Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем

Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем

Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних псевдопараболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідніст...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2007
Автори: Сергиенко, И.В., Дейнека, В.С.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Назва видання:Проблемы управления и информатики
Теми:
Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206997
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 33-58. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-206997
record_format dspace
spelling irk-123456789-2069972025-09-28T00:03:37Z Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем Розв’язання комплексних обернених задач для псевдопараболічних багатокомпонентних розподілених систем An inverse complex problems solution for multicomponent pseudoparabolic distributed systems Сергиенко, И.В. Дейнека, В.С. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних псевдопараболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна. Calculation algorithms of realization of gradient methods based on solution to a direct and conjugate problems in weak formulations are proposed for a series of inverse problems of multicomponent pseudoparabolic distributed systems’ parameters restoration. The proposed approach eliminates a necessity of construction of Lagrange functionals in an explicit form and using Green function. 2007 Article Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 33-58. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206997 536.24 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
Проблемы управления и информатики
description Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпонентних псевдопараболічних розподілених систем запропоновано обчислювальні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає необхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна.
format Article
author Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
author_facet Сергиенко, И.В.
Дейнека, В.С.
author_sort Сергиенко, И.В.
title Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
title_short Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
title_full Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
title_fullStr Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
title_full_unstemmed Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
title_sort решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2007
topic_facet Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/206997
citation_txt Решение комплексных обратных задач для псевдопараболических многокомпонентных распределенных систем / И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 33-58. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv AT sergienkoiv rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâpsevdoparaboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem
AT dejnekavs rešeniekompleksnyhobratnyhzadačdlâpsevdoparaboličeskihmnogokomponentnyhraspredelennyhsistem
AT sergienkoiv rozvâzannâkompleksnihobernenihzadačdlâpsevdoparabolíčnihbagatokomponentnihrozpodílenihsistem
AT dejnekavs rozvâzannâkompleksnihobernenihzadačdlâpsevdoparabolíčnihbagatokomponentnihrozpodílenihsistem
AT sergienkoiv aninversecomplexproblemssolutionformulticomponentpseudoparabolicdistributedsystems
AT dejnekavs aninversecomplexproblemssolutionformulticomponentpseudoparabolicdistributedsystems
first_indexed 2025-09-28T01:18:13Z
last_indexed 2025-09-29T01:10:35Z
_version_ 1844558677009235968
fulltext © И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА, 2007 Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 33 УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ УДК 536.24 И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека РЕШЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В работе [1] предложены градиентные методы для решения обратных задач теплопроводности, где для производной Фреше квадратичного функционала-не- вязки использовано полученное в работе [2] представление дифференциала Фре- ше с помощью решений прямой и соответствующей сопряженной задач. В данной работе предложены явные процедуры построения производных Фреше квадратичных функционалов-невязок для решения комплексных обратных задач восстановления коэффициентов, правых частей псевдопараболических урав- нений, определенных на многокомпонентных областях с тонкими включениями; параметров тонких включений и их комбинаций, в основу которых положены прямые и сопряженные задачи, сформулированные авторами в работах [3, 4] при исследовании вопросов оптимального управления состояниями многокомпонент- ных распределенных систем. Реализация данного подхода для решения обратных задач многокомпонентных параболических систем рассмотрена в [5−7]. 1. Задача восстановления коэффициентов псевдопараболического уравнения Пусть на области ),0( TT = ,( 21 = ,21 = = 21 ;= 21,  — связные ограниченные строго липшицевы области из )nR определено псевдопараболическое уравнение ),,( ~ )()()( 3 1 2 2 1 1 txf x y xu xt y xu tx y xu x i i n i ii i n i i =            −   +             −  == (1) где ),,( 2 1 1 11 iii uuu = ),,( 2 3 1 33 iii uuu = ),,( 2 2 1 22 uuu = , j li j li uu  = ,22 j uu j  = ),( j j li Cu  ,0 j li u ,0 2  j u ,3,1=l .2,1=j На границе ],0( TT = )\)(( 21 = заданы смешанные краевые условия , 1 = T y (2) ,),(,),(cos 2 1 3 2 1 T n i i i i i i txgx x y u tx y u =           +    = (3) 34 ISSN 0572-2691 ,),(,),(cos 3 1 3 2 1 T n i i i i i i txyx x y u tx y u +−=           +    = (4) где ,],0( TiiT = , 3 1 i i = =  = ji при ,ji  ,3,1, =ji  — внешняя нормаль к границе Г. На участке  раздела областей 21,  заданы условия сопряжения неиде- ального контакта ],,0(,0),(cos 1 3 2 1 Ttx x y u tx y u n i i i i i i =                    +    = (5) ],,0(],[),(cos 1 3 2 1 Ttyrx x y u tx y u n i i i i i i =                    +    =  где  — нормаль к , направленная в область ,2 ,0const =r ,][ −+ −= ),(}{ tx== ++ при ],,0()(),( 2 Ttx T = + ),(}{ tx== −− при ),( tx ].,0()( 1 TT = − При 0=t выполняется начальное условие .),()0,( 210 = xxyхy (6) Предполагаем, что на N (n − 1)-мерных областях ,i разбивающих область  на 2+N связных ограниченных строго липшицевых областей j ,( i ),,1 Ni = известны следы решения ),( txyy = начально-краевой задачи (1)–(6) ,,1),,( Nitxfy i iT ==  (7) где .,1],,0( NiTiiT == Задача (1)–(7) состоит в отыскании вектора ,),,( 321 U= uuuu при котором решение ),;()( txuyuyy == начально-краевой задачи (1)−(6) удовлетворяет ра- венствам (7), где .3,1,}{ 1 == = luu n ilil Решим задачу (1)–(7) приближенно. Для этого составим функционал-невяз- ку [1] с весовыми коэффициентами )(ti ,)()( 2 )( 1 0 2 dtfuAtuJ iLii N i T i  = −=  (8) где ,}{ 1 N iiuAAu == ,),;( iT txuyuAi  = ,22 )(2    = d iL ),;()( txuyuyy == — решение начально-краевой задачи (1)–(6) при заданном векторе .Uu Решением задачи (1)–(6), (8) будем называть вектор ,Uu который мини- мизирует функционал (8) на множестве U при ограничениях (1)–(6). Итерационная последовательность для вычисления приближения 1+nu реше- ния u задачи (1)–(6), (8) имеет вид ,,,1,0,1  + =−= nnpuu nnnn  (9) Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 35 и начинается с некоторого начального приближения ,0 Uu где направление спуска np и коэффициент n определяются выражениями [1]: — для метода минимальных ошибок ;, 2 2 n n u n nun J e Jp  == (10) — для метода скорейшего спуска ;, 2 2 n n n u u nun JA J Jp   == (11) — для метода сопряженных градиентов ,0, 01 =+= −nnun pJp n . ),( , 22 2 1 n nu n u u n Ap pJ J J n n n  =   = − (12) При решении задачи (1)–(6), (8) вместо классического решения )(uyy = за- дачи (1)−(6) используем ее обобщенное решение. Определение 1. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (1)–(6) называется функция ),,0(),;()( TWtxuyuyy == которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ],,0(),(),;(,;0 Ttwlwyuaw t y ua =+        (13) ),,;()0)(,;( 000 wyuawyua = (14) где },:),({},;,0(),;,0(:{),0( 1 22 ==   =  T vVtxvVVTL t v VTLvvTW },0:)({]},,0(,2,1),(:),({ 1 00 1 2 ====  vVxvVTtiWvtxvV i i },2,1),(:)({ 1 20 ==  iWvxvV i i ,),;( 2 1 10 dxwyu x w x y uwyua ii n i i   =         +     = ,]][[),;( 3 3 1 3      = ++     = dwydwyrdx x w x y uwyua ii n i i .),(),(), ~ ()( )()( 3222  ++= LL wwgwfwl Вопросы существования решения задачи (13), (14) в непустом множестве ),0( TW при каждом фиксированном Uu исследованы в работах [3, 4]. 36 ISSN 0572-2691 Для допустимого приращения u вектора u на основании (13), (14) прира- щение y= решения задачи (13), (14) можно определить как решение такой за- дачи: найти функцию ),,0(),( 0 TWtx = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ,],0(),;(),;(,;0 Ttwulwuaw t ua =+         (15) ),0)(,;(),;( 00 wyuawua −= (16) где ),;,0(),0( 02 0 VTLTW = },0:{ 1 0 == TvVvV ),;();( 1 wulwul =  .,;);( 1 30 1 dx x w x y uw t y uawul ii n i i     −        −=    =  Замечание 1. Если ,constliu ;3,1=l ,,1 ni = то на основании (1)–(6) для приращения  получаем следующую начально-краевую задачу: =            −   +             −  == i i i n ii i i n i x u xt u tx u x 3 1 2 2 1 1 ,),(, 1 2 2 322 3 1 1 T n i i i i i n i tx x y u t y u tx y u    +   −   =  == ,0 1 = T ,),(),,(cos ),(cos 2 1 3 2 1 1 3 2 1 Ti n i i i i i n i i i i i i txx x y u tx y u x x u tx u            +   −= =           +     = = ,),(),,(cos ),(cos 3 1 3 2 1 1 3 2 1 Ti n i i i i i n i i i i i i txx x y u tx y u x x u tx u            +   −−= =           +     = = (16) =                    +    = n i i i i i i x x u tx u 1 3 2 1 ),(cos ,),(,),(cos 1 3 2 1 Ti n i i i i i txx x y u tx y u                     +   −=  = =                    +    =  n i i i i i i x x u tx u 1 3 2 1 ),(cos Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 37 ,),(,),cos(][ 1 3 2 1 Ti n i i i i i txx x y u tx y ur                     +   −=  =  .,0)0,( = xx Определение 2. Обобщенным решением начально-краевой задачи (16) назы- вается функция ),,0(0 TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ,],0(),;(),;(,;0 Ttwulwuaw t ua =+         (17) ,0)0)(,;(0 = wua (18) где ),;();( 2 wulwul =  −           +   −   =    ==  dxw x y u t y u tx y uwul n i i i n i i i 1 2 2 32 1 2 3 1 2 );( −           +   −    = 2 1 3 2 1 ),(cos 2 dwx x y u tx y u i n i i i i i +           +   −    = 3 1 3 2 1 ),(cos 3 dwx x y u tx y u i n i i i i i −                    +   + + +  =   wx x y u tx y u n i i i i i i 1 3 2 1 ),(cos .),(cos 1 3 2 1                     +   − − − =  dwx x y u tx y u n i i i i i i (19) Для каждого приближения nu решения u задачи (13), (14), (8) рассмотрим следующую сопряженную начально-краевую задачу: ,\),(,0 1 32 2 1 1 dT n i i i ii i n i i tx x u xt u tx u x =            −   −              == ,0 1 =  T ,),(,0),(cos 2 1 3 2 1 T n i i i i i i txx x u tx u =           +   − = ,),(,),(cos 3 1 3 2 1 T n i i i i i i txx x u tx u −=           +   − = (20) ,),(,0),(cos 1 3 2 1 T n i i i i i i txx x u tx u =                    +   − = 38 ISSN 0572-2691 ,),(],[),(cos 1 3 2 1 T n i i i i i i txrx x u tx u =                    +   −  =  ,0][ = ,,1,),(),)((),(cos 1 3 2 1 Njtxfuyx x u tx u jTjj n i i i i i i =−−=                    +   − = .,0),( = xTx Определение 3. Обобщенным решением начально-краевой задачи (20) назы- вается функция ),,0(),( TWtx d которая 0 )( dVxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,;0 Ttwulwuaw t ua =+        −  (21) ,0))(,;(0 = Twua (22) где )},;,0(:);,0(),({),0( 22 ddd VTLvVTLtxvTW = ]},,0(,,1,0][,0:),({ 1 TtNivvVtxvV iTT dd ====  ]},,0(,1,0),(:),({ 1 2 TtNjWvtxvV jd j +==  , 1 iT N i d = = },,1,0][,0:)({ 100 NjvvVxvV j dd ====  },1,0),(:)({ 1 20 +==  NiWvxvV id i .),)(();( )( 1 2 jLjj N j j wfytwul  =  −=  (22) Области ,1,0, += Njj образованы разбиением области  поверхностями ,j .,1 Nj = Заменив в тождествах (21), (22) функцию w разностью ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом представления функционала );();( 1 wulwul =  и тождеств (15), (16) получаем ,~ nun J = (23) где ),,(,3,1;}{),,,(~ 2 2 1 22 2, 1,1321 ==== == l n ji j liln .,~, ),0(,,~ 0 )( 32 )(0 )( 2 1 2 22                 −=   −=             −             −= T Lii j i j Lii T L ii j i dt xx y t y xx y dt xtx y jjT jj (24) Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 39 Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (9), (10) направление спуска np и коэффициент n можно определить с помощью выра- жений (10). Решив задачу определения функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0)( Vxw  тождествам ],,0(),(),;~(,;~ 0 Ttwlwzaw t z a nn =+         (25) ),,;~()0)(,;~( 000 wyawza nn = (26) находим ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA == (27) где .,1,),;~()( NitxzJz iTn nui ==  Учитывая (27), можно реализовать метод скорейшего спуска (9), (11) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (13), (14), (8). Зная , nuJ  ,, 11 − − nun Jp определим направление спуска np с помощью формул (12). Это позволит найти функцию ),,0(),;()( TWtxpzpz nn = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),(),;(,;0 Ttwlwzpaw t z pa nn =+        (28) ).,;()0)(,;( 000 wypawzpa nn = (29) На основании решения )( npz задачи (28), (29) получаем вектор ,)}({ 1 N inin pzAp == (30) где .,1,)()( Nipzpz iT nni ==  Выражение (30) позволяет использовать метод сопряженных градиентов (9), (12) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (13), (14), (8). Замечание 2. Для определения nnuu AppJAJ nn ,,,  в задаче (15), (16) в каче- стве );( wul  вместо );(1 wul  можно использовать ).;(2 wul  2. Задача восстановления параметра тонкого слабопроницаемого включения Пусть на области T определено псевдопараболическое уравнение ,),(, ~ 1, 2 1, T j ij i n jij ij i n ji txf x y k xt y a tx y a x =             −   +             −  == (31) где ),()(),()( 11 lljiijlljiij CCkkCCaa llll ==   ,0,;2,1),(),( 10 =  aaaflCfCa lTl lTl 40 ISSN 0572-2691 ,,,, , 1 1 2 1 1,1 2 1 1 2 0 1,1 2 0     === === xRk a ji n i i n ji jiij n i i n i i n ji jiij n i i (31) 0.const,,,,, 101100 = aa На границе T заданы смешанные краевые условия , 1 =  T y (32) ,),(,),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txgx x y k tx y a =           +    = (33) ,),(,),(cos 3 1, 2 Ti n ji j ij j ij txyx x y k tx y a +−=           +    = (34) где g, ,  — известные непрерывные функции, const.,0 00 = На участке Т заданы условия сопряжения ,0),(cos 1, 2 =                    +    = n ji i j ij j ij x x y k tx y a (35) ],[),(cos 1, 2 yux x y k tx y a n ji i j ij j ij =                    +    =  (36) где .0),(),( = uCtxuu T При 0=t задано начальное условие ,),( 210 = xxyy .)( 00 Vxy  (37) Предполагаем, что на N поверхностях i ],0( Tt известны следы реше- ния у начально-краевой задачи (31)–(37), т.е. .,1),,( Nitxfy i iT ==  (38) Таким образом, получена задача (31)–(38), состоящая в определении функ- ции ),( TCu = +U при которой решение ),;()( txuyuyy == начально-краевой задачи (31)–(37) удовлетворяет равенствам (38). Определение 4. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (31)–(37) называется функция ),,0()( TWuyy = кото- рая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),(),;(,0 Ttwlwyuaw t y a =+        (39) );,()0)(,( 000 wyawya = (40) Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 41 множества 0),,0( VTW определены в п. 1, ,),( 1, 0 dxwya x w x y awya n ji ij ij   =         +     =      = ++     = ,]][[),;( 3 3 1, dwydwyudx x w x y kwyua ij n ji ij .),(),(), ~ ()( )()( 3222  ++= LL wwgwfwl Функционал-невязка задается выражением (8). Найдем функцию ,Uu ми- нимизирующую функционал (8) при ограничениях (39), (40). Для допустимого приращения u функции u приращение y= решения )(uyy = начально-краевой задачи (31)–(37) запишем начально-краевую задачу ,),(,0 1, 2 1, T j ij i n jij ij i n ji tx x k xt a tx a x =             −   +             −  == ,0 1 =  T ,),(,0),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a =           +    = ,),(,),(cos 3 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a −=           +    = (41) ,),(,0),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a =                    +    = ,),(],[][),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txyuux x k tx a +=                    +    =  .,0)0,( = xx Определение 5. При любых фиксированных u, ,u y обобщенным решением начально-краевой задачи (41) называется функция ),,0(),( 0 TWtx  которая 0)( Vxw  удовлетворяет тождествам ],,0(),,(),;(,0 Ttwulwuaw t a =+         (42) ;0)0)(,(0 = wa (43) пространство ),0(0 TW определено в п. 1, .][][);( −=    dwyuwul 42 ISSN 0572-2691 Замечание 3. Задачу (42), (43) можно получить непосредственно из задачи в слабой постановке (39), (40). Для каждого приближения nu решения u задачи (39), (40), (8) рассмотрим следующую сопряженную задачу: ,\),(,0 1, 2 1, dT j ij i n jij ij i n ji tx x k xt a tx a x =             −   −              == ,0 1 =  T ,),(,0),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a =           +   − = ,),(,),(cos 3 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a −=           +   − = ,),(,0),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a =                    +   − = (44) ,),(],[),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txux x k tx a =                    +   −  =  ,0][ =  lT ,,1,),(),),;((),(cos 1, 2 Nltxfuyx x k tx a lTlll n ji i j ij j ij =−−=                    +   − = .,0),( = xTx Определение 6. Обобщенным решением начально-краевой задачи (44) назы- вается функция ),,0( TWd которая 0dVw удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,0 Ttwylwuaw t a =+        −  (45) ;0))(,(0 = Twa (46) правая часть );( wyl равенства (45) определяется выражением (22). Заменив в тождествах (45), (46) функцию w разностью ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (42), (43) получаем .][][);( ))()(,)(( 00 )(1 0 1 2 dtdyudtul dtuyuyfuy TT Lniniini T N i i i       + = −== =−− Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 43 Следовательно, ,~ nun J = (47) где ],[][~ −= yn .][][ 0 222 dtdyJ T un =    Замечание 4. Если ),(tuu = то .~,][][~ 0 22 dtJdy T nun n  =−=  Если ,),( = xxuu то .~,][][ 22 0   =−= dJdtyJ nu T u nn Если const,=u то .~,][][~ 22 0 nu T nu nn JdtyJ =−==    Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (9), (10) (для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (39), (40), (8)) направление спуска np и коэффициент n можно определить с помощью выра- жений (10) и 1+nu — с помощью (9). Решив задачу отыскания функции ),,0()( TWJzz nu = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),(),;(,0 TtwlwzJaw t z a nu =+        (48) ),,()0)(,( 000 wyawza = (49) находим ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA == (50) где .,1,),;()( NitxJzJz iTnn uui ==  Учитывая (50), реализуем метод скорейшего спуска (9), (11) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u рассматриваемой обратной задачи. Зная , nuJ  ,1−np , 1−  nuJ можно определить направление спуска np с помощью фор- мул (12). Это позволяет найти функцию ),,0()( TWpzz n = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),(),;(,0 Ttwlwzpaw t z a n =+        (51) ).,()0)(,( 000 wyawza = (52) 44 ISSN 0572-2691 На основании решения )( npzz = задачи (51), (52), определив вектор ,)}({ 1 N inin pzAp == (53) найдем (n + 1)-е приближение 1+nu решения u задачи (39), (40), (8) с помощью метода сопряженных градиентов (9), (12). 3. Задача восстановления параметров составного тонкого включения и параметров естественных краевых условий Пусть на области T определено псевдопараболическое уравнение (31). На границе T заданы смешанные краевые условия , 1 =  T y ,),(,),(cos 21 1, 2 Ti n ji j ij j ij txux x y k tx y a =           +    = ,),(,),(cos 332 1, 2 Ti n ji j ij j ij txuyux x y k tx y a +−=           +    = (54) ,),(,][54 Tyy txyququ +=+ +− ,),(,][ Ty txq = ,),()0,( 210 = xxyxy где ,  — известные непрерывные функции. Предполагаем, что на N областях iT известны следы решения )(uy началь- но-краевой задачи (31), (54), заданные равенствами (7). Определение 7. При каждом фиксированном U= = 5 1}{ iiuu обобщенным решением начально-краевой задачи (31), (54), называется функция = )(uyy ),,0( TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,0 Ttwulwyuaw t y a =+        (55) );,()0)(,( 000 wyawya = (56) множества 0),,0( VTW определены в п. 1, ),()())(;,0())(;,0())(;,0( 32 2 22 2 22 2 TT CCLTLLTLLTL = ++ +U },0),(:),({)( =+ vCvtxvC TT },0),({)( 2222 =+ vLvL , ]][[ ),;( 3 32 541,      = + + +     = dwyud uu wy dx x w x y kwyua ij ij n ji .),(),(][), ~ ();( )(3)(1 54 5 3222   +  ++− + − +=  LL wuwudwdw uu u wfwul Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 45 Для допустимого приращения u вектора u на основе задачи (31), (54) при- ращение y= решения задачи (31), (54) определим как решение начально- краевой задачи ,),(,0 1, 2 1, T j ij i n jij ij n ji i tx x k xt a tx a x =             −   +             −  == ,0 1 =  T ,),(,),(cos 21 1, 2 Ti n ji j ij j ij txux x k tx a =           +    = ,),(,),(cos 3322 1, 2 Ti n ji j ij j ij txuyuux x k tx a +−−=           +    = (57) ,),(,][ 5454 Tyy txququququ −−=+ +−+  −  ,),(,0][ Ttxq = .,0)0,( = xx Определение 8. При любых фиксированных u, ,u y обобщенным решением начально-краевой задачи (57) называется функция ),,0(0 TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,0 Ttwulwuaw t a =+         (58) ;0)0)(,(0 = wa (59) множества 00 ),,0( VTW определены в п. 1, .][)()( ),(),(),();( 54 1 54 )(3)(2)(1 323222 +++ ++−= +−  −   dwququuu wuwyuwuwul yy LLL Для каждого приближения nu решения u задачи (39), (40), (8) рассмотрим сопряженную задачу ,\),(,0 1, 2 1, dT j ij i n jij ij i n ji tx x k xt a tx a x =             −   −              == ,0 1 =  T ,),(,0),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a =           +   − = ,),(,),(cos 32 1, 2 Ti n ji j ij j ij txux x k tx a −=           +   − = (60) 46 ISSN 0572-2691 ,),(,0),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a =                    +   − = ,),(, ][ ),(cos 541, 2 T n ji i j ij j ij tx uu x x k tx a  +  =                    +   −  =  ,0][ = ,,1,),(),),;((),(cos 1, 2 Nltxfuyx x k tx a lTlll n ji i j ij j ij =−−=                    +   − = .,0),( = xTx Определение 9. Обобщенным решением начально-краевой задачи (60) назы- вается функция ),,0( TWd которая 0dVw удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,0 Ttwylwuaw t a =+        −  (61) ;0))(,(0 = Twa (62) правая часть );( wyl тождества (61) определяется выражением (22). Заменив в тождествах (61), (62) функцию w разностью ),()( 1 nn uyuy −+ с уче- том (58), (59) получаем ++−= =−−     + = dtudtyudtu dtuyuyfuy T L T L T L Lniniini T N i i i 0 )(3 0 )(2 0 )(1 )(1 0 1 323222 2 ),(),(),( ))()(,)(( .])[()( 0 )(54 1 54 2 dtququuu T Lyy  +−− +++ (63) Следовательно, ,~ nun J = (64) где ,~,~,~,}~{~ 333221 5 1 TTTi nnninn y = =−=== ],[)(~],[)(~ 1 54 1 54 54 +=+= +−−− ynyn quuquu .~~~ 5 4 0 2 )( 3 2 0 2 )( 0 2 )( 2 232221 dtdtdtJ i T Ln i T Ln T Lnu iin    =  =  ++= Замечание 4. Если ),(tuu ii = то     =−== 2 3 3 3 21 ,~,~,~ 332 ddyd nnn Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 47 .~,][)(~,][)(~ 0 5 1 221 54 1 54 54 dtJdquudquu T i nuynyn in   = +−  −− =+=+= Если ),(xuu ii = то ,~,~,~ 000 333321 dtdtydt T n T n T n   =−== ,][)(~,][)(~ 0 1 54 0 1 54 54 dtquudtquu T yn T yn +=+=  +−−− .~~~ 5 4 2 3 3 2 2 2 22 32 1 ++=    = =  dddJ i n i nnu iin Если ,51,const, == iui то ,~,~,~ 0 3 0 32 0 3 3 3 2 2 1 dtddtdydtd T n T n T n      =−== .~,][)(~,][)(~ 5 1 22 0 1 54 0 1 54 54   = +−  −− =+=+= i nu T yn T yn in Jdtdquudtdquu Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (9), (10) направ- ление спуска np и коэффициент n определяются с помощью выражений (10). Решив задачу отыскания функции ),,0(),;~( TWtxz n  удовлетворяющей 0)( Vxw  тождествам ],,0(),;~(),;~(,0 Ttwlwzaw t z a nn =+        (65) ),,()0)(,( 000 wyawza = (66) находим ,)}({ 1 N iuiu nn JzJA == (67) где .,1,),;~()( NitxzJz iTn nui ==  Учитывая (67), можно реализовать метод скорейшего спуска (9), (11) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (55), (56), (8). Зная , nuJ  ,, 11 − − nun Jp определим направление спуска ,np используя формулы (12). Это позволяет найти функцию ),,0(),;()( TWtxpzpz nn = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,0 Ttwplwzpaw t z a nn =+        (68) ),()0)(,( 000 wyawza = . (69) На основании решения )( npzz = задачи (68), (69) определяем вектор ,)}({ 1 N inin pzAp == (70) где .,1,)()( Nipzpz iT nni ==  48 ISSN 0572-2691 С учетом (70) можно использовать метод сопряженных градиентов (9), (12) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (55), (56), (8). 4. Восстановление распределенных и сосредоточенных источников или стоков Пусть на области T определено псевдопараболическое уравнение .1 1, 2 1, u x y k xt y a tx y a x j ij n ji ij ij n ji i =             −   +             −  == (71) На границе T заданы следующие краевые условия: , 1 =  T y ,),(,),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txgx x y k tx y a =           +    = (72) .),(,),(cos 3 1, 2 Ti n ji j ij j ij txyx x y k tx y a +−=           +    = Условия сопряжения на участке T имеют вид ,][ =y (73) 2][ uqy = . (74) При 0=t задано начальное условие .),()0,( 210 = xxyxy (75) Предполагаем, что на N поверхностях iT известны следы решения )(uy начально-краевой задачи (71)–(75), заданные равенствами (7), где ).,()),(;,0())(;,0( 212 2 2 2 uuuLTLLTLu ==U Определение 10. Обобщенным решением начально-краевой задачи (71)–(75) называется функция ),,0(),;()( TWtxuyuyy == которая 0)( Vxw  удовле- творяет тождествам ],,0(),;(),(,0 Ttwulwyaw t y a =+        (76) ),,()0)(,( 000 wyawya = (77) где ]},,0(][,:),({),;,0(),0( 1 2 TtvvVtxvVVTLTW T ====  ,}0][,0:)({ 1 00 ===  vvVxvV ,),( 1, 0 dxwya x w x y awya ij ij n ji    =         +     = Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 49 ,),( 3 3 1,    = +     = dwydx x w x y kwya n ji ij ij .),(),(),();( 2)()(1 3222 −++=   +  dwuwwgwuwul LL Для допустимого приращения u вектора u на основании начально-краевой задачи (71)−(75), а также на основании задачи в слабой постановке (76), (77) определим приращение y= решения у (классического или обобщенного) как решение задачи отыскания функции ),,0(),( 0 TWtx = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),(,0 Ttwulwaw t a =+         (78) ,0)0)(,(0 = wa (79) где }.0][,0:{),;,0(),0( ,),(),();( 1 2 002 0 )(21 ==== −=   TT vvVvVVTLTW wuwuwul L Для каждого приближения nu решения u задачи (76), (77), (8) рассмотрим сопряженную начально-краевую задачу ,\),(,0 1, 2 1, dT j ij i n jij ij i n ji tx x k xt a tx a x =             −   −              == ,0 1 =  T ,),(,0),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a =           +   − = ,),(,),(cos 3 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a −=           +   − = ,),(,0][ Ttx = (80) ,),(,0),(cos 1, 2 T n ji i j ij j ij txx x k tx a =                    +   − = ,0][ = ,,1,),(),)((),(cos 1, 2 Nltxfuyx x k tx a lTlnll n ji i j ij j ij =−−=                    +   − = .,0),( = xTx 50 ISSN 0572-2691 Определение 11. Обобщенным решением начально-краевой задачи (80) назы- вается функция ),,0( TWd которая 0dVw удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),(,0 Ttwylwaw t a =+         −  (81) ;0))(,(0 = Twa (82) правая часть );( wyl тождества (81) определяется выражением (22), ),;,0(),0( 2 dd VTLTW = },,1,0][,0][,0:),({ 1 NivvvVtxvV iTTT dd =====  }.,1,0][,0][,0:)({ 100 NivvvVxvV i dd =====  Заменив в тождествах (81), (82) функцию w разностью ),()( 1 nn uyuy −+ с уче- том (78), (79) получаем .),(),())()(,)(( 0 )(2 0 1)(1 0 1 22 dtudtudtuyuyfuy T L T Lniniini T N i i i   + = −=−− Следовательно, ,~ nun J = (83) где ,~,~),~,~(~ 2121 TT nnnnn  −===  .)~,~()~,~( 0 )( 0 2 22211 dtdtJ T Lnn T nnun  += Если const,2 =u то ,~ 0 2 dtd T n −=    .~)~,~( 2 0 2 211 n T nnu dtJ n +=  Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (9), (10) (для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (76), (77), (8)) направление спуска np и коэффициент n определяются на основании выраже- ний (10) и приближение 1+nu можно получить с помощью (9). Решив задачу отыскания функции ),,0()( TWJzz nu = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),(,0 TtwJlwzaw t z a nu =+        (84) ),,()0)(,( 000 wyawza = (85) находим .)}({ 1 N iuiu nn JzJA == (86) Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 51 Выражение (86) позволяет реализовать метод скорейшего спуска (9), (11) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u рассматриваемой обратной задачи. Зная ,,, 11 −  − nn unu JpJ определим направление спуска np с помощью формул (12), что дает возможность найти функцию ),,0()( TWpzz n = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),(,0 Ttwplwzaw t z a n =+        (87) ).,()0)(,( 000 wyawza = (88) На основании решения )( npzz = задачи (87), (88) определяем вектор ;nAp (n + 1)-е приближение 1+nu решения u задачи (76), (77), (8) получаем с помощью метода сопряженных градиентов (9), (12). Замечание 5. Правую часть уравнения (71) можно восстанавливать в некото- ром подпространстве ))(;,0( 2 2  LTLM m с базисом ,)},({ 1 m ii tx = т.е. 1u ис- кать в виде .,1,),,( 1 1 1 11 miRutxuu ii m i i == = Тогда ,}~{~ 111 m inn i == где .),(),(~ 0 1 dtdxtxtx T in i =    5. Обратная задача для псевдопараболического уравнения с двумя тонкими включениями Пусть на области ),0( TT = == = jii i ,( 3 1 при ,ji  ;3,1, =ji ,121 = , 232 = ,31 = i — связные ограничен- ные строго липшицевы области из )nR определено псевдопараболическое урав- нение ,1 1, 2 1, u x y k xt y a tx y a x j ij n ji ij ij n ji i =             −   +             −  == (89) относительно которого предполагаем, что коэффициенты ijij kaa ,, удовлетворя- ют условиям, аналогичным (31). Пусть на границе )(\ 21 3 1 = = i i T заданы смешанные краевые условия , 1 =  T y ,),(,),(cos 22 1, 2 T n ji i j ij j ij txux x y k tx y a =           +    = (90) ,),(,),(cos 343 1, 2 T n ji i j ij j ij txuyux x y k tx y a +−=           +    = 52 ISSN 0572-2691 а на участках ,2,1, = iiT — условия сопряжения ,),(,0][ 1Ttxy = (91) ,),(,),(cos 15 1, 2 T n ji i j ij j ij tx t y ux x y k tx y a    =                    +    = (92) ,),(,][ 221 Tyy txyqRqR +=+ +− (93) ,),(,][ 2Ty txq = (94) где равенства (91), (92) — условия сосредоточенной теплоемкости, а (93), (94) — составного тонкого включения. При 0=t зададим начальное условие .),()0,( 3 1 0 i i xxyхy = = (95) Предполагаем, что на N поверхностях i при ],0( Tt известны следы решения ),;( txuyy = начально-краевой задачи (89)–(95), которые заданы равен- ствами .,1, Nify i iT ==  (96) Задача (89)–(96) состоит в определении вектора ),())(;,0()())(;,0())(;,0( 132 2 322 2 2 2 TT CLTLCLTLLTLu = ++U при котором решение ),;()( txuyuyy == начально-краевой задачи (89)–(95) удов- летворяет равенствам (96), где },0:)(),({)( 33 =+ vCtxvC TT }.0:)(),({)( 11 =+ vCtxvC TT Функционал-невязку зададим в виде (8). Определение 12. При каждом фиксированном U= = 5 1}{ iiuu обобщенным решением начально-краевой задачи (89)–(95) называется функция == )(uyy ),,0(),;( TWtxuy = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,;0 Ttwulwyuaw t y ua =+        (97) ),,;()0)(,;( 000 wyuawyua = (98) где ,);,0(),;,0(:),0( 22          = VTL t v VTLvvTW },0][,:{ 11 ===  TT vvVvV ]},,0(,3,1),(:),({ 1 2 TtiWvtxvV i i ==  Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 53 },0][,0:)({ 11 00 ===  vvVxvV },3,1),(:)({ 1 20 ==  iWvxvV i i ,),;( 15 1, 0 1 +         +     =    = dwyudxwya x w x y awyua ij ij n ji ,),( ]][[ ),;( )(32 211, 32 2   =   + + +     = L ij ij n ji wyud RR wy dx x w x y kwyua .][),(),(),();( 22 3222 22 21 2 )(4)(21   +   − + − +++= dwdw RR R wuwuwuwul LL Для приращения u вектора u приращение y= решения у определяем на основании (89)–(95) как решение такой задачи: найти функцию ),,( tx= удо- влетворяющую системе уравнений T j ij i n jij ij n ji i txu x k xt a tx a x =             −   +             −  == ),(,1 1, 2 1, , ,0 1 =  T ,),(,),(cos 22 1, 2 Ti n ji j ij j ij txux x k tx a =           +    = ,),(,),(cos 3433 1, 2 Ti n ji j ij j ij txuyuux x k tx a +−−=           +    = (99) ,),(,0][ 1Ttx = ,),(,),(cos 155 1, 2 T n ji i j ij j ij tx t y u t ux x k tx a    +   =                    +    = ,),(],[ 221 TtxqRqR =+ +  −  ,),(,0][ 2Ttxq = .,0)0,( = xx Определение 13. Обобщенным решением начально-краевой задачи (99) назы- вается функция ),,0(0 TW которая 0Vw удовлетворяет системе тождеств ,],0(),;(),;(,;0 Ttwulwuaw t ua =+         (100) ,0)0)(,;(0 = wua (101) 54 ISSN 0572-2691 где −+==  )(21 11 22 ),(),();(),;();( Lwuwuwulwulwul ,,),(),( )( 5)(4)(3 12 3232           −+− L LL w t y uwuwyu ,);,0(),;,0(:),(),0( 202 0          = VTL t v VTLvtxvTW }.0][,0:{ 11 0 ===  TT vvVvV Замечание 6. На основании задачи (97), (98) для приращения y= можно получить следующую задачу: найти функцию ),,0(0 TW которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,; 2 0 Ttwulwuaw t ua =+         (102) ,)0()()0)(,;( 1 1050   −−= dwyyuwua (103) где +−        −=    )(3 )( 5 2 32 12 ),(,);( L L wyuw t y uwul .),(),(),( )(4)(21 3222  +++ LL wuwuwu Для каждого приближения nu решения u задачи (97), (98), (8) рассмотрим сопряженную задачу ,\),(,0 1, 2 1, dT j ij i n jij ij i n ji tx x k xt a tx a x =             −   −              == ,0 1 =  T ,),(,0),(cos 2 1, 2 Ti n ji j ij j ij txx x k tx a =           +   − = ,),(,),(cos 33 1, 2 Ti n ji j ij j ij txux x k tx a −=           +   − = ,),(,),(cos ,0][ 15 1, 2 1 T n ji i j ij j ij tx t ux x k tx a T    −=                    +   − =  =  (104) Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 55 ,),(],[ 1 ),(cos 2 211, 2 T n ji i j ij j ij tx RR x x k tx a  + =                    +   −  =  ,0][ = ,,1,),(),)((),(cos 1, 2 Nltxfuyx x k tx a lTlnll n ji i j ij j ij =−−=                    +   − = .,0),( = xTx Определение 14. Обобщенным решением начально-краевой задачи (104) называется функция ),,0( TWd которая 0 )( dVxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),);((),;(,;0 Ttwuylwuaw t ua =+        −  (105) .0))(,;(0 = Twua (106) Заменив в тождествах (105), (106) функцию w разностью ),()( 1 nn uyuy −+ с учетом (100), (101) получаем ,~ nun J = (107) где .,, ,,,}{~ 1 5 3 433 221 5 1 T TT TT i t y y nnn nninn  =    −==−= ===  Если приращение  определено как решение задачи (102), (103), то ,}~{~ 5 1== inn i где ).0()(,4,1,~ 155 0  −−=== yyi nnnn ii Таким образом, для реализации метода минимальных ошибок (9), (10) (для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (97), (98), (8)) направление спуска np и коэффициент n определяются с помощью выражений (10), а приближение 1+nu — с помощью (9). Решив задачу отыскания функции ),,0()( TWJzz nu = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,;0 TtwJlwyJaw t y Ja nnn uuu =+         (108) ),,;()0)(,;( 000 wyJawyJa nn uu = (109) с помощью выражений вида (86) определим , nuJA  что позволит найти (n + 1)-е приближение 1+nu решения u задачи (97), (98), (8) методом скорейшего спуска (9), (11). Определив направление спуска np с помощью выражений (12) и решив задачу вида (108), (109) после замены nuJ  на вектор ,np получаем функцию 56 ISSN 0572-2691 ),,0()( TWpz n  а следовательно, и вектор .nAp Это позволяет использовать ме- тод сопряженных градиентов (9), (12) для получения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (97), (98), (8) в соответствии с методом (9), (12). 6. Обратная задача для псевдопараболического уравнения с двумя тонкими включениями при наличии главного неоднородного условия Пусть состояние системы описывается уравнением (89), краевыми условиями (90), условиями сопряжения (91), (92) на участке T1 и начальным условием (95), а на T2 ,][ =y (110) .][ 6uqy = (111) Предположим, что на N поверхностях i при ],0( Tt известны следы решения ),;()( txuyuyy == начально-краевой задачи (89)–(92), (95), (110), (111), которые заданы равенствами (96). Предположим также, что известно решение )(uyy = рассматриваемой начально-краевой задачи при ,Tt = т.е. ,,, 21 Ttxyy == (112) где )).(;,0()())(;,0( )())(;,0())(;,0(}{ 22 2 132 2 322 2 2 26 1 TT Tii LTLCLTL CLTLLTLuu  == + += U Функционал-невязку задаем в виде .)()()( 2 )(0 2 )( 1 0 22 TyuydtfuAuJ LLii N i T i i  = −+−=  (113) Определение 15. При каждом фиксированном Uu обобщенным решением начально-краевой задачи (89)–(92), (95), (110), (111) называется функция ),,0()( TWuyy = которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,;0 Ttwulwyuaw t y ua =+        (114) ),,;()0)(,;( 000 wyuawyua = (115) где ,);,0(),;,0(:),0( 22          = VTL t v VTLvvTW },][,0][,:{ 211 ====  TTT vvvVvV },0][,0][,0:)({ 211 00 ====  vvvVxvV ,),;( 15 1, 0 1 +         +     =    = dywudxwya x w x y awyua ij n ji ij Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 57 ,),(),;( )(3 1, 32   = +     =   L ij n ji ij wyudx x w x y kwyua .),(),(),();( 2 3222 26)(4)(21   +  −++= dwuwuwuwuwul LL Для приращения u вектора u приращение y= решения у определяем на основании (89)–(92), (95), (110), (111) как решение такой задачи: найти функцию ),,0(0 TW= которая 0)( Vxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),;(),;(,;0 Ttwulwuaw t ua =+         (116) ,0)0)(,;(0 = wua (117) где ,);,0(,:),0( 02 0          = VTL t v vvTW },2,1,0][,0:{ 1 0 ====  ivvVvV iTT +−+==  )(3)(21 1 3222 ),(),(),();();( LL wyuwuwuwulwul .),(,),( )(6 )( 5)(4 22 12 32    −        −+ L L L wuw t y uwu Для каждого приближения nu решения u задачи (114), (115), (8) сопряженное состояние ),;( txun определяем как решение следующей задачи: найти функ- цию ),,0( TWd которая 0 )( dVxw  удовлетворяет системе тождеств ],,0(),);((),;(,;0 Ttwuylwuaw t ua =+        −  (118) ).)(,)(())(,;( 00 TwyuyTwua −−= (119) На основании (116)–(119) получаем ,~ nun J = (120) где ,~,~,~,}{~ 33221 6 1 TTTi ynnninn = −==== .~,~,~ 2 1 534 6 T T T nnn t y    −=   −== После определения , nuJ  аналогично ранее рассмотренным случаям, можно приступить к реализации одного из градиентных методов (9), (10); (9), (11); (9), (12) для определения (n + 1)-го приближения 1+nu решения u задачи (114), (115), (8). 58 ISSN 0572-2691 І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека РОЗВ’ЯЗАННЯ КОМПЛЕКСНИХ ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛІЧНИХ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМ Для ряду комплексних обернених задач відновлення параметрів багатокомпо- нентних псевдопараболічних розподілених систем запропоновано обчислюва- льні алгоритми реалізації градієнтних методів на основі розв’язання прямих і спряжених задач у слабких постановках. Запропонований підхід виключає не- обхідність явної побудови функціоналів Лагранжа та використання функцій Гріна. I.V. Sergienko, V.S. Deineka AN INVERSE COMPLEX PROBLEMS SOLUTION FOR MULTICOMPONENT PSEUDOPARABOLIC DISTRIBUTED SYSTEMS Calculation algorithms of realization of gradient methods based on solution to a di- rect and conjugate problems in weak formulations are proposed for a series of inverse problems of multicomponent pseudoparabolic distributed systems’ parameters resto- ration. The proposed approach eliminates a necessity of construction of Lagrange functionals in an explicit form and using Green function. 1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррект- ных задач. — М. : Наука, 1988. — 288 с. 2. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М. : Мир, 1972. — 414 с. 3. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными распределенными системами. — Киев : Наук. думка, 2003. — 506 с. 4. Sergienko I.V., Deineka V.S. Optimal control of distributed systems with conjugation condi- tions. — New York : Kluwer Academic Publishers, 2005. — 400 p. 5. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение граничных обратных задач теплопроводности для составного стержня // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 2. — C. 75–97. 6. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение коэффициентных обратных задач для составной пластины // Там же. — 2007. — № 3. — C. 21–48. 7. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Решение граничных обратных задач параболических много- компонентных распределенных систем // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 4. — C. 49–73. Получено 27.04.2007

Схожі ресурси