Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса

Для чисельного розв’язку рівняння переносу розглядається адаптивна різницева схема, яка будується за допомогою додавання в монотонну різницеву схему першого порядку антидифузійних членів. Задача визначення антидифузійних потоків зводиться до розв’язування оптимізаційної задачі. Функціонал якості...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Кивва, С.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207000
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса / С.Л. Кивва // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 74-82. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207000
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2070002025-09-28T00:05:13Z Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса Оптимізація антидифузійних потоків в різницевих схемах для рівняння переносу Anti-diffusion flux optimization in difference schemes for advection equation Кивва, С.Л. Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Для чисельного розв’язку рівняння переносу розглядається адаптивна різницева схема, яка будується за допомогою додавання в монотонну різницеву схему першого порядку антидифузійних членів. Задача визначення антидифузійних потоків зводиться до розв’язування оптимізаційної задачі. Функціонал якості вибирається з урахуванням підвищення точності адаптивної схеми і недопущенням осциляцій різницевого розв’язку. Доведено однозначну розв’язність прямої і спряженої кінцеворізницевих задач. Досліджено диференційні властивості функціонала якості і отримано необхідні умови оптимальності першого порядку. Adaptive scheme for numerical solution of the advection equation is considered. The scheme is developed by addition of antidiffusion terms in the monotone difference scheme of first order. Antidiffusion fluxdetermination problem is reduced to optimization problem. Cost functional is selected such that to increase accuracy of the adaptive scheme and to provide nonoscillatory of difference solution. Existence and uniqueness of solution for direct and conjugate finitedifference problem is proved. The differential properties of the cost functional are investigated and the necessary firstorder optimality conditions are obtained. 2007 Article Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса / С.Л. Кивва // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 74-82. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207000 519.63:85 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
spellingShingle	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами Кивва, С.Л. Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса Проблемы управления и информатики
description	Для чисельного розв’язку рівняння переносу розглядається адаптивна різницева схема, яка будується за допомогою додавання в монотонну різницеву схему першого порядку антидифузійних членів. Задача визначення антидифузійних потоків зводиться до розв’язування оптимізаційної задачі. Функціонал якості вибирається з урахуванням підвищення точності адаптивної схеми і недопущенням осциляцій різницевого розв’язку. Доведено однозначну розв’язність прямої і спряженої кінцеворізницевих задач. Досліджено диференційні властивості функціонала якості і отримано необхідні умови оптимальності першого порядку.
format	Article
author	Кивва, С.Л.
author_facet	Кивва, С.Л.
author_sort	Кивва, С.Л.
title	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса
title_short	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса
title_full	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса
title_fullStr	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса
title_full_unstemmed	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса
title_sort	оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Управление и оптимизация систем с распределенными параметрами
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207000
citation_txt	Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса / С.Л. Кивва // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 74-82. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kivvasl optimizaciâantidiffuzionnyhpotokovvraznostnyhshemahdlâuravneniâperenosa AT kivvasl optimízacíâantidifuzíjnihpotokívvríznicevihshemahdlârívnânnâperenosu AT kivvasl antidiffusionfluxoptimizationindifferenceschemesforadvectionequation
first_indexed	2025-09-28T01:18:29Z
last_indexed	2025-09-29T01:10:54Z
_version_	1844558696950005760
fulltext	© С.Л. КИВВА, 2007 74 ISSN 0572-2691 УДК 519.63:85 С.Л. Кивва ОПТИМИЗАЦИЯ АНТИДИФФУЗИОННЫХ ПОТОКОВ В РАЗНОСТНЫХ СХЕМАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА При моделировании физических процессов часто одним из важных требова- ний к численному решению уравнения переноса является его неотрицательность и монотонность. В 1959 г. С.К. Годунов [1] показал, что линейными разностными схемами, которые обеспечивают неотрицательность и монотонность решения, есть монотонные схемы и их порядок точности не может быть выше первого. Раз- ностные схемы первого порядка точности обладают большой численной диффу- зией и их решения невысокого качества. Схемы высокого порядка в областях больших градиентов решения порождают осцилляции, которые приводят к потере монотонности решения и могут повлечь потерю его неотрицательности. Сразу после этого начались попытки построения нелинейных разностных схем высокого порядка, сохраняющих неотрицательность и монотонность решения. Наиболее плодотворным оказался подход, основанный на комбинировании в конструируемой адаптивной схеме двух схем с различными свойствами. В ка- честве одной из них берется монотонная схема первого порядка, а второй может быть схема высокого порядка. Адаптивная схема строится на базе одной из этих схем посредством добавления дополнительных слагаемых, которые играют роль антидиффузионных (для схемы первого порядка) и диссипативных членов (для схемы высокого порядка). Величины этих дополнительных слагаемых выбирают- ся так, чтобы гарантировать высокий порядок аппроксимации на гладких реше- ниях и монотонность решения в областях больших градиентов. Для определения величин антидиффузионных или диссипативных членов в настоящее время исполь- зуют различные формулы ограничения или коррекции потоков [2]. Представите- лями таких разностных схем являются разностные схемы с коррекцией потоков (FCT) [3, 4] и схемы с невозрастающей полной вариацией численного решения (TVD) [5]. В данной работе для численного решения уравнения переноса рассматрива- ется адаптивная схема с весами, построенная на комбинировании монотонной схемы первого порядка и схемы с аппроксимацией пространственной производ- ной первого порядка по формуле центральной разности. Задача определения ан- тидиффузионных членов сводится к решению оптимизационной задачи. Функ- ционал качества выбирается таким образом, чтобы: а) как можно большее коли- чество потоков на границе ячеек аппроксимировалось со вторым порядком и б) в областях больших градиентов адаптивная схема не порождала осцилляций. Доказана однозначная разрешимость прямой и сопряженной конечно-разностных задач. Исследованы дифференциальные свойства функционала качества и полу- чены необходимые условия оптимальности первого порядка. Постановка задачи Рассмотрим на отрезке ],[ ba краевую задачу для уравнения переноса: ,0)( =   +   u xt ,0t (1) с начальным условием ).()0,( init xx = (2) Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 75 В дальнейшем без ограничения общности для упрощения выкладок будем счи- тать, что вектор скорости не изменяется во времени, т.е. ).(xuu = Для однозначно- го решения задачи (1), (2) на каждой границе ставится столько условий, сколько на ней имеется входящих в область характеристик. Пусть 0 и 1+N — значения функции ),( tx соответственно на левом и правом концах отрезка ].,[ ba Введем на ],[ ba неравномерную сетку :h }.,;1,1,:{ 11 bxaxNihxxx Niiiih −=+== + Линейное пространство сеточных функций ),( ixy определенных на ,h обо- значим .hH В пространстве hH введем скалярное произведение ., 1  = = N i iivyvy Используем следующие обозначения для векторной и согласованной с ней матричной нормы: , 1 1  = = N i iyy .max 111 ij N iNj aA  = = Аппроксимируем задачу (1), (2) разностной схемой ,0)1(ˆ =−++ yLyLyt (3) ,inityy = (4) где ),,(ˆ jii txyy = ),,( 1−= jii txyy ,/)ˆ( −= yyyt },1,0,0,{ === jjt jt — временнáя сетка, ].1,0[ Оператор L определяется следующим образом: +−−+= − −− + −+ − + + + iiiiiiii i i yuyuyuyuyL 2/112/112/12/1{ 1  )},(5,0)(5,0 12/12/112/12/1 −−−+++ −−−+ iiiiiiii yyuyyu ,,1 Ni = (5) где );(5,0 uuu = );( 2/12/1 ++ = ii xuu );(5,0 12/1 ++ += iii xxx ),(5,0 1++= iii hh ;1,,2 −= Ni  ,)(5,0 211 axx −+= );(5,0 1−+−= NNN xxb ,02/121 == +N 1 2/12/3 ),,( − − = N N R — некоторый числовой вектор, определяющий по- рядок аппроксимации разностной схемы (3) по пространственной переменной. Заметим, что при 0= разностная схема (3) выступает условно монотонной раз- ностной схемой, обладающей большой численной диффузией [3, 6]. Последние два члена в правой части выражения (5) можно рассматривать как антидиффузи- онные. Значения скорости )(xu на концах отрезка ],[ ba в точках ax =0 и bxN =+1 обозначим соответственно 2/1u и .2/1+Nu Пусть adU — множество допустимых значений вектора , которое запишем как (N − 1)-й куб: }.1,1,10:{ 2/1ad −== + NiU i (6) Пусть на множестве NRU ad определена функция  −1:)ˆ,( NRy RRN → — непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. 76 ISSN 0572-2691 Рассмотрим задачу определения вектора  как задачу минимизации функци- онала inf,))(ˆ,( → y ,adU (7) на множестве допустимых значений adU при выполнении условий (3), (4). Из вариации функции Лагранжа получим следующую систему сопряженных уравнений: ,0 ˆ H ~ 1T =   ++− − y vLvt (8) ,0ˆ =v (9) где H ~ — диагональная матрица из элементов .i Разрешимость прямой и сопряженной задач Решение прямой задачи (3), (4) (или сопряженной (8), (9)) сводится к реше- нию системы линейных алгебраических уравнений =yAˆ ),( T =vA (10) где i jijaA }{= — трехдиагональная квадратная матрица порядка N. Представим матрицу A в виде ),()(),( −= CBA где B и C — трехдиагональные квад- ратные матрицы порядка N с элементами ),()( 2/12/1 − − + + −+  = ii i ii uub  ),(5,0)( 2/12/12/12/1 ++−− += iiiiii uuc ,,1 Ni = ;)( 2/11 =   iii ub .5,0)()( 2/12/111 −−−− −== iiiiii ucc Вектор  в правой части системы уравнений (10) вычисляется по формуле ,),1( gyA +−= (11) где вектор g имеет вид ).ˆ,0,,0,ˆ( 12/102/1 + − + + −= NN yuyug  Теорема 1. Пусть 1− NR и .0,  Тогда для того чтобы линейная си- стема (10) имела единственное решение, достаточно  выбрать так, чтобы выпол- нялось неравенство ,)(max 2/12/12/12/1 1 − ++−−  + iiii Ni uu (12) }.,min,{min 2/1 12 2/11 + + − −− +−= NNi Ni uu  Доказательство. Для однозначной разрешимости системы уравнений (10) достаточно показать невырожденность матрицы ).,( A Нетрудно видеть, что B — матрица с положительной доминирующей диаго- налью по столбцам и неположительными внедиагональными элементами, поэтому матрица B невырождена и согласно [7] . 1 1 − −    B Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 77 Матрица C — симметричная матрица со слабым диагональным преобладанием и ).(max 2/12/12/12/1 11 ++−−  += iiii Ni uuC (13) Из (13) с учетом (12) получим, что .1 1 1  − CB (14) Таким образом, матрицу A можно представить в виде произведения двух не- вырожденных матриц [8]: ),( 1CBEBA −−= и, следовательно, матрица ),( A невырождена, что и требовалось доказать. Следствие. Пусть ,adU 0 и  удовлетворяет неравенству ,)(max 2/12/1 12 − +− − + ii Ni uu .10  (15) Тогда система линейных уравнений (10) однозначно разрешима на adU и ,ˆ 1 My  .))(1(3max )1( 112/12/1 1       +       +−+ −  = +− − gyuuM ii i Ni   Доказательство. Из доказательства теоремы 1 видно, что при выполнении условия (15)  − 1 1CB для любого .adU (16) Тогда − − −− 1 1 )( 1 11CBE и − −−−− 1 11 1 1 1 1 )( CBEBA . 1 1 −  −   Отсюда . 1 1 ˆ 111 1 1   −  − −  Ay (17) Из (11) для 1  имеем ,)()1(3max ),1( 112/12/1 1 1111 gyuu gyA ii i Ni +       +−+   +− +−   откуда и следует утверждение теоремы. Существование минимума функционала качества Теорема 2. Пусть выполнены условия следствия теоремы 1. Далее, функцио- нал )ˆ,( y определен на NRU ad и непрерывен по своим аргументам. Тогда множество    ==    =   ))(ˆ,(inf))(ˆ,(: ad ad yyUU U непусто, компактно и любая минимизирующая последовательность }{ k сходит- ся ко множеству .U 78 ISSN 0572-2691 Доказательство. Пусть ad}{ Uk  — произвольная минимизирующая по- следовательность, т.е. .))(ˆ,(lim  → = kk k y Из следствия теоремы 1 вытекает, что система уравнений (10) разрешима на adU и My  1 )(ˆ для любого ,adU где M не зависит от , поэтому в силу компактности множества решений )(ˆ y системы уравнений (10) на adU и самого множества adU из последовательности }{ k можно выбрать подпоследователь- ность }{ mk  такую, что )(ˆ mk y  сходится к y~ в ,NR а }{ mk  — к . При этом ,0~)(ˆ 1 →− yy mk если ,→m ,0 1 →− mk если →m и .adU Покажем, что y~ совпадает с ),(ˆ y где )(ˆ y — решение системы уравне- ний (10) при .= Заметим, что ))(ˆ)(ˆ( mk yy − — решение следующей си- стемы уравнений: .])1()(ˆ)[())(ˆ)(ˆ)(,( yyCyyA mmm kkk −+−=−  (18) Тогда из (17) и (18) имеем .)1()(ˆmax 1 2 )(ˆ)(ˆ 112/1 11 yyuyy mm k i Ni k −+−  − −  + −   С другой стороны, ,)(ˆ)(ˆ)(ˆ~)(ˆ~ 111 mm kk yyyyyy −+−−  (19) переходя в (19) к пределу при ,→m получим ).(ˆ~ = yy Поскольку )ˆ,( y — непрерывный функционал своих аргументов, то он ограничен на adU в силу компактности множества решений )(ˆ y и множества ,adU а также слабо полунепрерывен снизу и .))(ˆ,(lim))(ˆ,(lim))(ˆ,(  →→  == kk k kk m yyy mm Таким образом, ))(ˆ,(inf))(ˆ,( ad =   yy U и .  U Осталось показать, что U — компактное множество. Возьмем произволь- ную последовательность .}{  Uk Так как ad}{ Uk  — компактное множе- ство, то существует подпоследовательность ,}{ N сходящаяся к некоторой точке .~ adU Но )),(ˆ,(inf))(ˆ,( ad =  yy U kk mm ,,2,1 =m поэтому }{ mk  — минимизирующая последовательность. По доказанному }{ mk  сходится к ,U поэтому .~  U Это значит, что множество U компактно, что и требовалось доказать. Теорема 3. Пусть 0 и  удовлетворяет неравенству (15), а )ˆ,( y опре- делена на NRU ad и является непрерывно дифференцируемой функцией своих аргументов. Далее, пусть .))(ˆ,(inf))(ˆ,(: ad ad    ==    =   yyUU U Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 79 Тогда функционал качества (7) непрерывно дифференцируем на множестве adU и его градиент )( имеет вид ],)1(ˆ[ 2 1 )ˆ,()( 2/12/12/12/1 2/1 2/1 yyvuy iiii i i ++++ +  −+−   = + (20) где v — решение сопряженной задачи (8), (9). В любой точке   U необходимо выполняется неравенство 0),( −  для всех .adU Доказательство. Пусть ,+ adU и ),(ˆ +y )(ˆ y — соответ- ствующие решения прямой задачи (3), (4), а )(v — решение сопряженной зада- чи (8), (9). Обозначим ).(ˆ)(ˆˆ −+= yyy Вектор ŷ удовлетворяет уравнению .ˆ)(])1(ˆ)[(ˆ)]()([ yCyyCyCB +−+=− (21) В силу дифференцируемости функции )ˆ,( y по своим аргументам можно записать ),ˆ,(ˆ, ˆ ,)ˆ,()ˆˆ,( yoy y yyy +   +   =−++= (22) где 0)ˆ/()ˆ,( 11 →+ yyo при .0)ˆ( 11 →+ y Второе слагаемое в правой части (22) с учетом сопряженной задачи (8), (9) представим в виде .,ˆ)]()([ˆ,)]()([ˆ, ˆ T vyCByvCBy y −−=−−=   (23) Из (21), (23) получаем .,ˆ)(])1(ˆ)[(ˆ, ˆ vyCyyCy y +−+−=   Заметим, что для любого NRz имеем ,)()( = zDzC где D(z) — двух- диагональная матрица размерности )1( − NN с элементами =−= + iiii dzd 1)( ),(5,0 12/1 iii zzu −−= ++ ,1,1 −= Ni поэтому .ˆ,)(,)]()1()ˆ([ˆ, ˆ T yvDvyDyDy y −−+−=   (24) Подставляя (24) в (22), получим ).ˆ,(ˆ,)(,)]()1()ˆ([ T yoyvDvyDyD +−−+−   = (25) Из (21) с учетом (17) следует, что 0ˆ 1 → y при ,0 1 → а следова- тельно, непрерывность )(ˆ y на .adU 80 ISSN 0572-2691 Последние два слагаемых в правой части (25) есть величина порядка )( o на ,adU и поэтому функционал ))(ˆ,(  y дифференцируем на множестве adU и его градиент вычисляется по формуле .)]()1()ˆ([)ˆ,()( T vyDyDy −+−   = (26) Вектор )()( −+= vvv — решение следующей системы уравнений: ).ˆ,( ˆ )ˆ,( ˆ )(),(T y y y y vCvA    ++   −=+ (27) Из непрерывной дифференцируемости функции )ˆ,( y по своим аргумен- там и из оценки (17) для системы уравнений (27) следует непрерывность )(v на .adU Таким образом, градиент )( — непрерывная функция на множестве допу- стимых значений ,adU что и требовалось доказать. Выбор функционала качества Одним из свойств TVD-схем является неосцилляционность их решений. По- смотрим, как изменяется полная вариация разностных решений этих схем при пе- реходе с одного временнóго слоя на другой. Для этого рассмотрим в hH разност- ную схему ,ˆ 2/12/12/12/1 zCzCzz iiiiii − − −+ + + −+= (28) где .12/1 iii zzz −= ++ Известно [5], для того чтобы разностная схема (28) была TVD-схемой, доста- точно, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли условиям 02/1  +iC и .12/12/1 + − − + + ii CC (29) Лемма. Пусть разностная схема для задачи (1), (2) имеет вид (28), а ее коэф- фициенты удовлетворяют неравенствам (29). Тогда полная вариация )ˆ(zTV разностного решения ẑ удовлетворяет соот- ношению .ˆˆ)()ˆ( 1100 ++ −+−+ NN zzzzzTVzTV (30) Доказательство. Из (28), (29) следует, что ,)1(ˆ 2/32/32/12/12/12/12/12/1 zCzCCzCz iiiiiiii + + ++ − + + +− − −+ +−−+= поэтому −+−+== ++ − = + =  NNi N i i N i zzzzzzzTV ˆˆˆˆˆˆ)ˆ( 1012/1 1 1 2/1 0 −+−+−+−+ ++++ − =  11001012/1 1 1 ˆˆˆˆˆ NNNNi N i zzzzzzzzz ++−−+ + + ++ − + + +− − − − =  zCzCCzC iiiiiii N i 2/32/32/12/12/12/12/1 1 1 )1( Проблемы управления и информатики, 2007, № 4 81 +−+−++−+ ++ +− 11002/32/32/12/1 ˆˆ)1( NN zzzzzCzC +−+ − − −+ + + zCzC NNNN 2/12/12/12/1 )1( ++−−  = + + ++ − + + + − = N i iiiii N i zCzCC 1 2/12/12/12/12/1 1 1 )1( +−++ − − = + − + zCzC N i ii 2/12/1 1 0 2/12/1 )1( −+−+−+ +++ + + 11002/12/1 ˆˆ)1( NNNN zzzzzC ,ˆˆ)( 1100 ++ −+−+ NN zzzzzTV что и требовалось доказать. К сожалению, в общем случае оценка (30) может быть достаточно грубой и не гарантировать от осцилляций в решении. Если известна точная оценка полной вариации решения на следующем временном слое, то, используя метод барьерных функций [9], функционал качества )ˆ,( y можно, например, выбрать в виде +−++−= +++ − =  )}1ln()ln({)ˆ,( 2/12/12/1 1 1 iii N i y         −+ + =  yM i N i ˆ1ln 2/1 0 , ,0,  где M1 — оценка полной вариации ;ŷ ,  — весовые коэффициенты. Иногда известны границы изменения ,ˆiy т.е. .ˆ +−  iii yyy В этом случае функционал качества можно выбрать следующим образом: .0,)},ˆln()ˆln({ )}1ln()ln({)ˆ,( 1 2/12/12/1 1 1 −+−+ +−++−= +− = +++ − =   iiii N i iii N i yyyy y (31) Запишем условия оптимальности первого порядка для задачи минимизации функционала (7) на множестве ,adU определяемом соотношением (6), и ограни- чениях (3), (4). Тогда ,)]()1()1([ˆ)]()([ gyCByCB +−−−=− ,0)ˆ,( ˆ )]()([ T =   +− y y vCB (32) .0)]()1()ˆ([)ˆ,( T =−+−   vyDyDy Таким образом, задача минимизации функционала (7) на множестве adU при выполнении условий (3), (4) и (8), (9) сводится к решению системы уравне- ний (32). Для ее решения можно использовать метод Ньютона. 82 ISSN 0572-2691 С.Л. Ківва ОПТИМІЗАЦІЯ АНТИДИФУЗІЙНИХ ПОТОКІВ В РІЗНИЦЕВИХ СХЕМАХ ДЛЯ РІВНЯННЯ ПЕРЕНОСУ Для чисельного розв’язку рівняння переносу розглядається адаптивна різнице- ва схема, яка будується за допомогою додавання в монотонну різницеву схему першого порядку антидифузійних членів. Задача визначення антидифузійних потоків зводиться до розв’язування оптимізаційної задачі. Функціонал якості вибирається з урахуванням підвищення точності адаптивної схеми і недопу- щенням осциляцій різницевого розв’язку. Доведено однозначну розв’язність прямої і спряженої кінцево-різницевих задач. Досліджено диференційні власти- вості функціонала якості і отримано необхідні умови оптимальності першого порядку. S.L. Kivva ANTI-DIFFUSION FLUX OPTIMIZATION IN DIFFERENCE SCHEMES FOR ADVECTION EQUATION Adaptive scheme for numerical solution of the advection equation is considered. The scheme is developed by addition of anti-diffusion terms in the monotone difference scheme of first order. Anti-diffusion flux-determination problem is reduced to opti- mization problem. Cost functional is selected such that to increase accuracy of the adaptive scheme and to provide non-oscillatory of difference solution. Existence and uniqueness of solution for direct and conjugate finite-difference problem is proved. The differential properties of the cost functional are investigated and the necessary first-order optimality conditions are obtained. 1. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидро- динамики // Мат. сб. — 1959. — № 47. — C. 271–306. 2. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродина- мики. — Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2000. — 232 с. 3. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. — М. : Мир, 1990. — 661 с. 4. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // J. Comp. Phys. — 1979. — 31, N 3. — Р. 335–362. 5. Harten A. On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes // SIAM J. Numer. Anal. — 1984. — 21, N 1. — P. 1–23. 6. Самарский А.А. Теория разностных схем. — М. : Наука, 1989. — 656 с. 7. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М. : Наука, 1980. — 350 с. 8. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М. : Мир, 1975. — 558 с. 9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М. : Наука, 1980. — 518 с. Получено 14.05.2007

Оптимизация антидиффузионных потоков в разностных схемах для уравнения переноса

Репозитарії

Схожі ресурси