Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем

Показано, що задача відновлення вектора стану нелінійних і у загальному випадку нестаціонарних динамічних систем зводиться до необхідності забезпечення робастної стійкості розширеної системи відповідним вибором закону керування системою відновлення. Достатні умови робастної стійкості «в області» ви...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Кунцевич, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2007
Schriftenreihe:	Проблемы управления и информатики
Schlagworte:	Проблемы динамики управляемых систем
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207122
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 5. — С. 5-19. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-207122
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-2071222025-09-30T00:10:48Z Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем Відновлення вектора стану нелінійних динамічних систем State vector recovery for nonlinear dynamic systems Кунцевич, В.М. Проблемы динамики управляемых систем Показано, що задача відновлення вектора стану нелінійних і у загальному випадку нестаціонарних динамічних систем зводиться до необхідності забезпечення робастної стійкості розширеної системи відповідним вибором закону керування системою відновлення. Достатні умови робастної стійкості «в області» визначено на основі зведення нелінійних функцій до квазілінійної форми. Отримано обмеження у вигляді нерівностей, виконання яких забезпечує розв’язок задачі відновлення вектора стану. As it is shown in the paper, state vector recovery necessarily requires the robust stability of an extended system. This can be achieved by choosing the respective control law of a recovery system. The robust stability sufficient conditions for a domain, which are given in the paper as a set of inequalities, guarantee a solution to the state vector recovery problem. These conditions were obtained by reduction of the initial nonlinear functions to a quasilinear form. 2007 Article Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 5. — С. 5-19. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207122 517.9, 519.8 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Кунцевич, В.М. Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем Проблемы управления и информатики
description	Показано, що задача відновлення вектора стану нелінійних і у загальному випадку нестаціонарних динамічних систем зводиться до необхідності забезпечення робастної стійкості розширеної системи відповідним вибором закону керування системою відновлення. Достатні умови робастної стійкості «в області» визначено на основі зведення нелінійних функцій до квазілінійної форми. Отримано обмеження у вигляді нерівностей, виконання яких забезпечує розв’язок задачі відновлення вектора стану.
format	Article
author	Кунцевич, В.М.
author_facet	Кунцевич, В.М.
author_sort	Кунцевич, В.М.
title	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем
title_short	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем
title_full	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем
title_fullStr	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем
title_full_unstemmed	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем
title_sort	восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207122
citation_txt	Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем / В.М. Кунцевич // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 5. — С. 5-19. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT kuncevičvm vosstanovlenievektorasostoâniânelinejnyhdinamičeskihsistem AT kuncevičvm vídnovlennâvektorastanunelíníjnihdinamíčnihsistem AT kuncevičvm statevectorrecoveryfornonlineardynamicsystems
first_indexed	2025-09-30T01:28:30Z
last_indexed	2025-10-01T01:21:29Z
_version_	1844740556409798656
fulltext	© В.М. КУНЦЕВИЧ, 2007 Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 5 ПРОБЛЕМЫ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ УДК 517.9, 519.8 В.М. Кунцевич ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Введение Задача восстановления вектора состояния динамических систем возникает при решении широкого класса задач управления как в теории, так и в приложени- ях. Применительно к линейным динамическим системам в решении этой задачи сформировались два направления. Первое из них предполагает построение наблюдателей (наблюдателей Луенбергера), которые, по-существу, используют математическую модель исследуемой динамической системы. Второй способ вос- становления вектора состояния основан на построении эллипсоидальных оценок этого вектора с использованием текущих измерений с помехами линейной комби- нации элементов вектора состояния. Решение задачи восстановления вектора состояния нелинейных динамиче- ских систем осложняется отсутствием конструктивно проверяемых условий устойчивости нелинейных систем (необходимых при построении наблюдателей) или существенными трудностями при реализации процедур пересечения невы- пуклых множеств при использовании второго способа решения задачи восстанов- ления вектора состояния. В данной статье рассматривается один из возможных способов решения за- дачи восстановления вектора состояния нелинейных динамических систем, осно- ванный на переходе от исходных дифференциальных уравнений, описывающих динамику непрерывных систем, к соответствующим им разностным уравнениям, описывающим поведение исходных систем в дискретные моменты времени ,nTtn = где T = const — период квантования. На выборе периода T и деталях пе- рехода от одного вида уравнений к другому останавливаться не будем, так как эти вопросы детально освещены в литературе. Предметом рассмотрения настоящей работы будет исследование возможно- сти построения наблюдателя для нелинейной управляемой системы ),,,(1 nnnn FUXX =+ (1) где nX m — вектор состояния; nU l — вектор управления; nF m — вектор неконтролируемых возмущений, для которого задана лишь его априорная множественная оценка FnF — ограниченное выпуклое множество. (2) 6 ISSN 0572-2691 Принимается, что вместо вектора состояния nX с помехой n измеряется вектор nY и в результате измерений получены соотношения ),( nnn XCY += (3) где ; 1 m iicC = = ,0;μ,1,0 == ii cic .,μ1 mi += (4) Для вектора n задана лишь его априорная оценка Ψn — ограниченное выпуклое множество. (5) 1. Уравнения системы восстановления вектора состояния нелинейных дискретных систем Рассмотрим часто встречающийся в приложениях класс нелинейных систем, описывающийся уравнением ,)(1 nnnnn FBUXAXX +++=+ (6) где A — числовая матрица ),( mm B — числовая матрица ),( ml  )( nX — m-мерная нелинейная вектор-функция такая, что .0)0( = Для вектора 0X задана лишь его априорная оценка 00 XX — ограниченное выпуклое множество. (7) Будем считать, что для достижения поставленной цели управления объек- том (5) должен быть использован тот или иной вид обратной связи ).( nn XUU = Вначале рассмотрим линейную обратную связь ,nn KXU = (8) в которой в зависимости от поставленной цели управления так или иначе выбира- ется числовая матрица K размерности ).( lm Далее принимается, что матрица K уже фиксирована. Однако из-за ограничений (3) такой закон управления объек- том (6) не может быть реализован, и в связи с этим возникает необходимость в построении системы восстановления вектора состояния .nX Отметим здесь одно важное обстоятельство. При управлении реальными объектами конструктору системы управления ими приходится считаться с тем, что этим объектам присуща та или иная степень неопределенности и в силу этого точные значения матриц A и B ему неизвестны. Поэтому примем, что ;AAA +=  BBB +=  (9) и что для матриц A и B известны лишь их априорные множественные оценки ;AA ,B+=  BB (10) где A и B — ограниченные выпуклые множества. Отметим [1] как одну из немногих работ, в которой в явной форме вводится неопределенность в модели исследуемого объекта. Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 7 Примем далее, что нелинейная вектор-функция )( nX известна также лишь до параметров, т.е. ),()( nn XRX  = ,}{diag 1 m iirR == (11) },:{ iiiiii rrrrr = ;,1 mi = ,21 mR = R (12) где )( nX   — заданная вектор-функция, а ii rr , — заданные числа. Приняв во внимание (12), перепишем уравнение (6) в виде .)()()(1 nnnnn FUBBXRXAAX +++++=+  (13) Систему восстановления (наблюдатель) опишем уравнением ),, ~ ,() ~ ( ~~ 1 nnnnnnn XXWUBXRXAX +++=+  (14) где nX ~ m , W(·) — m-мерная вектор-функция, подлежащая определению, ;}{diag 1 m iirR ==  ).(5,0 21 iii rrr +=  Введем обозначение . ~ nnn XXE −= (15) Поскольку на модели (14) системы (6) вектор nX ~ измеряется без помех, то конструктор системы управления имеет в своем распоряжении вектор , ~ nn XCY = что дает возможность, согласно (3) и (15), оперировать с вектором , ~ nnn YYY −= равным . ~ nnn СCEY += (16) Вектор-функцию W(·) вначале примем в виде линейной функции вектора : ~ nY , ~ nnnn SCSCEYSCW +== (17) S — матрица ),( mm подлежащая определению. Подставив (17) в (14), получаем .) ~ ( ~~ 1 nnnnnn SCSCEUBXRXAX ++++=+  (18) В силу того, что для вектора 0X задана лишь его оценка (7), принимаем, что .0 ~ 0 =X (19) Такой выбор 0 ~ X минимизирует величину . ~ max 000 00 XXE X −= X Из (15) и (13), (18) получаем .)()(1 nnnnnnnnnn SCSCEFBUEXRXRAXEAE −−++−−++=+  (20) 8 ISSN 0572-2691 Цель построения системы восстановления (18) состоит в получении в иде- але, т.е. в отсутствие возмущения nF и помехи измерения ),,( == ΨF со- отношения .0lim = → n n E (21) Поскольку (20) — нелинейная система, для которой величины nBU и ))()(( nnn EXRXR −−  — внешние неопределенные воздействия, то ее кор- ректный анализ без привлечения динамики изменения величин nX и nU невоз- можен. Для устранения этой неопределенности введем расширенный вектор состояния ).;( TTT nnn XEZ = (22) Тогда из (20) и (13) получаем ,),(),(1 nnnnn NURZFZSAPZ +++=+  (23) где );(5,0;}{diag; 0 )( 1 iii m iiii rrrrrrRRR AA ASCA P +=−==−= + − = =     (24) . ; )()( )()()( )(; nn n nnn n nn n U BB B U XRR EXRXRR F F SCF N +  = + −−+ = − =      (25) Класс нелинейных неавтономных систем (23)–(25), (2), (5), (10), находящий- ся под воздействием ограниченных внешних сигналов nU  и ,nN может быть диссипативным, т.е. иметь ограниченное минимальное инвариантное множество (подробнее об этом см. [2–4]). При этом вместо выполнения условия (21) речь может идти лишь о выполнении условия , ~ E−= nnn XXE где E— ограничен- ное множество. Но это возможно лишь в том случае, когда класс автономных не- линейных систем ),(),(1 RZFZSAPZ nnn +=+  (26) робастно устойчив. Для получения достаточных условий робастной устойчивости класса си- стем (26), (2), следуя Е.А. Барбашину [5], представим нелинейные вектор- функции m ii m ii EXEXXX 11 )()(;)()( == −=−=  (27) в квазилинейной форме Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 9 ),)(,()(;),()( EXLEXEXXLXX −−=−=  (28) предполагая, что вектор-функция )(X   такова, что она допускает эту возмож- ность. В этом выражении )(  — функциональная матрица ),( mm L — обоб- щенный вектор параметров разложений, который будет определен позже. Подставляя (28) в (23)–(25), получаем ,)()),()((1 nnnnn FUBBXLXRRAAX ++++++=+  (29) +−−−+=+ nnnnnnn ELEXRXLEXRAX ),()),(( ~ 1  .nnn SCSCEUB +++  (30) Тогда на основании (15), (29) и (30) представим уравнение расширенной си- стемы в виде ;),,,( ~ 1 nnnnn NUZLSRZPZ ++=+  (31) . ),()(0 ),(),()(),( )( ~ LXRRAA LEXRLXRRALEXRSCA P n nnnnn +++ −−++−+− =   (32) Теперь рассмотрим условия робастной устойчивости класса нелинейных ав- тономных систем ,),,( ~ 1 nnn ZSRZPZ =+ (33) где ,,1)},(5,0:{;21 mirrrrR iiiiim =−== R в некоторой области. 2. Условия устойчивости и диссипативности системы восстановления вектора состояния Для анализа устойчивости класса систем (33), (32), (10), (12) введем функцию Ляпунова ,nn Zv = (34) не оговаривая пока конкретный вид нормы вектора. Тогда с учетом (33) и (32) получаем .)( ~ 1 nnnnn ZZPZZv −=−= + (35) Принимая во внимание неравенство ,)( ~ )( ~ nn ZPZP  из (35), (33), (32) получаем, что ,0 nv если справедливо неравенство .1),,,,,,( ~ max 00 ,,,   qLRXESAZP nnn XERA nn XXRA (36) 10 ISSN 0572-2691 Замечание. Поскольку было принято, что ,0 ~ 0 =X то множество 0E прини- маем в виде .00 XE = Неравенства (36) — достаточное условие робастной устойчивости рассмат- риваемого класса систем в области .0X Приняв норму матрицы )( ~ P в виде ,)(~)( ~ max)( ~ 2 1 T 2,1         ==  == ij m j i mi pPP где )( ~T iP — і-я строка матрицы ),( ~ P а )(~ ijp — i-й элемент этой строки, оконча- тельно достаточное условие робастной устойчивости класса систем (33), (32), (10)–(12) запишем в виде = ),( LSi .1),,,,,(~)( ~ max 2 1 T ,,,,2,1 00          ==  == qXERLSApP nnij m j i XERAmi nn XXRA (37) Рассмотрим вопрос о выборе вектор-функций )(i  в разложении (28), которые еще не определены. Пусть функции )(Xij вектор-функций )(Xi имеют вид .,1),()( 1 mjXxX ijij == − (38) Тогда из (28), (38) получаем .,1,1 1 milij m j == = (39) Свободой в выборе векторов iL следовало бы воспользоваться для миними- зации величин ),(i ,,1 mi = и определить эти векторы из решения задач },),,,,,( ~ max),({min T ,,, ~ 00 SRLXEAPSL inni XERA i L nnii =  XXRAL где ii LL = ~ +; };1{ T : == iii LELL );1,,1(T =E + — положительный ор- тант пространства }.{ iL Но такая задача не имеет аналитического решения, а опреде- ление ее решения требует использования численного метода, что связано с суще- ственными вычислительными трудностями. Поэтому, основываясь на неравенстве ,),,,,,(~max ),,,,,(~max 00 00 ,,, 2 1 2 1,,, nniij XERA m j nniij m jXERA XERLSAp XERLSAp nn nn            = =   XXRA XXRA усилим неравенства (37) и вместо них потребуем выполнения неравенств .2,1 ,1),,,,,(~max),( 00 ,,, 2 1 mi qXERLSApSL nniij XERA m j ii nn = = =  XXRA (40) Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 11 Из (40) и (32) следует, что если ,1+ AA  т.е. если линейная часть объек- та управления неустойчива без какой-либо стабилизирующей обратной связи ),( nn XUU = то даже при сколь угодно малой 0),( X nn XLX достаточное условие робастной устойчивости (40) класса систем (31), (32) в области 0X не выполняется. Следовательно, даже при 0nN условие (21) в принципе не может быть обеспечено. В этом случае необходимо рассматривать обратную связь )( nn XU = для стабилизации неустойчивого объекта управления (1). Сначала рассмотрим линейную обратную связь. Поскольку из-за ограниче- ния (4) обратная связь (8) нереализуема, то, принимая, что в асимптотике век- тор nX ~ будет приемлемой оценкой вектора ,nX соотношение (8) заменим соот- ношением ).( ~ nnnn EXKXKU −== (41) Подставив (41) в (31), (32), получаем ,),,,,,(1 nnn ZLSRBAZPZ =+ (42) где =)(P . ),()()()( ),(),()(),( LXRRKBBAAKBB LEXRLXRRALEXRBKSCA n nnnnn ++++++− −−++−+−− =   (43) 3. Выбор параметров закона управления системой восстановления вектора состояния Рассмотрим выбор матрицы S в уравнении (17). Пусть 0),(  LXn и .0),( − LEX nn Тогда класс систем (41), (42) вырождается в класс линейных систем ,),,( ~ 1 nn ZSBAPZ =+ (44) а функциональная матрица )(P — в числовую матрицу . )()( )( ~ KBBAAKBB ABKSCA P ++++− −− =   (45) Предположим, что .0,0 == BA При этом система уравнений (44), (45) трансформируется в систему ;)(1 nn ESCAE −=+  (46) .][1 nnn KEBXKBAX  −+=+ (47) В принципе матрицу S необходимо выбрать так, чтобы обеспечить асимпто- тическую устойчивость системы (46), выполнив тем самым условие (7). Но не- трудно показать, что для произвольной матрицы  ,A имеющей собственные числа 12 ISSN 0572-2691 по модулю больше единицы, и числá ,11 − m определяющего структурные ограничения (4) матрицы C, не существует такой матрицы ,  = SS для которой выполняются неравенства .,11)( miqCSAi =−  (48) Действительно, введем обозначение .SCG = Поскольку C — диагональная матрица, то i-я строка T iG матрицы G зависит только от i-й строки T iS матрицы S, т.е. =T iG .,,, 2211 immii scscsc  Поэтому выбором матрицы S можно изменить только  первых элементов в i-й строке матрицы ),( SCAQ −=  а остальные ее )( −m элементов равны соответствующим элементам ,ika  где .)(),1( −+= mk Таким образом, если ,1 1  − += ik m k a  то норма матрицы 1Q и достаточное условие асимптотической устойчиво- сти (36) не может быть выполнено. Заметим, что с чисто качественной точки зрения применение не достаточных, а необходимых условий асимптотической устойчивости линейной системы не ме- няет сути дела и вывода о том, что в общем случае не существует матрицы ,  S обеспечивающей асимптотическую устойчивость системы (46). Это обстоятель- ство ограничивает область применения систем восстановления векторов состоя- ния дискретных систем. Тем не менее, искомые строки T iS матрицы S определя- ются из решения задач .,1,)(min 1 TTT T miscaSGA ijjij m j iii Si =         −=−  =  (49) Эти задачи в общем случае не имеют аналитических решений, но так как функции )( TT ii SQ — выпуклые, то решения T iS  задач (49) единственные и они могут быть найдены с помощью стандартных программ минимизации. Подставив найденные значения T iS  в (45), проверяем выполнение неравенств (36). Если эти неравенства выполняются, то, согласно (46), в уравнении (47) внешнее возмуще- ние nE в асимптотике стремится к нулю. Заметим, что если для модели объекта управления при заданных ограничени- ях (4), т.е. при заданном числе , выполняются неравенства (36), то этого же мож- но добиться и при управлении объектом с обратной связью в виде .nn KCXU = Следовательно, если цель управления объектом заключается лишь в его стабили- зации, то отпадает необходимость во введении системы восстановления векто- ра .nX Эта система нужна лишь в том случае, когда с помощью обратной связи (8) выбором матрицы K необходимо не только стабилизировать объект управле- ния, но и придать замкнутой системе требуемые динамические свойства. Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 13 Пусть теперь вырожденная система (44), (45) по-прежнему линейная и ,0=A ,0=B но 0nF и .0n Тогда вместо (44), (45) из (31), (32) получаем ,)(1 nnn NZSPZ +=  + (50) где эквивалентное возмущение nN определяется выражением (25). Если достаточное условие асимптотической устойчивости для матрицы )(  SP выполняется, то система (50) диссипативна, т.е. имеет ограниченное минималь- ное множество ,zΜ для которого выполняются условия: если ,ZnZ M то ZnZ M+1 при любых FnF и .Ψn В [2–4] показано, что ,)()( 2 +++=  NNNM SPSPZ (51) где, как это следует из (2), (5) и (25), . ΨCS  − = F F N (52) Вследствие того, что матрица )(P устойчива, ряд (51) сходится. Спроецировав множество ZM на подпространство {E}, получаем },{ ZEE ΜM P= (53) где EP — оператор проецирования. Множество EM будем характеризовать его радиусом, определяемым в виде .max YX E E Y X E −=   M M (54) Поскольку ,EnE M то радиус E множества EM — аналог дисперсии при стохастической природе возмущений nF и помех n — служит мерой точности восстановления вектора состояния nX и из (2), (5) и (51), (53) следует, что с ро- стом интенсивности возмущений nF и помех n радиус множества EM увели- чивается. Пусть по-прежнему 0),( = LXn и ,0),( =− LEX nn но ,0A 0B и ,0nF .0n Тогда из (31), (32) получаем ,),,(1 nnn NZBASPZ +=  + (55) где . )()( )( KBBAAKBB ABKSCA P ++++− −− =   (56) ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 14 ISSN 0572-2691 Для того чтобы эта линейная неавтономная система имела ограниченное минимальное инвариантное множество, необходимо, чтобы класс автономных систем nn ZBASPZ ),,(1 =  + (57) при AA и BB был робастно устойчив, и тогда необходимо проверять выполнение достаточного условия робастной устойчивости .1}),({max    qBAP B A B A (58) Примем, что для каждых i-х строк T iA и T iB матриц A и B заданы их ин- тервальные оценки ,,1},,1;:{T mimjaaaA ijijijii ===A (59) ,,1},,1;:{T mimjbbbB ijijijii ===B (60) где ijij aa , и ijij bb , — заданные числа. Введем обозначения ,ijka где ;2,1=k ijij aa =1 при ;1=k ijij aa =2 при ,2=k и соответственно ,ijlb где ;2,1=l ijij bb =1 при ;1=l ijij bb =2 при .2=l Тогда проверка неравенства (36) сводится к решению комбинаторных задач ,,1,),(max T 2,1,2,1,,1 miaaP iijlijki lkmj ==  === (61) и проверке выполнения неравенства .1max ,1 =  = qi mi  (62) Рассмотрим тот общий случай, когда ,0A 0B и ,0),(  LX ,0),( − LEX и ограничимся ради простоты изложения лишь классом строго монотонных функций ).( Тогда их максимумы достигаются в вершинах kX и vE множеств 0X и ,00 XE = которые принимаем в виде };{conv}:{ 2,1 0 k k XXX m = ==X (63) }.{conv}:{ 2,1 0 v v EEEE m= == (64) Здесь kX и vE — вершины m-мерных октаэдров при норме вектора в виде . 1 i m i xX  = = (65) Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 15 Наличие неопределенности в матрице ),(P вносимой матрицами ,0 A ,0 B еще больше ограничивает возможность добиться с помощью выбора матрицы S выполнения условий устойчивости системы (57). Есть основания (по- дробнее об этом см. [4, 6, 8]) сохранить уже определенную матрицу  S и в рас- сматриваемом здесь случае, а возможность выполнения робастной устойчивости при этом решающим образом зависит от диаметров множеств A и .B Если все же с помощью выбора матрицы  = SS робастная устойчивость класса систем (57), (59), (60) обеспечена, то класс неавтономных систем (55), (59), (60), как показано в [9] (см. также [4]), имеет ограниченное минимальное инвариантное множество и восстановление вектора состояния ,nX как это уже было установлено ранее, воз- можно лишь с точностью до радиуса множества .EM Наконец, рассмотрим общий случай класса систем (31), (32), когда 0),(  LXn и ,0),( − LEX nn и определим векторы параметров iL разложений (28) нели- нейных вектор-функций )( nX   и ).( nn EX −  Сохраним найденную ранее матрицу ,  = SS и в соответствии с (40) векторы ,iL ,,1 mi = принимая во внимание (59), (60) и (63), (64), будем искать из реше- ния задач .,1 ,),,,,,(max)(min 2,1;2,1;2,1;2,1 2 1 mi slbaEXpL ijijijtijq vk ij tqvk m j i L mmii =         =  =====  L (66) Поскольку )( iL — выпуклые функции элементов ijl векторов ,iL то реше- ния этих задач (которые обозначим ,iL  ),1 mi = единственные и они могут быть найдены с помощью стандартных программ минимизации при наличии выпуклых ограничений . ~ iL Подставив найденные значения векторов параметров iL  в (40), достаточные условия робастной устойчивости класса нелинейных систем оконча- тельно запишем в виде .,1,1 ),,,,,(max)( 2,1;2,1;2,1;2,1 2 1 miq slbaEXpL ijijijtijq vk ij tqvk m j i mm = =  =====   (67) Рассмотрим использование нелинейной обратной связи при управлении объ- ектом с целью компенсации (полной или частичной) его нелинейности, предпола- гая, что ,0det   B и принимая вместо (8) ).() ~ ( 1 nnnnnn EXRBEXXKU −−−== −  (68) Подставив в (6) вместо (8) уравнение (68), получаем −+−+++=+ nnn KEBBXKBBAAX )(])([1  .)()()( 1 nnnn FXREXRBBB ++−+− −  (69) 16 ISSN 0572-2691 Очевидно, что использование нелинейной обратной связи (68) целесообразно лишь тогда, когда справедливо неравенство ,)()()( XRRXR  − ,RR (70) которое, как нетрудно показать, выполняется, если справедливо неравенство , где ;max R R R = .max  RRR R −== R Далее полагаем, что неравенство (70) выполняется. Из (15), (69) и (18) получаем −−−−−++=+ )(1 nnnnnnnn EXRSCEBKEBKXAXEAE  ,)()(1 nnnnn SCFXREXRBB −++−− −  (71) и уравнение расширенной системы уравнений на основании (71) и (69) записыва- ем в виде , ~ ),(),,(1 nnnnn FXEZBASPZ ++=  + (72) где матрица )(P определяется выражением (56), а . )()()( )()()( )( 1 1 nnn nnnnn EXRBBBXR XREXRBBEXR −+− +−−− = − −   (73) Для анализа робастной устойчивости класса автономных нелинейных систем ),,(),,(1 nnnn XEZBASPZ +=  + (74) так же, как и ранее, представим эти системы в квазилинейной форме и получим достаточные условия робастной устойчивости в области ,0X аналогичные условиям (40). Остановимся подробнее на анализе того частного случая класса систем (72), (73), когда ,0=B  RR = и ,0=nF .0=n Пусть класс систем ),,(ˆ),(ˆ1 nnnn XEFZASPZ +=  + (75) где ,),,,(),(ˆ 0  RR B RBASPASP = = =  (76) , ))()(( ))()(( ),(ˆ nnn nnn nn EXXR EXXR XEF −− −−− =   (77) ˇ ˇ ˇ Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 17 робастно устойчив в области .0X Тогда, как это следует из (21) и (77), нелиней- ная вектор-функция ),(ˆ nn XEF в асимптотике стремится к нулю, а класс си- стем (75)–(77) в асимптотике вырождается в класс линейных систем. Рассмотрим подробнее часто встречающийся частный случай объекта управ- ления (6), когда  A и A — матрицы Фробениуса ;0 0 T mA A    I = ;0 0 T mA A I = (78)  B и B — вектор-столбцы );,,0();,0,,0( TT bBbB ==   (79) nu — скалярное управление; );,0,,0(T mrR = )(Xf — скалярная нелинейная функция такая, что .0)0( =f При этом в (8) матрица K заменяется вектор-столбцом TK и уравнение (8) приобретает вид ).(TT +== nnn XCKYKu (80) Тогда в уравнении наблюдателя (14) закон управления этим наблюдателем nW записывается в виде ,nn wHW = (81) где ,)( TT nnnn CSEXCSw +−= TH — вектор-столбец, равный ),1,0,,0(T =H (82) TS — вектор-столбец, подлежащий определению. Для рассматриваемого частного случая уравнение (20) приобретает вид ++++−=+ nnnnn FAXuBECHSAE )( T 1  .)()( TT nnnnn CSXCSHREXfRXf −−−−+  (83) Из (78), (79) и (4) следует, что матрица CSHAQ T−=  — матрица Фробениуса: ,0 0 TTT CSAQ Q mm −= =   I (84) где ).0,,0,,,,( 2211 T  = scscscQm 18 ISSN 0572-2691 На основании (84) можно заключить, что даже если путем выбора элемен- тов ,is ,,1 =i можно добиться того, что ,1T mQ тем не менее 1=Q и, зна- чит, неравенство (40) не может быть выполнено. Следовательно, основное усло- вие (21) оказывается невыполнимым. В [6, 7] показано, что если ,1T  qQm (85) то тем не менее автономная система nn QEE =+1 асимптотически устойчива, так как при выполнении неравенства (85) .1= qQQ m Весь дальнейший ход исследования, включая и представление нелинейной скалярной функции )(Xf в виде ,),()( T XLXXf = остается без всяких изменений, и, в частности, если для нелинейной системы ,)(1 nnn EEQE =+ (86) где )(Q — функциональная матрица Фробениуса, выполняется неравенство ,1)(max T 0   qEQ nm En E то эта система асимптотически устойчива в области .0E Заключение Полученные результаты допускают их непосредственное обобщение на спе- циальный класс нелинейных нестационарных систем, для которого матрицы пе- ременных во времени параметров )(nA и )(nB в уравнении объекта управления могут быть представлены в виде );()()( nAnAnA +=  ).()()( nBnBnB +=  При этом принимается, что изменения элементов матриц )(nA  и )(nB  как функций времени заданы, а для матриц )(nA и )(nB заданы их гарантированные оценки A )(nA ),;0[ n B )(nB ).;0[ n В этом случае уравнения линейных обратных связей (8) и (17) заменяются уравнениями , ~ )( nn XnKU = ,)( nn CEnSW = в которых переменные во времени матрицы ),(nK )(nS выбираются по де- терминированным линейным частям объекта управления, т.е. по матрицам )(nA  и ),(nB  и системы восстановления вектора состояния. Вся остальная процедура исследования остается неизменной. Проблемы управления и информатики, 2007, № 5 19 В.М. Кунцевич ВІДНОВЛЕННЯ ВЕКТОРА СТАНУ НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ Показано, що задача відновлення вектора стану нелінійних і у загальному ви- падку нестаціонарних динамічних систем зводиться до необхідності забезпе- чення робастної стійкості розширеної системи відповідним вибором закону ке- рування системою відновлення. Достатні умови робастної стійкості «в області» визначено на основі зведення нелінійних функцій до квазілінійної форми. Отримано обмеження у вигляді нерівностей, виконання яких забезпечує розв’язок задачі відновлення вектора стану. V.M. Kuntsevich STATE VECTOR RECOVERY FOR NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS As it is shown in the paper, state vector recovery necessarily requires the robust stability of an extended system. This can be achieved by choosing the respective control law of a recovery system. The robust stability sufficient conditions for a domain, which are given in the paper as a set of inequalities, guarantee a solution to the state vector recovery problem. These conditions were obtained by reduction of the initial nonlinear functions to a quasi-linear form. 1. Черноусько Ф.Л., Кинева Н., Рокитянский Д.Я. Эллипсоидальные оценки фазового состоя- ния линейных систем с параметрическими возмущениями и неопределенной матрицей наблюдений // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2002. — № 1. — С. 5–13. 2. Кунцевич В.М., Пшеничный Б.Н. Минимальные инвариантные множества динамических систем с ограниченными возмущениями // Кибернетика и системный анализ. — 1996. — № 1. — С. 74–81. 3. Kuntsevich V.M., Pshenichnyi B.N. Analysis of some classes of nonlinear discrete systems under bounded disturbances // Prepr. of the 4th Symp. IFAC Nonlinear Control Systems Design, 1998. — Р. 147–153. 4. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. — Киев : Наук. думка, 2006. — 264 c. 5. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М. : Наука, 1978. — 224 c. 6. Кунцевич В.М. Анализ устойчивости и синтез устойчивых систем управления одним клас- сом нелинейных нестационарных систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2006. — 12, № 1. — C. 98–107. 7. Кунцевич В.М. О «сверхустойчивых дискретных системах» // Автоматика и телемехани- ка. — 2007. — № 4. — C. 61–66. 8. Кунцевич В.М. Робастная устойчивость и синтез дискретных систем управления нелиней- ными объектами // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 4. — С. 5–22. 9. Kuntsevich A.V. Set-membership identification for robust control // CESA’96 IMACS Multicon- ference. Vol. 2. — Lille, 1996. — P. 168–172. Получено 27.07.2007

Восстановление вектора состояния нелинейных динамических систем

Institution

Ähnliche Einträge