1T
nnn XTXABBBU +−= −
(87)
Подставив (87) в (85), получим
,0})(]
~
[]
~
)([{max −−+++−+
nnn
T
B
A
X
XXBBTTXABBBAA
n
T
B
A
X
(88)
где
.)(
~ T1T
BBBB −= (89)
Так как множества A, X, A, B и T — выпуклые многогранники, то, введя
обозначение
)(]
~
{]
~
)([),,,( nnn XTBTTXABBBAATBAXG −+++−+=
(90)
и обозначив i-ю строку T
iG матрицы G в виде ),,,,(TT
pcis
k
ii TBAXGG
i
=
где ;;1 iSs = ;;1 C= ;2;1 mp = ;2;1 mk = pT — p-я вершина m-мерного пря-
моугольника T, минимаксную задачу в неравенстве (88) сведем к комбинаторной
задаче
.,,,(max T
;1
;1
;1
2;1
2;1
ipcis
k
i
mi
C
Ss
p
k
TBAXG
i
i
m
m
=
=
=
=
=
=
(91)
В соответствии с принятым выше определением вектора в виде (8) обозначим
наибольшую из величин ,i где ,;1 mi = через .
Тогда достаточное условие ро-
бастной устойчивости в области X синтезированной системы получим в виде
.1
q (92)
20 ISSN 0572-2691
Дальнейшая проверка выполнения достаточного условия робастной устойчи-
вости в области синтезированной системы с точностью до обозначений совпадает
с изложенным выше.
Если )(Xi — строго монотонные функции в области Х, то неравенство (85)
равносильно неравенству
,,,,(max T
;1
;1
;1
2;1
2;1
=
=
=
=
=
pcis
k
i
mi
C
Ss
p
k
TBAXG
i
i
m
m
(93)
и, следовательно, смешанная оптимизационная задача (86) в этом случае сводится
к комбинаторной задаче сравнительно небольшой размерности.
Заключение
Выше был изложен конструктивный метод решения задач синтеза управле-
ний, обеспечивающих при выполнении определенных условий робастную ста-
билизацию достаточно широкого класса нелинейных, в общем случае, нестаци-
онарных объектов. Поскольку оптимальные в оговоренном выше смысле управ-
ления получены из решения минимаксных задач, то они не могут обеспечить
робастную устойчивость заданного класса объектов при произвольных множе-
ственных оценках неопределенных величин. Именно поэтому необходима про-
верка выполнения достаточных условий робастной устойчивости. В случае их не-
выполнения следует изменить условия задачи, прежде всего уменьшить, если это
допустимо по условиям функционирования системы управления, величину обла-
сти Х, либо потребовать более точных оценок всех неопределенных величин, т.е.
сузить заданный класс объектов управления. Если это в силу тех или иных при-
чин невозможно, то перейти к использованию адаптивных алгоритмов управле-
ния, позволяющих (благодаря получению в процессе управления уточняющихся
оценок неопределенных параметров) сужать класс стабилизируемых объектов.
Подробное рассмотрение последнего способа достижения поставленной цели уп-
равления выходит за рамки этой статьи.
Приложение
Доказательство теоремы. Введем функцию Ляпунова
nn X= (П.1)
и определим для системы (28), (29) ее первую разность :n
=−=−= ++ nnnnn XX 11
.]1),([),( nnn XknHXXknH −−= (П.2)
Поскольку при выполнении условия (31) ,1),( =knH из (П.2) получаем,
что 0= n и, следовательно, система (28), (29) устойчива по Ляпунову. Для до-
казательства справедливости теоремы из последовательности
12211 ,,,,,,, +++++++ mnmnmnmnnn XXXXXX (П.3)
Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 21
выделим подпоследовательность
,,,, 2 mnmnn XXX ++ (П.4)
динамика которой в силу (28) описывается уравнением
,)( nmmn XX =+ H (П.5)
где ).,(),2(),1()( knHkmnHkmnHm −+−+=H
Для системы (П.5) определим первую разность функции Ляпунова (П.1):
=−=−= +++ nmnnmnmn XX
.]1)([)( nnnnn XXX −−= HH (П.6)
При выполнении неравенства (34) в силу того, что ,1)( =nXH имеем
nn XX =+1 (П.7)
и, следовательно, неравенство, аналогичное неравенству (34), в силу (П.7) остает-
ся справедливым и для )1( +n -го шага.
Сказанное справедливо также и для всех )( kn+ -шагов, где ,11 − mk так
как имеют место равенства
nkn XX =+ ) при .11 − mk (П.8)
Поскольку условия леммы выполняются, для нормы матриц )(mH справед-
ливо неравенство
.1)( qmH (П.9)
Тогда из (П.6) и (П.9) получаем, что
0 +mn . (П.10)
Из (П.10) вытекает, что подпоследовательность (П.4) сходится к нулю, а из
этого с учетом равенств (П.8) следует и сходимость последовательности (П.3), т.е.
выполнение условия
,0lim =
→
n
n
X
что и требовалось доказать.
Замечание. Из (П.8) и (П.10) следует, что для последовательности величин
nX строго монотонная сходимость не имеет места.
В.М. Кунцевич
РОБАСТНА СТІЙКІСТЬ І СИНТЕЗ
ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ
НЕЛІНІЙНИМИ ОБ’ЄКТАМИ
На основі функцій Ляпунова у вигляді норми вектора стану отримано достатні
умови (які можна конструктивно перевірити) робастної стійкості в області нелі-
нійних нестаціонарних дискретних систем, для параметрів яких задані їх гаран-
товані множинні оцінки. Для строго монотонних нелінійних функцій перевірка
цих достатніх умов зводиться до необхідності розв’язку комбінаторних задач у
22 ISSN 0572-2691
просторі станів. На основі отриманих достатніх умов робастної стійкості
розв’язано задачі синтезу систем стабілізації нелінійних об’єктів керування.
Оскільки стабілізуючі в області керування отримані з розв’язку мінімаксних
задач, то вони не можуть гарантувати стійкість замкнутих систем в області при
довільних множинних оцінках параметрів об’єкта керування. Тому заключним
етапом розв’язку задач синтезу керування є перевірка виконання достатніх
умов робастної стійкості в області при заданих множинних оцінках параметрів і
області X.
V.M. Kuntsevich
ROBUST STABILITY AND SYNTHESIS
OF DISCRETE CONTROL SYSTEMS
FOR NONLINEAR OBJECTS
We obtain the sufficient verifiable conditions of the robust stability in a domain for
nonlinear nonstationary discrete systems with uncertain set-valued parameters. This
is done with the use of Lyapunov functions in the form of the norm of a state vector.
For the class of strictly monotone nonlinear functions, verification of these sufficient
conditions requires solution of combinatorial problems in the state space. The ob-
tained sufficient stability conditions are used for synthesis of stabilizing control sys-
tems for nonlinear plants. Since the stabilizing controls in a domain are solutions to
the minimax problems, these controls provide the stability of the closed-loop systems
in the given domain with arbitrary set-valued estimates for uncertain plant parame-
ters. In this framework, one necessarily has to make a final check of the stability
conditions in the given domain and with the given set-valued parameter estimates.
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I Анализ //
Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 8. — С. 37–53.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной системы управления. Некоторые
подходы к решению // Там же. — 2005. — № 5. — С. 7–46.
3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. — М. : Наука, 2002. —
378 c.
4. Кунцевич В.М. О «сверхустойчивых дискретных системах» // Автоматика и телемехани-
ка. — 2007. — № 4. — C. 61–66.
5. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в
задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 c.
6. Кунцевич В.М. Анализ устойчивости и синтез устойчивых систем управления одним клас-
сом нелинейных нестационарных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. —
2006. — 12, № 1. — C. 98–107.
7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М. : Наука, 1978. — 224 c.
8. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функ-
ций Ляпунова. — М. : Наука, 1977. — 400 c.
9. Shor N.Z., Berezovski O.A. New algorithms for constructing optimal circumscribed and inscribed
ellipsoid // Optimization Methods and Software. — 1992. — 1. — P. 283–299.
10. Kuntsevich V.M., Kuntsevich A.V. Analysis and synthesis of optimal and robustly optimal control
systems under bounded disturbance // Proc. of 14th IFAC World Congress, Beijing, China. —
1999. — Vol. F. Nonlinear Systems. — P. 163–168.
Получено 20.04.2007
|